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Análisis y modelamiento de las alturas de oleaje para lazona costera de la región del Bío-Bío, Terraza del Itata,         ...
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Introducción    MotivaciónMotivación 1   La importancia del estudio se vincula a la necesidad de tener un     sistema prev...
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Resultados    Análisis geoestadísticoModelo de semivariograma exponencial                                       Figura:   ...
Resultados    Análisis geoestadísticoKriging Indicador Ordinario   Bernardo Bello R   ()   http://bernardobello.blogspot.c...
Resultados    Análisis geoestadísticoBoxplot temporal   Bernardo Bello R   ()   http://bernardobello.blogspot.com/        ...
Resultados    Predicciones de alturas signi…cantesPredicciones de alturas signi…cantesDescripción de la serie de tiempo de...
Resultados    Predicciones de alturas signi…cantesAnálisis de estacionariedadEl test de Dickey-Fuller muestra un valor-p d...
Resultados    Predicciones de alturas signi…cantesAnálisis distribucionalMedidas descriptivas de la serie diferenciada, ∆H...
Resultados    Predicciones de alturas signi…cantesModelos propuestos Box-Jenkins- ARIMA(p,d,q)                 Modelos    ...
Resultados    Predicciones de alturas signi…cantesModelos propuestos Espacios de EstadosEl coe…ciente asociado al modelo M...
Resultados    Predicciones de alturas signi…cantesEstimación de los componentes no observablesEl modelo ARIMA(1,1,0) es el...
Resultados    Predicciones de alturas signi…cantesEstimación de los componentes no observablesSe concluye en base a las pr...
Resultados    Predicciones de alturas signi…cantesDiagnóstico MEE-ARIMA(1,1,0)A continuación se muestra el error de predic...
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ConclusionesConclusiones   Se realizó un intenso control de calidad de la información, se   identi…caron localidades con m...
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ConclusionesConclusiones   Se planteó una relación funcional entre la altura de la ola, H (x ), y el   espectro S (w ; x )...
ConclusionesConclusiones   Se planteó una relación funcional entre la altura de la ola, H (x ), y el   espectro S (w ; x )...
ConclusionesConclusiones   Se planteó una relación funcional entre la altura de la ola, H (x ), y el   espectro S (w ; x )...
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ConclusionesConclusiones   El modelo de probabilidad Rayleigh no entregó un buen ajuste, siendo   poco ‡exible cuando pred...
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ConclusionesConclusiones   Se logro capturar la mayor información de los datos de espectros y   alturas medidas por los ra...
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BibliografíaBibliografía  1   Goovaerts, P, (1997) “Geostatistics for natural resources evaluation”.      Oxford Universit...
AnexosAnexos                             Agradecimientos a                            Dr. Maria Paz Casanova              ...
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  1. 1. Análisis y modelamiento de las alturas de oleaje para lazona costera de la región del Bío-Bío, Terraza del Itata, Chile. Proyecto de Título para optar al Título Profesional de Ingeniero Estadístico. Bernardo Bello R. Departamento de Estadística Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Concepción 17 de enero de 2011 Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 1 / 52
  2. 2. 1 Introducción Reseña histórica Motivación Entorno de medición y cobertura radial Radares HF marinos Espectros, coordenas y alturas Marco teórico y planteamiento del problema2 Descripción de un mar aleatorio Concepto estocástico aplicado al oleaje oceánico Ondas oceánicas como un proceso aleatorio gausiano Mares aleatorios3 Densidad espectral Función de densidad espectral Espectro de energía del oleaje Estimación de parámetros espectrales4 Alturas signi…cantes Relación alturas y espectro del oleaje Relación altura signi…cante y el espectro del oleaje Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 1 / 52
  3. 3. 5 Modelo probabilístico de la altura del oleaje Fundamento del proceso estocástico de ondas aleatorias Distribución de probabilidad de la amplitud y altura Derivación de la distribución de la amplitud Derivación de la distribución de la altura6 Análisis geoestadístico de las alturas7 Análisis serie de tiempo de alturas signi…cantes Modelos ARIMA Modelo de espacios de estados Filtro de Kalman Estimación de los componentes no observables Modelos propuestos Estimación de los parámetros por máxima verosimilitud condicional Diagnóstico del modelo8 Resultados Densidad espectral Estimación alturas signi…cantes Modelo probabilístico Análisis geoestadístico Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 1 / 52
  4. 4. Identi…cación de zonas con riesgo de marejada Identi…cación de localidades con alturas extremas Estimación localidades no observables Probabilidad de ocurrencia de H >2.83 Kriging Indicador Ordinario Boxplot temporal Predicciones de alturas signi…cantes Descripción de la serie de tiempo de las alturas signi…cantes Análisis de estacionariedad Análisis distribucional Modelos propuestos Estimación de los componentes no observables Diagnóstico MEE-ARIMA(1,1,0)9 Conclusiones10 Bibliografía11 Anexos Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 1 / 52
  5. 5. Introducción Reseña históricaReseña histórica Operaciones militares. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 2 / 52
  6. 6. Introducción Reseña históricaReseña histórica Operaciones militares. Predicción de las características del oleaje. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 2 / 52
  7. 7. Introducción Reseña históricaReseña histórica Operaciones militares. Predicción de las características del oleaje. Oceanógrafos Sverdrup y Munk (1947). Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 2 / 52
  8. 8. Introducción Reseña históricaReseña histórica Operaciones militares. Predicción de las características del oleaje. Oceanógrafos Sverdrup y Munk (1947). Relaciones teóricas y empíricas de oleaje generado por el viento. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 2 / 52
  9. 9. Introducción Reseña históricaReseña histórica Operaciones militares. Predicción de las características del oleaje. Oceanógrafos Sverdrup y Munk (1947). Relaciones teóricas y empíricas de oleaje generado por el viento. Desarrollo de métodos de predicción de alturas signi…cantes de oleaje. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 2 / 52
  10. 10. Introducción Reseña históricaReseña histórica Operaciones militares. Predicción de las características del oleaje. Oceanógrafos Sverdrup y Munk (1947). Relaciones teóricas y empíricas de oleaje generado por el viento. Desarrollo de métodos de predicción de alturas signi…cantes de oleaje. Miles y Phillips (1957) desarrollaron la teoría espectral para oleaje generado por el viento. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 2 / 52
  11. 11. Introducción Reseña históricaReseña histórica Operaciones militares. Predicción de las características del oleaje. Oceanógrafos Sverdrup y Munk (1947). Relaciones teóricas y empíricas de oleaje generado por el viento. Desarrollo de métodos de predicción de alturas signi…cantes de oleaje. Miles y Phillips (1957) desarrollaron la teoría espectral para oleaje generado por el viento. Phillips (1958) plantea el primer modelo teórico de onda espectral. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 2 / 52
  12. 12. Introducción Reseña históricaReseña histórica Operaciones militares. Predicción de las características del oleaje. Oceanógrafos Sverdrup y Munk (1947). Relaciones teóricas y empíricas de oleaje generado por el viento. Desarrollo de métodos de predicción de alturas signi…cantes de oleaje. Miles y Phillips (1957) desarrollaron la teoría espectral para oleaje generado por el viento. Phillips (1958) plantea el primer modelo teórico de onda espectral. Pierson y Moskowitz (1964) fórmula una expresión general para la densidad espectral. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 2 / 52
  13. 13. Introducción Reseña históricaReseña histórica Operaciones militares. Predicción de las características del oleaje. Oceanógrafos Sverdrup y Munk (1947). Relaciones teóricas y empíricas de oleaje generado por el viento. Desarrollo de métodos de predicción de alturas signi…cantes de oleaje. Miles y Phillips (1957) desarrollaron la teoría espectral para oleaje generado por el viento. Phillips (1958) plantea el primer modelo teórico de onda espectral. Pierson y Moskowitz (1964) fórmula una expresión general para la densidad espectral. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 2 / 52
  14. 14. Introducción MotivaciónMotivación 1 La importancia del estudio se vincula a la necesidad de tener un sistema preventivo o de alerta de riesgo de marejada o alturas atípicas signi…cantes, basado en información actualizada entregada por el sistema de medición de radares HF marinos. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 3 / 52
  15. 15. Introducción MotivaciónMotivación 1 La importancia del estudio se vincula a la necesidad de tener un sistema preventivo o de alerta de riesgo de marejada o alturas atípicas signi…cantes, basado en información actualizada entregada por el sistema de medición de radares HF marinos. 2 Se pretende explicar el comportamiento del oleaje oceánico, desde la información aportada por el análisis estocástico y preventivo de ciertas características del oleaje en corrientes super…ciales generado por el viento. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 3 / 52
  16. 16. Introducción Entorno de medición y cobertura radialEntorno de medición y cobertura radial Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 4 / 52
  17. 17. Introducción Entorno de medición y cobertura radialRadares HF marino Antenas Transmisoras Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 5 / 52
  18. 18. Introducción Radares HF marinosRadares HF marino Antenas Receptoras Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 6 / 52
  19. 19. Introducción Espectros, coordenas y alturasEspectros, coordenadas y alturas. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 7 / 52
  20. 20. Introducción Marco teórico y planteamiento del problemaMarco teórico y planteamiento del problema El problema consiste en extraer la mayor información de los datos espectrales y de alturas del oleaje, en tiempo y espacio. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 8 / 52
  21. 21. Introducción Marco teórico y planteamiento del problemaMarco teórico y planteamiento del problema El problema consiste en extraer la mayor información de los datos espectrales y de alturas del oleaje, en tiempo y espacio. Las primeras mediciones en la Terraza del Itata el año 2006, otorgaron mucha información del oleaje, tales como el espectro, asociado a la energía transferida del viento al mar, la altura de la ola y la velocidad del viento local. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 8 / 52
  22. 22. Introducción Marco teórico y planteamiento del problemaMarco teórico y planteamiento del problema El problema consiste en extraer la mayor información de los datos espectrales y de alturas del oleaje, en tiempo y espacio. Las primeras mediciones en la Terraza del Itata el año 2006, otorgaron mucha información del oleaje, tales como el espectro, asociado a la energía transferida del viento al mar, la altura de la ola y la velocidad del viento local. La teoría espectral y la física oceanográ…ca entrega las herramientas para el análisis de estas variables, sin embargo, en Chile es la primera vez que se elabora una metodología de análsis estadístico para la variable espectro y altura del oleaje. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 8 / 52
  23. 23. Introducción Marco teórico y planteamiento del problemaMarco teórico y planteamiento del problema El problema consiste en extraer la mayor información de los datos espectrales y de alturas del oleaje, en tiempo y espacio. Las primeras mediciones en la Terraza del Itata el año 2006, otorgaron mucha información del oleaje, tales como el espectro, asociado a la energía transferida del viento al mar, la altura de la ola y la velocidad del viento local. La teoría espectral y la física oceanográ…ca entrega las herramientas para el análisis de estas variables, sin embargo, en Chile es la primera vez que se elabora una metodología de análsis estadístico para la variable espectro y altura del oleaje. Lo anterior permitirá obtener relaciones funcionales entre las dos variables, además los análisis surgen desde distintos enfoques estadísticos, según la variable de estudio, es decir, estocástico, geoestadístico y serie de tiempo. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 8 / 52
  24. 24. Introducción Marco teórico y planteamiento del problemaMarco teórico y planteamiento del problema El problema consiste en extraer la mayor información de los datos espectrales y de alturas del oleaje, en tiempo y espacio. Las primeras mediciones en la Terraza del Itata el año 2006, otorgaron mucha información del oleaje, tales como el espectro, asociado a la energía transferida del viento al mar, la altura de la ola y la velocidad del viento local. La teoría espectral y la física oceanográ…ca entrega las herramientas para el análisis de estas variables, sin embargo, en Chile es la primera vez que se elabora una metodología de análsis estadístico para la variable espectro y altura del oleaje. Lo anterior permitirá obtener relaciones funcionales entre las dos variables, además los análisis surgen desde distintos enfoques estadísticos, según la variable de estudio, es decir, estocástico, geoestadístico y serie de tiempo. Cuanti…car el riesgo que se desarrolle una marejada en las costas de Chile. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 8 / 52
  25. 25. Introducción Marco teórico y planteamiento del problemaMarco teórico y planteamiento del problema El problema consiste en extraer la mayor información de los datos espectrales y de alturas del oleaje, en tiempo y espacio. Las primeras mediciones en la Terraza del Itata el año 2006, otorgaron mucha información del oleaje, tales como el espectro, asociado a la energía transferida del viento al mar, la altura de la ola y la velocidad del viento local. La teoría espectral y la física oceanográ…ca entrega las herramientas para el análisis de estas variables, sin embargo, en Chile es la primera vez que se elabora una metodología de análsis estadístico para la variable espectro y altura del oleaje. Lo anterior permitirá obtener relaciones funcionales entre las dos variables, además los análisis surgen desde distintos enfoques estadísticos, según la variable de estudio, es decir, estocástico, geoestadístico y serie de tiempo. Cuanti…car el riesgo que se desarrolle una marejada en las costas de Chile. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 8 / 52
  26. 26. Descripción de un mar aleatorio Concepto estocástico aplicado al oleaje oceánicoConcepto estocástico aplicado al oleaje oceánicoOndas oceánicas como un proceso aleatorio gausianoEl per…l del oleaje oceánico generado por el viento cambia aleatoriamenteen el tiempo y espacio. Las ondas son oscilaciones armónicas, poseenperíodo, frecuencia, frecuencia angular, longitud de onda, velocidad defase, altura de onda y amplitud. Las olas son deformaciones de lasuper…cie del océano, relacionadas con la forma de la propagación de laonda.Basándose en teoría asintótica, se puede demostrar que una composiciónde ondas oceánicas en aguas profundas es un proceso gausiano. Estructura mar aleatorio, según Pierson (1958). Bernardo Bello R () Figura: http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 9 / 52
  27. 27. Densidad espectral Función de densidad espectralDensidad espectralFunción de densidad espectral de una señal q S (w ) := S (w ; A, B, p, q ) = Aw p e Bw para w 2 (0, ∞) , (1)donde A, B, p y q son parámetros positivos (Pierson y Moskowitz, 1964). 1Esta energía está descrita por la ecuación 2 ρgaj2 , donde aj , ρ y g . Por lotanto, 1 S (w , θ )∆w ∆θ = aj2 . (2) 2La energía total de oleaje en varias direcciones incluyendo todas lasfrecuencias, está descrito por: Z π Z ∞ 1 ∑ ∑ 2 aj2 0 S (w , θ )dwd θ con j = 1, 2, ... (3) ∆w ∆θ πTodo lo anterior describe estocásticamente las ondas de un mar aleatorio. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 10 / 52
  28. 28. Densidad espectral Espectro de energía del oleajeDensidad espectralEspectro de energía del oleajeLa energía total del oleaje está dada por Z ∞ A ETotal = S (w )dw = = m0 . (4) 0 qBLa energia total, m0 , fue conseguida aproximando el área bajo la curva generadapor el espectro S (w ). Para un tiempo t y una localidad u , se tiene la saproximación m0 := m0 (t, u ). Espectros según la velocidad del viento Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 11 / 52
  29. 29. Densidad espectral Estimación de parámetros espectralesDensidad espectralEstimación de parámetros espectralesLa estimación de los parámetros del modelo espectral se consiguereparametrizando C q = B , así se tiene Z ∞ s A q w q 1 w q A m0 = e ( C ) dw = (5) qC q 0 C C qBy Z ∞ s qB m0 = f (w ; C , q )dw = 1. (6) A 0La frecuencia modal se relaciona con g [m/s 2 ] y la velocidad del viento, U[m/s ] (Pierson y Moskowitz, 1964), esto es s qB g wmodal = q y wmodal = 0,47 . (7) p U Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 12 / 52
  30. 30. Alturas signi…cantes Relación alturas y espectro del oleajeAlturas signi…cantesRelación altura signi…cante y espectro del oleajeSe propone la relación entre espectro y altura de oleaje, modi…cando losresultados obtenidos en mediciones del Mar Atlántico Norte por Pierson yMoskowitz (1964), dada por rZ w u H=c S (w )dw , donde c 0, (8) wldonde c es un coe…ciente de proporcionalidad, wl y wu es la primera y laúltima frecuencia de medición emitida por la señal del radar.La altura signi…cante del oleaje local es el promedio del tercio de lasalturas mayores observadas (Sverdrup y Munk, 1947), esto es N /3 N /3 rZ wu 3 3 ∑ ∑ 0 0 Hs ( t ) = H (t, ui ) = c S0 (w ; t, ui )dw . (9) N i =1 N i =1 wl Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 13 / 52
  31. 31. Modelo probabilístico de la altura del oleaje Fundamento del proceso estocástico de ondas aleatoriasModelo probabilístico de la altura del oleajeFundamento del proceso estocástico de ondasSea X (t ) el proceso estocástico, asociado a las ondas del mar, como unasucesión de variables aleatorias que evolucionan en el tiempo. Cada una de lasvariables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución deprobabilidad y pueden estar correlacionadas o no. Las ondas aleatorias en elmar, X (t ), son una combinación lineal de oscilaciones armónicas que secomportan en aguas profundas como un proceso gausiano, ergódico ydébilmente estacionario (Rudnick, 1951). Relación altura y amplitud de la onda Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 14 / 52
  32. 32. Modelo probabilístico de la altura del oleaje Distribución de probabilidad de la amplitud y alturaDistribución de probabilidad de la amplitud y alturaDerivación de la distribución de la amplitudSi X (t ) describe un proceso gausiano con media cero y varianza σ2 confrecuencia constante, entonces X (t ) = A(t ) cos fw0 t + ε(t )g , (10)donde A(t ) es la amplitud, ε(t ) es la fase y w0 es la frecuencia constante. Así ladescomposición de X (t ), puede ser escrita en términos de funciones continuas,Xc (t ) y Xs (t ), independientes, normales con media cero y varianza σ2 , donde Xc (t )= A(t ) cos (ε(t )) (11) Xs (t )= A(t ) sin (ε(t )) .La función de densidad de la amplitud es Rayleigh de parámetro R = 2σ2 , esdecir 2 a a f (a; σ) = e 2σ2 , a 2 [0, ∞) y σ > 0. (12) σ2 Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 15 / 52
  33. 33. Modelo probabilístico de la altura del oleaje Distribución de probabilidad de la amplitud y alturaDistribución de probabilidad de la amplitud y alturaDerivación de la distribución de la alturaPara relacionar la amplitud y altura de la ola, utilizamos H = 2A, entonces ladistribución de probabilidad de la altura, será h h2 f (h; R ) = e 4R , h 2 (0, ∞) , R > 0. (13) 2REl estimador máximo verosimil de R es ^ 1 n 2 n i∑ R= h (u i , t ). (14) =1La distribución Rayleigh es un caso especial de una distribución Weibull conparámetro de forma igual 2 (Rinne, 2009). Por otra parte, si Hi Rayleigh (R ),entonces Y = ∑N 1 Hi2 se distribuye Gamma con parámetro N y R = 2σ2 , i=(Sijbers, 1999). Esto permite dar una alternativa más ‡exible para el ajuste de ladistribución de las alturas. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 16 / 52
  34. 34. Análisis geoestadístico de las alturasAnálisis geoestadístico de las alturasCon el objetivo de conocer con mayor precisión la ocurrencia de marejadas, se haconsiderado un análisis de las alturas, en tiempo y espacio. Análisis descriptivo 3d γ (d ) = C 0 +C 1 1 exp con d > 0, (15) adonde C1 representa la meseta, C0 el efecto pepita, a el rango y d la distanciaentre las observaciones a una dirección especí…ca. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 17 / 52
  35. 35. Análisis geoestadístico de las alturasAnálisis geoestadístico de las alturasCon el objetivo de conocer con mayor precisión la ocurrencia de marejadas, se haconsiderado un análisis de las alturas, en tiempo y espacio. Análisis descriptivo Análisis estructural 3d γ (d ) = C 0 +C 1 1 exp con d > 0, (15) adonde C1 representa la meseta, C0 el efecto pepita, a el rango y d la distanciaentre las observaciones a una dirección especí…ca. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 17 / 52
  36. 36. Análisis geoestadístico de las alturasAnálisis geoestadístico de las alturasCon el objetivo de conocer con mayor precisión la ocurrencia de marejadas, se haconsiderado un análisis de las alturas, en tiempo y espacio. Análisis descriptivo Análisis estructural Variograma o semivariograma 3d γ (d ) = C 0 +C 1 1 exp con d > 0, (15) adonde C1 representa la meseta, C0 el efecto pepita, a el rango y d la distanciaentre las observaciones a una dirección especí…ca. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 17 / 52
  37. 37. Análisis geoestadístico de las alturasAnálisis geoestadístico de las alturasCon el objetivo de conocer con mayor precisión la ocurrencia de marejadas, se haconsiderado un análisis de las alturas, en tiempo y espacio. Análisis descriptivo Análisis estructural Variograma o semivariograma Modelo de semivariograma exponencial 3d γ (d ) = C 0 +C 1 1 exp con d > 0, (15) adonde C1 representa la meseta, C0 el efecto pepita, a el rango y d la distanciaentre las observaciones a una dirección especí…ca. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 17 / 52
  38. 38. Análisis geoestadístico de las alturasAnálisis geoestadístico de las alturas Análisis predictivo (Kriging indicador ordinario)Para caracterizar la distribución espacial de las aturas H mayores que hk , seconsideran las observaciones de la variable indicadora I (uα ; hk ), de…nida como 1 si H (u α ) hk I (uα ; hk ) = (16) 0 en otro caso.El kriging indicador ordinario (K.I.O) permite dar cuenta de las ‡uctuacioneslocales del indicador promedio, obteniendo grá…cos de probabilidad de ocurrenciadel evento de…nido por I (uα ; hk ) = 1. El estimador lineal de I (u; hk ) esta dadopor: ^ n (u ) E [I (u; hk )] = ∑ λα (u; hk )I (u α ; hk ), (17) α =1Se cuanti…ca el riesgo en términos de probabilidad, para cada tiempo y localidad(t, u ), es decir Riesgo= P (H (u, t ) > hk ) = E [I (u; hk )]. (18) Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 18 / 52
  39. 39. Análisis serie de tiempo de alturas signi…cantes Modelos ARIMAAnálisis serie de tiempo de alturas signi…cantesModelos ARIMALlamaremos yt a las alturas signi…cantes. Se busca con los modelos de series detiempo, explicar la dinámica y dependencia de los datos en el tiempo, ademásde analizar los periodos de alturas signi…cantes con incrementos signi…catvos einterpretar físicamente los eventos particulares.Un modelo ARIMA es de la forma, ! ! p q 1 ∑ φi Li (1 L) yt = 1 + ∑ θ i Li d εt , t = 1, ..., T , (19) i =1 i =1donde L, es el operador de retardo, los términos p y q son llamados el ordenautorregresivo y de medias móviles, respectivamente, y d es el orden deintegración que tiene el proceso. Suponemos que εt es ruido blanco gausiano,con media cero y varianza σ2 y que el proceso es causal e invertible, φ0 s y θ 0 s εrepresentan los parámetros del modelo, que están relacionados con los ordenesautorregresivos y de medias móviles, respectivamente. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 19 / 52
  40. 40. Análisis serie de tiempo de alturas signi…cantes Modelo de espacios de estadosAnálisis serie de tiempo de alturas signi…cantesModelo de espacios de estadosEl modelo (19), puede ser representado como modelos de espacios de estadossegún un sistema de ecuaciones lineales dinámicas en el tiempo, como una formaalternativa para la estimación de los parámetros y componentes del estado(Harvey, 1989), escrito como yt = Zt αt + εt (20) N 1 Nxm mx 1 N 1 αt = At αt 1 + Rt ηt , m 1 m m m 1 m r r 1con t = 1, ..., T , donde yt describe el vector de observaciones, αt es noobservable y es denominado vector de estados. Se consideran εt y η t comoperturbaciónes aleatorias no correlacionadas, Zt y Rt son matricesdeterministicas, A, matriz de transición de estado que contiene los parámetrosφ0 s y θ 0 s y N es la cantidad de series de tiempo, en nuestro caso es una serieunivariada, N igual a uno. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 20 / 52
  41. 41. Análisis serie de tiempo de alturas signi…cantes Modelo de espacios de estadosAnálisis serie de tiempo de alturas signi…cantesFiltro de KalmanUsaremos el …ltro de Kalman para producir estimaciones óptima del estado αt .Considerando el modelo de espacio de estados dado en (20), sea at 1 elestimador óptimo de αt 1 basada en la información hasta t 1, en el sentido deminimizar el error cuadrático medio, dado por 0 Pt 1 = E [(αt 1 at 1 )( αt 1 at 1) ], (21)donde at 1 = E (αt 1 jt 1 ). Además, usando at 1 y Pt 1 , el estimadoróptimo de αt condicionado a la información hasta t 1, se encuentraminimizando el error cuadrático medio = E [(αt at jt 1 )(αt at jt 1 )0 ], Pt jt 1 (22)donde at jt 1 = E (αt jt 1 ), sobre el supuesto de que εt , η t y α0 sonnormales, tenemos at j t 1 = At at 1, (23)y matriz de varianzas-covarianzas del error de estimación αt at j t 1 dada por Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 21 / 52
  42. 42. Análisis serie de tiempo de alturas signi…cantes Modelo de espacios de estadosAnálisis serie de tiempo de alturas signi…cantesFiltro de Kalman 0 0 Pt jt 1 = At Pt 1 At + Rt Qt Rt , t = 1, ..., T , (24)donde Qt es la varianza de η t . Resumiendo, αt jt 1 N at jt 1 , Pt jt 1 yfη t g RBN (0, Q ). Las ecuaciones (23) y (24) son llamadas ecuaciones depredicción.Cuando una nueva observación, yt , está disponible, el estimador de αt , at jt 1 ,puede ser actualizado. Las ecuaciones de actualización están dadas por la mediade αt , esto es at = at j t 1 + Kt vt , (25) 0 1donde Kt = Pt jt 1 Zt Ft y vt = yt Zt at jt 1, el vector de error depredicción y con varianza Pt = Pt jt 1 Kt Zt Pt jt 1. (26) Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 22 / 52
  43. 43. Análisis serie de tiempo de alturas signi…cantes Modelo de espacios de estadosAnálisis serie de tiempo de alturas signi…cantesEstimación de los componentes no observablesEL sistema contiene dos ecuaciones lineales con estructuras que varían enel tiempo. Clasi…caremos la variable yt , como las alturas signi…cantes, Hs ,que no sabemos su comportamiento, ciclos y tendencia, pero sabemosque existen factores, i.e, viento local, que inciden en ese comportamiento.Sólo ajustamos un modelo ARIMA expresado en modelo de espacio deestados, sin considerar los factores mencionados anteriormente. Las únicascomponentes no observables, quedan explícitamente escritas en elmodelo. Esto permite hacer una estimación del nivel de la serie ypredicción. El …ltro, permite obtener un estimador óptimo del vectorde estado, que corresponde a E (αt jYt ) =at , siempre que lasperturbaciones sean normales. Segundo, se inicia el …ltro con valoresiniciales para el estado. Y …nalmente la predicción está basada enE (αT +k jYT ) =aT +k jT . Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 23 / 52
  44. 44. Análisis serie de tiempo de alturas signi…cantes Modelos propuestosModelo de espacios de estadosModelos propuestosSe proponen los modelos ARI(1), IMA(1) y ARIMA(1,1,1), como ejemploeste último escrito en espacio de estado sería yt = Z αt + εt (27) 1 1 1x 3 3x 1 1 1 αt = At αt 1 + R η , (28) 3 1 3 3 3 1 3 1 1 t1 01T 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 yt 1 0 Z = @ 1 A ; A = @ 0 φ θ A ; αt = @ ∆yt A ; R = @ 1 A , 0 0 0 0 εt 1considerando que se trabajará yt como un caso univariado, con N igual a1, H y Q son matrices de dimensión 1 1, cuyos únicos elemento son lasvarianza σ2 y σ2 respectivamente. ε η Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 24 / 52
  45. 45. Estimación de los parámetros por máxima verosimilitud Análisis serie de tiempo de alturas signi…cantes condicionalModelo de espacios de estadosEstimación de los parámetros por máxima verosimilitud condicionalSea el vector de parámetros ψ = (φ, θ, σ2 , σ2 ), que se estima por máxima ε ηverosimilitud. La verosimilitud de ψ dado Y = fy1 , ..., yT g está dada por lafunción de densidad conjunta de Y , esto es T f (Y ; ψ ) = ∏ f (yt jYt 1; ψ ) , (29) t =1donde f (yt jYt 1 ; ψ ) denota la distribución de yt condicional a la informaciónhasta t 1, esto es Yt 1 = fyt 1 , yt 2 , ..., y1 g. Los componentes del vectorde error de predicción, vt N (0, Ft ), son independiente. Así podemos escribirla log-verosimilitud como T 1 T 2 t∑ 0 ln L (ψ jYT ) = ln (2π ) ln jFt j + vt Ft 1 vt . (30) 2 =1 Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 25 / 52
  46. 46. Análisis serie de tiempo de alturas signi…cantes Diagnóstico del modeloModelo de espacios de estadosDiagnóstico del modeloLas pruebas que se realizan para ver si un modelo es adecuado se basan en lasinnovaciones estandarizadas estimadas vt et = p , t = 1, ..., T , (31) Ftcalculadas a partir del error de predicción vt . Si el modelo está bien especi…cadoestos deben ser no correlacionados. Para comparar los tres modelos propuestoscon un número distinto de parámetros, utilizamos el criterio de información deAkaike (AIC). El AIC se de…ne como ^ AIC = log var (vt ) +2m/T . (32) Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 26 / 52
  47. 47. Resultados Densidad espectralResultadosDensidad espectralLas estimaciones de los parámetros espectrales fueron C = 0,501,B = C q = 0,063, q = 4, p = 5 y A = 0,687. Así tenemos de…nidoexplícitamente la f.d.e, en función de los resultados descritos anteriormente, como 5 0,063w 4 S (w ) = 0,687w e , w 2 [0,3142; 1,5708]. (33) 2Una medida del error es el E .C .M = ∑21 1 (S0 (wi ) S (wi )) /21 = 0,0627. i=Este modelo caracteriza aquellos espectros generados por vientos fuertes. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 27 / 52
  48. 48. Resultados Estimación alturas signi…cantesEstimación alturasUsando los valores estimados de los parámetros espectrales, el valor máximo de q 4 4 0,063energía se encuentra en la frecuencia modal wmodal = 5 = 0,474 ywmodal = 0,47 9,81 Uentonces U = 9,73[m/s ].Al realizar un modelo de regresión simple normal heterocedástico, se tiene Coe…cientes Estimación Error.Estandar T-valor Valor-p Intercepto 0.002026 0.001581 1.282 0.2 c 1.601730 0.001249 1290.657 <2e-16 *** bCon las alturas estimadas, H, logramos una relación directa entre H (t, u ) yS (w ; t, u ), cuyo coe…ciente de correlación, sigini…cativo, es b = 0,9984. La ρmisma conclusión se tiene para los otros días. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 28 / 52
  49. 49. Resultados Estimación alturas signi…cantesEstimación alturas Figura: Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 29 / 52
  50. 50. Resultados Estimación alturas signi…cantesEstimación alturas signi…cantesLa altura signi…cativa del oleaje, introducida por Sverdrop y Munk (1947), enfunción del espectro, con el valor de c igual a 1,6, es N /3 N /3 rZ wu ^ 3 0 3 ∑ H (t, ui ) = N ∑ 1,6 0 H s (t ) = S0 (w ; t, ui )dw . (34) N i =1 i =1 wlEsto permite establecer la relación y correlación estadística entre las alturassigni…cantes y la energía. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 30 / 52
  51. 51. Resultados Modelo probabilísticoModelo probabilísticoPara poder contrastar la hipótesis de que las alturas siguen unadistribución de Rayleigh, versus una distribución Gamma, se presenta eltest de bondad de ajuste de Kolmogorov para cada instante de medición. Θ = f(α, β) 2 [3,66; 30,99] [3,0; 17,44]g. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 31 / 52
  52. 52. Resultados Análisis geoestadísticoIdenti…cación de zonas con riesgo de marejada Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 32 / 52
  53. 53. Resultados Análisis geoestadísticoIdenti…cación de localidades con alturas extremas Figura: Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 33 / 52
  54. 54. Resultados Análisis geoestadísticoEstimación localidades no observables Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 34 / 52
  55. 55. Resultados Análisis geoestadísticoModelo de semivariograma exponencial Figura: 3d γ (d ) = 0,08 + 0,243 1 exp ,d >0 (35) 0,13 Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 35 / 52
  56. 56. Resultados Análisis geoestadísticoKriging Indicador Ordinario Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 36 / 52
  57. 57. Resultados Análisis geoestadísticoBoxplot temporal Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 37 / 52
  58. 58. Resultados Predicciones de alturas signi…cantesPredicciones de alturas signi…cantesDescripción de la serie de tiempo de las alturas signi…cantesNo estamos interesados en modelar eventos particulares de olas extremas,pero sí un posible aumento signi…cativo promedio de las alturassigni…cantes del oleaje, Hs . Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 38 / 52
  59. 59. Resultados Predicciones de alturas signi…cantesAnálisis de estacionariedadEl test de Dickey-Fuller muestra un valor-p de 0,3884. Diferenciando cond = 1 a yt , el test de Dickey-Fuller, muestra un valor-p de 0,01,rechazando la hipótesis nula de raíz unitaria. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 39 / 52
  60. 60. Resultados Predicciones de alturas signi…cantesAnálisis distribucionalMedidas descriptivas de la serie diferenciada, ∆Hs . Min M ax ´ Q1 Q3 Med X Var Asim Curt 0,726 0,904 0,119 0,123 0,011 0,001 0,039 0,218 1,704El test de normalidad asintótico de Jarque - Bera muestra un valor-p de< 0,0001 rechazando la hipótesis H0 : ∆Hs Normal (µ, σ2 ). Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 40 / 52
  61. 61. Resultados Predicciones de alturas signi…cantesModelos propuestos Box-Jenkins- ARIMA(p,d,q) Modelos MLE sd AIC BJ ARIMA(1, 1, 1) φ 0,245 0,183 1850,2 θ 0,024 0,189 SCR 21,14766 BJ ARIMA(1, 1, 0) φ 0,222 0,041 1852,1 SCR 21,14864 BJ ARIMA(0, 1, 1) θ 0,203 0,041 1849,7 SCR 21,23934 Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 41 / 52
  62. 62. Resultados Predicciones de alturas signi…cantesModelos propuestos Espacios de EstadosEl coe…ciente asociado al modelo MEE ARIMA(1, 1, 0) es signi…cativo ya que ^ ^ φ/sd (φ) = 5,57, lo que permite validar el modelo. MEE ARIMA(1, 1, 1) φ 0,251 0,105 3,264 CI = [y t 1 ; ∆y t ; εt ] θ 0,029 0,104 σ2 η 0,037 0,004 SCR 21,14722 MEE ARIMA(1, 1, 0) φ 0,223 0,041 3,271 CI = [y t 1 ; ∆y t ] σ2 η 0,037 0,029 SCR 21,1482 MEE ARIMA(0, 1, 1) θ 0,203 0,028 3,267 CI = [y t ; εt ] σ2 η 0,038 0,004 SCR 21,23919 Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 42 / 52
  63. 63. Resultados Predicciones de alturas signi…cantesEstimación de los componentes no observablesEl modelo ARIMA(1,1,0) es el elegido según el AIC. Por otra parte esbueno visualizar la media del estado, E (αt jYt ) = at , por el hecho demarcar una tendencia del nivel de la serie de Hs en el tiempo. Figura: Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 43 / 52
  64. 64. Resultados Predicciones de alturas signi…cantesEstimación de los componentes no observablesSe concluye en base a las predicciones de alturas signi…cantes, que para las 72horas siguientes, el oleaje local en las costas de la Terraza del Itata, ‡uctuaránentre 1,51 [m] y 4,21 [m] como margen de error máximo, con un promedio de2,85 [m ]. 567 568 569 570 571 572 573 al 638 2,858948 2,858038 2,858241 2,858196 2,858206 2,858203 2,858204Según los resultados desde el Kriging indicador, estos valores predictivos de Hs ,son más probables que ocurran entre las longitudes (-73.20;-73.00) y latitudes(-36.45;-36.15). Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 44 / 52
  65. 65. Resultados Predicciones de alturas signi…cantesDiagnóstico MEE-ARIMA(1,1,0)A continuación se muestra el error de predicción estimado, vt , observandolos casos más atípicos en t = 39, 41, 97, 382, 458. El test de normalidadde Shapiro con valor-p menor < 0,0001, rechaza la normalidad de vt .Ahora si se eliminan esos caso obtenemos que el valor-p es 0,0674, norechazando la normalidad. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 45 / 52
  66. 66. Resultados Predicciones de alturas signi…cantesDiagnóstico MEE-ARIMA(1,1,0) Figura: Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 46 / 52
  67. 67. ConclusionesConclusiones Se realizó un intenso control de calidad de la información, se identi…caron localidades con más de una observación, concluyendo que la calibración de los radares no es perfecta, entregando datos poco con…ables en los costados. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 47 / 52
  68. 68. ConclusionesConclusiones Se realizó un intenso control de calidad de la información, se identi…caron localidades con más de una observación, concluyendo que la calibración de los radares no es perfecta, entregando datos poco con…ables en los costados. Se encontró una metodología estadístíca para la estimación de los parámetros del modelo espectral, S (w ), permitiendo extraer información referente a los vientos. Se aproximó la integral de S (w ) para de…nir la energía transferida del viento al mar en cada punto del espacio, que permitió realizar la estimación de las alturas de las olas en cada localidad, para cada tiempo. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 47 / 52
  69. 69. ConclusionesConclusiones Se realizó un intenso control de calidad de la información, se identi…caron localidades con más de una observación, concluyendo que la calibración de los radares no es perfecta, entregando datos poco con…ables en los costados. Se encontró una metodología estadístíca para la estimación de los parámetros del modelo espectral, S (w ), permitiendo extraer información referente a los vientos. Se aproximó la integral de S (w ) para de…nir la energía transferida del viento al mar en cada punto del espacio, que permitió realizar la estimación de las alturas de las olas en cada localidad, para cada tiempo. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 47 / 52
  70. 70. ConclusionesConclusiones Se planteó una relación funcional entre la altura de la ola, H (x ), y el espectro S (w ; x ) en cada punto del espacio, que permite argumentar teóricamente el algoritmo que tienen los radares, para la conversión estre espectros y alturas. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 48 / 52
  71. 71. ConclusionesConclusiones Se planteó una relación funcional entre la altura de la ola, H (x ), y el espectro S (w ; x ) en cada punto del espacio, que permite argumentar teóricamente el algoritmo que tienen los radares, para la conversión estre espectros y alturas. Al comparar las alturas medidas por el radar y las estimadas por medio de la relación encontrada, se encontró una buena aproximación con un margen máximo de error de 20 [cm]. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 48 / 52
  72. 72. ConclusionesConclusiones Se planteó una relación funcional entre la altura de la ola, H (x ), y el espectro S (w ; x ) en cada punto del espacio, que permite argumentar teóricamente el algoritmo que tienen los radares, para la conversión estre espectros y alturas. Al comparar las alturas medidas por el radar y las estimadas por medio de la relación encontrada, se encontró una buena aproximación con un margen máximo de error de 20 [cm]. Al relacionar la altura signi…cante, Hs (t ), con S (w , t, u 0 ), en el tiempo, logramos interpretar la variabilidad del promedio del tercio de las alturas mayores observadas en función de la energía transferida del viento al mar y directamente asociarla a velocidades del viento local. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 48 / 52
  73. 73. ConclusionesConclusiones Se planteó una relación funcional entre la altura de la ola, H (x ), y el espectro S (w ; x ) en cada punto del espacio, que permite argumentar teóricamente el algoritmo que tienen los radares, para la conversión estre espectros y alturas. Al comparar las alturas medidas por el radar y las estimadas por medio de la relación encontrada, se encontró una buena aproximación con un margen máximo de error de 20 [cm]. Al relacionar la altura signi…cante, Hs (t ), con S (w , t, u 0 ), en el tiempo, logramos interpretar la variabilidad del promedio del tercio de las alturas mayores observadas en función de la energía transferida del viento al mar y directamente asociarla a velocidades del viento local. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 48 / 52
  74. 74. ConclusionesConclusiones El modelo de probabilidad Rayleigh no entregó un buen ajuste, siendo poco ‡exible cuando predomina eventos extremos, por lo cual no se pueden realizar predicciones probabilísticas a largo plazo. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 49 / 52
  75. 75. ConclusionesConclusiones El modelo de probabilidad Rayleigh no entregó un buen ajuste, siendo poco ‡exible cuando predomina eventos extremos, por lo cual no se pueden realizar predicciones probabilísticas a largo plazo. Se crea un sistema de alerta temprana, utilizando despliegues grá…cos geoestadísticos con algoritmos computacionales e…cientes, esto permite tener una primera impresión del oleaje en el mismo instante que se mide. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 49 / 52
  76. 76. ConclusionesConclusiones El modelo de probabilidad Rayleigh no entregó un buen ajuste, siendo poco ‡exible cuando predomina eventos extremos, por lo cual no se pueden realizar predicciones probabilísticas a largo plazo. Se crea un sistema de alerta temprana, utilizando despliegues grá…cos geoestadísticos con algoritmos computacionales e…cientes, esto permite tener una primera impresión del oleaje en el mismo instante que se mide. Se identi…có un modelo ARIMA para las alturas signi…cantes en tiempo, escrito como modelo de espacio de estado. Utilizando técnicas de …ltrado lineal, logramos predecir el nivel de la serie Hs del oleaje local, y estimar las componentes del vector de estado. Se predice el nivel de la serie desde la estimación de la componente no observada en corto plazo, se logra preveer la tendencia de las alturas signi…cativas. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 49 / 52
  77. 77. ConclusionesConclusiones El modelo de probabilidad Rayleigh no entregó un buen ajuste, siendo poco ‡exible cuando predomina eventos extremos, por lo cual no se pueden realizar predicciones probabilísticas a largo plazo. Se crea un sistema de alerta temprana, utilizando despliegues grá…cos geoestadísticos con algoritmos computacionales e…cientes, esto permite tener una primera impresión del oleaje en el mismo instante que se mide. Se identi…có un modelo ARIMA para las alturas signi…cantes en tiempo, escrito como modelo de espacio de estado. Utilizando técnicas de …ltrado lineal, logramos predecir el nivel de la serie Hs del oleaje local, y estimar las componentes del vector de estado. Se predice el nivel de la serie desde la estimación de la componente no observada en corto plazo, se logra preveer la tendencia de las alturas signi…cativas. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 49 / 52
  78. 78. ConclusionesConclusiones Se logro capturar la mayor información de los datos de espectros y alturas medidas por los radares HF marino, permitiendo de…nir la relación matemática para la estimación de las alturas a partir de los espectros del oleaje. Además el análisis geoestadístico permitió identi…car las zonas con mayor riesgo de marejada. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 50 / 52
  79. 79. ConclusionesConclusiones Se logro capturar la mayor información de los datos de espectros y alturas medidas por los radares HF marino, permitiendo de…nir la relación matemática para la estimación de las alturas a partir de los espectros del oleaje. Además el análisis geoestadístico permitió identi…car las zonas con mayor riesgo de marejada. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 50 / 52
  80. 80. BibliografíaBibliografía 1 Goovaerts, P, (1997) “Geostatistics for natural resources evaluation”. Oxford University Press. 2 Harvey, A. C. (1989) “Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter”. Cambridge University Press. 3 Longuet-Higgins M. (1952) On the statistical distribution of the heights of sea waves, J.Mar.Res, 11(3), 245-266. 4 Ochi, M.K. (1998) “Ocean Wave, The Stochastic Approach”. University of Florida. 5 Pierson, W.J. y Moskowitz, L. (1964) A proposed spectral form for fully developed wind seas based on the similarity theory of S.A. Kitaigorodskii. J. Geophys. Res., 69, 24, 5181-90. 6 Shumway R.H y Sto¤er D.S. (2006) "Time Series Analysis and Its Applications With R". Ed. Springer, New York. Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 51 / 52
  81. 81. AnexosAnexos Agradecimientos a Dr. Maria Paz Casanova Dr. Dante Figueroa Dr. Bernardo Lagos Dr. Alejandro Rodríguez Dr. Mauricio Castro Adm. Omar Sandoval Por su colaboración en el desarrollo teórico, computacional, técnico, revisión y críticas constructivas. Todos los códigos, libros y paper utilizados se encuentran en Bernardo Bello R () http://bernardobello.blogspot.com/ 17 de enero de 2011 52 / 52
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