GEOMETRIA SAGRADA
CENTRO UNIVERSITÁRIO “BARÃO DE MAUÁ” Curso de Arquitetura e Urbanismo T.F.G. - Trabalho Final de Graduação Orientadora: Pr...
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 64079 110447 174526 284973 459498...
Não será necessário criar-se uma nova ciência, não será necessário criar-se uma nova filosofia, pois ela existe a milhares...
INDICE : JUSTIFICATIVA PARA A PESQUISA.......................................................................................
O hexágono...................................................................................................................
Monismo......................................................................................................................
Este arrazoado histórico e mitológico, sobre geometria, justifica-se devido a necessidade  de  embasar esta proposta de pr...
Embasamento Teórico para proposta de projeto arquitetônico: A proposta buscará encontrar pontos de concordância entre dife...
A proposta incorporará o conceito de “Espaços com significados”e,  para tanto, é necessário compreender-se os conceitos de...
“ Geometria Sagrada estuda as supostas ligações entre as proporções e formas contidos no microcosmo e no macrocosmo com o ...
Os princípios da Geometria Sagrada estão presentes no macrocosmo e no microcosmo. Extraido do livro de Robert Lawlor – Geo...
No livro “O poder Dos Limites do arquiteto Georgy Doczi” constata-se que  tanto nas cavernas pré- históricas como nos mega...
As dimensões do Templo, bem como do Tabernáculo, antes dele, foram detalhadas exatamente: "E este foi o plano que lan...
“ Filo, o Judeu, afirma que a Arca de Noé foi construída segundo o padrão do corpo humano. Heinrich Cornelius Agrippa conc...
EXTRAIDO DO LIVRO:  DOCZI,Georgy. O Poder dos Limites. Ed. Mercúrio. São Paulo,SP. 1981 Egito – 3000 a.c. “ A Grande Pirâm...
OZÍRION Nigel Pennick, no livro “Geometria Sagrada” afirma que no Antigo Egito encontram-se templos, onde o autor identifi...
Nigel Pennick, no livro “Geometria Sagrada” afirma que no Antigo Egito encontram-se templos, onde o autor identifica  elem...
OZÍRION Nigel Pennick, no livro “Geometria Sagrada” afirma que no Antigo Egito encontram-se templos, onde o autor identifi...
EXTRAIDO DO LIVRO:  DOCZI,Georgy. O Poder dos Limites. Ed. Mercúrio. São Paulo,SP. 1981 Partenon- Grecia – 500 a.c. “ A be...
EXTRAIDO DO LIVRO:  DOCZI,Georgy. O Poder dos Limites. Ed. Mercúrio. São Paulo,SP. 1981 “ Os vasos gregos requintadamente ...
EXTRAIDO DO LIVRO:  DOCZI, Georgy. O Poder dos Limites. Ed. Mercúrio. São Paulo,SP. 1981 Mexico – 800 d.c. Pagode Yakushig...
Geometria Sagrada no Oriente “ Sangakus são tábuas comemorativas, em madeira, oferecidas pelo povo a pequenos santuários J...
“ Policleto foi um dos mais notáveis escultores gregos, fundador, junto com Fídias, do Classicismo escultórico, e apelidad...
“ Os Pitagoricos buscavam a urificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia;  classificação ...
“ A palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pe...
“  O símbolo utilizado pela escola era o pentagrama, que, como descobriu Pitágoras, possui algumas propriedades interessan...
Texto Extraido do livro de Robert Lawlor – Geometria Sagrada http://www.mundodosfilosofos.com.br/platao.htm “ Para o espír...
“ Na sua prescrição para a fundação de uma nova cidade, Platão afirmou que todos os detalhes exigiam a atenção mais dedica...
Elementos  Platão supõe que a minúscula partícula de cada elemento tinha uma forma geométrica especial: Tetraedro (fogo) O...
“ Palestrantes do diálogo, Sócrates, Timeu de Locri, Hermócrates, Critias. Alguns estudiosos têm argumentado que não é o C...
“ Propriedades do Universo  “ Timeu descreve a substância como uma falta de homogeneidade ou equilíbrio, em que os quatro ...
Portanto, tendo sido composto por Identidade, Diferença e Existência (sua média), e formada em proporções corretas, a alma...
“ Entre as mais prevalentes tradicionais formas geométricas atribuídas a geometria sagrada estão a onda senoidal, a esfera...
GEOMETRIA SAGRADA  -  visão de mundo “ Geometria Sagrada é utilizado no projeto de arquitetura sagrada e arte sacra, bem c...
A família das Espirais  Executado pelo autor com o  programa Gogle Sketchup 7  Imagem  66
O círculo “ Talvez o círculo tenha sido o símbolo mais antigo desenhado pela raça humana. Simples de ser executado, é uma ...
O quadrado “ Os templos antigos eram freqüentemente construídos em forma quadrilátera. Representando o microcosmo e, em co...
“ O hexágono é uma figura geométrica natural produzida pela divisão da circunferência de um círculo por meio dos seus raio...
“ No Timeu, Platão escreveu: "Ora, a figura [triângulo] que tenho dito ser a mais bela de todos os muitos triângulos ...
“ O vesica piscis é aquela figura que se produz quando dois círculos de igual tamanho são desenhados, um a partir do centr...
Extraido do livro de Robert Lawlor – Geometria Sagrada VÉSICA PISCIS Unidade Equilíbrio Estabilidade Homem Espírio materia...
Geometria Euclidiana “ Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.) foi um professror matemático platónico e escritor de o...
“ Marcos Vitrúvio Polião, em latim Marcus Vitruvius Pollio, foi um arquiteto e engenheiro romano que viveu no século I a.C...
Luca Pacioli “ Luca Bartolomeo de Pacioli  .  (Sansepolcro, 1445 — Sansepolcro, 19 de junho de 1517)  Foi um monge francis...
“ Leonardo Pisano Bogollo ou Leonardo de Pisa (c. 1170 — c. 1250), também conhecido como Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci...
“ A proporção áurea ou número de ouro ou número áureo ou ainda proporção dourada é uma constante real algébrica irracional...
“ Proporção áurea em varias manifestações da cultura Humana. Trata-se do retângulo no qual a proporção entre o comprimento...
Violino de Stradivarius  A relação entre o Stradivarius e a geometria também tem sido objeto de estudo. A sua construção o...
As “relações geométricas” em um violino Stradivarius. Disponível em 11 de abril de 2010- 12:28 - http://demonstrations.Str...
NEGANDO A “SECÃO DOURADA” “ Alguns estudiosos negam que os gregos tinham qualquer associação com a estética proporção áure...
“ No período em que as catedrais góticas foram erigidas, havia dois sistemas maçônicos de geometria que eram comumente usa...
TFG - TCC - Autor: Roberto Bergamo - Embasamento Teorico sobre geometria sagrada - Projeto de Arquitetura
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“Geometria Sagrada estuda as supostas ligações entre as proporções e formas contidos no microcosmo e no macrocosmo com o propósito de compreender a Unidade que permeia toda a Vida. Essas relações de forma e proporções, consideradas sagradas na geometria, ocorrem em diversas áreas da expressão humana, como na Arquitetura, Música, Pintura, Esculutra, Poesia, Artesania etc...
“ A Geometria Sagrada com suas taxas, proporções e figuras geométricas foi frequentemente utilizada na concepção de diversas manifestações culturais desde a pré- História humana.
A construção dos Megalitos pré- históricos, as edificações egípcias, mesopotâmicas e indianas antigas, a arquitetura grega e romana, os templos e palácios do oriente, as construções pré-colombianas,as Catedrais medievais, o renascimento, o barroco, o Art- Noveau e até mesmo os arte e arquitetura modernistas também incorpororam conceitos de geometria simbólica e proporções áureas…todos reconheciam na natureza formas e proporções especiais, que traduziam uma harmonia e unidade em si.”

Disonível em 20/03/2010 - http://www.flordavida.com.br/HTML/geometria.html

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  1. 1. GEOMETRIA SAGRADA
  2. 2. CENTRO UNIVERSITÁRIO “BARÃO DE MAUÁ” Curso de Arquitetura e Urbanismo T.F.G. - Trabalho Final de Graduação Orientadora: Profa. Dulce Palladini Centro Comunitário de Vivência e integração Social Para a cidade de Batatais –SP EMBASAMENTO TEÓRICO GEOMETRIA SAGRADA Proposta de Projeto de Arquitetura Discente: ROBERTO BERGAMO DE LIMA Ribeirão Preto 2010
  3. 3. 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 64079 110447 174526 284973 459498 744471 1203969 1948940 Razão Áurea 1,618 A geometria da Vida Imagem 01
  4. 4. Não será necessário criar-se uma nova ciência, não será necessário criar-se uma nova filosofia, pois ela existe a milhares de ano e se chama geometria Sagrada, que modernamente se apresenta com nomes diferentes e roupagens, tais como: Geometria Fractal ou Geometria Quântica. Todas buscando a unidade que permeia a vida, com abordagens diferentes mas origem comum. A pesquisa concluiu ser fundamental conhecer a história e toda a influência que a geometria sagrada desempenhou no processo histórico da arquitetura. As informações para pesquisa estão dispersas, são conflitantes, são contraditórias, mas são fundamentais. Esta proposta de projeto pretendeu fazer um levantamento a nível de graduação que sirva de norteador para o autor e outros alunos que se interessarem pela matéria. Um pequeno manual de instrução que espera um trabalho mais aprofundado. A geometria Sagrada está sustentada pelos “ombros dos gigantes”a que Isacc Newton fez referência...Quem são esses “gigantes? São todos os filósofos, pensadores, artistas, geômetras, mÍsticos e matemáticos que nos antecederam. As referências são inumeráveis, mas é possível afirmar: Geometria Sagrada é uma Ciência. Na busca por definições do partido arquitetônico para a Proposta de Projeto de Arquitetura, a pesquisa encontrou na Geometria Sagrada um caminho sólido. Passou a ser fundamental fazer um levantamento histórico, o mais aprofundado possível, juntando pedaços em um mosaico disperso. Por vezes a pesquisa tornou-se um objetivo em sí mesma, pois não é possível desenvolver um projeto baseado nesta disciplina sem o mínimo de informações básicas. Com o acúmulo de informações oriundas da pesquisa preliminar o volume do trabalho foi ganhando proporções gigantescas e tornava-se difícil descartar dados em nome da brevidade e da concisão, pois o pesquisador entendeu que, o ‘pecado’ da omissão de informação relevante para a pesquisa, seria maior que o da prolixidade. Optou-se por levar para a banca o resultado completo desta pesquisa, não descartando nenhuma informação coletada, colocando-a em anexo. A proposta de projeto de Arquitetura será baseada nos resultados desta pesquisa, tanto as questões formais, funcionais como as de significado. JUSTIFICATIVA PARA A PESQUISA
  5. 5. INDICE : JUSTIFICATIVA PARA A PESQUISA................................................................................................................................. ...Pag.03 ARRAZOADO HISTÓRICO E MITOLÓGICO SOBRE GEOMETRIA...................................................................................Pag.07 - Embasamento Teórico...............................................................................................................................................................Pag. 08 Símbolo- Simbologia e Semiótica.................................................................................................................................................Pag.09 Definição de Geometria Sagrada ................................................................................................................................................Pag. 07 Stonehenge....................................................................................................................................................................................Pag.09 primeiro Templo de Jerusalém.....................................................................................................................................................Pag 10 A arca de noé...............................................................................................................................................................................Pag. 14 A Grande Pirâmide......................................................................................................................................................................Pag. 15 Ozírion.........................................................................................................................................................................................Pag. 16 A beleza da arte grega...................................................................................................................................................... ...........Pag. 19 Antigos Artesãos ..................................................................................................................................................................... . .Pag. 20 Varias Culturas.............................................................................................................................................................................Pag. 21 Geometria Sagrada no Oriente.................................................................................................................................................. ..Pag. 22 O Corpo Humano............................................................................................................................................... .. ............... . ....Pag. 23 Pitágoras .....................................................................................................................................................................................Pag. 24 Pentagrama na mitologia .............................................................................................................................................................Pag. 25 Platão .................................................................................................................................................................. ........................Pag. 27 Os Quatro Elementos................................................................................................................................................................ ....Pag.29 Sócrates.............................................................................................................................................................. ........................Pag. 30 O timeu............................................................................................................................................................... .........................Pag. 31 “ Propriedades do Universo...........................................................................................................................................................Pag 31 Natureza do Mundo Físico...........................................................................................................................................................Pag. 32 Formas geométricas atribuídas a geometria sagrada................................................ ..................................................................Pag. 33 Geometria Sagrada - visão de mundo.........................................................................................................................................Pag.34 A família das Espirais..................................................................................................................................................................Pag. 35 O círculo.......................................................................................................................................................................................Pag.36 O quadrado...................................................................................................................................................................................Pag. 37
  6. 6. O hexágono.................................................................................................................................................................................Pag. 38 O Triângulo, Polígonos, cubos e os polihédros.........................................................................................................................Pag. 39 Vesica Piscis................................................................................................................................................................................Pag.40 Geometria Euclidiana..................................................................................................................................................................Pag.42 Vitrúvio......................................................................................................................................................................................Pag. 43 Luca Pacioli.................................................................................................................................................................................Pag.44 Fibonacci....................................................................................................................................................................................Pag. 45 Proporção Áurea................................................................................................................................................. .......................Pag.46 Música, Pintura e Literatura........................................................................................................................................................Pag.47 Violino de Stradivarius................................................................................................................................................................Pag.48 Negando a seção dourada............................................................................................................................................................Pag.50 Sistemas Maçônicos de Geometria Sagrada......................................................................................................... .....................Pag.51 Catedral de Ely – Inglaterra................................................................................................................................................... ...Pag. 52 Catedral de Milão – Itália...................................................................................................................................................... ...Pag. 53 Ad Triangulum....................................................................................................................................................... ............... ....Pag.54 Ad Quadratum........................................................................................................................................................................ ....Pag.55 Cathedral de Chartres…………………………………………………………………………………………………………Pag.56 Catedral Gótica de Amiens - .....................................................................................................................................................Pag. 57 Catedral Gótica de Cantembury.................................................................................................................................................Pag. 58 O Homem Vitruviano..................................................................................................................................................................Pag.59 Johannes Kepler..........................................................................................................................................................................Pag.60 Os Árabes e a Geometria............................................................................................................................................................Pag. 61 Geometria Sagrada no Renascimento........................................................................................................................................Pag.62 A basílica de Santa Maria Novella............................................................................................................................................. Pag.63 Palladio.......................................................................................................................................................................................Pag.61 A Geometria Sagrada do Barroco...............................................................................................................................................Pag.66 Francesco Borromini...................................................................................................................................................................Pag.67 Archiginnasio.............................................................................................................................................................................Pag. 68 Igreja de Saint Yves at La Sapienza..........................................................................................................................................Pag. 69 Christopher Wren.......................................................................................................................................................................Pag. 72 A catedral de São Paulo.............................................................................................................................................................Pag.73
  7. 7. Monismo....................................................................................................................................................................................Pag.74 O Princípio da Unidade.............................................................................................................................................................Pag. 75 Formas de Arte da Natureza - Ernst Haeckel............................................................................................................................Pag.79 catedral de Salisbury..................................................................................................................................................................Pag.91 Antonio Gaudí............................................................................................................................................................................Pag.89 Igreja da Sagrada Família.........................................................................................................................................................Pag. 90 Cripta de la Colònia Guel..........................................................................................................................................................Pag.91 Rudolf Steiner..........................................................................................................................................................................Pag. 95 Primeiro Goetheanum................................................................................................................................................................Pag.97 Segundo Goetheanum................................................................................................................................................................Pag.98 Geometria na era industrial......................................................................................................................................................Pag. 99 Le Corbusier – O modulor......................................................................................................................................................Pag. 100 Artistas e artesãos modernos em busca da “Geometria Sagrada”...........................................................................................Pag.101 De Stijl.....................................................................................................................................................................................Pag.102 Geometria em Wassily Kandinsky..........................................................................................................................................Pag.103 Geometria no concretismo e no Pop Art.................................................................................................................................Pag.104 Geometria e microscópio.........................................................................................................................................................Pag.102 Geomeyria e o microscópio eletrônico....................................................................................................................................Pag.106 Escher e a geometria................................................................................................................................................................Pag.107 Calatrava e a Geometria........................................................................................................................................................Pag.108 Teoria do caos.........................................................................................................................................................................Pag. 109 Efeito Borboleta.......................................................................................................................................................................Pag.111 Geometria Fractal....................................................................................................................................................................Pag.112 Floco de neve de Koch.............................................................................................................................................................Pag.113 Montanha Fractal.....................................................................................................................................................................Pag.114 Auto-similaridade exata - Quase similaridade - Auto-similaridade estatística.......................................................................Pag.115 Fractais naturais.......................................................................................................................................................................Pag.116 Fracrtais e espirais áureas........................................................................................................................................................Pag.117 Espanção Gnomônica...............................................................................................................................................................Pag.118 Arquitetura Orgânica - Frank Lloyd Wright ........................................................................................................................Pag.125 Alvar Aalto e Geometria.........................................................................................................................................................Pag. 126 Santiago Caltrava e a geometria............................................................................................................................................Pag. 127 Arquitetura Fractal – Peter Eisenman ...................................................................................................................................Pag. 128
  8. 8. Este arrazoado histórico e mitológico, sobre geometria, justifica-se devido a necessidade de embasar esta proposta de projeto arquitetônico, demonstrando que, os princípios que a norteiam, sempre estiveram presentes e fazem parte fundamental das tradições e cultura humanas, em especial, da história da Arquitetura.. O historiador e escritor Nigel Pennick no livro Geometria Sagrada, afirma: ...“Assim a geometria sagrada foi vista apenas como uma aderência supersticiosa a um sistema sem valor algum para a tradição. De fato, as coisas foram ainda mais longe. A maioria dos arquitetos não estava consciente de que existe uma tradição.” Estraido do livro :PENNICK, Nigel. Geometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980 ..."A história antiga é como uma paisagem noturna, na qual andamos às apalpadelas, discernindo vagamente alguns contornos na escuridão geral, e ficamos felizes se aqui ou ali a obra de um autor em particular ou uma ruína ou uma obra de arte ilumina momentaneamente, como um raio nas trevas, o campo particular que estamos explorando.” Filo, Sobre a vida contemplativa. ARRAZOADO TEÓRICO, HISTÓRICO E MITOLÓGICO SOBRE GEOMETRIA.
  9. 9. Embasamento Teórico para proposta de projeto arquitetônico: A proposta buscará encontrar pontos de concordância entre diferentes modos de tratar a questão da geometria em projetos de arquitetura e para tanto cruzará informações das seguintes disciplinas: Geometria Sagrada: O proposta de projeto de Arquitetura será baseada nos preceitos de Geometria Sagrada desenvolvidos por Filósofos da antiguidade clássica como Pitágoras, Platão e Euclides, de pensadores medievais e renascentistas como Lucca Paciolli, Fibonacci, Leonardo da Vinci e Kepler de contemporâneos, como Robert Lawlor, Nigel Pennick que também tratam da “geometria sagrada e de Rudolf Steiner, que desenvolveu o conceito de arquitetura antroposófica. Serão efertuados estudos da vida e obra de Vitruvio na antiguidade clássica, Alberti, Palladio e Da Vinci do período renascentista, Borromini do periodo barroco, Gaudi do periodo”Art – Noveau” e Tambem será estudada a obra do arquiteto Le Corbusier, modernista racionalista e Franck Loyd Right modernista organicista com o objetivo de descobrir se os princípios da Geometria Sagrada estão presentes em sua obras. Geometria Fractal: Será baseada nos estudos cientista James Gleick que estuda a teoria do caos e geometria fractal. Monismo: Será estudada obra do naturalista alemão Ernst Haeckel, que defende a teoria de que o universo é o reflexo de um princípio “monista”. Arquitetura Organicista: Serão estudadas obras dos arquitetos como Frank Loyd Right, Alvar Aalto e Santiago Calatrava... que tratam o espaço de forma “organicista” com uso de geometrias baseadas em estruturas orgânicas.
  10. 10. A proposta incorporará o conceito de “Espaços com significados”e, para tanto, é necessário compreender-se os conceitos de símbolo, simbologia e semiótica. Entende-se como “Espaço com significado” um lugar cujas formas são carregadas de intencionalidade, que represente algo para o observador, que o remeta a uma interpretação do espaço coletivo como um lugar de integração. A proposta buscará manipular a geometria de modo a alterar estados de percepção do observador, através da utilização de sistemas geométricos harmônicos, baseados nos estudos de Geometria Sagrada. http://pt.wikipedia.org/wiki/Símbolo disponível em 18 de março de 2010 http://orton.catie.ac.cr/cgibin/wxis.exe/?IsisScript=COLPOS.xis&method=post&formato=2&cantidad=1&expresion=mfn=006316 http://pt.wikipedia.org/wiki/Semi%C3%B3tica#column-one#column-one Símbolo: “ O termo símbolo, com origem no grego σύμβολον (sýmbolon), designa um elemento representativo que está (realidade visível) em lugar de algo (realidade invisível) que tanto pode ser um objecto como um conceito ou idéia, determinada quantidade ou qualidade. O "símbolo" é um elemento essencial no processo de comunicação, encontrando-se difundido pelo cotidiano e pelas mais variadas vertentes do saber humano”. Semiotica: “ A Semiótica (do grego semeiotiké ou "a arte dos sinais") é a ciência geral dos signos e da semiose que estuda todos os fenômenos culturais como se fossem sistemas sígnicos, isto é, sistemas de significação. A semiótica é a disciplina que se ocupa do estudo dos símbolos, do seu processo e sistema em geral. Outras disciplinas especificam metodologias de estudo consoante a área, como a semântica, que se ocupa do simbolismo na linguagem, ou seja, das palavras, ou a psicanálise, que, entre outros, se debruça sobre a interpretação do simbolismo nos sonhos..De acordo com a semiótica podemos resumir símbolo como (Alguma coisa que representa algo para alguém).” Simbologia: “ Simbologia é a ciência que estuda a origem, a interpretação e a arte de criar símbolos. Todas as sociedades humanas possuem símbolos que expressam mitos, crenças, fatos, situações ou ideias, sendo umas das formas de representação da realidade. De acordo com Cornelius Castoriadis e Gilbert Durand, é através da representação simbólica que nos apropriamos do mundo.”
  11. 11. “ Geometria Sagrada estuda as supostas ligações entre as proporções e formas contidos no microcosmo e no macrocosmo com o propósito de compreender a Unidade que permeia toda a Vida. Essas relações de forma e proporções, consideradas sagradas na geometria, ocorrem em diversas áreas da expressão humana, como na Arquitetura, Música, Pintura, Esculutra, Poesia, Artesania etc... “ A Geometria Sagrada com suas taxas, proporções e figuras geométricas foi frequentemente utilizada na concepção de diversas manifestações culturais desde a pré- História humana. A construção dos Megalitos pré- históricos, as edificações egípcias, mesopotâmicas e indianas antigas, a arquitetura grega e romana, os templos e palácios do oriente, as construções pré-colombianas,as Catedrais medievais, o renascimento, o barroco, o Art- Noveau e até mesmo os arte e arquitetura modernistas também incorpororam conceitos de geometria simbólica e proporções áureas…todos reconheciam na natureza formas e proporções especiais, que traduziam uma harmonia e unidade em si.” Flor da vida Yantra Yin - yang Vésica piscis Rosácea Gótica Disonível em 20/03/2010 - http://www.flordavida.com.br/HTML/geometria.html starchildglobal.com/portuguesa/healingpor.html Homem Vitruviano Iluminura árabe Sólidos Plátônicos Molécula de DNA G e o m e t r i a S a g r a d a Imagem 02 Imagem 03 Imagem 04 Imagem 05 Imagem 06 Imagem 07 Imagem 08 Imagem 09 Imagem 10
  12. 12. Os princípios da Geometria Sagrada estão presentes no macrocosmo e no microcosmo. Extraido do livro de Robert Lawlor – Geometria Sagrada Yantra indiano “ As posturas da dança clássica Hindu ( Bharat Natyan) Descrevem relações angulares geométricas, dese o eixo do corpo, logo abaixo do umbigo. Estas posturas, ao mesmo tempo que definem ângulos fundamentais, são frequentemente consideradas também alusões a diferentes divindades, e são destinadas a transmitir seus poderes característicos.” “ Esta foto é a vizulização mais aproximada que a ciência pode dar sobre a natureza da substância Atômica, que aparece como um esquema de Luz- Energia em forma geométrica .” Imagem 30 Imagem 11 Imagem 12 Imagem13
  13. 13. No livro “O poder Dos Limites do arquiteto Georgy Doczi” constata-se que tanto nas cavernas pré- históricas como nos megalitos paleolíticos podem ser encontradas elementos a geometria sagrada. Stonehenge – 5000 a.c. Estraido do livro :PENNICK, NigelGeometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980 Stonehenge – 5000 a.c. Estrutura composta por cinco exágonos Esta afirmação do autor parece forçada Pois o desenho não se encaixa no objeto. Geometria Sagrada - Arrazoado Histórico e Mitológico Imagem 30 Imagem 14 Imagem 15
  14. 14. As dimensões do Templo, bem como do Tabernáculo, antes dele, foram detalhadas exatamente: "E este foi o plano que lançou Salomão para construir a casa de Deus, sessenta côvados de comprido pela primeira medida e de largura vinte côvados.”2 Crônicas 3. O Templo homologava com um quadrado triplo o tamanho do Tabernáculo e suas paredes eram revestidas de madeira recoberta de ouro. O interior compreendia um lugar sagrado retangular, na forma de um quadrado duplo, e um Santo dos Santos conformado em um quadrado simples. O interior possuía 20 côvados de altura, e o Santo dos Santos formava novamente um cubo. No centro mesmo do Santo dos Santos ficava a Arca da Aliança, que ocupara anteriormente o ponto central do Santo dos Santos do Tabernáculo. Em cada extremidade da Arca havia um querubim dourado de asas abertas, de dez côvados de altura. Esses dez côvados parecem ter sido o módulo de que derivaram as dimensões do Tem plo e eram o dobro do tamanho do Tabernáculo portátil. Esse primeiro Templo de Jerusalém, o Templo de Salomão, foi destruído em 585 a.C., quando os babilônios tomaram a cidade e expatriaram a maior parte da população como escravos. Estraido do livro :PENNICK, NigelGeometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980 Nigel Pennick, no livro “Geometria Sagrada” afirma que no Velho Testamento encontram-se passagens, onde descreve-se a construção do Templo de Salomão, seguindo uma geometria e medidas especificas, onde o autor identifica elementos da Geometria Sagrada. "E Davi deu a Salomão seu filho o desenho do pórtico, e o do Templo, e das suas oficinas, e das suas salas, e dos seus aposentos interiores, e da casa da propiciação. E o desenho de tudo que ele imaginara e das repartições da casa do Senhor.” 1 Crônicas 28. A entrada do Santo dos Santos era fechada por uma porta de duas folhas, medindo cada uma delas dois côvados de largura. A entrada para o Templo possuía 5 côvados de largura e se abria de um pórtico que compreendia dois quadrados de 10x10 côvados. Era esse pórtico que suportava os dois pilares que posteriormente assu miram grande significação no saber maçônico: Jachin e Boaz. Cada pilar possuía 12 côvados de circunferência e era coroado por um capitel em forma de lírio com 5 côvados de altura. Esse capitel repousava sobre um castão de 3 côvados de altura que atra vessava 7 cadeias de romãs, 14 ao todo. O número místico 14 corresponde aos 14 quadrados de 10 côvados que constituem a planta baixa do Templo; as 14 gerações tradicionais de São Mateus, de Abraão a Davi; e os 14 Passos Cristãos da Cruz. Novamente, o Templo incorporava vários esquemas cosmológicos, condizendo com uma imagem do macrocosmo.” Imagem 16 Primeiro Templo de Jerusalém
  15. 15. “ Filo, o Judeu, afirma que a Arca de Noé foi construída segundo o padrão do corpo humano. Heinrich Cornelius Agrippa concorda. E escreve: "Dado que o homem é a mais bela e a mais perfeita obra de Deus, e a Sua imagem, e também o menor dos mundos, ele, portanto, por uma composição mais perfeita, e uma harmonia doce, e uma dignidade mais sublime contém e conserva em si todos os números, todas as medidas, todos os pesos, todos os movimentos, todos os elementos, e todas as outras coisas que o constituem; e nele, de fato, está a habilidade suprema (...) além disso, o próprio Deus ensinou Noé a construir a Arca segundo a medida do corpo do homem e Ele fez toda a estrutura do Mundo ser proporcional ao corpo do homem. Portanto, alguns que escreveram sobre o microcosmo, ou sobre o homem, afirmam que o corpo mede 6 pés, um pé 10 graus, cada grau 5 minutos; têm-se 60 graus, que fazem 300 minutos, aos quais são comparados muitos côvados geométricos com que Moisés descreve a Arca; pois, como o corpo de um homem tem 300 minutos de comprimento, 50 de largura e 30 de altura, assim também a Arca era longa de 300 côvados, larga de 50 e alta de 30. ” Em The Canon, William Stirling relaciona as medidas da Arca com o tamanho do planeta Terra e com os cânones da cronologia segundo a história sagrada hebraica: "Se essa explicação for correta", escreve Stirling, "devemos imaginar, pelas proporções da arca, a vasta figura de um homem, à imagem e à semelhança de Deus, cujo corpo contém a medida do caminho do sol na eclíptica, o circuito da Terra e as órbitas dos sete planetas". Estraido do livro :PENNICK, NigelGeometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980 Nigel Pennick, no livro “Geometria Sagrada” afirma que no Velho Testamento encontram-se passagens, onde “Deus” ordena a Noé , que seja Construída uma arca, seguindo uma geometria e medidas especificas,.onde o autor identifica elementos da Geometria Sagrada. Imagem 17
  16. 16. EXTRAIDO DO LIVRO: DOCZI,Georgy. O Poder dos Limites. Ed. Mercúrio. São Paulo,SP. 1981 Egito – 3000 a.c. “ A Grande Pirâmide, construída aparentemente para alojar os restos mortais do rei Khufu (mais conhecido por Quéops, seu nome grego), foi edificada com uma planta baixa quase perfeita de 775 pés e um ângulo de ascensão de 51°52'. Seu volume é um estonteante acúmulo de 6 1/2 milhões de toneladas de calcário. O ângulo de ascensão dá à pirâmide uma propriedade geométrica única, que representa a quadratura mística do círculo: sua altura está para a mesma razão da sua circunferência, assim como o raio para a circunferência de um círculo. Essa razão é 1/2 pi . pi = 3,1416... e, nessa pirâmide, esse número transcendental está representado com uma margem de erro de apenas 0,1%. O ângulo de 51°52' tem a propriedade de ser o ângulo produzido por um gradiente de 4:1. O ângulo utilizado em Dahshur, 43°30', é preduzido por um gradiente de 3:1. Assim, a simples utilização de números inteiros, que é a chave da geometria sagrada, ao longo de toda a história, existe também no contexto egípcio. "A existência das pirâmides", escreveu James Stirling em The Canon, "(...) parece ser uma confirmação notável das afirmações dos escritores primitivos - de que a arquitetura dependeu originalmente da geometria - e vemos no Egito a primeira aplicação dessa ciência do construir. (...) Nas mãos dos arquitetos geométricos, a pirâmide - por seu volume, superfície, linhas e ângulos - poderia fornecer os meios de se registrar medidas e números. Por objetivos práticos, também, a pirâmide é a forma mais adequada para uma estrutura permanente"'. Imagem 18 Imagem 19
  17. 17. OZÍRION Nigel Pennick, no livro “Geometria Sagrada” afirma que no Antigo Egito encontram-se templos, onde o autor identifica elementos da Geometria Sagrada. Estraido do livro :PENNICK, NigelGeometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980 Imagem 20 Imagem 21 “ O Ozírion é um grande templo egipcio que é uma alegoria arquitetônica do processo de transformação mediante a morte e o renascimento, tal como como o descreve o mito de Ozíres. O simbolismo de Ozires tem a ver com o renscimento cíclico e a transformação, tanto a nível individual, como a universal. Foi concebido para representar a própria tumba de Ozíres. A arquitetura é simbólica em cada detalhe: A mecânica da reencarnação, referências à morte e à ressurreição físicas,a morte como uma nova fase da consciência do aspirante, o nascimento ou uma nova morte e a dissolução do universo e seu entorno . O Ozírion foi descoberto em Ábidos em 1901, por FlidersPetrie, e as escavações terminaram em 1927. Acredita-se que seja o “Cenotálio” ( Túmulo vazio) de Seti I, que governou o Egito entre 1312 e 1298 a.c. O templo inteiro tinha um telhado e por cima foi colocado um enorme monte de terra, para que parecesse uma tumba subterrânea. Ao redor do templo soterrado, foram escavados grandes buracos e plantadas a árvore sagrada de Ozíres. Esta reprodução do sacríficio mostra o símbolo da tumba de Ozíres com as ávores do renascimento brotando.”
  18. 18. Nigel Pennick, no livro “Geometria Sagrada” afirma que no Antigo Egito encontram-se templos, onde o autor identifica elementos da Geometria Sagrada. No templo de Ozirion percebe-se a utilização de pentágonos e secção áurea como base harmônica. Estraido do livro :PENNICK, NigelGeometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980 Imagem 22 A planta do Ozírion mostra uma zona central bastante curiosa, com dez grossas colunas quadradas que sustentam o teto.Esta plataforma ,com escadarias que a ela conduzem em ambos os extremos, é na realidade uma ilha, pois está rodeada por uma nave escavada até ao nível exato que permitia enche-la de água subterrânea. A ilha, com suas escadas em cada lado assemelha-se exatamente ao símbolo egípcio da colina ou monte primordial, que segundo o mito representa o primeiro lugar da criação que se eleva das águas primitivas, O “Nun” não manifesto e informe. Ozíres támbem representa o princípio da semente enterrada no solo que germina ao absorver a umidade da terra. Há três pontos de sepultura nesta tumba sibólica, duas depressões na plataforma central( provavelmente) uma para o sarcófago outra para os “canopes”, vasilhas colocadas nas tumbas egípicias destinadas a conter as vísceras dos defuntos e uma ampla câmara mortuária selada, em forma de sarcófago no extremo oeste. Esta última conté, nos muros e teto, relevos com motivos astronômicos para dotar a tumba de influencias celestes. Ao redor e no exterior há dezessete pequenas câmaras, destinadas aos neófitos que eram submetidos ao rito iniciático de descer ás profundezas aquosas e emergir pela ilha central, que simbolizava o mistério do nascimento, tanto a nível universal, como individual. De qualquer forma o mais importante é a geometria do templ apóia esta teoria, pois se conforma às proporções da secção áurea e da 5 , símbolo do renascimento e da regeneração assim como a da 2 , símbolo do poder procriador e autogerador de vida. A ênfase no tema do pentágono simboliza acertadamente a crença de que o rei, após sua morte, se transforma numa estrela. As análises geométricas foram cedidas por Lucie Lamy. Imagem 22
  19. 19. OZÍRION Nigel Pennick, no livro “Geometria Sagrada” afirma que no Antigo Egito encontram-se templos, onde o autor identifica elementos da Geometria Sagrada. No templo de Ozírion percebe-se a utilização de pentágonos e secção áurea como base harmônica Projeção Gnomônica (Fractal ?) Vesica pisis Estraido do livro :PENNICK, NigelGeometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980 Imagem 23 Imagem 24 Imagem 25
  20. 20. EXTRAIDO DO LIVRO: DOCZI,Georgy. O Poder dos Limites. Ed. Mercúrio. São Paulo,SP. 1981 Partenon- Grecia – 500 a.c. “ A beleza da arte grega foi o resultado prático das meditações dos filósofos. Naqueles tempos, quando a reverência pagã antiga para com o mundo ainda não havia sido superada pela espoliação a todo custo que caracteriza a civilização industrial, todo objeto que passasse pelas mãos dos artesãos continha propriedades sagradas. O artesão, diferentemente da sua contrapartida moderna da linha de produção, estava consciente da natureza sagrada dos materiais com que trabalhava e da sua responsabilidade como fiduciário do material que manipulava. Porque toda a Terra era sagrada, os materiais também eram sagrados e, assim, a modelagem era um ato de adoração. Era imperativo que o artesão trabalhasse com o melhor da sua habilidade e em concordância com os materiais de que dispunha; assim, a aplicação da geometria sagrada era absolutamente natural. É só nos tempos modernos que a geometria sagrada foi relegada, primeiramente à esfera estreita do desenho de edifícios sagrados, e depois completamente abolida em função de objetivos prático.” Imagem 26 A interpretação de sacralidade do trabalho dos antigos gregos é condizente com a proposição apresentada sob o título “Ócio Criativo”. É uma interpretação oposta a “Negar o Ócio”de onde se origina “Negócio”.
  21. 21. EXTRAIDO DO LIVRO: DOCZI,Georgy. O Poder dos Limites. Ed. Mercúrio. São Paulo,SP. 1981 “ Os vasos gregos requintadamente belos foram analisados por geômetras modernos tais como Caskey e Hambidge, que descobriram que eles foram desenhados de acordo com construções complexas mas harmoniosas de geometria de Seção Dourada. Fazer vasos e utensílios sagrados de acordo com a geometria sagrada asseguraria a sua função correta não só nos arredores do templo, cuja geometria eles ecoavam, mas também no contexto secular.” ceramica grega amphorae preto sobre laranja http://www.google.com.br/images?q=ceramica+grega&um=1&hl=pt-BR&rlz=1R2GGIE_en&tbs=isch:1&sa=N&start=120&ndsp=20 Imagem 29 Imagem 27 Imagem 28 Imagem 30 Antigos Artesãos
  22. 22. EXTRAIDO DO LIVRO: DOCZI, Georgy. O Poder dos Limites. Ed. Mercúrio. São Paulo,SP. 1981 Mexico – 800 d.c. Pagode Yakushigi – Japão No livro “O poder Dos Limites do arquiteto Georgy Doczi” o autor afirmaque nas mais variadas culturas percebe-se uma preocupação em criar composições espaciais harmônicas, onde aparecem relações áureas entre os elementos da composição. 15000 A.C. Pré-História Imagem 30 Imagem 31 Imagem 33 Imagem 32 Imagem 34
  23. 23. Geometria Sagrada no Oriente “ Sangakus são tábuas comemorativas, em madeira, oferecidas pelo povo a pequenos santuários Japoneses, como forma de agradecer aos deuses, com a resolução de um problema geométrico matemático. Os primeiros Sangakus que se conhecem datam do século XVII. As tábuas contêm vários problemas matemáticos, envolvendo, normalmente, círculos e outras figuras geométricas. Restam cerca de 900 desses objetos”. Texto e Imagens - Disponíveis em 15/05/2010 - http://daisysharrock.blogspot.com/ Imagem 46 Imagem 36 Imagem 37 Imagem 35
  24. 24. “ Policleto foi um dos mais notáveis escultores gregos, fundador, junto com Fídias, do Classicismo escultórico, e apelidado de "Pai da Teoria da Arte" do Ocidente . Também é conhecido como Policlito ou Polícleto de Argos. Plínio, o Velho, o chamava de Policleto de Sikyon. ” Doríforo- Atribuido a Policleto Extraido do livro: DOCZI,Georgy. O Poder dos Limites. Ed. Mercúrio. São Paulo,SP. 1981 Relações áureas no corpo “humano” “ Estudou as proporções do corpo humano e redigiu o primeiro tratado de proporções na escultura, a que deu o nome de Canon ou Cânone, de grande influência, mas hoje perdido. A figura de atleta que corporifica as teorias do autor chama-se o Doríforo, do qual apenas conhecemos cópias romanas do bronze original.” O Corpo Humano Imagem 38 Imagem 39
  25. 25. “ Os Pitagoricos buscavam a urificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia; classificação aritmética dos números em pares, ímpares, primos e fatoráveis; "criação de um modelo de definições, axiomas, teoremas e provas, segundo o qual a estrutura intrincada da Geometria é obtida de um pequeno número de afirmações explicitamente feitas e da ação de um raciocínio dedutivo rigoroso" (George Simmons); Grande celeuma instalou-se entre os discípulos de Pitágoras a respeito da irracionalidade do 'raiz de 2'. Utilizando notação algébrica, os pitagóricos não aceitavam qualquer solução numérica para x² = 2, pois só admitiam números racionais. Dada a conotação mística atribuída aos números, comenta-se que, quando o infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solução para o impasse, os outros discípulos o expulsaram da Escola e o afogaram no mar; aos pitagóricos deve-se provavelmente a construção do cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e a bem conhecida "seção áurea"; na Música, uma descoberta notável de que os intervalos musicais se colocam de modo que admitem expressões através de proporções aritméticas. Pitágoras - assim como outros filósofos gregos pré-socráticos - também descreveu o poder do som e seus efeitos sobre a psique humana.” Disponível em 09/04/2010 ttp://www.geometriaanalitica.com.br/artigos/Matematica/PITAGORAS.pdf http://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras www.geometrycode.com/sg/ A história é um “ato continuo” onde os atores principais precisam ser conhecidos. Os estudos preliminares contem informações sobre a vida e a obra de alguns destes protagonistas que trataram de Geometria, Arquitetura e Urbanismo. A obra de Euclides é um dos pilares do estudo de Geometria no ocidente. Imagem 40 Pitágoras Filolau, Alcmeón , Parménides , Platão, Euclides, Empédocles, Hipaso, Kepler Influenciados Metafísica, Música, Matemática, Ética, Política, Astronomia, Geometria Principais interesses Pitagóricos , Naturalismo Escola/ tradição Filósofo, matemático, astrônomo Ocupação c. 500 a. C.-490 a. C. Morte c. 580 a. C. -572 a. C. Samos Nascimento              Pitágoras
  26. 26. “ A palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento, baseado em provas dedutivas. Existem, no entanto, indícios de que o chamado Teorema de Pitágoras (c²= a²+b²) já era conhecido dos babilônios em 1600 a.C. com escopo empírico. Estes usavam sistemas de notação sexagesimal na medida do tempo (1h=60min) e na medida dos ângulos (60º, 120º, 180º, 240º, 360º). Pitágoras percorreu por 30 anos o Egito, Babilônia, Síria, Fenícia e talvez a Índia e a Pérsia, onde acumulou ecléticos conhecimentos: astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismo e religião. Ele foi contemporâneo de Tales de Mileto, Buda, Confúcio e Lao-Tsé. Quando retornou à sua cidade natal, Samos, indispôs-se com o tirano Polícrates e emigrou para o sul da Itália, na ilha de Crotona, de dominação grega. Aí fundou a Escola Pitagórica, a quem se concede a glória de ser a "primeira Universidade do mundo". Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares - os números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação -, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas. Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos (já que há obscuridades em torno do pitagorismo, devido ao caráter secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta foi enunciada no teorema de Pitágoras. Pitágoras foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu, em 496 a.C. ou 497 a.C.” disponíveis em: 05/04/2010 - http://www.geometriaanalitica.com.br/artigos/Matematica/PITAGORAS.pdf Imagem 48 Imagem 41 Imagem 42 Imagem 43 pormenor d' A escola de Atenas de Raffaello Sanzio (1509). O pentagrama era o símbolo da Escola Pitagórica. teorema
  27. 27. “ O símbolo utilizado pela escola era o pentagrama, que, como descobriu Pitágoras, possui algumas propriedades interessantes. Um pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular; pelas intersecções dos segmentos desta diagonal, é obtido um novo pentágono regular, que é proporcional ao original exatamente pela razão áurea. Originalmente símbolo da deusa romana Vênus foi associado a diversas divindades e cultuado por diversas culturas. O símbolo é encontrado na natureza, como a forma que o planeta Vênus faz durante a aparente retroação de sua órbita. Não simboliza qualquer coisa referente ao satanismo. Trata-se de um dos símbolos pagãos mais utilizados na magia cerimonial, pois representa os quatro elementos (água, terra, fogo e ar) coordenados pelo espírito. O pentagrama é conhecido também como o símbolo do infinito, já que é possível fazer outro pentagrama menor dentro do pentágono regular do pentagrama maior , e assim sucessivamente. Possui simbologia múltipla, sempre fundamentada no número cinco, que expressa a união dos desiguais. Representa uma união fecunda, o casamento, a realização, unindo o masculino,o 3, e o feminino, o 2, simbolizando ainda, dessa forma, o andrógino. O nome está ligado principalmente ao importante teorema que afirma: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Além disto, os pitagóricos acreditavam na esfericidade da Terra e dos corpos celestes, e na rotação da Terra, com o que explicavam a alternância de dias e noites. SPINELLI, Miguel. Filósofos Pré-Socráticos. Primeiros Mestres da Filosofia e da Ciência Grega. 2ª Ed., Porto Alegre: Edipucrs, 2003 http://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras_de_Samos_(escultor) Pentagrama na mitologia A Escola Pitagórica ensejou forte influência na poderosa verba de Euclides, Arquimedes e Platão, na antiga era cristã, na Idade Média, na Renascença e até em nossos dias com o Neopitagorismo. Pensamentos de Pitágoras : Educai as crianças e não será preciso punir os homens. Não é livre quem não obteve domínio sobre si. Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece justo. O que fala semeia; o que escuta recolhe. Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues. Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem. Todas as coisas são números. A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus. A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus. A vida é como uma sala de espetáculos: entra-se, vê-se e sai-se. A sabedoria plena e completa pertence aos deuses, mas os homens podem desejá-la ou amá-la tornando-se filósofos.” Imagem Extraida do livro de Robert Lawlor – Geometria Sagrada Imagem 44 Imagem 45
  28. 28. Texto Extraido do livro de Robert Lawlor – Geometria Sagrada http://www.mundodosfilosofos.com.br/platao.htm “ Para o espírito humano, confinado num universo em movimento, na confusão de um perpétuo fluxo de acontecimentos, circunstâncias e desconcerto interno procurar a verdade sempre significou procurar o imutável, chama-se isso Idéias, formas, arquétipos, números ou deuses.Entrar num templo construído em sua totalidade conforme as proporções geométricas invariáveis é entrar no reino da verdade. Diz Thomas Taylor; “ A geometria permite ao seu devoto, como um aponte, franquear a obscuridade da natireza material, como se fosse um mar obscuro, para as regiões luminosas da realidade perfeita”. contudo., não se trata em absoluto de um acontecimento automático que ocorra apenas pegando um livro de geometria. Como diz Platão,”O logo da alma deve gradualmente reativado pelo esforço. Estas idéias não podem ser percebidas pelos sentidos, mas apenas pela razão pura.. A geometria era a linguagem que recomendava Platão como modelo mais claro para descrever esse reino metafísico. “ Acaso não sabeis que ( os geometras) utilizam as formas visíveis e falam delas, embora não se trate delas, mas de coisas de que são um reflexo, e estudam o quadrado em si e a diagonal em si e não a imagem deles que desenha? E assim sucessivamente em todos os casos...Oque realmente procuram é poder vislumbrar estas realidades que apenas podem ser contempladas pela mente. Platão – A República O mito da caverna Platão viu a maioria da humanidade condenada a uma infeliz condição. Imaginou (no Livro VII de A República, um diálogo escrito entre 380-370 a.C.) todos presos desde a infância no fundo de uma caverna, imobilizados, obrigados pelas correntes que os atavam a olharem sempre a parede do fundo. O que veriam então? Supondo a seguir que existissem algumas pessoas, uns prisioneiros, carregando para lá para cá, sobre suas cabeças, estatuetas de homens, de animais, vasos, bacias e outros vasilhames, por detrás do muro onde os demais estavam encadeados, havendo ainda uma escassa iluminação vindo do fundo do subterrâneo, disse que os habitantes daquele triste lugar só poderiam enxergar o bruxuleio das sombras daqueles objetos, surgindo e se desafazendo diante deles. Era assim que viviam os homens, concluiu ele. Acreditavam que as imagens fantasmagóricas que apareciam aos seus olhos (que Platão chama de ídolos) eram verdadeiras, tomando o espectro pela realidade. A sua existência era pois inteiramente dominada pela ignorância (agnóia). Disponível em 02/06/2010 - http://educaterra.terra.com.br/voltaire/cultura/caverna.htm PLATÃO Imagem 46 Nasc. 428 a.c. Morte 348.C - Atenas
  29. 29. “ Na sua prescrição para a fundação de uma nova cidade, Platão afirmou que todos os detalhes exigiam a atenção mais dedicada. A natureza geométrica do plano da cidade era dada por reconhecida. Seu desenho geomântico devia ser regulamentado por uma Comissão Urbana dotada de poderes para proibir quaisquer alterações não autorizadas. Acreditava-se que esse desenho geomântico que governava a cidade devia ser essencial à felicidade dos habitantes. Platão acreditava que o povo jamais conheceria a felicidade se os desenhistas de suas cidades fossem artistas que não tomassem o divino como seu padrão. Esse padrão divino, tal como apresentado na República de Platão, era um esquema cosmológico que representa o microcosmo. Até mesmo o número de habitantes da cidade era ideal - 5.040 moradores, que ocupavam o mesmo número de lotes. Esse número é quase universalmente divisível, sendo derivado da multiplicação sucessiva dos números de 1 a 7, donde ser divisível por todos os números de 1 a 10, bem como por 12. Todo o território que rodeasse a acrópole devia ser dividido em 12 partes, mas a igualdade deveria ser assegurada pela condição engenhosa de que os alotamentos de terra ruim deviam ser maiores do que os alotamentos de terra boa - uma tarefa difícil, se não impossível. A República era um microcosmo alegórico em todo sentido. Todos os seus atributos geométricos e numerológicos refletem o ideal divino, cuja consumação, se conseguida, uniria o homem ao universo . Estraido do livro :PENNICK, NigelGeometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980 O estudo da “Cidade Ideal” de Platão serve como suporte para o desenvolvimento da proposta de projeto no que refere à adoção de uma concepção sagrada do tratamento do espaço coletivo. A geometria impregnou toda a esfera da vida grega. A conexão íntima entre a forma geométrica e a história sagrada pode ser vista no problema supostamente insolúvel da duplicação do cubo. Os délios, que, na época de Platão, estavam sendo vitimados por uma peste, consultaram o oráculo para cons,eguirem um meio de dela se libertarem. O oráculo ordenou-Ihes duplicar um dos seus altares cúbicos. Dirigiram-se então aos geômetras da Academia e lhes pediram resolvessem o problema como um assunto de urgência nacional. Na verdade, trata-se de um problema insolúvel pelos métodos clássicos da geometria e, por conseguinte, está excluído da categoria da geometria sagrada. É um equivalente em termos geométricos do extrair a raiz cúbica de dois, que não pode ser expressa em termos de números inteiros nem em termos de raízes quadradas de números inteiros. O fato de esse problema ter sido proposto pelo oráculo indica a seriedade com que a geometria estava investida na Grécia. A observância correta da forma geométrica na arquitetura sagrada era um ato mágico que. poderia livrar um país de uma dificuldade , auxiliando os gregos na tentativa de resolver os problemas geométricos do oráculo.”
  30. 30. Elementos Platão supõe que a minúscula partícula de cada elemento tinha uma forma geométrica especial: Tetraedro (fogo) Octaedro (ar) Icosaedro (água) Cubo (terra) O Timeu conjectura sobre a composição dos quatro elementos que os gregos antigos pensavam que compõem o universo: terra, água, ar e fogo. Platão conjecturou que cada um destes elementos deve ser feita de um sólido: o elemento terra seria um cubo, de ar um octaedro, um icosaedro da água e do fogo um tetraedro. Cada um destes poliedros perfeito seria, por sua vez composto por triângulos. Apenas certas formas triangulares seria permitido, como a 30-60-90 e 45-45-90 triângulos. Cada elemento pode ser dividido em triângulos que o compõem, que podem então ser colocados juntos para formar a outros elementos. Assim, os elementos serão intercambiáveis, pelo que esta ideia foi um precursor da alquimia. Além disso, Platão postula a existência de um quinto elemento (que corresponde ao quinto sólido platônico restantes, o dodecaedro) chamado éter, do qual o próprio cosmos é feita. Timeu discute também a teoria da música: por exemplo, construção da escala pitagórica. A última parte do diálogo trata da criação de seres humanos, incluindo a alma, a anatomia, a percepção ea transmigração da alma. A proposta buscará incorporar conceitos platônicos na sua concepção e conhecer os sólidos platônicos é o fundamento desta antiga ciência. BONELL,Carmen,La divina proporción. Edicions UPC,1994 Imagem 47 Imagem 48 Imagem 49 Imagem 50 Disonível em 20/03/2010 - http://www.flordavida.com.br/HTML/geometria.html Dodecaedro (12 faces Tetrahedro (4 faces Icosahedro (12 faces Hexahedro Cubo (6 faces) Octahedro (8 faces) Imagem 50 Imagem 50b
  31. 31. “ Palestrantes do diálogo, Sócrates, Timeu de Locri, Hermócrates, Critias. Alguns estudiosos têm argumentado que não é o Crítias dos Trinta Tiranos, que está aparecendo no diálogo, mas seu avô, que também é chamado Crítias . O diálogo tem lugar no dia seguinte Sócrates descreveu o seu estado ideal. Em obras de Platão, tal discussão ocorre na República. Sócrates considera que a sua descrição do estado ideal não foi suficiente para os fins de entretenimento e que "ficaria feliz em ouvir um relato do que se envolver em transações com outros estados" . Texto disponível em: 10/04/2010 – 10hs - http://www.miniweb.com.br/biblioteca/artigos/alma_timeu.pdf A proposta de projeto buscou nortear-se com uma fundamentação filosófica e o dialogo de Platão “Timeu” fundamentou a opção em adotar os conceitos de Geometria Sagrada. Timeu continua com uma explicação sobre a criação do universo, que ele atribui ao trabalho de um artesão divino. O demiurgo, ser bom, quis lá ser tão bom como era o mundo. O demiurgo é dito para trazer a ordem de mérito, imitando um modelo imutável e eterno (paradigma). O ananke foi o único elemento de co-existente ou a presença na cosmogonia de Platão. Mais tarde platónicos esclareceu que o modelo eterno existia na mente do Demiurgo. (Mais tarde a história do demiurgo se tornou um termo de difamação por gnósticos, que pretendia que o Demiurgo era um deus caído e ignorante criando um universo imperfeito, mas isso não era como Platão usava o termo).” continua Filosofia ocidental, mais especificamente Platão, Aristóteles, Aristipo, Antístenes Influências: Parmênides Influênciado por: Método socrático, ironia socrática Idéias notáveis: Epistemologia, ética Principais interesses: Atenas Local: 399 a.C. Data de falecimento Atenas Local: c. 469 / 470 a.C. Data de nascimento: Filosofia grega Escola/Tradição: Sócrates Nome completo:                 Hermocrates pretende que Crítias conte a Sócrates a história da viagem de Sólon ao Egito, onde ele ouve a história de Atlântida, e como Atenas costumava ser um estado ideal que, posteriormente, em guerra contra Atlantis. Critias acredita que ele está ficando à frente de si, e menciona que Timeu dirá parte da conta a partir da origem do universo para o homem. A história do Atlantis é adiado para Critias. O manuscrito foi traduzido em latim por Cícero e novamente Calcidius. A versão de Calcidius foi uma das poucas obras de filosofia natural clássica, e do diálogo platônico apenas disponível para os leitores no início da Idade Média. Assim, ele tinha uma forte influência sobre cosmologia neoplatônica medieval e foi comentada em particular do século 12 por filósofos cristãos da Escola de Chartres, como Thierry de Chartres e William de Conches, que a sua interpretação à luz da fé cristã, compreendeu o diálogo para se referir a uma creatio ex nihilo . “ Finalidade do Universo http://en.wikipedia.org/wiki/Socrates Imagem 51
  32. 32. “ Propriedades do Universo “ Timeu descreve a substância como uma falta de homogeneidade ou equilíbrio, em que os quatro elementos (terra, ar, fogo e água- (sólidos platônicos) estavam disformes, misturados e em constante movimento. Considerando que a ordem é favorável sobre a desordem, o ato essencial do criador era para trazer ordem e clareza a esta substância. Portanto, todas as propriedades do mundo podem ser explicados pela escolha do demiurgo do que é justo e bom, ou, a idéia de uma dicotomia entre o bem e o mal. Primeiro de tudo, o mundo é uma criatura viva. Desde que as criaturas são pouco inteligentes em sua aparência menos justo que as criaturas inteligentes, e que a inteligência tem de ser resolvida em uma alma, o demiurgo "coloca a inteligência na alma e no corpo", a fim de ganhar a vida o todo inteligente. "Portanto, usando a linguagem das probabilidades, podemos dizer que o mundo se tornou uma criatura viva verdadeiramente dotada de alma e inteligência, pela providência de Deus". Então, uma vez que a parte é imperfeito em relação ao todo, o mundo tinha que ser um e único. Portanto, o demiurgo não cria mundos diversos, mas um mundo único.“ “ O criador decidiu também fazer o corpo sensível do universo por quatro elementos, a fim de torná-lo proporcionado. Com efeito, para além do fogo e da terra, que fazem corpos visíveis e sólido, um terceiro elemento foi exigida como dizer: "duas coisas não podem ser justamente juntos sem um terceiro, deve haver algum vínculo de união entre eles". Além disso, desde que o mundo não é uma superfície sólida, mas, em média quarto foi necessário para atingir a harmonia por isso, o criador colocou água e do ar entre o fogo e a terra. "E por estas razões, e fora de tais elementos, que são em número de quatro, o corpo do mundo foi criado, e foi harmonizado pela proporção". Quanto à figura, o demiurgo criou o mundo, sob a forma geométrica de um globo. Na verdade, o número redondo é o mais perfeito, porque compreende ou médias todas as outras figuras, e é a mais “omnimorphica” de todas as figuras: "ele [o Demiurgo] considerara que o gosto é infinitamente mais justo do que o contrário". O criador, em seguida, determina para o mundo um movimento rotatório ou circular, que é o mais adequado "para a mente e inteligência" por conta de ser o mais uniforme. Finalmente, ele criou a alma do mundo, colocou a alma no centro do corpo do mundo e difundido em todas as direções. Tendo sido criado como um perfeito, auto-suficiente e ser inteligente, o mundo é um deus.” Timeu – continuação 2 http://www.miniweb.com.br/biblioteca/artigos/alma_timeu.pdf
  33. 33. Portanto, tendo sido composto por Identidade, Diferença e Existência (sua média), e formada em proporções corretas, a alma declara a igualdade ou diferença de cada objeto que ele atende: quando é um objeto sensível, o círculo interno dos diversos transmitir o seu movimento da alma, onde as opiniões surgem, mas quando é um objeto intelectual, o círculo da mesma se torna perfeitamente redonda e verdadeiro conhecimento surge.” “ Timeu começa com uma distinção entre o mundo físico eo mundo eterno. O físico é o mundo que muda e perece: portanto, é o objeto de opinião e sensação. O eterno nunca muda: por isso é apreendido pela razão. Os discursos sobre os dois mundos estão condicionados pela natureza distinta de seus objetos. Na verdade, "uma descrição do que é imutável, fixa e claramente inteligível será fixo e imutável", enquanto a descrição de quais as mudanças e provavelmente, também vai mudar e ser apenas provável. "Como é estar a tornar-se, por isso é a verdade da crença". Portanto, em uma descrição do mundo físico, um "não deve olhar para nada mais que uma história provável". Timeu propõe que desde que "nada muda, ou torna-se" sem justa causa, a causa do universo deve ser um demiurgo ou um deus, uma figura, Timeu se refere como o pai e criador do universo. E desde que o universo é justo, o demiurgo deve ter olhado para o modelo eterno para fazê-lo, e não a um perecível . Assim, usando o mundo eterno e perfeito de "formas" ou ideais como um modelo, ele começou a criar o nosso mundo, que antes só existia em um estado de desordem.“ Final do Timeu “ A Criação da alma do Mundo - Natureza do Mundo Físico (discussão que se segue Platão é obscura, e quase certamente concebido para ser lido à luz do Sofista) “ Timeu, em seguida, explica como a alma do mundo foi criada. O demiurgo, combinação de três elementos: duas variedades de Identidade (uma indivisível e divisível outro), duas variedades de diferença (mais uma vez, uma indivisível e divisível outro), e dois tipos de Ser (ou Existência, uma vez mais, uma indivisível e divisível outro) . A partir deste surgiram três substâncias compostas, intermediário (ou mistos), sendo, Identidade intermediário, intermediário e Diferença. De presente uma substância composta resultado final, a Alma do Mundo. Em seguida, dividiu seguintes proporções matemáticas precisas, reduzindo o comprimento composto, fixou o resultado em duas faixas de seu meio, e ligandos a eles suas extremidades, para ter dois cruzamentos círculos. O demiurgo exercido sobre eles um movimento circular em seu eixo: o círculo exterior foi atribuído Identidade e virou-se horizontalmente para a direita, enquanto que o círculo foi atribuída à diferença e na diagonal e virou para a esquerda. O demiurgo deu a primazia ao movimento de Identidade e deixou-indiviso, mas ele dividiu o movimento de diferença em seis partes, que têm sete círculos desiguais. Ele prescreveu estes círculos para se mover em direções opostas, três delas com velocidades iguais, os outros com velocidades desiguais, mas sempre na mesma proporção. Estes círculos são as órbitas dos corpos celestes: os três que se deslocam a velocidades iguais são o Sol, Vênus e Mercúrio, e os quatro que se deslocam a velocidades desiguais são a Lua, Marte, Júpiter e Saturno. Em seguida, o demiurgo ligado o corpo e a alma do universo: ele difunde a alma do centro do corpo de suas extremidades, em todas as direções, permitindo que a alma invisível para envolver o corpo visível. A alma começa a girar e este foi o início de sua vida eterna e racional. Timeu – continuação 3 http://www.miniweb.com.br/biblioteca/artigos/alma_timeu.pdf
  34. 34. “ Entre as mais prevalentes tradicionais formas geométricas atribuídas a geometria sagrada estão a onda senoidal, a esfera, a vesica piscis, o toro (donut), os cinco sólidos platônicos, a espiral de ouro, o Tesseract (4-cubo tridimensional), e os polihedros). Atualmente estudam-se os Fractais.” Torus Theseracte Onda Fractal Espiral áurea Vésica Piscis Imagem 54 Imagem 52 Imagem 53 Imagem 55 Imagem 56 Imagem 57 Imagem 58 Imagem 59 Imagem 60 Imagem 61 Imagem 62 Disonível em 20/03/2010 - http://www.flordavida.com.br/HTML/geometria.html Esfera Octahedro Dodecahedro Icosahedro
  35. 35. GEOMETRIA SAGRADA - visão de mundo “ Geometria Sagrada é utilizado no projeto de arquitetura sagrada e arte sacra, bem como em projetos de natureza secular..  A crença básica é que as razões de geometria e matemática, harmônias e proporções, são também encontrados na música, na arte e na cosmologiaetc.... Este sistema de valores foi encontrada até mesmo na pré-história humana e é considerado por alguns como uma cultura universal da condição humana. A Geometria Sagrada foi fundamental para a construção de estruturas sagradas, como templos, mesquitas, megálitos, monumentos e igrejas, espaços sagrados, como altares e tendas, locais de reunião, tais como os bosques sagrados, vales e poços sagrados e na criação de arte sacra  e iconografia usando “divina proporção”.” “ Aproximada e verdadeira espiral de ouro. A espiral é feita de quartas-de-círculos tangentes ao interior de cada quadrado, A espiral em amarelo é uma “espiral dourada”, um tipo especial de espiral logarítmica.  O comprimento do lado de uma área para o próximo quadrado menor está em a proporção áurea. Geometria Sagrada pode ser entendida como uma visão de mundo de reconhecimento de padrões e um complexo sistema de símbolos e estruturas envolvendo espaço, tempo e forma. De acordo com essa crença, os padrões básicos de existência são percebidos como sagrados. Através da ligação com estes, uma pessoa que contempla o Magnum Mysterium, e o “grande projeto”. Ao estudar a natureza desses padrões, formas e relações e suas conexões, um insight pode ser adquirido das leis e proporções do Universo. A descoberta da relação entre a geometria a matemática e a música, dentro do Período Clássico, é atribuída a Pitágoras, que descobriu que uma seqüência interrompida na metade ao longo de seu comprimento produziu uma oitava, enquanto uma proporção de 3 / 2 produziu um intervalo de quinta e 4 / 3 produzidos quarto. Pitagóricos acreditavam que isto conferia poderes de cura da música, como poderia "harmonizar" o fora-de-equilíbrio corporal, e esta crença foi revivido nos tempos modernos . Hans Jenny, um médico que foi pioneiro no estudo das figuras geométricas formadas pelas interações de ondas e nomeado este estudo de cimática.” BONELL,Carmen,La divina proporción. Edicions UPC,1994 Imagem 63 Imagem 64 Imagem 65
  36. 36. A família das Espirais Executado pelo autor com o programa Gogle Sketchup 7 Imagem 66
  37. 37. O círculo “ Talvez o círculo tenha sido o símbolo mais antigo desenhado pela raça humana. Simples de ser executado, é uma forma cotidiana encontradiça na natureza, vista nos céus como os discos do sol e da lua, e ocorre nas formas das plantas e dos animais e nas estruturas geológicas naturais. Nos tempos antigos, as construções, fossem elas temporárias ou permanentes, eram circulares em sua grande maioria. Os nativos americanos tipi e os yurt mongólicos atuais são sobreviventes de uma antiga forma universal. Dos círculos de cabanas da Grã-Bretanha neolítica, desde, os círculos de pedra megalíticos até as igrejas e os templos redondos, a forma circular imitou a redondeza do horizonte visível, fazendo de cada construção, na verdade, um pequeno mundo em si mesmo. O círculo representa o completamento e a totalidade, e as estruturas redondas ecoam peculiarmente esse princípio. No Rosarium Philosophorum, um antigo tratado aIquímico, lemos a seguinte afirmação: Estraido do livro :PENNICK, NigelGeometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980 Considerando que o projeto tratará a forma de maneira simbólica e buscará carregá-la com significados, estudar o significado das formas geométricas é necessário e é pertinente incluí-lo nesses estudos preliminares. Executado pelo autor com o programa Gogle Sketchup 7 "Faze um círculo ao redor do homem e da mulher e desenha fora dele um quadrado e fora do quadrado um triângulo. Faze um círculo ao redor dele e terás a pedra dos filósofos.” O círculo contém aí a imagem do homem, como no famoso desenho virtuoso de Leonardo da Vinci. Com base nesta figura fundamental, pode-se produzir o quadrado e, depois, as outras figuras geométricas. A pedra dos filósofos, a súmula de todas as coisas e a chave para o conhecimento, é produzida dessa maneira erepresentada pelo círculo, a figura matriz de que podem ser geradas todas a s outras figuras geométricas. Com régua e compasso, todas as figuras importantes eram produzidas simples e elegantemente. Essas figuras - o vesica piscis, o triângulo eqüilátero, o quadrado, ohexágono e o pentágono -, todas elas mantêm relações diretas umas com as outras.” Imagem 67
  38. 38. O quadrado “ Os templos antigos eram freqüentemente construídos em forma quadrilátera. Representando o microcosmo e, em conseqüência, considerada como um emblema da estabilidade do mundo, essa característica era especialmente verdadeira para as representações artificiais de montanhas que reproduziam o mundo, para os zigurates, as pirâmides e as estupas. Essas estruturas simbolizavam o ponto de transição entre o céu e a terra e centralizavam idealmente o omphalos, o ponto axial do centro do mundo. Geometricamente, o quadrado é uma figura única. Pode ser dividido com precisão por dois e por múltiplos de dois apenas com um esboço. Também pode ser dividido em quatro quadrados quando se faz uma cruz que define automaticamente o centro exato do quadrado. O quadrado, orientado para os quatro pontos cardeais (no caso das pirâmides egípcias, com um exatidão fenomenal), pode ser novamente bisseccionado por diagonais, que o dividem em oito triângulos. Essas oito linhas, partindo do centro, formam os eixos que indicam as quatro direções cardeais e os "quatro cantos" do mundo - a divisão óctupla do espaço. Estraido do livro :PENNICK, NigelGeometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980 Essa divisão óctupla do espaço é venerada no "caminho óctupIo" da religião budista e nas "Quatro Estradas Reais da Grã-Bretanha“ relatadas minuciosamente na History of the Kings of Britain, de Geoffrey of Monmouth. Cada uma das direções, no Tibete, estava sob a guarda simbólica hereditária de uma família, tradição que encontrou paralelo na Grã-Bretanha nas oito Famílias Nobres que sobreviveram à Cristianização e produziram os reis e os santos da Igreja Celta. A divisão óctupla do quadrado era; na tradição européia, um emblema da divisão do dia e do ano, bem como da divisão do país e da sociedade. Embora a divisão óctupla do tempo fosse gradualmente eliminada com o advento do sistema duodécuplo dos cristãos, ela sobreviveu nos antigos quarterdays [primeiro dia de um trimestre] do calendário, nas tradicionais festas do fogo nos países pagãos e na geometria maçônica da arquitetura sagrada do sistema acht uhr ou ad quadratum. Voltarei a esse assunto importante num capítulo posterior.” Imagem 68 Executado pelo autor com o programa Gogle Sketchup 7
  39. 39. “ O hexágono é uma figura geométrica natural produzida pela divisão da circunferência de um círculo por meio dos seus raios. Os pontosda circunferência são conectados por linhas retas e produzem uma figura com seis lados iguais. Sendo uma função da relação entre o raio e a circunferência do círculo, o hexágono é uma figura natural que ocorre em toda anatureza. É produzido naturalmente na fervura e na mistura delíquidos. O físico francês Bénard observou, durante as suasexperiências de difusão em líquidos, que os padrões hexagonais se formavam freqüentemente em toda a superfície. Tais tourbillons cellulaires, ou "células de Bénard", foram objeto de muitos experimentos. Verificou-se que, em condições de perfeito equilíbrio, os padrões formavam hexágonos perfeitos. Esses padrões eram semelhantes aos das células que constituem a vida orgânica ou as formas prismáticas das rochas basálticas. Sujeitos às mesmas forças universais de viscosidade e de difusão, padrões similares são criados naturalmente num líquido fervente. O hexágono natural mais bem conhecido é aquele que se vê nos favos das abelhas. Esses favos são formados de uma reunião de prismas hexagonais cuja precisão é tão espantosa, que atraiu a atenção de muitos filósofos, que viam neles uma manifestação da harmonia divina na natureza. Estraido do livro :PENNICK, NigelGeometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980 Na Antigüidade, Pappus, o Alexandrino, dedicou a sua atenção a esse esquema hexagonal e chegou àconclusão de que as abelhas eram dotadas de uma "certa intuição geométrica", com a economia como princípio orientador, pois, "existindo três figuras que podem ocupar o espaço que circunda um ponto - a saber, o triângulo, o quadrado e o hexágono -, as abelhas escolheram sabiamente como sua estrutura aquela que possui mais ângulos, suspeitando com certeza que ela poderia conter mais mel do que qualquer uma das outras duas". Em minhas próprias pesquisas sobre a estrutura dos microrganismos marinhos, encontrei o hexágono na forma externa da Pyramimonas virginica, uma alga marinha norte-americana. Nela, as bases das estruturas que cobrem o corpo do organismo formam hexágonos perfeitos, embora elas sejam menores que o comprimento da onda da luz visível. Essa geometria natural sobre a qual o autor romano Plínio nos conta que os homens fizeram do seu estudo o trabalho de toda uma vida em sua época, é de interesse especial para o geômetra místico. propriedade interessante segundo a qual os vértices alternados dessa figura podem ser conectados por linhas retas para a produção do hexagrama. Essa figura, composta de triângulos eqüiláteros que se interpenetram, simboliza a fusão dos princípios opostos masculino e feminino, quente e frio, água e fogo, terra e ar, etc. e é, por conseguinte, símbolo da inteireza arquetípica, o poder divino da criação. Assim, foi usada na alquimia e continua sendo o símbolo sagrado dos judeus ainda em nossos dias. As dimensões dos triângulos que formam o hexagrama estão diretamente relacionadas ao círculo que as produz e podem ser o ponto de partida para desenvolvimentos geométricos.” O hexágono Executado pelo autor com o programa Gogle Sketchup 7 Imagem 69
  40. 40. “ No Timeu, Platão escreveu: "Ora, a figura [triângulo] que tenho dito ser a mais bela de todos os muitos triângulos (não é ne o cessário falar dos outros) é aquela cujo duplo forma um terceiro triângulo que é eqüilátero (...) escolhamos então dois triângulos, com que foram construídos o fogo e outros elementos, um isósceles, tendo o outro o quadrado do lado maior igual a três vezes o quadrado do lado menor". Esse símbolo é o triângulo eqüilátero circunscrito num hexagrama."Analisa"-se seu simbolismo somando-se os valores dos ângulos produzidos pelas várias partes e dividindo-se por tantos ângulos retos que tiverem igual valor. Esse método arcano possibilita que qualquer figura geométrica seja "analisada" e, assim, impregna a sua simplicidade com um rico simbolismo que foi explorado a fundo pelos arquitetos de construções sagradas. O triângulo eqüilátero determinado dentro do tetraedro é igual em valor geométrico aos oito ângulos retos - o número de graus em quatro triângulos eqüiláteros. Em virtude de ser o menor sólido geométrico regular e por causa da sua forma piramidal, foi utilizado pelos platônicos para representar o elemento fogo. Os triângulos "determinados" no hexagrama ou Sigilo de Salomão, sem levar em consideração as intersecções (que convencionalmente são mais entrelaçamentos do que junções), são equivalentes a dezesseis ângulos retos. Este é o número contido no octaedro, o sólido platônico composto de oito triângulos eqüiláteros de lados iguais. Ele foi atribuído pelos platônicos ao elemento ar, o mais próximo do tetraedro em leveza. Ignorando-se as intersecções, à Sigilo de Salomão, com seu triângulo menor superposto, se igualará ao número de graus dos 24 ângulos. Estraido do livro :PENNICK, NigelGeometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980 O cubo Este é o número que está no cubo, um sólido composto de seis quadrados iguais. Essa figura sólida e fixa simbolizava para os platônicos o elemento terra. Ele representou universalmente esse elemento onde quer que ele ocorresse na geometria sagrada - a base quadrangular do templo e da Cidade Sagrada, plantada fixamente sobre o omphalos. O triângulo invertido do sigilo, com o triângulo menor circunscrito, somado ao triângulo maior do hexagrama voltado para cima, perfaz quarenta ângulos retos, iguais em graus àqueles que estão no icosaedro, um regular formado por vinte triângulos eqüiláteros de lados iguais. Este é o sólido regular mais pesado formado por triângulos. Próximo ao cubo em peso, o icosaedro representou o elemento água. Assim, considera-se que toda forma que derivou do hexagrama, com seu triângulo interno, incorpora todos os sólidos platônicos e, por associação, os quatro elementos - um atributo da universalidade e um símbolo da lei da unidade dos opostos”. O Triângulo, Polígonos, cubos e os poliédros Executado pelo autor com o programa Gogle Sketchup 7 Imagem 70
  41. 41. “ O vesica piscis é aquela figura que se produz quando dois círculos de igual tamanho são desenhados, um a partir do centro do outro. Em termos geométricos sagrados, trata-se do ponto de derivação do triângulo eqüilátero e da linha reta que parte do círculo. Representou os órgãos genitais da Deusa Mãe, o ponto físico de origem da vida simbolizada por sua posição fundamental na geometria. Por essa razão, ocupou uma posição privilegiada na construção de edifícios sagrados. Dos círculos de pedra e dos templos mais antigos até as catedrais do período medieval, o ato inicial da construção foi relacionado ao nascer-do-sol de um dia predeterminado. Esse nascimento simbólico do templo com o novo sol é um tema universal e sua conexão com o vesica de forma genital não é mero acidente. A geometria do templo hindu, como as das suas contrapartidas espirituais da Ásia Menor, da África Setentrional ou da Europa, está registrada como sendo diretamente derivada da sombra de um poste ou gnomon. O Manasara Shilpa Shastra, um antigo texto sânscrito sobre construção de templos, detalha a derivação do plano a partir da orientação. Escolhido o sítio por um praticante de geomancia, um poste era cravado no chão naquele local. Um círculo era desenhado ao seu redor. Esse procedimento produz um eixo leste-oeste verdadeiro. De cada ponta desse eixo, desenhavam-se arcos, produzindo-se então um vesica piscis que, por sua vez, fornecia um eixo norte-sul. Estraido do livro :PENNICK, NigelGeometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980 Executado pelo autor com o programa Gogle Sketchup 7 Assim, o vesica universal era fundamental para a construção do templo. Com base nesse vesica inicial, desenhava-se um outro a partir do ângulo reto e, com base nele, um círculo central e depois um quadrado dirigido para os quatro quartos da terra. O sistema hindu de construção pode ser considerado fundamentalmente idêntico ao utilizado no método romano de construção de cidades e descrito nas obras de Vitrúvio. É produzido por observação direta e, assim, reproduz as condições predominantes no momento exato da fundação. Essa fixação no tempo, como o momento do nascimento na astrologia, é fundamental em todas as práticas de orientação, exatamente como um alinhamento incorporaria automaticamente os atributos astronômicos e astrológicos do tempo. O vesica não está envolvido na construção por princípios arbitrários. Ele é o ponto prático de partida do qual derivam todas as outras figuras geométricas. Dividindo-se o vesica com uma linha que passa pelos centros dos dois círculos, unindo-se os seus vértices comuns e, para um lado e para o outro, ligando-se esses vértices aos pontos em que a linha vertical cruza os círculos, obtêm-se dois triângulos eqüiláteros. Os lados desses triângulos são de comprimento igual ao raio do círculo gerador. Com base no triângulo eqüilátero, pode-se produzir facilmente o hexágono e o icosaedro.” Vesica Piscis Imagem 71
  42. 42. Extraido do livro de Robert Lawlor – Geometria Sagrada VÉSICA PISCIS Unidade Equilíbrio Estabilidade Homem Espírio materia ? Icosahedro (12 faces Octahedro (8 faces) Hexahedro Cubo (6 faces) Tetrahedro (4 faces Dodecaedro (12 faces
  43. 43. Geometria Euclidiana “ Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.) foi um professror matemático platónico e escritor de origem desconhecida, criador da famosa geometria euclidiana: o espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico, metáfora do saber na antiguidade clássica, que se manteve incólume no pensamento matemático medieval e renascentista, pois somente nos tempos modernos puderam ser construídos modelos de geometrias não-euclidianas. Teria sido educado em Atenas e freqüentado a Academia de Platão em pleno florescimento da cultura helenística.” “ Os postulados de Euclides são: 1. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une; 2. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta; 3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada; 4. Todos os ângulos retos são iguais; Em especial, o quinto postulado de Euclides: 5. Postulado de Euclides "Se uma linha reta cai em duas linhas retas de forma a que os dois ângulos internos de um mesmo lado sejam (em conjunto, ou soma) menores que dois ângulos retos, então as duas linhas retas, se forem prolongadas indefinidamente, encontram-se num ponto no mesmo lado em que os dois ângulos são menores que dois ângulos retos." Paralelismo de Euclides."Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais que no plano que definem não há mais do que uma reta incidente com P e paralela a r." Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo "Existe um triângulo em que a soma das medidas dos ângulos é igual a dois retos." a + b + d = 2 retos (a º + b º + d º = 180º) Os comentários que têm sido feitos a estes postulados ao longo dos séculos encheriam um grosso volume, em particular no que respeita ao termo "continuamente" no segundo postulado e em especial no que respeita ao último, chamado o postulado de paralelismo (de Euclides).” “ Durante séculos, os objetos e os conceitos da filosofia e da geometria euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objetos que representam certos fenômenos do Universo, tal como se passa com os fractais. Assim, considera-se hoje que tais objetos retratam formas e fenômenos da Natureza. Dispnível em 10/05/2010 - 23 hs - http://matematica-na-veia.blogspot.com/2007/08/euclides-de-alexandria.html www.prof2000.pt/.../mat_mes/actmatmesfev.htm Imagem 73
  44. 44. “ Marcos Vitrúvio Polião, em latim Marcus Vitruvius Pollio, foi um arquiteto e engenheiro romano que viveu no século I a.C. e deixou como legado a sua obra em 10 volumes, aos quais deu o nome de De Architectura (aprox. 40 a.C.) que constitui o único tratado europeu do período grego-romano que chegou aos nossos dias e serviu de fonte de inspiração a diversos textos sobre Construções hidráulicas, hidrológicas e arquitetônicas desde a época do Renascimento. Os seus padrões de proporções e os seus princípios arquiteturais: utilitas, venustas e firmitas (utilidade, beleza e solidez), inauguraram a base da Arquitetura clássica.” Maquete de Roma Geometria sagrada no teatro segundo Vitrúvio http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/civilizacao-grega/imagens/teatro-grego2.gif Homem Vitruviano Da Vinci – Sec-xvi Maquete de Roma Antiga - romaparati.blogs.sapo.pt/3026.html Teatro Grego – sec 5 a.c.- http://hist7alfandega.blogspot.com/2008_11_01_archive.html Vitrúvio Disponível em 20/04/2010 – 22:25 hs - http://novas-tec.blogspot.com/2008/12/os-espaos-do-teatro-segundo-vitruvio.html Imagem 76 Imagem 74 Imagem 75 Imagem 77
  45. 45. Luca Pacioli “ Luca Bartolomeo de Pacioli . (Sansepolcro, 1445 — Sansepolcro, 19 de junho de 1517) Foi um monge franciscano e célebre matemático italiano considerado o pai da contabilidade moderna.Apesar da infância pobre, foi educado pelo matemático Dominico Bragadino e tornou-se professor de matemática de uma escola local. Em 1470, na cidade de Veneza, como tutor dos filhos de um comerciante, escreveu a sua primeira obra de matemática na área de álgebra. Em 1475, tornou-se o primeiro professor de matemática da Universidade de Perugia. No ano de 1494 foi publicado em Veneza sua famosa obra “Summa de Arithmetica, Geometria proportioni et propornalità” (colecção de conhecimentos de aritmética, geometria, proporção e proporcionalidade). Pacioli tornou-se famoso devido a um capítulo deste livro que tratava sobre contabilidade: “Particulario de computies et scripturis”. Nesta secção do livro, Pacioli foi o primeiro a descrever a contabilidade de dupla entrada, conhecido como método veneziano ("el modo de Vinegia") ou ainda "método das partidas dobradas". O livro “Summa” tornou Pacioli famoso, sendo convidado em 1497 para ensinar matemática na corte de Ludovico em Milão. Um dos seus alunos e amigo foi Leonardo da Vinci. Em 1509, escreveu a sua segunda obra mais importante, De Divina Proportioni, ilustrada por da Vinci, que tratava sobre proporções artísticas. Continuou a estudar, lecionar e escrever até sua morte no mosteiro de Sansepolcro, em 1517.” Disponível em 05/4/2010h- http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/renascenca/paciol.- - htmttp://pt.wikipedia.org/wiki/Luca_Pacioli Imagem 78 Luca Bartolomeo de Pacioli, O.F.M. Monge Luca Pacioli Nascimento 1445 Sansepolcro, Toscana Morte 19 de junho de 1517 Sansepolcro, Toscana Nacionalidade Italiano
  46. 46. “ Leonardo Pisano Bogollo ou Leonardo de Pisa (c. 1170 — c. 1250), também conhecido como Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci ou, na maioria das vezes, simplesmente Fibonacci foi um matemático italiano, dito como o primeiro grande matemático europeu depois da decadência helênica. É considerado por alguns como o mais talentoso matemático ocidental da Idade Média. Ficou conhecido pela descoberta da sequência de Fibonacci e pelo seu papel na introdução dos algarismos árabes na Europa. 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946… sequência de Fibonacci Fibonacci Fibonacci é mais conhecido no mundo moderno pela divulgação do sistema numérico hindu na Europa, principalmente através da publicação no início do século XIII do seu Livro de Cálculo, o Libe Abaci; e pela sequência de números nomeada após sua morte e conhecid como os números de Fibonacci, que ele não descobriu, mas usou como exemplo no Liber Abaci.” Disponível em 04/04/2010 www.educ.fc.ul.pt/.../biografiadeFibonacci.html Imagem 79 N ú mero de Fibonacci, primo de Fibonacci, identidade de Brahmagupta – Fibonacci, polinômio de Fibonacci, pseudoprimo de Fibonacci, palavra de Fibonacci, constante dos inversos de Fibonacci, introdu ç ão do sistema num é rico hindu na Europa, per í odo de Pisano, n ú mero pr á tico Conhecido(a)   por Matem á tica Campo(s) Italiano Nacionalidade aprox. 1250 Morte Leonardo Pisano Bogollo aprox. 1170 Bugia Nascimento
  47. 47. “ A proporção áurea ou número de ouro ou número áureo ou ainda proporção dourada é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega φ (phi) e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. É um número que há muito tempo é empregado na arte. Também é chamada de: seção áurea,razão áurea, razão de ouro, divina proporção, proporção em extrema razão, divisão de extrema razão. É frequente a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. Phi (não confundir com o número Pi π), como é chamado o número de ouro, pode ser encontrado na proporção em conchas (o nautilus, por exemplo), seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), até na relação dos machos e fêmeas de qualquer colméia do mundo, e em inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do crescimento. Justamente por estar envolvido no crescimento, este número se torna tão frequente. E justamente por haver essa frequência, o número de ouro ganhou um status de "quase mágico", sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores. Apesar desse status, o número de ouro é apenas o que é devido aos contextos em que está inserido: está envolvido em crescimentos biológicos, por exemplo. EXTRAIDO DO LIVRO: DOCZI,Georgy. O Poder dos Limites. Ed. Mercúrio. São Paulo,SP. 1981 A proporção áurea será o “padrão de medida” da proposta de projeto a ser apresentada. Imagem 80
  48. 48. “ Proporção áurea em varias manifestações da cultura Humana. Trata-se do retângulo no qual a proporção entre o comprimento e a largura é aproximadamente o número Phi, ou seja, 1,618, que reflete também as proporções do Parténon. Os egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides. Por exemplo, cada bloco da pirâmide era 1,618 vezes maior que o bloco do nível logo acima. As câmaras no interior das pirâmides também seguiam essa proporção, de forma que os comprimentos das salas são 1,618 vezes maiores que as larguras. Disponível em 11 de abril de 2010 - http://demonstrations.wolfram.com/GoldenSection/ Música O número de ouro está presente nas famosas sinfonias Sinfonia n.º 5 e a Sinfonia n.º 9, de Ludwig van Beethoven, e em outras diversas obras. Outro fato interessante registrado na Revista Batera, em um artigo sobre o baterista de jazz Max Roach, é que, em seus solos curtos, aparece tal número, se considerarmos as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa. Cinema O diretor russo Sergei Eisenstein se utilizou do número φ no filme O Encouraçado Potemkin para marcar os inícios de cenas importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho das fitas de película Pintura A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea. Essa proporção estaria ali aplicada pelo motivo de o autor representar a perfeição da beleza. Em O Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, as dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa Razão Áurea entre si. Na história da arte renascentista, a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com base nessa constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção lhes dava para retratar a realidade com mais perfeição. A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, utiliza o número áureo nas relações entre seu tronco e cabeça, e também entre os elementos do rosto. <ul><li>Literatura </li></ul><ul><li>Na literatura, o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos últimos dias da Guerra de Tróia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo a 1,618, o número de ouro. </li></ul><ul><li>Luís de Camões na sua obra Os Lusíadas, colocou a chegada à Índia no ponto que divide a obra na razão de ouro. </li></ul><ul><li>Virgílio em sua obra Eneida, construiu a razão áurea com as estrofes maiores e menores. </li></ul><ul><li>Retângulo dourado” </li></ul>
  49. 49. Violino de Stradivarius A relação entre o Stradivarius e a geometria também tem sido objeto de estudo. A sua construção obedece a regras geométricas muito precisas. É construído segundo proporções áureas que inscrevem o seu comprimento e largura num retângulo de ouro; a forma da voluta obedece à espiral áurea. As relações áureas estão presentes em diversas atividades artisticas e artesanais. Disponível em 11 de abril de 2010 – 12:18 - http://demonstrations.Stradivarius..com/GoldenSection/ Imagem 76 Imagem 81 Imagem 82 Imagem 84 Imagem 83 Antonio Stradivari                                   Nasceu 1644 Cremona, Italia Morreu 1737 com  93 anos Cremona, Italia Ocupação Luthier
  50. 50. As “relações geométricas” em um violino Stradivarius. Disponível em 11 de abril de 2010- 12:28 - http://demonstrations.Stradivarius..com/GoldenSection/ Imagem 85 Imagem 86
  51. 51. NEGANDO A “SECÃO DOURADA” “ Alguns estudiosos negam que os gregos tinham qualquer associação com a estética proporção áurea. Por exemplo, Midhat J. Gazalé diz: &quot;Não foi até Euclides, no entanto, que as propriedades matemáticas da proporção áurea foram estudados. No Elementos (308 aC), o matemático grego considerado apenas o número como um número interessante irracional, em conexão com os racionais médios e extremos. Sua ocorrência em pentágonos regulares e decagonos foi devidamente observado, bem como no dodecaedro (um poliedro regular cujas faces são doze pentágonos regulares). Na verdade, é exemplar que o grande Euclides, ao contrário do que as gerações dos místicos seguida, iria tratar esse número sobriamente para o que é, sem anexar a ele que não as suas propriedades factual. &quot; e Keith Devlin diz:&quot; Certamente, a oft repetida afirmação de que o Parthenon, em Atenas é baseada na proporção áurea é não é suportada por medições reais. Na verdade, toda a história sobre os gregos e proporção áurea parece ser desprovida de fundamento. A única coisa que sabemos com certeza é que Euclides, no seu famoso livro Elementos, escrito por volta de 300 aC, mostrou como calcular seu valor. &quot; Fontes Próximas e contemporâneas de Vitruvius exclusivamente discutia as proporções que podem ser expressas em números inteiros, ou seja, proporcionais ao contrário de proporções irracionais.” Disponível em 11 de abril de 2010 – 00:27 - http://demonstrations.wolfram.com/GoldenSection/ Imagem pelo autor – programa Sketchup 7 Imagem 87
  52. 52. “ No período em que as catedrais góticas foram erigidas, havia dois sistemas maçônicos de geometria que eram comumente usados. O mais antigo era conhecido como ad quadratum e baseava-se no quadrado e nos seus derivados geométricos. O mais novo, e emalguns aspectos o sistema mais dinâmico, baseava-se no triângulo eqüilátero e era conhecido como ad triangulum. O ad quadratum era formado diretamente do quadrado e da sua figura derivada, o octograma. Colocava-se por cima do quadrado inicial - que era orientado segundo a maneira aprovada pelos geomantes e maçons encarregados da orientação - um segundo quadrado do mesmo tamanho. Este, a um ângulo de 450 do primeiro quadrado, formava o octograma, um poligrama de oito pontas. Na tradição maçônica, essa figura foi inventada por um mestre de Estrasburgo, Albertus Argentinus. Nos escritos maçônicos alemães posteriores, essa figura é chamada acht-uhr ou acht-ort, oito horas ou oito lugares. Esses nomes aludem a uma divisão óctupla pagã antiga do compasso, o dia e o ano que eram imitados no edifício como um microcosmo do mundo. A partir desse octograma inicial, toda a geometria da igreja podia ser desenvolvida de duas maneiras. A primeira maneira, o acht-ort verdadeiro, desenvolvia uma série de octogramas internos e externos, traçados diretamente a partir da primeira figura. Esse sistema. pode ser visto nas catedrais de Ely (ver Figura 26), Verdun, Bamberg e em outras catedrais basicamente românicas. Todavia, à época das últimas igrejas góticas, o sistema ad quadratum refinou-se para uma forma mais complexa baseada mais no quadrado duplo do que no simples. Essa forma, deve-se lembrar, era favorecida desde a antigüidade egípcia como uma forma adequada a um lugar santo. A segunda e última derivação do ad quadratum produziu o complexo geométrico elegantemente proporcionado conhecido como &quot;dodecaid&quot;, um poligrama irregular de doze pontas que se prestou admiravelmente ao planejamento de igrejas. Como o acht-ort simples do ad quadratum primitivo, a figura básica era um octograma.” Estraido do livro :PENNICK, NigelGeometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religi

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