Dedico às pessoasque procuramo melhor no outroe ao outrotambém oferecemo melhor de si.Jacir J. Venturi
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2020252526272929303536363739394144515253535760ÍndiceCAPÍTULO 1CAPÍTULO 2CAPÍTULO 3CAPÍTULO 4NOÇÕES PRELIMINARES01.02.RELAÇ...
2020252526272929303536363739394144515253535760ÍndiceCAPÍTULO 1CAPÍTULO 2CAPÍTULO 3CAPÍTULO 4NOÇÕES PRELIMINARES01.02.RELAÇ...
03. lnterseção de um plano com os eixos coordenados .......................04. Equação segmentária do plano .................
03.04.05.06.07.08.09.10.11.A RETA NO E01.02.03.04.05.06.07.08.09.10.11.lnterseção de um plano com os eixos coordenados ......
OÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiP R E F Á C I OO presente trabalho foi escrito tendo como norte u...
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ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiPrezado Universitário: motivação pela disciplina no Ensino Médio. ...
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ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiC A P Í T U L ORelações segmentáriasno espaço unidimensionalO mate...
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Isolando o x:Caso particular: se k = - 1 tem-se:Onde x é a abscissa do pontomédiodeP P .Exemplo:Achar a abscissa do ponto ...
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiC A P Í T U L OSistemas de coordenadasno espaço bidimensional...
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5. PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA6. BARICENTRO DE UM TRIÂNGULOSeja o segmento de extremidades P = (x , y ) e...
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 π−=3,2AÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi01.02.03.04.Passar do sistema cartesiano para o sist...
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ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiC A P Í T U L OSistemas de coordenadasno espaço tridimensional1. S...
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11.12.13.14.15.16.Os pontos A, B, M são colineares e M é o ponto médio de .Sabendo-se que A = (1, 3, 5) e M = (0, 1, 2), a...
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  1. 1. Dedico às pessoasque procuramo melhor no outroe ao outrotambém oferecemo melhor de si.Jacir J. Venturi
  2. 2. Dedico às pessoasque procuramo melhor no outroe ao outrotambém oferecemo melhor de si.Jacir J. Venturi
  3. 3. 2020252526272929303536363739394144515253535760ÍndiceCAPÍTULO 1CAPÍTULO 2CAPÍTULO 3CAPÍTULO 4NOÇÕES PRELIMINARES01.02.RELAÇÕES SEGMENTÁRIAS NO ESPAÇO UNIDIMENSIONAL01.02.03.04.05.06.07.SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO BIDIMENSIONAL01.02.03.04.05.06.07.08.SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL01.02.03.04.05.06.Elementos primitivos ....................................................................Ponto e reta impróprios ................................................................Reta orientada .............................................................................Medida algébrica de um segmento ...............................................Razão simples de três pontos .......................................................Divisão áurea ...............................................................................Abscissas na reta .........................................................................Distância entre dois pontos ..........................................................Razão simples de três pontos .......................................................Sistema cartesiano ortogonal .......................................................Sistema cartesiano oblíquo ..........................................................Pares ordenados: operações e igualdade ....................................Distância entre dois pontos ..........................................................Ponto que divide um segmento numa razão dada ........................Baricentro de um triângulo ...........................................................Sistema polar ...............................................................................Passagem do sistema polar para o sistemacartesiano ortogonal .....................................................................Sistema cartesiano ortogonal .......................................................Distância entre dois pontos ..........................................................Ponto que divide um segmento numa razão dada ........................Baricentro do triângulo .................................................................Sistema cilíndrico .........................................................................Sistema esférico ...........................................................................CAPÍTULO 5CAPÍTULO 6CAPÍTULO 7VETORES01.02.03.04.05.06.07.08.09.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.VETORES: APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS CLÁSSICAS01.02.03.04.05.06.07.08.09.O PLANO NO E01.02.Sinopse histórica ..........................................................................Grandezas escalares e vetoriais ....................................................Definições, etimologia e notações ..................................................Paralelismo de vetores ..................................................................Multiplicação de um vetor por umescalar .......................................Coplanaridade de vetores ..............................................................Adição de vetores ..........................................................................Subtração de vetores .....................................................................Combinação linear de vetores ........................................................Expressão cartesiana de umvetor .................................................Condição de paralelismo de dois vetores .......................................Condição de coplanaridade de vetores ..........................................Combinação linear de quatro vetores .............................................Ângulo de dois vetores ...................................................................Multiplicação interna ou escalar .....................................................Expressão cartesiana do produto escalar ......................................Multiplicação vetorial ou externa ....................................................Área de um paralelogramo e de umtriângulo ..................................Multiplicação mista ........................................................................Duplamultiplicação vetorial ...........................................................Projeção de umvetor sobre umoutro vetor ....................................Projeção de umponto sobre umplano ...........................................Distância de ponto a plano .............................................................Distância de umponto a reta ..........................................................Distância entre duas retas .............................................................Área de um triângulo ......................................................................Área da projeção ortogonal de umtriângulo sobre umplano ...........Área da projeção não ortogonalde umtriângulo sobre umplano ......................................................Co-senos diretores de umvetor .....................................................Equação do plano ...........................................................................Pertinência de ponto a plano ..........................................................364646467687070727777798487899097104111115121128132135137139142144145148157160
  4. 4. 2020252526272929303536363739394144515253535760ÍndiceCAPÍTULO 1CAPÍTULO 2CAPÍTULO 3CAPÍTULO 4NOÇÕES PRELIMINARES01.02.RELAÇÕES SEGMENTÁRIAS NO ESPAÇO UNIDIMENSIONAL01.02.03.04.05.06.07.SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO BIDIMENSIONAL01.02.03.04.05.06.07.08.SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL01.02.03.04.05.06.Elementos primitivos ....................................................................Ponto e reta impróprios ................................................................Reta orientada .............................................................................Medida algébrica de umsegmento ...............................................Razão simples de três pontos .......................................................Divisão áurea ...............................................................................Abscissas na reta .........................................................................Distância entre dois pontos ..........................................................Razão simples de três pontos .......................................................Sistema cartesiano ortogonal .......................................................Sistema cartesiano oblíquo ..........................................................Pares ordenados: operações e igualdade ....................................Distância entre dois pontos ...........................................................Ponto que divide umsegmento numa razão dada .........................Baricentro de umtriângulo ............................................................Sistema polar ...............................................................................Passagem do sistema polar para o sistemacartesiano ortogonal .....................................................................Sistema cartesiano ortogonal .......................................................Distância entre dois pontos ..........................................................Ponto que divide umsegmento numa razão dada .........................Baricentro do triângulo .................................................................Sistema cilíndrico .........................................................................Sistema esférico ...........................................................................CAPÍTULO 5CAPÍTULO 6CAPÍTULO 7VETORES01.02.03.04.05.06.07.08.09.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.VETORES: APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS CLÁSSICAS01.02.03.04.05.06.07.08.09.O PLANO NO E01.02.Sinopse histórica ..........................................................................Grandezas escalares e vetoriais ....................................................Definições, etimologia e notações ..................................................Paralelismo de vetores ..................................................................Multiplicação de um vetor por um escalar ......................................Coplanaridade de vetores ..............................................................Adição de vetores ..........................................................................Subtração de vetores .....................................................................Combinação linear de vetores ........................................................Expressão cartesiana de um vetor .................................................Condição de paralelismo de dois vetores .......................................Condição de coplanaridade de vetores ..........................................Combinação linear de quatro vetores .............................................Ângulo de dois vetores ...................................................................Multiplicação interna ou escalar .....................................................Expressão cartesiana do produto escalar ......................................Multiplicação vetorial ou externa ....................................................Área de um paralelogramo e de um triângulo ................................Multiplicação mista ........................................................................Duplamultiplicação vetorial ...........................................................Projeção de um vetor sobre um outro vetor ..................................Projeção de um ponto sobre um plano .........................................Distância de ponto a plano .............................................................Distância de um ponto a reta ........................................................Distância entre duas retas .............................................................Área de um triângulo ......................................................................Área da projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano .........Área da projeção não ortogonalde um triângulo sobre um plano ...................................................Co-senos diretores de umvetor .....................................................Equação do plano ...........................................................................Pertinência de ponto a plano ..........................................................364646467687070727777798487899097104111115121128132135137139142144145148157160
  5. 5. 03. lnterseção de um plano com os eixos coordenados .......................04. Equação segmentária do plano .....................................................05. Equação do plano que passa por um ponto eortogonal a um vetor .....................................................................06. Casos particulares da equação geral do plano ..............................07. Paralelismo e ortogonalidade de dois planos ................................08. Equação do feixe de dois planos ...................................................09. Distância de um P a um plano a...................................................O10. Equação dos planos bissetores ....................................................11. Ângulo de dois planos ...................................................................3ARETANO E01. Equações da reta ..........................................................................02. Posições relativas de duas retas ...................................................03. Condições de paralelismo e ortogonalidade de duas retas ............04. Condição de coplanaridade de duas retas ....................................05. lnterseção de reta e plano .............................................................06. lnterseção de duas retas ...............................................................07. Condições de paralelismo e ortogonalidade de reta e plano ..........08. Distância de um ponto a uma reta .................................................09. Distância entre duas retas reversas ..............................................10. Ângulo de duas retas ....................................................................11. Ângulo de uma reta com um plano .................................................................................................................CAPÍTULO 8eAPÊNDICE - RECR ANDOi160162164166171176179182183187198199202205206210216218220221224
  6. 6. 03.04.05.06.07.08.09.10.11.A RETA NO E01.02.03.04.05.06.07.08.09.10.11.lnterseção de um plano com os eixos coordenados .......................Equação segmentária do plano .....................................................Equação do plano que passa por umponto eortogonal a umvetor .....................................................................Casos particulares da equação geral do plano ..............................Paralelismo e ortogonalidade de dois planos ................................Equação do feixe de dois planos ...................................................Distância de umP a umplano ...................................................Equação dos planos bissetores ....................................................Ângulo de dois planos ...................................................................Equações da reta ..........................................................................Posições relativas de duas retas ...................................................Condições de paralelismo e ortogonalidade de duas retas ............Condição de coplanaridade de duas retas ....................................lnterseção de reta e plano .............................................................lnterseção de duas retas ...............................................................Condições de paralelismo e ortogonalidade de reta e plano ..........Distância de umponto a uma reta .................................................Distância entre duas retas reversas ..............................................Ângulo de duas retas ....................................................................Ângulo de uma reta com umplano .................................................O α3CAPÍTULO 8APÊNDICE - RECR ANDOe................................................................i160162164166171176179182183187198199202205206210216218220221224
  7. 7. OÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiP R E F Á C I OO presente trabalho foi escrito tendo como norte umapremissa básica: que fosse acessível ao aluno do 1.º ano dafaculdade e para tanto sua linguagem teria que ser tão clara edidática quanto possível. Por vezes, preferiu-se a apresentaçãointuitiva aos refinamentos teóricos.Contém 421 exercícios (com seus subitens) em ordemcrescente de dificuldade. Para uma boa assimilação do texto,resolveremos diversos exercícios emaula, deixando os demais acargo do aluno. Propositalmente, não se inseriram no textoexercícios resolvidos (afora alguns exemplos de aplicaçãoimediata da teoria) para uma maior valorização da aula,enlevando a interação aluno-professor. O aluno deve ter emmente que à resolução dos exercícios deve preceder um bomconhecimento da teoria.Um grande número de ilustrações facilita oentendimento do texto e é imprescindível quando se almeja aformação de uma visão espacial na Geometria AnalíticaTridimensional. Há sinopses históricas, indicações de aplica-bilidade prática e sugestões para a resolução de exercícios, nointuito de motivar o aluno naquilo que está estudando.Os quatros primeiros capítulos integram o programa daGeometria Analítica na UFPR e foram abordados de maneiraconcisa para não penalizar importantes capítulos vindouros dadisciplina: reta, plano, cônicas, superfícies, etc.Os capítulos 5 e 6 tratam de vetores. Há inúmeroscaminhos para a resolução de problemas geométricos atravésda Álgebra, porém o tratamento vetorial é o mais indicado pelasua elegância e simplicidade, além de ser assaz importante aoutras disciplinas. A um bom rendimento escolar em GeometriaAnalítica, com enfoque vetorial, atrela-se um respeitávelconhecimento dos capítulos 5 e 6.Há que se tomar público que, face à nossa formaçãoacadêmica e relacionamento profissional, o presente trabalhorecebeu preponderante influência do livro Geometria Analítica eVetores, do Professor Leo Barsotti, que recomendamos a todosos alunos que aspiram a um aprofundamento e a um maior rigorno assunto.Ademais, cumprimos o elementar dever de gratidãopelo desprendimento com que os professores Florinda Miyaòka,Osny A. Dacol, Ana Maria N. de Oliveira, Luci C. Watanabe e IvoJ. Riegler se dispuseram a ler o manuscrito e apresentar sugestões.O mesmo preito de gratidão estendemos à plêiade de colegas eamigos do Depto. de Matemática da UFPR, que nos propiciaramuma convivência de crescimento na disciplina, em mais de quatrolustros.Críticas e sugestões hão de surgir. E serão bem-vindas.Resta-nos o consolo de ter envidado esforços para empregar util-mente o nosso tempo. "A censura que nos for feita - se faz oportunoSouza Pinto - há de ser mitigada pelo censor se ele chegar a terconsciência de nossa boa vontade emacertar."
  8. 8. OÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiP R E F Á C I OO presente trabalho foi escrito tendo como norte umapremissa básica: que fosse acessível ao aluno do 1.º ano dafaculdade e para tanto sua linguagem teria que ser tão clara edidática quanto possível. Por vezes, preferiu-se a apresentaçãointuitiva aos refinamentos teóricos.Contém 421 exercícios (com seus subitens) em ordemcrescente de dificuldade. Para uma boa assimilação do texto,resolveremos diversos exercícios emaula, deixando os demais acargo do aluno. Propositalmente, não se inseriram no textoexercícios resolvidos (afora alguns exemplos de aplicaçãoimediata da teoria) para uma maior valorização da aula,enlevando a interação aluno-professor. O aluno deve ter emmente que à resolução dos exercícios deve preceder um bomconhecimento da teoria.Um grande número de ilustrações facilita oentendimento do texto e é imprescindível quando se almeja aformação de uma visão espacial na Geometria AnalíticaTridimensional. Há sinopses históricas, indicações de aplica-bilidade prática e sugestões para a resolução de exercícios, nointuito de motivar o aluno naquilo que está estudando.Os quatros primeiros capítulos integram o programa daGeometria Analítica na UFPR e foram abordados de maneiraconcisa para não penalizar importantes capítulos vindouros dadisciplina: reta, plano, cônicas, superfícies, etc.Os capítulos 5 e 6 tratam de vetores. Há inúmeroscaminhos para a resolução de problemas geométricos atravésda Álgebra, porém o tratamento vetorial é o mais indicado pelasua elegância e simplicidade, além de ser assaz importante aoutras disciplinas. A um bom rendimento escolar em GeometriaAnalítica, com enfoque vetorial, atrela-se um respeitávelconhecimento dos capítulos 5 e 6.Há que se tomar público que, face à nossa formaçãoacadêmica e relacionamento profissional, o presente trabalhorecebeu preponderante influência do livro Geometria Analítica eVetores, do Professor Leo Barsotti, que recomendamos a todosos alunos que aspiram a um aprofundamento e a um maior rigorno assunto.Ademais, cumprimos o elementar dever de gratidãopelo desprendimento com que os professores Florinda Miyaòka,Osny A. Dacol, Ana Maria N. de Oliveira, Luci C. Watanabe e IvoJ. Riegler se dispuseram a ler o manuscrito e apresentar sugestões.O mesmo preito de gratidão estendemos à plêiade de colegas eamigos do Depto. de Matemática da UFPR, que nos propiciaramuma convivência de crescimento na disciplina, em mais de quatrolustros.Críticas e sugestões hão de surgir. E serão bem-vindas.Resta-nos o consolo de ter envidado esforços para empregar util-mente o nosso tempo. "A censura que nos for feita - se faz oportunoSouza Pinto - há de ser mitigada pelo censor se ele chegar a terconsciência de nossa boa vontade emacertar."
  9. 9. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiPrezado Universitário: motivação pela disciplina no Ensino Médio. Este embasamento representaa para um bom rendimento na Faculdade. Isto posto,a carência de tal embasamento leva a obstáculos que podem sertranspostos na interação aluno-professor. A nós, professores, importa asensibilidade à percepção de tais dificuldades bem como a disposição deretornar aos níveis anteriores sempre que necessário. É frustranteobservar que em certos cursos - em especial noturnos - o índice dedesistência atinge 50% até ou logo após a primeira avaliação. Seconsciente da sofrível formação anterior, cabe ao universitário novel abusca junto aos livros, professores e colegas. Atirar pedras no passado,pela malsã qualidade de ensino ou pela má qualificação de algunsprofessores do Ensino Fundamental ou Médio, não leva a nada. "Oimportante - afirma Jean Paul Sartre - não é o que fizeram de nós, mas oque fazemos do que fizeram de nós".Ao ingressar na Universidade, o calouro sente-se perplexo edesamparado. Há, no sistema educacional brasileiro, uma dicotomia entreo Ensino Médio e a Faculdade. Enfatizam-se demonstrações, teoremas eabstrações aqui e quase nada lá. Cobra-se autodidatismo e raciocínio nafaculdade de quem cursou (salvo exceções) um Ensino Médiopreponderantemente à base de memorizações e expedientes similares.Tal procedimento - argumenta Valmir Chagas - “desenvolve uma estranhametodologia de perguntas e respostas tipificadas e gera maus hábitos deestudo". É uma ledice enganosa transferir a metodologia de ensino doscursinhos ao Ensino Médio.Cabe à comunidade universitária a consciência das mazelas dosistema educacional brasileiro. Não é só: faz-se mister uma postura críticae participativa diante das decisões administrativas e pedagógicas. Se talsituação não é apanágio do momento atual e sim tão antiga quanto opróprio Brasil, a ressalva cabe ao conformismo apático e ao fatalismo deaceitar as coisas como estão e como sempre foram.É papel precípuo da Universidade, e lhe cabe a iniciativa,promover física e socialmente a comunidade. Esta geralmente não temconsciência de seus próprios problemas e muito menos de como resolvê-los.O Autorconditio sine qua non"Tinha 12 anos quando assisti à demons-tração de um teorema de geometria e sentiuma espécie de vertigem. Parecia queestava descobrindo um mundo de infinitaharmonia. Não sabia, então, que acabavade descobrir o universo platônico, com suaordem perfeita, com seus objetos eternos eincorruptíveis, de uma beleza perfeita ealheia a todos os vícios que eu acreditavasofrer. Assim, apesar deminhavocação sera de escrever ou pintar, fui atraído durantemuitos anos por aquela realidade fantás-tica."Neste excerto de entrevista, de 1987, o renomado escritorargentino Ernesto Sábato sintetiza um dos mais conspícuos encômios àGeometria e, por extensão, à Matemática "um mundo de infinitaharmonia". Este é o sentimento que nós, professores, devemos transmitiraos alunos de boa vontade.A didática, de um lado, cobra do professor a sensibilidade paraperceber o nível da classe e, a partir daí, iniciar o seu trabalho; que oprofessor dispa a postura hermética e estanque do ensino à base de"quadro-negro, giz e salivação"; que induza o seu discípulo a apreciar aMatemática como disciplina autônoma, abstrata e, concomitantemente,utilitária em diversos setores. De outro lado, faz-se mister que o alunoperceba o seu papel no processo, assumindo uma postura dinâmica eparticipativa. Não basta ao aluno sentar-se em sala de aula e ouvir aexplicação do professor. É impossível aprender a jogar tênis apenasassistindo de camarote. Assim também com a Matemática: é necessáriotreino, exercícios e efetiva participação pessoal.A Matemática é uma disciplina que propicia o encetamento e aformação do raciocínio. E para a maioria das atividades profissionais (queexigem o nível secundário ou universitário) é o raciocínio a principalferramenta de trabalho. Mesmo profissionais que não a utilizam,reconhecem que a Matemática enseja o apanágio da lógica, da têmperaracional da mente e da coerência do pensamento.Acreditamos que o estímulo ou o desestímulo pela Matemáticaocorre a nível do Ensino Fundamental. A esse nível, tal como uma estruturageológica, os conhecimentos matemáticos se sedimentam e seestratificam. Disso resulta, como maior legado, o entendimento e a
  10. 10. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiPrezado Universitário: motivação pela disciplina no Ensino Médio. Este embasamento representaa para um bom rendimento na Faculdade. Isto posto,a carência de tal embasamento leva a obstáculos que podem sertranspostos na interação aluno-professor. A nós, professores, importa asensibilidade à percepção de tais dificuldades bem como a disposição deretornar aos níveis anteriores sempre que necessário. É frustranteobservar que em certos cursos - em especial noturnos - o índice dedesistência atinge 50% até ou logo após a primeira avaliação. Seconsciente da sofrível formação anterior, cabe ao universitário novel abusca junto aos livros, professores e colegas. Atirar pedras no passado,pela malsã qualidade de ensino ou pela má qualificação de algunsprofessores do Ensino Fundamental ou Médio, não leva a nada. "Oimportante - afirma Jean Paul Sartre - não é o que fizeram de nós, mas oque fazemos do que fizeram de nós".Ao ingressar na Universidade, o calouro sente-se perplexo edesamparado. Há, no sistema educacional brasileiro, uma dicotomia entreo Ensino Médio e a Faculdade. Enfatizam-se demonstrações, teoremas eabstrações aqui e quase nada lá. Cobra-se autodidatismo e raciocínio nafaculdade de quem cursou (salvo exceções) um Ensino Médiopreponderantemente à base de memorizações e expedientes similares.Tal procedimento - argumenta Valmir Chagas - “desenvolve uma estranhametodologia de perguntas e respostas tipificadas e gera maus hábitos deestudo". É uma ledice enganosa transferir a metodologia de ensino doscursinhos ao Ensino Médio.Cabe à comunidade universitária a consciência das mazelas dosistema educacional brasileiro. Não é só: faz-se mister uma postura críticae participativa diante das decisões administrativas e pedagógicas. Se talsituação não é apanágio do momento atual e sim tão antiga quanto opróprio Brasil, a ressalva cabe ao conformismo apático e ao fatalismo deaceitar as coisas como estão e como sempre foram.É papel precípuo da Universidade, e lhe cabe a iniciativa,promover física e socialmente a comunidade. Esta geralmente não temconsciência de seus próprios problemas e muito menos de como resolvê-los.O Autorconditio sine qua non"Tinha 12 anos quando assisti à demons-tração de um teorema de geometria e sentiuma espécie de vertigem. Parecia queestava descobrindo um mundo de infinitaharmonia. Não sabia, então, que acabavade descobrir o universo platônico, com suaordem perfeita, com seus objetos eternos eincorruptíveis, de uma beleza perfeita ealheia a todos os vícios que eu acreditavasofrer. Assim, apesar deminhavocação sera de escrever ou pintar, fui atraído durantemuitos anos por aquela realidade fantás-tica."Neste excerto de entrevista, de 1987, o renomado escritorargentino Ernesto Sábato sintetiza um dos mais conspícuos encômios àGeometria e, por extensão, à Matemática "um mundo de infinitaharmonia". Este é o sentimento que nós, professores, devemos transmitiraos alunos de boa vontade.A didática, de um lado, cobra do professor a sensibilidade paraperceber o nível da classe e, a partir daí, iniciar o seu trabalho; que oprofessor dispa a postura hermética e estanque do ensino à base de"quadro-negro, giz e salivação"; que induza o seu discípulo a apreciar aMatemática como disciplina autônoma, abstrata e, concomitantemente,utilitária em diversos setores. De outro lado, faz-se mister que o alunoperceba o seu papel no processo, assumindo uma postura dinâmica eparticipativa. Não basta ao aluno sentar-se em sala de aula e ouvir aexplicação do professor. É impossível aprender a jogar tênis apenasassistindo de camarote. Assim também com a Matemática: é necessáriotreino, exercícios e efetiva participação pessoal.A Matemática é uma disciplina que propicia o encetamento e aformação do raciocínio. E para a maioria das atividades profissionais (queexigem o nível secundário ou universitário) é o raciocínio a principalferramenta de trabalho. Mesmo profissionais que não a utilizam,reconhecem que a Matemática enseja o apanágio da lógica, da têmperaracional da mente e da coerência do pensamento.Acreditamos que o estímulo ou o desestímulo pela Matemáticaocorre a nível do Ensino Fundamental. A esse nível, tal como uma estruturageológica, os conhecimentos matemáticos se sedimentam e seestratificam. Disso resulta, como maior legado, o entendimento e a
  11. 11. 2ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICAS I N O P S E H I S T Ó R I C A13Foi extraordinária o incremento dado à Geometria Plana eEspacial pelos matemáticos helenísticos:·Pitágoras (560 - 500 a.C.)·Euclides (c. 325 - c. 265 a.C.)·Arquimedes (287 - 212 a.C.)·Apolônio de Perga (262 - 190 a.C.)Com estes ecléticos sábios, a Matemática deixa seu caráctermeramente intuitivo e empírico (egípcios e babilônios) e se assume comodisciplina racional, dedutiva e lógica, a partir da criação de definições,axiomas, postulados e teoremas.Pitágoras fundou no sul da Itália, na Ilha de Crotona, a EscolaPitagórica, a quem se concede a glória de ser a "primeira universidade domundo". Foi uma entidade parcialmente secreta, envolta em lendas, comcentenas de alunos. Estudavam Matemática, Astronomia, Música eReligião.Embora se suspeite da autenticidade histórica, conta-se quePitágoras tenha praticado uma hecatombe (sacrifício de cem bois),2 2 2comemorando a demonstração do seu célebre teorema a = b + c .Consta que uma grande celeuma instalou-se entre os discípulosde Pitágoras a respeito da irracionalidade do . Utilizando a notação2algébrica, a equação x = 2 não admitia solução numérica para os pitagó-ricos pois estes só conheciam os números racionais. Dada a conotaçãomística dos números, comenta-se que, quando o infeliz Hipasus deMetapontum propôs uma solução para o impasse, os outros discípulos oexpulsaram da escola e o afogaram no mar.Euclides fundou a Escola de Matemática na renomada BibliotecadeAlexandria.Todos os grandes geômetras da antigüidade como Euclides,Arquimedes, Eratóstenes, Apolônio, Papus, Diofanto, Cláudio Ptolomeu,Teon deAlexandria, Hipátia, etc. se debruçaram sobre os vetustos e novéispergaminhos e papiros da grande biblioteca.Asua destruição talvez tenha representado o maior crime contra osaber em toda a história da humanidade.Em 48 a.C., envolvendo-se na disputa entre a voluptuosaCléopatra e seu irmão, o imperador Júlio César manda incendiar aesquadra egípcia ancorada no porto de Alexandria. O fogo se propaga atéas dependências da Biblioteca, queimando cerca de 500.000 rolos.Restaram aproximadamente 200.000 rolos.Em 640 d.C., o califa Omar mandou que fossem queimados todosos livros da Biblioteca sob o argumento que "ou os livros contêm o que estáno Alcorão e são desnecessários ou contêm o oposto e não devemos lê-los".A mais conspícua obra de Euclides, Os Elementos (c. 300 a.C.)Ö2
  12. 12. 2ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiS I N O P S E H I S T Ó R I C A constitui o mais notável compêndio de matemática de todos os tempos,com mais de mil edições desde o advento da imprensa (a primeira versãoimpressa de apareceu emVeneza em1482).Tem sido - segundo George Simmons -.A Biblioteca da Alexandria estava muito próxima do que seentende hoje por Universidade. E se faz apropriado o depoimento doinsigne Carl B. Boyer, em a "A Universidade deAlexandria evidentemente não diferia muito de instituições modernas decultura superior. Parte dos professores provavelmente se notabilizou napesquisa, outros eram melhores como administradores e outros aindaeram conhecidos pela sua capacidade de ensinar. Pelos relatos quepossuímos, parece que Euclides definitivamente pertencia à últimacategoria. Nenhuma descoberta nova é atribuída a ele, mas era conhecidopela sua habilidade ao expor. Essa é a chave do sucesso de sua maior obra".A genialidade de como físico-matemático só écomparável com Isaac Newton, no século XVIII. Pelas concretas ousupostas obras de Engenharia, foi um precursor de .Sua produção é completamente original e muito vasta, incluindo GeometriaPlana e Sólida, Astronomia, Aritmética, Mecânica e Hidrostática.Nasceu na Sicília, na cidade grega de Siracusa. Quando jovemestudou em Alexandria, o templo do saber da época, com os discípulos deEuclides.Suas invenções engenhosas, suas máquinas de caráter utilitário ebélico, o memorizaram através dos séculos por historiadores romanos,gregos, bizantinos e árabes.Arquimedes, no entanto, considerava seus engenhos mecânicoscomo fator episódico e que, de certa forma, tiravam a dignidade da ciênciapura. "Sua mentalidade não era a de um engenheiro, mas sim, a de ummatemático."Alguns de seus feitos são clássicos e conhecidos, mas merecemser relembrados:Refeito do vexame, Arquimedes comprovou que houve fraude porOs ElementosHistória da Matemática.Os ElementosArquimedesLeonardo da Vinci"considerado como res-ponsável por uma influência sobre a mente humana maior que qualqueroutro livro, com exceção da Bíblia"Por descrição de Vitrúvio, conhecemos a história da coroa da reiHerão. Este havia encomendado a um ourives uma coroa de ouro puro.Uma vez pronta, o desconfiado rei Herão solicitou a Arquimedes queanalisasse a coroa e dirimisse a dúvida: era a coroa de ouro puro ou feita deuma amálgama com prata?Quando tomava banho, Arquimedes, observou que, à medida queseu corpo mergulhava na banheira, a água transbordava. Foi opara resolver o problema.Conta a historiador Vitrúvio que Arquimedes, eufórico, teria saídopelas ruas, completamente nu, gritando " , que significa.insightEureka, eureka""Achei, achei"Foi extraordinária o incremento dado à Geometria Plana eEspacial pelosmatemáticos helenísticos:Pitágoras (560 - 500 a.C.)Euclides (c. 325 - c. 265 a.C.)Arquimedes (287 - 212 a.C.)Apolônio de Perga (262 - 190 a.C.)Com estes ecléticos sábios, a Matemática deixa seu caráctermeramente intuitivo e empírico (egípcios e babilônios) e se assume comodisciplina racional, dedutiva e lógica, a partir da criação de definições,axiomas, postulados e teoremas.fundou no sul da Itália, na Ilha de Crotona, a EscolaPitagórica, a quem se concede a glória de ser a "primeira universidade domundo". Foi uma entidade parcialmente secreta, envolta em lendas, comcentenas de alunos. Estudavam Matemática, Astronomia, Música eReligião.Embora se suspeite da autenticidade histórica , conta-se quePitágoras tenha praticado uma hecatombe (sacrifício de cem bois),comemorando a demonstração do seu célebre teorema a = b + c .Consta que uma grande celeuma instalou-se entre os discípulosde Pitágoras a respeito da irracionalidade do . Utilizando a notaçãoalgébrica, a equação x = 2 não admitia solução numérica para os pitagó-ricos pois estes só conheciam os números racionais. Dada a conotaçãomística dos números, comenta-se que, quando o infeliz Hipasus deMetapontum propôs uma solução para o impasse, os outros discípulos oexpulsaram da escola e o afogaram nomar.fundou a Escola de Matemática na renomada Bibliotecade Alexandria. Todos os grandes geômetras da antigüidade comoEuclides, Arquimedes, Eratóstenes, Apolônio, Papus, Diofanto, CláudioPtolomeu, Teon de Alexandria, Hipátia, etc. se debruçaram sobre osvetustos e novéis pergaminhos e papiros da grande biblioteca.A sua destruição talvez tenha representado o maior crime contra osaber emtodaahistóriadahumanidade.Em 48 a.C., envolvendo-se na disputa entre a voluptuosaCléopatra e seu irmão, o imperador Júlio César manda incendiar aesquadra egípcia ancorada no porto de Alexandria. O fogo se propaga atéas dependências da Biblioteca, queimando cerca de 500.000 rolos.Restaram aproximadamente 200.000 rolos.Em 640 d.C., o califa Omar mandou que fossem queimados todosos livros da Biblioteca sob o argumento que.A mais conspícua obra de Euclides, (c. 300 a.C.)••••PitágorasEuclidesOs Elementos2 2 22"ou os livros contêm o que estáno Alcorão e são desnecessários ou contêm o oposto e não devemos lê-los"
  13. 13. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiApolônio, e não Euclides, mereceu dos antigos o epíteto de oGrande Geômetra e isto pode nos parecer inaceitável. A verdade é que nãose pode questionar o mérito de ambos. Euclides tornou-se sinônimo deGeometria por sua amplamente conhecida obra , enquantoamaiorparte das obras de Apolônio desapareceram.O que sabemos dessas obras perdidas devemos a(século IV d.C.), que fez uma breve descrição de suamonumental produção matemática. Infere-se que os tratados de Apolôniocontinham uma Matemática bastante avançada e inclusive muito do queconhecemos hoje como Geometria Analítica.Para gáudio de todos, porém, o tratado , sobre seçõescônicas, suplantou todas as obras existentes na antigüidade. O tratado AsCônicas é composto de 8 livros, sete dos quais sobreviveram.É inegável a influência de Apolônio sobre Isaac Newton, Ptolomeu(tabelas trigonométricas, sistemas de latitude e longitude), Kepler (""), Galileu (" ").Sabemos que a Geometria Analítica faz uma simbiose daGeometria com a Álgebra. Face o exposto, concluímos que os gregospromoveram um extraordinário incremento à Geometria. No entanto, comonão dispunham de uma notação algébrica adequada, a Matemática gregateve o seu ocaso com Apolônio.A Álgebra, podemos afirmar de forma concisa, possui uma duplapaternidade: e .viveu no século III d.C., e sua principalobra foi , tratado que originalmente era composto de 13 livros,dos quais só os 6 primeiros se preservaram. O principal mérito daAritmética é a utilização de notações, ou seja, de uma linguagem maissincopada,maissimbólica para a Matemática.Por seu turno, viveu por volta de 800 d.C. nacidade de Bagdá, que emerge como uma nova Alexandria. Sua principalobra deixou marcas indeléveis em toda a Europa. Al-Jabr recebeua forma latinizada (Álgebra).Em árabe significa, numa tradução mais livre, deslocaçãoe parece "".Os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tiveram notável receptividadena Europa através da obra de Al-Khowarizmi. Daí serem denominadosalgarismos , mas que a bem da verdade são de origem hindu.Fulcrado nos geômetras gregos e no desenvolvimento da Álgebraem toda a Europa, concluiu em 1629 o manuscrito(Introdução aos lugares planos esólidos). Para a maioria dos historiadores, tal manuscrito representa omarco zero da Geometria Analítica.É curioso observar que Fermat não era um matemático. EstudouOs ElementosPappus deAlexandriaAs CônicasDiofanto Al-KhowarizmiDiofanto de AlexandriaAritméticaAl-KhowarizmiAl-JabrAl-JabrarábicosPierre de Fermatosplanetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, com o Sol ocupandoumdeseusfocos a trajetória de umprojétil é uma parábolaAlgebraereferir-se à transposição de termos subtraídos para o outro ladoda equaçãoAdlocos planos et solidos isagogeDireito emToulouse, na França, e aí exerceu o cargo de advogado e conse-lheiro do parlamento. Fermat tinha a Matemática como um " " e mes-mo assim foi considerado por o maior do seu tempo. Dedicou-seaos pensadores clássicos e à Matemática grega e segundo ,a obra de Apolônio foi uma das obras favoritas de Fermat.Coube a (1601-1665) a descoberta dasequações da reta e da circunferência, e as equações mais simples daelipse, da parábola e da hipérbole. Aplicou a transformação equivalente àatual rotação de eixos para reduzir uma equação do 2.º grau à sua formamais simples. É cristalina em Fermat a percepção de uma GeometriaAnalítica a três dimensões: "".É oportuno observar que a usual denominação( é a forma latinizada de Descartes) é anacrônicahistoricamente, pois sua obra não contém eixos perpendiculares, eixosoblíquos, nem tampouco a equação de uma reta. Por mérito, o sistemacartesiano deveria denominar-se .No entanto, (que para sempre será lembrado comogrande filósofo) superou Fermat pela utilização de uma notação algébricamais prática.Muito deve a Geometria Analítica tridimensional a(1707-1783). Euler nasceu na Basiléia, Suíça, e recebeu umaeducação bastante eclética.Extremamente profícuo, insuperável em produção matemática,Euler escrevia uma média de 800 páginas por ano. Em plena atividadeintelectual, morreu aos 76 anos, sendo que os últimos 17 anos passou emtotal cegueira (conseqüência de catarata). Mesmo assim continuouditando aos seus filhos (eram 13).A partir de meados do século XIX, desenvolveu-se o conceito deEspaço de 4, 5... n dimensões.Em 1854 o jovem matemático alemãodesenvolveu a idéia de uma Geometria Quadridimensional., em 1915, mostrou que o nosso universo embora pareça E , é naverdade E . Ele dava o primeiro passo para se perceber a variedadeespaço-temporal do universo. Cada um dos pontos do universo édeterminado por 3 coordenadas (espaciais) que especificam sua posição euma quarta (temporal) que determina o tempo.Sabemos que os gregos antigos promoveram um grandedesenvolvimento à Geometria Plana e Espacial, mas não dispunham deuma notação algébrica ou simbologia adequadas.Até o século XVI, toda a expressão matemática se fazia de umaforma excessivamente " ".Por exemplo, em 1591, para representar a equaçãoquadrática 5A + 9A -5 = 0, escrevia em bom latim:hobbymas se o problema proposto envolve trêsincógnitas, deve-se achar, para satisfazer a equação, não apenas umponto ou uma curva, mas toda uma superfícieCartesiusverbal ou retóricaPascalCarl B. BoyerAs CônicasPierre de Fermatsistemacartesianosistema fermatianoDescartesLeonhardEulerBernhard RiemannAlbertEinsteinViète342
  14. 14. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi5 in A quad. et 9 in A planu minus 5 aequatur 0.“Na maior parte da ciências, assevera (1839-1873), matemático alemão, uma geração põe abaixo o que a outraconstruiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente naMatemática é que uma geração constrói um novo andar sobre a antigaestrutura”.rainha e aserva de todas as ciências"Um mundo de infinita harmonia"Deus eternamente geometriza -(5 em A quadrado e9 em A plano menos 5 é igual a zero).Como na formação de uma estrutura geológica, as descobertasmatemáticas se sedimentam e se estratificam ao longo dos séculos.Entretanto não se infira que a Matemática é uma ciência estática e sim emcontínua evolução. As formulações inicialmente tênues e difusas percor-rem um espinhoso caminho até atingir a magnitude de seu desenvol-vimento.Apropriadamente, já se definiu a Matemática como a "". E o apanágio de sua majestade é o rigor, alógica, a harmonia e sua linguagem precisa, universal e sincopada.Após este epítome histórico, adentremos entusiasticamente aomundo maravilhoso da Geometria. , naspalavras do poeta.- Que faz Deus, pergunta o discípulo.- responde sabiamente .Herman HankelPlatãoC A P Í T U L ONoções preliminares1. ELEMENTOS PRIMITIVOS2. PONTO E RETA IMPRÓPRIOSA geometria euclidiana admite como elementos primitivos ospontos, as retas e os planos.PONTOS: letras latinasmaiúsculas.Ex.: A, B, C ... P, Q ...RETAS: letras latinasminúsculas.Ex.: a, b, c ... r, s, t ...PLANOS: letras gregas minúsculas.Ex.: , , ... …Se duas retas r e s sãoparalelas entre si, então elas têm amesma direção ou mesmo pontoimpróprio. O ponto impróprio da reta spode ser imaginado como o ponto noinfinito de s e é o mesmo para todas asretas que são paralelas a s; será indicado por P .Se dois planos e sãoparalelos, então têm a mesmajacência ou a mesma reta imprópria.A reta imprópria de pode serimaginada como a reta no infinitodesse plano e é a mesma para todosos planos paralelos a ; será indicadapor r .Notação:a) Ponto imprópriob) Reta imprópriaα β γ πα βαα∞∞rs
  15. 15. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi5 in A quad. et 9 in A planu minus 5 aequatur 0.“Na maior parte da ciências, assevera (1839-1873), matemático alemão, uma geração põe abaixo o que a outraconstruiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente naMatemática é que uma geração constrói um novo andar sobre a antigaestrutura”.rainha e aserva de todas as ciências"Um mundo de infinita harmonia"Deus eternamente geometriza -(5 em A quadrado e9 emAplanomenos5éigualazero).Como na formação de uma estrutura geológica, as descobertasmatemáticas se sedimentam e se estratificam ao longo dos séculos.Entretanto não se infira que a Matemática é uma ciência estática e sim emcontínua evolução. As formulações inicialmente tênues e difusas percor-rem um espinhoso caminho até atingir a magnitude de seu desenvol-vimento.Apropriadamente, já se definiu a Matemática como a "". E o apanágio de sua majestade é o rigor, alógica, a harmonia e sua linguagem precisa, universal e sincopada.Após este epítome histórico, adentremos entusiasticamente aomundo maravilhoso da Geometria. , naspalavras do poeta.- Que faz Deus, pergunta o discípulo.- responde sabiamente .Herman HankelPlatãoC A P Í T U L ONoções preliminares1. ELEMENTOS PRIMITIVOS2. PONTO E RETA IMPRÓPRIOSA geometria euclidiana admite como elementos primitivos ospontos, as retas e os planos.PONTOS: letras latinas maiúsculas.Ex.: A, B, C ... P, Q ...RETAS: letras latinas minúsculas.Ex.: a, b, c ... r, s, t ...PLANOS: letras gregas minúsculas.Ex.: , , ... …Se duas retas r e s sãoparalelas entre si, então elas têm amesma direção ou mesmo pontoimpróprio. O ponto impróprio da reta spode ser imaginado como o ponto noinfinito de s e é o mesmo para todas asretas que são paralelas a s; será indicado por P .Se dois planos e sãoparalelos, então têm a mesmajacência ou a mesma reta imprópria.A reta imprópria de pode serimaginada como a reta no infinitodesse plano e é a mesma para todosos planos paralelos a ; será indicadapor r .Notação:a) Ponto imprópriob) Reta imprópriaα β γ πα βαα∞∞rs
  16. 16. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiO PROFESSOR ARREPENDIDOHistórias pitorescas sempre têm um pouco defantasia, principalmente, quando se reportam a homens bem-sucedidos.Conta-se que na Universidade de Harvard havia umprofessor de Matemática extremamente rigoroso.Na última avaliação do ano, elaborou uma prova muitodifícil e lançou um desafio a seus alunos: "se um de vocês tirarnota 10 nesta prova, peço demissão da Universidade e sereiseu assessor".Era seu aluno umfedelho de 17 anos, no entanto,brilhante nessa disciplina, con-siderada a "rainha e serva detodas as ciências". Obteve nota9,5.Até hoje, o nosso caroprofessor lamenta ter sido tãoexigente. Perdeu a oportunida-de de se tornar um dos homensmais ricos do Planeta. Emtempo: o aluno se chamava BillGates.História de uso corrente.Texto do autor.OPROBLEMADAQUADRATURADOCÍRCULOFoi proposto inicialmente por Anaxágoras (499 - 428a.C.). Aprisionado em Atenas por suas idéias muitoavançadas para a época, afirmara que o Sol não era umadivindade,masumagrandepedraincandescente,maior que oPeloponeso (península do sul da Grécia) e que a Lua não tinhaluz própria e a recebia do Sol. Anaxágoras foi professor dePéricles (490 - 429 a.C.), que o libertou da prisão. Ademais,exerceu forte influência no primeiro dos três grandes filósofos:Sócrates, Platão, Aristóteles.dado umcírculo, construir um quadrado de mesma área. Como osgregos desconheciam as operações algébricas e priorizavama Geometria, propunham solução apenas com régua (semescala) e compasso. No século XIX, demonstrou-se quenestas condições este problema é irresolúvel.A solução é trivial se lançarmos mão dos recursos daÁlgebra:S = SR = . Admitindo por ex. R = 3(3) =Problema da Quadratura do Círculo:ππ2 22 2ll=5,31ou3 =π= llπ= RlROBSERVAÇÃO:Chama-se ponto próprio ao ponto na sua acepção usual. Assim,duas retas concorrentes têm em comum um ponto (próprio).Analogamente, dois planos concorrentes se interceptam segundouma reta (própria).Cada reta própria tem um único ponto impróprio. Em cada planoexiste uma única reta imprópria. A reta imprópria é constituídaexclusivamente de pontos impróprios. Duas retas impróprias têmem comum um único ponto impróprio. Todos os pontos e retasimpróprios do espaço pertencem a um único plano impróprio.zxy
  17. 17. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiPROBLEMA DA DUPLICAÇÃO DO CUBOOU PROBLEMA DELIANODurante o cerco espartano da Guerra do Peloponeso,conta uma lenda que em 429 a.C. uma peste dizimou umquarto da população de Atenas, matando inclusive Péricles.Diz-se que uma plêiade de sábios fora enviada ao oráculo deApolo, em Delos, para inquirir como a peste poderia sereliminada.O oráculo respondeu que o. Os atenienses celeremente dobraramas medidas das arestas do cubo.A peste, em vez de se amainar, recrudesceu. Qual oerro?Em vez de dobrar, os atenienses octoplicaram ovolume do altar.Pois:para a = 1 V = 1 = 1para a = 2 V = 2 = 8A complexidade do problema deve-se ao fato de queos gregos procuravam uma solução geométrica. E mais umcomplicador: com régua (sem escala) e compasso.Ainda no século lV a.C., o geômetra gregoMenaecmus (que juntamente com Platão foi professor deAlexandre, o Grande) resolveu o problema com o traçado deuma parábola e de uma hipérbole. Hodiernamente, tal soluçãoé facilmente compreensível através da Geometria Analítica:Menaecmus obteve geometricamente o ponto de interseçãoda parábola x = 2y com a hipérbole xy = 1. A solução é .Foi relativo o sucesso de Menaecmus entre os seuscompatriotas: não se valeu de régua (sem escala) e compassoaltar cúbico de Apolodeveria ser duplicadoßßcubocubo3321 m 2 m1 ma = ?= 2 X32x =26,12a 3≅=apenas!A solução deste problema é trivial com os recursos daÁlgebra: procura-se a aresta (a) de um cubo, cujo volume sejao dobro do volume de umcubo de a = 1 (V = a ):a = 2 x 1cubo33 3OBSERVAÇÃO:Em 1837, o francês Pierre L. Wantzel demonstrouque o problema deliano não admite solução com usode régua e compasso apenas. Com somente 23 anos,Wantzel, engenheiro da prestigiosa Ecole Polytech-nique, pôs fim às discussões de quase dois milênios.Em seu excelente Livro(ed. Makron Books), Gilberto G.descreve que "esta limitação de apenas dois instru-mentos espelhava o conceito de elegância com queos gregos tratavam das questões geométricas e, tam-bém, a ação tipicamente helênica que eles nutriampelos desafios intelectuais, independentemente dequalquer utilidade prática".O Romance das EquaçõesAlgébricas Garbi(do autor)
  18. 18. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiC A P Í T U L ORelações segmentáriasno espaço unidimensionalO matemático e astrônomo alemão,Möbius (1790-1868) foi quemadotou a convenção de sinal às medidas de distâncias, ângulos, áreas evolumes.Uma reta é orientada, se esta-belecermos nela um sentido de percursocomo positivo; o sentido contrário énegativo. O sentido positivo é indicadopor uma seta. Um reta orientada tambémé chamada de eixo.Sejam dois pontos A e B pertencentes a uma reta orientada r. Amedida algébrica do segmento finito e orientado é um número real,positivo se sua orientação for concordante com o sentido positivo da reta eé um número real negativo, em caso contrário. O número real que é amedida algébrica do segmento é representado por AB. Ao eixo seassocia uma unidade de comprimento u.Exemplo:AB = + 4u (onde A é origem e B extremidade)BA = - 4u (onde B é origem e A extremidade)Os segmentos orientados e têm respectivamente medidasalgébricas iguais a 4 e - 4.Então: AB + BA = 0 ouABABAB BAAB = - BA1. RETA ORIENTADA2.MEDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTOA B ru(reta)(reta orientada)APBPA(ABP) = +A P B r(ABP) = –A C B rP Q A r313BCAC)ABC( −=−==326QAPA)PQA( ===(ABP)APBP=B P r3. RAZÃO SIMPLES DE 3 PONTOSa) Definiçãob) Sinalc) Exemplos1)2)Dados os pontos A, B e P, de uma reta r, denominamos razãosimples desses pontos, nessa ordem, ao quociente, que é simbolizadopor (ABP).Assim:A razão simples (ABP) será positiva se o ponto P for externo aosegmento finito . Se interno, a razão será negativa.Assim:O ponto C divide o segmento na razão simples igual a - 3.O ponto A divide o segmento na razão simples igual a 3.OBSERVAÇÃO:Se (ABP) = k, diremos que P divide o segmento na razão k.ABABABPQ
  19. 19. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiC A P Í T U L ORelações segmentáriasno espaço unidimensionalO matemático e astrônomo alemão,Möbius (1790-1868) foi quemadotou a convenção de sinal às medidas de distâncias, ângulos, áreas evolumes.Uma reta é orientada, se esta-belecermos nela um sentido de percursocomo positivo; o sentido contrário énegativo. O sentido positivo é indicadopor uma seta. Um reta orientada tambémé chamada de eixo.Sejam dois pontos A e B pertencentes a uma reta orientada r. Amedida algébrica do segmento finito e orientado é um número real,positivo se sua orientação for concordante com o sentido positivo da reta eé um número real negativo, em caso contrário. O número real que é amedida algébrica do segmento é representado por AB. Ao eixo seassocia uma unidade de comprimento u.Exemplo:AB = + 4u (onde A é origem e B extremidade)BA = - 4u (onde B é origem e A extremidade)Os segmentos orientados e têm respectivamente medidasalgébricas iguais a 4 e - 4.Então: AB + BA = 0 ouABABAB BAAB = - BA1. RETA ORIENTADA2.MEDIDA ALGÉBRICA DE UMSEGMENTOA B ru(reta)(reta orientada)APBPA(ABP) = +A P B r(ABP) = –A C B rP Q A r313BCAC)ABC( −=−==326QAPA)PQA( ===(ABP)APBP=B P r3. RAZÃO SIMPLES DE 3 PONTOSa) Definiçãob) Sinalc) Exemplos1)2)Dados os pontos A, B e P, de uma reta r, denominamos razãosimples desses pontos, nessa ordem, ao quociente, que é simbolizadopor (ABP).Assim:A razão simples (ABP) será positiva se o ponto P for externo aosegmento finito . Se interno, a razão será negativa.Assim:O ponto C divide o segmento na razão simples igual a - 3.O ponto A divide o segmento na razão simples igual a 3.OBSERVAÇÃO:Se (ABP) = k, diremos que P divide o segmento na razão k.ABABABPQ
  20. 20. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturid) Casos particulares1. Se P A, a razão simples é nula.2. Se P M (pontomédio), a razão simples é igual a -1.≡≡P A≡ B rA P BMrA P Bx a – xaAP = AB . PBx = a (a - x)oux + ax - a = 0Resolvendo a equação do 2.º grau para a incógnita x:Em problemas geométricos, adota-se a solução positiva:222 2c) Epítome históricoaretângulo áureoLe CorbusierJohannes KeplerHeródotoNa história da humanidade, o assunto em epígrafe sempremereceu a atenção de matemáticos, artistas, arquitetos, etc., poisfornece as medidas de umretângulo na proporção maisestética. Para tanto, bastaprefixar a base e calcular asua altura h = 0,618 a. É o. Este éencontrado no frontispício doPaternon de Atenas (5.º sé-culo a.C.), na pirâmide deQuéops, na pintura de Leo-nardo da Vinci, em grandescatedrais da Idade Média e hodiernamente em projetos do renomadoarquiteto francês . Também a sábia natureza, como seobserva em plantas, animais e em medidas do corpo humano. Rece-beu o epíteto de (secção divina) e(1571-1630) não se conteve: “O historiador grego relata que os sacerdotesegípcios lhe haviam dito que as dimensões da pirâmides de Gisehhaviam sido escolhidas de maneira que metade do comprimento dabase e a altura da face triangular formassem a divisão áurea.sectio divinaa geometria tem dois tesouros. Um é oteorema de Pitágoras, e o outro é a divisão áurea”.h = 0,618 aa0BP0BPAP)ABP( ===1APAPBPAP)ABP( −=−==AP = AB . PB22a5ax±−=a618,02a5ax =+−=4. DIVISÃO ÁUREAa) Definiçãob) CálculoUm ponto P divide umsegmento emmédia e extrema razão se:Diz-se também que AP é o segmento áureo de AB.PB = AB . AP.Dado o segmento AB = a, calcular o seu segmento áureo AP = x.ABOBSERVAÇÃO:Não prescindindo do rigor matemático, deve-se apresentar umasegunda relação para o segmento áureo: 2
  21. 21. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiO pentagrama estrelado ao ladofigurado representou a insígnia dos pita-góricos, o símbolo da saúde para os gre-gos e aparece hoje freqüentemente embandeiras, cartazes, etc.Observe que:ABDECABACdivisão áurea= = = = →ADACAEADEDAE0 618,B O A r–2 3O rEntão:OP + P P = OPP P = OP - OPExemplo:Dadas as abscissas x = 5 e x = - 3, calcular AB e BA.Resolução:AB = x - x = - 3 - 5 = - 8BA = x - x = 5 - (- 3) = 8Sejam os pontos P , P e P de uma reta orientada r, com abscissasx , x e x respectivamente.Determinar a abscissa x do ponto P que divide o segmento P Pnuma certa razão k.Então:k = (P P P)k = k =1 1 2 21 2 2 1A BB AA B1 21 21 21 2P P = x - x1 2 2 17. RAZÃO SIMPLES DE 3 PONTOS POR SUAS ABSCISSASO P1 P2 rx1 x2O P1 P2 P rx1 x2 x = ?PP12PPx xx x−−125. ABSCISSAS NA RETA6. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOSO ponto O (origem) divide o eixo r em duas semi-retas, onde asemi-reta positiva é indicada pela seta. É negativa a outra semi-reta. Aoeixo se fixa a priori uma unidade de comprimento.Chama-se x de um ponto P de uma reta orientada r, àmedida do segmento orientado e finito OP , da origem a esse ponto,antecedida do sinal de (+) ou (-) conforme o ponto pertença à semi-retapositiva ou negativa. Há uma correspondência bijetiva entre os númerosreais e os pontos de uma reta.Exemplo:x = 3 = -2Abscissa em latim significa , . Deve-se provavel-mente ao fato de que a representação da abscissa na reta se fazatravés de um pequeno corte.Sejam os pontos P e P , cujas abscissas são respectivamente x e x .abscissacorte incisão1 11A B1 2 1 2xOBSERVAÇÃO:
  22. 22. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiO pentagrama estrelado ao ladofigurado representou a insígnia dos pita-góricos, o símbolo da saúde para os gre-gos e aparece hoje freqüentemente embandeiras, cartazes, etc.Observe que:ABDECABACdivisão áurea= = = = →ADACAEADEDAE0 618,B O A r–2 3O rEntão:OP + P P = OPP P = OP - OPExemplo:Dadas as abscissas x = 5 e x = - 3, calcular AB e BA.Resolução:AB = x - x = - 3 - 5 = - 8BA = x - x = 5 - (- 3) = 8Sejam os pontos P , P e P de uma reta orientada r, com abscissasx , x e x respectivamente.Determinar a abscissa x do ponto P que divide o segmento P Pnuma certa razão k.Então:k = (P P P)k = k =1 1 2 21 2 2 1A BB AA B1 21 21 21 2P P = x - x1 2 2 17. RAZÃO SIMPLES DE 3 PONTOS POR SUAS ABSCISSASO P1 P2 rx1 x2O P1 P2 P rx1 x2 x = ?PP12PPx xx x−−125. ABSCISSAS NA RETA6. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOSO ponto O (origem) divide o eixo r em duas semi-retas, onde asemi-reta positiva é indicada pela seta. É negativa a outra semi-reta. Aoeixo se fixa a priori uma unidade de comprimento.Chama-se x de um ponto P de uma reta orientada r, àmedida do segmento orientado e finito OP , da origem a esse ponto,antecedida do sinal de (+) ou (-) conforme o ponto pertença à semi-retapositiva ou negativa. Há uma correspondência bijetiva entre os númerosreais e os pontos de uma reta.Exemplo:x = 3 = -2Abscissa em latim significa , . Deve-se provavel-mente ao fato de que a representação da abscissa na reta se fazatravés de umpequeno corte.Sejam os pontos P e P , cujas abscissas são respectivamente x e x .abscissacorte incisão1 11A B1 2 1 2xOBSERVAÇÃO:
  23. 23. Isolando o x:Caso particular: se k = - 1 tem-se:Onde x é a abscissa do pontomédiodeP P .Exemplo:Achar a abscissa do ponto P que divide o segmento na razão 2.Dados x = 3 e x = 7.Resolução:Figura:Portanto (ABP) = 111 2A BABÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturixx kx1 k1 2=−−xx x21 2=+xx kxkA B=−−=−−=13 21 211(7)O A B P r3 7 11Exercícios"Que nenhum desconhecedor da geometria entre aqui."(Inscrição no frontispício da Academia de Platão)O ponto P divide o segmento P P numa certa razão k. Cal-cular k, conhecendo-se respectivamente os pontos pelas suas abscissasx = 3, x = 6 e x = - 2Resp.:Resp.: 171 21 2Dados (ABP) = 5, x = 2, x = 5, calcular x .P B A01.02.03.04.05.06.07.Obter a abscissa do ponto P, tal que PA . PB = PC . PD.Considere O, A, B, C pontos colineares, onde O representa aorigem. Calcule a abscissa x do ponto C na igualdade:Achar a distância QP tais que (ABP) = e (ABQ) = sen-do x = 2 e x = 8Sendo x = 3 e x = 8, calcular as abscissas dos pontos P e Pque dividem em 3 partes iguais.Achar as abscissas dos pontos que dividem em 4 partesiguais.Dados: x = - 2, x = 0, x = 3, x = 5Resp.:AB + 2CA + OB - 3BC = 3Dados: x = 2 e x = 5Resp.:Resp.: 8Resp.:Dados x = - 3 e x = 6Resp.:A B C DA BP QA BA B 1 2ABPQ"Gigantes são os mestres nos ombrosdos quais eu me elevei."ISAAC NEWTON (1642 - 1727), físico, astrônomo e matemático inglês.32245143193e−3432154, ,−121253k−=
  24. 24. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiC A P Í T U L OSistemas de coordenadasno espaço bidimensional43421yPyyOxxPPx1. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONALUm sistema de eixos orto-gonais no plano é constituído de duasretas orientadas x e y, perpendicularesentre si e de mesma origem O. A retaorientada x é denominada eixo x ou eixodas abscissas; a reta orientada y édenominada eixo y ou eixo das or-denadas; os eixos x e y são os eixoscoordenados e dividem o plano em 4partes ou quadrantes.Por um ponto qualquer doplano traçam-se perpendiculares sobrecada um dos eixos, determinando nelesos pontos P e P , de tal sorte que x = OP e y = OP .Destarte, podemos associar a cada ponto P do plano um parordenado de números reais. Assim o ponto P fica determinado por suasou também chamadas coordenadas retan-gulares:onde x é de P e y a de P.Reciprocamente, dado um par de números reais, localiza-se noplano um único ponto P. Há, portanto, uma correspondência bijetiva entreos pontos do plano e os pares de números reais.a) O = (0, 0) origem do sistema cartesiano.b) P = (x, o) projeção ortogonal de P sobre o eixodas abscissas.c) P =(0, y) projeção ortogonal de P sobre o eixodas ordenadas.x y x yxycoordenadas cartesianasabscissa ordenadaParticularidades→→→2. SISTEMA CARTESIANO OBLÍQUO3. PARES ORDENADOS: OPERAÇÕES E IGUALDADEO sistema cartesiano serádenominado oblíquo se o ânguloentre os eixos x e y não for de 90º.Propositalmente, em respeito à sim-plicidade olvidamos o estudo emeixos oblíquos. Tais sistemas mono-tonizam a exposição e dificultamsobremaneira a dedução e memori-zação de fórmulas.Exemplo:(2, 5) + (1, - 3) = (3, 2)Exemplo:3 (5, 1) = (15, 3)Exemplo:(x 1, y + 3) = (1, 7)Donde: x 1 = 1 x = 2y + 3 = 7 y = 4a) Adição(x , y ) + (x , y ) = (x + x , y + y )b) Multiplicação por umnúmero real kk (x , y ) = (kx , ky )c) Igualdade de dois pares ordenados(x , y ) = (x , y ) x = x e y = y1 1 2 2 1 2 1 21 1 1 11 1 2 2 1 2 1 2−⇔−− →→−43421yPyyOPPxxxP = (x, y)
  25. 25. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiC A P Í T U L OSistemas de coordenadasno espaço bidimensional43421yPyyOxxPPx1. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONALUm sistema de eixos orto-gonais no plano é constituído de duasretas orientadas x e y, perpendicularesentre si e de mesma origem O. A retaorientada x é denominada eixo x ou eixodas abscissas; a reta orientada y édenominada eixo y ou eixo das or-denadas; os eixos x e y são os eixoscoordenados e dividem o plano em 4partes ou quadrantes.Por um ponto qualquer doplano traçam-se perpendiculares sobrecada um dos eixos, determinando nelesos pontos P e P , de tal sorte que x = OP e y = OP .Destarte, podemos associar a cada ponto P do plano um parordenado de números reais. Assim o ponto P fica determinado por suasou também chamadas coordenadas retan-gulares:onde x é de P e y a de P.Reciprocamente, dado um par de números reais, localiza-se noplano um único ponto P. Há, portanto, uma correspondência bijetiva entreos pontos do plano e os pares de números reais.a) O = (0, 0) origem do sistema cartesiano.b) P = (x, o) projeção ortogonal de P sobre o eixodas abscissas.c) P =(0, y) projeção ortogonal de P sobre o eixodas ordenadas.x y x yxycoordenadas cartesianasabscissa ordenadaParticularidades→→→2. SISTEMA CARTESIANO OBLÍQUO3. PARES ORDENADOS: OPERAÇÕES E IGUALDADEO sistema cartesiano serádenominado oblíquo se o ânguloentre os eixos x e y não for de 90º.Propositalmente, em respeito à sim-plicidade olvidamos o estudo emeixos oblíquos. Tais sistemas mono-tonizam a exposição e dificultamsobremaneira a dedução e memori-zação de fórmulas.Exemplo:(2, 5) + (1, - 3) = (3, 2)Exemplo:3 (5, 1) = (15, 3)Exemplo:(x 1, y + 3) = (1, 7)Donde: x 1 = 1 x = 2y + 3 = 7 y = 4a) Adição(x , y ) + (x , y ) = (x + x , y + y )b) Multiplicação por um número real kk (x , y ) = (kx , ky )c) Igualdade de dois pares ordenados(x , y ) = (x , y ) x = x e y = y1 1 2 2 1 2 1 21 1 1 11 1 2 2 1 2 1 2−⇔−− →→−43421yPyyOPPxxxP = (x, y)
  26. 26. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi4. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOSDados dois pontos P = (x , y ) eP = (x , y ), deseja-se calcular adistância d entre P e P . Apli-cando o teorema de Pitágorasao triângulo retângulo P AP ,tem-se:d = (x x ) + (y y )1 1 12 2 21 21 22 1 2 12 2 2− − ouyy2y1O x1 x2 xAx – x2 1P1dP2y – y2 1d (x x ) (y y )2 122 12= − + −Exercícios"O oposto do amor não é o ódio, mas a indiferença."Érico Veríssimo (1905-1975), romancista gaúcho.Sendo A = (2, 3) e B = (1, 5), calcular as coordenadascartesianas de P em .Resp.: P = (0, 7)O segmento tem comprimento de 4 unidades. Conhe-cendo-se o ponto A = ( 2, 1), achar a abscissa de B, cuja ordenada é 1.Resp.: - 6 e 2Calcular a soma dos comprimentos das medianas do triânguloeqüilátero de vértices A = (3, 3), B = ( 3, 3) e C = .Resp.:Dados os pontos A = (2, y), B = ( 8, 4) e C = (5, 3), determinar ypara que ABC seja um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice A.AB−− −−01.02.03.04.05.10.06.07.08.09.11.Encontre o ponto P = (x, y) eqüidistante dos pontos P = (0, - 5),P = (- 1, 2) e P = (6, 3).Um triângulo eqüilátero tem vértices A = (x, y), B = (3, 1) eC = (- 1, - 1). Calcular o vértice A.12 3Resp.: P = (3, - 1)Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas,sabendo que é eqüidistante dos pontos A = (1, ) e B = (2, ).Resp.: P = (1, 0)Dois vértices opostos de um quadrado são os pontos (1, 2) e( 5, 6). Determine a área do quadrado.Resp.: 26Sejam M = (2, - 1), M = (1, - 2) e M = (- 1, 3) os pontos médiosdos lados de umtriângulo. Achar os vértices desse triângulo.Resp.: (4, - 6), (- 2, 2), (0, 4)Conhecendo-se os pontos A = (a, 0) e B = (0, a), achar ascoordenadas do vértice C, sabendo-se que o triângulo ABC é eqüilátero.Resp.:Resp.: ouCalcular o centro da circunferência circunscrita ao triângulo devértices A = (5, - 6), B = (1, 2) e C = (3, - 4).Resp.: (11, 2 ) (circuncentro)−1 2 39 6( , )−3 3 3 33 2B2AP =+Resp.: y = - 2 ou y = 9 ±±=2a3a,2a3aC31+ , 3– 2 ))31– , 32 ))
  27. 27. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi4. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOSDados dois pontos P = (x , y ) eP = (x , y ), deseja-se calcular adistância d entre P e P . Apli-cando o teorema de Pitágorasao triângulo retângulo P AP ,tem-se:d = (x x ) + (y y )1 1 12 2 21 21 22 1 2 12 2 2− − ouyy2y1O x1 x2 xAx – x2 1P1dP2y – y2 1d (x x ) (y y )2 122 12= − + −Exercícios"O oposto do amor não é o ódio, mas a indiferença."Érico Veríssimo (1905-1975), romancista gaúcho.Sendo A = (2, 3) e B = (1, 5), calcular as coordenadascartesianas de P em .Resp.: P = (0, 7)O segmento tem comprimento de 4 unidades. Conhe-cendo-se o ponto A = ( 2, 1), achar a abscissa de B, cuja ordenada é 1.Resp.: - 6 e 2Calcular a soma dos comprimentos das medianas do triânguloeqüilátero de vértices A = (3, 3), B = ( 3, 3) e C = .Resp.:Dados os pontos A = (2, y), B = ( 8, 4) e C = (5, 3), determinar ypara que ABC seja umtriângulo retângulo com ângulo reto no vértice A.AB−− −−01.02.03.04.05.10.06.07.08.09.11.Encontre o ponto P = (x, y) eqüidistante dos pontos P = (0, - 5),P = (- 1, 2) e P = (6, 3).Um triângulo eqüilátero tem vértices A = (x, y), B = (3, 1) eC = (- 1, - 1). Calcular o vértice A.12 3Resp.: P = (3, - 1)Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas,sabendo que é eqüidistante dos pontos A = (1, ) e B = (2, ).Resp.: P = (1, 0)Dois vértices opostos de um quadrado são os pontos (1, 2) e( 5, 6). Determine a área do quadrado.Resp.: 26Sejam M = (2, - 1), M = (1, - 2) e M = (- 1, 3) os pontos médiosdos lados de um triângulo. Achar os vértices desse triângulo.Resp.: (4, - 6), (- 2, 2), (0, 4)Conhecendo-se os pontos A = (a, 0) e B = (0, a), achar ascoordenadas do vértice C, sabendo-se que o triângulo ABC é eqüilátero.Resp.:Resp.: ouCalcular o centro da circunferência circunscrita ao triângulo devértices A = (5, - 6), B = (1, 2) e C = (3, - 4).Resp.: (11, 2 ) (circuncentro)−1 2 39 6( , )−3 3 3 33 2B2AP =+Resp.: y = - 2 ou y = 9 ±±=2a3a,2a3aC31+ , 3– 2 ))31– , 32 ))
  28. 28. 5. PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA6. BARICENTRO DE UM TRIÂNGULOSeja o segmento de extremidades P = (x , y ) e P = (x , y ). Oponto P = (x, y) divide o segmento P P numa razão dada k.Então:Introduzindo as coordenadas deP , P e PeIsolando-se x e y:eCaso particularSe k = -1, então o ponto coincide com o dosegmento P P . Donde se infere as fórmulas:eBaricentro ou centro de massa é o lugar onde se aplica uma forçapara se levantar o sistema em equilíbrio.Geometricamente num triângulo, o baricentro é obtido pelaintersecção das medianas.1 1 1 2 2 21 21 2P ponto médioa) Definição1 2yy y yA B C=+ +3GExercíciosÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturib) CálculoDado o triângulo de vértices A = (x , y ), B = (x , y ) e C = (x , y ).O baricentro G divide a mediana AMnuma razão facilmente determiná-vel:Introduzindo as abscissas :Mas:Substituindo-se 2 em 1 tem-se:Analogamente para a ordenada do baricentro obtém-se:A A B B C Cyy2yy1PP1P2x1 x x2 xkx xx x=−−12ky yy y=−−12xx kxk=−−1 21yy kyk=−−1 21AM32AM31AGB M Cou xx xGA M=− 23x xx xG AG M−−= −2 1xx xMB C=−22xx x xGA B C=+ +3"Quando morreres,só levarás contigo aquilo que tiveres dado."Saadi (1184-1291), poeta persa.Determinar as coordenadas dos pontos P e P que dividem osegmento A = (3, - 1) e B = (0, 8) em3partesiguais.Resp.: P = (2, 2) e P = (1, 5)1 21 201.PPPP)PPP(k2121 ==2xxx 21M+=2yyy 21M+=2MGAG:Então212MGAG)AMG(−=−=−==
  29. 29. 5. PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA6. BARICENTRO DE UMTRIÂNGULOSeja o segmento de extremidades P = (x , y ) e P = (x , y ). Oponto P = (x, y) divide o segmento P P numa razão dada k.Então:Introduzindo as coordenadas deP , P e PeIsolando-se x e y:eCaso particularSe k = -1, então o ponto coincide com o dosegmento P P . Donde se infere as fórmulas:eBaricentro ou centro de massa é o lugar onde se aplica uma forçapara se levantar o sistema em equilíbrio.Geometricamente num triângulo, o baricentro é obtido pelaintersecção das medianas.1 1 1 2 2 21 21 2P ponto médioa) Definição1 2yy y yA B C=+ +3GExercíciosÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturib) CálculoDado o triângulo de vértices A = (x , y ), B = (x , y ) e C = (x , y ).O baricentro G divide a mediana AMnuma razão facilmente determiná-vel:Introduzindo as abscissas :Mas:Substituindo-se 2 em 1 tem-se:Analogamente para a ordenada do baricentro obtém-se:A A B B C Cyy2yy1PP1P2x1 x x2 xkx xx x=−−12ky yy y=−−12xx kxk=−−1 21yy kyk=−−1 21AM32AM31AGB M Cou xx xGA M=− 23x xx xG AG M−−= −2 1xx xMB C=−22xx x xGA B C=+ +3"Quando morreres,só levarás contigo aquilo que tiveres dado."Saadi (1184-1291), poeta persa.Determinar as coordenadas dos pontos P e P que dividem osegmento A = (3, - 1) e B = (0, 8) em 3 partes iguais.Resp.: P = (2, 2) e P = (1, 5)1 21 201.PPPP)PPP(k2121 ==2xxx 21M+=2yyy 21M+=2MGAG:Então212MGAG)AMG(−=−=−==
  30. 30. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi02.03.04.05.Até que ponto da reta o segmento de extremos A = (1, - 1)e B = (4, 5) deve ser prolongado no sentido de A para B para que o com-primento quintuplique?Resp.: P = (16, 29)O baricentro de um triângulo ABC é o ponto G = (4, 0) eM = (2, 3) o pontomédiode . Achar as coordenadas do vértice A.Resp.: A= (8, - 6)Num triângulo ABC, são dados os vértices A = (- 4, 10) eB = (8, -1). Determinar o baricentro G e o vértice C, sabendo-se situadosrespectivamente sobre os eixos y e x.Resp.: G = (0, 3) e C = (- 4, 0)Calcular as coordenadas dos extremos A e B do segmento queé dividido emtrêspartes iguais pelos pontos P = (- 1, 3) e P = (1, 5).Resp.: A = (- 3, 1) e B = (3, 7)BC1 27. SISTEMA POLARNo plano, a importância do sistema polar só é suplantada pelosistema cartesiano. É utilizado, entre outras disciplinas, em CálculoDiferencial e Integral, onde o sistema polar apresenta próceras vantagens.Mais especificamente, na representação de certas curvas e em problemasrelativos a lugares geométricos. Na prática também empregado nanavegação, aviação, etc.O sistema polar é carac-terizado no espaço bidimensionalpor uma reta orientada p e umponto O pertencente a tal reta.-pOOPpρθp eixo polar do sistemaO pólo do sistema→→+O ponto P fica determinado no plano por suas coordenadaspolares:onde:= OP ( 0) é a de P.(0º < 2 ) é o , ou de P.Reciprocamente, dado um par ordenado de números reais, épossível localizar no plano um único ponto, do qual aqueles números sãoas coordenadas polares.O argumento será considerado se sua orientação for ado sentido anti-horário e se nosentido horário. O raio vetor équando assinalado no lado terminal dee quando no seu prolonga-mento.Tenha-se presente que o argumento admite múltiplasdeterminações:2k + .Na prática, utiliza-se o em que o raiodas circunferências concêntricas aumentam de 1 em 1 cm, e os ângulos de15º em 15º. Compensa-se a ausência do papel quadriculado polar comrégua milimetrada e transferidor.Exemplos:Representar os pontos em coordenadas polares:A = (5, 30º)B = (4,150º)C = (7, - 30º)D = (4, - 120º)P = ( , )distância polar ou raio vetorargumento anomalia ângulo polarb) Convençãopositivonegativopositivonegativoc) Representação gráfica de pontospapel quadriculado polarρ θρ ρ≥θ ≤ θ πθρθθπ θOBSERVAÇÃO:
  31. 31. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi180º165º150º135º120º105º90º75º60º45º30º15ºpO 1 21θyPyOyx P x px ≡PyxExercíciosρθOBSERVAÇÃO:A curva da página anterior denominada apresentasimetria emrelação ao eixo polar p, pois cos é igual a cos (- ).cardióideθ θ8. PASSAGEM DO SISTEMA POLARPARA O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONALPor vezes, é oportuno passar de um referencial cartesiano paraumpolar; ou de umpolar para o cartesiano.Fazendo o eixo polar p coincidir com oeixo cartesiano x e O concomitan-temente pólo e origem dos doissistemas.Portanto:P = (x, y) coordenadas cartesianasP = ( , ) coordenadas polaresDo triângulo retângulo OP P obtém-se as relações:1) = x + y2) x = cos3) y = sen4) tg =Além dos dois sistemas mencionados, há outros menos usuais,quais sejam: sistema bipolar, sistema pólo-diretriz, sistema decoordenadas baricêntricas, etc.→ρ θ →ρρ θρ θθx2 2OBSERVAÇÃO:"É bom ter dinheiro e as coisas que o dinheiro pode comprar. Mas ébom também verificar de vez em quando se não estamos perdendoas coisas que o dinheiro não pode comprar."George Horace LorimerOBSERVAÇÃO:É lícito admitir-se a distânciapolar afetada do sinal de menos.Como = f( ) haverá umacorrespondente alteração para. É fácil anuir na figura ao lado,que os pontos C e D porexemplo, podem se apresentarcom outras coordenadas po-lares.Assim:C = (7,330º) ou C = (- 7,150º)D = (4,240º) ou D = (- 4,60º)A representação gráfica de uma equação em coordenadaspolares se obtém arbitrando-se valores para a variável independente ecalculando-se os correspondentes valores para .Exemplo:Construir o gráfico de = 1 + cos .ρ θθθρρ θd) Gráfico de uma equação em coordenadas polaresTABELA DE VALORES150º210º240º270º300º330º0º30º60º90º120º-30º30ºBAPCD180º O
  32. 32.  π−=3,2AÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi01.02.03.04.Passar do sistema cartesiano para o sistema polar:a) Resp.:b) B = Resp.:c) x + y 3x = 0 Resp.: ( 3 cos ) = 0d) (x + y ) = 3(x y ) Resp.: = 3 cos 2e) x + y + xy = 5 Resp.:f) x + y = 0 Resp.:a) Resp.:b) Resp.:c) = k sen 2 Resp.: (x + y ) = 2k xyd) cos 2 = 2 Resp.: (x y ) = 2(x + y )Resp.:Resp.:2 22 2 2 2 2 4 22 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2− ρ ρ− θρ ρ θρ θρ θ −−−−2Passar do sistema polar para o sistema cartesiano.Achar as coordenadas polares do ponto simétrico deem relação ao eixo polar.ldem para o ponto B de coordenadas cartesianas (4, 3).A = −( , )3 3 3( , )3 3 3ρθ θ=+2sen cos( , )3 1−( , )− −3 12O PyxSérie Bρθ=k π32,652sen2112=θ+ρ==+ xytgarck222ayx(semi-circunferência deraio igual a 2)Resp.:05.06.07.Representar = 2 e 0Transformar a equação = a cos 2 , do sistema polar para osistema cartesiano.Passar do sistema polar para o sistema cartesiano:a) = k Resp.: x + y = kρ ≤θ≤πρ θρ θ2 22 2 2Resp.: (x + y ) = a (x y )Tal curva do 4.º grau, descoberta porJacques Bernoulli, é denominadaLemniscata (do grego lemnisko quesignifica ornato, laço de fita),(espiral de Arquimedes)b) Resp.: x + y =(espiral hiperbólica)c) log = k Resp.:(espiral logarítmica)2 2 2 2 2 22 2−ρ θOBSERVAÇÃO:a π6,6 π=67,2Q π−=6,2P π3,254cosarc,52xytgarc 22xytgarck
  33. 33.  π−=3,2AÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi01.02.03.04.Passar do sistema cartesiano para o sistema polar:a) Resp.:b) B = Resp.:c) x + y 3x = 0 Resp.: ( 3 cos ) = 0d) (x + y ) = 3(x y ) Resp.: = 3 cos 2e) x + y + xy = 5 Resp.:f) x + y = 0 Resp.:a) Resp.:b) Resp.:c) = k sen 2 Resp.: (x + y ) = 2k xyd) cos 2 = 2 Resp.: (x y ) = 2(x + y )Resp.:Resp.:2 22 2 2 2 2 4 22 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2− ρ ρ− θρ ρ θρ θρ θ −−−−2Passar do sistema polar para o sistema cartesiano.Achar as coordenadas polares do ponto simétrico deem relação ao eixo polar.ldem para o ponto B de coordenadas cartesianas (4, 3).A = −( , )3 3 3( , )3 3 3ρθ θ=+2sen cos( , )3 1−( , )− −3 12O PyxSérie Bρθ=k π32,652sen2112=θ+ρ==+ xytgarck222ayx(semi-circunferência deraio igual a 2)Resp.:05.06.07.Representar = 2 e 0Transformar a equação = a cos 2 , do sistema polar para osistema cartesiano.Passar do sistema polar para o sistema cartesiano:a) = k Resp.: x + y = kρ ≤θ≤πρ θρ θ2 22 2 2Resp.: (x + y ) = a (x y )Tal curva do 4.º grau, descoberta porJacques Bernoulli, é denominadaLemniscata (do grego lemnisko quesignifica ornato, laço de fita),(espiral de Arquimedes)b) Resp.: x + y =(espiral hiperbólica)c) log = k Resp.:(espiral logarítmica)2 2 2 2 2 22 2−ρ θOBSERVAÇÃO:a π6,6 π=67,2Q π−=6,2P π3,254cosarc,52xytgarc 22xytgarck
  34. 34. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiO pOpa) espiral de Arquimedesc) espiral logarítmicab) espiral hiperbólicaOpA espiral logarítmica é aplicada em Mecânica dos Solos, por ser aforma admitida para as linhas de deslizamento de um maciçoterroso.Deduzir a fórmula da distância entre os pontos P = ( , ) eP = ( , ), em coordenadas polares.Resp.:d = (x x ) + (y y )Substitua:x = cos , x = cos , y = sen , y = sen1 1 12 2 22 1 2 11 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2ρ θρ θ−ρ θ ρ θ ρ θ ρ θSUGESTÃO:2 2 2−08.OBSERVAÇÃO:Apenas a título de curiosidade, representamos os respectivosgráficos:d212221 2 2 12= + − −ρ ρ ρ ρ θ θcos( )270º240º 300º330º210º180º150º120º90º60º45º30ºp343O09. Construir o gráfico de = 3 + sen .ρ θResp.:"Deus não dá fardos pesados para ombros fracos."Adágio popular
  35. 35. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiO pOpa) espiral de Arquimedesc) espiral logarítmicab) espiral hiperbólicaOpA espiral logarítmica é aplicada em Mecânica dos Solos, por ser aforma admitida para as linhas de deslizamento de um maciçoterroso.Deduzir a fórmula da distância entre os pontos P = ( , ) eP = ( , ), emcoordenadas polares.Resp.:d = (x x ) + (y y )Substitua:x = cos , x = cos , y = sen , y = sen1 1 12 2 22 1 2 11 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2ρ θρ θ−ρ θ ρ θ ρ θ ρ θSUGESTÃO:2 2 2−08.OBSERVAÇÃO:Apenas a título de curiosidade, representamos os respectivosgráficos:d212221 2 2 12= + − −ρ ρ ρ ρ θ θcos( )270º240º 300º330º210º180º150º120º90º60º45º30ºp343O09. Construir o gráfico de = 3 + sen .ρ θResp.:"Deus não dá fardos pesados para ombros fracos."Adágio popular
  36. 36. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiC A P Í T U L OSistemas de coordenadasno espaço tridimensional1. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONALEm Geometria Analítica plana as equações contêm duasvariáveis. Na espacial, três variáveis. Nesta se exigirá maior esforço devisualização das figuras. O conjunto de pontos do espaço tridimensionalserá indicado por E .Sejam x, y e z três retas orientadas mutuamente perpendicularesentre si e concorrentes no ponto O. Destarte o triedro (Ox, Oy, Oz) étriretângulo.Principais elementos :- ponto O origem do sistema cartesiano.- retas orientadas eixos cartesianos.- planos xy, xz, yz planos cartesianos.Pelo ponto P traçam-se três planos paralelos aos planoscoordenados e juntamente com estes individualiza-se um paralelepípedoretângulo, cujas faces interceptam os eixos x emP,yemP e z em P .Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla denúmeros reais. Assim o ponto P fica determinado por suas coordenadas3→→→x y ZzP2PZP3PzyOxPx P1Pyxycartesianas ortogonais :P = (x, y, z)onde:x = OPy = OPz = OPO sistema cartesiano em estudo estabelece uma correspondênciabijetora entre cada ponto do espaço e a terna de números reais. Os planoscoordenados dividem o espaço em 8 regiões, denominadas oitantes ouoctantes.a) O = (0, 0, 0) origem do sistema cartesiano.b) P = (x, y, 0), P = (x, 0, z), P = (0, y, z) representam as projeçõesortogonais do ponto P sobre os planos coordenados xy, xz e yz.c) P = (x, 0, 0), P = (0, y, 0), P = (0, 0, z) representam as projeçõesortogonais do ponto P sobre os eixos coordenados x, y e z.d) Não sendo os eixos mutuamente perpendiculares temos umsistema de coordenadas oblíquas.São válidas as operações de soma e multiplicação por escalar.com as triplas (x , y , z ) e (x , y , z ), bem como a condição de igualdade de 2triplas (item 3, do capítulo 3).Um verdadeiro repto à matemática hodierna foi e está sendo oestudo de espaços a 4 ou mais dimensões. Einstein, em sua Teoria daRelatividade apóia-se em um espaço de 4 dimensões. E toda a nossaestrutura mental, fulcrada numa geometria euclidiana de 2 ou 3 dimensõessofre uma vigorosa transformação. Por exemplo, num espaço de 4dimensões (não representável geometricamente), a intersecção de doisplanos pode ser um único ponto. Ou ainda, é factível a retirada de um objeto(ou um ponto) do interior de um paralelepípedo sem atravessar as suasparedes.Dados dois pontos P = (x , y , z ) e P = (x , y , z ), a distância dxyz1 2 3x y z1 1 1 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2→→→→abscissaordenadacotaParticularidades2. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
  37. 37. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. VenturiC A P Í T U L OSistemas de coordenadasno espaço tridimensional1. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONALEm Geometria Analítica plana as equações contêm duasvariáveis. Na espacial, três variáveis. Nesta se exigirá maior esforço devisualização das figuras. O conjunto de pontos do espaço tridimensionalserá indicado por E .Sejam x, y e z três retas orientadas mutuamente perpendicularesentre si e concorrentes no ponto O. Destarte o triedro (Ox, Oy, Oz) étriretângulo.Principais elementos :- ponto O origem do sistema cartesiano.- retas orientadas eixos cartesianos.- planos xy, xz, yz planos cartesianos.Pelo ponto P traçam-se três planos paralelos aos planoscoordenados e juntamente com estes individualiza-se um paralelepípedoretângulo, cujas faces interceptam os eixos x emP,yemP e z em P .Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla denúmeros reais. Assim o ponto P fica determinado por suas coordenadas3→→→x y ZzP2PZP3PzyOxPx P1Pyxycartesianas ortogonais :P = (x, y, z)onde:x = OPy = OPz = OPO sistema cartesiano em estudo estabelece uma correspondênciabijetora entre cada ponto do espaço e a terna de números reais. Os planoscoordenados dividem o espaço em 8 regiões, denominadas oitantes ouoctantes.a) O = (0, 0, 0) origem do sistema cartesiano.b) P = (x, y, 0), P = (x, 0, z), P = (0, y, z) representam as projeçõesortogonais do ponto P sobre os planos coordenados xy, xz e yz.c) P = (x, 0, 0), P = (0, y, 0), P = (0, 0, z) representam as projeçõesortogonais do ponto P sobre os eixos coordenados x, y e z.d) Não sendo os eixos mutuamente perpendiculares temos umsistema de coordenadas oblíquas.São válidas as operações de soma e multiplicação por escalar.com as triplas (x , y , z ) e (x , y , z ), bem como a condição de igualdade de 2triplas (item 3, do capítulo 3).Um verdadeiro repto à matemática hodierna foi e está sendo oestudo de espaços a 4 ou mais dimensões. Einstein, em sua Teoria daRelatividade apóia-se em um espaço de 4 dimensões. E toda a nossaestrutura mental, fulcrada numa geometria euclidiana de 2 ou 3 dimensõessofre uma vigorosa transformação. Por exemplo, num espaço de 4dimensões (não representável geometricamente), a intersecção de doisplanos pode ser um único ponto. Ou ainda, é factível a retirada de um objeto(ou um ponto) do interior de um paralelepípedo sem atravessar as suasparedes.Dados dois pontos P = (x , y , z ) e P = (x , y , z ), a distância dxyz1 2 3x y z1 1 1 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2→→→→abscissaordenadacotaParticularidades2. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
  38. 38. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturientre os pontos P e P é dada pela fórmula:Para a demonstração, considere d a diagonal de umparalelepípedo de vértices opostos P e P . Ou mais facilmente, veremosno capítulo 5 (multiplicação escalar de 2 vetores).A demonstração é análoga ao espaço bidimensional. Adeterminação das coordenadas do ponto P = (x, y, z) que divide o segmentoP = (x , y , z ) e P = (x , y , z ) numa certa razão k, se faz pelas fórmulas:Também aqui a dedução é análoga ao plano. Consideremos otriângulo de vértices A = (x , y , z ), B = (x , y , z ) e C = (x , y , z ). Obaricentro G é obtido pelas fórmulas :1 21 21 1 1 1 2 2 2 2A A A B B B C C CPara k = 1, tem-se as coordenadas do pontomédiodeP P− 1 2.3. PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA.4. BARICENTRO DO TRIÂNGULOd (x x ) (y y ) (z z )2 122 122 12= − + − + −dP2 z – z2 1x – x2 1y – y2 1P1Oyzxxx kx1 k1 2=−−yy ky1 k1 2=−−zz kz1 k1 2=−−xx x x3GA B C=+ +yy y y3GA B C=+ +zz z z3GA B C=+ +Exercícios"Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e aatividade matemática; os países socialmente atrasados sãoaqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula."SUGESTÃO:SUGESTÃO:(JACQUES CHAPELLON)Calcular a soma das arestas do tetraedro regular de vérticesProvar que os pontos A = (2, 0, 1), B = (3, 1, 5), C = (4, 2, 9) sãocolineares.Achar o ponto do eixo das ordenadas eqüidistante dos pontosA = (1, 1, 3) e B = (2, 2, 1).Verificar se os pontossão vértices de algum triângulo retângulo.A = ( , 0, 1), B = ( , 0, 1), C = (0, 2 , 2) e D = (0, 0, 4).Resp.:Bastar verificar que d = d + dResp.:Calcule , , e observe que= + (Pitágoras).−AC AB BC−A = (2, 1, 2), B = (1, 2, 1) e C = ( 1, 0, 1)− − −AB BC ACAC AB BC2 2 22 2 201.02.03.04.3 3 212 3ABC é triângulo re-tângulo com o ângu-lo reto em B.Resp.:− 0,31,0
  39. 39. 11.12.13.14.15.16.Os pontos A, B, M são colineares e M é o ponto médio de .Sabendo-se que A = (1, 3, 5) e M = (0, 1, 2), achar as coordenadas carte-sianas do ponto B.ABResp.: B = ( 1, 1, 1)Calcular os vértices de um triângulo onde são dados obaricentro G = (2, 2, 3) e os pontos médios de dois lados, M = (1, 2, 4) eM = (2, 3, 3).Resp.: (2, 0, 3), (0, 4, 5),(4, 2, 1)Achar o volume da pirâmide de base OABC e P o vértice supe-rior.Resp.: 12 u.v.A base é umquadrado, cujo lado é 2.A altura h é a cota do ponto P, ou seja, h = 9.Até que ponto se deve prolongar o segmento de reta deextremidades A = (1, 1, 2) e B = (4, 5, 6) para que se triplique o seucomprimento no sentido de A para B?Resp. : (10, 17, 14)O ponto P pertence ao eixo z e eqüidista dos pontos A = (2, 3, 0)e B = (0, 1, 2). Encontrar P.Resp.: P = (0, 0, 2)Dados dois vértices A = (9, 5, 12) e B = (6, 1, 19) de umparale-logramo ABCD e P = (4, 1, 7) o ponto de intersecção de suas diagonais,determinar os vértices C e D.Resp.:−−−−−− −12Dados O = (0, 0, 0), A = (2, 0, 0), B = (2, 2, 0), C = (0, 2, 0) e P = (1, 1, 9).SUGESTÃO:C = ( 1, 3, 2) e D = (2, 3, 5)− − −ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi05.06.07.08.09.10.Na figura, achar as coordenadas dos pontos A, B, C e P.Provar que o triângulo A = (1, 2, 0), B = (4, 0, 1) e C = (2, 1, 2)é eqüilátero.Resp.: A = (2, 4, 0)B = (2, 0, 3)C = (0, 4, 3)P = (2, 4, 3)Achar as coordenadas do ponto P que divide o segmentona razão 2. Dados A = (2, 5, 1) e B = (3, 0, 2).Resp.: P = (4, 5, 3)No sistema cartesiano ortogonal, determinar as distâncias doponto P = (1, 4, 2) aos eixos coordenados x, y e z.Resp.:Achar os pontos do plano xz cuja distância ao pontoé 2 e ao ponto B = (2, 0, 1) é 3 (Barsotti).Resp.:Num triângulo ABC são conhecidos os vértices B = (2, 1, 3) eC = (0, 5, 4) e também o baricentro G = (1, 2, 3). Calcular o vértice A.Resp. : A = (1 , 0, 2)− −− −AB− −− −A = (1, 1, 0)z3OBPA24 yxC2 5 5 17, ,V S hOABC=13( )e−−= 122,0,22P−−= 122,0,22P

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