Your SlideShare is downloading. ×
0
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Amplifying Reduction Non Approx
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Amplifying Reduction Non Approx

287

Published on

Published in: Technology
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
287
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
2
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. PCP и неаппроксимируемость Н.Н. Кузюрин С.А. Фомин 10 октября 2008 г. 1 / 18
  • 2. Определение Алгоритм называется C -приближенным, если при любых исходных данных он находит допустимое решение со значением целевой функции, отличающимся от оптимума не более чем в C раз. Для задач максимизации используют обратную величину: 1 « C -приближенный алгоритм» Например: «0, 878-приближенный алгоритм нахождения максимального разреза в графе». 2 / 18
  • 3. Сложность аппроксимации Сложность точного решения оптимизационных задач ← Сложность задач разрешения («Да/Нет?») Трудные задачи разрешения ← N PC Сложность аппроксимации ← ? Можно ли аппроксимировать с произвольным заданным ε? Можно ли аппроксимировать с точностью 1 ? 1 ? . . . 2 4 На эти вопросы не было ответа до доказательства PCP-теоремы и изучения ее следствий. 3 / 18
  • 4. Сложность аппроксимации Сложность точного решения оптимизационных задач ← Сложность задач разрешения («Да/Нет?») Трудные задачи разрешения ← N PC Сложность аппроксимации ← ? Можно ли аппроксимировать с произвольным заданным ε? Можно ли аппроксимировать с точностью 1 ? 1 ? . . . 2 4 На эти вопросы не было ответа до доказательства PCP-теоремы и изучения ее следствий. 4 / 18
  • 5. Сложность аппроксимации Сложность точного решения оптимизационных задач ← Сложность задач разрешения («Да/Нет?») Трудные задачи разрешения ← N PC Сложность аппроксимации ← ? Можно ли аппроксимировать с произвольным заданным ε? Можно ли аппроксимировать с точностью 1 ? 1 ? . . . 2 4 На эти вопросы не было ответа до доказательства PCP-теоремы и изучения ее следствий. 5 / 18
  • 6. Сложность аппроксимации Сложность точного решения оптимизационных задач ← Сложность задач разрешения («Да/Нет?») Трудные задачи разрешения ← N PC Сложность аппроксимации ← ? Можно ли аппроксимировать с произвольным заданным ε? Можно ли аппроксимировать с точностью 1 ? 1 ? . . . 2 4 На эти вопросы не было ответа до доказательства PCP-теоремы и изучения ее следствий. 6 / 18
  • 7. Аппроксимация «MAX-SAT» Задача Максимальная выполнимость/MAX-SAT. Даны m скобок конъюнктивной нормальной формы (КНФ) с n переменными. Найти значения переменных, максимизирующие число выполненных скобок. Задача «MAX-SAT (ε)». Задача ε-разрешения для задачи «MAX-SAT». Известно, что для данного ε > 0 либо доля невыполненных скобок в КНФ не меньше ε, либо КНФ выполнима. Определить, какая ситуация имеет место. 7 / 18
  • 8. PCP-система Определение Системой вероятностной проверки доказательств (верифицирующей PCP-системой) для языка L называется ВМТ M с оракулом, для которой выполняются следующие условия: полнота (completeness): ∀x ∈ L существует оракул πx : P[Mπx (x) = 1] = 1. корректность (soundness): ∀x ∈ L и для любого оракула π: / 1 P[Mπ (x) = 1] ≤ . 2 8 / 18
  • 9. Класс PCP Определение Пусть r , q : N ⇒ N — неотрицательные целочисленные функции. Класс сложности PCP(r (·), q(·)) состоит из языков, имеющих верифицирующую PCP-систему, которая на входе x: 1 потребляет не более r (|x|) случайных бит; 2 делает не более q(|x|) запросов к оракулу. Для множеств целочисленных функций R, Q определим PCP(R, Q) ≡ PCP(r (·), q(·)). r ∈R,q∈Q 9 / 18
  • 10. Задача «MAX-3SAT(ε)». Частный случай задачи «MAX-SAT (ε)», в которой в каждой скобке-дизъюнкции не более трех переменных. 1 Для любого ли ε > 0 существует 1−ε –приближенный полиномиальный алгоритм для задачи «MAX-3SAT(ε)»? Можно ли, при построении PCP-системы для задачи «MAX-3SAT(ε)», вероятностно выбирать одну дизъюнкцию, проверять с помощью оракула ее выполнимость, и в случае, когда она выполнена, чтобы вероятность невыполнимости всей формулы уменьшилась на константу? 10 / 18
  • 11. Определение Усиливающая сводимость (amplifying reduction) по сведению произвольного языка L ∈ N P к языку 3SAT (∈ N PC) для заданной константы 0 < ε < 1 есть полиномиально вычислимая функция φ = f (x), преобразующая входное слово x в экземпляр (формулу φ) задачи 3SAT для которой x ∈ L ⇐⇒ φ ∈ 3SAT , x ∈ L ⇐⇒ φ ∈ 3SAT , / / причем если φ ∈ 3SAT , то доля невыполненных (ложных) дизъюнкций / будет не меньше ε. 11 / 18
  • 12. Теорема N P ⊆ PCP(log , O(1)) ⇐⇒ Есть усиливающая сводимость для 3SAT . Доказательство. ⇒: ∃PCP(log , O(1))-система для L ∈ N P, покажем ∃AR : x ∈ L → φ ∈ 3SAT . Для x: полиномиальный набор случайных строк r1 , . . . , rm i . i i ∀ri : π1 , . . . , πt — ответы оракула. Cтроим формулу ψi (решение верификатора на r1 , . . . , rm i ) от t переменных π1 , . . . , πt : различных дизъюнкций ≤ 2t . i i Преобразуем КНФ ψi в 3-КНФ φi : число 3-дизъюнкций ≤ t · 2t . φ ≡ ∧m φi i=1 12 / 18
  • 13. N P ⊆ PCP(log , O(1)) =⇒ Есть усиливающая сводимость для 3SAT . i i x ∈ L ⇒ ∃π, ∀i π1 , . . . , πt убеждают проверяющую ВМТ ⇒ i , . . . , π i (+значения вспомогательных переменных) выполняющий π1 t набор для φ ⇒ φ ∈ 3SAT . x ∈ L ⇒ ∀π для половины r1 , . . . , rm i M «бракует» x ⇒ невыполнимо / не менее половины φi ⇒ число невыполненных дизъюнкций ≥ m . 2 Доля невыполненных дизъюнкций: m 2 1 = =ε m·t · 2t t · 2t 13 / 18
  • 14. N P ⊆ PCP(log , O(1)) ⇐= ∃ усиливающая сводимость ⇐: ∃ ε-усиливающая сводимость f : 3SAT → 3SAT . Построим PCP-систему для 3SAT (φ — проверяемое слово). 1 φ = f (φ) 2 случайно-равномерно выбираем 1 дизъюнкций φ ε 3 ≤ 3 вопросов: «какие значения присвоить для выполнимости?», ε 4 Коньюнкция из выбранных дизъюнкций: «0» — бракуем,«1» — принимаем. φ выполнима ⇒ подходящий оракул покажет как выполнить выбранные дизъюнкции ⇒ «1» («completeness»). φ невыполнима ⇒ вероятность того, что мы 1 раз не угадаем ε ни одну невыполненную дизъюнкцию, будет не больше 1 1 1 (1 − ε) ε ≤ ≤ . e 2 Т.е. выполнено и «soundness»-условие. 14 / 18
  • 15. N P ⊆ PCP(log , O(1)) ⇐= ∃ усиливающая сводимость ⇐: ∃ ε-усиливающая сводимость f : 3SAT → 3SAT . Построим PCP-систему для 3SAT (φ — проверяемое слово). 1 φ = f (φ) 2 случайно-равномерно выбираем 1 дизъюнкций φ ε 3 ≤ 3 вопросов: «какие значения присвоить для выполнимости?», ε 4 Коньюнкция из выбранных дизъюнкций: «0» — бракуем,«1» — принимаем. φ выполнима ⇒ подходящий оракул покажет как выполнить выбранные дизъюнкции ⇒ «1» («completeness»). φ невыполнима ⇒ вероятность того, что мы 1 раз не угадаем ε ни одну невыполненную дизъюнкцию, будет не больше 1 1 1 (1 − ε) ε ≤ ≤ . e 2 Т.е. выполнено и «soundness»-условие. 15 / 18
  • 16. Теорема Задача «MAX-3SAT(ε)» («правда ли, что есть присваивание, при котором данная 3КНФ-формула φ имеет долю невыполненных конъюнкций не более ε?») N P-трудна. Доказательство. Возьмем 3-КНФ φ и через ε-УС → φε . ? Решив задачу «MAX-3SAT(ε)» для φε , мы решаем «φ ∈ 3SAT ». Таким образом, для 3SAT доказано, что аппроксимация ее с произвольным ε не менее трудная задача, чем ее точное решение. 16 / 18
  • 17. Карта памяти лекции 17 / 18
  • 18. Интернет поддержка курса http://discopal.ispras.ru/ Вопросы? 18 / 18

×