Amplifying Reduction Non Approx
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Amplifying Reduction Non Approx

on

  • 450 views

 

Statistics

Views

Total Views
450
Views on SlideShare
450
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
1
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Amplifying Reduction Non Approx Amplifying Reduction Non Approx Presentation Transcript

    • PCP и неаппроксимируемость Н.Н. Кузюрин С.А. Фомин 10 октября 2008 г. 1 / 18
    • Определение Алгоритм называется C -приближенным, если при любых исходных данных он находит допустимое решение со значением целевой функции, отличающимся от оптимума не более чем в C раз. Для задач максимизации используют обратную величину: 1 « C -приближенный алгоритм» Например: «0, 878-приближенный алгоритм нахождения максимального разреза в графе». 2 / 18
    • Сложность аппроксимации Сложность точного решения оптимизационных задач ← Сложность задач разрешения («Да/Нет?») Трудные задачи разрешения ← N PC Сложность аппроксимации ← ? Можно ли аппроксимировать с произвольным заданным ε? Можно ли аппроксимировать с точностью 1 ? 1 ? . . . 2 4 На эти вопросы не было ответа до доказательства PCP-теоремы и изучения ее следствий. 3 / 18
    • Сложность аппроксимации Сложность точного решения оптимизационных задач ← Сложность задач разрешения («Да/Нет?») Трудные задачи разрешения ← N PC Сложность аппроксимации ← ? Можно ли аппроксимировать с произвольным заданным ε? Можно ли аппроксимировать с точностью 1 ? 1 ? . . . 2 4 На эти вопросы не было ответа до доказательства PCP-теоремы и изучения ее следствий. 4 / 18
    • Сложность аппроксимации Сложность точного решения оптимизационных задач ← Сложность задач разрешения («Да/Нет?») Трудные задачи разрешения ← N PC Сложность аппроксимации ← ? Можно ли аппроксимировать с произвольным заданным ε? Можно ли аппроксимировать с точностью 1 ? 1 ? . . . 2 4 На эти вопросы не было ответа до доказательства PCP-теоремы и изучения ее следствий. 5 / 18
    • Сложность аппроксимации Сложность точного решения оптимизационных задач ← Сложность задач разрешения («Да/Нет?») Трудные задачи разрешения ← N PC Сложность аппроксимации ← ? Можно ли аппроксимировать с произвольным заданным ε? Можно ли аппроксимировать с точностью 1 ? 1 ? . . . 2 4 На эти вопросы не было ответа до доказательства PCP-теоремы и изучения ее следствий. 6 / 18
    • Аппроксимация «MAX-SAT» Задача Максимальная выполнимость/MAX-SAT. Даны m скобок конъюнктивной нормальной формы (КНФ) с n переменными. Найти значения переменных, максимизирующие число выполненных скобок. Задача «MAX-SAT (ε)». Задача ε-разрешения для задачи «MAX-SAT». Известно, что для данного ε > 0 либо доля невыполненных скобок в КНФ не меньше ε, либо КНФ выполнима. Определить, какая ситуация имеет место. 7 / 18
    • PCP-система Определение Системой вероятностной проверки доказательств (верифицирующей PCP-системой) для языка L называется ВМТ M с оракулом, для которой выполняются следующие условия: полнота (completeness): ∀x ∈ L существует оракул πx : P[Mπx (x) = 1] = 1. корректность (soundness): ∀x ∈ L и для любого оракула π: / 1 P[Mπ (x) = 1] ≤ . 2 8 / 18
    • Класс PCP Определение Пусть r , q : N ⇒ N — неотрицательные целочисленные функции. Класс сложности PCP(r (·), q(·)) состоит из языков, имеющих верифицирующую PCP-систему, которая на входе x: 1 потребляет не более r (|x|) случайных бит; 2 делает не более q(|x|) запросов к оракулу. Для множеств целочисленных функций R, Q определим PCP(R, Q) ≡ PCP(r (·), q(·)). r ∈R,q∈Q 9 / 18
    • Задача «MAX-3SAT(ε)». Частный случай задачи «MAX-SAT (ε)», в которой в каждой скобке-дизъюнкции не более трех переменных. 1 Для любого ли ε > 0 существует 1−ε –приближенный полиномиальный алгоритм для задачи «MAX-3SAT(ε)»? Можно ли, при построении PCP-системы для задачи «MAX-3SAT(ε)», вероятностно выбирать одну дизъюнкцию, проверять с помощью оракула ее выполнимость, и в случае, когда она выполнена, чтобы вероятность невыполнимости всей формулы уменьшилась на константу? 10 / 18
    • Определение Усиливающая сводимость (amplifying reduction) по сведению произвольного языка L ∈ N P к языку 3SAT (∈ N PC) для заданной константы 0 < ε < 1 есть полиномиально вычислимая функция φ = f (x), преобразующая входное слово x в экземпляр (формулу φ) задачи 3SAT для которой x ∈ L ⇐⇒ φ ∈ 3SAT , x ∈ L ⇐⇒ φ ∈ 3SAT , / / причем если φ ∈ 3SAT , то доля невыполненных (ложных) дизъюнкций / будет не меньше ε. 11 / 18
    • Теорема N P ⊆ PCP(log , O(1)) ⇐⇒ Есть усиливающая сводимость для 3SAT . Доказательство. ⇒: ∃PCP(log , O(1))-система для L ∈ N P, покажем ∃AR : x ∈ L → φ ∈ 3SAT . Для x: полиномиальный набор случайных строк r1 , . . . , rm i . i i ∀ri : π1 , . . . , πt — ответы оракула. Cтроим формулу ψi (решение верификатора на r1 , . . . , rm i ) от t переменных π1 , . . . , πt : различных дизъюнкций ≤ 2t . i i Преобразуем КНФ ψi в 3-КНФ φi : число 3-дизъюнкций ≤ t · 2t . φ ≡ ∧m φi i=1 12 / 18
    • N P ⊆ PCP(log , O(1)) =⇒ Есть усиливающая сводимость для 3SAT . i i x ∈ L ⇒ ∃π, ∀i π1 , . . . , πt убеждают проверяющую ВМТ ⇒ i , . . . , π i (+значения вспомогательных переменных) выполняющий π1 t набор для φ ⇒ φ ∈ 3SAT . x ∈ L ⇒ ∀π для половины r1 , . . . , rm i M «бракует» x ⇒ невыполнимо / не менее половины φi ⇒ число невыполненных дизъюнкций ≥ m . 2 Доля невыполненных дизъюнкций: m 2 1 = =ε m·t · 2t t · 2t 13 / 18
    • N P ⊆ PCP(log , O(1)) ⇐= ∃ усиливающая сводимость ⇐: ∃ ε-усиливающая сводимость f : 3SAT → 3SAT . Построим PCP-систему для 3SAT (φ — проверяемое слово). 1 φ = f (φ) 2 случайно-равномерно выбираем 1 дизъюнкций φ ε 3 ≤ 3 вопросов: «какие значения присвоить для выполнимости?», ε 4 Коньюнкция из выбранных дизъюнкций: «0» — бракуем,«1» — принимаем. φ выполнима ⇒ подходящий оракул покажет как выполнить выбранные дизъюнкции ⇒ «1» («completeness»). φ невыполнима ⇒ вероятность того, что мы 1 раз не угадаем ε ни одну невыполненную дизъюнкцию, будет не больше 1 1 1 (1 − ε) ε ≤ ≤ . e 2 Т.е. выполнено и «soundness»-условие. 14 / 18
    • N P ⊆ PCP(log , O(1)) ⇐= ∃ усиливающая сводимость ⇐: ∃ ε-усиливающая сводимость f : 3SAT → 3SAT . Построим PCP-систему для 3SAT (φ — проверяемое слово). 1 φ = f (φ) 2 случайно-равномерно выбираем 1 дизъюнкций φ ε 3 ≤ 3 вопросов: «какие значения присвоить для выполнимости?», ε 4 Коньюнкция из выбранных дизъюнкций: «0» — бракуем,«1» — принимаем. φ выполнима ⇒ подходящий оракул покажет как выполнить выбранные дизъюнкции ⇒ «1» («completeness»). φ невыполнима ⇒ вероятность того, что мы 1 раз не угадаем ε ни одну невыполненную дизъюнкцию, будет не больше 1 1 1 (1 − ε) ε ≤ ≤ . e 2 Т.е. выполнено и «soundness»-условие. 15 / 18
    • Теорема Задача «MAX-3SAT(ε)» («правда ли, что есть присваивание, при котором данная 3КНФ-формула φ имеет долю невыполненных конъюнкций не более ε?») N P-трудна. Доказательство. Возьмем 3-КНФ φ и через ε-УС → φε . ? Решив задачу «MAX-3SAT(ε)» для φε , мы решаем «φ ∈ 3SAT ». Таким образом, для 3SAT доказано, что аппроксимация ее с произвольным ε не менее трудная задача, чем ее точное решение. 16 / 18
    • Карта памяти лекции 17 / 18
    • Интернет поддержка курса http://discopal.ispras.ru/ Вопросы? 18 / 18