1. MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES
EJERCICIOS ASÍNTOTAS
Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas:
1) y =
x+ 2
2x − 4
2) y = −
3) y =
4) y =
3x2
( x + 1) 2
x3
x2 − 1
2x 2
x+ 2

2. MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES
SOLUCIONES
1) y =
x+ 2
2x − 4
x+ 2
=∞
x → 2 2x − 4
2 x − 4 = 0 ⇒ x = 2 asíntota vertical ⇒ lim
por la izquierda: 2 − 0,01 = 1,99 ⇒ y =
derecha: 2 + 0,01 = 2,01 ⇒ y =
+
−
= −
;por la
= +
x+ 2 1
1
=
Asíntota horizontal la recta y =
2x − 4 2
2
lim
x→
+
+
∞
x+ 2
10002 1
⇒ x = 10000 ⇒ y =
>
(por encima de
2x − 4
19996 2
x+ 2
− 9998
1
la asíntota) ; lim
⇒ x = − 10000 ⇒ y =
<
(por debajo de la asíntota)
x → −∞ 2x − 4
− 20004 2
lim
x→
+∞
2) y = −

lim  −

x→ − 1

3x2
2
⇒ ( x + 1) = 0 ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = − 1 Asíntota vertical
2
( x + 1)
3x 2 
 = −∞ , por ambos lados, ramas convergentes hacia abajo
( x + 1) 2 


lim  −
x→ ∞ 

3x 2
( x + 1) 2

= −


3
= − 3 Asíntota horizontal la recta
1
y = −3

3x 2 
300000000
 ⇒ x = 10000 ⇒ y = −
> −3
2 
x → +∞
100020001
 ( x + 1) 
(por encima de la asíntota) ;

3x 2 
300000000
 ⇒ x = − 10000 ⇒ y = −
lim  −
< −3

2 
x → −∞
99980001
 ( x + 1) 
(por debajo de la asíntota)
lim  −


3. MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES
3) y =
x3
2
x −1
⇒
x 2 − 1 = 0 ⇒ x = ± 1 ⇒ Asíntotas verticales x = 1 y x = − 1
Para x = 1: por la izda: 1 − 0,01 = 0,99 ⇒ y < 0 ;por la dcha: 1 + 0,01 = 1,01 ⇒ y > 0
Para x = -1: por la izda: − 1 − 0,01 = − 1,01 ⇒ y < 0 ;
por la dcha: − 1 + 0,01 = − 0,99 ⇒ y > 0
lim
x→
∞
x3
x2 − 1
=∞ ⇒
no tiene asíntota horizontal, pero sí asíntota oblicua, dividimos
numerador entre denominador, y nos queda:
x3
2
x −1
Para valores grandes de x, por ej. x = 10000 ⇒
=
x+
x
x−1
⇒
y= x
x
>0
x−1
luego, la gráfica queda por encima de la asíntota, y para
x
valores muy pequeños x = − 10000 ⇒
< 0 luego,
x−1
queda por debajo .
4) y =
2x 2
Asíntota vertical x = − 2
x+ 2
por la izda: − 2 − 0,01 = − 2,01 ⇒ y < 0 ;por la dcha: − 2 + 0,01 = − 1,99 ⇒ y > 0
2x 2
= ∞ no tiene asíntota horizontal, pero si oblicua, dividimos numerador entre
x→ ∞ x + 2
2x 2
8
denominador y nos queda:
= ( 2 x − 4) +
⇒ y = 2x − 4 asíntota oblicua
x+ 2
x+2
lim
Para x = 10000 ⇒
8
x+ 2
Para x = − 10000 ⇒
>
8
x+ 2
0 por encima
<
0 por debajo