Ejercicios de probabilidad y teorema de bayes

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Ejercicios de probabilidad y teorema de bayes

  1. 1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS ESCUELA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA Estadística ii TEMA:“ejercicios de probabilidad y teorema de bayes” ALUMNA: BELGICA CHASI PROFESOR: ING. francisco bahamonde CURSO: CA4 – 7 Quito, 17 de octubre de 2012
  2. 2. PROBABILIDAD1. Una bolsa contiene 8 bolas rojas, 5 bolas amarillas y 7 bolas verdes. Sise extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que:a) Sea roja.b) No sea verde. R,R,R,R,R,R,R,R;A,A,A,A,A;V,V,V,V,Va) E1: Sea Roja. E: espacio muestral, de 20 elementos.P(E1) = 8/20 = 2/5b) E1: Sea Verde. E2: NO sea verde.P(E1) = 7/20P(E2) = 1 - P(E1) = 1 - 7/20 = 13/202. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 bolasblancas y 6 bolas negras.a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca?b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?a) E1: Sea Roja o sea Blanca.
  3. 3. R: Bola Roja. B: Bola Blanca.P(R U B) = P(R) + P(B) = 4/15 + 5/15 = 9/15 = 3/5b) E1: NO extraer bola blanca.P(E1) = 1 - P(B) = 1 - 5/15 = 10/15 = 2/53. Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas,salgan:a) Dos caras.b) Dos sellos. CC,CS,SC,SSa) E 1 : Dos caras.P(E 1 ) = 1/2 * 1/2 = 1/4b) E 1 : Dos sellos.P(E 1 ) = 1/2 * 1/2 = 1/44. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y10 morenos. Un día asisten 45 alumnos.a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno sea hombre o mujer?a) E1: Sea Hombre o Mujer H: Alumno Hombre. M: Alumna Mujer.
  4. 4. P(H) = 15/45 = 1/3P(M) = 30/45 = 2/3P(H U M) = 1/3 + 2/3 = 15. En un viaje organizado por Italia para 120 personas, 48 de los que vansaben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan losdos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar.a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?b) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?c) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que hablainglés?a) E1: Saben hablar inglés. E2: Saben hablar francés.P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2) = 48/120 + 36/120 – 12/120 = 72/120 = 3/5b) E1: Saben hablar solo francés.P(E1) = 24/120 =1/5c) E1: Hable francés sabiendo que habla inglés. F: Habla Francés. I: Habla Ingles.P(I / F) = P(F ∩ I) / P(F) = (12/120)/(48/120) = 12/48 = 1/4
  5. 5. 6. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando siles gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.- A 92 personas les gusta leer.- A 47 personas les gusta ver la tele. Si elegimos al azar una de esaspersonas:a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?a) E1: Les gusta ver la Tele. E2: NO les guste ver la Tele.P(E1) = 47/120P(E2) = 1 – P(E1) = 1 – 47/120 = 73/120b) E1: Les guste Leer.P(E1) = 92/1207. Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5.a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número? 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,2 2,2 3,2 4.2 5,2 6,2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6
  6. 6. a) E1: Mismo numeroP(1,1;2,2;3,3;4,4;5,5)= 5/25 = 1/58. Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, unnúmero del 1 al 5.a) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres personas elijan el mismonúmero? 1,1,1; 2,2,2; 3,3,3; 4,4,4; 5,5,5; 6,6,6a) E1: Mismo numero.P(1,1,1;2,2,2;3,3,3;4,4,4;5,5,5;6,6,6)= 5/125 = 1/259. En una clase hay 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres yla mitad de las mujeres tienen los ojos castaños.a) Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea unhombre o tenga los ojos castaños. Hombre Mujer Total Ojos castaños 5 10 15 Ojos normales 5 10 15 Total 10 20 30a) E1: Hombre y ojos castaños. H: Hombre. O: Ojos castaños.P(H U O) = P(H) + P(O) - P(H ∩ O) = 10/30 + 15/30 - 5/30 = 2/3.
  7. 7. 10. Se sortea un viaje a Europa entre los 120 mejores clientes de unaagencia. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujerescasadas.a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombresoltero? Y Si del afortunado se sabe que es casado.b) ¿Cuál será la probabilidad de que sea una mujer? Hombre Mujer Total Casados 35 45 80 Solteros 20 20 40 Total 55 65 120a) E1: Hombre, Soltero.P(E1) = 20/120 = 1/6.b) E1: Es casado. E2: Sea mujer.P(E2/E1) = 45/80 = 9/16.11. Un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes ala materia del mismo. Se extraen al azar dos temas y se deja que elalumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examenuno de los temas estudiados?a) E1: Al menos un tema. E2: Ningún tema.
  8. 8. P(E1) = 1 - P(E2) = 1 - (10/25)(9/24) = 1 - 3/20 = 17/20.12. Una clase formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas yla mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chicoo estudie francés?b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?a) E1: Sea Chico. E2: Estudie Francés.P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2) = 10/20 + 10/20 - 5/20 = 15/20 = 3/4b) E1: Sea Chica y no estudie Francés.P(E1) = 5/20 = 1/413. En un aula de clase hay 100 alumnos, de los cuales: 40 sonhombres, 30 usan gafas, y 15 son hombres y usan gafas; siseleccionamos al azar un alumno de dicho curso.a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿quéprobabilidad hay de que sea hombre? Gafas Sin gafas Total Hombres 15 25 40 Mujeres 15 45 60 Total 30 70 100
  9. 9. a) E1: Mujer sin Gafas.P(E1) = 45/100 = 9/20b) E1: Hombre. E2: Sin Gafas.P(E1 / E2) = 25/70.14. Extraemos dos cartas de una baraja española (cuarenta cartas).Calcular la probabilidad de que sean:a) Las dos de oros.b) Una de copas y otra de oros.c) Al menos una de oros.d) La primera de copas y la segunda de oro.a) E1: Dos de Oros. O: OrosP(O,O) = P(O ∩ O) = P(O).P(O / O) = (10/40).(9/39) = 90/1560 = 3/52b) E1: Una de Copas y otra de Oros. C: Copas. O: Oros.P(O U C) = P (O) + P(C) – P(O ∩ C) = 10/40 + 10/40 - 0 =1/2
  10. 10. c) E1: Al menos una de Oros. E2: Ninguna de Oros.P(E1) = 1 – P(E2) = 1 – (30/40).(29/39) = 87/156 =29/52.d) E1: Primera de Copas. E2: Segunda de Oros.P(E1 ∩ E2) = P(E1) . P(E2) = (10/40).(10/39) = 10/156 = 5/7815. En un sobre hay 20 estampillas, 8 llevan dibujado un coche y lasrestantes no llevan ningún dibujo.a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer al menos una papeleta con eldibujo de un coche?a) E1: Estampilla con Dibujo.P(E1) = 8/20 = 2/5.16. Se lanza un dado:a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento?b) ¿Cuál es la probabilidad de conseguir un número impar en unlanzamiento?a) E1: Obtener 6P(E1) = 1/6b) E1: Obtener un número impar.P(1,3,5) = 3/6
  11. 11. 17. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntosobtenidos.a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga 7? 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,2 2,2 3,2 4.2 5,2 6,2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6a) E1: Salga 7P(1,6;2,5;3,4;4,3;5,2;6,1) = 6/36 = 1/618. Se lanzan tres dados, encontrar la probabilidad de que:a) Salga 6 en todos.b) Las caras obtenidas sumen 7.a) E1: Salga 6 en los tres dados.P E1 ∩ E1 ∩ E1) = P(E1) . P(E1) . P(E1) = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/216b) E1: Sumen 7 las tres caras de los dados. 1,1,5;1,2,4;1,3,3;1,4,2;1,5,1;2,1,4;2,2,3;2,3,2; 2,4,1;3,1,3;3,2,2;3,3,1; 4,1,2;4,2,1;5,1,1
  12. 12. P(E1) = 15/216 = 5/72.19. Se lanzan dos dados al aire y se anota l a suma de lospuntos obtenidos.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenido seapar? 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,2 2,2 3,2 4.2 5,2 6,2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6a) E 1 : Sea ParP(E 1 ) = 18/36 = 1/220. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de lospuntos obtenidos.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenido seaun múltiplo de tres?
  13. 13. 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,2 2,2 3,2 4.2 5,2 6,2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6a) E 1 : Múltiplo de 3.P(E 1 ) = 12/36 = 1/3 TEOREMA DE BAYES1. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes sonniñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de lasniñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la salaselecciona un infante al azar.a) Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.b) Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidadque sea una niña.a) E1: Seleccionar una niña. E2: Seleccionar un niño E3: Infante menor de 24 meses.P(E3) = P(E1) * P(E3 | E1) + P(E2) * P(E3 | E2) = 0.60 * 0.20 + 0.40 * 0.35 = 0.26
  14. 14. b) P(E1) * P(E3 | E1)P(E1 | E3) = P(E1) * P(E3 | E1) + P(E2) * P(E3 | E2) 0.60 * 0.20 0.12 = = = 0.46 0.60 * 0.20 + 0.40 * 0.35 0.262. Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre suspacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantesmamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además,que son de genero masculino el 25% de los que se realizan correccionesfaciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si seselecciona un paciente al azar, determine:a) Determine la probabilidad de que sea de género masculino.b) Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad quese haya realizado una cirugía de implantes mamarios.a) E1: Pacientes que se realizan cirugías faciales. E2: Pacientes que se realizan implantes mamarios. E3: Pacientes que se realizan otras cirugías correctivas. E4: Pacientes de género masculino.P(E4) = P(E1) * P(E4 | E1) + P(E2) * P(E4 | E2) + P(E3) * (E3 | E4) = 0.20 * 0.25 + 0.35 * 0.15 + 0.45 * 0.40 = 0.28
  15. 15. b. P(E2) * P(E4 | E2)P(E2 | E4) = P(E1) * P(E4 | E1) + P(E2) * P(E4 | E2) + P(E3) * P(E3 | E4) 0.35 * 0.15 = 0.20 * 0.25 + 0.35 * 0.15 + 0.45 * 0.40 0.0525 = = 0.19 0.28253. Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizarecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero,35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienenprobabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un pacientebusca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error.a) Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.a) PE1: Seleccionar el primer aparato. SE2: Seleccionar el segundo aparato. TE3: Seleccionar el tercer aparato. EE4: Seleccionar un resultado con error. P(E1) * P(E4 | E1)P(E1 | E4) = P(E1) * P(E4 | E1) + P(E2) * P(E4 | E2) + P(E3) * P(E4 | E3) 0.25 * 0.01 = 0.25 * 0.01 + 0.35 * 0.02 + 0.4 * 0.03 0.0025 = = 0.116 = 0.12 0.0215
  16. 16. 4. Dos bolsas idénticas; la bolsa I y la bolsa II están sobre una mesa, labolsa I contiene un caramelo rojo y otro negro; la bolsa II contiene doscaramelos rojos. Se toma al azar una de las bolsas y sacamos uncaramelo y es rojo.a) Encuentre la probabilidad de que el caramelo provenga de la bolsa II,dado que este es rojo.a) E1: Selección de la bolsa I. E2: Selección de la bolsa II. E3: Caramelo rojo.P(E3 | E1) = 1/2P(E3 | E2) = 1 (E2) * P(E3 | E2)P(E2 | E3) = P(E1) * P(E3 | E1) + P(E2) * P(E3 | E2) (1/2) * 1 1/2 = = = 2/3 (1/2) * (1/2) + (1/2) * 1 3/45. En una universidad en la que no hay más que estudiantes deingeniería, ciencias y letras, acaban la carrera el 5% de ingeniería, el10% de ciencias y el 20% de letras. Se sabe que el 20% estudianingeniería, el 30% ciencias y el 50% letras. Tomado un estudiantecualquiera al azar, se pide.a) Probabilidad de que haya acabado la carrera y sea de ingeniería.b) Si se tiene la carrera terminada, ¿Cuál es la probabilidad de que seade ingeniería?
  17. 17. a) I = Estudiante de Ingeniería. C = Estudiante de Ciencias. L = Estudiante de Letras. A = Acabar la Carrera.P(A|I) = 0,05P(A|C) = 0,10P(A|L) = 0,20P(I) = 0,20P(C) = 0,30P(L) = 0,50.P(A ∩ I) = P(A|I) · P(I) = 0,05 · 0,20 = 0,01b) P(I ∩ A) P(A | I) * P(I)P(I/A) = = P(A) P(A | I) * P(I) + P(A | C) * P(C) + P(A | L) * P(L) 0,05 * 0,20 = 0,05 * 0,20 + 0,10 * 0,30 + 0,20 * 0,50 0,01 = = 0,071 0,14
  18. 18. EJERCICIO DE LA PRUEBAUn almacén esta considerando cambiar su política de otorgamiento decréditos para reducir el numero de clientes que finalmente no pagan suscuentas.El gerente de crédito sugiere que en lo futuro el crédito le sea canceladoa cualquier cliente que sea demore una semana o mas en sus pagos endos ocasiones distintas. La sugerencia del gerente que se basa en elhecho de que en el pasado, el 90% de todos los clientes que finalmenteno pagaron sus cuentas se habían demorado en sus pagos por lo menosen dos ocasiones.Suponga que de una investigación independiente encontramos que el 2%de todos los clientes (con crédito) finalmente no pagan sus cuentas y quede aquellas que finalmente si las pagan el 45% se han demorado en porlo menos dos ocasiones.Encontrar la probabilidad de que un cliente que se demoro por lo menosen dos ocasiones, finalmente no pague su cuenta y con la informaciónobtenida analice la política que ha sugerido el gerente de ventas. P(S∩P)= P(P) * P(S|P) = 0,98 * 0,45 =0,441 P(S∩P)= P(P) * P(S|P) = 0,02 * 0,90 = 0,018
  19. 19. P(P∩S)P(P|S) = P(S) P(P) * P(S|P) = P(P) * P(S|P) + P(P) * P(S|P) 0,441 = = 0,96 0,441 + 0,018

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