SUBESPACIOS VECTORIALES<br />-En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que de...
Condición de existencia de subespacio<br />El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas ope...
1. S no es un conjunto vacío.<br />2. S es igual o está incluido en V.<br />3. La suma es ley de composición interna.<br /...
TEOREMA<br />-Sea (V, K, +, *) un espacio vectorial S⊆ V, S≠ ∅,<br />S es un subespacio vectorial de V si y solo si cumple...
Intersección:<br />Se define la intersección ( ∩) de dos subespacios vectoriales S1  y  S2 de V, como el subconjunto de V ...
Suma:<br />Sea (V ; K ; +; •) y sean S1 y S2 dos subespacios de V. Se llama suma<br />de S1 y S2 al conjunto:<br />S1 +S2=...
Suma directa:<br />Sean S1 y S2 subespacios de un espacio vectorial  (V; K ;+; •) y sea L ⊆ V , decimos que L es suma dire...
Unión :<br />  S1 υ S2 = {α ∈V  /α ∈ S1 ^α∈ S2}<br />    En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es...
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Subespacios vectoriales

  1. 1. SUBESPACIOS VECTORIALES<br />-En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas.<br />-Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K, entonces S es un subespacio vectorial de V, si y solo si, S ⊆ V.<br />-De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales.<br /> V<br />S<br />
  2. 2. Condición de existencia de subespacio<br />El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.<br />Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:<br />
  3. 3. 1. S no es un conjunto vacío.<br />2. S es igual o está incluido en V.<br />3. La suma es ley de composición interna.<br />4. El producto es ley de composición externa. <br />-Si estos cuatro axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.<br />
  4. 4. TEOREMA<br />-Sea (V, K, +, *) un espacio vectorial S⊆ V, S≠ ∅,<br />S es un subespacio vectorial de V si y solo si cumple que:<br />∀u, v ∊ S / u+v ∊ S<br />2. ∀ α ∊ K, ∀u ∊ S / α u ∊ S<br />
  5. 5. Intersección:<br />Se define la intersección ( ∩) de dos subespacios vectoriales S1 y S2 de V, como el subconjunto de V que verifica:<br /> a ∈ S1 ∩ S2 ⇔ a ∈ S1 y a ∈ S2<br /> Teorema : La intersección de un número cualquiera de subespacios vectoriales de un espacio vectorial V es, a su vez, un subespacio vectorial de V.<br />
  6. 6. Suma:<br />Sea (V ; K ; +; •) y sean S1 y S2 dos subespacios de V. Se llama suma<br />de S1 y S2 al conjunto:<br />S1 +S2= {s1+ s2/ s1∈S1, s2∈ S2}<br /> Teorema : El conjunto S1 + S2 es un subespacio de V; es el menor<br />de todos los subespacios que contienen a S1 y S2.<br />
  7. 7. Suma directa:<br />Sean S1 y S2 subespacios de un espacio vectorial (V; K ;+; •) y sea L ⊆ V , decimos que L es suma directa de S1 y S2; lo que se denota L = S1 ⊕ S2, si se verifica que :<br />L = S1 + S2 y S1∩S2 = .<br />Si L = V; a los subespacios S1 y S2 se les denominan subespacios complementarios.<br />
  8. 8. Unión :<br /> S1 υ S2 = {α ∈V /α ∈ S1 ^α∈ S2}<br /> En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es<br /> un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición <br /> interna.Pertenece de forma segura la unión a V en los casos en que <br /> S1 este contenido en S2 o viceversa.<br />
  1. ¿Le ha llamado la atención una diapositiva en particular?

    Recortar diapositivas es una manera útil de recopilar información importante para consultarla más tarde.

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