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    geometria geometria Document Transcript

    • “AREAS Y VOLUMENES DE CUERPOS GEOMETRICOS CON SU CLASIFICACION”Nombre estudiante:Profesor Encargado:Fecha: 1
    • Tema PaginaIntroducción 3Volumen 4Teorema cavalieri 5Clasificación cuerpos geométricosDescripción de algunos cuerpos geométricosTipos de pirámides 9Volumen pirámide regular 11Figuras geométricas con sus respectivas formulas de volumen 12Definición área 13Área de un triangulo 17Área de un cuadrilátero 19Área y circulo de la elipse 21Área delimitada entre 2 funciones 22Área superficies curvas 23Tabla de áreas y volúmenes 25Bibliografía 27INTRODUCCION 2
    • Analizando bien el tema estamos practicante rodeados por todas partesde cuerpos geométricos desde los astros como nuestro planeta hasta elnotebook con el que escribo este trabajo.Pequeña reseña históricaUno de los principales interesados en la geometría fue Demócrito, quienencontró la fórmula para calcular el volumen de una pirámide, aunqueHipócrates, descubrió que el área de figuras geométricas en forma demedia luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertostriángulos, lo cual está relacionado con el problema de la cuadratura delcírculo, que consiste en construir un cuadrado de área igual a un círculo.Euclides redactó trece libros que componen sus Elementos, los cualescontienen la mayor parte del conocimiento matemático existente en elsiglo IV a.C., trataba temas como la geometría de polígonos, del círculo,la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometríadel espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes.Mucho tiempo después, Arquímedes utilizó un nuevo método teóricopara calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de lascónicas. Apolonio, redactó un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, yestableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvióde base para el estudio de la geometría de estas curvas.VOLUMEN 3
    • El volumen es una magnitud definida como el espacio ocupado por uncuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las 3dimensiones. Podemos conocer el volumen de cualquier cuerpoutilizando formulas matemáticas. En simples palabras volumen corresponde al espacio que ocupa uncuerpo por así decirlo en el universo, el profesor los alumnos unteléfono, etc. En construcción ocupamos en variadas oportunidades esteconcepto ya sea para calcular m3 de hormigón de materiales pétreos, deagua, etc.La unidad para medir volúmenes en el Sistema Internacional es el metrocúbico (m3) que corresponde al espacio que hay en el interior de uncubo de 1m de lado. Sin embargo, se utilizan más sus submúltiplos, eldecímetro cúbico (dm3) y el centímetro cúbico (cm3). Sus equivalenciascon el metro cúbico son:1m3=1.000dm31 m3 = 1.000.000 cm3Para medir el volumen de los líquidos y los gases también podemosfijarnos en la capacidad del recipiente que los contiene, utilizando lasunidades de capacidad, especialmente el litro (l) y el mililitro (ml).Existen unas equivalencias entre las unidades de volumen y las decapacidad:1lt = 1 dm3 1 ml= 1 cm3En química general el dispositivo de uso más frecuente para medirvolúmenes es la probeta. Cuando se necesita más exactitud se usanprobetas.Las probetas son recipientes de vidrio graduados que sirven para medirel volumen de líquidos (leyendo la división correspondiente al nivelalcanzado por el líquido) y sólidos (midiendo el volumen del líquidodesplazado por el sólido, es decir la diferencia entre el nivel alcanzadopor el líquido solo y con el sólido sumergido) 4
    • Teorema de Cavalieri. (1598 – 1647)Si dos sólidos tienen la misma altura y las secciones paralelas a susbases, a la misma distancia de éstas, tienen áreas iguales, ambossólidos tienen el mismo volumen.Volvamos a la escuela con algunos cuerpos geométricos.Clasificación de los cuerpos geométricos:Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos:Los poliedros: Son cuerpos geométricos compuestos exclusivamentepor figuras. Geométricas planas; como por ejemplo el cubo.Hay 4 clases de poliedros: Cubo; Pirámide; Prisma; Paralelepípedo. 5
    • Los cuerpos redondos: Son cuerpos geométricos compuestos total oparcialmente por figuras geométricas curvas; como por ejemplo elcilindro, la esfera o el cono.Descripción de algunos cuerpos geométricosUn paralelepípedo es un poliedro de seis caras, cada una de las cualeses un paralelogramo, que son paralelas e iguales dos a dos.En el caso más general, el volumen de un paralelepípedo se calculamultiplicando el área de cualquiera de sus caras por la altura respectode dicha cara. La altura debe medirse en la perpendicular levantadarespecto del plano que contiene la cara que consideramos como base,como muestra la figura adjunta. 6
    • V=AxhEn el caso más sencillo de que todas las caras sean perpendicularesentre sí, el volumen se calcula multiplicando las longitudes de las tresaristas convergentes en cualquier vértice. Por lo tanto, si las tres aristasconcurrentes a un vértice miden a, b y c entonces su volumen se calculaa través de la fórmula: V=a·b·cPor ejemplo, si las aristas de un paralelepípedo recto son 2, 3 y 6 cmentonces el volumen se obtiene multiplicando 2 · 3 · 6 = 36 cm3.En el caso particular del cubo, en el que todas las aristas tienen lamisma dimensión, el volumen es el lado elevado al cubo: V= l3Un ortoedro o cuboide es un paralelepípedo ortogonal, es decir, cuyascaras forman entre sí ángulos diedros 7
    • Un prisma es un sólido terminado por dos polígonos paralelos e igualesque se denominan bases, y por tantos paralelogramos como ladostengan las bases, que se denominan lados.El volumen de un prisma recto es el producto del área de una de lasbases por la distancia entre ellas (altura):V = Abase hUna pirámide es un poliedro con una cara (llamada "base") que es unpolígono, y todos los demás lados triangulares que se unen en un puntoen común. 8
    • Tipos de pirámidesUna pirámide recta es un tipo de pirámide cuyas caras laterales sontriángulos isósceles. En este tipo de pirámides la recta perpendicular a labase que pasa por el ápice corta a la base por su circuncentro.Una pirámide oblicua es aquella en la que no todas sus caras lateralesson triángulos isósceles.Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígonoregular.Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexoUna pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son triángulos equiláteros,con bases de 3, 4 y 5 lados respectivamente. Un tetraedro es unapirámide cuyas caras (base y caras laterales) son triángulos equiláterosNúmero de lados de Polígono que forma la Tipo de pirámide la base base Pirámide triangular3 Triángulo (tetraedro)4 Pirámide cuadrangular Cuadrilátero4 Pirámide rectangular Rectángulo5 Pirámide pentagonal Pentágono6 Pirámide hexagonal Hexágono7 Pirámide heptagonal Heptágono8 Pirámide octagonal Octágono9 Pirámide eneagonal EneágonoEl volumen de una pirámide puede obtenerse mediante cálculodiferencial. El área de un plano de corte transversal es directamente 9
    • proporcional al área de la base (Ab) y al cuadrado de la distancia delplano de corte respecto al ápice de la pirámide. Esta distancia (d) es ladiferencia entre la altura de la pirámide (h) y altura del plano de corte(z).d=h−zPor lo tanto, el área de un plano de corte transversal situado a unaaltura z por encima de la base esEl volumen de una pirámide se puede hallar conociendo el área de subase y su altura, independientemente de la forma de la base y de laposición del ápice en un plano paralelo a la base.Esta fórmula también es válida para el cono, ya que no depende de laforma de la base, sino de su área.Volumen de una pirámide regular 10
    • El volumen de una pirámide cuya base es un polígono regular puedecalcularse a partir del lado del polígono regular que define su base y laaltura de la pirámide. Sustituyendo el área de la base Ab en la ecuacióndel volumen de la pirámide se obtiene:Un cilindro, en geometría, es la superficie formada por los puntossituados a una distancia fija de una línea recta dada, el eje del cilindro.Como superficie de revolución, se obtiene mediante el giro de una rectaalrededor de otra fija llamada eje de revolución.El volumen de un cilindro es el producto del área de la base por laaltura del cilindro .El volumen de un cilindro de base circular, es:Algunas figuras geométricas con sus respectivas formulas devolumen 11
    • Figura Esquema Volumen Cilindro V = π r2 · h Esfera Cono Cubo V = a3 Prisma V = área base × h PirámideDEFINICION DE AREA 12
    • Al elegir este tema en particular no considere lo extenso y los maresdonde desembocan sus canales me encontré con complejos teoremasque necesitan de mucho estudio, lo que viene a continuación no es nadamas que la punta del iceberg en referencia a el calculo de área, el cualnos da un paseo por la geometría las matemáticas y la física.Área es una medida de la extensión de una superficie, expresada enunidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planasel concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectospuede triangularse (*) y se puede calcular su área como suma de lasáreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área"como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre elconcepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métricaasociada al concepto geométrico (área).Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiereintroducir métodos de geometría diferencial (*)Para poder definir el área de una superficie en general (que es unconcepto métrico), se tiene que haber definido un tensor métrico (*)sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de unespacio euclídeo (*), la superficie hereda una estructura métrica naturalinducida por la métrica euclídeas.*Definición de triangulaciónLa triangulación, en geometría, es el uso de la trigonometría detriángulos para determinar posiciones de puntos, medidas de distanciaso áreas de figuras.En geodesia, se emplea para determinar los puntos singulares de unterritorio, mediante el cálculo exacto de los vértices geodésicos, consistemas de triángulos muy grandes, llamados redes de triangulación.También se utiliza en topografía, y por ende en construcción.*Definición geometría diferencial 13
    • En matemáticas, la geometría diferencial es el estudio de la geometríausando las herramientas del análisis matemático. Los objetos de estudiode este campo son las variedades diferenciables (tal y como la topologíadiferencial) tanto como las nociones de conexión y curvatura (que no seestudia en la topología diferencial).El concepto de variedad diferenciable aparece al generalizar y formalizarla definición de superficie, independientemente de un espacio exterior.El vocabulario de la disciplina Toma términos de la descripción del globoterrestre, la representación plana de la superficie Terrestre es unproblema que ha ocupado un papel fundamental en la geometrıadurante la historia. Las regiones de la Tierra se representan mediantecartas o mapas, que se reúnen en un volumen para formar un atlas, unconjunto de cartas para todo el Planeta.Dos nombres de especial relevancia son el de Gauss (*), que inicia elestudio intrınseco(Invariante frente al sistema de coordenadas) de las superficies y el deRiemann (*), que Aporta una estructura métrica para las variedades.*Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777, Brunswick – 23 defebrero de 1855, Göttingen), fue un matemático, astrónomo y físicoalemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida lateoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, lageodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de lasmatemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad",Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de lamatemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticosque más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros enextender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. 14
    • * Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Alemania, 17 deseptiembre de 1826 - Verbania, Italia, 20 de julio de 1866) fue unmatemático alemán que realizó contribuciones muy importantes enanálisis y geometría diferencial, algunas de ellas allanaron el caminopara el desarrollo más avanzado de la relatividad general. Su nombreestá conectado con la función zeta, la integral de Riemann, el lema deRiemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y lageometría de Riemann.Schutz (*) Indica que la palabra “variedad” es el sustitutomatemáticamente preciso de la palabra “espacio”, sea este el de todoslos estados de equilibrio termodinámico, el espacio de fases de lamecánica, u otro mas abstracto y complejo aun. La importancia de esteconcepto para la fısica matemática es, pues, difıcil de exagerar.Las aplicaciones modernas de la geometría diferencial han dado elestado del arte que goza la física.*(Alfred Schutz (1899-1959) sociólogo y filósofo austriaco)*Definición tensor métricoEn geometría de Riemann, el tensor métrico es un tensor de rango 2que se utiliza para definir conceptos métricos como distancia, ángulo yvolumen en un espacio localmente euclídeo.*Definición de métricas euclídeasUna métrica euclídea no es otra cosa que una métrica arbitraria definidasobre un espacio euclídeo. Un espacio métrico es euclídeo si en el tensorde curvatura es idénticamente nulo en todo el espacio. Cuando se usancoordenadas cartesianas en un espacio euclídeo las componentes deltensor tensión son constantes y, por tanto, los símbolos de Christoffel(*) son también nulos. Sin embargo, en muchos problemas conviene 15
    • usar otro tipo de coordenadas, como por ejemplo las coordenadaspolares, cilíndricas o esféricas, en este caso aun cuando el espacio eseuclídeo las componentes del tensor métrico expresado en estascoordenadas no son constantes, y los símbolos de Christoffel no seanulan. A continuación se dan algunos ejemplos de coordenadasfrecuentes.*En matemáticas y física, los símbolos de Christoffel, así nombrados porElwin Bruno Christoffel (1829 - 1900), son expresiones en coordenadasespaciales para la conexión de Levi-Civita (*) derivada del tensormétrico.* La conexión de Levi-Civita (nombrada así por Tullio Levi-Civita) es laconexión libre de torsión del fibrado tangente, preservando una métricade Riemann (o métrica pseudoriemanniana) dada.El teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que hayuna conexión única que satisfacen estas propiedades.Hasta aquí como mencione anteriormente nos puede llevar el conceptode área, pero veámosla desde otra perspectiva, la que utiliza el comúnde la gente la que aplicamos en la vida diaria o en nuestra carreraconstrucción civil.La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de laregión encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad.En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando loscampos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícolapara restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaronla geometría. 16
    • El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas delos triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por elsabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figuracurva como vimos anteriormente es de mayor dificultad. El método deagotamiento consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figurageométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar elárea buscada. Con este sistema, que se conoce como método deexhausción de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el áreade un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después porArquímedes para resolver otros problemas similares, así como el cálculoaproximado del número π.Área de un trianguloCuadro 2 “formula área triangulo equilátero”El área de un triángulo se calcula mediante la siguiente fórmulaDonde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a labase. (Se puede considerar cualquier lado como base) 17
    • Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, yla fórmula quedaría de la siguiente forma:Donde a y b son los catetos.Si lo que conocemos es la longitud de sus lados aplicamos la fórmula deHerón.Donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus ladoss = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.Si el triángulo es equilátero, de lado a, su área está dada por 18
    • Área de un cuadriláteroCuadro 3 “Trapezoide” El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman.El área también se puede obtener mediante triangulación:Siendo: el ángulo comprendido entre los lados y . el ángulo comprendido entre los lados y . 19
    • El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y elárea es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene suárea dada por el semiproducto de sus dos diagonales:El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez unrectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de lamisma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus ladosson iguales, se usa la fórmula:El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y sualtura respectiva:El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y doslados no paralelos, tiene un área que viene dada por la media aritméticade sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):Área del círculo y la elipse 20
    • El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calculamediante la siguiente expresión matemática:Cuadro 4 “área del círculo y la elipse”El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puede calcularsemediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones.El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como productodel semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:Como mencionaba en un principio el concepto de área nos llevapor varios caminos cuando calculamos cualquier área desuperficies curvas hay que introducir métodos de geometríadiferencial, yo particularmente no domino aun estos métodos hetenido materias como calculo pero es una materia difícil (a modoparticular) y el común de la gente no entiende de estas materias.De todas maneras adjunto algunos cálculos mediante funciones.Área delimitada entre dos funciones 21
    • Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, esutilizando el cálculo integral:El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: y en el intervalo .EjemploSi se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4− x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en estecaso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:Por lo que se concluye que el área delimitada es .El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido alcálculo de una integral, similar. 22
    • Área de superficies curvasEl área de una superficie curva es más complejo y en general suponerealizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral deun cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partirdel área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condiciónmatemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es quesu curvatura gaussiana sea nula.Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superficie o lafórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Unejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvaturagaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto noes cero. Sin embargo la esfera es una superficie de revolución.Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar uncurva plana o generatriz alrededor de un eje directriz, la superficieresultante se llama superficie de revolución y su área puede sercalculada fácilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que algirar conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define untramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera unasuperficie de revolución cuya área lateral vale: 23
    • Ejemplos particulares de superficies de revolución son:El área de esfera de radio R que viene dada porEl área de un cono de radio R y de altura h viene dada porEl área lateral de un cilindro de radio R y altura h es simplemente 24
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    • BIBLIOGRAFIAS-EL MUNDO DE LAS MATEMATICAS.COM-HISTORIA DE LAS MATEMATICAS.COM-SPIGUEL MURRAY R. MATEMATICA APLICADA-VARIEDADES TENSORES Y FISICA /ALVARO TREJO/MARTA BALBAS-WIKIPEDIA.COM 27