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Apostila de física Arquitetura

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    Fisica1 apostila Fisica1 apostila Document Transcript

    • F´ ısica para o Ensino M´dio Integrado e com T´cnico em Mecˆnica ou e a Eletroeletrˆnica o 1o M´dulo — Resumo e Exerc´ o ıcios Fernando C. Guesser fernando.guesser@ifsc.edu.br 21 de setembro de 2012 vers˜o atualizada dispon´ em www.joinville.ifsc.edu.br/∼fernando.guesser a ıvel
    • Sum´rio a1 Onde est´ a F´ a ısica? 12 Grandezas F´ ısicas e Unidades de Medida 33 Movimento Unidimensional 64 Vetores 95 Movimento Tridimensional 12 i
    • Por que estudar F´ ısica no EnsinoM´dio T´cnico? e e Muita gente diz que n˜o gosta de f´ a ısica, mas vocˆ j´ parou para pensar o quanto esta ciˆncia colabora para e a eo desenvolvimento tecnol´gico e cientifico, al´m ´ claro, de tornar muitas tecnologias poss´ o e e ıveis de serem usadas. A f´ısica est´ presente em todo lugar, pois todos os princ´ a ıpios de funcionamento das coisas s˜o regidos por afenˆmenos f´ o ısicos apresentados em experiˆncias laboratoriais ou observadas na natureza. e ´ E de extrema importˆncia o conhecimento de muitos conceitos f´ a ısicos para que os t´cnicos das ´reas de e atecnologia possam entender como funcionam os diversos recursos e projetar novos dispositivos. A f´ısica pode ser considerada como o bastidor da mecˆnica e eletroeletrˆnica e das diversas ´reas da enge- a o anharia, pois muitas tecnologias e componentes empregados no ch˜o de f´brica tais como, motores, solen´ides, a a osensores, resistores, prensas e etc, utilizam princ´ ıpios f´ ısicos. - Por que quando desligamos um motor ele ainda continua o seu movimento? - O que ´ corrente el´trica? e e - Como funciona o termˆmetro? o - Como funciona um sensor? - Como ´ formado um campo magn´tico? e e ... -Como as coisas funcionam? Vire a p´gina e comece a desvendar as respostas ao longo do primeiro volume deste livro. a Nesse volume iniciamos o estudo da Mecˆnica que analisa o movimento, as varia¸˜es de energia e as for¸as a co cque atuam sobre um corpo e subdivide-se em: • Cinem´tica a • Dinˆmica a • Trabalho e energia mecˆnica a • Sistema de part´ ıculas • Colis˜es o • Movimento rotacional • Gravita¸˜o ca Os seguintes volumes tratar˜o de termodinˆmica e ondas, eletromagnetismo, ´tica e f´ a a o ısica moderna. Figura 1: M˜os ` obra! a a ii
    • Cap´ ıtulo 1Onde est´ a F´ a ısica? A F´ısica est´ a´ perto de vocˆ, ` sua volta. Nessa primeira leitura, iremos “enxerg´-la”. a ı e a a Desde que vocˆ nasceu come¸ou a aprender uma infinidade de coisas: segurar a mamadeira, derrubar os e cbrinquedos do ber¸o, destruir os enfeites da casa ... Pode parecer que n˜o, mas essas atividades t˜o edificantes c a aeram o in´ do seu aprendizado de f´ ıcio ısica. Com o tempo, vocˆ passou a executar tarefas mais complicadas, tais como atravessar uma rua movimentada, etomar sopa, enfiar linha na agulha e quem sabe at´ andar na corda bamba ... e E assim sua mente teve que construir uma verdadeira “f´ ısica pr´tica”. Vocˆ faz uso dessa “f´ a e ısica” quandojoga bola, anda de bicicleta, aperta um parafuso: s˜o coisas ligadas a uma parte da f´ a ısica chamada Mecˆnica. a a a ´Da mesma maneira, coisas ligadas ` sua vis˜o fazem parte de um ramo chamado Optica, enquanto a sensa¸˜o de cafrio e calor faz parte da F´ısica T´rmica. O Eletromagnetismo ´ uma outra parte da f´ e e ısica que est´ relacionada aao uso de aparelhos el´tricos em geral. Vamos discutir um pouco mais cada uma delas: e 1
    • 2 CAP´ ITULO 1. ONDE ESTA A F´ ´ ISICA? Este livro ser´ dedicado ao estudo da Mecˆnica. Para uma primeira compreens˜o do significado desse ramo a a ada f´ ısica, um dicion´rio pode nos ajudar. a Se vocˆ procurar no dicion´rio a palavra Mecˆnica encontrar´ a seguinte defini¸˜o: e a a a ca Mecˆnica: 1. Ciˆncia que investiga os movimentos e as for¸as que os provocam. a e c 2. Obra, atividade ou teoria que trata de tal ciˆncia: a mecˆnica de Laplace. e a 3. O conjunto das leis do movimento. Pela defini¸˜o do dicion´rio, percebemos que Mecˆnica pode ser muita coisa. E realmente ´. Da mesma ca a a eforma, se pensarmos nas coisas que vocˆ usa, faz ou conhece tamb´m encontraremos muitas outras liga¸˜es com e e coa Mecˆnica. a Tente lembrar de coisas ou situa¸˜es que vocˆ conhece e que est˜o relacionadas ` Mecˆnica: co e a a a Vamos agrup´-las de acordo com a forma como a F´ a ısica lida com elas. No dicion´rio, vocˆ viu que a Mecˆnica, a e ase preocupa sobretudo com as id´ias de MOVIMENTOS, FORCAS e EQUIL´ e ¸ IBRIO. • Movimentos: – Coisas que se deslocam (transla¸˜o). ca – Coisas que giram (rota¸˜o). ca • For¸as c – Coisas que produzem movimentos. – Coisas que controlam movimentos. – Coisas que ampliam a nossa for¸a. c • Equil´ ıbrio – Coisas que permanecem em equil´ ıbrio.
    • Cap´ ıtulo 2Grandezas F´ ısicas e Unidades deMedida A Medi¸˜o na F´ ca ısica: A f´ ısica se baseia na medi¸˜o de grandezas f´ ca ısicas. Algumas grandezas f´ ısicas, comocomprimento, tempo e massa, foram escolhidas como grandezas fundamentais; cada uma foi definida atrav´s ede um padr˜o e recebeu uma unidade de medida (como metro, segundo e quilograma). Outras grandezas af´ ısicas s˜o definidas em termos das grandezas fundamentais e de seus padr˜es e unidades. a o Unidades do SI: O sistema de unidades adotado neste livro ´ o Sistema Internacional de Unidades (SI). eAs trˆs grandezas f´ e ısicas mostradas na tabela abaixo s˜o usadas nos primeiros cap´ a ıtulos. Trˆs Grandezas Fundamentais do SI e Grandeza Nome da Unidade S´ ımbolo da Unidade Comprimento metro m Tempo segundo s Massa quilograma kgOs padr˜es, que tˆm que ser acess´ o e ıveis e invari´veis, foram estabelecidos para essas grandezas fundamentais apor um acordo internacional. Esses padr˜es s˜o usados em todas as medi¸˜es f´ o a co ısicas, tanto das grandezasfundamentais quanto das grandezas secund´rias. A nota¸ao cient´ a c˜ ıfica e os prefixos da tabela abaixo s˜o usados apara simplificar a nota¸˜o das medic˜es. ca o Prefixos das Unidades do SI Fator Prefixo S´ımbolo Fator Prefixo S´ ımbolo 109 giga- G 10−3 mili- m 106 mega- M 10−6 micro- µ 103 quilo- k 10−9 nano- n Mudan¸a de Unidades: A convers˜o de unidades pode ser feita usando o m´todo de convers˜o em cadeia, c a e ano qual os dados originais s˜o multiplicados sucessivamente por fatores de convers˜o unit´rios e as unidades s˜o a a a amanipuladas como quantidades alg´bricas at´ que apenas as unidades desejadas permane¸am. e e c Comprimento: O metro ´ definido como a distˆncia percorrida pela luz durante um intervalo de tempo e aespecificado. Tempo: O segundo ´ definido em termos das oscila¸˜es da luz emitida por um is´topo de um certo ele- e co omento qu´ ımico (c´sio-133). Sinais de tempo precisos s˜o enviados a todo o mundo atrav´s de sinais de r´dio e a e asincronizados por rel´gios atˆmicos em laborat´rios de padroniza¸˜o. o o o ca Massa: O quilograma ´ definido em termos de um padr˜o de massa de platina-ir´ e a ıdio mantido em umlaborat´rio nas vizinhan¸as de Paris. o c Figura 2.1: Prot´tipo internacional do quilograma o Para medi¸˜es em escala atˆmica ´ comumente usada a unidade de massa atˆmica, definida em termos do co o e oa´tomo de carbono-12. 3
    • 4 CAP´ ITULO 2. GRANDEZAS F´ ISICAS E UNIDADES DE MEDIDA Massa espec´ ıfica: A massa espec´ ıfica ρ de uma substˆncia ´ a massa por unidade de volume: a e m ρ= (2.1) V N´ meros significativos: Quando vocˆ computa um resultado a partir de v´rias medidas, cada medida u e atem uma certa acur´cia, e o resultado deve ser dado com os n´meros significativos da medida de menor acur´cia. a u aExerc´ ıcios Aplicados 1. Na ´rea metalmecˆnica a unidade de medida mais utilizada ´ o mil´ a a e ımetro. Mas existem muitos dispositivos que utilizam o sistema inglˆs. Por exemplo, muitas porcas e parafusos vem dimensionados em polegadas e ımbolo (′′ ). Quantos mil´ que denota-se pelo s´ ımetros medem: 1 ′′ 3 ′′ 3 ′′ (a) 2 (b) 4 (c) 8 2. Em mecˆnica de precis˜o usa-se muito o micrˆmetro (1 µm) tamb´m chamado de m´ a a o e ıcron. (a) Quantos m´ ıcrons tem 1,0 m? (b) Quantos m´ ıcrons tem uma jarda? 3. A edi¸˜o do jornal A Not´ ca ıcia de 19 de fevereiro anunciava: H´ 52 milh˜es de metros quadrados de vazios urbanos em Joinville. a o ` A primeira vista a medida da ´rea assusta. Mas se a unidade de medida fosse o Km2 , como ficaria a a not´ ıcia? Ela n˜o causaria menos impacto apesar de se referir ` mesma ´rea? a a a 4. A Terra tem a forma aproximada de uma esfera com 6,37 × 106 m de raio. Determine: (a) A circunferˆncia da Terra em quilˆmetros. e o (b) A ´rea da superf´ da Terra em quilˆmetros quadrados. a ıcie o (c) O volume da Terra em quilˆmetros c´bicos. o u 5. Uma certa marca de tinta de parede promete uma cobertura de 460 p´s quadrados por gal˜o. e a (a) Expresse este valor em metros quadrados por litro. (b) Expresse este valor em unidades do SI. (c) Qual ´ o inverso da grandeza original e qual o seu significado f´ e ısico? 6. Os engenheiros hidr´ulicos dos Estados Unidos usam frequentemente, como unidade de volume de ´gua, a a o acre-p´, definido como um volume de ´gua suficiente para cobrir 1 acre de terra at´ a profundidade de e a e 1 p´. Uma forte tempestade despejou 2,0 polegadas de chuva em 30 min em uma cidade com uma ´rea e a de 26 km2 . Que volume de ´gua, em acres-p´s, caiu sobre a cidade? a e 7. Uma unidade de ´rea frequentemente usada na medi¸˜o de ´reas de terrenos ´ o hectare, definido como a ca a e 104 m2 . Uma mina de carv˜o a c´u aberto consome anualmente 75 hectares de terra at´ uma profundidade a e e de 26 m. Qual ´ o volume de terra removido por ano em quilˆmetros c´bicos? e o u 8. Um tempo de aula (50 min) ´ aproximadamente igual a 1 micross´culo. e e
    • 5 (a) Qual ´ a dura¸˜o de um micross´culo em minutos? e ca e (b) Usando a rela¸˜o ca real − aproximado erro percentual = × 100 (2.2) real determine o erro percentual dessa aproxima¸˜o. ca 9. At´ 1913, cada cidade do Brasil tinha sua hora local. Hoje em dia acertamos nossos rel´gios em viagens e o apenas quando a varia¸˜o de tempo ´ igual a 1,0 h (o que corresponde a um fuso hor´rio). Que distˆncia, ca e a a em m´dia, uma pessoa deve percorrer, em graus de longitude, para passar de um fuso hor´rio a outro e e a ter que acertar o rel´gio? (Sugest˜o: A Terra gira 360◦ em aproximadamente 24 h.) o a10. Como a velocidade de rota¸˜o da Terra est´ diminuindo gradualmente, a dura¸˜o dos dias est´ aumen- ca a ca a tando: o dia no final de 1,0 s´culo ´ 1,0 ms mais longo que o dia no in´ do s´culo. Qual ´ o aumento e e ıcio e e da dura¸˜o do dia ap´s 20 s´culos? ca o e11. A ´gua tem uma densidade ρ de 1,0 g/cm3 . a (a) Determine a massa de um metro c´bico de ´gua em quilogramas. u a (b) Suponha que s˜o necess´rias 10,0 h para drenar um recipiente com 5700 m3 de ´gua. Qual ´ a “vaz˜o a a a e a de massa” da ´gua do recipiente, em quilogramas por segundo? a12. O ouro, que tem uma massa espec´ ıfica de 19,32 g/cm3 , ´ um metal extremamente d´ctil e male´vel, isto e u a ´, pode ser transformado em fios ou folhas muito finas. e (a) Se uma amostra de ouro, com uma massa de 27,63 g, ´ prensada at´ se tornar uma folha com 1,000 e e µm de espessura, qual ´ a ´rea dessa folha? e a (b) Se, em vez disso, o ouro ´ transformado em um fio cil´ e ındrico com 2,500 µm de raio, qual ´ o e comprimento do fio?13. A Terra tem uma massa de 5,98×1024 kg. A massa m´dia dos ´tomos que comp˜em a Terra ´ 40 u. e a o e Quantos ´tomos existem na Terra? a14. Uma mol´cula de ´gua (H2 O) cont´m dois ´tomos de hidrogˆnio e um ´tomo de oxigˆnio. Um ´tomo de e a e a e a e a hidrogˆnio tem uma massa de 1,0 u, e um ´tomo de oxigˆnio tem uma massa de 16 u, aproximadamente. e a e (a) Qual ´ a massa de uma mol´cula de ´gua em quilogramas? e e a (b) Quantas mol´culas de ´gua existem nos oceanos da Terra, cuja massa estimada ´ 1,4×1021 kg? e a e
    • Cap´ ıtulo 3Movimento Unidimensional Posi¸˜o: A posi¸ao x de uma part´ ca c˜ ıcula em um eixo x localiza a part´ ıcula em rela¸˜o ` origem, ou ponto ca azero, do eixo. A posi¸˜o ´ negativa ou positiva, dependendo do lado da origem em que se encontra a part´ ca e ıcula,ou zero, se a part´ ıcula se encontra na origem. O sentido positivo de um eixo ´ o sentido em que os n´meros e upositivos aumentam; o sentido oposto ´ o sentido negativo. e Deslocamento: O deslocamento ∆x de uma part´ ıcula ´ a varia¸˜o de sua posi¸˜o: e ca ca ∆x = x2 − x1 (3.1) e ´O deslocamento ´ uma grandeza vetorial. E positivo se a part´ ıcula se move no sentido positivo do eixo x, enegativo se a part´ ıcula se move no sentido oposto. Velocidade M´dia: Quando uma part´ e ıcula se desloca de uma posi¸˜o x1 para uma posi¸˜o x2 durante um ca caintervalo de tempo ∆t = t2 − t1 , sua velocidade m´dia durante esse intervalo ´ dada por: e e ∆x x2 − x1 vm´d = e = . (3.2) ∆t t2 − t1O sinal alg´brico de vm´d indica o sentido do movimento (vm´d ´ uma grandeza vetorial). A velocidade m´dia e e e e en˜o depende da distˆncia que uma part´ a a ıcula percorre, mas apenas das posi¸˜es inicial e final. co Velocidade Escalar M´dia: A velocidade escalar m´dia sm´d de uma part´ e e e ıcula durante um intervalo detempo ∆t depende da distˆncia total percorrida pela part´ a ıcula nesse intervalo: distˆncia total a sm´d = e . (3.3) ∆t Acelera¸˜o M´dia: A acelera¸ao m´dia ´ a raz˜o entre a varia¸˜o da velocidade ∆v e o intervalo de tempo ca e c˜ e e a ca∆t no qual essa varia¸˜o ocorre: ca ∆v am´d = e . (3.4) ∆tO sinal alg´brico indica o sinal de am´d . e e Acelera¸˜o Constante: As trˆs equa¸˜es a seguir descrevem o movimento de uma part´ ca e co ıcula com acelera¸˜o caconstante: v = v0 + at (3.5) 1 ∆x = v0 t + at2 (3.6) 2 v 2 = v0 + 2a∆x 2 (3.7)Estas equa¸˜es n˜o s˜o v´lidas quando a acelera¸˜o n˜o ´ constante. co a a a ca a e Acelera¸˜o em Queda Livre: Um exemplo importante de movimento unidimensional com acelera¸˜o ca caconstante ´ o de um objeto subindo ou caindo livremente nas proximidades da superf´ da Terra. As equa¸˜es e ıcie copara acelera¸˜o constante podem ser usadas para descrever este movimento mas devemos fazer duas mudan¸as ca cna nota¸˜o: ca • O movimento ´ descrito em rela¸˜o a um eixo vertical y, com +y orientado verticalmente para cima, assim e ca nas equa¸˜es (3.6) e (3.7) substitu´ co ımos ∆x por ∆y; • A acelera¸˜o a ´ substitu´ por −g nas equa¸˜es (3.5), (3.6) e (3.7), onde g ´ o m´dulo da acelera¸˜o em ca e ıda co e o ca queda livre. Perto da superf´ da Terra, g = 9,8 m/s2 . ıcie 6
    • 7Exerc´ ıcios Aplicados 1. A planta de crescimento mais r´pido de que se tem not´ ´ uma Hesperoyucca whipplei, que cresceu 3, 7m a ıcia e em 14 dias. Qual foi a velocidade de crescimento da planta em micrˆmetros por segundo? o 2. Um cilindro pneum´tico executou um movimento com um curso de 44, 0cm em um tempo de 0, 70s. Qual a ´ a sua velocidade m´dia em Km/h? e e 3. Calcule a velocidade m´dia nos dois casos seguintes: e (a) Vocˆ caminha 73, 2m a uma velocidade de 1, 22m/s e depois corre 73, 2m a 3, 05m/s em uma pista e reta. (b) Vocˆ caminha 1, 00min com uma velocidade de 1, 22m/s e depois corre por 1min a 3, 05m/s em uma e linha reta. (c) Fa¸a o gr´fico de x em fun¸˜o de t nos dois casos. c a ca x(m) ✻ ✲ t(s) 0 20 40 60 80 100 120 4. A velocidade de corte para tornear um eixo de alum´ em um torno mecˆnico ´ de 500m/min. Determine ınio a e esta velocidade em: (a) m/s (b) km/h 5. Um carro sobe uma ladeira com velocidade constante de 40Km/h e desce a ladeira com uma velocidade constante de 70Km/h. Calcule a velocidade escalar m´dia da viagem de ida e de volta. e 6. Uma plataforma executa um movimento com 6s de dura¸˜o com a seguinte fun¸˜o posi¸˜o: ca ca ca t3 x(t) = − + 4t2 3 com x em metros e t em segundos.
    • 8 CAP´ ITULO 3. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL (a) Determine sua velocidade m´dia. e (b) Estime em que instante a velocidade ´ m´xima? e a (c) Determine sua acelera¸˜o m´dia. ca e (d) Em que instante a acelera¸˜o se anula? ca 7. Gotas de chuva caem 2000m de uma nuvem at´ o ch˜o. Se elas n˜o estivessem sujeitas ` resistˆncia do e a a a e ar, qual seria sua velocidade ao atingir o solo? Seria seguro caminhar na chuva? 8. Para determinar a profundidade de um po¸o, solta-se uma pedra. Ap´s 3, 5s ouve-se o barulho do impacto c o da pedra no fundo do po¸o. Qual ´ a profundidade do po¸o? c e c 9. Fa¸a os gr´ficos da posi¸˜o, velocidade e acelera¸˜o do movimento da quest˜o 6. c a ca ca a x(m) ✻ ✲ t(s) 0 1 2 3 4 5 6 v(m/s) ✻ ✲ t(s) 0 1 2 3 4 5 6 a(m/s2 ) ✻ 0 ✲ t(s) 0 1 2 3 4 5 6
    • Cap´ ıtulo 4Vetores Escalares e Vetores: Grandezas escalares, como a temperatura, possuem apenas um valor. S˜o especifi- acadas por um n´mero com uma unidade (10◦ C, por exemplo) e obedecem as regras da aritm´tica e da ´lgebra u e acomum. As grandezas vetoriais, como o deslocamento, possuem um m´dulo e uma orienta¸˜o (5m para cima, o capor exemplo), e obedecem `s regras da ´lgebra vetorial. a a Soma Geom´trica de Vetores: Dois vetores a e b podem ser somados geometricamente desenhando-os ena mesma escala e posicionando-os com a extremidade de um na origem do outro. O vetor que liga a origemdo primeiro ` extremidade do segundo ´ o vetor soma, s. Para subtrair b de a invertemos o sentido de b para a eobter −b e somamos −b a a. A soma vetorial ´ comutativa e associativa. e Componentes de um Vetor: As componentes (escalares) ax e ay de um vetor bidimensional a em rela¸˜o caaos eixos de um sistema de coordenadas xy s˜o obtidas tra¸ando retas perpendiculares aos eixos a partir da a corigem e da extremidade de a. As componentes s˜o dadas por a ax = a cos θ e ay = a sin θ, (4.1)onde θ ´ o ˆngulo entre a e o semi-eixo x positivo. O sinal alg´brico de uma componente indica seu sentido e a eem rela¸˜o ao eixo correspondente. Dadas as componentes, podemos encontrar o m´dulo e a orienta¸˜o de um ca o cavetor a atrav´s das equa¸˜es e co ay a= a2 + a2 x y e tan θ = . (4.2) ax a a ı ˆ ˆ e Nota¸˜o com Vetores Unit´rios: Os vetores unit´rios ˆ,  e k tˆm m´dulo unit´rio e sentido igual ca o aao sentido positivo dos eixos x, y e z, respectivamente, em um sistema de coordenadas dextr´giro. Podemos oexpressar um vetor a em termos de vetores unit´rios como a ı ˆ ˆ a = axˆ + ay  + az k, (4.3) ı ˆ ˆ aonde axˆ, ay  e az k s˜o as componentes vetoriais de a; e ax , ay e az s˜o as componentes escalares. a Soma de Vetores na Forma de Componentes: Para somar vetores na forma de componentes, usamosas regras rx = ax + bx ry = ay + by rz = az + bz (4.4)onde a e b s˜o os vetores a serem somados e r ´ o vetor soma. a e Produto de um Escalar por um Vetor: O produto de um escalar s por um vetor v ´ um vetor deem´dulo sv com a mesma orienta¸˜o de v se s ´ positivo e com a orienta¸˜o oposta se s ´ negativo. Para dividir o ca e ca ev por s, multiplicamos v por 1/s.Exerc´ ıcios Aplicados 1. Um robˆ de explora¸˜o percorre 1,0km do sul para o norte e depois 2,0km de oeste para leste em um o ca campo horizontal coberto de neve. A que distˆncia ele est´ do ponto de partida e em que dire¸˜o? a a ca 9
    • 10 CAP´ ITULO 4. VETORES 2. Quais s˜o os componentes x e y do vetor D na figura? O seu m´dulo ´ D = 3,0m e o ˆngulo α = 45◦ . a o e a 3. Depois da decolagem, um avi˜o viaja 10,4km do leste para oeste, 8,7km do sul para o norte e 2,1km de a baixo para cima. Qual ´ a sua distˆncia do ponto de partida? e a 4. Dados os dois deslocamentos ı  ˆ ı  ˆ D = (6ˆ + 3ˆ − k)m e E = (4ˆ − 5ˆ + 8k)m (4.5) encontre o m´dulo de deslocamento 2D − E. o 5. Numa usinagem de 5s a fresa executa o movimento t3 r(t) = −2 ˆ + −2t2 + 8t ˆ ı  em mm. 6 (a) Escreva a velocidade v(t) e a acelera¸˜o a(t). ca v(t) = a(t) = (b) Fa¸a o gr´fico da trajet´ria da fresa de 0 ` 5s, c a o a ou seja, o gr´fico (ry × rx ). a
    • 116. Sendo de 10kg a massa da lumin´ria. Calcule as tra¸˜es nos cabos AB e BC: a co
    • Cap´ ıtulo 5Movimento Tridimensional Vetor Posi¸˜o: A localiza¸˜o de uma part´ ca ca ıcula em rela¸˜o ` origem de um sistema de coordenadas ´ dada ca a epor um vetor posi¸ao r, que em termos dos vetores unit´rios assume a forma c˜ a ı  ˆ r = xˆ + yˆ + z k (5.1) ˆ aonde xˆ, yˆ e z k s˜o as componentes do vetor posi¸˜o r e x, y e z s˜o as componentes escalares (e tamb´m as ı  ca a ecoordenadas da part´ ıcula). Um vetor posi¸˜o pode ser descrito por um m´dulo e um ou dois ˆngulos, pelas ca o acomponentes vetoriais ou pelas componentes escalares. Deslocamento: Se uma part´ ıcula se move de tal forma que seu vetor posi¸˜o muda de r1 para r2 , o cadeslocamento ∆r da part´ ıcula ´ dado por e ∆r = r2 − r1 . (5.2)O deslocamento tamb´m pode ser escrito na forma e ı  ˆ ∆r = (x2 − x1 )ˆ + (y2 − y1 )ˆ + (z2 − z1 )k (5.3) = ∆xˆ + ∆yˆ + ∆z k ı  ˆ (5.4) Velocidade M´dia: Se uma part´ e ıcula sofre um deslocamento ∆r em um intervalo de tempo ∆t, suavelocidade m´dia vm´d nesse intervalo de tempo ´ dada por e e e ∆r vm´d = e (5.5) ∆t Acelera¸˜o M´dia: Se a velocidade de uma part´ ca e ıcula varia de v1 para v2 no intervalo de tempo ∆t, suaacelera¸ao m´dia durante o intervalo ∆t ´ c˜ e e ∆v am´d = e (5.6) ∆t Movimento de Proj´teis: Movimento bal´ e ıstico ´ o movimento de uma part´ e ıcula que ´ lan¸ada com uma e cvelocidade inicial v0 . Durante o percurso a acelera¸˜o horizontal da part´ ca ıcula ´ zero e a acelera¸˜o vertical ´ e ca ea acelera¸˜o de queda livre, −g. (A orienta¸˜o para cima ´ escolhida como sentido positivo.) Se v0 ´ expressa ca ca e eatrav´s de um m´dulo (a velocidade escalar v0 ) e um ˆngulo θ0 (medido em rela¸˜o ` horizontal), as equa¸˜es e o a ca a code movimento da part´ ıcula ao longo do eixo horizontal x e do eixo vertical y s˜o as mesmas vistas anteriormente apara movimentos sem acelera¸˜o (horizontal) e com acelera¸˜o constante (vertical), onde: ca ca v0x = v0 cos θ0 (5.7) v0y = v0 sin θ0 (5.8)E podemos obter a equa¸˜o da trajet´ria e do alcance horizontal. ca o Movimento Circular Uniforme: Se uma part´ ıcula descreve uma circunferˆncia ou arco de circunferˆncia e ede raio r com velocidade constante v, dizemos que est´ em movimento circular uniforme. Nesse caso, a part´ a ıculapossui uma acelera¸˜o a cujo m´dulo ´ dado por ca o e v2 a= (5.9) rO vetor a aponta sempre para o centro da circunferˆncia ou arco de circunferˆncia, e ´ chamado de acelera¸ao e e e c˜ ıpeta. O tempo que a part´centr´ ıcula leva para descrever uma circunferˆncia completa ´ dado por e e 2πr T = (5.10) vO parˆmetro T ´ chamado de per´ a e ıodo de revolu¸ao ou, simplesmente, per´ c˜ ıodo. 12
    • 13Exerc´ ıcios Aplicados 1. Um p´sitron sofre um deslocamento ∆r = 2, 0ˆ o j ˆ ca j ˆ i−3, 0ˆ +6, 0k e termina com o vetor posi¸˜o r = 3, 0ˆ −4, 0k, em metros. Qual era o vetor posi¸˜o inicial do p´sitron? ca o ca e e i j ˆ 2. O vetor posi¸˜o de um el´tron ´ r = (5, 0m)ˆ − (3, 0m)ˆ + (2, 0m)k. Determine o m´dulo de r. Desenhe o o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro.