2º Bachillerato: Mecanica (Fuerzas y Energía)
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Like this? Share it with your network

Share

2º Bachillerato: Mecanica (Fuerzas y Energía)

on

  • 25,270 views

Apuntes para segundo de Bachillerato

Apuntes para segundo de Bachillerato

Statistics

Views

Total Views
25,270
Views on SlideShare
25,269
Embed Views
1

Actions

Likes
1
Downloads
413
Comments
0

1 Embed 1

http://www.slideee.com 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

2º Bachillerato: Mecanica (Fuerzas y Energía) Document Transcript

  • 1. I.E.S. CASTILLO DE COTE MONTELLANO INTRODUCCIÓN: M E C A N I C A. F U E R Z A Y E N E R G Í A. 1.- DEFINICIÓN DE FUERZA. En la naturaleza los cuerpos ejercen interacciones entre sí. Estas interacciones se distinguen por los efectos que pueden producir, ya que pueden cambiar la forma de los cuerpos, o también pueden mover o parar esos cuerpos. Para medir la magnitud de estas interacciones se utiliza el término fuerza que se definiría como: “Fuerza es la interacción entre dos cuerpos, que puede causar cambios de forma (deformaciones) o cambios en su estado de movimiento (aceleraciones)” Según la forma de actuar nos podemos encontrar dos tipos de fuerzas: − Fuerzas o interacciones por contacto. − Fuerzas o interacciones a distancia. Recordemos que en el Sistema Internacional de Unidades, la fuerza se mide en Newton, N (y que equivale a 1 N = 1 kg m s–2). También debemos recordar que la fuerza es una magnitud  vectorial, F , y por tanto tendrá que venir definida por un módulo o intensidad, un punto de aplicación, una dirección y un sentido. Para representar fuerzas se utilizan vectores y para sumar dos o más fuerzas se aplica la suma vectorial (no se debe sumar los módulos). Los fundamentos de la mecánica, es decir, las leyes que rigen el comportamiento de las fuerzas, fueron enunciadas por Isaac Newton en 1687, y actualmente forma las denominadas tres leyes de Newton (principios de la Dinámica). 1ª Ley de Newton: principio de inercia. Fue deducida por primera vez por Galileo al estudiar el movimiento de los cuerpos en los planos inclinados, pero se incluye dentro de las leyes de Newton por motivos históricos El enunciado del principio de inercia sería: "Todo cuerpo mantiene su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme (mantiene la velocidad constante) a menos que exista una interacción con otro cuerpo (fuerza) que modifique su movimiento." También se puede definir de la siguiente forma: FUERZA Y ENERGÍA 1
  • 2. I.E.S. CASTILLO DE COTE MONTELLANO “Si la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es nula, el cuerpo se mantendrá en reposo o con movimiento rectilíneo uniforme” A esta tendencia que tienen los cuerpos se mantener el movimiento es lo que se denomina inercia, y se puede encontrar muchos casos en la vida cotidiana. 2º Ley de Newton: principio fundamental de la dinámica. Ya hemos mencionado que una fuerza produce un cambio en la velocidad, es decir, una aceleración del objeto. Por tanto debe de existir una relación entre el valor de la fuerza aplicada y la aceleración producida. Esta relación viene definida por la segunda ley de Newton: "La fuerza neta que actúa sobre una partícula produce en ésta una modificación de la velocidad (aceleración) en la misma dirección y sentido que la fuerza y de módulo proporcional a la fuerza".   FT = m ⋅ a La constante de proporcionalidad m, sólo depende del cuerpo y es lo que se denomina masa inercial. Se comprueba fácilmente que la 1º ley de Newton es un caso particular del principio fundamental, si recordamos que una velocidad constante significa que la aceleración es nula. Cuando sobre una partícula la fuerza neta que actúa es nula se dice que esa partícula está en equilibrio. Hay que tener cuidado de no confundir el término reposo con equilibrio, ya que podemos encontrar dos tipos de equilibrio: − Equilibrio estático: cuando el cuerpo se encuentra en reposo. − Equilibrio dinámico: cuando el cuerpo se mueve con movimiento rectilíneo uniforme. 3º Ley de Newton: principio de acción - reacción. Cuando hemos definido el concepto de fuerza lo hemos considerado como una interacción de dos cuerpos. Esto quiere decir que los dos cuerpos actúan o se hacen fuerza entre sí a la vez, según se define en el tercer principio de Newton: "Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B (acción), el cuerpo B realiza sobre A otra fuerza de igual módulo y dirección, y de sentido opuesto (reacción)."   FAB = − FBA Hay que tener claro las siguientes consideraciones: a) Un cuerpo sólo no tiene “fuerza”, para realizar fuerza necesita de otro cuerpo. b) Al aparecer una fuerza, no es cierto que un cuerpo realice fuerza sobre el otro, sino que los dos se están realizando fuerza a la vez. Es decir, las dos fuerzas actúan de forma simultánea. c) Estas fuerzas no se anulan entre sí, esto es debido a que las fuerzas están aplicadas sobre cuerpos diferentes. d) Aunque las fuerzas tenga igual valor, pueden producir efectos muy diferentes en cada uno de los cuerpos. Los efectos depende del cuerpo donde actúan FUERZA Y ENERGÍA 2
  • 3. I.E.S. CASTILLO DE COTE MONTELLANO Con la aplicación de las tres leyes anteriores se pueden resolver los distintos problemas de mecánica en condiciones habituales. Pero existen casos extremos en los cuales la mecánica clásica de Newton no es aplicable. Estos casos son cuando los cuerpos van a gran velocidad (próxima a la velocidad de la luz) o cuando se trata de cuerpos de tamaño subatómico. En estos casos es necesario aplicar la mecánica relativista o la mecánica cuántica respectivamente. 2.- FUERZAS DE ROZAMIENTO. Muchas fuerzas la conocemos por el uso cotidiano, pero para resolver problemas debemos tener en cuenta las siguientes fuerzas: a) Peso: Es la fuerza gravitatoria que realiza la Tierra (o cualquier otro planeta) sobre un cuerpo que esté situado en su superficie. Para calcular el valor del peso se emplea la ecuación P = m g. El valor de g = 9,81 m s–2 en la Tierra, pero nosotros en los problemas redondearemos a g = 10 m s–2. b) Normal: Es la fuerza que realiza una superficie sobre el cuerpo que esté apoyado en esa superficie. La fuerza normal siempre es perpendicular a la superficie, y su valor depende de las circunstancias del problema. c) Tensión: Es la fuerza que realiza una cuerda (o cable, etc.) sobre otro cuerpo. La tensión siempre “tira” del cuerpo y su valor también depende del problema. En la cuerda aparecerá dos tensiones, una en cada extremo y tendrán el mismo valor. d) Fuerza de rozamiento: Es una fuerza debida al contacto entre dos superficies, y se caracteriza por las siguientes propiedades: − Aparece cuando una superficie se mueve (o se intenta mover) por otra superficie. − Siempre se opone al movimiento (o al intento de movimiento). − Depende del tipo de superficie, aunque no del tamaño. − Es proporcional a la fuerza normal que ejerce el cuerpo sobre la superficie. Froz = µ N donde µ es el coeficiente de rozamiento y su valor dependerá del tipo de superficie. Existe dos tipos de fuerzas rozamiento: − estático: Se presenta cuando las fuerzas que se aplican al cuerpo no son capaces de moverlo. Su valor será igual a la fuerza que se esté aplicando, mientras el objeto no se esté moviendo, y tendrá un valor máximo que coincidirá con la mínima fuerza necesaria para poner en movimiento un cuerpo que está en reposo. El valor de la fuerza de rozamiento estático máximo viene determinado por µe. − cinético o dinámico: Aparece cuando el objeto está en movimiento. Para velocidades pequeñas podemos suponer que su valor es constante. Este valor es igual a la fuerza necesaria para mantener el cuerpo en movimiento rectilíneo uniforme. Viene determinado por el coeficiente cinético o dinámico, µc. Generalmente se cumple que µc < µe. EJERC: 1.) ¿Qué fuerza vertical hacia arriba hay que aplicar a un cuerpo de 2 kg para que ascienda con una aceleración de 1 ms-2? Se desprecian los rozamientos. 2.) Sobre un bloque de 15 kg de masa que se encuentra inicialmente en reposo sobre un plano horizontal se ejerce una fuerza cuyo módulo vale 80 N. Sabiendo que el FUERZA Y ENERGÍA 3
  • 4. I.E.S. CASTILLO DE COTE MONTELLANO coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie vale µ = 0,3, calcula la aceleración en los siguientes casos: a) la fuerza es paralela al plano; b) la fuerza forma un ángulo de 60º con el plano. 3.) Dos cuerpos de masas 3 kg y 1 kg cuelgan de los extremos de una cuerda inextensible, que pasa por la garganta de una polea. Despreciando las masas de la cuerda y la polea se pide: a) calcula la aceleración con que se mueve el conjunto y la tensión de la cuerda; b) si eliminamos la masa de 3 kg y tiramos hacia abajo con una fuerza de 3 kp ¿cuánto valdrá entonces la aceleración?; c) ¿qué masa tendríamos que colocar en lugar de la de 3 kg para obtener una aceleración de 12 ms–2? 4.) Un cuerpo de 20 kg se encuentra, en reposo, en un plano inclinado 37º con un coeficiente de rozamiento de 0,2. Sobre dicho cuerpo ejercemos una fuerza de 200 N paralela al plano. Calcula el tiempo que tardará en recorrer 50 m. 5.) Por un plano inclinado 45º con la horizontal, se lanza hacia arriba un cuerpo de 1 kg con una velocidad de 10 ms-1. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano 0,2. Determina el espacio que recorre el cuerpo antes de pararse y la velocidad con que regresará el cuerpo al punto de partida. 6.) Determina el valor de la tensión y la aceleración del B φ sistema de la figura. Los datos del sistema son: masa A A = masa B = 20 kg, φ = 37º, µ = 0,25. 7.) Una piedra de 1 kg está atada al extremo de una cuerda. La piedra describe una trayectoria circular de 1 m de radio en un plano vertical. Calcular la tensión de la cuerda al pasar la piedra por el punto más bajo y por el más alto, si la velocidad es de 6 ms-1 en ambas posiciones. 3.- FUERZAS FUNDAMENTALES DE LA NATURALEZA. Todas las fuerzas que se observan en la naturaleza pueden ser explicadas a partir de cuatro tipos de interacción entre las partículas que constituyen la materia: a) Interacción gravitatoria: enunciada en la ley de gravitación universal de Newton. Es una interacción muy débil, por lo que sólo se pone de manifiesto sus efectos con cuerpos muy grandes. A pesar de ser la más débil, fue la primera en ser estudiada debido al interés que presentaba desde la antigüedad la astronomía. b) Interacción electromagnética: conocidas a partir de la ley de Coulomb y ley de Lorenz. Quizás sea la más importante desde el punto de vista diario, ya que la mayoría de los fenómenos de nuestro alrededor se deben a este tipo de interacción (rozamientos, reacciones químicas y biológicas, etc.). Es una interacción muy fuerte. c) Interacción nuclear fuerte: es la interacción que mantiene unidos los protones y neutrones en el núcleo. Es la fuerza que tiene mayor intensidad, pero su alcance es muy pequeño (10-15 m), por lo que a distancias mayores su efecto se hace despreciable frente a la repulsión electrostática. d) Interacción nuclear débil: explica la existencia de núcleos radiactivos que se desintegran emitiendo partículas beta. También son fuerzas de muy corto alcance. FUERZA Y ENERGÍA 4
  • 5. I.E.S. CASTILLO DE COTE MONTELLANO 4.- CANTIDAD DE MOVIMIENTO: REFORMULACIÓN DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON. En mucha situaciones indicar la velocidad de un cuerpo es insuficiente. No es lo mismo una bicicleta a una determinada velocidad que un camión con la misma velocidad. Es necesario tener en cuenta la masa del objeto que lleva esa velocidad. Con ese objetivo convieneintroducir una nueva magnitud, que es la cantidad de movimiento o momento lineal ( p ) de una partícula: “El vector cantidad de movimiento (o momento lineal) de un cuerpo se define como el producto de la masa del cuerpo multiplicado por su velocidad”   p= mv Con esta nueva magnitud, podemos definir la fuerza de un modo más concreto. "La fuerza que actúa sobre una partícula es igual a la rapidez con la que varía la cantidad de movimiento de la partícula"     ∆p dp FT = y en general FT = ∆t dt Esta nueva definición se corresponde con la expresión de la segunda ley de Newton, como se puede comprobar fácilmente:  dp  d( m v ) dv  FT = ⇒ FT = = m ⇒ FT = ma dt dt dt Hemos visto que la nueva definición coincide con la ley fundamental de la dinámica sólo si consideramos que la masa es constante, por tanto, esta última definición es más general y, en muchos problemas no es fácilmente aplicable las leyes de Newton y es necesario aplicar el concepto de cantidad de movimiento. EJERC: Un automóvil de 750 kg de masa, que se encontraba en reposo, adquiere una velocidad de 90 km/h en 12 s. Calcula la cantidad de movimiento que ha adquirido y el valor de la fuerza que se ha realizado supuesta constante. 5.- IMPULSO. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO. El efecto que producirá una fuerza sobre un cuerpo dependerá de la intensidad de la fuerza y del tiempo que esté actuando dicha fuerza. Estos dos factores se reúnen en la magnitud impulso, que se define como: “Impulso de una fuerza se llama al producto de la fuerza que actúa sobre un cuerpo por el tiempo que está actuando”   I = F·∆ t Si recordamos la relación entre fuerza y cantidad de movimiento:   ∆p      FT = ⇒ FT ·∆ t = ∆ p , o de otra forma I = m v f − m v 0 ∆t FUERZA Y ENERGÍA 5
  • 6. I.E.S. CASTILLO DE COTE MONTELLANO La expresión anterior indica que el impulso ejercido por una fuerza sobre un cuerpo se emplea en variar su cantidad de movimiento. Si sobre ese cuerpo no actúa ninguna fuerza (   FT = 0 ), el cuerpo no sufrirá ninguna variación en su cantidad de movimiento ( ∆ p = 0 ). Esto queda expresado en el teorema de conservación de la cantidad de movimiento: “Si la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento de ese cuerpo se conserva.”   Si FT = 0 ⇒ p es constante. Supongamos ahora, que en lugar de tener un cuerpo, tenemos un sistema formado por dos cuerpos. Estos dos cuerpos están interaccionando entre sí, pero sobre ellos no actúa ninguna otra fuerza. Es decir, sobre los cuerpos actúan fuerzas internas al sistema pero no existen fuerzas externas al sistema. Fp→b F2→1 F1→2 Fb→p Si tenemos en cuenta el tercer principio de la dinámica resulta:   F1→ 2 = − F2→ 1 o escrito de otra forma:   ∆ p2 ∆ p1     = − ⇒ ∆ p 2 = − ∆ p1 ⇒ ∆ p1 + ∆ p 2 = 0 ∆t ∆t Si consideramos todo el sistema como un cuerpo único, y llamamos cantidad de movimiento total del sistema a la suma de las cantidades de movimiento de cada cuerpo (    p T = p1 + p 2 ), la expresión anterior indica que la cantidad de movimiento total del sistema no varía. Esto se expresa con la generalización del teorema de conservación de la cantidad de movimiento aplicado al sistema de partícula, que se enunciaría como: “Si en un sistema de partículas no actúan fuerzas externas al sistema, o la fuerza externa total es nula, la cantidad de movimiento total del sistema se conserva”     Si Fext = 0 ⇒ p T es constante ⇒ p 1 + p 2 es constante Debemos tener en cuenta que, aunque la cantidad de movimiento total no se modifique, la cantidad de movimiento de cada cuerpo sí se modificará, y lo que se modifique en un cuerpo en una dirección, se modificará en el otro cuerpo en la dirección contraria, anulándose ambas y resultando un valor total de cero. El teorema de conservación de la cantidad de movimiento lo hemos demostrado para dos cuerpos, pero es válido para cualquier sistema siempre que no actúen fuerzas externas al sistema. FUERZA Y ENERGÍA 6
  • 7. I.E.S. CASTILLO DE COTE MONTELLANO EJERC: 1.) Una bala de 100 g sale de la boca de un fusil con una rapidez de 300 ms –1.Si la masa del fusil es de 5 kg, calcula su velocidad de retroceso. 2.) Una bala de 20 g de masa se mueve horizontalmente con una velocidad de 200 ms–1 en el momento que colisiona y se incrusta con un bloque de 1980 g que estaba en reposo. Determina la velocidad con la que sale despedido el bloque y la distancia que recorre si el coeficiente de rozamiento es de 0,3. 6.- TRABAJO. Trabajo de fuerzas constante y trayectoria rectilínea. Cuando sobre una partícula actúa una fuerza constante, y esta partícula describe una trayectoria rectilínea, definimos trabajo realizado por la fuerza como el producto escalar entre el vector fuerza y el vector desplazamiento: W = F ⋅ ∆ r ⇒ W = F∆ r cos α Según se comprueba de la definición anterior, la definición científica de trabajo no coincide con la idea cotidiana que tenemos de trabajo, ya que, en física, para que exista un trabajo realizado es necesario que se produzca un desplazamiento. De acuerdo con el producto escalar, el trabajo puede tomar los siguientes valores: a) Positivo, si el ángulo que forman fuerza y desplazamiento es inferior a 90º. El trabajo tomará un valor máximo cuando fuerza y desplazamiento coinciden en dirección y sentido, es decir, el ángulo es 0º. b) Negativo, si el ángulo que forman fuerza y desplazamiento es superior a 90º. El trabajo tomará el mínimo valor (máximo valor negativo) cuando fuerza y desplazamiento coinciden en dirección y tengan sentido contrarios, es decir, el ángulo sea 180º. c) Nulo, si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares entre sí. Supongamos un cuerpo sobre el que actúa una fuerza que formará un ángulo α con el desplazamiento. El vector fuerza se puede descomponer en dos componentes, una según la trayectoria, y otra perpendicular a la trayectoria. Si llamamos fuerza tangencial a la componente de la fuerza que actúa según el desplazamiento, se puede comprobar que la única componente que contribuye realizando trabajo es la componente tangencial, la componente perpendicular o normal no realiza ningún trabajo. Esto se puede expresar como: W = Ft ∆r La unidad internacional de trabajo es el Julio (J), que se podría definir como el "trabajo que realiza una fuerza de 1 N al desplazar su punto de aplicación 1 m a lo largo de su línea de acción" EJERC: En un cuerpo de 20 kg, situado en una superficie horizontal, actúa una fuerza de 200 N con un ángulo de 30º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento del cuerpo con la superficie vale 0,15. Calcular el trabajo realizado por cada una de las fuerzas y el trabajo total si el cuerpo se desplaza 5 m. FUERZA Y ENERGÍA 7
  • 8. I.E.S. CASTILLO DE COTE MONTELLANO Definición general de trabajo: En general, si tenemos fuerzas que no son constantes, y para cualquier tipo de trayectoria, se toman desplazamientos infinitesimales (muy pequeños) donde podamos suponer F constante y trayectoria rectilínea, entonces, para cada desplazamiento infinitesimal podemos calcular un trabajo elemental: dW = F ⋅ d r El trabajo total realizado a lo largo de la trayectoria será la suma de los trabajos elementales realizados a lo largo del camino. Esta suma se resuelve analíticamente mediante la integral definida.   B   W = ∑ dW = ∑ ( F ⋅ dr ) ⇒ W = ∫ F ⋅ dr A  Si F es constante, esta expresión se reduce a la del apartado anterior. Al representar gráficamente el valor de la fuerza tangencial, Ft, con respecto al desplazamiento, resulta que el trabajo realizado entre dos puntos es igual al área encerrada debajo de la curva entre esos dos puntos. Ft Ft W W A B r A B r - Fuerza constante - Fuerza variable Cuando actúan simultáneamente varias fuerzas sobre un cuerpo que se traslada, la suma de los trabajos realizados por todas ellas coincide numéricamente con el trabajo que realizaría la fuerza resultante al realizar el cuerpo el mismo desplazamiento. EJERC: La constante elástica de un muelle es k = 20 Nm -1. Determina el trabajo realizado por el muelle cuando se desplaza desde la posición de equilibrio hasta x = 3 cm. b) ¿Y si queremos trasladarlo desde la posición x = 3 hasta x = 6 cm. 7.- ENERGÍA CINÉTICA. La energía se puede definir como la "propiedad de la materia que le permite realizar transformaciones". Unas de las transformaciones más frecuentes es un desplazamiento, lo que implica la realización de un trabajo, por lo que la energía también se suele definir como "capacidad de realizar un trabajo". La energía se mide en las mismas unidades que el trabajo, por tanto, la unidad internacional de energía es el Julio. La energía puede ser debida a diferentes factores, por lo que se suele hablar de diferentes tipos de energías, cinética, potencial, nuclear, etc. FUERZA Y ENERGÍA 8
  • 9. I.E.S. CASTILLO DE COTE MONTELLANO La energía cinética es la forma de energía asociada al movimiento de la partícula y su valor será: Ec = ½ mv2 que también se puede definir en función de la cantidad de movimiento: Ec = p2 /2m Teorema de las fuerzas vivas.  Si una partícula sometida a una fuerza neta F se desplaza desde un punto A hasta otro B, el trabajo realizado por la fuerza neta será: B B B dv W= ∫ A F ⋅ dr = ∫ m A dt d r = ∫ m vd v A Si realizamos la integral quedará: WAB = ½ mvB2 – ½ mvA2 ⇒ WAB = EcB - EcA ⇒ WAB = ∆Ec expresión que se conoce como teorema de las fuerzas vivas o teorema de la energía cinética: "El trabajo total realizado por todas las fuerzas sobre una partícula es igual a la variación de energía cinética que experimenta esa partícula". El trabajo es por tanto una forma de transferencia de energía de un sistema a otro. Cuando realizamos trabajo sobre un cuerpo, le transferimos una energía, en forma de energía cinética, igual al trabajo que realizamos sobre él. El teorema de las fuerzas vivas es válido para cualquier tipo de fuerza que actúe sobre el cuerpo. Este teorema nos permite calcular valores de velocidad con la que se mueven los cuerpos, pero hay que tener en cuenta, que al ser el trabajo una magnitud escalar, el resultado que se obtiene es el módulo de la velocidad, no se obtiene información sobre la dirección. EJERC: 1.) Se dispara una bala de 5 g contra una pared con velocidad 200 m/s. La bala penetra en la pared 5 cm. Calcular la resistencia que ha ofrecido dicha pared. 2.) Un cuerpo de 1 kg se lanza sobre una superficie horizontal de modo que se detiene tras recorrer 2 m. Si el coeficiente de rozamiento entre en cuerpo y la superficie es 0,2, calcula la velocidad con que se lanzó el cuerpo. 8.- FUERZAS CONSERVATIVAS. “ Se denominan fuerzas conservativas las que cumplen que, al actuar sobre una partícula que realiza una trayectoria cerrada, el trabajo realizado es nulo.”   WA → A = ∫ F ⋅ dr = 0 Según la definición anterior, al trasladarse un cuerpo desde un punto A hasta otro punto B debido al efecto de una fuerza conservativa deberemos realizar un trabajo, pero al volver al punto A el trabajo total realizado es cero, es decir, al volver de A a B la fuerza conservativa devuelve o restituye el trabajo realizado. FUERZA Y ENERGÍA 9
  • 10. I.E.S. CASTILLO DE COTE MONTELLANO “Las fuerzas conservativas son capaces de restituir todo el trabajo que se realiza para vencerlas” Otra posible forma de definir las fuerzas conservativas es: “Cuando el cuerpo sobre el que actúa una fuerza conservativa se desplaza entre dos posiciones A y B, el trabajo que realiza dicha fuerza es independiente de la trayectoria que recorre el cuerpo. El trabajo realizado por una fuerza conservativa entre dos puntos únicamente depende del punto inicial y del punto final ” Ejemplos sencillos de fuerzas conservativas son el peso (cualquier fuerza constante en módulo y dirección) y la fuerza elástica de un resorte. Además, muchas fuerzas importantes de la naturaleza son conservativas (gravitatoria, eléctrica, etc.). La principal fuerza no conservativa es la fuerza de rozamiento. 9.- ENERGÍA POTENCIAL. El comportamiento especial de las fuerzas conservativas permite definir una nueva magnitud, la energía potencial: “El trabajo realizado por una fuerza conservativa al desplazar un cuerpo entre dos puntos dados es igual a la diferencia de energía potencial asociada cambiada de sino.” B   WA → B = ∫ F ⋅ dr = Ep A − Ep B = − ∆ Ep A La expresión anterior se conoce como teorema de la energía potencial. Si tenemos en cuenta que el trabajo de la fuerza conservativa sólo dependía del punto inicial y del punto final, se deduce que la diferencia de energía potencial también depende únicamente del valor de esos puntos. Es decir, las energías potenciales se pueden considerar que son unas energías que tienen los cuerpos debido a la acción de una fuerza conservativa y que su valor depende del punto o del lugar donde se encuentre el cuerpo. Recordemos las principales características del teorema de la energía potencial: a) Este teorema sólo es válido para fuerzas conservativas. b) La energía potencial indicará una energía que está asociada con la posición. c) Cada fuerza conservativa tiene una energía potencial asociada, por tanto existirán tantos tipos de energías potenciales como tipos de fuerzas conservativas existan. d) Hay que tener cuidado, ya que el trabajo es igual a menos la variación de energía potencial. Al determinar el trabajo realizado por la fuerza conservativa, lo único que se puede obtener es la diferencia de energía potencial. Para determinar el valor de la energía potencial de un punto es necesario tomar un punto de referencia, elegido arbitrariamente, al que se le da valor de energía potencial igual a 0. Por ejemplo, si energía potencial de B la hacemos cero, EpB = 0. B   WA → B = ∫ F ⋅ dr = Ep A − Ep B = Ep A Energía potencial del punto A A FUERZA Y ENERGÍA 10
  • 11. I.E.S. CASTILLO DE COTE MONTELLANO Debemos recordar que la energía potencial en un punto es un valor arbitrario, que depende del punto de referencia que tomemos, pero lo que sí tiene sentido físico y expresa una realidad es la diferencia de energía potencial. Energía potencial del peso. El peso es una fuerza que se puede considerar como constante (si no abandonamos la superficie de la Tierra). Como todas las fuerzas constantes, el peso es una fuerza conservativa, y existirá una función energía potencial asociada al peso de modo que se cumpla: B   Wpeso = ∫ P ⋅ dr = Ep A − Ep B A La expresión que determina el valor de la energía potencial en un punto situado a una altura h ya es muy conocida: Ep (peso) = m g h En esta expresión ya se ha considerado la altura del suelo como el punto de referencia con valor de energía potencial igual a cero (Ep suelo = 0 J), aunque nosotros podemos considerar como cero la energía potencial en cualquier otro punto y referir la altura con respecto a ese punto. Energía potencial elástica. Se denominan fuerzas elásticas aquellas que cumplan la ley de Hooke: “Las fuerzas elásticas son aquellas cuyo valor es proporcional a la distancia a un punto fijo, llamado punto de equilibrio, y dirigida hacia dicho punto.” F=–kx El ejemplo más conocido de fuerza elástica es la fuerza que ejerce un muelle o resorte. La fuerza elástica también es una fuerza conservativa, y la expresión que determina su energía potencial es: Ep (elástica) = ½ k x2 EJERC: ¿Qué longitud debe estirarse un muelle de constante recuperadora k = 100 Nm –1 para que gane la misma energía potencial que un cuerpo de 200 g que se eleva a una altura de 5 m? ¿Qué trabajo hemos tenido que realizar para estirarlo? ¿Qué trabajo realiza la fuerza elástica? 10.- PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA. Se llama energía mecánica a la suma de la energía cinética y las energías potenciales que tiene una partícula. Em = Ec + Ep Si sólo actúan fuerzas conservativas y aplicando el teorema de las fuerzas vivas y el teorema de la energía potencial nos queda que: FUERZA Y ENERGÍA 11
  • 12. I.E.S. CASTILLO DE COTE MONTELLANO W = ∆Ec = - ∆Ep ⇒ Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2 , Em = Ec + Ep = constante. Expresión muy importante en física, y que se conoce como principio de conservación de la energía mecánica. Se puede enunciar del siguiente modo: “Si sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas conservativas, su energía mecánica se mantiene constante en todo momento, es decir, se conserva.” Si además de las fuerzas conservativas, actúan otras fuerzas que no son conservativas, por ejemplo, la fuerza de rozamiento: W = WC + WNC = ∆Ec ⇒ - ∆Ep + Wr = ∆Ec ⇒ Wr = ∆Ec + ∆Ep = ∆Em como WC = - ∆Ep Esto nos indica que el trabajo total realizado por las fuerzas no conservativas es igual a la variación producida en la energía mecánica. Dicho de otra forma, la energía mecánica de un cuerpo sólo es modificada si actúa sobre él fuerzas no conservativas. EJERC: 1) Partiendo del reposo, se deja caer un cuerpo por un plano inclinado 30º. Determina, por cálculos energéticos, la velocidad cuando haya recorrido 3 m en los siguientes casos: a) no existe rozamiento; b) el coeficiente de rozamiento es 0,3. 2.) Una partícula de 100 g se encuentra comprimiendo 5 cm un muelle de constante recuperadora k = 50 Nm–1. Si soltamos el muelle, calcula la velocidad que tendrá la partícula al pasar por la posición de equilibrio en los siguientes casos: a) no existe fuerza de rozamiento; b) la fuerza de rozamiento es constante y de valor 0,15 N. FUERZA Y ENERGÍA 12
  • 13. I.E.S. CASTILLO DE COTE MONTELLANO EJERCICIOS: FUERZAS Y ENERGÍA CUESTIONES. 1. a) Una persona razona: “Supongamos que empujo un bloque de masa m que se encuentra en reposo, por una superficie horizontal. Atendiendo a la tercera ley de Newton, la fuerza que ejerzo sobre el bloque es igual y opuesta a la que el bloque ejerce sobre mí. Consecuentemente, la fuerza resultante es cero y esta ley predice que el bloque no puede moverse”. Explica la irregularidad de este razonamiento. b) La fuerza que ejerce La Tierra sobre un cuerpo es proporcional a su masa, ¿por qué entonces no caen más rápidamente los cuerpos con más masa ya que sobre ellos se ejercen más fuerza? 2. a) ¿Puede ser nula la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y que éste se encuentre en movimiento? Si la respuesta es NO, decir porqué; si la respuesta es SI, decir de qué tipo de movimiento se trata. b) ¿Por qué el morro de un automóvil se inclina hacia el suelo cuando frenamos bruscamente? Razonar la respuesta. 3. a) Enuncie el Primer Principio de la Dinámica, Principio de Inercia. ¿Podría aplicarse este principio a una partícula que describiera un movimiento circular y uniforme? Justifícalo. b) Una masa m se deja en reposo sobre una mesa. ¿Qué fuerzas actúan sobre esta masa? Indicar claramente qué cuerpos hacen estas fuerzas y sobre qué cuerpos están aplicadas sus reacciones. 4. Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Una fuerza grande produce siempre un impulso mayor sobre un cuerpo que una fuerza pequeña? Razonarlo. b) Sobre un barco y sobre un grano de arena actúan durante 1 s fuerzas resultantes de 1 dina. ¿Cuál de los dos cuerpos aumenta más su cantidad de movimiento? ¿Porqué? (Desprecia rozamientos) 5. a) ¿Puede ser negativa la energía cinética de una partícula? ¿Y la energía potencial? En caso afirmativo, explique el significado físico. b) ¿Se cumple siempre que el aumento de energía cinética de una partícula es igual a la disminución de su energía potencial? Justifique la respuesta. 6. Analice las siguientes proposiciones, razonando si son verdaderas o falsas: a) El trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética; b) La energía cinética necesaria para escapar de la Tierra depende de la elección del origen de energía potencial. 7. Una partícula se mueve bajo la acción de una sola fuerza conservativa. El módulo de su velocidad decrece inicialmente, pasa por cero momentáneamente y más tarde crece. a) Ponga un ejemplo real en el que se observe este comportamiento. b) Describa la variación de la energía potencial y la de la energía mecánica de la partícula durante ese movimiento. 8. a) Defina los términos “fuerza conservativa” y “energía potencial” y explique la relación entre ambos. b) Si sobre una partícula actúan tres fuerzas conservativas de distinta naturaleza y una no conservativa ¿cuántos términos de energía potencial hay en la ecuación de la energía mecánica de esa partícula? ¿Cómo aparece en dicha ecuación la contribución de la fuerza no conservativa? Razone las respuestas. 9. Comente las siguientes afirmaciones, razonando si son verdaderas o falsas: a) Existe una función energía potencial asociada a cualquier fuerza; b) El trabajo de una fuerza conservativa sobre una partícula que se desplaza entre dos puntos es menor si el desplazamiento se realiza a lo largo de la recta que los une. 10. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) ¿Puede asociarse una energía potencial a una fuerza de rozamiento? b) ¿Qué tiene más sentido físico, la energía potencial en un punto o la variación de energía potencial entre dos puntos? 11. Un bloque de masa m cuelga del extremo inferior de un resorte de masa despreciable, vertical y fijo por su extremo superior. FUERZA Y ENERGÍA 13
  • 14. I.E.S. CASTILLO DE COTE MONTELLANO a) Indique las fuerzas que actúan sobre la partícula explicando si son o no conservativas. b) Se tira del bloque hacia abajo y se suelta, de modo que oscila verticalmente. Analice las variaciones de energía cinética y potencial del bloque y del resorte en una oscilación completa. 12. Comente cada una de las afirmaciones siguientes y razone si son ciertas o falsas: a) El trabajo de una fuerza conservativa aumenta la energía cinética de la partícula y disminuye su energía potencial. b) El trabajo de una fuerza no conservativa aumenta la energía potencial de la partícula y disminuye su energía mecánica. PROBLEMAS. 1. Un deportista de 65 kg se encuentra en reposo sobre una pista de hielo (rozamiento despreciable). Un compañero le lanza una pelota de 400 g con una velocidad horizontal de 10 m s –1. Determine la velocidad del primer jugador tras el impacto en cada una de las dos situaciones siguientes: a) El jugador atrapa la pelota. b) La pelota le golpea en el pecho y rebota elásticamente, moviéndose horizontalmente con una velocidad de 6 m s–1 en sentido contrario. 2. Un proyectil de 50 g incide con una velocidad de 200 m s -1 en una pared de 15 cm de grosor y, tras atravesarla, sale con una velocidad de 100 m s-1. Calcule: a) El trabajo realizado por el proyectil al atravesar la pared. b) La fuerza, supuesta constante, que opone la pared a la penetración del proyectil. 3. Un trineo a motor baja deslizándose por una pendiente de 10º con una velocidad constante de 20 m s-1. Si el coeficiente de rozamiento del trineo sobre la nieve es 0,4, calcule: a) la fuerza que realiza el motor para mantener tal velocidad. b) el tiempo que tardaría en detenerse a partir del instante en que se desconecta el motor. Dato: g = 10 m s-2. 4. Se dispara una bala de 10 g contra un bloque de madera de 1,5 kg que está suspendido de un hilo de 2 m, inextensible y de masa despreciable. La bala se incrusta en el bloque y el conjunto se eleva hasta que el hilo forma un ángulo de 60º con la vertical. a) Calcule la velocidad con la que sale despedido el sistema bloque-bala. b) Calcule la velocidad inicial de la bala. 5. Dos bloques de masas m1 = 2 kg y m2 = 4 kg, unidos por un hilo inextensible, se encuentran sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de rozamiento con los bloques es µ = 0,2. Se tira del bloque m2 con una fuerza de 30 N en una dirección que forma 30º con la horizontal. a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre cada bloque y calcule la aceleración de los dos bloques. b) Calcule el incremento de energía cinética del sistema en un desplazamiento de los bloques de 0,5 m. Dato: g = 10 ms-2. 6. Un muelle de constante elástica 250 N m-1, horizontal y con un extremo fijo, está comprimido 10 cm. Un cuerpo de 0,5 kg, situado en su extremo libre, sale despedido al liberarse el muelle. a) Explique las variaciones de energía del muelle y del cuerpo, mientras se estira el muelle. b) Calcule la velocidad del cuerpo en el instante de abandonar el muelle. 7. Un cuerpo se lanza hacia arriba por un plano inclinado de 30º, con una velocidad inicial de 10 ms-1. a) Explique cualitativamente cómo varían las energías cinética, potencial y mecánica del cuerpo durante la subida. b) ¿Cómo variaría la longitud recorrida si se duplica la velocidad inicial? ¿Y si se duplica el ángulo del plano. Dato: g = 10 m s–2 8. Una fuerza conservativa actúa sobre una partícula y la desplaza, desde un punto x1, hasta otro punto x2, realizando un trabajo de 50 J. a) Determine la variación de energía potencial de la partícula en ese desplazamiento. Si la energía potencial de la partícula es cero en x1, ¿cuánto valdrá en x2? FUERZA Y ENERGÍA 14
  • 15. I.E.S. CASTILLO DE COTE MONTELLANO b) Si la partícula, de 5 g, se mueve bajo la influencia exclusiva de esa fuerza, partiendo del reposo en x1, ¿cuál será la velocidad en x2?, ¿cuál será la variación de energía mecánica? 9. Un bloque de 8 kg desliza por una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad 10 m s–º e incide en el extremo libre de un resorte, de masa despreciable y constante elástica k = 400 N m–1, colocado horizontalmente. a) Analice las transformaciones de energía que tienen lugar desde el instante anterior al contacto del bloque con el resorte hasta que éste, tras comprimirse, recupera la longitud inicial. ¿Cómo se modificaría el balance energético anterior si existiera rozamiento entre el bloque y la superficie? b) Calcule la compresión máxima del resorte y la velocidad del bloque en el instante de separarse del resorte, en el supuesto inicial de que no hay rozamiento. 10. Un cuerpo de 0,5 kg se encuentra inicialmente en reposo a una altura de 1 m por encima del extremo libre de un resorte vertical, cuyo extremo inferior está fijo. Se deja caer el cuerpo sobre el resorte y, después de comprimirlo, vuelve a subir. El resorte tiene una masa despreciable y un constante elástica k = 22 N m–1. a) Haga un análisis energético del problema y justifique si el cuerpo llegará de nuevo al punto de partida. b) Calcule la máxima compresión que experimente el resorte. (g = 10 m s–2) 11. Un bloque de5 kg desliza con velocidad constante por una superficie horizontal mientras se le aplica una fuerza de 10 N, paralela a la superficie. a) Dibuje en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el bloque y explique el balance trabajo – energía en un desplazamiento del bloque de 0,5 m. b) Dibuje en otro esquema las fuerzas que actuarían sobre el bloque si la fuerza que se le aplica fuerza de 30 N en una dirección que forma 60º con la horizontal, e indique el valor de cada fuerza. Calcule la variación de energía cinética del bloque en un desplazamiento de 0,5 m (g = 10 m s–2) 12. Un bloque de 2 kg se lanza hacia arriba, por una rampa rugosa (µ= 0,2) que forma un ángulo de 30º con la horizontal, con una velocidad de 6 m s–1. Tras su ascenso por la rampa, el bloque desciende y llega al punto de partida con una velocidad de 4,2 m s–1. a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando asciende por la rampa y, en otro esquema, las que actúan cuando desciende e indique el valor de cada fuerza. ¿Se verifica el principio de conservación de la energía mecánica en el proceso descrito? Razone la respuesta. b) Calcule el trabajo de la fuerza de rozamiento en el ascenso del bloque y comente el signo del resultado obtenido. (g = 10 m s–2) FUERZA Y ENERGÍA 15