Trabajo robótica 4º industriales

2,212 views
2,141 views

Published on

Este trabajo describe el diseño de un robot para fines quirúrgicos. El robot se trata de un cartesiano al que se le ha añadido una muñeca con dos juntas rotacionales. En el documento está plasmado todo el proceso de diseño: Cinemática, Dinámica y Control de Accionamientos.

Se trata de un documento muy interesante para aquellos que empiecen en el mundo de la robótica ya que está todo explicado al detalle y eso facilita la comprensión.

0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
2,212
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
401
Actions
Shares
0
Downloads
93
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Trabajo robótica 4º industriales

  1. 1. QUIROBOTALUMNO: MARTÍNEZ VERDÚ, JaimeALUMNO: AZNAR GOMIS, José LuísASIGNATURA: Control de RobotsINGENIERÍA INDUSTRIALCURSO: 4º
  2. 2. CAPÍTULO 1: ROBÓTICA QUIRÚRGICA.1. CIRUGÍA ROBÓTICA VS TELECIRUGÍA 1–2 CIRUGÍA ROBÓTICA ROBOTS EN TELECIRUGÍA2. LA ROBÓTICA MÉDICA HOY EN DÍA 1–33. VENTAJAS DE LA CIRUGÍA ROBÓTICA 1–64. LA SIGUIENTE FRONTERA 1–75. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1–76. SOLUCIÓN AL PROBLEMA 1–8CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT.1. EL FORMALISMO DE DENAVIT-HARTENBERG 2–12. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LA CINEMÁTICA DIRECTA 2–73. IMPLEMENTACIÓN DEL CÓDIGO DE LA CINEMÁTICA DIRECTA 2 – 214. EJEMPLOS DE UTILIZACIÓN DE LA FUNCIÓN IMPLEMENTADA 2 – 235. LA CINEMÁTICA DIRECTA COMO VENTAJA: EL JACOBIANA 2 – 24CAPÍTULO 3: CINEMÁTICA INVERSA DEL QUIROBOT.1. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DIRECTO 3–42. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LA CINEMÁTICA INVERSA 3–53. IMPLEMENTACIÓN DEL CÓDIGO DE LA CINEMÁTICA INVERSA 3 – 104. EJEMPLOS DE UTILIZACIÓN DE LA FUNCIÓN IMPLEMENTADA 3 – 125. LA CINEMÁTICA DIRECTA COMO VENTAJA: LA JACOBIANA INVERSA 3 – 13CAPÍTULO 4: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL QUIROBOT.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA EN MatLab® USANDO ALAMBRES 4–1 1. Explicaciones sobre el funcionamiento de la función de representación 3D 4–1 2. Implementación del código de la función de representación 3D: DIBUJAROBOT 4–2 3. Ejemplos de utilización de la función implementada 4–32. ANIMACIÓN GRÁFICA EN MATLAB® USANDO ALAMBRES 4–4 1. Explicaciones sobre el funcionamiento de la función de representación 3D 4–4 2. Implementación del código de la función de representación 3D: ANIMA 4–4 3. Implementación del código de la función de representación 3D: PLANIFICA 4–4 4. Ejemplos de utilización de la función implementada 4–6
  3. 3. CAPÍTULO 5: DINÁMICA DE ROBOTS.1. DINÁMICA INVERSA 5–22. DINÁMICA DIRECTA 5–9CAPÍTULO 6: SELECCIÓN DE SERVOACCIONAMIENTOS.1. REQUISITOS QUE DEBEN SATISFACER NUESTROS MOTORES 6 –22. BÚSQUEDA DE MOTORES APROPIADOS EN CATÁLOGO 6–5CAPÍTULO 7: CINEMÁTICA INVERSA DEL QUIROBOT.1. DISEÑO DE LOS PID 7–12. SIMULACIÓN GLOBAL 7–6
  4. 4. ROBÓTICA QUIRÚRGICA Capítulo 1 ROBÓTICA QUIRÚRGICA "AL PRINCIPIO CREÓ DIOS EL CIELO Y LA TIERRA…" El libro del Génesis La cirugía robótica parece una idea tomada de una película de ciencia ficción y,seguramente, la visión que tenemos de ella ha sido influida por imágenes como las de lapelícula Star wars, en la que Luke Skywaker es atendido médicamente por unos robotsque incluso le implantan un brazo robótico. Las posibilidades de aplicación de robots enla cirugía han motivado la investigación en este campo, y hoy en día ya son unarealidad. La palabra robot proviene del checo; según el diccionario de la lenguaespañola de la Real Academia quiere decir "trabajo o prestación personal" y la definecomo: "una máquina o ingenio electrónico programable, capaz de manipular objetos yrealizar operaciones antes reservadas sólo a las personas". El concepto de robot lo empleó por primera vez, en 1921, el escritor KarelKapek, en su obra titulada R.U.R. (Robots Universales Rossum). El término se derivadel checoslovaco robota, que significa una labor tediosa o servil. En su libro, Kapekplantea que se crearon robots para servir a la sociedad, pero eventualmente hubo unarebelión que culminó en matanzas y en la esclavitud de los humanos. La idea de losrobots "malignos" que pueden dañar al hombre se popularizó posteriormente en un grannúmero de novelas. Por esta razón, Isaac Asimov planteó en Yo, robot tres reglasinviolables para asegurar que los robots permanezcan siempre bajo el control de suscreadores. Tabla 1.1: Diferentes robots empleados en medicina, se incluye su tipo y aplicación. 1-1Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  5. 5. ROBÓTICA QUIRÚRGICA1. CIRUGÍA ROBÓTICA VS TELECIRUGÍA. CIRUGÍA ROBÓTICA. La cirugía robótica es un paso más avanzado de lo anterior, ya que se trata delproceso mediante el cual es el robot el que efectúa un procedimiento quirúrgico bajo elcontrol de un programa de computación. En este caso, el cirujano participa generalmente en la planificación delprocedimiento, pero es un observador en la implementación del plan ya que la ejecucióndel mismo es realizada exclusiva-mente por el robot. ¿Qué es lo que se obtiene con esta práctica? Se logra - entre otras cosas - que noexistan desviaciones de la trayectoria planificada, alta seguridad con velocidades deejecución y maniobras totalmente predecibles. ROBOTS EN TELECIRUGÍA. Mientras que en la cirugía robótica es el robot el que - una vez programado -realiza por sí mismo la operación, en la telecirugía existen robots que efectúaníntegramente los procedimientos pero bajo la guía del cirujano. Como sabemos, telepresencia implica un cirujano operando desde una localidadremota, ya sea en la habitación de al lado o en las antípodas del mundo. Ello se logramanipulando brazos robóticos mediante una complicada interface que combinaretroalimentación visual, auditiva y táctil. Esta interface es fundamental, ya que elcirujano sólo cuenta con los datos brindados por los sensores robóticos que actúan sobreel paciente. Los movimientos de las manos del cirujano son transmitidos a los brazosrobóticos que los reproducen fielmente. Para los ojos del cirujano la manija que mueveen la consola y el instrumento que reproduce ese movimiento en el paciente constituyeuna única entidad. Esto junto al haptic (dispositivo de force-feedback) que le da a susmanos la sensación de tacto y resistencia sobre los tejidos que manipulan los brazosrobóticos, incrementan notoriamente la sensación de inmersión. Aunque la cirugía robótica y la telecirugía tienen muchos puntos en común, losmétodos usados para el control del robot y de la interface hombre-computadora varíansignificativamente. Debido a la complejidad de esta interface, la telecirugía se usaprincipalmente para las cirugías mínima-mente invasivas, en donde se actúa coninstrumentos que ingresan por pequeñas incisiones, sin usar las manos dentro de lacavidad que se está operando. Más aún, recientemente se han realiza-do experimentosusando mini-robots que inyectados en los vasos femorales son guiados hasta los vasoscerebrales de hasta 1.5 mm de diámetro. Si bien los robots totalmente autónomos están todavía en su etapa de desarrolloexperimental, existen ya en el mercado algunos equipamientos robotizados de uso encirugía (AESOP®, Robo-doc®, Regulus®, etc.) 1-2Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  6. 6. ROBÓTICA QUIRÚRGICA2. LA ROBÓTICA MÉDICA HOY EN DÍA. Actualmente, los robots han sido integrados en diferentes campos, entre los quese encuentran la manufactura de automóviles, el manejo de materiales peligrosos para elhombre, e incluso nos sustituyen en viajes al espacio que implicarían un gran riesgo yserían demasiado prolongados para un ser vivo. Específicamente en medicina se hanempleado diversas tecnologías robóticas que han facilitado el tratamiento de variospadecimientos. Tal es el caso, por ejemplo, de la cirugía del ojo asistida por computadora, en laque se proporciona la información acerca de la geometría y características del globoocular a un sistema computarizado, el cual guía los cortes a realizar para corregir lasdeficiencias visuales. Sin embargo, robots que tengan una inteligencia artificialsemejante a la humana todavía no existen; es factible que en un futuro no tan lejano sediseñen robots con algo comparable a una conciencia y mente propias, que junto conuna libertad de movimiento superior a la del hombre (gracias a los materiales con losque estén construidos), les van a permitir realizar actividades imposibles para nosotros ocon una mejor eficiencia que la de los humanos. En la medicina esto suena atractivo apesar de que hasta la fecha ninguna máquina cumple con lo anterior. En este ámbito, elcirujano robot correspondería a un manipulador controlado por computadora, capaz depercibir las partes del cuerpo humano y de mover los instrumentos quirúrgicos paraefectuar una cirugía. En la actualidad se clasifica a los robots como pasivos, cuandopermiten ubicar y mantener en posición algunos instrumentos para facilitar al cirujano elprocedimiento quirúrgico, y activos, cuando el robot mueve los instrumentos y realiza lacirugía.Figura 1.1: Componentes del robot maestro-esclavo tipo Da Vinci utilizado hoy en día en muchos hospitales del mundo. Dentro de estos últimos existe lo que se conoce como los sistemas maestro-esclavo, en los que el robot manipula los instrumentos, pero es el cirujano el que leindica al robot cómo hacerlo. De acuerdo con esta clasificación se han construido variosrobots pasivos que permiten la realización de cirugías relativamente simples, como lasbiopsias estereotáxicas, en las que el neurocirujano alimenta las características deltumor a operar en un sistema computacional que controla un robot encargado deintroducir la aguja para la toma de la muestra de tejido sospechoso. 1-3Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  7. 7. ROBÓTICA QUIRÚRGICA Entre los robots activos destaca uno creado por IBM, denominado Robodoc. Setrata de un sistema experimental que permite implantar una prótesis de cadera conmayor superficie para su fijación, en un perro. El primer robot del tipo activo utilizadoen humanos es el Probot, creado por el Imperial College en Londres y que ayuda arealizar una resección de tejido benigno de la próstata; este robot incorpora en su puntaun sistema de ultrasonido que le permite crear una imagen tridimensional de la próstata,así el cirujano selecciona qué partes del tejido debe cortar el Probot (Tabla 1.1). Se busca que los robots mejoren los resultados de la cirugía tradicionalvolviendo los procedimientos menos agresivos; esto explica por qué la mayoría de losavances en cirugía robótica se han dado en el campo emergente de la cirugíamínimamente invasiva, conocida como cirugía laparoscópica. Ésta consiste en laintroducción en el cuerpo de una cámara e instrumentos mediante los cuales se realiza lacirugía; para ello se han implementado diferentes robots, y uno de los primeros fue elrobot activado por voz conocido como AESOP (siglas en inglés de Sistema Óptimo dePosicionamiento Endoscópico Automatizado), que actualmente se utiliza en formarutinaria en centros especializados en cirugía laparoscópica Este robot consiste en unbrazo mecánico conectado a una computadora que reconoce órdenes verbales sencillas yque el robot traduce en movimientos de la cámara laparoscópica. El AESOP libera unbrazo del cirujano y así se disminuye el número de personas que se requieren para lacirugía, con la ventaja de que la imagen de la cirugía no va a moverse ni a temblar comolo haría un cirujano que sostiene una cámara durante un periodo largo de tiempo. Elcosto promedio de este robot es de 90,000 dólares. Figura 1.2: Se observa cómo el robot maestro-esclavo tipo Da Vinci traduce los movimientos de la mano del cirujano en movimientos del instrumental. Robots de una nueva generación son los sistemas maestro-esclavo, que incluyena los robots Da Vinci y Zeus. Estos sistemas permiten lo que conocemos como cirugíaasistida por robot, en la cual el cirujano utiliza brazos mecánicos que repiten losmovimientos que realiza en una consola. En la consola computarizada se tiene un visorque transmite la imagen que es captada por la cámara laparoscópica ubicada en uno delos brazos mecánicos. El sistema consta de un conjunto de manivelas que se adaptan aldedo pulgar e índice del cirujano, con los cuales controla el movimiento de los brazosmecánicos. Los brazos mecánicos son tres, uno para sostener la cámara laparoscópica, yotros dos que manipulan los instrumentos quirúrgicos (tijeras, pinzas, electrocauterios,porta-agujas, etcétera). Una característica importante de estos instrumentos es sulibertad de movimiento en seis y siete diferentes ángulos, que intenta emular los arcosde movimiento efectuados por la articulación de la muñeca humana. Esto es un granavance si consideramos que toda la cirugía laparoscópica tiene como limitante que losmovimientos se realizan sin poder flexionar los instrumentos, siendo el cirujano el quese adapta a estas restricciones durante la cirugía. 1-4Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  8. 8. ROBÓTICA QUIRÚRGICA Entre las ventajas que ofrece la consola se encuentra que el cirujanopuede realizar la cirugía sin estar en contacto con el paciente, y no debe vestirse conropa estéril. La imagen que se observa en el visor es tridimensional, gracias a un sistemade dos cámaras laparoscópicas en el paciente, esto le permite al cirujano tener unapercepción de profundidad que podría en alguna forma sustituir la deficiencia de tactoque se tiene en este tipo de cirugía. Por otra parte, la manipulación de las manivelas paracontrolar los movimientos de los instrumentos por los brazos mecánicos se realiza entiempo real. Esto tiene una importancia fundamental si consideramos que la cirugíaimplica movimientos rápidos y delicados para evitar un daño en el paciente. En latecnología que se utiliza para los instrumentos se incluye la articulación tipo muñeca(Endowrist), que permite que se flexionen sobre su eje, dando una libertad demovimiento para el instrumental quirúrgico de más de tres ejes. Además, el sistemacomputacional tiene la capacidad de escalar los movimientos desde 2:1 hasta 5:1, asícomo filtrar el temblor del cirujano, haciendo posible la realización de cirugía condesplazamientos mínimos del cirujano y sin las restricciones debidas a su pulso. Aunadoa esto existe la posibilidad de coordinar los movimientos de la cámara e instrumentalcon los movimientos del paciente; esto es especialmente útil cuando se trata de cirugíacardiaca, en la que no se requiere que el corazón del paciente se detenga. Se puedenaplicar suturas en el corazón mientras late, puesto que el cirujano gracias a los filtros dela computadora ve una imagen estática del corazón, así mismo esto permite colocarsuturas para la realización de by-pass coronario (puentes arteriales en casos de infartos)y otras cirugías de corazón. La gran mayoría de cirugías asistidas por robot se realizanen procedimientos laparoscópicos como ya se mencionó, en esta cirugía se introducenen el paciente los denominados puertos, unos instrumentos que permiten inflar con gasla cavidad que se va a operar, para poder crear un espacio en el cual disponer losinstrumentos y la cámara para efectuar la cirugía.Figura 1.3: Brazos mecánicos. El central sostiene y mueve la cámara de visión interna, y los dos laterales permiten la introducción y movimiento del instrumental. 1-5Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  9. 9. ROBÓTICA QUIRÚRGICA La cirugía laparoscópica se inició cuando se encontró que insuflando aire en elabdomen de un animal experimental era posible insertar una cámara de cistoscopia(cámara utilizada para revisar la vejiga), que permitió observar los órganos abdominalesdel animal. La laparoscopia, en la práctica, comenzó a utilizarse en ginecologíaalrededor de 1940 para diagnosticar alteraciones en el útero; para 1986 empezó a tenerun gran auge en la cirugía gastrointestinal y a finales de los años 1990, en urología.Actualmente en casi todas las especialidades quirúrgicas se utiliza la cirugíalaparoscópica. Esta técnica quirúrgica reduce el daño a los tejidos, provoca menossangrado y dolor postoperatorio, y facilita una más rápida recuperación de los pacientes.Por ello, este tipo de cirugía se está ya realizando en diferentes partes del mundo enforma rutinaria. Es importante mencionar que otro campo de aplicación de los robots es elentrenamiento de cirujanos. La cirugía laparoscópica tiene una curva de aprendizajemuy lenta, lo que obliga a un entrenamiento especializado y de larga duración. Se haplanteado que los robots asociados a simuladores podrían contribuir significativamenteen la preparación de cirujanos; también con los sistemas maestro-esclavo se podríafacilitar el uso del instrumental reduciendo el tiempo de entrenamiento para el cirujano.3. VENTAJAS DE LA CIRUGÍA ROBÓTICA. Las ventajas que aporta la robótica a las operaciones son, por ejemplo;• Permite una mayor precisión en los movimientos. El robot ejecuta las acciones que le son ordenadas por el médico, editándola por medio de un sistema de cómputo, es decir eliminando errores como el temblor que la mano humana tiene por naturaleza.• Posee un sistema de movimientos a escala de 1 a 1, de 1 a .3 y de 1 a .5, que les permite a los cirujanos hacer cirugía de alta precisión.• Las imágenes por medio de los visores telescópicos logran aumentar hasta 20 veces el tamaño normal, lo que permite al cirujano ver los órganos con más detalle.• Disminuye el sufrimiento de los pacientes, pues las incisiones que se realizan son entre 5 y 10 milímetros de diámetro, lo que representa suficiente espacio para permitir la entrada de los instrumentos del robot.• Reduce el tiempo de estancia hospitalaria de los pacientes, quienes pueden reincorporarse a sus actividades normales en un lapso no mayor a siete días.• Otorga mayor libertad de movimiento al cirujano que en una cirugía Laparoscópica tradicional.• Permite realizar operaciones a distancia, lo cual evita desplazarse tanto al paciente como al médico que la efectúa. 1-6Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  10. 10. ROBÓTICA QUIRÚRGICA4. LA SIGUIENTE FRONTERA. En el año 2000, la FDA (Food and Drug Administration), organizaciónencargada de regular la práctica médica y el uso de medicamentos en los EstadosUnidos, aprobó el sistema quirúrgico Da Vinci para su uso en quirófanos; esto lo hace elprimer sistema robotizado para cirugía en humanos. Lamentablemente, el costo delrobot es de cerca de un millón de dólares, sin incluir el material desechable empleadopara cada cirugía (cada pinza, tijera o cauterio cuesta alrededor de 2,000 dólares ysolamente se puede utilizar en 10 cirugías). Sin embargo, a pesar de su alto costo, las ventajas de la cirugía robótica parecenprometedoras ya que permitirá, por ejemplo, que un mismo cirujano controle variosrobots en diferentes quirófanos, o incluso efectuar telecirugías, en las que el cirujano nose encuentre ni siquiera cerca de la sala de cirugía. Podemos imaginar a un especialistarealizando una intervención a distancia, incluso en el espacio, donde los astronautascolocarán al paciente bajo los brazos robotizados, y el cirujano en la Tierra llevará acabo la cirugía.5. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. José María Sabater nos propuso una de las necesidades principales que se exigíaa nuestro robot y que era utilizarlo para la realización de incisiones en la tibia o el fémurde modo que, mediante un fijador externo, se posibilite la unión de ambas partes dehueso fracturado y se permita que, tras un período de tiempo, ambas partes de huesoroto queden soldadas. También debía ser capaz de introducir las varillas de metal por elinterior de las incisiones (ver Figura 1.4) Figura 1.4: Artroscopia de rodilla y estructura metálica fijadora. También tenemos como objetivo la utilización del robot para la realización deendoscopias que permitirán a un doctor inspecciones visuales en determinadas partesdel cuerpo del paciente. La endoscopia es una técnica diagnóstica utilizada sobre todo en medicina queconsiste en la introducción de un endoscopio a través de una incisión quirúrgica para lavisualización de un órgano hueco o cavidad corporal. La endoscopia además de ser unprocedimiento de diagnóstico mínimamente invasivo, también puede realizar maniobrasterapéuticas como una colecistectomía laparocópica, artroscopia o la toma de biopsias.En nuestro caso, orientaremos al robot a la realización de artroscopias que es lavisualización de una cavidad articular, generalmente de las rodillas. 1-7Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  11. 11. ROBÓTICA QUIRÚRGICA6. SOLUCIÓN AL PROBLEMA. Utilizaremos para realizar todas estas tareas un robot de 5 GDL tal y comopodemos observar en la Figura 1.5, donde en el modelo alámbrico del robot es posiblediferenciar dos grupos claros de articulaciones y una última adicional: 3 articulaciones de carácter PRISMÁTICO. • Una ventaja de estas articulaciones es que nos permiten una colocación del robot ya sea atornillado al techo como incluido dentro de un bastidor de preparado para la higiene necesaria de un quirófano. Si lo sujetamos del techo tenemos la gran ventaja de que podríamos tenerlo arriba del todo cuando no se usase dando más espacio a la sala de operaciones. Además, su espacio de trabajo será tan grande como sea de grande la sala de operaciones. • Estas articulaciones son las que contribuyen con la mayor parte de todo el espacio de trabajo del cual dispone el robot. Es decir, casi la totalidad del espacio del trabajo que presenta el robot es básicamente debido a estas tres articulaciones. • Estas articulaciones serán las que esencialmente aporten la posición del efector final, es decir, será las que más "peso" tengan en el posicionamiento del efector final. 2 articulaciones de carácter ROTATIVO. • Este grupo de articulaciones, a diferencia de las anteriores, se caracteriza por ser el grupo de articulaciones que proporcionará, en gran medida, la orientación a nuestro efector final. • No es una muñeca esférica pues son únicamente dos articulaciones rotacionales. Con cinco grados de libertad tendríamos suficiente siempre que "atacáramos" ala rodilla desde arriba con un abanico de 180º máximo. Nos haría falta un grado delibertad más si quisiéramos realizar incisiones a la altura de1 gemelo pero como no esasí no utilizamos ese grado de libertad. En lugar de eso, utilizamos una herramienta quesea capaz de realizar un movimiento de carácter PRISMÁTICO ADICIONAL. El último eslabón consta de dos partes que en el dibujo están definidas. Unaparte es el eslabón cuyo final es donde se sujetará la Black&Decker y el resto hacereferencia a la propia Black&Decker que suponemos es capaz de realizar unmovimiento lineal. Tendríamos un robot de 5 GDL + "1" que es ajeno al robot encuanto a cinemática. La herramienta actuará como una articulación tipo prismática que será la querealice el movimiento lineal de incisión. Esto es así para superar el problema queconlleva realizar un movimiento lineal en el espacio con una muñeca esférica pues éstaprovocaba errores de imprecisión tal y como vimos en el tema de planificación detrayectorias. 1-8Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  12. 12. ROBÓTICA QUIRÚRGICA De igual modo, es un 5 GDL + "1" si le añadimos el taladro y un 5 GDL + "2" sile añadimos la cámara. d1(t) Tres articulaciones prismáticas d3(t) d2(t) Dos articulaciones de rotación θ3(t) BLACK&DECKER "Articulación" extra prismática θ4(t) Figura 1.5: Esquema general del Quirobot. 1-9Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  13. 13. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT Capítulo 2 CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT "TODO LO QUE SE MUEVE ES MOVIDO POR OTRO" Aristóteles Después de todo lo visto, estamos ya en condiciones de abordar el problema dela cinemática directa, el cual trata de encontrar la forma explícita de la función querelaciona el espacio articular con el espacio cartesiano de posiciones/orientaciones. Estafunción: f : J → ℜ6 toma como argumento un vector en el espacio de articulaciones, que tiene tantascomponentes como grados de libertad tenga la cadena cinemática que se considere (queen nuestro caso es únicamente de 5 grados de libertad), y devuelve un vector de 6componentes; las tres primeras serán la posición en el espacio del punto terminal de lacadena, expresada en un sistema de referencia externo, y las tres últimas, la orientación,expresada bien como las componentes (ax, ay, az) del vector de aproximación, biencomo ángulos de orientación (Euler o roll, pitch and yaw).1. EL FORMALISMO DE DENAVIT-HARTENBERG. La forma en que conseguiremos conocer el vector de ℜ 6 antes mencionado serámediante la construcción de la matriz de transformación homogénea T que relaciona elsistema solidario al punto terminal con un sistema de referencia fijo arbitrariamenteescogido, que llamaremos sistema del mundo. En principio, cada una de lascomponentes (nx, ny, nz, ox, oy, oz, ax, ay, az, px, py, pz) de la matriz T será función dealgunas o todas las variables articulares, y asimismo de las constantes geométricas delmanipulador. Según se vio en clases de teoría al detallar la forma explícita de la matriz T,multiplicándola por el vector (0; 0; 0; 1), que expresa las coordenadas homogéneas delpunto terminal respecto a su propio sistema, obtendremos éstas respecto al sistema delmundo. Y, por otra parte, según se vio en la en el capítulo 3 del libro Fundamentos deRobótica de Antonio Barrientos Herramientas matemáticas para la localizaciónespacial, existen fórmulas que relacionan los ángulos de orientación en cualquiera desus expresiones con los elementos de la submatriz de rotación de T. 2-1Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  14. 14. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT Seguidamente se describe con detalle el proceso de construcción de T paracadenas cinemáticas abiertas, en las que cada articulación tenga un sólo grado delibertad. El caso de articulaciones con más de un grado de libertad no presenta ningúnproblema: bastaría con considerar la articulación como si se tratase de dos, unidas porun enlace ficticio de longitud nula. Sustancialmente, el proceso consiste en fijar un sistema de coordenadas a cadaenlace, que se moverá con él, de acuerdo a un conjunto de normas fijas. A continuación,se identifican ciertos parámetros geométricos que lo relacionan con el sistema fijo alsiguiente enlace, y se utilizan para escribir la matriz de transformación homogénea entrecada par de sistemas i–1Ai. En último lugar, el producto de todas las matrices detransformación generará la matriz T. El conjunto de normas que establece cómo deben fijarse los sistemas decoordenadas se conoce como convenio de Denavit-Hartenberg, descrito por éstos en1955, y a los parámetros geométricos que relacionan los sistemas, parámetros deDenavit-Hartenberg (desde ahora, DH). Comenzaremos por establecer convenciones para la nomenclatura: Según se vio en el tema 1, en cadenas cinemáticas abiertas cada par enlace-articulación era un grado de libertad. Numeraremos los enlaces y articulacionessecuencialmente, desde el inicio de la cadena. La base de ésta, fija normalmente alsuelo, será el enlace 0, y no se cuenta como grado de libertad. La articulación 1 será laque conecte la base al primer enlace móvil; las articulaciones comienzan, pues, anumerarse desde 1, y no existe articulación al final del último enlace. El eje de una articulación es la recta definida como: • La dirección de desplazamiento, en articulaciones traslacionales. • El eje de giro, en articulaciones rotacionales. A continuación, los parámetros DH de cada enlace son cuatro números reales,dos de ellos representando ángulos, y los otros dos, distancias, definidos del siguientemodo: • ai es la mínima distancia (distancia perpendicular) entre el eje de la articulación i y el eje de la i + 1. Por extensión, también denotaremos por ai al segmento de recta a lo largo de cual se da precisamente esa mínima distancia entre ejes. • αi es el ángulo que forman el eje i y el i + 1, medido en un plano perpendicular al segmento ai. • di es la distancia entre los puntos de intersección de la normal a los ejes i / i + 1 con el eje i, y la normal a los ejes i – 1 / i también con el eje i, medida a lo largo de este eje. • θi es el ángulo entre la normal a los ejes i – 1 / i y la normal a los ejes i / i + 1, medido en un plano perpendicular al eje i. 2-2Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  15. 15. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT Véase la representación de estos parámetros en la figura 1.1. Obsérvese quebasta el conocimiento de los dos ejes en los extremos de un enlace (digamos, el i) paraconocer αi y ai; sin embargo, es necesario conocer los ejes anterior y siguiente paradeterminar θi y di. Daremos para estos parámetros una definición alternativa cuandohayamos fijado los respectivos sistemas de coordenadas. Figura 2.1: Parámetros DH de un enlace genérico. Ahora, las normas para determinar los ejes de cada sistema ortonormal asociadoa un eslabón son las que siguen: • El eje zi-1 es el eje de la articulación i (con lo que zi es el de la i + 1). No importa el sentido a lo largo de la recta en que se oriente. Se recomienda orientar todos los ejes z que sigan la misma dirección en el mismo sentido. • El eje xi debe escogerse perpendicular a su propio z (zi) y también al z anterior (zi-1) y a lo largo de la perpendicular común (el segmento ai). • El eje yi se determina de tal modo que el sistema forme un triedro dextrógiro (es decir, que xi × yi = zi). • El origen se fija en la intersección de la normal eje i – 1 / eje i (es decir, el segmento ai-1) con el eje i. Figura 2.2: Sistemas de coordenadas fijos a una articulación. 2-3Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  16. 16. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT Véanse en la figura 2.2 los sistemas de coordenadas i – 1 e i situados sobre losenlaces del ejemplo anterior. Hay algunas excepciones y casos particulares que debentenerse en cuenta: • El eje x0 debe fijarse arbitrariamente como cualquier perpendicular a z0, dado que no existe ningún z1 al cual hacerle ser también perpendicular. Análogamente, el origen del sistema 0 es un punto arbitrario sobre el eje z0. • Debe existir un último sistema de coordenadas, fijo a la mano o herramienta, que no sigue las mismas reglas que los anteriores. Debe situarse de modo que su eje z esté en la dirección de aproximación (el avance natural de la mano) y su eje y (vector de orientación) debe apuntar de garra a garra de la pinza (en caso de pinzas con simetría cilíndrica, es arbitrario). Este sistema "especial" sólo debe añadirse si el último sistema obtenido por las reglas usuales no cumpliese estas condiciones. En ese caso, la transformación entre el último sistema natural y este sistema especial es fija, y se halla por observación directa. • Cuando dos ejes z consecutivos son paralelos, hay infinitas perpendiculares comunes. En ese caso, lo normal es tomar el origen a la altura del centro de la articulación, y el eje x a lo largo de la normal común que pasa por ese centro. • Cuando dos ejes z consecutivos se intersectan, determinan un plano. La normal común es la normal al plano, pero el segmento ai tiene longitud nula. En ese caso el eje x se escoge normal al plano que determinan los dos z, en cualquiera de los dos sentidos. El origen se toma en el punto de intersección de los dos ejes z. • Cuando dos ejes z consecutivos son colineales (están superpuestos), el origen se fija arbitrariamente, así como la dirección de x, a lo largo de cualquier perpendicular a los z (que son la misma recta). Se aconseja en ese caso tomar la dirección de x lo más parecida posible a la dirección del x anterior. ai, que no está definido, se toma como 0.Nótese que:• Para el caso de una articulación rotacional, θi es el ángulo de rotación que se trata de una función temporal, y di, ai y αi son constantes.• En una articulación traslacional, di es distancia de traslación función del tiempo, y θi, y αi son constantes. ai es también constante, y usualmente 0 (suele corresponder al último de los casos particulares anteriores). Todo parámetro constante en un robot lo es por construcción del mismo, ypermanece constante en toda circunstancia, salvo que se altere mecánicamente al robot.La acción de los actuadores que provocarán el movimiento sólo cambia el parámetrovariable de cada articulación, θi para rotacionales, y di para traslacionales. Por otra parte, lo normal es construir robots en los que los ejes de lasarticulaciones sean o bien paralelos, o bien perpendiculares entre sí; esto hace que losvalores para θi suelan ser bien 0º, 90º, 180º ó 270º. 2-4Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  17. 17. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT El siguiente paso es determinar la transformación que llevaría el sistema i – 1hasta el i. Nótese que podemos hacerlos coincidir aplicando sucesivamente lassiguientes transformaciones:• Rotar alrededor de zi-1 un ángulo θi. Esto deja los ejes xi-1 y xi paralelos, pues deja a las rectas ai-1 y ai en el mismo plano, y siendo ambas perpendiculares a zi-1.• Trasladar a lo largo del eje zi-1 (aunque es el mismo que zi) el origen una distancia di. Esto deja los ejes xi-1 y xi colineales. Nótese que no por ello los ejes zi-1 y zi son coincidentes.• Trasladar a lo largo del eje xi una distancia ar. Esto hace coincidir los orígenes, y i superpone los vectores básicos en la dirección i (xi-1 y xi).• Rotar alrededor de xi-1 (o de xi, ahora coinciden) un ángulo αi. Esto hará coincidir zi-1 con zi (y, por tanto, yi-1 con yi) y está concluido. Así pues, podemos escribir la transformación desde el sistema i – 1 hasta el icomo i −1 Ai = ROT (zi −1 ,θ i ) ⋅ Tr (0,0, d i ) ⋅ Tr (ai ,0,0 ) ⋅ ROT ( x i −1 , α i ) donde las matrices se han postmutiplicado, pues las transformaciones se efectúansiempre respecto a los nuevos ejes que van resultando de la transformación anterior. En forma explícita,  Cθ i − Sθ i 0 0  1 0 0 0 1 0 0 ai   1 0 0 0           Sθ i Cθ i 0 0  0 1 0 0 0 1 0 0  0 Cα i − Sα i 0 i −1 Ai =  ⋅ ⋅ ⋅   0 0 1 0  0 0 1 di   0 0 1 0  0 Sα i Cα i 0           0  0 0 1  0   0 0 1 0   0 0 1    0 0 0 1   Una vez operado el producto de dichas matrices obtenemos que la matriz detransformación homogénea generalizada para parámetros θi, di, ai y αi es la siguiente:  cos(θ i ) − cos(α i ) ⋅ sen(θ i ) sen(α i ) ⋅ sen(θ i ) ai ⋅ cos(θ i )    i −1  sen(θ i ) cos(α i ) ⋅ cos(θ i ) − sen(α i ) ⋅ cos(θ i ) ai ⋅ sen(θ i )  Ai =    0 sen(α i ) cos(α i ) di      0 0 0 1   El resultado final es la matriz DH para el enlace i, la cual, conociendo lascaracterísticas geométricas de dicha articulación y de su enlace, da la transformaciónque lleva de coordenadas expresadas en el sistema i a coordenadas expresadas en elsistema i – 1. Igualmente, da la posición del origen del sistema i respecto al i – 1(viendo la 4ª columna), así como su orientación (viendo la submatriz de rotación). 2-5Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  18. 18. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT Ahora estamos en condiciones de dar las definiciones alternativas para losparámetros de DH, que son:• ai es la distancia perpendicular (distancia mínima) entre los ejes zi-1 y zi, medida en la dirección positiva de xi.• αi es el ángulo que forma el eje zi-1 con el eje zi, girando alrededor de xi, con xi apuntando hacia el observador.• θi es el ángulo que forma el eje xi-1 con el eje xi, girando alrededor de zi-1, con zi-1 apuntando hacia el observador.• di es la distancia que queda entre los orígenes de los sistemas i – 1 y i después de haber trasladado el origen i a lo largo de la perpendicular común ai hasta situarlo sobre el eje zi-1. Su signo viene dado por el eje zi-1. Una vez todos los parámetros estén identificados, y las matrices DH escritas,recordemos que lo que se pretende es encontrar la transformación entre el sistema delmundo (sistema 0) y el último (sistema n). Es obvio que 0 An = 0A1 ⋅1A2 Ln −1 An Cada elemento de la matriz i–1Ai es función de ai; αi; θi y di, (ai y αi constantespara cada robot, y di o bien θi variables para cada tipo de articulación), y por tanto cadaelemento de 0An es, en principio, función de todos los (ai; αi; θi y di) con i = 1, 2, 3,…, n. Resumiendo. Los pasos que deben seguirse para la construcción de la cinemática directa son: 1. Identificar cuántos grados de libertad tiene el robot, y cuántas articulaciones; si tuviera alguna articulación con más de un grado de libertad (digamos, n) habrá n sistemas superpuestos en un punto. 2. Asignar los ejes z, sabiendo que zi-1 es el eje de la articulación i. 3. Asignar todos los ejes x, sabiendo que xi es perpendicular a zi, y a zi-1 y va en la dirección de la perpendicular común. 4. Asignar los ejes y, de modo que se cumpla que xi × yi = zi. 5. Determinar los parámetros (ai; αi; θi; di) de cada articulación por inspección visual. 6. Construir la tabla de parámetros, y a partir de cada una de sus filas, usando la fórmula general de la matriz DH, escribir cada una de las i–1Ai. 7. Multiplicar todas ellas para generar la 0An. 2-6Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  19. 19. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT2. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LA CINEMÁTICA DIRECTA. PARÁMETROS DENAVIT-HARTENBERG. 1. Identificar cuántos grados de libertad tiene el robot, y cuántas articulaciones; si tuviera alguna articulación con más de un grado de libertad (digamos, n) habrá n sistemas superpuestos en un punto. Este manipulador, diseñado por José Luís Aznar y Jaime Martínez conpropósitos principalmente médicos, tiene 5 grados de libertad, tres de ellostraslacionales y dos rotacionales. Para analizarlo utilizando el procedimiento deDenavit-Hartenberg necesitamos el esquema siguiente donde se representa su modeloalámbrico. Partimos de una configuración cualesquiera, si bien es aconsejable colocarloen una posición sencilla de analizar. Su estructura puede observarse en la figura 2.3a. 0 2 1 3 4 Figura 2.3a: Representación del esquema alámbrico del robot quirúrgico. Nótese tiene 5 articulaciones que enumeraremos desde cero hasta cinco, siendola etiquetada con 0 aquella fija al bastidor (o en su defecto al techo). La articulación 1 esla prismática que se deshazla en dirección horizontal y la articulación 2 en direcciónvertical. La articulación 3 es la primera articulación de la muñeca del robot y laarticulación 4 es el segunda y última de la muñeca, que gira y lleva fijada la sujeción delefector final. 2-7Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  20. 20. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT 2. Asignar los ejes z, sabiendo que zi-1 es el eje de la articulación i. z0 Es horizontal, es el eje del sistema del mundo, de manera que esabsolutamente fijo y se le elige de modo que coincida con el sentido positivo de laprimera traslación. z1 Es horizontal, es el eje delsegundo deslizamiento, se desliza enel mismo formando un plano con eleje del mundo. Se le elige de modoque coincida con el sentido positivo d1(t)de la segunda traslación. z0 z2 Es vertical, es el eje deltercer deslizamiento, y se deslizanormal al plano que forman los dos z1ejes anteriores. Análogamente, se d3(t)determina de manera que coincida con d2(t) z2el sentido positivo de la terceratraslación. z3 Sigue la dirección de z2, y esel primer eje de revolución de la θ4(t)muñeca. Se elige de manera que elsentido de giro angular sea positivo alhacerlo referido a dicho eje z3. z3 z4 Es el segundo y último ejede rotación de la mano, y siempre se θ5(t)mantiene en un plano horizontal.Hemos seleccionado el eje de manerael giro sea positivo al estar referido aeste eje. z4 z5 z5 se sitúa de manera quecoincida con la dirección de z4. Aún sino hubiera un enlace físico al que z5vaya unido, es necesario incluirlo paraque de cuenta de la última rotación.Por otra parte, el robot tiene 5 gradosde libertad; por ello, debe haber 5 Figura 2.3b: Elección de los ejes zi.sistemas móviles (los números de laarticulación 1 a 1a 5, recordemos queel 0 era fijo). 2-8Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  21. 21. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT 3. Asignar todos los ejes x, sabiendo que xi es perpendicular a zi, y a zi-1 y va en la dirección de la perpendicular común. x0 Será perpendicular a z0, y porlo tanto vertical, pero al no haber uneje z anterior, su dirección se puede x0elegir. Se elige hacia arriba, como seve en la figura 2.3c. x1 Debe ser perpendicular a su x1propio z (z1) y al z anterior (z0). Estos z0dos ejes se cortan, y determinan unplano horizontal. Así pues, x1 deberá z1ser normal a un plano horizontal, y enla posición dibujada, hacia arriba o x2hacia abajo. Se elige hacia arriba (¿y z2por qué no?). x2 Es perpendicular a z1 y a z2,que también se cortan, determinandoun plano vertical, por lo que x2 deberáir hacia fuera o hacia dentro. Porejemplo, se elige hacia fuera (¿y por z3 x3qué no?). x3 Es un caso especial. Como z2y z3 son coincidentes, hay infinitasdirecciones transversales. Cuando dosejes z consecutivos están superpuestos,el origen se fija arbitrariamente, así z4como la dirección de x, a lo largo de x4cualquier perpendicular a los z2 y z3(que son la misma recta). Se aconsejaen ese caso tomar la dirección de x lo z5más parecida posible a la dirección del x5x anterior. x4 Será perpendicular a z3 y az4, y debido a que ambos intersectandeterminando un plano que contendría Figura 2.3c: Elección de los ejes xi.al eje z2, x4 sería normal en dichoplano, y en este caso va hacia la fuera. x5 Es un caso especial. Como z4 y z5 son paralelos, hay infinitas direccionesperpendiculares. Se aconseja en ese caso tomar la dirección de x lo más parecida posiblea la dirección del x anterior. Se escoge una, en este caso, hacia fuera. 2-9Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  22. 22. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT 4. Asignar los ejes y, de modo que se cumpla que xi × yi = zi. x0 y0 d1(t) x1 z0 y2 z1 d3(t) z2 y1 d2(t) x2 y3 θ4(t) x3 z3 θ5(t) z4 x4 y4 z5 x5 y5 Figura 2.3d: Elección de los ejes yi. Respecto a los orígenes, el del sistema {S0} se fija arbitrariamente al eslabóninicial de la cadena yendo hacia fuera y hacia dentro. Los sistema {S1} y {S2} en unprincipio vienen determinados sin posibilidad de elección, ya que hay un único puntodonde z0 corta a z1, y otro punto único donde z1 corta a z2. Ellos tres dependenfuertemente del fijo pues, de alguna manera, se podría decir que están referidos a él. Enrealidad, las tres articulaciones prismáticas están superpuestas y en el dibujo no semuestran superpuestas porque hemos dibujado el resultado de un desplazamiento de lasvariables articulares d1(t), d2(t), y d3(t). El sistema {S3} se puede colocar a la altura queprefiramos puesto que z1 y z2 son colineales; también se puede decir que está referido alanterior{S2}. El sistema {S4}, sin embargo, está unívocamente determinado por laintersección de z3 y z4. El origen {S5} al final del eslabón con longitud l5 y, de estemodo, si la orientación de este sistema es adecuada, podría servir como sistema final. 2 - 10Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  23. 23. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT Con respecto a esto, nos preguntamos si necesitamos poner otro sistema extra enla mano. Obsérvese que el último sistema que nos resultó por aplicación de las reglasera el 5, y que éste tiene: • Su eje y en la dirección de orientación en sentido opuesto. • Su eje x está en la dirección de aproximación de la mano o herramienta. • Su eje z en la dirección normal a estos dos. θ5(t) z4 x4 y4 r o z5 r n x5 r y5 a Figura 2.3e: Cambio de base para tener un triedro n o a en el efector final. De clases de teoría sabemos que debe existir un último sistema de coordenadas,fijo a la mano o herramienta, que no sigue las mismas reglas que los anteriores. Debesituarse de modo que su eje z esté en la dirección de aproximación (el avance natural dela mano) y su eje y (vector de orientación) debe apuntar de garra a garra de la pinza (encaso de pinzas con simetría cilíndrica como ocurre en nuestra situación, es arbitrario). Este sistema "especial" sólo debe añadirse si el último sistema obtenido por lasreglas usuales no cumpliese estas condiciones. En ese caso, la transformación entre elúltimo sistema natural y este sistema especial es fija, y se halla por observación directa. Por tanto, la convención para los vectores n, o y a no se cumple y es necesarioañadir otro sistema. Esta matriz sería la siguiente:  0 0 1 0   r  0 −1 0 0  La dirección del eje x5 coincide con la dirección de a  r A5 =   → La dirección del eje y 5 coincide con la dirección de - o 5  1 0 0 0  La dirección del eje z coincide con la dirección de n r    5   0 0 0 1 2 - 11Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  24. 24. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT 5. Determinar los parámetros (ai; αi; θi; di) de cada articulación por inspección visual. • Parámetros DH para ir desde el sistema {S0} hasta el {S1}: (a1; α1; θ1; d1). x0 y0 d1(t) z0 x1 x0 x0y0 z1 y1 d2(t) z0 z0 y0 x0 x0 x0 y0 y0 y0 θ1= 0º d1= d1(t) a1= 0 α1= 90º z0 z0 z0 Figura 2.4a: Parámetros DH para pasar del sistema {S0} al sistema {S1}. • Parámetros DH para ir desde el sistema {S1} hasta el {S2}: (a2; α2; θ2; d2). d1(t) x1 y2 x1 z1 d3(t) y1 z2 z1 y1 d2(t) x2 x1 z1y1 z1 z1 z1 θ2= 90º d2= d2(t) a2= 0 α2= –90º x1 y1 x1 y1 x1 y1 Figura 2.4b: Parámetros DH para pasar del sistema {S1} al sistema {S2}. 2 - 12 Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  25. 25. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT • Parámetros DH para ir desde el sistema {S2} hasta el {S3}: (a3; α3; θ3; d3). y2 z2 d2(t) x2 y2 y2 z2 x2 x2 z2 y3 θ4(t) x3 z3 y2 y2 y2 θ3= 0º x2 z 2 d3= d3(t) x2 z 2 a3= 0 x2 z2 α3= 0º Figura 2.4c: Parámetros DH para pasar del sistema {S2} al sistema {S3}. • Parámetros DH para ir desde el sistema {S3} hasta el {S4}: (a4; α4; θ4; d4). y3 θ4(t) x3 z3y3 z3x3 θ5(t) x3 z3 z4 y3 x4 y4 y3 y3 y3 θ4= θ 5(t) x3 z3 d4= l4 a4= 0 x3 z3 x3 z3 α4= 90º Figura 2.4d: Parámetros DH para pasar del sistema {S3} al sistema {S4}. 2 - 13 Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  26. 26. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT • Parámetros DH para ir desde el sistema {S4} hasta el {S5}: (a5; α5; θ5; d5). θ5(t) z4 z4 x4 z4 y4 y4x4 z5 x4 y4 x5 y5 z4 z4 z4 θ5= θ 5(t) x4 y4 d5= 0 a5= l5 α5= 0º x4 y4 x4 y4 Figura 2.4e: Parámetros DH para pasar del sistema {S4} al sistema {S5}. 2 - 14 Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  27. 27. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT 6. Construir la tabla de parámetros, y a partir de cada una de sus filas, usando la fórmula general de la matriz DH, escribir cada una de las i–1Ai. La tabla de los parámetros de Denavit-Hartenberg para cada uno de loseslabones es la siguiente: ESLABÓN θi di ai αi 1 0º d1(t) 0 90º 2 90º d2(t) 0 –90º 3 0º d3(t) 0 0º 4 θ4(t) l4 0 90º 5 θ5(t) 0 l5 0º Las matrices de transformación homogénea las i–1Ai son las siguientes: 1 0 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 0       0 0 −1 0  1 0 0 0 0 1 0 0 A1 =   A2 =   A3 =   0 1 2 0 1 0 d1  0 −1 0 d2  0 0 1 d3        0  0 0 1  0  0 0 1  0  0 0 1   cos(θ 4 (t )) 0 sen(θ 4 (t )) 0     sen(θ 4 (t )) 0 − cos(θ 4 (t )) 0  A4 =   3  0 1 0 l4      0 0 0 1    cos(θ 5 (t )) − sen(θ 5 (t )) 0 l5 ⋅ cos(θ 5 (t ))    sen(θ 5 (t )) cos(θ 5 (t )) 0 l 5 ⋅ sen(θ 5 (t ))  A5 =   4  0 0 1 0      0 0 0 1   También se calculan por inspección visual directa las matrices para el cambio debase tanto para el sistema del eslabón fijo como el del efector final: 0 0 1 0 0 0 1 0     0 −1 0 0 0 −1 0 0 A0 =   A5 =   0 5 1 0 0 0 1 0 0 0     0  0 0 1  0  0 0 1  En las páginas siguientes realizaremos las operaciones que nos han permitidoobtener las expresiones de las matrices i–1Ai. 2 - 15Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  28. 28. • Para la primera articulación que es de carácter traslacional, su matriz de transformación homogénea 0A1 es:0 A 1 = ROT ( z 0 ,0º ) ⋅ Tr (0,0, d1 (t ) ) ⋅ Tr (0,0,0 ) ⋅ ROT (x 0 ,90º )  cos(0º ) − cos(90º ) ⋅ sen(0º ) sen(90º ) ⋅ sen(0º ) 0 ⋅ cos(0º )   1 0 0 0       sen(0º ) cos(90º ) ⋅ cos(0º ) − sen(90º ) ⋅ cos(0º ) 0 ⋅ sen(0º )   0 0 −1 0  A1 =  = 0  0 sen(90º ) cos(90º ) d 1 (t )   0 1 0 d1 (t )       0 0 0 1     0 0 0 1  • Para la segunda articulación que es de carácter traslacional, su matriz de transformación homogénea 1A2 es:1 A 2 = ROT ( z1 ,90º ) ⋅ Tr (0,0, d 2 (t ) ) ⋅ Tr (0,0,0) ⋅ ROT ( x 1 ,−90º )  cos(90º ) − cos(−90º ) ⋅ sen(90º ) sen(−90º ) ⋅ sen(90º ) 0 ⋅ cos(90º )   0 0 −1 0       sen(90º ) cos(−90º ) ⋅ cos(90º ) − sen(−90º ) ⋅ cos(90º ) 0 ⋅ sen(90º )   1 0 0 0  A2 =  = 1  0 sen(−90º ) cos(−90º ) d 2 (t )   0 −1 0 d 2 (t )       0 0 0 1     0 0 0 1  • Para la tercera articulación que es de carácter traslacional, su matriz de transformación homogénea 2A3 es: A 3 = ROT ( z 2 ,0º ) ⋅ Tr (0,0, d 3 (t ) ) ⋅ Tr (0,0,0) ⋅ ROT ( x 2 ,0º )2  cos(0º ) − cos(0º ) ⋅ sen(0º ) sen(0º ) ⋅ sen(0º ) 0 ⋅ cos(0º )   1 0 0 0       sen(0º ) cos(0º ) ⋅ cos(0º ) − sen(0º ) ⋅ cos(0º ) 0 ⋅ sen(0º )   0 1 0 0  A3 =  = 2  0 sen(0º ) cos(0º ) d 3 (t )   0 0 1 d 3 (t )       0 0 0 1     0 0 0 1  
  29. 29. • Para la cuarta articulación que es de carácter rotacional, su matriz de transformación homogénea 3A4 es:3 A 4 = ROT (z 3 , θ 4 (t ) ) ⋅ Tr (0,0, l 4 ) ⋅ Tr (0,0,0 ) ⋅ ROT (x 3 ,90º )  cos(θ 4 (t )) − cos(90º ) ⋅ sen(θ 4 (t )) sen(90º ) ⋅ sen(θ 4 (t )) 0 ⋅ cos(θ 4 (t ))   cos(θ 4 (t )) 0 sen(θ 4 (t )) 0       sen(θ 4 (t )) cos(90º ) ⋅ cos(θ 4 (t )) − sen(90º ) ⋅ cos(θ 4 (t )) 0 ⋅ sen(θ 4 (t ))   sen(θ 4 (t )) 0 − cos(θ 4 (t )) 0 3 A4 =  =   0 sen(90º ) cos(90º ) l4   0 1 0 l4        0 0 0 1     0 0 0 1  • Para la quinta articulación que es de carácter rotacional, su matriz de transformación homogénea 4A5 es:4 A 5 = ROT ( z 3 , θ 5 (t ) ) ⋅ Tr (0,0,0 ) ⋅ Tr (0,0, l 5 ) ⋅ ROT (x 3 ,0º )  cos(θ 5 (t )) − cos(0º ) ⋅ sen(θ 5 (t )) sen(0º ) ⋅ sen(θ 5 (t )) l 5 ⋅ cos(θ 5 (t ))   cos(θ 5 (t )) − sen(θ 5 (t )) 0 l 5 ⋅ cos(θ 5 (t ))      sen(θ 5 (t )) cos(0º ) ⋅ cos(θ 5 (t )) − sen(0º ) ⋅ cos(θ 5 (t )) l 5 ⋅ sen(θ 5 (t ))   sen(θ 5 (t )) cos(θ 5 (t )) 0 l 5 ⋅ sen(θ 5 (t ))4 A5 =  =   0 sen(0º ) cos(0º ) 0   0 0 1 0        0 0 0 1     0 0 0 1  • La matriz para realizar el cambio de base canónica al sistema {S0} 0A0 es: 0 0 1 0 ze x0   0  La dirección del eje x e coincide con la dirección de z 0 0 −1 0  A0 =   → La dirección del eje y e coincide con la dirección de - y 00 1 0 0 0  La dirección del eje z coincide con la dirección de x ye y0    e 0 0  0 0 1 Empleado esta matriz de cambio de base podemos evitarnos errores al obtener las z0 xe coordenadas del efector final. Si no utilizamos la matriz 0A0 y la matriz T nos informa sobre que el efector final está en las coordenadas [x* y* z*]T, esto significaría que z = x*, Figura 2.5: Cambio de base para tener un triedro canónico en y = - y*, x= z*. Si utilizamos esta 0A0 las coordenadas son directas pues un vector de posicionamiento [x* y* z*]T implicaría que la herramienta estaría en z = x*, y = y*, x= z*. el sistema del mundo.
  30. 30. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT 7. Multiplicar todas ellas para generar la 0An. Si hacemos una recopilación de las matrices de transformaciones homogéneastenemos que a partir de las operaciones antes realizadas tenemos que las matrices i-1Ai yla matriz T son las siguientes: 0 0 1 0 0 0 1 0     0 −1 0 0 0 −1 0 0 A0 =   A5 =   0 5 1 0 0 0 1 0 0 0     0  0 0 1  0  0 0 1  1 0 0 0   0 0 −1 0  A1 =   0 0 1 0 d1    0  0 0 1  0 0 −1 0   1 0 0 0 A2 =   1 0 −1 0 d2    0  0 0 1  1 0 0 0   0 1 0 0 A3 =   2 0 0 1 d3    0  0 0 1   cos(θ 4 (t )) 0 sen(θ 4 (t )) 0     sen(θ 4 (t )) 0 − cos(θ 4 (t )) 0  A4 =   3  0 1 0 l4      0 0 0 1    cos(θ 5 (t )) − sen(θ 5 (t )) 0 l5 ⋅ cos(θ 5 (t ))    sen(θ 5 (t )) cos(θ 5 (t )) 0 l 5 ⋅ sen(θ 5 (t ))  A5 =   4  0 0 1 0      0 0 0 1   T= A 0 ⋅ A1 ⋅ A 2 ⋅ A 3 ⋅ A 4 ⋅ A 5 ⋅ A 5 0 0 1 2 3 4 5 T= A3 ⋅ A5 A3 = A0 ⋅ A1⋅ A 2 ⋅ A3 A 5 = A 4 ⋅ A 5 ⋅ A5 0 3 0 0 0 1 2 3 3 4 5 con y 2 - 18Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis
  31. 31.  0 0 1 0  1 0 0 0   0 0 −1 0   1 0 0 0   1 0 0 d1 (t )             0 −1 0 0  0 0 −1 0   1 0 0 0   0 1 0 0   0 −1 0 d 2 (t )  A3 =  ⋅ ⋅ ⋅ = 0  1 0 0 0  0 1 0 d1 (t )  0 −1 0 d 2 (t )   0 0 1 d 3 (t )   0 0 −1 − d 3 (t )              0 0 0 1    0 0 0 1    0 0 0 1     0 0 0 1     0 0 0 1    cos(θ 4 (t )) 0 sen(θ 4 (t )) 0   cos(θ 5 (t )) − sen(θ 5 (t )) 0 l 5 ⋅ cos(θ 5 (t ))  0 0 1 0        sen(θ 4 (t )) 0 − cos(θ 4 (t )) 0   sen(θ 5 (t )) cos(θ 5 (t )) 0 l 5 ⋅ sen(θ 5 (t ))  0 −1 0 0 A5 =  ⋅ ⋅ =3  0 1 0 l4   0 0 1 0  1 0 0 0         0 0 0 1     0 0 0 1  0   0 0 1   sen(θ 4 (t )) cos(θ 4 (t )) ⋅ sen(θ 5 (t )) cos(θ 4 (t )) ⋅ cos(θ 5 (t )) l 5 ⋅ cos(θ 4 (t )) ⋅ cos(θ 5 (t ))   − cos(θ 4 (t )) sen(θ 4 (t )) ⋅ sen(θ 5 (t )) sen(θ 4 (t )) ⋅ cos(θ 5 (t )) l 5 ⋅ sen(θ 4 (t )) ⋅ cos(θ 5 (t )) =   0 − cos(θ 5 (t )) sen(θ 5 (t )) l 4 + l 5 ⋅ sen(θ 5 (t ))      0 0 0 1    1 0 0 d1(t )  cos(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t )) − cos(θ4 (t )) ⋅ sen(θ5 (t )) sen(θ4 (t )) l5 ⋅ cos(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t ))      0 −1 0 d2 (t )  sen(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t )) − sen(θ4 (t )) ⋅ sen(θ5 (t )) − cos(θ4 (t )) l5 ⋅ sen(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t )) T= ⋅   0 0 −1 − d3 (t )  sen(θ5 (t )) cos(θ5 (t )) 0 l4 + l5 ⋅ sen(θ5 (t ))       0  0 0 1     0 0 0 1   sen(θ4 (t )) cos(θ4 (t )) ⋅ sen(θ5 (t )) cos(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t )) d1(t ) + l5 ⋅ cos(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t ))   cos(θ4 (t )) − sen(θ4 (t )) ⋅ sen(θ5 (t )) − sen(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t )) d2 (t ) − l5 ⋅ sen(θ4 (t )) ⋅ cos(θ5 (t )) =   0 cos(θ5 (t )) − sen(θ5 (t )) − d3 (t ) − l4 − l5 ⋅ sen(θ5 (t ))      0 0 0 1  
  32. 32. CINEMÁTICA DIRECTA DEL QUIROBOT La matriz de transformación homogénea para nuestro robot presenta la siguienteforma:nx ox ax px   sen( θ 4 ( t )) cos( θ 4 ( t )) ⋅ sen( θ 5 ( t )) cos( θ 4 ( t )) ⋅ cos( θ 5 ( t )) d 1 ( t ) + l 5 ⋅ cos( θ 4 ( t )) ⋅ cos( θ 5 ( t ))    n y oy ay py  cos( θ 4 ( t )) − sen( θ 4 ( t )) ⋅ sen( θ 5 ( t )) − sen( θ 4 ( t )) ⋅ cos( θ 5 ( t )) d 2 ( t ) − l 5 ⋅ sen( θ 4 ( t )) ⋅ cos( θ 5 ( t ))   =  nz oz az pz   0 cos( θ 5 ( t )) − sen( θ 5 ( t )) − d 3 ( t ) − l 4 − l 5 ⋅ sen( θ 5 ( t ))    0 0 0 1    0 0 0 1   2 - 20Jaime Martínez Verdú José Luís Aznar Gomis

×