Prácticas y exámenes de control estocastico y de mínima varianza

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Control estocástico y predictivo está incluido como unidad docente de la asignatura Control Avanzado de Sistemas impartido en la UMH por Rafael Puerto Manchón.

http://ocw.umh.es/ingenieria-y-arquitectura/control-avanzado

El objetivo general de las prácticas es que los alumnos diseñen y comprueben en simulación el comportamiento de los controladores estudiados en teoría. En particular:

- Diseño y simulación de reguladores de mínima varianza para procesos con y sin retardo.
- Diseño y simulación de reguladores predictivos.

Se incorporan también ejemplos de examen.

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Prácticas y exámenes de control estocastico y de mínima varianza

  1. 1. CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS 4º INGENIERÍA INDUSTRIAL PRÁCTICA 1 REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO Curso 2001-2002 1. Objetivos • • • • • Poner de manifiesto la problemática del control cuando la salida del proceso a controlar se ve afectada por una perturbación de naturaleza estocástica. Aplicar al caso anterior reguladores de mínima varianza cuando los procesos a controlar no presentan retardos adicionales Analizar las acciones de control generadas mediante este tipo de reguladores Analizar la estabilidad de los sistemas controlados en virtud de algunos parámetros del regulador Eliminar el error en régimen permanente mediante la adición de un término integral 2. Realización de la práctica Se desea realizar el control de un sistema continuo cuya discretización a T = 0.1 seg. genera la función de transferencia discreta siguiente: B( z −1 ) 0. 137z −1 + 0.09z −2 G( z ) = = A(z −1 ) 1 − 0.95z −1 + 0. 225z −2 −1 La salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo comportamiento se puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la perturbación estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro siguiente: D( z −1 ) D( z −1 ) 1 + 0.5 z −1 + 0.25 z −2 = = C ( z −1 ) A( z −1 ) 1 − 0.95 z −1 + 0.225z −2
  2. 2. Se pide: a) Realizar el esquema Simulink correspondiente al sistema ARMAX en bucle cerrado. Simular tomando como entrada al sistema un escalón unitario y visualizar el ruido introducido así como la salida obtenida. El bloque Simulink que proporciona un ruido blanco encuentra en la categoría Sources y se denomina Band – Limited white noise. El esquema, por tanto, que se debe realizar es el siguiente: b) Calcular el regulador que minimice la varianza de la señal de salida para un factor de ponderación de la acción de control, r = 0. Simular el sistema y visualizar la señal de ruido, la salida y la acción de control generada c) Calcular la primera acción de control para el sistema del apartado anterior y comprobar que realmente es la obtenida en la simulación. d) Calcular el regulador de mínima varianza para un factor de ponderación de la acción de control r = 0.02. Simular el sistema y obtener las señales de ruido, salida y acción de control. Calcular la primera acción de control generada y comprobar el resultado la señal obtenida mediante simulación. ¿Qué diferencias se observan con respecto a las respuestas obtenidas para r = 0? e) Calcular el regulador de mínima varianza para que la acción de control obtenida sea un tercio de la obtenida en el apartado b). Comentar los resultados obtenidos. f) Para cada uno de los reguladores calculados (distintos valores de r), obtener la ecuación característica del sistema y sus polos. Comentar a partir de los resultados obtenidos la estabilidad de dichos sistemas. g) Para el regulador del apartado e), añadir un término de acción integral que elimine el error en régimen permanente. Probar con valores de α = 0, 0.5, 0.8 y 1. Comentar las respuestas obtenidas. NOTA: Se debe presentar un informe de la práctica realizada que incluya las respuestas obtenidas así como los comentarios detallados pertinentes a cada uno de los apartados.
  3. 3. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV El sistema físico. El proceso físico para el cual se desea realizar el control es un sistema continuo por lo que se precisa discretizarlo. Un sistema muestreado o discretizado es aquel que, partiendo de una señal o magnitud analógica (o continua) es capaz de generar una secuencia de valores discretos, separados a intervalos de tiempo. Para el sistema que nos atañe se ha utilizado una discretización de período de muestreo T = 0.1 segundos generando la función de transferencia siguiente: 0.137 z 1 G( z )  1  0.090 z 1 1.000  0.950 z 2  0.225 z (1) 2 En clase de teoría, Rafael Puerto nos explicó que la forma general de una función de transferencia para procesos sin retardo que tendremos en cuenta tenía la siguiente forma: b z 1  b z 2    b z  m 1 G( z )  B( z 1 )  b z i i 1 2    an z n i  b1 z 1  b2 z 2    bm z m i  1  a1 z  a 2 z i a z (2) m 1  a1 z  a2 z n A( z )  1  2 1 m i 1 1 1 1 2    an z n de donde el numerador es un polinomio B(z-1) que presenta un grado m mientras que el numerador es un polinomio A(z-1) de grado n. De la comparación entre la expresión (1) y (2), obtenemos el siguiente resultado: G( z 1 )  0.137 z 1  0.090 z 2 1.000  0.950 z 1  0.225 z 2   1 m  grad B ( z )  2 1 1 B ( z )  0.137 z  0.090 z 2 b1  0.137; b2  0.090;  1  n  grad A( z )  2 1 A( z )  1.000  0.950 z a1  0.950; a 2  0.225; 1-1 Jaime Martínez Verdú 1  0.225 z 2
  4. 4. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV La perturbación. Sabemos, según enuncia la práctica, que la salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbación de carácter estocástico cuyo comportamiento se puede modelar mediante un proceso de tipo ARMAX. Por tanto, el modelo de la perturbación corresponde a un ruido blanco transformado por el filtro siguiente: 1 P( z )  1.000  0.500 z 1  0.250 z 2 1.000  0.950 z 1  0.225 z 2 (3) De forma análoga al caso anterior, Rafael nos propuso como modelo general del filtro del ruido blanco una función de transferencia discreta cuya expresión matemática viene dada de la siguiente manera: 1 d z 1 P( z )  1 1 c z m d z i 1 n 1 C(z )  1  c z i 1 i i i i 2 c z 2 2 1 1 D( z 1 )  1  d z 1  d z m (4) m 2  c z n n  d1 z 1  d 2 z 2    d m z m 1  1  c1 z  c2 z 2    cn z n De esta expresión, al igual que anteriormente, podemos obtener los respectivos grados de sus polinomios y los cocientes de capa potencia negativa de z. De hecho, comparando las ecuaciones (3) y (4) tenemos el siguiente resultado: 1 P( z )  1.000  0.500 z 1  0.250 z 2 1.000  0.950 z 1  0.225 z 2 1  0.250 z 2 1  0.225 z 2  1  m  grad D( z )  2 1 D( z )  1.000  0.500 z d 1  0.500; d 2  0.250;  1  m  grad C ( z )  2 1 C ( z )  1.000  0.950 z c1  0.950; c 2  0.225; 1-2 Jaime Martínez Verdú
  5. 5. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV b) Calcular el regulador que minimice la varianza de la señal de salida para un factor de ponderación de la acción de control, r = 0. Simular el sistema y visualizar la señal de ruido, la salida y la acción de control generada. De clases teóricas conocemos que la forma general de un regulador de mínima varianza (recuerde que la siguiente expresión fue deducida para procesos sin retardo) responde a la siguiente expresión: 1 GRMV ( z )  1 1 1 A( z )  [ D( z )  C ( z )]  z r 1 1 1 1 z  B( z )  C ( z )  A( z )  D( z ) b (5) 1 de donde es posible una simplificación debido a que la perturbación estocástica viene determinada por un comportamiento modelado mediante un proceso ARMAX C(z-1) = A(z-1) y, también, debido a que en este apartado se nos exige calcular el regulador para un factor de ponderación de la acción de control nulo. De estas premisas, podemos obtener que el regulador buscado es del tipo GRMV4 (z-1) que se muestra a continuación. 1 GRMV 4 ( z )   1 1 [ D( z )  A( z )]  z (6) 1 z  B( z ) ESTABILIDAD EN BULCE ABIERTO: Cancelación de polos y/o de ceros. Con el fin de que este tipo de regulador nos sirva para el control del sistema debe verificar que, en caso de error por apertura del lazo cerrado, no se inestabilice. Lo que pretendemos es evitar que cuando se cancelen polos o ceros de la planta con los correspondientes al regulador, por motivos de mala identificación del sistema, se produzcan malas cancelaciones de los polos o ceros que se encuentran fuera del círculo unidad. Para investigar esta posibilidad debemos analizar la ecuación característica del sistema: G 1 RMV 4 1 (z )  G (z )  * P 1 1 1 [ D( z )  A( z )]  z B ( z )  * 1 1 z  B( z ) A (z ) * (7) Es totalmente válida la utilización de este regulador pues nuestro sistema no constituye un proceso de fase no mínima ya que todos sus ceros se encuentran dentro del círculo unidad: Gz   B( z ) 0.137 z  0.090 0.090   0.137 z  0.090  0  z    0.657 2 A( z ) 1.000 z  0.950 z  0.225 0.137  0.657  1  El cero se encuentra en el interior del círculo unidad Por lo tanto, la cancelación de polos o ceros no va a darnos problemas y, a pesar de que nuestro sistema se deteriore y rompa el lazo, no se convertirá a priori en inestable. 1-3 Jaime Martínez Verdú
  6. 6. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO  CAV ESTABILIDAD EN BULCE CERRADO: Ecuación Característica. Con respecto a la estabilidad del sistema vista desde el bucle cerrado, el regulador será totalmente válido si las raíces de los polinomios B(z-1) y D(z-1) se encuentran en el interior del círculo unidad tal como podemos demostrar a continuación: 1 1 1  G RMV 4 ( z )  G P ( z )  0  1  1 1 1 * 1 1 z  A( z )  B( z )  [ D( z )  A( z )]  B( z )  z 1 1 z  A( z )  B( z ) [ D( z 1 )  A( z 1 )]  z B( z 1 )  0 1 1 z  B( z ) A( z ) (8)  0  z  A( z 1 )  B( z 1 )  [ D( z 1 )  A( z 1 )]  B( z 1 )  z  0 1 z  A( z )  B( z 1 )  D( z 1 )  B( z 1 )  z  A( z 1 )  B( z 1 )  z  0  D( z 1 )  B( z 1 )  z  0 Veamos donde se encuentran las raíces de los polinomios B(z-1) y D(z-1): G z   1 P( z )  B( z ) 0.137 z  0.090 0.090   0.137 z  0.090  0  z    0.657 2 A( z ) 1.000 z  0.950 z  0.225 0.137  0.657  0.675  1  La raiz se encuentra en el interior del círculo unidad 1.000  0.500 z 1 1.000  0.950 z 1  0.250 z 2  0.225 z 2 1 3 i  0.657 4 4 z  0.250  i 0.433  1.000 z  0.500 z  0.250  0  z  2  0.250  i 0.433  0.500  1  Las raices se encuentran en el interior del círculo unidad  OBTENCIÓN DEL REGULADOR: Obtención de la expresión analítica. Una vez verificada la viabilidad de la utilización de este regulador, podemos realizar las operaciones pertinentes para la obtención de la expresión de nuestro regulador: B( z 1 )  0.137 z 1  0.090 z 2 A( z 1 )  1.000  0.950 z 1  0.225z 2 G G G G RMV 4 RMV 4 RMV 4 1 RMV 4 (z )  1 D( z 1 )  1.000  0.500 z 1  0.250 z 2 1 [ D( z )  A( z )]  z 1 zB z   ( z 1 )  [1.000  0.500 z 1  0.250 z 2  (1.000  0.950 z 1  0.225 z 2 )]  z 1 2 z  (0.137 z  0.090 z ) ( z 1 )  [1.000  0.500 z 1  0.250 z  2  1.000  0.950 z 1  0.225 z  2 ]  z 0.137  0.090 z 1 ( z 1 )  (1.450 z 1  0.025 z  2 )  z 1.450  0.025 z 1 G z 1  RMV 4 0.137  0.090 z 1 0.137  0.090 z 1   1-4 Jaime Martínez Verdú
  7. 7. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV Por tanto, el regulador de mínima varianza buscado para un factor de ponderación nulo es: G RMV 4 ( z 1 )  1.450  0.025 z 1 0.137  0.090 z 1 (9) Simulando el sistema y visualizando la señal de ruido la salida, tenemos las gráficas que se muestran en páginas posteriores. A continuación analizaremos cada una de las gráficas: FIGURA 1. Comportamiento antes del escalón. Tal y como podemos observar en la gráfica, la salida no es nula antes de aplicar el escalón y esto es debido a que el ruido si perturba la salida cuando la entrada aún no está activa. De este modo, la salida es justo el resultado de minimizar la varianza de la señal estocástica: y (k )  1 1 B( z ) D( z ) u (k )  v(k ) 1 1 A( z ) A( z ) 1 1 1 1 [ D( z )  A( z )]  z z w(k )  y(k ) w( k ) u (k )   [ D( z )  A( 1 )]  z y(k ) u (k )   0 k 0 1  z  B( z ) z  B( z ) Si sustituimos el valor de la señal que hace referencia a la acción de control en la expresión de la salida tenemos el siguiente resultado: y (k )  1 1 1  D( z 1 ) B( z )  [ D( z )  A( z )]  z y (k )  v(k )  1 1 1 A( z )  z  B( z )  A( z ) Si operamos con dichas expresiones podremos encontrar una relación entre el ruido y la salida: 1 1 1 1 1 1 [ D( z )  A( z )]  z D( z ) [ D( z )  A( z )]  z D( z ) y (k )   y (k )  v(k )  y (k )  y (k )  v(k ) 1 1 1 z  A( z ) A( z ) z  A( z ) A( z 1 )  [ D( z 1 )  A( z 1 )]  z  D( z 1 ) z  A( z 1 )  [ D( z 1 )  A( z 1 )]  z D( z 1 ) y (k ) 1  v( k )  y (k )  v(k )  1 z  A( z 1 ) z  A( z 1 ) A( z 1 )   A( z ) y (k ) z  A( z 1 )  [ D( z 1 )  A( z 1 )]  z z  [ A( z 1 )  D( z 1 )  A( z 1 )]  D( z 1 )v(k )  y (k )  D( z 1 )v(k ) z z y (k )  v(k ) 1-5 Jaime Martínez Verdú
  8. 8. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV Tal y como podemos observar en la Figura 1, tenemos que el regulador de mínima varianza calculado "intenta" minimizar la varianza de la señal estocástica sin lograrlo y obtenemos a la salida directamente el ruido blanco. De aquí se puede observar que cuando no aplicamos entrada, el sistema no minimiza el ruido sino que lo que hace es "desfiltrar" el ruido blanco lo cual parece bastante lógico pues si no aplicamos ninguna entrada, a la salida obtendremos ruido y sólo ruido. En el siguiente gráfico se puede observar un solapamiento entre salida y ruido blando antes del instante de activación del escalón: Comportamiento en régimen permanente. Con respecto al error en régimen permanente, podemos decir que el sistema presenta un error de régimen permanente puesto que sigue a la señal pero siempre con un error de aproximación. El error se puede calcular de dos maneras distintas: gráficamente y analíticamente. Gráficamente: Si sumamos las amplitudes de la salida desde, por ejemplo, la muestra 20 hasta la 100 y dividimos dicho resultado por la cantidad de muestras entre ambos puntos (es decir, 80 muestras) obtenemos que el valor medio de la señal de salida en régimen permanente es de aproximadamente 0.841 y, por lo tanto, el del error en régimen permanente es de 1 – 0.841 = 0.159. Analíticamente: Para calcularlo analíticamente, necesitamos aplicar por un lado el teorema del valor final a la señal de error ante una entrada escalón, es decir: 1 1 lim e(k )  lim(1  z )  e( z ) k  z 1 de donde necesitamos encontrar una expresión que relacione la señal de error con la entrada. 1-6 Jaime Martínez Verdú
  9. 9. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV A continuación, realizaremos una serie de operaciones que nos llevará a una expresión que defina tal necesidad: E v ( k )  0 1 1 1 e( z )  w( z )  y( z ) 1 u( z )  1 1 [ D( z )  A( z )]  z 1 e( z ) 1 z  B( z ) y( z 1 )  1 B( z ) 1 u( z 1 )  A( z ) 1 D( z ) 1 v( z 1 ) A( z ) Tal y como podemos pensar, el término de la señal de ruido blanco v(z-1) tiene media nula por lo que en régimen permanente podemos eliminar este término ya que no influye en el valor medio. Por tanto tenemos que, a efectos de régimen permanente, la salida es: 1 y( z )  1 B( z ) 1 u ( z 1 ) A( z ) 1 1 1 1 1 y( z )  B ( z ) [ D( z )  A( z )]  z [ D( z )  A( z )]  z 1 1 1 e( z )  y ( z )  e( z ) 1 1 1 A( z ) z  B( z ) z  A( z ) 1 1 1 e( z )  w( z )  1 e( z ) 1 1 1 1 [ D( z )  A( z )]  z [ D( z )  A( z )]  z  1 1  1 e( z )  e( z ) 1    w( z ) z  A( z 1 ) z  A( z 1 )   1 1 1 1 z  A( z )  z  D( z )  z  A( z ) z  A( z ) 1 1 1  w( z )  e( z )  w( z ) 1 z  A( z ) z  D( z 1 ) Llegados a este punto, ya estamos en condiciones de calcular el error en régimen permanente: lim 1  z e( z 1 1 z 1  )  lim 1  z z 1  lim z 1  1 A  zz  D((zz 1   1 ) 1 1 1 z  A( z ) w( z )  lim 1  z  1 1 1 z 1 ) z  D( z ) 1  z 1 1 2 z  A( z ) z  (1.000  0.950 z  0.225 z )  lim  1 1 2 z  D( z ) z 1 z  (1.000  0.500 z  0.250 z ) 1.000  0.950  0.225  0.157 1.000  0.500  0.250 De donde podemos observar que el valor teórico de 0.157 se acerca al calculado gráficamente de 0.159. Esta diferencia en las milésimas entre el teórico y el gráfico se debe principalmente a que al calcularlo gráficamente no escogimos un número suficiente de muestras. De hecho, si sumamos las amplitudes de la salida desde, por ejemplo, la muestra 20 hasta la 1.020 y dividimos dicho resultado por la cantidad de muestras entre ambos puntos (es decir, 1.000 muestras) obtenemos que el valor medio de la señal de salida en régimen permanente es de 0.843 y, por lo tanto, el del error en régimen permanente es de 1 – 0.843 = 0.157. 1-7 Jaime Martínez Verdú
  10. 10. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV FIGURA 2. Con respecto a esta figura, sólo podemos decir que se trata de una acción de control caracterizada por no ser nula para muestras negativas, lo cual es lógico, ya que para valores negativos no está activa la señal de entrada escalón pero si la del ruido, por lo que el regulador intentará minimizar dicha señal y por ello existen acciones de control. 1-8 Jaime Martínez Verdú
  11. 11. Figura 1. Referencia w(k ), Salida y(k) y Valor medio de la salida <y(k)>.
  12. 12. Figura 2. Acción de control u(k).
  13. 13. Figura 3. Representación de cada una de las señales requeridas por el enunciado.
  14. 14. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV c) Calcular la primera acción de control para el sistema del apartado anterior y comprobar que realmente es la obtenida en la simulación. u 0  G RMV 4 0  1.450  0.025  0 1.450  u 0   10.5839 0.137  0.090  0 0.137 En la ampliación del gráfico de la señal de la acción de control u(k), se puede observar que la primera muestra obtenida corresponde a un valor de 10,9351 cercano a 10,5839, que era el obtenido teóricamente. A pesar de que no se active la entrada el regulador responde ante el ruido y por eso existe esta diferencia. 1 - 12 Jaime Martínez Verdú
  15. 15. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV Del apartado anterior conocemos que la acción de control se relacionaba con la salida de la siguiente manera: u (k )   1 1 [ D( z )  A( z )]  z 1 z  B( z ) y (k ) De donde conocemos que la salida antes de activar la entrada escalón es juste la señal de ruido blanco. Por tanto, tenemos que la acción de control y el ruido blanco se relacionan de la siguiente manera: u (k )   1 1 [ D( z )  A( z )]  z 1 z  B( z ) v( k ) → u (k )   1.450  0.025 z 0.137  0.090 z 1 1 v(k ) Si modificamos nuestro sistema en simulink añadiendo una salida j(k) de la siguiente manera: Una vez simulado, buscamos entre los valores de la señal j(k) el que se da cuando aplicamos el escalón de modo que si este valor se los restamos al que presenta la señal de control tendremos justo el calculado teóricamente. En la gráfica de la siguiente página podemos comprobar que para antes del escalón se verifica que el comportamiento de la acción de control es justo el deducido en la expresión: u (k )  1 - 13 Jaime Martínez Verdú  1.450  0.025 z 0.137  0.090 z 1 1 v(k )
  16. 16. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO u= -0.1193 -0.7225 0.7478 -0.9165 0.5290 -0.2188 0.4538 -0.3390 0.0287 -0.1066 -0.1025 -0.1018 0.1104 -0.4912 0.4885 0.3925 0.2720 -0.7763 0.6434 -0.0989 10.9351 -11.5093 10.2907 -3.7691 3.4583 -0.9688 2.4366 -0.4353 1.7264 0.4586 1.5726 0.8177 1.2382 1.2999 CAV j= -0.1193 -0.7225 0.7478 -0.9165 0.5290 -0.2188 0.4538 -0.3390 0.0287 -0.1066 -0.1025 -0.1018 0.1104 -0.4912 0.4885 0.3925 0.2720 -0.7763 0.6434 -0.0989 0.3512 0.0239 0.1502 0.0686 0.0293 -0.5171 0.3064 -0.6298 0.1487 -0.2145 0.3352 -0.0630 0.1227 0.3424 Estos valores corresponden justo al momento en el cual actúa la entrada escalón de modo que si restamos ambos valores obtenemos como resultado el valor calculado teóricamente: 10.9351 – 0.3512 = 10.5839 1 - 14 Jaime Martínez Verdú
  17. 17. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV d) Calcular el regulador de mínima varianza para un factor de ponderación de la acción de control r = 0.02. Simular el sistema y obtener las señales de ruido, salida y acción de control. Calcular la primera acción de control generada y comprobar el resultado la señal obtenida mediante simulación. ¿Qué diferencias se observan con respecto a las respuestas obtenidas para r = 0? De clases teóricas conocemos que la forma general de un regulador de mínima varianza (recuerde que la siguiente expresión fue deducida para procesos sin retardo) responde a la siguiente expresión: G 1 RMV (z )  1 1 1 A( z )  [ D( z )  C ( z )]  z r 1 1 1 1 z  B( z )  C ( z )  A( z )  D( z ) b 1 de donde es posible una simplificación debido a que la perturbación estocástica viene determinada por un comportamiento modelado mediante un proceso ARMAX C(z-1) = A(z-1). La simplificación nos da la siguiente expresión que corresponde al regulador de mínima varianza GRMV3 (z-1), es decir, 1 1 [ D( z )  C ( z )]  z r 1 1 z  B( z )  D( z ) b 1 G RMV 3 ( z )  (8) 1 En este caso, no sería necesario calcular nada más para verificar si podemos usar este tipo de regulador puesto que de clases de teoría obtuvimos como resultado que este tipo de regulador era válido para cualquier sistema. A continuación, realizaremos las operaciones pertinentes para la obtención de la expresión de nuestro regulador: B( z 1 )  0.137 z 1  0.090 z 2 G RMV 3 ( z 1 )  A( z 1 )  1.000  0.950 z 1  0.225z 2 1 D( z 1 )  1.000  0.500 z 1  0.250 z 2 1 [ D ( z )  A( z )]  z r 1 1 z  B( z )  D( z ) b 1 G 1 RMV 3 (z )  1 GRMV 3 ( z )  G G RMV 3 2 1 2 2 1 2 (1.000  0.500 z  0.250 z  1.000  0.950 z  0.225 z )  z 1 1 2 0.137  0.090 z  0.146  0.073 z  0.036 z (1.450 z 1  0.025 z  2 )  z 0.283  0.163 z 1  0.036 z  2 ( z 1 )  1.450  0.025 z 1 2 0.283  0.163 z  0.036 z 1 1 - 15 Jaime Martínez Verdú 1  (1.000  0.950 z  0.225 z )]  z 0.02 1 2 1 2 z  (0.137 z  0.090 z )  (1.000  0.500 z  0.250 z ) 0.137 (z )  1 RMV 3 1 [1.000  0.500 z  0.250 z
  18. 18. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV Por tanto, el regulador de mínima varianza buscado es: G RMV 3 ( z 1 )  1.450  0.025 z 1 0.283  0.163z 1  0.036 z  2 (9) La acción de control para el instante inicial corresponde al siguiente valor: u (0)  G RMV 3 (0)  1.450  0.025  0 1.450  u (0)   5.124 0.283  0.163  0  0.036  0 0.283 Simulando el sistema y visualizando la señal de ruido la salida, tenemos las gráficas que se muestran en páginas posteriores. A continuación analizaremos cada una de las gráficas: FIGURA 4. Comportamiento antes del escalón. Tal y como podemos observar en la gráfica, la salida no es nula antes de aplicar el escalón y esto es debido a que el ruido si perturba la salida cuando la entrada aún no está activa. De este modo, la salida es justo el resultado de minimizar la varianza de la señal estocástica: y (k )  1 B( z ) 1 u (k )  A( z ) u (k )  1 D( z ) 1 v(k ) A( z ) 1 1 1 1 [ D( z )  A( z )]  z w(k )  y(k ) w( k  u (k )   [ D( z )  A( z )]  z y (k )  ) 0 k 0 r r 1 1 z  B( z )  D( z ) z  B( z 1 )  D( z 1 ) b1 b1 Si sustituimos el valor de la señal que hace referencia a la acción de control en la expresión de la salida tenemos el siguiente resultado:     1 1 1 B ( z )  [ D( z )  A( z )]  z D( z ) y (k )   y (k )  v(k ) 1  A( z 1 ) A( z )  z  B( z 1 )  r D( z 1 )   b   1   1 Si operamos con dichas expresiones podremos encontrar una relación entre el ruido y la salida: 1 A( z ) y (k )   1 1 1 [ D( z )  A( z )]  B( z )  z 1 y ( k )  D ( z )v ( k ) r 1 1 z  B( z )  D( z ) b 1 1 - 16 Jaime Martínez Verdú
  19. 19. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO 1 A( z ) y (k )  1 1 CAV 1 [ D( z )  A( z )]  B( z )  z 1 y ( k )  D ( z )v ( k ) r 1 1 z  B( z )  D( z ) b 1     1 1 1  A( z 1 )  [ D( z )  A( z )]  B ( z )  z   D( z 1 )v(k ) y (k )   r z  B( z 1 )  D( z 1 )   b1     1 [ z  B( z )  r 1 1 1 1 1 D( z )]  A( z )  [ D( z )  A( z )]  B ( z )  z b 1 y (k ) r 1 z  B( z )  D( z ) b 1 1  D ( z )v ( k ) 1 1 1 z  B( z )  A( z )  r 1 1 1 1 1 1 D( z )  A( z )  D( z )  B( z )  z  A( z )  B ( z )  z b 1 y (k ) r 1 z  B( z )  D( z ) b 1 1 1 y (k )  1 r B( z )  z b A( z 1 ) 1 z 1 1 B( z )  y (k )  r D( z ) z  1 b A( z 1 ) A( z ) 1 1 z  G (z )  P y (k )  B( z ) A( z 1 ) 1  1 r B( z )  z 1 b A( z ) 1 r 1 G (z ) b P 1 V r 1  GP (z )  z b v(k ) 1 1 - 17 Jaime Martínez Verdú r D( z ) b A( z 1 ) 1 v(k ) 1  D ( z )v ( k )
  20. 20. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV Tal y como podemos observar en la figura, tenemos que el regulador de mínima varianza calculado presenta una salida con un ruido blanco que no es el que introducimos puesto que éste se ve modificado por existir ahora un factor de ponderación no nulo. De aquí se puede observar que cuando no aplicamos entrada, el regulador modifica el valor del ruido blanco. En el anterior gráfico se puede observar una diferencia entre salida y ruido blando antes del instante de activación del escalón. Esa diferencia se debe a que, a diferencia del caso anterior, la salida no es justo el ruido blanco, sino que en la salida obtenemos un ruido blanco modificado. Comportamiento en régimen permanente. Con respecto al error en régimen permanente, podemos decir que el sistema presenta un error de régimen permanente puesto que sigue a la señal pero siempre con un error de aproximación. El error se puede calcular de dos maneras distintas: gráficamente y analíticamente. Gráficamente: Si sumamos las amplitudes de la salida desde, por ejemplo, la muestra 20 hasta la 100 y dividimos dicho resultado por la cantidad de muestras entre ambos puntos (es decir, 80 muestras) obtenemos que el valor medio de la señal de salida en régimen permanente es de aproximadamente 0.711 y, por lo tanto, el del error en régimen permanente es de 1 – 0.711 = 0.289. Analíticamente: Para calcularlo analíticamente, necesitamos aplicar por un lado el teorema del valor final a la señal de error ante una entrada escalón, es decir: 1 1 lim e(k )  lim(1  z )  e( z ) k  z 1 de donde necesitamos encontrar una expresión que relacione la señal de error con la entrada. A continuación, realizaremos una serie de operaciones que nos llevará a una expresión que defina tal necesidad: E v ( k )  0 1 1 1 e( z )  w( z )  y( z ) 1 u( z )  1 1 [ D( z )  A( z )]  z 1 e( z ) r 1 1 z  B( z )  D( z ) b y( z 1 )  1 B( z ) 1 A( z ) u( z 1 )  1 D( z ) 1 v( z 1 ) A( z ) 1 Tal y como podemos pensar, el término de la señal de ruido blanco v(z-1) tiene media nula por lo que en régimen permanente podemos eliminar este término. Por tanto tenemos que, a efectos de régimen permanente, la salida es: y( z 1 )  1 B( z ) 1 A( z ) 1 - 18 Jaime Martínez Verdú u ( z 1 )
  21. 21. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO 1 y( z )  1 1 1 1 1 CAV 1 B( z ) [ D( z )  A( z )]  z [ D( z )  A( z )]  B( z )  z 1 1 1 e( z )  y ( z )  e( z ) 1 r r 1 1 1 1 1 1 A( z ) z  B( z )  D( z ) z  A( z )  B( z )  A( z )  D( z ) b b 1 1 1 e( z )  w( z )  1 1 1 1 [ D( z )  A( z )]  B ( z )  z 1 e( z ) r 1 1 1 1 z  A( z )  B ( z )  A( z )  D( z ) b1     1 1 1 [ D( z )  A( z )]  B( z )  z 1    w( z 1 ) e( z ) 1   r 1 1 1 1   z  A( z )  B ( z )  A( z )  D( z )  b   1   1 1 z  A( z )  B ( z )  e( z 1 ) r 1 1 1 1 1 A( z )  D( z )  [ D( z )  A( z )]  B ( z )  z b1 r z  A( z )  B ( z )  A( z 1 )  D( z 1 ) b 1 1  w( z 1 ) 1 z  A( z 1 )  B ( z 1 )  1 1 e( z ) e( z 1 ) r A( z 1 )  D( z 1 )  D( z 1 )  B ( z 1 )  z  A( z 1 )  B( z 1 )  z b r 1 1 z  A( z )  B ( z )  A( z )  D( z ) b1 1 1 r 1 1 1 1 A( z )  D( z )  D( z )  B( z )  z b1 1 1 z  A( z )  B ( z )  r 1 1 A( z )  D( z ) b  w( z 1 ) 1 e( z 1 ) D( z 1 )  B ( z 1 )  z 1 r A( z 1 )  D( z 1 ) b 1 1 1 r A( z 1 )  D( z 1 ) b  w( z 1 ) z  A( z )  B ( z )  1 r r 1 1 1 1 A( z )  D( z ) A( z )  D( z ) b1 b1 1 b G (z ) b B ( z 1 ) 1  1 P 1  z 1 1 z r G (z ) r A( z 1 ) P 1 1 1 e( z )  w( z )  e( z )  w( z 1 ) b1 B ( z 1 ) b1 1 z 1  G ( z 1 )  z r D( z 1 ) r P V 1 - 19 Jaime Martínez Verdú 1  w( z )
  22. 22. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV Llegados a este punto, ya estamos en condiciones de calcular el error en régimen permanente: 1 1 1 1 lim 1  z e( z )  lim 1  z  z 1 z 1 b G ( z 1 ) 1 P 1 r G (z ) z PV 1 b1 r 1 1  w( z )  lim 1  z z 1 1 G (z )  z 1 1 1 r G ( z 1 )  lim V 1 b1 r 1 z P  lim z 1 b1 G P ( z ) 1  GP ( z )  z z 1 1 1 1 P r G ( z 1 ) z 1 PV 1 P 0.137 z b G ( z 1 ) b1 r 1 G (z )  z 1 z 1  P  0.090 z 2 0.137 1.000  0.950 z 1  0.225 z  2 z 0.02 1.000  0.500 z 1  0.250 z  2 1 2 1.000  0.950 z  0.225 z  1 2 0.137 0.137 z  0.090 z 1 z 0.02 1.000  0.950 z 1  0.225 z  2 2 0.137 0.137 z  0.090 z z 0.02 1.000  0.500 z 1  0.250 z  2  lim  1 2 z 1 0.137 0.137 z  0.090 z 1 z 0.02 1.000  0.950 z 1  0.225 z  2 1 0.137 0.137  0.090 0.02 1.000  0.500  0.250  0.284  0.137 0.137  0.090 1 0.02 1.000  0.950  0.225 1 De donde podemos observar que el valor teórico de 0.284 se acerca al calculado gráficamente de 0.289. Esta diferencia en las milésimas entre el teórico y el gráfico se debe principalmente a que al calcularlo gráficamente no escogimos un número suficiente de muestras. De hecho, si sumamos las amplitudes de la salida desde, por ejemplo, la muestra 20 hasta la 1.020 y dividimos dicho resultado por la cantidad de muestras entre ambos puntos (es decir, 1.000 muestras) obtenemos que el valor medio de la señal de salida en régimen permanente es de 0.716 y, por lo tanto, el del error en régimen permanente es de 1 – 0.716 = 0.284. FIGURA 5. Con respecto a esta figura, sólo podemos decir que se trata de una acción de control caracterizada por no ser nula para muestras negativas, lo cual es lógico, ya que para valores negativos no está activa la señal de entrada escalón pero si la del ruido, por lo que el regulador intentará minimizar dicha señal y por ello existen acciones de control. De esta podemos observar que el valor 5.297 se aproxima a los 5.127 teóricos. Esta diferencia se debe al ruido que hay en el momento de aplicar el escalón (análogo al caso anterior). 1 - 20 Jaime Martínez Verdú
  23. 23. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV FIGURA 7. Para poder analizar la diferencia de rizado entre ambas salidas creamos una función que nos ayudará a este cometido. Con el siguiente programa analizaremos el rizado de cada señal: function mifuncion(x,a,b) max=0; min=200; i=a; while i<=b if x(i)>max max=x(i); end if x(i)<min min=x(i); end i=i+1; end max min riz=max-min return mifuncion(y,25,120) mifuncion(yy,25,120) max = max = 0.9406 min = 0.7671 Riz = 0.1735 0.8256 min = 0.6070 Riz = 0.2186 Tal y como podemos observar la segunda señal (que es justo la señal con factor de ponderación no nulo) presenta un mayor rizado que la primera (con r = 0). FIGURA 8. En esta figura observamos una diferencia apreciable entre ambas acciones de control puesto que al aumentar el factor de ponderación se disminuye el esfuerzo de control y las acciones de control con r = 0.02 son menores. 1 - 21 Jaime Martínez Verdú
  24. 24. Figura 4. Referencia w(k ), Salida y(k) y Valor medio de la salida <y(k)>.
  25. 25. Figura 5. Acción de control u(k).
  26. 26. Figura 6. Representación de cada una de las señales requeridas por el enunciado.
  27. 27. Figura 7. Representación gráfica de la señal de referencia, la de salida y la señal estocástica.
  28. 28. Figura 8. Representación gráfica donde se compara la salida con un factor r = 0 y con r = 0.02.
  29. 29. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV e) Calcular el regulador de mínima varianza para que la acción de control obtenida sea un tercio de la obtenida en el apartado b). Comentar los resultados obtenidos. Para que se verifique esta condición tenemos que: d 1  a1  r  b1   b1   u e 0   1 u b 0   d 1  a1  1 d 1  a1  3b1  b1  r  r  2b12  r 3 b1 3 b1  b1  d 1  a1  b1 u b 0   b1   u e 0   r  2b12  20.137  0.037538 2   Dz   Az  z 2b z  B z   D z  b G RMV 3 z 1  1 1 2 1 1 1 1   1.000  0.500 z  0.250 z  1.000  0.950 z  0.225 z  z z  0.137 z  0.090 z   2  0.1371.000  0.500 z  0.250 z  z   1.000  0.500 z  0.250 z  1.000  0.950 z  0.225 z  z 1 G RMV 3 z 1  G RMV 3 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 0.137  0.090 z 1  0.274  0.137 z 1  0.069 z  2 1.450 z     0.025 z  2  z 0.411  0.227 z 1  0.069 z  2   1.450  0.025 z 1 0.411  0.227 z 1  0.069 z  2 G RMV 3 z 1  G RMV 3 z 1  1 Por tanto, el regulador de mínima varianza buscado es:   G RMV3 z 1  u 0  G RMV3 0  1.450  0.025 z 1 0.411  0.227 z 1  0.069 z 2 1.450  0.025  0 1.450  u 0   3.528 0.411  0.227  0  0.069  0 0.411 Tal y como podemos observar en las gráficas que se muestran a continuación, el valor de la amplitud de las acciones de control va disminuyendo a medida que aumentamos el factor de ponderación del esfuerzo de control. 1 - 27 Jaime Martínez Verdú
  30. 30. Figura e.1. Zoom de la representación gráfica de las tres señales de control para r = 0, 0.02 y 0.037. 1 - 28
  31. 31. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV f) Para cada uno de los reguladores calculados (distintos valores de r), obtener la ecuación característica del sistema y sus polos. Comentar a partir de los resultados obtenidos la estabilidad de dichos sistemas. Regulador 1: r = 0. 1 G RMV ( z )  1 1.450  0.025 z 1 0.137  0.090 z 1 1.450  0.025 z 1 0.137 z 1  0.090 z 2 0.137  0.090 z 1 1.000  0.950 z 1  0.225 z  2 1 (0.137  0.090 z )(1.000  0.950 z 1 0 2 1 1 (0.137  0.090 z )(1.000  0.950 z 1 (0.137  0.090 z )(1.000  0.950 z 1.000  0.950 z 1 (1.000  0.500 z 1 1 1  0.090 z ) 1  0.090 z )  0  0.225 z )  (1.450  0.025 z )(0.137 z 1 2 2  0.225 z ) 2 1  0.225 z )  (1.450  0.025 z )(0.137 z  0 2  0.225 z  2  1.450 z 1  0.025 z  2 (0.137 z 1  0.090 z  2 )  0 2  0.250 z )(0.137 z 1 2  0.090 z )  0 1 3 i  0.657 4 4 z  0.250  i 0.433  1.000  0.500 z 1  0.250 z  2  0  z 2  0.500 z  0.250  0  z   0.250  i 0.433  0.500  1  Las raices se encuentran en el interior del círculo unidad 0.090  0.657 0.137  0.657  0.675  1  La raiz se encuentra en el interior del círculo unidad  0.137 z 1  0.090 z 2  0  0.137 z  0.090  0  z   Regulador 2: r = 0.02. 1.450  0.025 z 1 G RMV ( z )  1 0.283  0.163z 1.450  0.025 z 1 1 1  0.036 z 0.137 z 1 2  0.090 z 2 0 0.283  0.163 z 1  0.036 z  2 1.000  0.950 z 1  0.225 z  2 (0.283  0.163 z 1  0.036 z 2 )(1.000  0.950 z (0.283  0.163 z 1 1  0.225 z  0.036 z 2 2 1 )  (1.450  0.025 z )(0.137 z )(1.000  0.950 z 1  0.225 z 2 1  0.090 z 2 ) 0 ) (0.283  0.163 z 1  0.036 z  2 )(1.000  0.950 z 1  0.225 z  2 )  (1.450  0.025 z 1 )(0.137 z 1  0.090 z  2 )  0 (0.283  0.26885 z 1  0.063675 z  2  0.163 z 1  0.15485 z  2  0.036675 z 3  0.036 z  2  0.0342 z 3  0.0081z  4 )   (0.19865 z 1  0.1305 z (0.283  0.10585 z 0.283  0.0928 z 1 1 2  0.003425 z  0.055175 z  0.07875 z 2 2 2 3  0.00225 z )  0  0.002475 z  0.004725 z 3 3  0.0081z  0.0081z 4 4 )  (0.19865 z 1  0.133925 z 2 3  0.00225 z )  0 0 z  0.08421  i 0.33121   0.08421  i 0.33121  0.34175  1  La raiz se encuentra en el interior del círculo unidad z = - 0.24816  i 0.42834  - 0.24816  i 0.42834  0.49503  1  La raiz se encuentra en el interior del círculo unidad 1 - 29 Jaime Martínez Verdú
  32. 32. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV Regulador 3: r = 0.03.   G RMV z 1 1.450  0.025 z 1 0.411  0.227 z 1.450  0.025 z 1 1  0.069 z 1 2 0.137 z 1  0.090 z 2 0.411  0.227 z 1  0.069 z  2 1.000  0.950 z 1  0.225 z  2 (0.411  0.227 z 1  0.069 z 2 )(1.000  0.950 z (0.411  0.227 z 1 1  0.225 z  0.069 z 2 2 0 1 )  (1.450  0.025 z )(0.137 z )(1.000  0.950 z 1  0.225 z 2 1  0.090 z 2 ) 0 ) (0.411  0.227 z 1  0.069 z  2 )(1.000  0.950 z 1  0.225 z  2 )  (1.450  0.025 z 1 )(0.137 z 1  0.090 z  2 )  0 (0.411  0.39045 z 1  0.092475 z  2  0.227 z 1  0.21565 z  2  0.051075 z 3  0.069 z  2  0.06555 z 3  0.015525 z  4 )   (0.19865 z 1  0.1305 z (0.411  0.16345z 0.411  0.0352 z 1 1 2  0.003425 z  0.054175z  0.07975 z 2 2 2 3  0.00225 z )  0  0.014475z  0.0012225 z 3 3  0.015525z  0.015525 z 4 4 )  (0.19865 z 1  0.133925 z 2 3  0.00225 z )  0 0 z  0.20761  i 0.32656   0.08421  i 0.33121  0.38696  1  La raiz se encuentra en el interior del círculo unidad z = - 0.25043  i 0.43537  - 0.25043  i 0.43537  0.50226  1  La raiz se encuentra en el interior del círculo unidad Todos son estables pues presentan todos sus polos dentro del círculo unidad. 1 - 30 Jaime Martínez Verdú
  33. 33. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV g) Para el regulador del apartado e), añadir un término de acción integral que elimine el error en régimen permanente. Probar con valores de α y 1. Comentar las respuestas obtenidas. Caso 1: α = 0. y1(k) Caso 2: α = 0,5. y2(k) 1 - 31 Jaime Martínez Verdú
  34. 34. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO Caso 3: α = 0,8. y3(k) Caso 4: α = 1. y4(k) 1 - 32 Jaime Martínez Verdú CAV
  35. 35. PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV Tal y como podemos observar, a medida que vamos dando valores de α mayores, el sistema deja de tener error en régimen permanente pero posee un mayor rizado debido a que el efecto de acercarse a ser un integrador puro es desestabilizador: mifuncion(y1,40,100) mifuncion(y2,40,100) max = max = 0.7506 min = 1.1354 min = 0.5127 Riz = 0.8679 Riz = 0.2378 0.2675 valorfinal = valorfinal = 0.6468 1.10167 mifuncion(y3,40,100) mifuncion(y4,40,100) max = max = 1.1694 min = 1.1986 min = 0.8094 Riz = 0. 7437 Riz = 0.3600 0.4549 valorfinal = valorfinal = 1.0178 1.0163 En la siguiente tabla podemos observar como a medida que aumenta el valor de α disminuye el error hacia cero y como aumenta el rizado de la señal de salida:  0   0.5   0.8  1 Error en régimen permanente |1-0.6468| = 0.3532 |1-1.1017 | = 0.1017 |1-1.0178| = 0.0178 |1-1.0163| = 0.0163 1 - 33 Jaime Martínez Verdú Rizado o varianza de la señal 0.2378 0.2675 0.3600 0. 4549
  36. 36. CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS 4º INGENIERÍA INDUSTRIAL PRÁCTICA 2 REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO Curso 2001-2002 1. Objetivos • • • • • Poner de manifiesto la problemática del control cuando la salida del proceso a controlar se ve afectada por una perturbación de naturaleza estocástica. Aplicar al caso anterior reguladores de mínima varianza cuando los procesos a controlar presentan retardos adicionales Analizar las acciones de control generadas mediante este tipo de reguladores Analizar la estabilidad de los sistemas controlados en virtud de algunos parámetros del regulador Eliminar el error en régimen permanente mediante la adición de un término integral 2. Realización de la práctica Se desea realizar el control de un sistema continuo cuya discretización a T = 0.1 seg. genera la función de transferencia discreta siguiente: B( z −1 ) z −2 (1 − 0.995 z −1 ) G(z ) = = A( z −1 ) 1 − 1.81z −1 + 0.819 z −2 −1 La salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo comportamiento se puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la perturbación estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro siguiente: D( z −1 ) D ( z − 1 ) 1 − 1 .81z −1 + 0.85 z − 2 = = C ( z −1 ) A( z −1 ) 1 − 1.81z −1 + 0.819 z − 2
  37. 37. Se pide: a) Realizar el esquema Simulink correspondiente al sistema ARMAX en bucle cerrado. Simular tomando como entrada al sistema un escalón unitario y visualizar el ruido introducido así como la salida obtenida. El bloque Simulink que proporciona un ruido blanco encuentra en la categoría Sources y se denomina Band – Limited white noise. El esquema, por tanto, que se debe realizar es el siguiente: b) Realizar la misma simulación sustituyendo el filtro del ruido por la descomposición equivalente a fin de comprobar si se obtienen idénticos resultados. c) Calcular el regulador que minimice la varianza de la señal de salida para un factor de ponderación de la acción de control, r = 0. Simular el sistema y visualizar la señal de ruido, la salida y la acción de control generada. Repetir la simulación para una entrada de la forma u(t) = sen (0.2t). ¿Qué efecto se puede constatar en la representación de las señales obtenidas en esta última simulación? d) Calcular la primera acción de control para el sistema del apartado anterior y comprobar que realmente es la obtenida en la simulación. e) Calcular el regulador de mínima varianza para un factor de ponderación de la acción de control r = 0.02. Simular el sistema y obtener las señales de ruido, salida y acción de control. Calcular la primera acción de control generada y comprobar el resultado la señal obtenida mediante simulación. ¿Qué diferencias se observan con respecto a las respuestas obtenidas para r = 0? f) Calcular el regulador de mínima varianza para que la acción de control obtenida sea un tercio de la obtenida en el apartado b). Comentar los resultados obtenidos. g) Para cada uno de los reguladores calculados (distintos valores de r), obtener la ecuación característica del sistema y sus polos. Comentar a partir de los resultados obtenidos la estabilidad de dichos sistemas.
  38. 38. h) Para el regulador del apartado e), añadir un término de acción integral que elimine el error en régimen permanente. Probar con valores de α = 0, 0.5, 0.8 y 1. Comentar las respuestas obtenidas. NOTA: Se debe presentar un informe de la práctica realizada que i cluya las respuestas n obtenidas así como los comentarios detallados pertinentes a cada uno de los apartados.
  39. 39. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO   Bz   z 1  0.995z  Az 1.000  1.810 z  0.819 z G z 1  1 2 1 1 1 2 1 1  0.850 z 2 1 1  0.819 z   Dz   1.000  1.800z Az 1.000  1.810 z P z 1  CAV 2 A continuación, mostramos el diagrama de bloques del sistema donde vienen representadas las siguientes señales: vk   Señal de Ruido Blanco. nk   Señal Estocástic a. r k   Señal de Entrada o de Referencia . u k   Señal de Control. yu k   Señal de Salida del Sistema Físico. y k   Señal de Salida. v k  Dz  Az  nk  Filtro de Ruido ARMAX u k  + Pz  Qz  u k  Regulador de Mínima Varianza Planta o Proceso Físico 2-1 Jaime Martínez Verdú Bz  A z  y u k  + + y k 
  40. 40. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO CAV b) Realizar la misma simulación sustituyendo el filtro del ruido por la descomposición equivalente a fin de comprobar si se obtienen idénticos resultados. De clases teóricas, se propuso una descomposición del filtro del ruido blanco de modo que cambiábamos de un diagrama de bloques a otro distinto:  Diagrama de bloques del filtro sin descomponer. v k  nk  1 D( z ) 1 C( z )  Diagrama de bloques del filtro sin descomponer. v k  1 F (z ) 1 C(z ) 2-2 Jaime Martínez Verdú nk  1 E( z )   z  d 1 +
  41. 41. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO  1.000  1.800 z 1  0.850 z 2  1.000  1.810 z 1  0.819 z  0.010 z  0.031z 2  0.010 z 1  0.0181z  1.000  1.810 z 1  0.819 z 2 2 1 CAV  1.000  0.010 z 2  8.19  10 z 2 1  8.19  10 z  0.0491z 3 3 3 3 F ( z 1 )  0.0491  8.19· 3 z 1 10 E ( z 1 )  1.000  0.010 z 1 A continuación mostramos las salidas obtenidas en los diagramas de simulink anteriores: Tal como podemos observar, tanto para un caso como para el otro, tenemos que coinciden ambas salidas, obviamente. 2-3 Jaime Martínez Verdú
  42. 42. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO CAV c) Calcular el regulador que minimice la varianza de la señal de salida para un factor de ponderación de la acción de control, r = 0. Simular el sistema y visualizar la señal de ruido, la salida y la acción de control generada. Repetir la simulación para una entrada de la forma u(t) = sen (0.2t). ¿Qué efecto se puede constatar en la representación de las señales obtenidas en esta última simulación? De clases teóricas conocemos que la forma general de un regulador de mínima varianza (recuerde que la siguiente expresión fue deducida para procesos con retardo) responde a la siguiente expresión: 1 G RMVd ( z )  1 1 A( z )  F ( z ) r z  B( z 1 )  C ( z 1 )  E ( z 1 )  A( z 1 )  D( z 1 ) b1 de donde es posible una simplificación debido a que la perturbación estocástica viene determinada por un comportamiento modelado mediante un proceso ARMAX C(z-1) = A(z-1) y, también, debido a que en este apartado 1 F (z ) se nos exige calcular el regulador para una factor de G 1 z  RMVd4 1 1 ponderación de la acción de control nulo. De estas z  B( z )  E ( z ) premisas, podemos obtener que el regulador buscado es del tipo GRMVd4 (z-1) que se muestra a la derecha.    ESTABILIDAD EN BULCE ABIERTO: Cancelación de polos y/o de ceros. Con el fin de que este tipo de regulador nos sirva para el control del sistema debe verificar que, en caso de error por apertura del lazo cerrado, no se inestabilice. Lo que pretendemos es evitar que cuando se cancelen polos o ceros de la planta con los correspondientes al regulador, por motivos de mala identificación del sistema, se produzcan malas cancelaciones de los polos o ceros que se encuentran fuera del círculo unidad. Para investigar esta posibilidad debemos analizar la ecuación característica del sistema: 1 * 1 * F (z ) 1 GRMV 4 ( z )  GP ( z )  1 1  1 B (z ) 1 z  B( z )  E ( z ) A ( z ) * Es totalmente válida la utilización de este regulador pues nuestro sistema no constituye un proceso de fase no mínima ya que todos sus ceros se encuentran dentro del círculo unidad: Bz  z  0.995 z G z    z 1  z  0.995  0  z  0.995 1 2 Az  1.000  1.810 z  0.819 z 1 2 0.995  1  El cero se encuentra en el interior del círculo unidad Por lo tanto, la cancelación de polos o ceros no va a darnos problemas y, a pesar de que nuestro sistema se deteriore y rompa el lazo, no se convertirá en inestable a priori. 2-4 Jaime Martínez Verdú
  43. 43. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO  CAV ESTABILIDAD EN BULCE CERRADO: Estabilidad propiamente dicha. Con respecto a la estabilidad del sistema vista desde el bucle cerrado, el regulador será totalmente válido si las raíces de los polinomios B(z-1) y D(z-1) se encuentran en el interior del círculo unidad tal como podemos demostrar a continuación: F ( z 1 ) * 1  G RMVd4 ( z 1 )  G P ( z 1 )  0  1  z  A( z 1 )  B( z 1 )  E ( z 1 )  B( z 1 )  F ( z 1 ) 1 1 z  A( z )  B( z ) z  A( z 1 1 1  B( z 1 ) 1 z  B( z )  E ( z ) A( z ) 0  0  z  A( z 1 )  B( z 1 )  E ( z 1 )  B( z 1 )  F ( z 1 )  0  )  E ( z 1 )  F ( z 1 )  B( z 1 )  0 Veamos donde se encuentran las raíces de B(z-1) y z·A(z-1)·E(z-1) + F(z-1): G ( z 1 )  1 B( z ) 1 z d  A( z ) z 1  0.995 z 2 1.000  1.810 z 1  0.819 z 2 z 1  z  0.995  0  z  0.995  0.995  0.995  1  La raiz se encuentra en el interior del círculo unidad z  A( z 1 )  E ( z 1 )  F ( z 1 )  0 z  (1.000  1.810 z 1  0.819 z  2 )  (1.000  0.010 z 1 )  0.0491  8.19  10 3 z 1  0 (1.000  1.810 z 1  0.819 z  2 )  (1.000  0.010 z 1 )  z 1 (0.0491  8.19  10 3 z 1 )  0 1.000  1.800 z 1  0.8009 z 2 3  8.19  10 z 3  0.0491z 1 3  8.19  10 z 2 0 1.000  1.7509 z 1  0.79271z  2  8.19  10 3 z 3  0 z 3  1.7509 z 2  0.79271z  8.19  10 3  0 z  0.8805  i 0.1876 z  0.0101 0.8805  i 0.1876  0.9003  1  Las raices se encuentran en el interior del círculo unidad  0.0101  0.0101  1  Las raices se encuentran en el interior del círculo unidad Una vez verificada la viabilidad de la utilización de este regulador, podemos realizar las operaciones pertinentes para la obtención de la expresión de nuestro regulador:   B z 1  z 1  0.995z 2   1 3 1    z  B( z E ( z )  1.000  0.010 z 1   1 F (z ) 1 GRMVd4 z 1  1 )  E ( z 1 )  3 1 0.0491  8.19· 10 z z  (z 1 2 1  0.995 z )·( .000  0.010 z ) 1 .19 10    (1.000 00.0491z 8)·(1.·000 z 0.010 z .995 GRMVd4 z D z 1  1.000  1.800 z 1  0.850 z 2 1 F ( z )  0.049  8.19· 10 z GRMVd4 z   A z 1  1.000  1.810 z 1  0.819 z 2  3 1 1 1 1 ) 2-5 Jaime Martínez Verdú 8 z    1.0000.0491  z .19·10.00995z 0.985 0  GRMVd4 z  3 1 1 1 2
  44. 44. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO CAV Por tanto, el regulador de mínima varianza buscado es:   G RMVd4 z 3 0.049  8.19· 10 z 1 1.000  0.985 z 1 1  0.00995 z 2 Simulando el sistema y visualizando la señal de ruido la salida, tenemos las gráficas que se muestran en páginas posteriores. A continuación analizaremos cada una de las gráficas: FIGURA 1. Comportamiento antes del escalón. Tal y como podemos observar en la gráfica, la salida no es nula antes de aplicar el escalón y esto es debido a que el ruido si perturba la salida cuando la entrada aún no está activa. De este modo, la salida es justo el resultado de minimizar la varianza de la señal estocástica: y (k )  u (k )  B ( z 1 ) A( z 1 ) z d u (k )  1 F (z ) 1 1 z  B( z )  E ( z ) D( z 1 ) A( z 1 ) v(k ) w(k )  y (k )  w( k   u (k )    ) 0 k 0 1 F (z ) 1 1 z  B( z )  E ( z ) y (k ) Si sustituimos el valor de la señal que hace referencia a la acción de control en la expresión de la salida tenemos el siguiente resultado: y (k )    D( z 1 ) F ( z 1 ) z  d  y (k )  v( k ) 1 1 1 1 A( z )  z  B( z )  E ( z )  A( z )   B( z 1 ) Si operamos con dichas expresiones podremos encontrar una relación entre el ruido y la salida: 1 y (k )   F (z )z   d 1 1 1 A( z )  E ( z ) 1 y (k )  D( z ) 1 A( z ) 1 v(k )  y (k )  F (z )z   d 1 1 1 A( z )  E ( z ) 1 y (k )  D( z ) 1 v(k ) A( z ) 1   d 1 1 1 1   d 1 1   D( z 1 ) F (z )z A( z )  E ( z )  F ( z ) z D( z ) y (k ) 1  v(k )  y (k )  v(k )  1 1 1 1 1 1 A( z )  E ( z )  A( z ) z  A( z )  E ( z ) A( z )     y (k )  A( z 1 )  E ( z 1 )  F ( z 1 ) z  d 1 1 E(z )  D( z 1 )v(k )  y (k ) D( z 1 ) 1  D( z 1 )v(k ) E(z ) 1 y ( k )  E ( z )v ( k ) Tal y como podemos observar en la Figura 1, tenemos que el regulador de mínima 2-6 Jaime Martínez Verdú
  45. 45. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO CAV varianza calculado "intenta" minimizar la varianza de la señal estocástica sin lograrlo y obtenemos a la salida casi directamente el ruido blanco.. En el siguiente gráfico se puede observar un solapamiento entre salida y ruido blando multiplicado por el polinomio E(z-1) antes del instante de activación del escalón: Comportamiento en régimen permanente. Con respecto al error en régimen permanente, podemos decir que el sistema presenta un error de régimen permanente puesto que sigue a la señal pero siempre con un error de aproximación. El error se puede calcular de dos maneras distintas: gráficamente y analíticamente. Gráficamente: Si sumamos las amplitudes de la salida desde, por ejemplo, la muestra 60 hasta la 100 y dividimos dicho resultado por la cantidad de muestras entre ambos puntos (es decir, 40 muestras) obtenemos que el valor medio de la señal de salida en régimen permanente es de aproximadamente 0.8318 y, por lo tanto, el del error en régimen permanente es de 1 – 0.8586 = 0.14014. Analíticamente: Para calcularlo analíticamente, necesitamos aplicar por un lado el teorema del valor final a la señal de error ante una entrada escalón, es decir: 1 1 lim e(k )  lim(1  z )  e( z ) k  z 1 de donde necesitamos encontrar una expresión que relacione la señal de error con la entrada. A continuación, realizaremos una serie de operaciones que nos llevará a una expresión que defina tal necesidad: 2-7 Jaime Martínez Verdú E v ( k )  0
  46. 46. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO CAV e( z 1 )  w( z 1 )  y( z 1 ) u( z 1 )  1 F (z ) 1 1 z  B( z )  E ( z ) y( z 1 )  e( z 1 ) 1 B( z ) 1 1 D( z ) z d u( z 1 )  1 A( z ) v( z 1 ) A( z ) Tal y como podemos pensar, el término de la señal de ruido blanco v(z-1) tiene media nula por lo que en régimen permanente podemos eliminar este término ya que no influye en el valor medio. Por tanto tenemos que, a efectos de régimen permanente, la salida es: 1 B( z ) y( z 1 )  1 z d u( z 1 ) A( z ) y( z 1 )  1 B( z ) 1 z d A( z ) e( z 1 )  w( z 1 )  1 e( z ) 1 F (z ) 1 1 z  B( z )  E ( z ) e( z 1 )  y( z 1 )    d 1 1 F (z )z  d 1 1 1 A( z )  E ( z ) e( z 1 )   d 1   F (z )z e( z 1 )  e( z 1 ) 1   w( z 1 ) 1 1 1 1  A( z )  E ( z ) A( z )  E ( z )     1 F (z )z 1   A( z 1 )  E ( z 1 )  F ( z 1 ) z  d 1 1 1 A( z )  E ( z ) 1 1  w( z )  e( z )  A( z 1 )  E ( z 1 ) 1 1 w( z ) D( z ) Llegados a este punto, ya estamos en condiciones de calcular el error en régimen permanente: lim 1  z e( z 1 z 1 1  )  lim 1  z z 1  lim 1  A( z 1 1 1 1 1  lim  w( z )  lim 1  z z 1 D( z ) A( z )  E ( z ) 1 1 )  E(z ) (0.137 z 1 1 1 1 )  E(z ) 1 D( z ) 2 1 1 z 1  0.090 z )(1.000  0.010 z ) z 1 D( z ) 1.000  0.500 z (0.137  0.090)(1.000  0.010)   0.1313 1.000  0.500  0.250 z 1  A( z 1  0.250 z 2 1   De donde podemos observar que el valor teórico de 0.131 se acerca al calculado gráficamente de 0.141. Esta diferencia en las milésimas entre el teórico y el gráfico se debe principalmente a que al calcularlo gráficamente no escogimos un número suficiente de muestras. De hecho, si sumamos las amplitudes de la salida desde, por ejemplo, la muestra 60 hasta la 1.060 y dividimos dicho resultado por la cantidad de muestras entre ambos puntos (es decir, 1.000 muestras) obtenemos que el valor medio de la señal de salida en régimen permanente es de 0.869 y, por lo tanto, el del error en régimen permanente es de 1 – 0.869 = 0.131. 2-8 Jaime Martínez Verdú
  47. 47. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO CAV FIGURA 2. Con respecto a esta figura, sólo podemos decir que se trata de una acción de control caracterizada por no ser nula para muestras negativas, lo cual es lógico, ya que para valores negativos no está activa la señal de entrada escalón pero si la del ruido, por lo que el regulador intentará minimizar dicha señal y por ello existen acciones de control. FIGURA 3 y 4. Tanto la señal de salida como la acción de control adquieren formas senoidales. Se puede ver como la salida trata de seguir a la entrada, pero no llega a igualarla debido al retardo que sufre de por si ya la planta. Por lo que nunca llegará a igualarla. Se puede observar que la salida está retrasada respecto a la entrada. 2-9 Jaime Martínez Verdú
  48. 48. Figura 1. Referencia w(k), Salida y(k) y Valor medio de la salida <y(k)> ante entrada escalón.
  49. 49. Figura 2. Acción de control u(k) ante entrada escalón.
  50. 50. Figura 3. Referencia w(k), Salida y(k) y Valor medio de la salida <y(k)> ante entrada senoidal.
  51. 51. Figura 2. Acción de control u(k) ante entrada senoidal.
  52. 52. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO CAV d) Calcular la primera acción de control para el sistema del apartado anterior y comprobar que realmente es la obtenida en la simulación. 3 0.049  8.19· 10  0 0.049 u 0   G RMV 4 0    u 0    0.049 1.000  0.985  0  0.00995  0 1.000 En la ampliación del gráfico de la señal de la acción de control u(k), se puede observar que la primera muestra obtenida corresponde a un valor cercano a 0.049, que era el obtenido teóricamente. 2 - 14 Jaime Martínez Verdú
  53. 53. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO CAV Del apartado anterior conocemos que la acción de control se relacionaba con la salida de la siguiente manera: u (k )   1 F (z ) 1 1 z  B( z )  E ( z ) y(k )  E ( z 1 )v(k ) y (k ) De donde conocemos que la salida antes de activar la entrada escalón es juste la señal de ruido blanco. Por tanto, tenemos que la acción de control y el ruido blanco se relacionan de la siguiente manera: u (k )   1 F (z ) 1 1 1 z  B( z )  E ( z ) u (k )  E ( z )v(k )  u(k )   3  0.0491  8.19· 10 z 1.000  0.995 z 1 1 F (z ) 1 z  B( z ) v( k ) 1 v( k ) Si modificamos nuestro sistema en simulink añadiendo una salida j(k) de la siguiente manera: Una vez simulado, buscamos entre los valores de la señal j(k) el que se da cuando aplicamos el escalón de modo que si este valor se los restamos al que presenta la señal de control tendremos justo el calculado teóricamente. En la gráfica de la siguiente página podemos comprobar que para antes del escalón se verifica que el comportamiento de la acción de control es justo el deducido en la expresión: u (k )  2 - 15 Jaime Martínez Verdú 3  0.0491  8.19· 10 z 1.000  0.995 z 1 1 v( k )
  54. 54. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO u= -0.0006 -0.0042 -0.0022 -0.0044 -0.0044 -0.0037 -0.0023 -0.0028 -0.0036 -0.0038 -0.0045 -0.0052 -0.0048 -0.0068 -0.0056 -0.0024 -0.0005 -0.0038 -0.0026 -0.0012 0.0489 0.0901 0.1283 0.1629 0.1925 0.2145 0.2341 0.2465 0.2553 0.2605 0.2636 0.2635 0.2611 0.2591 CAV j= -0.0006 -0.0042 -0.0022 -0.0044 -0.0044 -0.0037 -0.0023 -0.0028 -0.0036 -0.0038 -0.0045 -0.0052 -0.0048 -0.0068 -0.0056 -0.0024 -0.0005 -0.0038 -0.0026 -0.0012 -0.0001 0.0008 0.0014 0.0020 0.0022 -0.0002 0.0001 -0.0019 -0.0028 -0.0031 -0.0020 -0.0015 -0.0012 0.0007 Estos valores corresponden justo al momento en el cual actúa la entrada escalón de modo que si restamos ambos valores obtenemos como resultado el valor calculado teóricamente: 0.0489 – (–0.0001) = 0.049 2 - 16 Jaime Martínez Verdú
  55. 55. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO CAV e) Calcular el regulador de mínima varianza para un factor de ponderación de la acción de control r = 0.02. Simular el sistema y obtener las señales de ruido, salida y acción de control. Calcular la primera acción de control generada y comprobar el resultado la señal obtenida mediante simulación. ¿Qué diferencias se observan con respecto a las respuestas obtenidas para r = 0? De clases teóricas conocemos que la forma general de un regulador de mínima varianza (recuerde que la siguiente expresión fue deducida para procesos sin retardo) responde a la siguiente expresión: 1 1 A( z )  F ( z ) r z  B( z 1 )  C ( z 1 )  E ( z 1 )  A( z 1 )  D( z 1 ) b1 1 G RMVd ( z )  de donde es posible una simplificación debido a que la perturbación estocástica viene determinada por un comportamiento modelado mediante un proceso ARMAX C(z-1) = A(z-1). La simplificación nos da la siguiente expresión que corresponde al regulador de mínima varianza GRMV3 (z-1), es decir,   G RMVd3 z 1 F (z ) 1 z  B( z 1 )  E ( z 1 )  r D( z 1 ) b1 En este caso, no sería necesario calcular nada más para verificar si podemos usar este tipo de regulador puesto que de clases de teoría obtuvimos como resultado que este tipo de regulador era válido para cualquier sistema. A continuación, realizaremos las operaciones pertinentes para la obtención de la expresión de nuestro regulador:     B z 1  z 1  0.995z 2 D z 1  1.000  1.800 z 1  0.850 z 2 1 3 1 E ( z 1 )  1.000  0.010 z 1 F ( z )  0.0491  8.19· 10 z   G RMVd3 z   G RMVd3 z 1 r 1 D( z ) b1 z  (z 1 1 0.0491  8.19· 10 z 0.02 2 1 1 2  0.995 z )  (1.000  0.010 z )  (1.000  1.800 z  0.850 z ) 1 0.0491  8.19· 3 z 1 10 1 1 (1.000  0.995 z )  (1.000  0.010 z )  0.02(1.000  1.800 z 3 0.0491  8.19· 10 z 1   G RMVd3 z 1 3 1   G RMVd3 z 1 z  B( z )  E ( z )  1   G RMVd3 z 1 F (z ) 1 (1.000  0.985 z 1 2 1 1.02  1.021z 1  0.00705 z  2 2 - 17 Jaime Martínez Verdú 2  0.850 z ) 1  0.00995 z )  (0.020  0.036 z 0.0491  0.00819 z 1 1 2  0.017 z )
  56. 56. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO CAV Por tanto, el regulador de mínima varianza buscado es:    1.020.0491  0.00819 z z 1.021z  0.00705 G RMVd3 z u 0  G RMVd3 0  1 1 1 2 0.0491  0.00819  0 0.0491  u 0   0.0481 1.020  1.021  0  0.00705  0 1.020 A continuación se muestran las gráficas que se han considerado más interesantes donde se puede apreciar lo siguiente: GRÁFICA D.1. A un primer golpe de vista no se puede apreciar fácilmente las diferencias con respecto al regulador anterior. No obstante puede apreciarse un poco de aumento con respecto a la varianza de la señal puesto que los picos están más alejados entre si. Además, podemos ver que ha aumentado el error en régimen permanente puesto que la señal de salida se "estabiliza" sobre los 0.7. GRÁFICA D.2. En esta gráfica podemos determinar claramente las diferencias entre la señal de salida de r = 0 y la de r = 0.02. La señal con factor de ponderación nulo presenta un primer pico mucho más alto que la otra pero posteriormente se minimiza mucho más la varianza. Con respecto a los errores de régimen permanente, podemos observar que entre una señal y otra en régimen permanente existe una diferencia de 0.1 unidades de amplitud. GRÁFICA D.3. A partir de esta representación gráfica obtenemos como resultado que la primera acción de control, observando en la gráfica, es cercana a las 0.0428 unidades obtenidas teóricamente. GRÁFICA D.4-5. En estas gráficas podemos observar que no existe mucha diferencia. 2 - 18 Jaime Martínez Verdú
  57. 57. GRÁFICA D.1. Representación gráfica de la señal de referencia, la de salida y la señal estocástica. 2 - 19
  58. 58. GRÁFICA D.2. Representación gráfica donde se compara la salida con un factor r = 0 y con r = 0.02. 2 - 20
  59. 59. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO GRÁFICA D.3. Representación gráfica de la señal de acción de control u(k). Jaime Martínez Verdú CAV
  60. 60. GRÁFICA D.4. Representación gráfica donde se compara la salida con un factor r = 0 y con r = 0.02.
  61. 61. GRÁFICA D.4. Representación gráfica donde se compara la acción de control con un factor r = 0 y con r = 0.02.
  62. 62. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO CAV f) Calcular el regulador de mínima varianza para que la acción de control obtenida sea un tercio de la obtenida en el apartado b). Comentar los resultados obtenidos. Para que se verifique esta condición tenemos que:  r  b1   f0 1 1 f0 r  2 b1   u e 0  u b 0    3b1  b1   r  2b1 r 3 b1 3 b1  b1  f u b 0  0  b1  b1  u e 0  f0 r  2b12  21  2 2   G RMVd3 z   G RMVd3 z r 1 D( z ) b1 z  (z 1 1 0.0491  8.19· 10 z 2 2 1 1 2  0.995 z )  (1.000  0.010 z )  (1.000  1.800 z  0.850 z ) 1 0.0491  8.19· 3 z 1 10 1 1 (1.000  0.995 z )  (1.000  0.010 z )  2(1.000  1.800 z 3 0.0491  8.19· 10 z 1   G RMVd3 z 1 3 1   G RMVd3 z 1 z  B( z )  E ( z )  1   G RMVd3 z 1 F (z ) 1 (1.000  0.985 z 1 2  0.850 z ) 1 2  0.00995 z )  (2.000  3.600 z 0.0491  0.00819 z 1 1 1 2  1.700 z ) 1 3.000  4.585 z 1  1.69005 z  2 Por tanto, el regulador de mínima varianza buscado es:   G RMVd3 z u 0  G RMVd3 0  1 0.0491  0.00819 z 3.000  4.585 z 1 1  1.69005 z 2 0.0491  0.00819  0 0.0491  u 0   0.016 3.000  4.585  0  1.69005  0 3.000 0.8 En esta ocasión se ve que a la salida le cuesta llegar a régimen permanente, luego hemos empeorado el sistema. El ruido en la salida se ha mejorado grandemente, pero aún así es mejor que no poner nada. La primera acción de control simulada en Matlab tiene un valor de u0 = 0.0162, que es casi la misma a la teórica. 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 2 - 24 Jaime Martínez Verdú 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  63. 63. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO CAV h) Para el regulador del apartado e), añadir un término de acción integral que elimine el error en régimen permanente. Probar con valores de α y 1. Comentar las respuestas obtenidas. Caso 1: α = 0. y1(k) Caso 2: α = 0,5. y2(k) Caso 3: α = 0,8. y3(k) 2 - 25 Jaime Martínez Verdú
  64. 64. PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO CAV Caso 4: α = 1. y4(k) A medida que el parámetro alfa se aproxima al valor la unidad, el sistema se va desestabilizando cada vez más. 2 - 26 Jaime Martínez Verdú
  65. 65. CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS 4º INGENIERÍA INDUSTRIAL PRÁCTICA 3 DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS Curso 2001-2002 1. Objetivos En el desarrollo teórico del tema, se ha estudiado que el cálculo de un Controlador Predictivo Generalizado (GPC), se realiza en base a unos parámetros de diseño: horizontes de predicción y control, parámetros de ponderación en el índice de coste, etc. Dichos parámetros condicionarán el comportamiento del mismo. Mediante la realización de esta práctica se pretenden tratar los siguientes aspectos: • Diseño: Llegar a deducir cómo influye cada uno de estos parámetros en el controlador y cual es su efecto sobre la acción de control y sobre la variable de salida controlada del sistema. Estos dos aspectos son muy importantes a la hora de diseñar este tipo de controladores. • Simulación: Es interesante poder comprobar en todo momento si el controlador se comporta adecuadamente incluso con los fenómenos que se producen el los procesos reales (discrepancia entre modelo y proceso real). 2. Realización de la Práctica Para calcular el Controlador Predictivo Generalizado, se facilitará al alumno la función Matlab descrita a continuación: Function calcugpc [H, R, S, TpRDelta] = calcugpc(BB, AA, T, param_gpc) siendo: • BB un vector que contiene los coeficientes del numerador del proceso en potencias decrecientes de z-1 (incluido el retardo estructural del proceso).
  66. 66. • AA un vector que contiene los coeficientes del numerador del proceso en potencias decrecientes de z-1. • Param_gpc es un vector que contiene: o o o o o o param_gpc(1) = N1 param_gpc(2) = N2 param_gpc(2) = Nu param_gpc(4) = coeficiente αi de ponderación de los errores param_gpc(5) = coeficiente λj de ponderación del esfuerzo de control param_gpc(6): si es igual a 0, se asume que no se conocen las referencias futuras (w(k) = w(k+1) = w(k+2) = ….= w(k+N)). En el caso de que sea igual a 1, se asume que se conocen las referencias futuras Los tres últimos parámetros no son obligatorios y en caso de omisión de los mismos se asume: o param_gpc(4) = 1 o param_gpc(5) = 0 o param_gpc(6) = 0 Los valores que devuelve la función son: • H: es un escalar si no se conocen las referencias futuras. En caso contrario es un vector que contiene los coeficientes de un polinomio en potencias crecientes de z. • R: es un vector que contiene los coeficientes del polinomio R(z-1) en potencias crecientes de z-1. • S: es un vector que contiene los coeficientes del polinomio S(z-1) en potencias crecientes de z-1. • TpRDelta: es un vector que contiene los coeficientes de (T(z-1) + R(z-1))∆ EJEMPLO Dado el modelo del proceso G ( z −1 ) = 0.1368 z −1 + 0.1180 z −2 1 − 1.003z −1 + 0.5488 z − 2 Calcular el controlador GPC para un horizonte de predicción desde N1 = 3 hasta N2 =5. Los coeficientes para las matrices de ponderación serán: αi = 0.1 y λj = 2. El polinomio T(z-1) será 1-0.85z-1, y no se conocen las referencias futuras. En Matlab haremos: >> B = [0 0.1368 0.1180]; %Se incluyen los retardos
  67. 67. >> >> >> >> A = [1 -1.303 0.5488]; T = 1; param = [3 20 5 0.1 2 0]; [H, R, S, TpRDelta] = calcugpc(B, A, T, param) 3. Simulación del bucle de control Para simular el bucle de control hay que construir el diagrama de bloques del controlador (ver figura 1) en un diagrama Simulink al cual se añadirá el resto del sistema (ver figura 2). Figura 1. Diagrama de bloques del controlador GPC ref u Referencia Acción de Control H Step Gain T(z) B(z) TpRDelta(z) A(z) Discrete Filter Proceso y Salida Discrete Filter2 S(z) T(z) Figura 2. Esquema básico para simulación Para rellenar cada uno de los parámetros que se nos piden en los diferentes bloques del diagrama Simulink: numerador, denominador, periodo de muestreo, etc., podemos utilizar nombres de variables que tengamos definidas en el workspace de Matlab. Así, las variables que contienen los polinomios de salida de la función calcugpc. los podemos escribir en las ventanas de parámetros de los bloques Simulink tal y como se muestra en la figura siguiente:
  68. 68. 4. Ejercicios propuestos de diseño y simulación 1. Dado el modelo del proceso definido por: G( s) = 0.6( s + 2) ( s + 0.507)( s + 0.968) Discretizar1 dicha función de transferencia para un periodo de muestreo de 0.5 seg. Calcular y simular un GPC para cada uno de los siguientes casos (se asume que no se conocen las referencias futuras y T(z-1) = 1): Caso 1 2 3 4 5 N1 1 1 1 1 1 N2 40 40 40 20 20 Nu 1 3 1 1 1 αi λi 1 1 1 1 0.001 0 0 1 1500 1 PREGUNTA Desde el punto de vista de la acción de control generada y de la salida del proceso: • ¿Cuál es el efecto de aumentar el horizonte de control Nu? • ¿Cuál sería el efecto de variar los parámetros de ponderación? 2. Dado el modelo definido por G( s) = 8 0.0484 s + 0.66s + 9 2 Discretizar la función de transferencia con un periodo de muestreo de 10 ms. Calcular y simular el controlador GPC con el modelo del proceso para los siguientes parámetros de diseño (no se conocen las referencias futuras): 1 Utilizar para ello la función c2dm de Matlab eligiendo como método de discretización la anteposición de un retenedor de orden cero (ZOH). Para más información teclear help c2dm.
  69. 69. T(z-1) 1 N1 1 N2 10 Nu 1 αi λi 1 0 Supongamos ahora que el proceso real no está identificado correctamente mediante la función de transferencia G(s), y que el comportamiento real del sistema viene definido por la siguiente función de transferencia: G* ( s) = 7.3e −0.008 s 0.0361s 2 + 0.55s + 9.4 Simular ahora el bucle cerrado para el controlador calculado anteriormente pero con el proceso real G*(s) en lugar de G(s). Para incluir el retardo continuo utilizar un bloque Transport Delay. Observar cómo se ve afectado el control por las diferencias sustanciales que aparecen cuando en lugar de controlar el modelo del proceso con el que el controlador fue calculado, se controla el proceso real. Diseñar ahora y simular un GPC para G(s), con los mismos parámetros de diseño anteriores pero eligiendo T(z-1) de la forma: T ( z −1 ) = 1 − 0.9 z −1 Observar el comportamiento de la salida del proceso. PREGUNTA A la vista de los resultados: • ¿Cuál es el principal objetivo del polinomio T(z-1)? 3. Suponiendo que G(s) modela perfectamente al proceso, y teniendo un ruido de medida en el sensor tal y como se muestra en la figura 3, comparar las respuestas simulando los dos controladores calculados anteriormente (para distintos valores de T(z-1)) y observar cómo influye la perturbación en la salida2. Band-Limited White Noise Salida B(z) A(z) Proceso Discrete Filter2 S(z) T(z) Figura 3. Adición de un ruido blanco (sin filtrar) a la medida de la salida 2 Al parámetro Noise power del bloque Band – Limited White Noise se le debe asignar el valor 0.00001
  70. 70. 4. En este caso se tiene una perturbación senoidal de frecuencia aproximada 100 rad./seg. y de amplitud 0.25. Este tipo de perturbaciones, muy habituales, puede presentarse a la salida del proceso. Por ejemplo en un sistema de control de altura de líquido en un depósito, un motor que girase a velocidad constante y que esté situado lo suficientemente cerca del proceso, produciría un campo electromagnético, influyendo en la lectura de la salida del proceso. Simular el bucle de control con los dos controladores anteriores (para los dos valores de T(z-1) y observar el comportamiento de la salida. Diseñar y simular ahora un GPC con los siguientes parámetros: T(z-1) (1 − 0.99 z −1 )(1 − 0.95z −1 ) N1 1 N2 10 Nu 1 αi λi 1 0 PREGUNTA • • ¿Cuál sería otro de los principales objetivos del polinomio T(z-1)? ¿Qué ocurriría si el polinomio de diseño T(z-1) se fijara a 1 – 1.1z-1? Justificar numéricamente la respuesta. 5. Informe de práctica a entregar Se debe entregar un informe con todos los valores de los reguladores calculados y con las gráficas que se crean oportunas. Asimismo se debe adjuntar la respuesta razonada a todas las preguntas propuestas y todos aquellos aspectos de la práctica que se deseen hacer notar.
  71. 71. PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS Ejercicio 1. En este ejercicio calcularemos un Controlador Predictivo Generalizado (GPC, del inglés Generalized Predictive Controller). El diagrama de bloques del controlador GPC es el siguiente: GPC U(z) W(z) H + - T (T+Rz-1)Δ Proceso S T Figura 3.1.1: Diagrama de bloques del controlador GPC. Para la realización del ejercicio primeramente introduciremos en MatLab® todos los valores necesarios para poder trabajar tales como:  El valor Ts donde almacenaremos el período de muestreo que es de 0.5 segundos.  El vector T que contenga los coeficientes del polinomio T(z-1) en potencias negativas de z-1.  El vector N1 que contenga el valor mínimo del horizonte de predicción de cada caso.  El vector N2 que contenga el valor máximo del horizonte de predicción de cada caso.  El vector Nu que contenga el horizonte de control  Representa el máximo número de acciones de control de cada caso.  El vector alfa que contenga el Coeficiente del factor de ponderación del error de cada caso.  El vector lambda que contenga el Coeficiente del factor de esfuerzo de control de cada caso.  El vector Bc que contenga los coeficientes del numerador del proceso en potencias decrecientes de s.  El vector Ac que contenga los coeficientes del denominador del proceso en potencias decrecientes de s. 1-1 Jaime Martínez Verdú
  72. 72. PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS Dado el siguiente modelo, G( s)  0.6000( s  2.0000) ( s  0.5070)(s  0.9680) 3.1 Se discretiza para T = 0.5 segundos (tal y como se verá en el fragmento de código posterior), utilizando la función c2dm de MatLab®, obteniendo la siguiente función de transferencia: 0.3258 z 1 G( z )  1 1  1.3924 z  0.1137 z 1 2  0.4783z 2 3.2 También calcularemos y simularemos un GPC, utilizando la función calcugpc que nos proporcionó Rafael Puerto, asumiendo que no se conocen las referencias futuras y que T(z-1) = 1, para cada uno de los siguientes casos: N1 N2 Nu αi 1 40 1 1 1 40 3 1 1 40 1 1 1 20 1 1 1 20 1 0.001 Tabla 3.1.1. Tabla de parámetros del modelo predictivo. Caso 1 2 3 4 5 λi 0 0 1 1500 1 Para implementar estas asignaciones en MatLab® introducimos las siguientes líneas de código: Ts=0.5; T=[1]; N1=[1 1 1 1 1]; N2=[40 40 40 20 20]; Nu=[1 3 1 1 1]; alfa=[1 1 1 1 0.001]; lambda=[0 0 1 1500 1]; Ac=[1 1.475 0.490776]; Bc=[0.6 1.2]; [B,A] = C2DM(Bc,Ac,Ts,'zoh') B= 0 0.3258 -0.1157 A= 1.0000 -1.3924 0.4783 De esto obtenemos como resultado, para continuar trabajando, A y B:  El vector B contiene los coeficientes del numerador del proceso, una vez discretizado, en potencias decrecientes de z-1.  El vector A contiene los coeficientes del denominador del proceso, una vez discretizado, en potencias decrecientes de z-1. 1-2 Jaime Martínez Verdú
  73. 73. PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS A continuación diseñamos el siguiente diagrama de bloques: Figura 3.1.2: Esquema básico para la simulación. Posteriormente, para cada caso tomamos los valores de param_gpc y ejecutamos la función calcugpc() guardando los valores de la acción de control y la salida en cada iteración. Las líneas que introduciremos serán las siguientes: param_gpc=[N1(1), N2(1), Nu(1), alfa(1), lambda(1), 0]; [H, R, S, TpRDelta]=calcugpc(B, A, T, param_gpc); %Simulamos el proceso para obtener salidas y acciones de control. y1=y; u1=u; param_gpc=[N1(2), N2(2), Nu(2), alfa(2), lambda(2), 0]; [H, R, S, TpRDelta]=calcugpc(B, A, T, param_gpc); %Simulamos el proceso para obtener salidas y acciones de control. y2=y; u2=u; param_gpc=[N1(3), N2(3), Nu(3), alfa(3), lambda(3), 0]; [H, R, S, TpRDelta]=calcugpc(B, A, T, param_gpc); %Simulamos el proceso para obtener salidas y acciones de control. y3=y; u3=u; param_gpc=[N1(4), N2(4), Nu(4), alfa(4), lambda(4), 0]; [H, R, S, TpRDelta]=calcugpc(B, A, T, param_gpc); %Simulamos el proceso para obtener salidas y acciones de control. y4=y; u4=u; param_gpc=[N1(5), N2(5), Nu(5), alfa(5), lambda(5), 0]; [H, R, S, TpRDelta]=calcugpc(B, A, T, param_gpc); %Simulamos el proceso para obtener salidas y acciones de control. y5=y; u5=u; 1-3 Jaime Martínez Verdú
  74. 74. PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS Dibujando las gráficas podemos obtener dos gráficas donde vienen representadas, por un lado, los valores de la salida para cada uno de los casos y, por otro lado, las acciones de control para cada caso. En páginas precedentes se expondrán las gráficas junto con sus respectivas preguntas. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Figura 3.1.3: Salida y acción de control para el caso 1. En la figura 3.1.3 podemos como no existe error en régimen permanente pues la salida sigue fielmente la referencia. También podemos darnos cuenta de el momento cuando dicho error se hace nulo y que es en el instante k = 12 casi la mitad de N2 = 20. Con respecto a la señal de control, sólo hacer hincapié en su bajo esfuerzo de control. 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Figura 3.1.4: Salida y acción de control para el caso 2. Tal y como se observa en el gráfico de arriba, si aumentamos el horizonte de control Nu estamos dando más libertad al sistema de modo que el error se anula mucho más rápido que en el caso anterior (ahora se anula para k = 1 y antes para k = 12). De hecho, la idea de aumentar el horizonte de control tiene un efecto negativo con respecto al esfuerzo de control pues la señal de control, tal y como podemos ver, es mucho mayor que la del caso 1 (ahora es de casi 3 unidades y en el caso anterior de 0.42) aunque esto se da para los primeros instantes pues se estabiliza rápidamente. 1-4 Jaime Martínez Verdú
  75. 75. PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Figura 3.1.5: Salida y acción de control para el caso 3. Como se puede observar la diferencia entre la gráfica 3.1.5 y la gráfica 3.1.3 son muy pequeñas. No existe gran diferencia aunque si nos fijamos bastante, el error en régimen permanente tarda un poco más que en el caso anterior pues ahora estamos ponderando el esfuerzo de control (con un valor de 1 que es bajo) y en el caso 1 no lo ponderábamos. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 10 20 30 40 50 60 Figura 3.1.6: Salida y acción de control para el caso 4. Como se puede observar, el efecto de aumentar λ es disminuir los valores de la acción de control provocaré que tarde más en anularse el error. Para ver esto podemos usar la función de coste que definimos en clases de teoría y que era la siguiente: N  2 J N 1 , N 2 , N u ,  ,    E   i  y (k  i )   (k  i )  i  N   2 1 1-5 Jaime Martínez Verdú  N 2   u(k  j  1)   i j 1  3.3
  76. 76. PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS Por tanto, si aumentamos el valor del parámetro λ conseguiremos provocar que, para que se siga minimizando el índice de coste, debe disminuir el valor de la acción de control. Como está restringido el esfuerzo de control, al sistema le "costará" más llevar la salida a la referencia. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Figura 3.1.7: Salida y acción de control para el caso 5. Si disminuimos α le estamos restando importancia a que llegue ha existir un error en régimen permanente puesto que estamos siendo más permisivos en este sentido. Esta situación la podemos analizar mejor si nos volvemos a centra para la explicación en el índice de coste que será la ecuación 3.3: N  2 J N 1 , N 2 , N u ,  ,    E   i  y (k  i )   (k  i )  i  N   2 1  N 2   u(k  j  1)   i j 1  Si hubiésemos aumentado α se obtiene directamente del índice de coste que la diferencia entre la referencia y la salida debe de disminuir para hacer mínimo el índice de coste, siendo menos permisivos con el error en régimen permanente que el error se elimine antes. En este caso 5, al disminuir α, estimulamos a que dicha diferencia ya no sea tan trascendental para hacer mínimo el índice de coste, por lo que se tardará más en llegar al régimen permanente (en el caso se anulaba el error en régimen permanente para k = 18 y ahora la hace para k = 35). 1-6 Jaime Martínez Verdú
  77. 77. PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS  CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS ¿Cual es el efecto de aumentar el horizonte de control? Para contestar a esta pregunta analizaremos la señal de salida y la señal de acciones de control aparecidas en el caso 1 y 2 puesto que en éstos, todos los valores permanecen constantes excepto el horizonte de control: CASO 1 2 N1 1 1 N2 40 40 Nu 1 3 αi 1 1 λi 0 0 Nosotros sabemos que el valor de Nu determina la cantidad de oportunidades que "tiene" nuestro controlador para hacer que se cumpla su objetivo: Seguir la señal de referencia. De este modo, podríamos expresar el valor del horizonte de control Nu como la cantidad de grados de libertad disponibles para llevar la señal de referencia a la salida del sistema. La filosofía de esta familia de controladores es la siguiente:  Si aumentamos el valor del horizonte de control: Se generan acciones de control de gran amplitud. Por lo tanto, el método de funcionamiento es tal que si aumentamos el número de oportunidades, para llevar la referencia a la salida el controlador generará acciones de control grandes bruscamente pues tiene muchas oportunidades para rectificar su comportamiento si se ha excedido de valores.  Si disminuimos el valor del horizonte de control: Se generan acciones de control de pequeña amplitud. Por lo tanto, para llevar la referencia a la salida el controlador generará acciones de control de poca amplitud y de forma suave pues con pocas oportunidades debe intenta llevar la referencia a la salida sin excederse. Figura 3.1.8: Comparación entre las señales de salida del caso 1 y 2. 1-7 Jaime Martínez Verdú
  78. 78. PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS Con respecto a las señales de salida representadas en la figura 3.1.8, podemos decir que la salida del caso 1 tiene una forma mucho más suave que la señal de salida del caso 2 debido a que en éste segundo caso, el controlador "intenta" llevar la referencia a la salida lo antes posible y rectificar si se excede. La rectificación se puede observar en el pico donde se aprecia que la señal de control ha llevado a la salida a un valor por encima de la referencia y las siguientes acciones de control proceden a rectificar este valor llevándolo al de referencia. Figura 3.1.9: Comparación entre las señales de control del caso 1 y 2. En la figura 3.1.9 se puede apreciar el mecanismo que rige a este tipo de controladores. Se observa claramente para el caso 2 la variación brusca de la señal de acción de control inicial y la rectificación en las posteriores acciones de control. Por otro lado, podemos observar la forma suave que presenta la acción de control en el caso 1. 1-8 Jaime Martínez Verdú
  79. 79. PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS  CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS ¿Cual sería el efecto de variar los parámetros de ponderación? Estudio del efecto de los coeficientes de ponderación de errores α. ANÁLISIS FRENTE A LA SALIDA. Para los tres primeros casos en los cuales este parámetro es la unidad penalizamos los errores futuros de modo que se observa que no hay error puesto que antes de llegar a la muestra 40 se ha conseguido llevar la referencia a la salida. Con respecto a las salidas del caso 3 y 5 podemos ver que si disminuimos el valor de α a 0.001 se obtiene un error en régimen permanente. En la siguiente gráfica viene definida una nueva salida a rayas que hace referencia a la salida del sistema para el siguiente caso hipotético en el cual se mantiene todos los parámetros sin variar menos el coeficiente de ponderación del error: CASO 1 6 7 8 9 10 N1 1 1 1 1 1 1 N2 40 40 40 40 40 40 Nu 1 1 1 1 1 1 αi 1 0.1 0.05 0.02 0.005 0.001 λi 0 0 0 0 0 0 10 9 8 6 7 1 Figura 3.1.10: Comparación entre las señales de salida al variar el factor ponderador α. Tal y como se observa en la gráfica cada vez que disminuimos el valor de α provocamos que la salida tarde más cada vez en llegar a la señal de referencia puesto que cuando vamos aumentando (respectivamente, disminuyendo) el valor de α vamos dándole más peso a la penalización de los errores futuros (respectivamente, disminuyendo el valor de α somos más permisivos con el error futuro). 1-9 Jaime Martínez Verdú
  80. 80. PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS Estudio del efecto de los coeficientes de ponderación de esfuerzos de control λ. Para los tres primeros casos en los cuales este parámetro es la unidad penalizamos los errores futuros de modo que se observa que no hay error puesto que antes de llegar a la muestra 40 se ha conseguido llevar la referencia a la salida. Con respecto a las salidas del caso 3 y 5 podemos ver que si disminuimos el valor de α a 0.001 se obtiene un error en régimen permanente. En la siguiente gráfica viene definida una nueva salida a rayas que hace referencia a la salida del sistema para el siguiente caso hipotético en el cual se mantiene todos los parámetros sin variar menos el coeficiente de ponderación del error: CASO 1 6 7 8 9 10 N1 1 1 1 1 1 1 N2 40 40 40 40 40 40 Nu 1 1 1 1 1 1 αi 1 0.1 0.05 0.02 0.005 0.001 λi 0 0 0 0 0 0 10 9 8 6 7 1 Figura 3.1.11: Comparación de las señales de salida en cada caso. Tal y como se observa en la gráfica cada vez que disminuimos el valor de α provocamos que la salida tarde más cada vez en llegar a la señal de referencia puesto que cuando vamos aumentando (respectivamente, disminuyendo) el valor de α vamos dándole más peso a la penalización de los errores futuros (respectivamente, disminuyendo el valor de α somos más permisivos con el error futuro). 1 - 10 Jaime Martínez Verdú
  81. 81. Figura 3.1.12: Comparación de las señales de salida.
  82. 82. Figura 3.1.13: Comparación de las señales de acciones de control.
  83. 83. PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS Ejercicio 2. Dado el siguiente modelo, G ( s)  8.0000 0.0484 s  0.6600 s  9.0000 2 Se discretiza utilizando un periodo de 10 ms, obteniendo: Ts=0.01; Ac=[0.0484 0.66 9]; Bc=[8]; [B,A] = C2DM(Bc,Ac,Ts,'zoh') B= 0 0.0079 0.0075 A= 1.0000 -1.8552 0.8725 G( z 1 )  0.0079 z 1  0.0075z 2 1.0000  1.8552 z 1  0.8725z 2 Se va a calcular el controlador GPC para T(z-1)=1 , N1=1, N2=2, Nu=1, αi=1, λi=0. La forma de obtenerlo con MatLab® es la siguiente: T=[1]; param_gpc=[1, 10, 1, 1, 0, 0]; [H, R, S, TpRDelta]=calcugpc(B, A, T, param_gpc); H= 3.0684 R= 0.5339 S= 83.3708 -142.0961 61.7938 TpRDelta = 1.0000 -0.4661 -0.5339 2-1 Jaime Martínez Verdú
  84. 84. PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS A continuación mostramos el resultado de simular el diagrama debroques para este caso: Figura 3.2.1: Salida y acción de control para T(z-1) = 1. Vamos a suponer, según dice el enunciado, que el proceso no está identificado correctamente y viene dado por: G* ( s)  7.3000e 0.0080s 0.0361s 2  0.545s  0.9400 Se va a simular ahora esta función de transferencia con el controlador calculado anteriormente. Para ello se utiliza el siguiente esquema en simulink: Figura 3.2.2: Esquema simulink con modelo continuo y retardo de transporte. 2-2 Jaime Martínez Verdú
  85. 85. PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS Ac=[0.0361 0.55 9.4]; Bc=[7.3]; [B,A] = C2DM(Bc,Ac,Ts,'zoh') B= 0 0.0096 0.0091 A= 1.0000 -1.8346 0.8587 [H, R, S, TpRDelta]=calcugpc(B, A, T, param_gpc) H= 2.7306 R= 0.5301 S= 67.7175 -114.8949 49.9080 TpRDelta = 1.0000 -0.4699 -0.5301 Simulando obtenemos como resultado que el sistema es inestable: Figura 3.2.3: Salida inestable al utilizar el sistema físico real para T(z-1) = 1. 2-3 Jaime Martínez Verdú
  86. 86. PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS Tal como se pide en el enunciado ahora diseñaremos un Controlador Predictivo Generalizado, manteniendo los mismos parámetros de diseño, sin embargo, ahora utilizaremos como polinomio filtro T(z-1) = 1 – 0.9z-1. Para obtener los polinomios necesarios para la secuencia de acciones de control se implementa el siguiente código en MatLab® y posteriormente se simula en simulink: Ts=0.01; B=[0 0.007889 0.007538]; A=[1 -1.855 0.8725]; param_gpc = [1 10 1 1 0 0]; T=[1 -0.9]; [H,R,S,TpRDelta]=calcugpc(B,A,T,param_gpc) H= 3.0684 R= 1.0367 S= 19.6294 -35.1481 15.8256 TpRDelta = 1.0000 -0.8633 -0.1367 Figura 3.2.4: Salida y acción de control para T(z-1) = 1 – 0.9z-1. 2-4 Jaime Martínez Verdú

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