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MODELADO E IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS               5º INGENIERÍA INDUSTRIAL                                       PRÁCTIC...
obstante se puede especificar dicho rango empleando el comando con la siguientesintaxis:                                  ...
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MODELADO E IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS                 5º INGENIERÍA INDUSTRIAL                                            ...
• matched : discretiza utilizando el método de asiganación de polos y ceros.                                              ...
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8 APLICACIONES DEL PROCESAMIENTO    DE SEÑAL.8.1 Objetivo.En el presente capítulo se pretende que el alumno aplique los co...
2     Aplicaciones del Procesamiento de Señal. __________________________________8.3 Tratamiento de Imagen.Estimados señor...
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PRÁCTICA 3: FILTRADO DE SEÑALES                    Identificación de                          PROCESAMIENTO DE IMÁGENES   ...
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Prácticas identificación de sistemas
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Prácticas identificación de sistemas

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Os presento unas prácticas de la asignatura de Modelado e Identificación de Sistemas (concretamente de la parte de identificación) que realicé durante mi carrera de Ing. Industrial. Entre otras cosas, en esta asignatura estudié se estudian técnicas de filtrado y acondicionamiento de señales para permitir a los distintos algoritmos de identificación operar de forma óptima.

Las prácticas son las cinco siguientes:
- Práctica 1: Análisis y diseño de filtros analógicos
- Práctica 2: Diseño de filtros digitales
- Práctica 3: Filtrado Digital. Aplicación a imagen.
- Práctica 4: Identificación de un sistema mediante el algoritmo LS.
- Práctica 5:Identificación de un sistema real mediante el algoritmo RLS.

Con estas prácticas aprenderás a:
- Aplicar técnicas de filtrado de señales para mejorar el proceso de identificación experimental de sistemas (eliminación de ruidos y perturbaciones).
- Utilizar las técnicas de identificación paramétrica de sistemas más usuales tanto para sistemas lineales como para sistemas no lineales.
- Conocer los métodos matemáticos e informáticos necesarios para realizar una identificación paramétrica.

Los bloques de la asignatura que están vinculados con las prácticas son:

BLOQUE I: ACONDICIONAMIENTO Y FILTRADO DE SEÑALES
1. Análisis de Filtros Analógicos
2. Diseño de Filtros Analógicos
3. Análisis de Filtros Digitales
4. Diseño de Filtros Digitales por discretización de filtros analógicos
5. Diseño de Filtros Digitales no recursivos

BLOQUE II: IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS
6. Introducción a la Identificación
7. Identificación en línea. Algoritmo LS
8. Propiedades del Algoritmo LS

BLOQUE I: ACONDICIONAMIENTO Y FILTRADO DE SEÑALES. En él se introduce al alumno en el área de filtrado de señales. Este aspecto es importante ya que se suele emplear en casi la totalidad de las aplicaciones de captura de datos y/ control de sistemas y porque es necesario que los datos experimentales obtenidos para una identificación sean lo más correcto posibles.

BLOQUE II: IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS. En este bloque se estudia la identificación experimental de sistemas físicos. Para ello se parte del estudio y análisis del algoritmo de identificación LS y a partir de él se estudian otros más completos y/o eficientes.

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  1. 1. MODELADO E IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS 5º INGENIERÍA INDUSTRIAL PRÁCTICA 1 Filtrado de Señales: Análisis y diseño de filtros continuos Curso 2004-2005OBJETIVOS • Diseño de filtros analógicos de Butterworth, Chebyshev y Bessel. • Estudio de las características más importantes de los filtros anteriormente citados por medio de diagramas de Bode. • Utilización en simulación de los filtros propuestos ante señales con ruidos de distintas frecuencias.1.- DIAGRAMAS DE BODE. El diagrama de Bode es una herramienta potente a la hora de interpretar yanalizar el comportamiento en frecuencia de un determinado sistema o filtro. Dichodiagrama se compone de dos partes: el diagrama de magnitud y el de fase. En el primerose representa el módulo de la función de transferencia asociada a un determinadosistema, y en el segundo el argumento de dicha función. En Matlab, el comando que nos permite obtener un diagrama de Bode de unafunción de transferencia de un sistema continuo dado es el comando bode. Estecomando tiene la siguiente sintaxis: bode(num,den)donde num y den contienen los coeficientes en orden descendiente de potencias de sdel numerador y denominador de la función de transferencia. Como se puede apreciar, no es necesario especificar el rango de frecuenciassobre el cual queremos que se trace el diagrama, esto se realiza automáticamente. No
  2. 2. obstante se puede especificar dicho rango empleando el comando con la siguientesintaxis: bode(num,den,w)donde w es un vector que contiene (en rad/seg) las frecuencias para las que queremosque se trace el diagrama.NOTA: En Matlab, podemos crear vectores de datos de la siguiente forma: nomvar=v_ini:incr:v_findonde v_ini es el valor inicial, incr el incremento de un valor a otro y v_fin elvalor final. Además, es posible obtener los valores de la magnitud, la fase y la frecuenciaempleada con el fin de analizarlos numéricamente. Para esto basta con utilizar elcomando bode con la siguiente sintaxis: [mag,phase,w]= bode(num,den)De esta forma obtenemos en mag la magnitud en escala decimal, en phase la fase engrados y en w las frecuencias empleadas en rad/seg.Veamos un ejemplo: Se quiere obtener el diagrama de bode de la siguiente función de transferencia: s + 10 G ( s) = s+2Para obtener el diagrama de bode correspondiente a esta función de transferenciaharemos: » bode([1 10],[1 2])con lo cual se obtiene la siguiente gráfica: 2
  3. 3. 15 10 Gain (dB) 5 0 -1 0 1 2 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) 0 Phase (deg) -30 -1 0 1 2 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Para obtener diagramas de bode de sistemas discretos, el comando a utilizar es : dbode(num,den,T)donde num y den contienen los coeficientes en orden descendiente de potencias de zdel numerador y denominador de la función de transferencia, y T el periodo de muestreode dicho sistema discreto. El resto de opciones (especificación del rango de frecuenciasy obtención de los valores numéricos de magnitud fase y rango de frecuencias) esidéntico al caso continuo.2.- Diseño de Filtros Analógicos con Matlab. El paquete Matlab posee una librería denominada Signal Processing Toolbox.Dicha librería incluye gran cantidad de funciones que permiten tanto diseñar comoestudiar la mayoría de los elementos relacionados con el procesamiento de señales,entre ellos los filtros. Nos vamos a centrar pues en cómo diseñar filtros polinomiales(Butterworth, Bessel y Chebyshev) mediante las funciones proporcionadas por dichalibrería.2.1.- Diseño de filtros de Butterworth. El diseño de un filtro de Butterworth continuo paso bajo en Matlab se realiza dela siguiente forma : [b,a] = butter(N,Wc,’s’) 3
  4. 4. Este comando crea un filtro de Butterworth continuo paso bajo de orden N con unafrecuencia de corte Wc rad./seg. y devuelve en b y en a los coeficientes (en ordendescendente de potencias de s) asociados al numerador y denominador de la función detransferencia resultante. Por ejemplo, si deseamos diseñar un filtro de Butterworth de segundo orden yfrecuencia de corte 1 rad/seg, el comando sería : » [b,a]=butter(2,1,s) b = 0 0 1 a = 1.0000 1.4142 1.0000Es posible también diseñar filtros de Butterworth paso alto, pasa banda y rechazabanda :• Paso Alto : [b,a] = butter(N,Wc,’high’,’s’)• Pasa Banda : [b,a] = butter(N, Wc,’s’) con Wc=[w1,w2], deja pasar frecuencias comprendidas entre w1 y w2.• Rechaza Banda : [b,a] = butter(N,Wc,’stop’,’s’) con Wc=[w1,w2], rechaza frecuencias comprendidas entre w1 y w2.2.2.- Diseño de filtros de Chebyshev.Para diseñar un filtro de Chebyshev continuo paso bajo utilizamos : [b,a] = cheby1(N,R,Wc,’s’)Con dicho comado se calcula un filtro de Chebyshev de orden N, con una oscilaciónmáxima de R decibelios en la banda de paso y frecuencia de corte Wc rad./seg.,obteniendo en b y en a el numerador y denominador de la función de transferenciaasociada. De la misma forma podemos diseñar filtros de Chebyshev paso alto, pasabanda y elimina banda de la siguiente forma :• Paso Alto : [b,a] = cheby1(N,R,Wc,’high’,’s’) 4
  5. 5. • Pasa Banda : [b,a] = cheby1(N,R,Wc,’s’) con Wc=[w1,w2], deja pasar frecuencias comprendidas entre w1 y w2.• Rechaza Banda : [b,a] = chevy1(N,R,Wc,’stop’,’s’) con Wc=[w1,w2], rechaza frecuencias comprendidas entre w1 y w2.2.3.- Diseño de filtros de Bessel.Para diseñar un filtro de Bessel continuo paso bajo utilizamos : [b,a] = besself(N,Wc)Con este comando se calcula un filtro de Bessel continuo paso bajo de orden N yfrecuencia de corte Wc rad./seg., obteniendo en b y en a el numerador y denominadorde la función de transferencia del filtro calculado. Para calcular los restantes :• Paso Alto : [b,a] = besself(N,Wc,’high’)• Pasa Banda : [b,a] = besself(N,Wc) con Wc=[w1,w2], deja pasar frecuencias comprendidas entre w1 y w2.• Rechaza Banda : [b,a] = besself(N,Wc,’stop’) con Wc=[w1,w2], rechaza frecuencias comprendidas entre w1 y w2.Para más información tanto de estas funciones como de las restantes del SignalProcessing Toolbox se puede utilizar la ayuda en línea de Matlab (help signal o helpcomando).3.- Realización de la práctica.Para realizar la práctica es necesario crear un esquema Simulink en el que se van aprobar por simulación los filtros que se diseñen. Este esquema es el siguiente : 5
  6. 6. senyal To Workspace2 s ruido To Workspace1 senyal + Filtro s filtrada + Sum To Workspace ruidoComo vemos, se dispone de dos generadores de señal, uno que proporciona la señalpropiamente dicha (p.e. senoidal de frecuencia 2 rad./seg. y amplitud 1) y otro quegenera un ruido (p.e. ruido de frecuencia 200 rad./seg. y amplitud 0.3) que se superponea la señal original. Esta señal con ruido (salida del sumador) es la entrada al filtro queno es más que una función de transferencia continua con el numerador y eldenominador del filtro calculado. Se han añadido también variables del espacio detrabajo de Matlab para recoger los resultados obtenidos.Se pide :1.- Diseñar filtros paso bajo de Butterworth, Chebyshev y Bessel de distintos órdenes(p.e. N=2,4,8) que atenúe el ruido de la red eléctrica (50 Hz). Obtener sus diagramas deBode y simular el sistema anterior comentando los resultados obtenidos (para el filtrode Chebyshev probar también con distinta amplitud máxima de oscilación en la bandade paso).2.- Diseñar un filtro de Butterworth pasa banda que elimine ruidos entre 8 y 12 Hz.Comentar el diagrama de Bode y el resultado de la simulación obtenida. 6
  7. 7. PRÁCTICA 1: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de ANÁLISIS Y DISEÑO DE FILTROS CONTINUOS Sistemas 1.1. Introducción. En principio, en esta práctica se pretendía introducir al alumno en el diseño defiltros de Butterworth, Chebyshev y Bessel, aunque por recomendaciones del profesorRafael Puerto sólo estudiaremos los dos primeros. Para su análisis es necesario elestudio de las características de los mismos por medio de sus respectivos Diagramasde bode. Otro de los objetivos de esta práctica reside en la simulación de cada filtrodiseñado. De hecho, se experimentará con cada uno de ellos bajo simulación paradiversos valores de frecuencias. Efectivamente, para realizar la simulación, esnecesario confeccionar un esquema Simulink como el de la figura siguiente, dondeensayaremos los filtros diseñados: Figura 1.1: Imagen sin filtrar. 1.2. Diseño de filtros pasa bajo. Se van a diseñar filtros de Butterworth, Chebyshev y Bessel de distintosórdenes (N = 2,4,8), que atenúen el ruido de una red eléctrica de 50 Hz. A pesar de quedeban trabajar para atenuar un ruido de 50 Hz, no se diseñarán para tal frecuencia. Si deseamos una verdaderamente labor eficiente de los filtros, deberándiseñarse para una frecuencia de corte de 40 Hz. Puesto que como trabajaremos afrecuencias de 2 rad/s, la salida no se verá alterada debido a efectos de aliasing uotros. A continuación, intentaremos responder a la siguiente pregunta:1.- Diseñar filtros paso bajo de Butterworth, Chebyshev y Bessel de distintos órdenes(p.e. N=2,4,8) que atenúe el ruido de la red eléctrica (50 Hz). Obtener sus diagramasde Bode y simular el sistema anterior comentando los resultados obtenidos (para elfiltro de Chebyshev probar también con distinta amplitud máxima de oscilación en labanda de paso). Jaime Martínez Verdú 1
  8. 8. PRÁCTICA 1: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de ANÁLISIS Y DISEÑO DE FILTROS CONTINUOS Sistemas 1.2.1. Filtro Butterworth. Diagrama de Bode. Para el diseño del filtro de tipo Butterworth se hanempleado las siguientes líneas de código: >> [num1,den1a]=butter(2,40*2*pi,s) num1 = 1.0e+004 * 0 0 6.31654681669719 den1 = 1.0e+004 * 0.00010000000000 0.03554306350527 6.31654681669719 >> tf(num1,den1) Transfer function: 6.317e004 ------------------------- s^2 + 355.4 s + 6.317e004 >> [num1,den2]=butter(4,40*2*pi,s) num2 = 1.0e+009 * 0 0 0 0 3.98987636875273 den2 = 1.0e+009 * 0.00000000100000 0.00000065675018 0.00021566039809 0.04148393245613 3.98987636875273 >> tf(num2,den2) Transfer function: 3.99e009 -------------------------------------------------------- s^4 + 656.8 s^3 + 2.157e005 s^2 + 4.148e007 s + 3.99e009 >> [num3,den3]=butter(8,40*2*pi,s) num3 = 1.0e+019 * Columns 1 through 5 0 0 0 0 0 Columns 6 through 9 0 0 0 1.59191134379316 den3 = 1.0e+019 * Columns 1 through 5 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000008 0.00000000003468 0.00000001024934 Columns 6 through 9 0.00000219065622 0.00033108363240 0.03246708456760 1.59191134379316 >> tf(num3,den3) Transfer function: 1.592e019 ---------------------------------------------------------------------------------------- s^8 + 1288 s^7 + 8.298e005 s^6 + 3.468e008 s^5 + 1.025e011 s^4 + 2.191e013 s^3 + 3.311e015 s^2 + 3.247e017 s + 1.592e019 Jaime Martínez Verdú 2
  9. 9. PRÁCTICA 1: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de ANÁLISIS Y DISEÑO DE FILTROS CONTINUOS Sistemas A continuación mostraremos los diagramas de bode de un filtro Butterworthpara N = 2 azul, 4 rojo y 8 verde. Figura 1.2: Diagrama de Bode para el filtro de Butterworth. Como se puede observar en el diagrama de Bode, conforme aumentamos elorden del polinomio mejor y más fuertemente va a atenuarse el ruido de 50 Hz. Dehecho, para un orden N = 2 el ruido se atenúa en 5 decibelios, para N = 4 el ruido seatenúa en 8 decibelios, y para N = 8 el ruido se atenúa en 16 decibelios. Jaime Martínez Verdú 3
  10. 10. PRÁCTICA 1: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de ANÁLISIS Y DISEÑO DE FILTROS CONTINUOS SistemasSimulación. Figura 1.3.A: Salida simulada para un filtro de orden 2. Figura 1.3.B: Salida simulada para un filtro de orden 4. Jaime Martínez Verdú 4
  11. 11. PRÁCTICA 1: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de ANÁLISIS Y DISEÑO DE FILTROS CONTINUOS Sistemas Figura 1.3.C: Salida simulada para un filtro de orden 8. Si nos fijamos en las tres anteriores gráficas 1.3.A, 1.3.B y 1.3.C podemoscomprobar cómo el rizado de la señal filtrada (señal de color más intenso) vadisminuyendo conforme aumenta el orden del filtro de Butterworth. En efecto, podríamos decir que la amplitud del rizado del ruido que persiste enla señal filtrada es inversamente proporcional al orden del filtro de Butterworth. Portanto, podemos afirmar que si aumenta el orden N, la salida de la señal filtrada vacorrigiéndose. De un modo u otro, la simulación ha venido a ratificar lo que ya se habíaobservado en el diagrama de Bode. Jaime Martínez Verdú 5
  12. 12. PRÁCTICA 1: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de ANÁLISIS Y DISEÑO DE FILTROS CONTINUOS Sistemas 1.2.2. Filtro de Chebyshev. Diagrama de Bode. Para el diseño del filtro de tipo Chebyshev se han empleadolas siguientes líneas de código: >> [num1,den1] = cheby1(2,0.1,40*2*pi,s) num1 = 1.0e+005 * 0 0 2.06936491857243 den1 = 1.0e+005 * 0.00001000000000 0.00596238156135 2.09332703499408 >> tf(num1,den1) Transfer function: 2.069e005 ------------------------- s^2 + 596.2 s + 2.093e005 >> [num2,den2] = cheby1(4,0.1,40*2*pi,s) num2 = 1.0e+009 * 0 0 0 0 3.26781009724838 den2 = 1.0e+009 * 0.00000000100000 0.00000045333748 0.00016592290165 0.03215525353257 3.30564955479950 >> tf(num2,den2) Transfer function: 3.268e009 --------------------------------------------------------- s^4 + 453.3 s^3 + 1.659e005 s^2 + 3.216e007 s + 3.306e009 >> [num3,den3] = cheby1(8,0.1,40*2*pi,s) num3 = 1.0e+017 * Columns 1 through 5 0 0 0 0 0 Columns 6 through 9 0 0 0 8.14884892786441 den3 = 1.0e+017 * Columns 1 through 5 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000216 0.00000000056591 0.00000013639199 Columns 6 through 9 0.00002165211593 0.00268813766864 0.20676213291652 8.24320815129543 >> tf(num3,den3) Transfer function: 8.149e017 ---------------------------------------------------------------------------------------- s^8 + 422.5 s^7 + 2.156e005 s^6 + 5.659e007 s^5 + 1.364e010 s^4 + 2.165e012 s^3 + 2.688e014 s^2 + 2.068e016 s + 8.243e017 Jaime Martínez Verdú 6
  13. 13. PRÁCTICA 1: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de ANÁLISIS Y DISEÑO DE FILTROS CONTINUOS Sistemas A continuación mostraremos los diagramas de bode de un filtro Chebyshevpara N = 2 azul, 4 rojo y 8 verde y una amplitud máxima de oscilación de 0.1 dB. Figura 1.4.A: Diagrama de Bode para el filtro de Chebyshev de 0.1 dB. En la siguiente figura veremos los diagramas de bode de un filtro Chebyshevpara N = 2 azul, 4 rojo y 8 verde y una amplitud máxima de oscilación de 1 dB. Figura 1.4.B: Diagrama de Bode para el filtro de Chebyshev de 1 dB. Jaime Martínez Verdú 7
  14. 14. PRÁCTICA 1: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de ANÁLISIS Y DISEÑO DE FILTROS CONTINUOS Sistemas En la siguiente gráfica se observa los diagramas de bode de un filtro Chebyshevpara N = 2 azul, 4 rojo y 8 verde y una amplitud máxima de oscilación de 5 dB. Figura 1.4.C: Diagrama de Bode para el filtro de Chebyshev de 5 dB. A continuación, se observa los diagramas de bode de un filtro Chebyshev N = 2azul, 4 rojo y 8 verde y una amplitud máxima de oscilación de 10 dB. Figura 1.4.D: Diagrama de Bode para el filtro de Chebyshev de 10 dB. Jaime Martínez Verdú 8
  15. 15. PRÁCTICA 1: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de ANÁLISIS Y DISEÑO DE FILTROS CONTINUOS Sistemas Tal y como se observa en las figuras, a medida que aumentamos el valor de laamplitud máxima de oscilación, las oscilaciones aumentan antes de haber llegado lafrecuencia ωc puesto que, con esto, estamos permitiendo mayor amplitud de laoscilación. Por lo contrario, y a diferencia con los filtros de Butterworth obtenidos en elapartado anterior, al aumentar la amplitud máxima de oscilación se atenúa másenérgicamente el ruido de 50 Hz. En efecto, para un orden de N = 2 y una amplitud máxima de oscilación igual a0.1 dB se atenúa el ruido en 0.5 dB mientras que, para una amplitud máxima deoscilación de 1 dB, se atenúa el ruido en 3.5 dB. En efecto, se tiene que para una amplitud máxima de oscilación elevada (10 dB)se atenúa la señal a frecuencias bajas (10 dB). Simulación. En páginas posteriores, vienen representadas las simulaciones de los filtrosdiseñados. Tal y como el lector puede comprobar, existe una relación entre el ordendel filtro y la atenuación del ruido puesto que con el aumento de N la salida de la señalfiltrada mejora su aspecto. Por otro lado, si acrecentamos la amplitud máxima de oscilación el ruido seatenuará más potentemente. No obstante, como contrapunto tenemos que elaumento de la amplitud máxima de oscilación se traduce en una modificación de laamplitud de la señal de salida. El criterio que deberíamos seguir para determinar qué valores asignarle alorden del polinomio N y a la amplitud máxima de oscilación dependen de lasutilizaciones que se quieran dar al filtro (sobre todo para el segundo parámetro). De hecho, si fuera fundamental no modificar la amplitud la señal, deberíaescogerse una amplitud máxima de oscilación de pequeño valor. Por otro lado, si lofundamental fuera eliminar el ruido acoplado a la señal, sería necesario escoger unvalor de la amplitud máxima de oscilación elevada. Jaime Martínez Verdú 9
  16. 16. PRÁCTICA 1: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de ANÁLISIS Y DISEÑO DE FILTROS CONTINUOS SistemasFigura 1.5.A: Salida simulada para un filtro de orden 2 y oscilación máxima de 0.1 dB.Figura 1.5.B: Salida simulada para un filtro de orden 4 y oscilación máxima de 0.1 dB. Jaime Martínez Verdú 10
  17. 17. PRÁCTICA 1: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de ANÁLISIS Y DISEÑO DE FILTROS CONTINUOS SistemasFigura 1.5.C: Salida simulada para un filtro de orden 8 y oscilación máxima de 0.1 dB.Figura 1.6.A: Salida simulada para un filtro de orden 2 y oscilación máxima de 1 dB. Jaime Martínez Verdú 11
  18. 18. PRÁCTICA 1: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de ANÁLISIS Y DISEÑO DE FILTROS CONTINUOS Sistemas Figura 1.6.B: Salida simulada para un filtro de orden 4 y oscilación máxima de 1 dB. Figura 1.6.C: Salida simulada para un filtro de orden 8 y oscilación máxima de 1 dB. Rafael Puerto nos dijo que no era necesario diseñar el filtro de tipo Bessel porlo que pasaremos directamente al segundo apartado de la práctica. Jaime Martínez Verdú 12
  19. 19. PRÁCTICA 1: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de ANÁLISIS Y DISEÑO DE FILTROS CONTINUOS Sistemas2.- Diseñar un filtro de Butterworth pasa banda que elimine ruidos entre 8 y 12 Hz.Comentar el diagrama de Bode y el resultado de la simulación obtenida. Diagrama de Bode. Para el diseño del filtro de tipo Chebyshev se han empleadolas siguientes líneas de código: >> Wc=[8*pi*2,12*pi*2] Wc = 50.26548245743669 75.39822368615504 >> [b,a]=butter(2,Wc,stop,s); >> [d,c]=butter(4,Wc,stop,s); >> [f,e]=butter(8,Wc,stop,s); A continuación mostraremos los diagramas de bode de un filtro Butterworthpara N = 2 azul, 4 rojo y 8 verde. Figura 1.7: Diagrama de Bode para el filtro de Butterworth rechaza badno. Como se puede observar en el diagrama de Bode, conforme aumenta N másideal parece la respuesta en frecuencia y mejor se eliminaría el ruido. Jaime Martínez Verdú 13
  20. 20. PRÁCTICA 1: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de ANÁLISIS Y DISEÑO DE FILTROS CONTINUOS Sistemas Simulación. Para la simulación se han introducido 3 ruidos, uno a 8 Hz, otro a 10 Hz y unúltimo a 12 Hz; y la señal original posee una frecuencia de 2 rad/s. Figura 1.8.A: Salida simulada para un filtro de orden 2. Figura 1.6.B: Salida simulada para un filtro de orden 4. Jaime Martínez Verdú 14
  21. 21. PRÁCTICA 1: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de ANÁLISIS Y DISEÑO DE FILTROS CONTINUOS Sistemas Figura 1.6.C: Salida simulada para un filtro de orden 8 y oscilación máxima de 1 dB. Obviamente, a medida que vamos aumentando el orden del filtro, se produceuna disminución progresiva del ruido acoplado a la señal. Jaime Martínez Verdú 15
  22. 22. MODELADO E IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS 5º INGENIERÍA INDUSTRIAL PRÁCTICA 2 Filtrado de Señales: Discretización de filtros analógicos Curso 2004 - 2005OBJETIVOS• Diseño de filtros digitales por discretización de los correspondientes analógicos mediante la aplicación de diversas técnicas, atendiendo a la problemática existente en cada uno de los casos.• Comparación de las características en el dominio frecuencial de los filtros analógicos y sus correspondientes discretos en virtud de diferentes parámetros.1.- Discretización de sistemas continuos con Matlab. El paquete Matlab posee funciones que permiten discretizar un sistema continuo mediantedistintos métodos de discretización. El comando que realiza dicha tarea es c2dm. Dicho comando tiene lasiguiente sintaxis : [numd,dend] = c2dm(num,den,Ts,method)de esta forma se convierte la función de transferencia continua G(s)=num(s)/den(s) en la función detransferencia discreta G(z)=numd(z)/dend(z) a un periodo de muestreo Ts utilizando el método ‘method’,donde num, den, numd y dend son los vectores cuyos elementos son los coeficientes en ordendecreciente de los polinomios del numerador y denominador de las funciones de transferencia continua ydiscreta respectivamente.Los distintos métodos de discretización que podemos utilizar son los siguientes :• zoh : discretiza asumiendo que existe un retenedor de orden cero a la entrada.• foh : discretiza asumiendo que existe un retenedor de orden uno a la entrada.• tustin : discretiza utilizando la transformación bilineal.• prewarp : discretiza utilizando la transformación bilineal con compensación de frecuencias (prewarping). En este caso es necesario especificar la frecuencia de corte y el comando quedaría [numd,dend]=c2dm(num,den,Ts,prewarp,Wc), donde Wc es la frecuenca de corte en rad./seg.
  23. 23. • matched : discretiza utilizando el método de asiganación de polos y ceros. s + 10Por ejemplo, si queremos discretizar el filtro continuo G ( s) = con un periodo de muestreo de s+20.1 seg. por el método de emparejamiento de polos y ceros, se haría : » [numd,dend]=c2dm([1 10],[1 2],0.1,matched) numd = 1.4338 -0.5275 dend = 1.0000 -0.81872.- Realización de la práctica. Supongamos que se dispone de un sistema de control que presenta una perturbación de unos 10Hz. y un ruido superpuesto de la frecuencia de la red (50 Hz.). Se pide:1) Diseñar dos filtros analógicos de Butterworth de cuarto orden que atenuen cada uno de los efectos indeseables antes expuestos. Considerar la atenuación del ruido de red para frecuencias mayores de 40 Hz. y un rechazo de banda entre 8 y 12 Hz.2) Obtener el filtro digital correspondiente, considerando las siguientes técnicas de discretización: • Bilineal • Bilineal con precompensación de frecuencias • Emparejamiento de polos y ceros.3) Analizar mediante diagramas de bode el efecto del periodo de muestreo seleccionado, repitiendo el apartado anterior para otro valor de dicho periodo (tomar un periodo correcto y otro incorrecto).4) Comprobar el funcionamiento de los filtros diseñados con Simulink. 2
  24. 24. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas 2.1. Introducción. En esta segunda práctica de Identificación de sistemas, se instruirá al alumnoen la obtención de filtros digitales por discretización de sus semejantes analógicos.Para ello, emplearemos las diversas técnicas de discretización aprendidas en clase,haciendo hincapié a las ventajas y desventajas de cada método. También se tratará de realizar la comparación de las características en eldominio frecuencial de los filtros analógicos y sus convenientes discretos en virtud dediferentes parámetros. 2.2. Diseño de un filtro analógico (Realización de la práctica: Apartado 1). Tal y como viene descrito en el enunciado, se considera un sistema de controlque presenta una perturbación de 10 Hz y un ruido superpuesto de la frecuencia de lared (50 Hz). Como parámetro fundamental del filtro pasa bajo deseado se va a seleccionaruna frecuencia de corte de ωc = 40 Hz (recomendado por el propio profesor RafaelPuerto) que atenuará mejor el ruido de 50 Hz. Para realizar el filtro pasa bajo se va a utilizar el comando butter() de MatLab©.De esta forma, se obtiene el siguiente filtro de orden cuarto: >> [numc1,denc1]=butter(4,40*2*pi,s) numc1 = 1.0e+009 * 0 0 0 0 3.98987636875273 denc1 = 1.0e+009 * 0.00000000100000 0.00000065675018 0.00021566039809 0.04148393245613 3.98987636875273 >> tf(numc1, denc1) Transfer function: 3.99e009 ---------------------------------------------------------------------- s^4 + 656.8 s^3 + 2.157e005 s^2 + 4.148e007 s + 3.99e009 3.99·10 9 FPaso ( s ) = Bajo s 4 + 656.8s 3 + 2.157 ⋅ 10 5 s 2 + 4.148 ⋅ 10 7 s + 3.99·10 9 Jaime Martínez Verdú 1
  25. 25. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas Figura 2.1: Diagrama de Bode del filtro paso bajo continuo. De igual modo, podemos calcular el filtro de Butterworth necesario para unrechazo de banda entre 8 y 12 Hz: >> [numc2,denc2]=butter(4,[8*2*pi,12*2*pi],stop,s) numc2 = 1.0e+014 * 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0022 0.0000 2.0631 denc2 = 1.0e+014 * 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0025 0.0358 2.0631 >> tf(numc2,denc2) Transfer function: s^8 + 1.516e004 s^6 + 8.618e007 s^4 + 2.177e011 s^2 + 2.063e014 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- s^8 + 65.68 s^7 + 1.732e004 s^6 + 7.882e005 s^5 + 1.029e008 s^4 + 2.987e009 s^3 + 2.487e011 s^2 + 3.575e012 s + 2.063e014 s 8 + 1.516 ⋅ 10 4 s 6 + 8.618 ⋅ 10 7 s 4 + 2.177 ⋅ 1011 s 2 + 2.063·1014FRechaza ( s ) = Banda s 8 + 65.680 s 7 + 1.732 ⋅ 10 4 s 6 + 7.882 ⋅ 10 5 s 5 + 1.029 ⋅ 10 8 s 4 + 2.987 ⋅ 10 9 s 3 + + 2.487 ⋅ 1011 s 2 + 3.575 ⋅ 1012 s + 2.063·1014 Jaime Martínez Verdú 2
  26. 26. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas Figura 2.2: Diagrama de Bode del filtro rechaza banda continuo. Para la simulación se va a utilizar el siguiente diagrama de bloques: Figura 2.3: Esquema Simulink utilizado. En esta figura se puede observar que partimos de una señal de entrada de 2rad/seg y que, a esta, se le suman dos ruidos senoidales: • Uno a 10 Hz y con una amplitud de 0.3. • Otro a 50 Hz y una amplitud de 0.3. Jaime Martínez Verdú 3
  27. 27. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas 2.3. Diseño de un filtro digital (Realización de la práctica: Apartado 2-3-4). A. Diseño de un filtro digital con transformación bilineal. En este punto de la práctica se va a discretizar sendos filtros obtenidos en elapartado anterior empleando el método de la transformación bilineal. NOTA: La transformación bilineal. Dado que en el plano z, la frecuencia aparece en la forma z = ejωT, si se intenta trazar la respuesta en frecuencia del plano z, desaparece la simplicidad de las trazas logarítmicas. La dificultad, no obstante, se puede soslayar si se utiliza la siguiente transformación bilineal: 1 ⋯ → → 2 2 2 1! ⋯ ! 2 2 2 1 2 1!2 donde T es el período de muestreo involucrado en el sistema de control de tiempo discreto. Utilizando esta transformación se hace corresponder el interior del círculo unitario en el plano z con el semiplano izquierdo del plano ω. Plano s Plano z Plano ω Im Im Im Re Re Re Figura 2.4: Diagramas que muestran las correspondencias del plano s con el plano z y del plano z con el plano ω. De este modo, se consigue que el plano ω y el plano s sean similares sobre las regiones de interés del plano s (las bajas frecuencias es el rango donde la transformación bilineal es realmente provechosa). Dicho de otra manera, las actuaciones o características del sistema discreto dentro del círculo unitario se pueden estudiar considerando el semiplano izquierdo del plano ω. Así, para representar según el diagrama de Bode la respuesta en frecuencia de un sistema discreto, en primer lugar, se realizará la transformación bilineal obteniendo BG(ω) para, a continuación, representar BG(jv) recurrir a las aproximaciones estudiadas para sistemas continuos. Jaime Martínez Verdú 4
  28. 28. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas NOTA: El teorema de Nyquist-Shannon. El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, también conocido como teorema de muestreo de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon o simplemente criterio de Nyquist, es un teorema fundamental de la teoría de la información, especialmente útil en las telecomunicaciones. Este teorema fue formulado en forma de conjetura por primera vez por Harry Nyquist en 1928 ("Certain topics in telegraph transmission theory"), y fue probado formalmente por Claude E. Shannon en 1949 ("Communication in the presence of noise"). Afirma que cuando se muestrea una señal, la frecuencia de muestreo debe ser mayor que dos veces el ancho de banda de la señal de entrada, para poder reconstruir la señal original de forma exacta a partir de sus muestras. Si B es el ancho de banda de la señal y Fm es la frecuencia de muestreo, el teorema puede expresarse como Fm > B. Si el criterio no es satisfecho, existirán frecuencias cuyo muestreo coincide con otras (el llamado aliasing). Está demostrado rigurosamente que para evitar el aliasing es necesario asegurarse de que en la señal analógica a muestrear con una frecuencia s, no existen componentes sinusoidales de frecuencia mayor a 2s. Esta condición es llamada el criterio de Nyquist, y es equivalente a decir que la frecuencia de muestreo s debe ser al menos dos veces mayor que el ancho de banda de la señal. El Teorema de Nyquist indica que la frecuencia de muestreo mínima que tenemos que utilizar debe ser mayor que 2·fmax, donde fmax es la frecuencia máxima de la señal compleja. Si utilizamos esa frecuencia de muestreo, podremos reproducir posteriormente la señal a partir de las muestras tomadas. Si utilizáramos una frecuencia más alta que la que nos dice Nyquist obtendríamos una representación más exacta de la señal de entrada. Puesto que debe verificarse el teorema de shannon-Nyquist se debe escoger unperiodo de muestreo ωs superior a 2·ωn. En el caso de escoger un valor por debajo delrecomendado, se produciría un indeseado solapamiento en frecuencia. Para evitar un posible solapamiento, es recomendable escoger una ωs igual a10· ωn, de modo que aseguremos con total certeza que no se origine un solapamientode frecuencias. En efecto, ωn = 2·π·50 = 314.1593 ωs = 10·ωn = 3141.593 Ts = 2·π/ ws = 0.002 s Finalmente, queda discretizar el sistema utilizando el comando de MatLab©c2dm. De esta forma se obtiene la siguiente función de transferencia para el filtro: 0.0021 z 4 + 0.0083 z 3 + 0.0125 z 2 + 0.0083 z + 0.0021 FPaso ( z ) = Bajo z 4 - 2.7199 z 3 + 2.9160 z 2 - 1.4357 z + 0.2719 0.94 z 8 - 7.44 z 7 + 25.89 z 6 - 51.61 z 5 + 64.44 z 4 - 51.61 z 3 + 25.89 z 2 - 7.44 z + 0.94FRechaza ( z ) = Banda z 8 - 7.81 z 7 + 26.74 z 6 - 52.45 z 5 + 64.42 z 4 - 50.76 z 3 + 25.05 z 2 - 7.08 z + 0.88 Jaime Martínez Verdú 5
  29. 29. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas >> [numd1,dend1] = c2dm(numc1,denc1,0.002,tustin) numd1 = 0.0021 0.0083 0.0125 0.0083 0.0021 dend1 = 1.0000 -2.7189 2.9160 -1.4357 0.2719 >> [numd2,dend2] = c2dm(numc2,denc2,0.002,tustin) numd2 = 0.9367 -7.4368 25.8886 -51.6100 64.4431 -51.6100 25.8886 -7.4368 0.9367 dend2 = 1.0000 -7.8098 26.7433 -52.4460 64.4233 -50.7581 25.0497 -7.0798 0.8774 >> tf(numd1,dend1,0.002) Transfer function: 0.00208 z^4 + 0.008321 z^3 + 0.01248 z^2 + 0.008321 z + 0.00208 ----------------------------------------------------------------------------------------- z^4 - 2.719 z^3 + 2.916 z^2 - 1.436 z + 0.2719 Sampling time: 0.002 >> tf(numd2,dend2,0.002) Transfer function: 0.9367 z^8 - 7.437 z^7 + 25.89 z^6 - 51.61 z^5 + 64.44 z^4 - 51.61 z^3 + 25.89 z^2 - 7.437 z + 0.9367 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- z^8 - 7.81 z^7 + 26.74 z^6 - 52.45 z^5 + 64.42 z^4 - 50.76 z^3 + 25.05 z^2 - 7.08 z + 0.8774 Sampling time: 0.002 NOTA: El teorema de Nyquist-Shannon. El Sol tiene un movimiento aparente de este a oeste en la bóveda celeste, con 24horas entre cada amanecer. Si tomásemos una fotografía del cielo cada 23 horas, el solparecería moverse de oeste a este, con 24·23=552 horas entre cada amanecer. El mismofenómeno causa que las aspas de un ventilador parezcan a veces girar en el sentido inversodel que en realidad lo hacen, cuando se les filma o cuando son iluminadas por una fuentede luz parpadeante, tal como una lámpara estroboscópica, un tubo de rayos catódicos ouna lámpara fluorescente. Cuando se obtienen muestras periódicas de una señal sinusoidal,puede ocurrir que se obtengan las mismas muestras que se obtendrían de una señalsinusoidal igualmente pero con frecuencia más baja. Específicamente, si una sinusoide defrecuencia f Hz es muestreada s veces por segundo, y s ≤ 2·f, entonces las muestrasresultantes también serán compatibles con una sinusoide de frecuencia fm - f, donde fm esla frecuencia de muestreo. En la jerga inglesa de procesamiento de señales, cada una de lassinusoides se convierte en un "alias" para la otra. Figura 2.5: Dos sinoidales diferentes que producen las mismas muestras. Por tanto, si se muestrea a la frecuencia s una señal analógica que contiene las dosfrecuencias, la señal no podrá ser reconstruida con exactitud. Jaime Martínez Verdú 6
  30. 30. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas Figura 2.6: Diagrama de Bode del filtro paso bajo. Figura 2.7: Diagrama de Bode del filtro rechaza banda. Tal y como podemos observar, el ruido de 50 Hz se atenúa en 9,4 dB y a unafrecuencia de 40 Hz se atenúa en 3.45 dB, lo que quiere decir que ha habido uncorrimiento de frecuencias al realizar la transformación. Jaime Martínez Verdú 7
  31. 31. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas Figura 2.8: Magnitud del filtro Pasa Bajo.Si se simula se tiene la siguiente salida: Figura 2.9: Señal con ruido y señal filtrada.Si se comparan ambas gráficas podemos observar claras diferencias. Jaime Martínez Verdú 8
  32. 32. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas B. Diseño de un filtro digital con transformación bilineal con precompensación. Procediendo de forma similar al apartado anterior, discretizaremos el filtrocontinuao utilizando un periodo de muestreo de 0.002 seg y, con el comando de c2dmde MatLab© (utilizando como comando del método ‘prewarp’) se tienen los siguienteslos filtros discretizados: 0.002235 z 4 + 0.00894 z 3 + 0.01341 z 2 + 0.00894 z + 0.002235 FPaso ( z ) = Bajo z 4 - 2.693 z 3 + 2.867 z 2 - 1.403 z + 0.2645 0.94 z 8 - 7.44 z 7 + 25.89 z 6 - 51.60 z 5 + 64.43 z 4 - 51.60 z 3 + 25.89 z 2 - 7.44 z + 0.94FRechaza ( z ) = Banda z 8 - 7.81 z 7 + 26.74 z 6 - 52.44 z 5 + 64.41 z 4 - 50.75 z 3 + 25.05 z 2 - 7.08 z + 0.88 >> [numd1,dend1] = c2dm(numc1,denc1,0.002,prewarp,2*pi*40) numd1 = 0.0022 0.0089 0.0134 0.0089 0.0022 dend1 = 1.0000 -2.6926 2.8674 -1.4035 0.2645 >> [numd2,dend2] = c2dm(numc2,denc2,0.002,prewarp,2*pi*(8+12)/2) numd2 = 0.9366 -7.4360 25.8855 -51.6034 64.4346 -51.6034 25.8855 -7.4360 0.9366 dend2 = 1.0000 -7.8094 26.7413 -52.4404 64.4148 -50.7505 25.0456 -7.0785 0.8772 >> tf(numd1,dend1,0.002) Transfer function: 0.002235 z^4 + 0.00894 z^3 + 0.01341 z^2 + 0.00894 z + 0.002235 --------------------------------------------------------------- z^4 - 2.693 z^3 + 2.867 z^2 - 1.403 z + 0.2645 Sampling time: 0.002 Jaime Martínez Verdú 9
  33. 33. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS SistemasEl diagrama de Bode del filtro es el siguiente: Figura 2.10: Diagrama de Bode del filtro paso bajo. Figura 2.11: Diagrama de Bode del filtro rechaza banda. Jaime Martínez Verdú 10
  34. 34. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas Para 40 Hz se tiene una atenuación de la señal de 3 dB y para 50 Hz se tiene unaatenuación de la señal de 8.75 dB, de esta forma se elimina el corrimiento defrecuencias en el instante en que la frecuencia vale 40 Hz. Figura 2.12: Magnitud del filtro Pasa Bajo. Si se simula se tiene la siguiente salida: Figura 2.13: Señal con ruido y señal filtrada. Jaime Martínez Verdú 11
  35. 35. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas C. Diseño de un filtro digital mediante emparejamiento de polos y ceros. Procediendo de forma similar al apartado anterior, discretizaremos el filtrocontinuao utilizando un periodo de muestreo de 0.002 seg y, con el comando de c2dmde MatLab© (utilizando como comando del método ‘matched’) se tienen los siguienteslos filtros discretizados: 0.0041 z 3 + 0.0124 z 2 + 0.0124 z + 0.0041 FPaso ( z ) = Bajo z 4 - 2.71 z 3 + 2.89 z 2 - 1.42 z + 0.27 0.94 z 8 - 7.44 z 7 + 25.88 z 6 - 51.59 z 5 + 64.42 z 4 - 51.59 z 3 + 25.88 z 2 - 7.44 z + 0.94FRechaza ( z ) = Banda z 8 - 7.81 z 7 + 26.74 z 6 - 52.43 z 5 + 64.40 z 4 - 50.74 z 3 + 25.04 z 2 - 7.08 z + 0.88 >> [numd1,dend1] = c2dm(numc1,denc1,0.002,matched) numd1 = 0 0.0041 0.0124 0.0124 0.0041 dend1 = 1.0000 -2.7091 2.8959 -1.4226 0.2689 >> [numd2,dend2] = c2dm(numc2,denc2,0.002,matched) numd2 = 0.9364 -7.4348 25.8812 -51.5948 64.4239 -51.5948 25.8812 -7.4348 0.9364 dend2 = 1.0000 -7.8091 26.7390 -52.4338 64.4040 -50.7398 25.0393 -7.0765 0.8769 >> tf(numd1,dend1,0.002) Transfer function: 0.004138 z^3 + 0.01241 z^2 + 0.01241 z + 0.004138 ------------------------------------------------- z^4 - 2.709 z^3 + 2.896 z^2 - 1.423 z + 0.2689 Sampling time: 0.002 >> tf(numd2,dend2,0.002) Transfer function: 0.9364 z^8 - 7.435 z^7 + 25.88 z^6 - 51.59 z^5 + 64.42 z^4 - 51.59 z^3 + 25.88 z^2 - 7.435 z + 0.9364 --------------------------------------------------------------------------------------------------- z^8 - 7.809 z^7 + 26.74 z^6 - 52.43 z^5 + 64.4 z^4 - 50.74 z^3 + 25.04 z^2 - 7.076 z + 0.8769 Sampling time: 0.002 Jaime Martínez Verdú 12
  36. 36. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS SistemasEl diagrama de Bode del filtro es el siguiente: Figura 2.14: Diagrama de Bode del filtro paso bajo. Figura 2.15: Diagrama de Bode del filtro rechaza banda. Jaime Martínez Verdú 13
  37. 37. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS SistemasSi se simula se tiene la siguiente salida: Figura 2.16: Señal con ruido y señal filtrada. Jaime Martínez Verdú 14
  38. 38. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas 2.4. Definir un Ts menor (Realización de la práctica: Apartado 3). A. Diseño de un filtro digital con transformación bilineal. A continuación, volveremos a discretizar pero, en este caso, emplearemos unperiodo de muestreo en el que no se cumpla el teorema de Nyquist-Shannon, porejemplo Ts = 0.02 segundos. Para este periodo de muestreo se tiene la siguientefunción de transferencia para el filtro: >> [numd1,dend1] = c2dm(numc1,denc1,0.02,tustin) numd1 = 0.3610 1.4441 2.1661 1.4441 0.3610 dend1 = 1.0000 2.0398 1.8301 0.7760 0.1304 >> [numd2,dend2] = c2dm(numc2,denc2,0.02,tustin) numd2 = 0.6224 -2.2424 5.5193 -8.5464 10.2033 -8.5464 5.5193 -2.2424 0.6224 dend2 = 1.0000 -3.1794 6.8684 -9.4102 9.9517 -7.4283 4.2792 -1.5598 0.3874 >> tf(numd1,dend1,0.02) Transfer function: 0.361 z^4 + 1.444 z^3 + 2.166 z^2 + 1.444 z + 0.361 --------------------------------------------------- z^4 + 2.04 z^3 + 1.83 z^2 + 0.776 z + 0.1304 Sampling time: 0.02 >> tf(numd2,dend2,0.02) Transfer function: 0.6224 z^8 - 2.242 z^7 + 5.519 z^6 - 8.546 z^5 + 10.2 z^4 - 8.546 z^3 + 5.519 z^2 - 2.242 z + 0.6224 --------------------------------------------------------------------------------------------------- z^8 - 3.179 z^7 + 6.868 z^6 - 9.41 z^5 + 9.952 z^4 - 7.428 z^3 + 4.279 z^2 - 1.56 z + 0.3874 Sampling time: 0.02 0.361 z 4 + 1.444 z 3 + 2.166 z 2 + 1.444 z + 0.361 FPaso ( z ) = Bajo z 4 + 2.04 z 3 + 1.83 z 2 + 0.78 z + 0.13 0.62 z 8 - 2.24 z 7 + 5.52 z 6 - 8.55 z 5 + 10.20 z 4 - 8.55 z 3 + 5.52 z 2 - 2.244 z + 0.62 FRechaza ( z ) = Banda z 8 - 3.18 z 7 + 6.87 z 6 - 9.41 z 5 + 9.95 z 4 - 7.43 z 3 + 4.28 z 2 - 1.56 z + 0.39 Jaime Martínez Verdú 15
  39. 39. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS SistemasEn las siguientes páginas vienen representados los diagramas de bode. Figura 2.17: Diagrama de Bode del filtro paso bajo. Figura 2.18: Diagrama de Bode del filtro rechaza banda. Jaime Martínez Verdú 16
  40. 40. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas Si se observa detenidamente el diagrama de Bode se ve que para w = 157 rad/sla señal se atenúa en 300 dB. Pero como se sabe que para ese periodo de muestreo seproduce aliasing, el diagrama obtenido no nos aporta información de interés. Figura 2.19: Señal con ruido y señal filtrada. Como se puede observar en la gráfica 2.18, para lo único que sirve el filtro espara retrasar la salida. Esto es debido a que se produce aliasing y el ruido no seatenúa. Jaime Martínez Verdú 17
  41. 41. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas B. Diseño de un filtro digital con transformación bilineal con precompensación. A continuación, volveremos a discretizar pero, en este caso, emplearemos unperiodo de muestreo en el que no se cumpla el teorema de Nyquist-Shannon, porejemplo Ts = 0.02 segundos. Para este periodo de muestreo se tiene la siguientefunción de transferencia para el filtro: >> [numd1,dend1] = c2dm(numc1,denc1,0.02,prewarp,2*pi*40) numd1 = 1.5466 6.1865 9.2798 6.1865 1.5466 dend1 = 1.0000 -6.0652 22.5765 -25.9669 33.2018 >> [numd2,dend2] = c2dm(numc2,denc2,0.02,prewarp,2*pi*(8+12)/2) numd2 = 0.6056 -1.5861 3.9802 -5.4382 6.8604 -5.4382 3.9802 -1.5861 0.6056 dend2 = 1.0000 -2.2938 4.9902 -6.0004 6.6457 -4.6745 3.0295 -1.0798 0.3668 >> tf(numd1,dend1,0.02) Transfer function: 1.547 z^4 + 6.187 z^3 + 9.28 z^2 + 6.187 z + 1.547 -------------------------------------------------- z^4 - 6.065 z^3 + 22.58 z^2 - 25.97 z + 33.2 Sampling time: 0.02 >> tf(numd2,dend2,0.02) Transfer function: 0.6056 z^8 - 1.586 z^7 + 3.98 z^6 - 5.438 z^5 + 6.86 z^4 - 5.438 z^3 + 3.98 z^2 - 1.586 z + 0.6056 -------------------------------------------------------------------------------------------------- z^8 - 2.294 z^7 + 4.99 z^6 - 6 z^5 + 6.646 z^4 - 4.675 z^3 + 3.03 z^2 - 1.08 z + 0.3668 Sampling time: 0.02 1.547 z 4 + 6.187 z 3 + 9.280 z 2 + 6.187 z + 1.547 FPaso ( z ) = Bajo z 4 − 6.065 z 3 + 22.577 z 2 − 25.967 z + 33.202 c z 8 - 1.58 z 7 + 3.98 z 6 - 5.44 z 5 + 6.86 z 4 - 5.44 z 3 + 3.98 z 2 - 1.58 z + 1.58 FRechaza ( z ) = Banda z 8 - 2.29 z 7 + 4.99 z 6 - 6.00 z 5 + 6.65 z 4 - 4.67 z 3 + 3.03 z 2 - 1.08 z + 0.37 En las siguientes páginas vienen representados los diagramas de bode. Jaime Martínez Verdú 18
  42. 42. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas Figura 2.20: Diagrama de Bode del filtro paso bajo. Figura 2.21: Diagrama de Bode del filtro rechaza banda. Si se observa detenidamente el diagrama de Bode se ve que para w = 157 rad/sla señal se atenúa en 300 dB. Pero como se sabe que para ese periodo de muestreo seproduce aliasing, el diagrama obtenido no nos aporta información de interés. Jaime Martínez Verdú 19
  43. 43. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas Figura 2.22: Señal con ruido y señal filtrada. Como se puede observar en la gráfica 2.18, para lo único que sirve el filtro espara retrasar la salida. Esto es debido a que se produce aliasing y el ruido no se atenúasino que el sistema se vuelve inestable. Jaime Martínez Verdú 20
  44. 44. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas C. Diseño de un filtro digital con emparejamiento de polos y ceros. Procediendo de forma similar al apartado anterior, discretizaremos el filtrocontinuao utilizando un periodo de muestreo de 0.02 seg y, con el comando de c2dmde MatLab© (utilizando como comando del método ‘matched’) se tienen los siguienteslos filtros discretizados: 0.1310 z 3 + 0.3931z 2 + 0.3931 z + 0.1310 FPaso ( z ) = 4 Bajo z + 0.0266 z 3 + 0.0216 z 2 + 0.0001 z + 1.975·10-6 0.52 z 8 - 1.38 z 7 + 3.45 z 6 - 4.76 z 5 + 5.97 z 4 - 4.76 z 3 + 3.45 z 2 - 1.38 z + 0.52 FRechaza ( z ) = Banda z 8 - 2.24 z 7 + 4.61 z 6 - 5.35 z 5 + 5.65 z 4 - 3.85 z 3 + 2.39 z 2 - 0.83 z + 0.27 >> [numd1,dend1] = c2dm(numc1,denc1,0.02,matched) numd1 = 0 0.1310 0.3931 0.3931 0.1310 dend1 = 1.0000 0.0266 0.0216 0.0001 0.0000 >> [numd2,dend2] = c2dm(numc2,denc2,0.02,matched) numd2 = 0.5185 -1.3816 3.4546 -4.7579 5.9743 -4.7579 3.4546 -1.3816 0.5185 dend2 = 1.0000 -2.2419 4.6049 -5.3521 5.6543 -3.8552 2.3926 -0.8301 0.2689 >> tf(numd1,dend1,0.02) Transfer function: 0.131 z^3 + 0.3931 z^2 + 0.3931 z + 0.131 --------------------------------------------------------------------------------- z^4 + 0.02663 z^3 + 0.02157 z^2 + 0.0001437 z + 1.975e-006 Sampling time: 0.02 >> tf(numd2,dend2,0.02) Transfer function: 0.5185 z^8 - 1.382 z^7 + 3.455 z^6 - 4.758 z^5 + 5.974 z^4 - 4.758 z^3 + 3.455 z^2 - 1.382 z + 0.5185 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ z^8 - 2.242 z^7 + 4.605 z^6 - 5.352 z^5 + 5.654 z^4 - 3.855 z^3 + 2.393 z^2 - 0.8301 z + 0.2689 Sampling time: 0.02 Jaime Martínez Verdú 21
  45. 45. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de DISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS SistemasEl diagrama de Bode del filtro es el siguiente: Figura 2.23: Diagrama de Bode del filtro paso bajo. Figura 2.24: Diagrama de Bode del filtro rechaza banda. Si se simula se tiene la siguiente salida: Jaime Martínez Verdú 22
  46. 46. PRÁCTICA 2: FILTRADO DE SEÑALES Identificación deDISCRETIZACIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS Sistemas Figura 2.25: Señal con ruido y señal filtrada. Jaime Martínez Verdú 23
  47. 47. 8 APLICACIONES DEL PROCESAMIENTO DE SEÑAL.8.1 Objetivo.En el presente capítulo se pretende que el alumno aplique los conocimientos sobre análisis ydiseño de filtros adquiridos en los capítulos anteriores. En los capítulos 1 a 7 se hanpresentado las herramientas básicas para el procesamiento de señales, con una breveintroducción teórica de los conceptos involucrados y haciendo especial énfasis en la forma dellevarlos a cabo de una forma práctica mediante las herramientas existentes en el toolbox deprocesado de señal del paquete Matlab/Simulink. Como se verá en el transcurso de estecapítulo, a veces es necesario tener ficheros de datos para realizar la práctica. Estos ficherosse pueden conseguir en la página Web asociada a las asignaturas que imparten los autores obien solicitándolos directamente a éstos (ver prólogo).8.2 Introducción.Tal y como se dijo en el capítulo 2 de introducción, las aplicaciones del procesamiento deseñal son muy variadas, y precisamente debido a ello se ha producido el gran desarrollo queestas técnicas han experimentado en las tres últimas décadas. De entre todas las aplicacionesposibles se han seleccionado las referentes a:§ Procesamiento de señales en el espectro audible.§ Tratamiento de la imagen.§ Transmisión de señales.§ Ingeniería biomédica.§ Automatización y control.§ Exploración espacial.A pesar de la diversidad de campos de la ciencia enumerados, las técnicas asociadas a todosellos son básicamente las mismas. En todas las aplicaciones que se verán, las señales, a pesarde que su origen físico es bien diferente, tienen la característica común de que todas ellas sonuna representación de un concepto físico medible con una información sobre elcomportamiento de un proceso en el que las señales referidas o bien son entradas o bien sonsalidas del sistema. A veces se pretende analizar y/o controlar un sistema, otras se pretendediseñar un sistema que procese la señal para algún fin concreto y otras veces el objetivo esrestaurar señales que han sido degradadas en algún sentido o simplemente se pretende mejorarun sonido o imagen. 1
  48. 48. 2 Aplicaciones del Procesamiento de Señal. __________________________________8.3 Tratamiento de Imagen.Estimados señores: Les remitimos el presente escrito desde la Sede Central del Kennedy Space Center(KSC) (Cape Cañaveral, Florida, west Orlando) para solicitar su ayuda. Como ustedes sabrán, actualmente, el vehículo Pathfinder se encuentra en Martetomando muestras de la superficie del planeta. Cada 13,27 horas, el vehículo nos envía losresultados de las pruebas tanto de los análisis realizados en la superficie como imágenestomadas a lo largo del periodo entre transmisiones. Además, Pathfinder es capaz de detectarcualquier movimiento que se produzca en su campo de visión con el fin de detectar indiciosde posible vida extraterrestre, en este caso marciana. Cuando esto sucede, es decir, se detectaalgún movimiento, el ordenador del Pathfinder entra en modo de máxima alerta y envía laimagen captada a la tierra junto con una señal de alarma. El pasado Jueves 19 de Marzo, a las 3:07 AM (hora de cabo cañaveral) se recibió unmensaje de alarma junto con una imagen. Inmediatamente, los técnicos del KSC se pusieron atrabajar para analizar la imagen, pero cual fue nuestra sorpresa al comprobar que la imagenera completamente ininteligible. Comprobando las condiciones en que se realizó latransmisión desde Marte, comprobamos que a esa hora una enorme tormenta eléctrica azotabala superficie del planeta, con lo cual las interferencias sobre el equipo de transmisiónocasionaron la distorsión de la señal. Para más desgracia, en estos momentos no nosencontramos operativos debido a una incursión en nuestro sistema del temido virusMelocomo acaecida horas después de la recepción del mensaje. Siendo conscientes de la importancia de semejante hallazgo, necesitamos con lamáxima premura posible analizar la imagen, y es por esto por lo que solicitamos de ustedes ,dada su renombrada valía, su ayuda y cooperación en este asunto. Les enviamos un fichero (imagen.mat) que contiene la image n, el mapa de colores conel que se tomó la imagen, map y una variable Fs con la frecuencia de muestreo en Hertzios ala cual se envió la señal. Sin otro particular, y agradeciéndoles de antemano su colaboración, se despideatentamente: Austin Powers Director del KSC
  49. 49. _________________________________________ Tratamiento de Imagen. 38.3.1 Tratamiento de Imagen con Matlab.Una imagen se trata numéricamente como una matriz cuyos elementos dan el valor del colorde la imagen en dicho punto. En Matlab, una imagen viene representada como una matriz devalores reales donde cada una de los componentes se asocia a un color de la paleta de coloresactiva en ese momento. En Matlab, una imagen tiene dos parámetros asociados, uno es lamatriz que representa la imagen y otro es el mapa de colores que se debe utilizar pararepresentar la imagen. De esta forma, por ejemplo, si se trabaja con un mapa de colores deescala de grises y de 8 bits de profundidad, es decir, 256 tonos de grises, un 0 corresponderíaal color blanco, el 128 al gris y el 256 al negro. Dada una matriz de imagen (en general cualquier matriz), la forma de representarla enMatlab es la siguiente:» image(imagen)donde image es el comando que representa en una ventana gráfica la imagen denotada por lamatriz imagen. Una vez tenemos la imagen representada sólo resta asociarle el mapa decolores. Para ello utilizamos el siguiente comando:» colormap(map)donde colormap asigna a la ventana activa el mapa de colores map. Cuando se captura una imagen, se suele suministrar el mapa de colores empleado, pero siesto no fuera sí, podemos utilizar cualquiera de los mapas que Matlab tiene predefinidos: hsv,hot, gray, bone, copper, pink, white, flag, lines, colorcube, jet, prism, cool, autumn, spring,winter, summer .8.3.2 Realización de la Práctica.Para la realización de la práctica se suministran los siguientes elementos: • La matriz imagen que es la señal recibida en la tierra. • La función m2v que convierte una matriz en un vector. • La función v2m que convierte un vector en una matriz. • La función espec que calcula el espectro de frecuencias de una señal. Lo primero que se debe hacer es representar la imagen para ver si se puede extraer algode ella. Si no somos capaces de identificar la imagen, el siguiente paso consistiría en hallar elespectro de frecuencias para ver si existe alguna perturbación (ruido) que esté distorsionandola imagen. Para ello, primero debemos convertir esta imagen (matriz) en un vector medianteel comando m2v de la siguiente forma:>> [imvec,n] = m2v(imagen);
  50. 50. 4 Aplicaciones del Procesamiento de Señal. __________________________________donde imagen es la matriz que define la imagen, imvec es la matriz transformada en vector yn es el número de columnas de la matriz original, necesario para la posterior reconstrucciónde la matriz. Una vez expresada la matriz como un vector, debemos obtener su espectro de frecuencias(sólo es necesario el de magnitud) mediante la función espec cuya sintaxis es:>> [esf,esm]=espec(imvec,fs);donde esf y esm son los vectores de frecuencia y la magnitud asociada a cada frecuenciarespectivamente y imvec y fs denotan el vector de la señal de imagen y la frecuencia demuestreo. Para representar el espectro de frecuencias de la señal:>> plot(esf,esm);Mediante el espectro obtenido veremos si existe alguna anomalía en alguna de suscomponentes en frecuencia. En el caso de ser así, debemos ser capaces de identificar el ruido que afecta a la señal yeliminarlo mediante un filtro. Probaremos filtros de Butterworth y Chebyshev discretos (delorden apropiado, y comprobando previamente su respuesta en frecuencia mediante undiagrama de Bode), y también filtros elípticos (consultar en la ayuda de Matlab ellipord yellip) . Una vez diseñado el filtro debemos filtrar la señal mediante el comando filter :>> imvf=filter(b,a,imvec);donde imvf el vector de la señal de imagen filtrada por los polinomios b y a correspondientesal numerador y denominador del filtro discreto obtenido en el paso anterior. Una vez filtrada la señal, debemos comprobar si la imagen ha cambiado y somoscapaces de identificarla. Para ello debemos primero expresar este vector en forma de matrizmediante el comando v2m como se muestra a continuación:>> [imagen1] = v2m(imvecf,n);donde imagen1 es la nueva imagen filtrada, imvecf es el vector filtrado y n el número decolumnas de la imagen (matriz) original. Ahora sólo nos resta representar de nuevo la señal para ver el efecto del filtrado.Obviamente debemos repetir este paso para cada uno de los filtros que diseñemos hastaconseguir una imagen lo más nítida posible. Esta es la práctica a realizar. El profesor suministrará en la sesión de prácticas los ficheros necesarios. Los filtros a realizar son filtros elípticos (ver documentación adjunta)
  51. 51. _________________________________________ Ingeniería Biomédica. 5Transmisión de señales.Se pretende construir en Simulink un esquema que permita la simulación de un sistema detransmisión de señales basado en la tecnología de modulación/demodulación FSK (FrequencyShift Keying). Este tipo de modulación ha sido empleada para la transmisión de datos enalgunos modelos de módem. Su funcionamiento es relativamente sencillo en comparación conotros tipos de modulación, ya que tan solo consiste en conmutar entre dos frecuenciasdependiendo de que el bit de la palabra binaria a emitir sea un cero o un uno lógico. Unesquema de este tipo de modulación se muestra en la figura 8.1. Figura 8.1. Esquema de la modulación FS K. En función de las distintas frecuencias de transmisión elegidas se deberá realizar laapropiada conmutación entre ellas en función de los valores de la entrada, que será la palabrabinaria. Por ejemplo, para una transmisión a 1200 baudios, el ancho de cada bit es de 1/1200segundos. Se pueden elegir en este caso frecuencias de 12KHz cuando el bit está a uno lógicoy de 120KHz cuando el bit esta a cero, con lo que se tendrán 10 periodos de ondas de 12KHzen cada bit a 1 lógico y 100 periodos de ondas de 120KHz en cada bit a 0 lógico. Para unatransmisión en 2400 baudios el ancho de cada bit es de 1/2400 segundos y atendiendo almismo criterio que en el caso de 1200 baudios se pueden seleccionar las frecuencias de24KHz cuando el bit esta a 1 lógico y de 240 KHz cuando el bit esta a 0 lógico. Se pretende construir un esquema en Matlab de un sistema de modulación-demodulaciónque permita la emisión tanto en 1200 baudios como en 2400 baudios. Con el fin de que elreceptor pueda saber en que frecuencia se está emitiendo para demodular correctamente lainformación, se deberá añadir a la señal modulada una señal senoidal de 400 KHzdependiendo de la frecuencia de emisión. El receptor analizará la señal modulada y, si existeseñal de 400 KHz, entenderá que la frecuencia de emisión es de 1200 baudios; si esta senoideno aparece en la señal modulada, se entenderá que la frecuencia de emisión es de 2400baudios.
  52. 52. 6 Aplicaciones del Procesamiento de Señal. __________________________________8.6 Ingeniería Biomédica.8.6.1. Introducción.Uno de los registros que más información aporta sobre un órgano vital como es el corazón esel electrocardiograma, abreviadamente ECG. Dicha información puede resultar, por si sola,vital para multitud de diagnósticos clínicos, dado que de todos los potenciales que seregistran, para tratamientos clínicos, el generado por el corazón, es el único que presenta unaspautas que no varían demasiado de un individuo a otro, permitiendo la detección de multitudde anomalías cardiacas, tales como arritmias, bloqueos, etc.Desde un punto de vista eléctrico un ECG no es sino la detección a nivel de la piel de lasseñales eléctricas extracelulares que se generan en las fibras de conducción y sobre todo,musculares del corazón.Para hacernos una idea de la magnitud de estas señales captadas en la piel, en comparacióncon las señales generadas en otros órganos, podemos observar la tabla 8.2.TIPO DE SEÑAL AMPLITUD BANDA TECNICAPotencial de acción 50 mV – 150 mV 0,1 Hz – 1 KHz MicroelectrodosElectrocardiograma 0,5 mV – 4 mV 0,01 Hz – 250 Hz Electrodo de superficieElectroenc efalograma 5 µV – 300 µV 0,01 Hz – 150 Hz Electrodo de superficieElectromiograma 100 µV – 5 mV 0,01 Hz – 10 KHz Electrodos de aguja Tabla 8.2. Rangos de señales biomédicas.8.6.2. El corazónEl corazón es una bomba pulsatoria encargada de mantener el flujo sanguíneo a la presión ycaudal necesarios. Este órgano se compone de cuatro cámaras dos superiores (aurículas) y dosinferiores (ventrículos) comunicadas por dos válvulas. Para mantener el flujo sanguíneo secontrae rítmicamente dando lugar al ciclo cardiaco, de este modo, es la contractilidad de lasfibras cardiacas la responsable del mantenimiento del flujo sanguíneo. Podemos, por tanto,considerar al corazón como un automatismo, ya que ciertas células especializadas, las delnódulo sinoauricular, en condic iones normales generan impulsos eléctricos responsables de lacontracción rítmica y organizada del músculo cardíaco. Estos impulsos son conducidos porunas fibras especializadas y poco contráctiles, encargadas de distribuir y acondicionar estasseñales hasta el músculo cardiaco.Para entender la relación que existe entre los potenciales de acción generados en el corazón yel ECG, es necesario describir el ciclo cardiaco, por lo que haremos un brevísimo resumen.Tradicionalmente el ciclo cardiaco se ha dividido en dos estados. Al comenzar la diástole lasválvulas A-V se abren, fluyendo la sangre hacia los ventrículos, gracias a la diferencia depresión existente. Cuando el ventrículo esta casi lleno, fluye algo de sangre hacia el corazóndirectamente desde las venas (diástasis). La ultima fase de la diástole es la sístole auricular
  53. 53. _________________________________________ Ingeniería Biomédica. 7en la cual las aurículas se contraen, para que la sangre que aún queda en ellas pase a losventrículos. La segunda fase del ciclo es la sístole, que comienza con una contracciónventricular isométrica (sin variación sensible de volumen) al mismo tiempo que se cierran lasválvulas A-V, creciendo rápidamente la presión, hasta que alcanza un valor lo suficientementealto como para abrir las válvulas aortica y pulmonar comenzando el vaciamiento, cuando lapresión ya ha descendido la sangre sigue saliendo por contracción ventricular (protodiástole).Por ultimo tiene lugar la relajación isométrica, en la que se relajan las fibras ventriculares.Para provocar la contracción de la auríc ula y los ventrículos en las sístoles correspondientes,es necesaria la existencia de una fibras musculares en el corazón a las cuales llega el potencialde acción que provoca las contracciones, a este tipo de tejido se le denomina miocardio.Para provocar la contracción rítmica del corazón es necesario, también la existencia de fibrasespecializadas en la conducción de potenciales desde la zona donde se originan (nódulosinoauricular) hasta la zona muscular (miocardio).El nódulo sinoauricular o nodo sinusal, localizado en la parte superior de la aurícula derecha,tiene la propiedad de ser autoexcitable, de tal forma que el potencial de acción generado en elnodo presenta el fenómeno de la despolarización diastólica, fenómeno que pasamos adescribir.El potencial de acción disminuye durante la repolarización hasta alcanzar un valor negativo,el potencial se recupera en ese momento, aumentando de forma prácticamente lineal hastavalores menos negativos, alcanzándose en un determinado momento el umbral de disparo,generándose un nuevo potencial de acción, repitiéndose este ciclo aproximadamente con unafrecuencia de 1 Hz.La secuencia de potenciales de acción generados en el nodo sinusal se propaga a las aurículasa través de fibras, provocando la contracción de estas. Además, los potenciales se desplazanhacia los ventrículos a través de las vías internodales hasta alcanzar el nodo aurico-ventricular, en el que se produce el retardo necesario para decalar temporalmente la sístoleauricular de la ventricular, permitiendo las contracciones rítmicas del corazón.8.6.3. Relación ECG y potencial de acción.Para poder establecer la relación entre el electrocardiograma y los potenciales de acción serianecesario modelizar el corazón, de tal forma que podamos obtener los potencialesextracelulares (medibles mediante electrodos en la piel) resultantes de los potenciales deacción cardiacos cuyo estudio permite la detección de anomalías cardiacas. Pero esto escapa alos propósitos de este trabajo, por lo que asumiremos el modelo de dipolo cardiaco sinjustificar este modelo ni realizar una comparación con el resto de modelos.Realmente la relación que obtenemos es entre la parte del electrocardiograma correspondientea la sístole y diástole ventricular y el potencial de acción del miocardio.En el electrocardiograma, es necesario distinguir entre la fase de despolarización delmiocardio y la de repolarización. La despolarización dura aproximadamente 1 ms. en cadafibra y se propaga a una velocidad aproximada de 0.5 m/s, siendo por tanto la longitud de
  54. 54. 8 Aplicaciones del Procesamiento de Señal. __________________________________onda resultante ser de 0.5 mm.; ello hace que el potencial recogido por un electrodo en la pieleste lo suficientemente lejos de las células (epicardio) como para que no se vea apenasafectado por la forma exacta del potencial de acción. Dadas así las cosas cabe esperar quedurante la fase de despolarización, en el electrocardiograma solo se refleje el valor máximodel potencial de acción que se presenta a nivel de la piel. En cuanto a la fase de repolarizaciónsabemos que esta se produce en todo el miocardio, teniendo en cuenta además que larepolarización en cada fibra dura unos 100 ms., y asumiendo una velocidad de propagaciónsimilar a la de la despolarización, resulta una longitud de onda de unos 0.4 cm., por lo que loselectrodos situados en el torso están lo suficientemente cerca de las fibras cardiacas comopara registrar la forma exacta del potencial de acción. Así la señal que representa un ECG esuna deflexión (la onda T) que dependerá de estos dos factores.8.6.4. Derivaciones electrocardiograficas.La posición de los electrodos sobre la piel se denomina derivación, dando como consecuenciaque señales de ECG de diferentes derivaciones presenten formas de onda distintas, podríamospensar que existen infinitas derivaciones pero solo unas pocas presentan interés clínico.§ Derivaciones de extremidades.Cronológicamente las más antiguas, existen tres derivaciones de este tipo; los puntos demedida son los que se indican en la tabla 8.3. Terminal Terminal positivo negativo Derivación I Brazo Brazo derecho izquierdo Derivación II Pierna Brazo derecho izquierda Derivación III Pierna Brazo izquierdo izquierda Tabla 8.3. Derivaciones de extremidades.§ Derivaciones de extremidades aumentadas. Estas derivaciones de extremidades aumentadas, utilizan los tres mismos puntos quelas anteriores, para los terminales positivos; mientras que como terminal negativo se empleaun punto promedio, existen tres derivaciones de este tipo, como se muestraen la tabla 8.4. Terminal Positivo Terminal negativo Der aVR Brazo Derecho Intermedio entre Brazo y Pierna Izquierda Der aVL Brazo Izquierdo Intermedio ente Pierna Izq. y Brazo Der Der a VF Pierna Izquierda Intermedio entre Brazo Der e Izq. Tabla 8.4. Derivaciones de extremidades aumentadas .§ Derivaciones precordiales.En las derivaciones precordiales uno de los electrodos, llamado explorador, se sitúa en unazona del hemotorax cerca del corazón mientras que el otro se sitúa muy lejos del corazón.
  55. 55. _________________________________________ Ingeniería Biomédica. 9 Al punto que situamos alejado, idealmente en el infinito, se le denomina punto centralterminal de Wilson, este punto central es el punto común de tres resistencias de 5KΩ cuyosextremos opuestos se conectan a la pierna izquierda, brazo izquierdo y brazo derechorespectivamente.8.6.5. Descripción del electrocardiograma standard.Para estudiar la forma de onda y el espectro frecuencial del ECG, deberemos elegir una de lasderivaciones que hemos explicado como base de estudio, siendo los resultados extrapolablesal resto de derivaciones dada la fuerte correlación que existe entre ellas. Elegiremos laderivación I dado que es una de las más empleada en cardiología.§ Descripción del ECG normal.Podemos apreciar en la figura 8.5 un ciclo cardiaco completo correspondiente a una personasin ninguna patología cardiaca. Cada una de las letras identifica a los lóbulos del ECG, quetambién reciben el nombre de ondas. 0.8 R 0.6 Amplitud (mV) 0.4 T 0.2 P 0 S Q -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Tiempo (s) Figura 8.5. ECG de una persona sana. La primera onda que aparece en un ECG normal es la onda P, que es consecuencia de laactividad eléctrica que precede a la contracción de fibras de las aurículas durante la sístoleauricular. Su amplitud tan baja se debe a que las fibras que la provocan existen en un númeromuy inferior a las del miocardio, responsables del resto de ondas; esta onda tiene unaduración típica de 100 ms. Aproximadamente unos 100 ms después del final de la sístoleauricular comienza la despolarización de las fibras del miocardio. Durante el periodocomprendido entre el final de la repolarización auricular y el principio de la despolarizaciónventricular (segmento P-R), la actividad eléctrica cardiaca se limita a un conjunto de fibrasespecializadas, no apreciándose potenciales al nivel de la piel. La contracción de las fibras ventriculares produce tres ondas en el registro de derivación Idel ECG. La primera es la onda Q, de muy baja amplitud y polaridad negativa. La segunda es
  56. 56. 10 Aplicaciones del Procesamiento de Señal. __________________________________la onda R de gran amplitud frente a las otras y de polaridad inversa a la anterior. La ultima, laonda S semejante a la onda Q pero de amplitud ligeramente mayor. Estas tres ondas forman elcomplejo QRS cuya duración total es aproximadamente de 70 ms. Tal y como se aprecia en lafigura, aproximadamente 210 ms después de comenzar la despolarización ventricular tienelugar la repolarización, esto provoca la aparición de una onda T de mayor amplitud que laonda P y de la misma polaridad que la onda R. Por último apreciamos que más de la mitad delECG (final de la onda T a principio de la onda P) está formado por una línea horizontal,denominada línea base que se corresponde a las fases isoeléctricas del ciclo cardiaco.§ Espectro de frecuencias del ECG standard.El ancho de banda de un ECG standard es de unas pocas decenas de Hz, la frecuenciafundamental es de un valor aproximado de 1 Hz y el contenido en armónicos vadisminuyendo hasta ser despreciable a partir de los 60 Hz. En condiciones normales podemos afirmar que el espectro de frecuencias de un ECGnormal se extiende hasta los 150 Hz aproximadamente. En cuanto a amplitud, el nivel captadoen la piel del complejo QRS es del orden de 1 mV.8.6.6. Objetivo de la práctica.Se pretende desarrollar un programa en MATLAB que tenga como entrada un registrocardiográfico cualquiera y sea capaz de discernir entre un registro de una persona sana y otropatológico, indicando el tipo de patología posible y una idea de su gravedad.Para ello, y con el fin de diseñar el programa y comprobar que funciona correctamente, seproporcionan los ficheros muestreados a 500 Hz: sano (ecg normal), arlev (arritmia leve),argrav (arritmia grave), isqlev (isquemia leve), isqgrav (isquemia grave), taqlev (taquicardialeve) y taqgrav (taquicardia grave).
  57. 57. PRÁCTICA 3: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de PROCESAMIENTO DE IMÁGENES Sistemas 3.1. Introducción. En MatLab®, se representa las imágenes en forma de matriz de datos con valorde número real. A cada componente de dicha matriz se le asocia un paso referente aun color de la paleta de colores activa en ese momento. Efectivamente, cualquierimagen que podamos cargar en MatLab® tiene dos parámetros distintos asociados: • Por un lado, la matriz que representa las posiciones de cada punto de la imagen. • El otro valor hace referencia al alcance dentro del mapa de colores que se debe utilizar para representar la imagen. De esta forma, por ejemplo, si se trabaja con un mapa de colores de escala degrises y de 8 bits de profundidad, es decir, 256 tonos de grises (28 = 256), un 0correspondería al color blanco, el 127 al gris y el 255 al negro. Necesariamente tenemos que ver cómo es realmente la imagen, y ver si alrepresentarla podemos extraer algún tipo de información (útil y provechosa) de ella.Si, por lo contrario, no somos capaces de identificar la imagen, precisaremos obtenersu espectro de frecuencias para comprobar si existe algún tipo de perturbación queesté distorsionando la imagen. 3.2. Realización de la práctica. Empleando los comandos image() ycolormap(), a la imagen imm y al valor maprespectivamente, se obtiene el resultadomostrado en la imagen de la derecha. Tal y como se puede observar en lafigura anterior, no podemos distinguirningún detalle de la imagen por lo que se Figura 3.1: Imagen sin filtrar.tratará de eliminar todo tipo de señal enforma de perturbación ajena a la imagen original. A continuación, obtendremos el espectro de frecuencias para buscar en querango de frecuencias se encuentra la perturbación que está distorsionando la imagen.Para ello, primero debemos convertir esta imagen (almacenada como matriz) en unvector mediante el comando m2v(). Una vez expresada la matriz como un vector,debemos obtener su espectro de frecuencias (sólo es necesario el de magnitud)empleando para ello la función espec(): >> [imvec,n] = m2v(imm); >> [esf,esm]=espec(imvec,fs); >> plot(esf,esm) Jaime Martínez Verdú 1
  58. 58. PRÁCTICA 3: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de PROCESAMIENTO DE IMÁGENES Sistemas donde esf y esm son los vectores de frecuencia y la magnitud asociada a cadafrecuencia respectivamente y imvec y fs denotan el vector de la señal de imagen y lafrecuencia de muestreo. Para representar el espectro de frecuencias de la señal. En lasiguiente gráfica se representa el espectro de frecuencias de la imagen: Figura 3.2: Espectro en frecuencias de la imagen con ruido. Jaime Martínez Verdú 2
  59. 59. PRÁCTICA 3: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de PROCESAMIENTO DE IMÁGENES Sistemas En la figura 3.2.2 se observa que se tiene un pico a 5 Hz y otro a 95 Hz. Lo quese tratará de hacer es obtener un filtro rechaza banda que elimine las frecuenciasentre 4.5 y 5.5 Hz. Puesto que las frecuencias se repiten cada ωs intervalos, y tambiénse repite en el semiplano negativo, con realizar sólo un filtro será más que suficiente. 3.A. Aplicación de un Filtro Butterworth. A continuación intentaremos eliminar los picos de ruido diseñando un filtroButterworth elimina banda. Recordando los resultados obtenidos en prácticasanteriores, sabemos que este tipo de filtro presentará un mejor comportamientoconforme incrementemos el orden del filtro N. Comenzaremos probando con un filtrode orden N = 2. El filtro calcula mediente el siguiente fragmento de código: >> [b,a]=butter(2,[4.5/(fs/2),5.5/(fs/2)],stop) b= 0.9565 -3.6407 5.3773 -3.6407 0.9565 a= 1.0000 -3.7216 5.3754 -3.5598 0.9150 Su diagrama de bode, tal y como ya se ha comprobado en otras prácticas, es elsiguiente: Figura 3.3: Diagrama de bode de un filtro de Butterworth de orden 2. En la página siguiente se muestra la imagen obtenida una vez hemos filtrado laimagen con ruido empleando un filtro de Butterworth de segundo orden. Tal y comopuede observarse, se ha obtenido una imagen más clara y carente de gran parte delruido que impedía identificarla correctamente. Jaime Martínez Verdú 3
  60. 60. PRÁCTICA 3: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de PROCESAMIENTO DE IMÁGENES Sistemas Figura 3.4: Imagen filtrada con un filtro Butterworth de orden 2. Figura 3.5: Espectro en frecuencias de la imagen filtrada. Si aumentamos, a continuación, el orden del polinomio del filtro, tenemos quepara un orden de N = 4 se obtiene el siguiente diagrama de bode para este tipo defiltro de Butterworth: >> [b,a]=butter(4,[4.5/(fs/2),5.5/(fs/2)],stop) b= 0.9212 -7.0121 23.7014 -46.4317 57.6426 -46.4317 23.7014 -7.0121 0.9212 a= 1.0000 -7.4560 24.6857 -47.3727 57.6139 -45.4670 22.7396 -6.5919 0.8486 Jaime Martínez Verdú 4
  61. 61. PRÁCTICA 3: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de PROCESAMIENTO DE IMÁGENES Sistemas Figura 3.6: Diagrama de bode del filtro de orden 4. Figura 3.7: Imagen filtrada con un filtro Butterworth de orden 4. Como se ve en la gráfica 3.2.6 realmente se eliminará el ruido que está a unafrecuencia de 5 Hz, pero el que está 4.5 o 5.5 Hz no se atenuará lo suficiente. Jaime Martínez Verdú 5
  62. 62. PRÁCTICA 3: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de PROCESAMIENTO DE IMÁGENES Sistemas Finalmente, para N = 8 se obtiene el siguiente diagrama de bode para un filtroButterworth: Figura 3.8: Diagrama de bode del filtro de orden 8. Figura 3.9: Imagen filtrada con un filtro Butterworth de orden 8. Tal y como podemos observar, no se puede identificar nada en la imagenpuesto que la utilización de un filtro de orden 8 presenta en este caso un peorcomportamiento que los anteriores filtros. Jaime Martínez Verdú 6
  63. 63. PRÁCTICA 3: FILTRADO DE SEÑALES Identificación de PROCESAMIENTO DE IMÁGENES Sistemas 3.B. Filtro elíptico. Para diseñar un nuevo filtro en esta práctica nos basamos en el comandoellipord. Tenemos que los parámetros que debemos introducir en el filtr elíptico sonN = 5 y de ωn = [0,0907 0,11] mediante el comando ellipord. Como resultadoobtenemos la función de transferencia del filtro. El diagrama de Bode del filtro es: Figura 3.10: Diagrama de bode del filtro elíptico. Si se filtra la imagen se obtiene la siguiente imagen: Figura 3.11: Imagen filtrada con un filtro elíptico. Jaime Martínez Verdú 7

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