Prácticas de DERIVE
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Prácticas de DERIVE

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En este fichero comparto mis prácticas de la asignatura de Fundamentos de Matemáticas de la Universidad Miguel Hernández de Elche donde se resuelven diversos problemas matemáticos empleando ...

En este fichero comparto mis prácticas de la asignatura de Fundamentos de Matemáticas de la Universidad Miguel Hernández de Elche donde se resuelven diversos problemas matemáticos empleando DERIVE.

Los ejercicios son:
-Justificar la convergencia de una sucesión y calcular su límite.
-Deducir la suma de la siguiente serie.
-Encontrar los valores de p para los que la una serie es de términos positivos y estudiar, para dichos valores, el carácter de la misma.
-Calcular el radio y el intervalo de convergencia, así como la suma de dicho intervalo, de una serie de potencias. Estudiar también el carácter de la serie en los extremos del intervalo de convergencia.
-Dada una función:
Hallar los extremos relativos de f y clasificarlos.
Hallar, justificando previamente la existencia, los extremos absolutos de f en R.
Calcular el volumen comprendido entre las gráficas de f y el plano z = 0 sobre el recinto R.

También incluye un conjunto de funciones customizadas para resolver este tipo de ejercicios.

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Prácticas de DERIVE Prácticas de DERIVE Presentation Transcript

  • Jaime Martínez Verdú 1. Justificar la convergencia de la siguiente sucesión y calcular su límite. 1 1 1 1 xn     n(n  1) n(n  2) n(n  3) n( n  n)CONVERGENCIAPara resolver este ejercicio nos ayudaremos del siguiente resultado Una sucesión monótona es convergente si y sólo si está acotada. Primero demostraremos que la sucesión an está acotada, es decir, está acotada tanto superiormente como inferiormente. Con el pasosiguiente, lo que se pretende es localizar dos sucesiones que “encierren” a la que estamos analizando de tal modo que an quede acotada porambas: 1 1 1 1 n  an      n(n  1) n(n  1) n(n  1) n(n  1) n(n  1)  n n   mn   an   M n (1) 1 1 1 1 n  n( n  n) n(n  1) an      n( n  n) n( n  n) n( n  n) n( n  n) n( n  n)   n 2  lim mn  lim  (Usando DERIVE ) n   n   n( n  n) 2   ( 2)  1 (Usando DERIVE )  n lim M n  lim n   n   n( n  1)   2 Usando (1) y (2) se tiene que lim mn  an  lim M n   an  1 n   n   2Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 1 1
  • Jaime Martínez Verdú Usando DERIVE se ha confeccionado una gráfica donde se puede observar que la sucesión an estará situada dentro de la región de colormorado y, por ser monótona y acotada (tal y como se puede observar en la gráfica), podemos afirmar que es convergente. Los puntos superioreshacen referencia a Mn mientras que los inferiores representan la sucesión mn. Como la sucesión está acotada y es monótona creciente, se puede afirmar que es una sucesión convergente.Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 1 2
  • Jaime Martínez VerdúLÍMITEx(n) := SUM(1/SQRT(n·(n + k)), k, 1, n)LIM(x(n), n, +inf) Lo primero que se ha intentado es utilizar DERIVE para calcular dicho límite pero el programa es incapaz de hallarlo ya que aparece unaadvertencia que nos avisa de falta de memoria. Para evitarlo, se ha empleado el CRITERIO DE STOLZ donde se tiene que a  an cuando bn  n   y bn  es estrictame nte creciente an lim  lim n 1  n 1  bn n   b n   b n 1 1 1 1  an      n 1 n2 n3 nn bn  n   bn  es estrictame nte creciente porque bn  bn 1 n   puesto que n  n  1  n  n  1 y además se sabe que lim bn  lim n   , por lo que podemos usar el CRITERIO DE STOLZ . n   n  El código de DERIVE empleado ha sido el siguiente:a(n) := SUM(1/SQRT(n + k), k, 1, n)b(n) := SQRT(n)LIM((a(n+1)-a(n))/(b(n+1)-b(n)), n, +inf)Se obtiene que el límite es 2( 2  1)  0,828 .Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 1 3
  • Jaime Martínez Verdú 2. Deducir la suma de la siguiente serie para cualquier valor p  N, p  2.  1  np n 1 n Usando DERIVE ser puede deducir la suma de dicha serie. Para obtener la solución a este problema hemos realizados los siguientespasos: Primeramente, haremos clic con el botón izquierdo sobre el menú Definir. Una vez hecho esto, aparecerá una submenú donde podremoselegir la opción Definir dominio de una variable… Después de seleccionar la variable p, elegiremos como dominio los números enteros y en unintervalo cerrado-abierto que se caracterizará por: Inferior: 2 Superior: +inf De este modo, habremos incluido a la variable p dentro de un rango de valores tal y como advierte una línea que aparece justo después deaceptar en la etiqueta de Dominio de una variable. La línea que muestra DERIVE es la siguiente: p :  Real [2, +  ) Finalmente introducimos la siguiente expresión y hacemos clic en el botón para obtener la suma. SUM(1/(n·p^n), n, 1, +inf) Se obtiene como resultado que la suma de dicha serie es:  1 p  np n 1 n  ln( p 1 )Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 2 1
  • Jaime Martínez Verdú3. Encontrar los valores de p para los que la siguiente serie es de términos positivos y estudiar, para dichos valores, el carácter de la misma.  n n n  p  1 2 p  1  np  1 n 1BÚSQUEDA DE VALORES DE p Obviamente, para que la serie sea coherente y tenga sentido, los valores de p deben ser de la siguiente forma 1 p n* n y por ello ya hemos descartado un rango de valores importante. También sabemos que para que una serie sea considerada de términos positivos, es necesario que todas sus sumas parciales sean mayoresque cero. Por lo tanto, si al menos una de sus sumas parciales es negativa, se puede afirmar que la serie no se puede clasificar dentro de las seriesde términos positivos. Por ello, fijémonos en un término cualquiera, como por ejemplo, la primera de las sumas de Sn. 1S1  , necesariamente, para que la serie sea de términos positivos, p – 1 > 0, por lo que se tiene que p debe ser mayor que la unidad. p 1 Llegados a este punto, vamos a demostrar que para cualquier valor de p mayor a la unidad, la serie es de términos positivos. Para ello,utilizaremos el principio de inducción matemática.  Se cumple que la serie es positiva para n = 1, o sea 1S1   0 porque p > 1 p 1Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 3 1
  • Jaime Martínez Verdú  Supongamos que la serie es cierta para un valor entero arbitrario k (pero fijado k>=1). Para demostrar lo que pretendemos, debe cumplirse que 1 2 2 3 3 3 k k k Sk      0 p 1 p 1 2 p 1 p 1 2 p 1 3p 1 p  1 2 p  1 kp  1 1 2 2 3 3 3 k k k k 1 k 1 k 1 k 1 ¿ S k 1         0? p 1 p 1 2 p 1 p 1 2 p 1 3p 1 p  1 2 p  1 kp  1 p  1 2 p  1 kp  1 (k  1) p  1  1 2 2 3 3 3 k k k  k 1 k 1 k 1 k 1 Sk    p  1  p  1 2 p  1  p  1 2 p  1 3 p  1    p  1 2 p  1 kp  1   p  1 2 p  1 kp  1 (k  1) p  1     S k  0  k  1k 1  k  1  k  1  0  k  1k 1  0 k 1 k 1 k 1 k 1  k  1k 1   Sk    0   k 1  0   k 1 p  1 2 p  1 kp  1 (k  1) p  1  (i  1) p  1  (i  1) p  1  0  (i  1) p  1  0 p  1   i 0  i 0 Como la serie tiene todos sus términos positivos (demostrado mediante inducción matemática) para valores de p mayores que la unidad,ya tenemos información suficiente para analizar su carácter y afirmar que para p > 1 la serie es de términos positivos.Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 3 2
  • Jaime Martínez VerdúANÁLISIS DEL CARÁCTER DE LA SERIE Para analizar si la serie es convergente o divergente, usaremos el criterio del cociente o de D’alembert, de modo que necesitaremosemplear DERIVE para resolver el siguiente límite n 1 n 1 n 1 n 1   n n n yn 1 p  1 2 p  1 np  1 (n  1) p  1 e  p  1 2 p  1 np  1        n 1 CRITERIO DEL COCIENTE lim n   yn  lim n   n n n  (Usando DERIVE ) p  p  1 2 p  1 np  1 Según este criterio, la serie será convergente siempre y cuando dicho límite sea inferior a la unidad. Por lo tanto, para los valores de psiguientes se tiene1  p  e LA SERIE DIVERGEp  e LA SERIE CONVERGEp  e EL CRITERIO NO DA INFORMACIÓ N Para el caso cuando p = e se va a emplear el CRITERIO DE COMPARACIÓN POR PASO A LÍMITE con la serie ARMÓNICAGENERALIZADA: n n n    p  1 2 p  1 np  1 CRITERIO DE COMPARACIÓ N n n n 1 yComparamos  p  1 2 p  1 np  1 n 1 con n n 1            lim n  lim  POR PASO AL LÍMITE n   x n   1   (Usando DERIVE ) n n Por lo tanto, como La serie ARMÓNICA GENERALIZADA diverge y el límite obtenido es infinito, podemos afirmar que para p = e laserie que estamos analizando es divergente. 1  p  e LA SERIE DIVERGE y p  e LA SERIE CONVERGEExamen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 3 3
  • Jaime Martínez Verdú 4. Calcular el radio y el intervalo de convergencia, así como la suma de dicho intervalo, de la siguiente serie de potencias. Estudiar también el carácter de la serie en los extremos del intervalo de convergencia.   1 n2  n  3    2 n  1  n n 1   2n!  ( x  1) n RADIO DE CONVERGENCIA.Sean las siguientes series de potencias de las cuales vamos a calcular sus respectivos radios de convergencia: 1   2 (n  1)  1 1 n 1  Usando DERIVE  1 a   a ( x  1) n 1 n n  n 1 2 n  1 n ( x  1) n RADIO       lim n 1   DE CONVERGENC IA n   a  lim n   1 2 n 2 n n  1 1 1   2  1 2 (n  1) 2  (n  1)  3  n2  n  3  2(n  1)!  0 Usando DERIVE  bn   bn ( x  1)   2n! ( x  1)n RADIO       nlim b1 n 1 n n 1   DE CONVERGENC IA    lim n   n2  n  3 n 2n! 1 1       0 Por lo tanto, se sabe que el radio de convergencia de la serie total es el mínimo de los dos obtenidos, o sea, el radio de convergencia de laserie inicial es 2 y por lo tanto, al tratarse de una serie de potencias centrada en el punto x = -1, se conoce también su intervalo de convergencia.Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 4 1
  • Jaime Martínez VerdúINTERVALO DE CONVERGENCIA El intervalo de convergencia donde la serie de potencias inicial es absolutamente convergente es el siguiente: x  x   , x    x   1  2,1  2  x   3,1 Fuera de este intervalo de valores, es conocido que la serie es divergente.SUMA DE LA SERIE Es conocido que  1  n2  n  3   1 n2  n  3  SI l1   ( x  1) n y l2   ( x  1) n finitos    n 2 n  1  ( x  1) n  l1  l2 n 1 2 n  1 n n 1 2n! n 1  2n!   Utilizando el programa DERIVE se ha conseguido obtener el valor de la primera suma directamente, mientras que el de la segunda se haobtenido después de realizar varias transformaciones. Se han obtenido los siguientes valores: 1 x  2 ln( )  x 1 1 l1   n ( x  1) n   2 ( A) n 1 2 n  1 x 1  n2  n  3 ( x 2  4 x  6 ) e x 1  3 l2   ( x  1) n  ( B) n 1 2n! 2 SUMA_TOTAL := SUMA_SERIE_1 + SUMA_SERIE_2 1 x  2 ln( )  x 1  1 n  n  3 2 ( x 2  4 x  6)e x 1  3   2 n  1   n 2n!  ( x  1) n  l1  l2   2 x 1  n 1   2Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 4 2
  • Jaime Martínez Verdú PASOS EN DERIVE PARA OBTENER EL RESULTADO (A). Primeramente, haremos clic con el botón izquierdo sobre el menú Definir. Una vez hecho esto, aparecerá una submenú donde podremoselegir la opción Definir dominio de una variable… Después de seleccionar la variable x, elegiremos como dominio los números reales y en unintervalo abierto-abierto que se caracterizará por: Inferior: -3 Superior: 1 De este modo, habremos incluido a la variable x dentro de un rango de valores tal y como advierte una línea que aparece justo después deaceptar en la etiqueta de Dominio de una variable. La línea que muestra DERIVE es la siguiente: x :  Real (-3, 1) Finalmente introducimos ambas expresiones y hacemos clic en el botón para obtener la suma. k(n):= (x + 1)^n/(2^n·(n + 1)) SUMA_SERIE_1 := SUM (k(n), n, 1, +inf) Se obtiene como resultado que la suma de dicha serie es: 1 x  2 ln( )  x 1 1  2n n  1( x  1)n   n 1 2 x 1Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 4 3
  • Jaime Martínez Verdú PASOS EN DERIVE PARA OBTENER EL RESULTADO (B). Cambiaremos la forma de la serie: n2  n  3 5  n2  n  3 1  1  2  3  1     2n! ( x  1) n  ( x  1)   ( x  1) n  5( x  1)   n  2 ( n  2)! ( x  1) n   n  2 ( n  1)! ( x  1) n   ( x  1) n   5( x  1)   cn   bn   an n 1 2 n2 2n! 2 n  2 n!  2 n2 n2 n2  Primeramente, haremos clic con el botón izquierdo sobre el menú Definir. Una vez hecho esto, aparecerá una submenú donde podremos elegir la opción Definir dominio de una variable… Después de seleccionar la variable x, elegiremos como dominio los números reales y en un intervalo abierto-abierto que se caracterizará por: Inferior: -3 Superior: 1 De este modo, habremos incluido a la variable x dentro de un rango de valores tal y como advierte una línea que aparece justo después de aceptar en la etiqueta de Dominio de una variable. La línea que muestra DERIVE es la siguiente: x :  Real (-3, 1) Introducimos la siguiente expresión y hacemos clic en el botón para obtener la suma.  a(n):= 3*(x + 1)^n/n! SUMA _ 1 :  an SUMA_1 := SUM(a(n), n, 2, +inf) n 1 Se obtiene como resultado que la suma de dicha serie es:  3  n! ( x  1) n 1 n  3(e x 1  ( x  2)) Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 4 4
  • Jaime Martínez Verdú Introducimos la siguiente expresión y hacemos clic en el botón para obtener la suma.  b(n):= 2*(x + 1)^n/(n - 1)! SUMA _ 2 :  bn SUMA_2 := SUM(b(n), n, 2, +inf) n 1 Se obtiene como resultado que la suma de dicha serie es:  n  n! ( x  1) n 1 n  2(1  x)(e x 1  1)  Introducimos la siguiente expresión y hacemos clic en el botón para obtener la suma. SUMA _ 3 : ( x  1)   d n n 1 d(n):= (x + 1)^n/(n - 2)! SUMA_3 := SUM(d(n), n, 2, +inf) Se obtiene como resultado que la suma de dicha serie es:  1  (n  2)! ( x  1) n2 n  ( x  1) 2 e x 1 Por lo tanto, se tiene que SUMA_SERIE_2 := 1/2*( 5*(x + 1) + SUMA_1 + SUMA_2 + SUMA_3) n2  n  3 1  1   ( x 2  4 x  6)e x 1  3    2n!n 1 ( x  1) n  5( x  1)   cn   bn   an   5( x  1)  3(e x 1  ( x  2))  2(1  x)(e x 1  1)  ( x  1) 2 e x 1  2 n2 n2 n2  2 2Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 4 5
  • Jaime Martínez VerdúEXTREMOS DEL INTERVALO DE CONVERGENCIA Primero trataremos el caso cuando x = -3 donde tenemos la siguiente serie   1 n2  n  3    1 n2  n  3    2 n  1  n n 1   2n!  (3  1) n    n 2 n  1  2n!  (2) n (1)  n 1   Si demostramos que las dos siguientes series en las que se puede subdividir la serie definida en la expresión (1) son convergentes, quedarádemostrado que (1) también lo es  1  n2  n  3 ¿ Ambas series  2 n  1(2) n 1 n n y  n 1 2n! (2) n son convergentes ? Empezaremos por la primera de ambas  1  1  (1) n d n  Es decreciente y converge a cero  2n n  1(2)   n  1   n  1 n n 1 n 1 c  (1) n a cot ada entre  1  n Está y 1 Aplicando el CRITERIO DE LEIBINZ podemos afirmar que esta serie es convergente ya que es de la forma  cn Es decreciente y converge a cero c d n n  n 1 d n Está a cot ada Y según el CRITERIO DE LEIBINZ  1  2 n  1(2) n 1 n n ES UNA SERIE CONVERGENT E Y SU SUMA (Usando DERIVE ) VALE ln( 2)  1Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 4 6
  • Jaime Martínez Verdú Para analizar el carácter de la serie restante necesitaremos emplear el CRITERIO DE D’ALEMBERT O DEL COCIENTE ya que si elsiguiente límite es inferior a la unidad podemos afirmar que dicha serie es convergente: (n  1) 2  (n  1)  3 (2) n 1  n2  n  3 y 2(n  1)!  2n! (2)n CRITERIO DEL      nlim yn 1 n 1     COCIENTE     lim n   n2  n  3  0 (Usando DERIVE ) n (2) n 2n! Como el resultado obtenido al calcular el límite es inferior a 1, por el CRITERIO DE D’ALEMBERT  n2  n  3  2n! (2)n n 1 ES UNA SERIE CONVERGENT E Por lo tanto, podemos afirmar que la serie expresada en (1) es convergente. A continuación trataremos el caso cuando x = 1 donde tenemos la siguiente serie   1 n2  n  3    1 n2  n  3  n   2 n  1  n n 1   2n!  (1  1) n    n n 1  2 n  1  2n!  (2) (2)   Si demostramos que una de las dos siguientes series de términos positivos diverge y la otra converge, entonces la serie (1) será divergente  1  n2  n  3 n ¿ Cuál las series  2n n  12n n 1 y  2n! 2 n 1 es convergente y cuál divergente?Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 4 7
  • Jaime Martínez Verdú Empezaremos por la primera de ambas   1 1  2 n  12 n 1 n n  n 1 n  1 Aplicando el CRITERIO DE COMPARACIÓN POR PASO AL LÍMITE podremos deducir que   1 1  n 1 n 1 y nn 1 tienen el mismo carácter. Como el siguiente límite resulta tener el valor 1, según este criterio se tiene que ambas series tienen el mismo carácter, o sea, ambas sondivergentes. 1   lim n  1  1 (Usando DERIVE ) n   1 n   1 1  2n n  1 n 1 2n ES UNA SERIE DIVERGENTE porque  n 1 n ES DIVERGENTE ( SERIE ARMÓNICA GENERALIZA DA) Para analizar el carácter de la serie restante necesitaremos emplear el CRITERIO DE D’ALEMBERT O DEL COCIENTE ya que si ellímite es inferior a 1, entonces la serie tiene carácter convergente: (n  1) 2  (n  1)  3 n 1 2 n 2  n  3 n CRITERIO DEL COCIENTE y 2(n  1)! lim 2           lim n 1   lim  0 (Usando DERIVE ) n   2n! n   y n n   n2  n  3 n 2 2n! Como el resultado obtenido es un valor menor a la unidad se sabe que por el CRITERIO DEL COCIENTEExamen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 4 8
  • Jaime Martínez Verdú  n2  n  3 n  2n! 2 n 1 ES UNA SERIE CONVERGENT E Por lo tanto podemos afirmar que la serie expresada en (2) es divergente.   1 n2  n  3  En definitiva podemos decir que la serie   2 n  1  n n 1   2n!  ( x  1) n  ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE EN EL INTERVALO  3,1 ES DIVERGENTE EN EL INTERVALO  ,3U 1, CONVERGENTE      DIVERGENTE DIVERGENTE -3 0 1Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 4 9
  • Jaime Martínez Verdú 5. Dada la función f ( x, y) : 3x 2 y  7 xy  4 x( y 3  3 y 2  1) Se pide: a) Hallar los extremos relativos de f y clasificarlos. Como la función es continua y derivable (está formada por suma y producto de funciones continuas e infinitamente derivables por tratarsede polinomios), se puede afirmar que los extremos relativos estarán entre los puntos críticos de la función. Búsqueda de los PUNTOS CRÍTICOS: Para hallar cuales son los puntos críticos asociados a f, hemos implementado una función que calculará automáticamente cuales son lospuntos críticos. La función y sus características son las siguientes:Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 5 1
  • Jaime Martínez Verdú Una vez definida en DERIVE esta función, deberemos introducir y definir la función f para, posteriormente, usarla comoargumento de BUSCA_PUNTOS_CRITICOS() y averiguar cuales son sus puntos críticos. EL código de programa ha sido el siguiente: BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R_2(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0 AND DIF(ff, y, 1) = 0, [x, y]) Mifuncion(x, y) := 3·x^2·y - 7·x·y + 4·x·(y^3 + 3·y^2 + 1) BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R_2(Mifuncion(x, y)) Y se obtiene como resultado la siguiente lista de puntos críticos (se han aproximado los valores): x = -1.420017573 y = 0.3922419785 x = 2.890519658 y = -1.927741029 x = 4.169497914 y = -0.2645009485 x=0 y = 0.2844323505 - 0.4464296022·î x=0 y = 0.2844323505 + 0.4464296022·î x=0 y = -3.568864701 A continuación evaluaremos cada punto usando una serie de funciones elaboradas tal y como se muestra en los siguientes esquemasExamen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 5 2
  • Jaime Martínez Verdú Usando estas funciones únicamente tenemos que despejar los valores adecuados como argumentos para analizar y clasificar los distintosextremos.Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 5 3
  • Jaime Martínez Verdú EVALUA_PUNTO_EN_R_2(Mifuncion(x, y), -1.420017573, 0.3922419785)  SE TRATA DE UN PUNTO DE SILLA EVALUA_PUNTO_EN_R_2(Mifuncion(x, y), 2.890519658, -1.927741029)  SE TRATA DE UN MÁXIMO RELATIVO EVALUA_PUNTO_EN_R_2(Mifuncion(x, y), 4.169497914, -0.2645009485)  SE TRATA DE UN PUNTO DE SILLA EVALUA_PUNTO_EN_R_2(Mifuncion(x, y), 0, 0.2844323505 - 0.4464296022·î)  NO SE PUEDE EVALUAR EVALUA_PUNTO_EN_R_2(Mifuncion(x, y), 0, 0.2844323505 + 0.4464296022·î)  NO SE PUEDE EVALUAR EVALUA_PUNTO_EN_R_2(Mifuncion(x, y), 0, -3.568864701)  SE TRATA DE UN PUNTO DE SILLA Nota: Puesto que estamos trabajando con una función cuyo dominio se extiende solamente dentro de los números reales, no tiene sentidoevaluar puntos críticos que están dentro del campo de los números complejos. Esta es la razón por la cual se ha advertido mediante la frase “NOSE PUEDE EVALUAR” durante la clasificación de puntos anterior.Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 5 4
  • Jaime Martínez Verdú Si se considera el recinto R : {( x, y)   : y  x  3, y   x  3, y  x 2  9} b) Hallar, justificando previamente la existencia, los extremos absolutos de f en R.Primero dibujamos el recinto donde se restringen los extremos absolutos:y=x+3 y = -x + 3 y = x2 - 9 A continuación, comprobaremos si algún punto crítico de los anteriores pertenece a dicho recinto x = -1.420017573 y = 0.3922419785 x = 2.890519658 y = -1.927741029 x = 4.169497914 y = -0.2645009485 x=0 y = -3.568864701 Para realizar estas comprobaciones nos hemos ayudado de DERIVE. Para ello, cada vez que analicemos si un punto pertenece a dichorecinto realizaremos los siguientes pasos:Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 5 5
  • Jaime Martínez Verdú Primero introduciremos la expresión de la recta y  x+3. Posteriormente, haremos clic sobre la opción Simplificar que aparece en la barrade menús. Podremos comprobar que emerge un submenú donde elegiremos la opción Sustituir variable. A continuación, aparecerá una etiqueta donde podremos dar valores a las variables que se han declarado y damos sobre el botón simplificar. Si una vez definidos los valores de x e y DERIVE devuelve true, eso significa que el punto está por debajo de la recta y podemos continuar evaluando. Posteriormente, introduciremos la expresión de la recta y  - x+3. Nuevamente, haremos clic sobre la opción Simplificar que aparece en la barra de menús. Podremos comprobar que emerge un submenú donde elegiremos la opción Sustituir variable. A continuación, aparecerá una etiqueta donde podremos dar valores a las variables que se han declarado y damos sobre el botón simplificar. Si una vez definidos los valores de x e y DERIVE devuelve true, eso significa que el punto está por encima de la recta y podemos continuar evaluando. Finalmente, introduciremos la expresión de la parábola y  - x2 - 9. Nuevamente, haremos clic sobre la opción Simplificar que aparece enla barra de menús. Podremos comprobar que emerge un submenú donde elegiremos la opción Sustituir variable. A continuación aparecerá unaetiqueta donde podremos dar valores a las variables que se han declarado y damos sobre el botón simplificar. Si una vez definidos los valores dex e y DERIVE devuelve true, eso significa que el punto está por encima de la recta y podemos continuar evaluando. Obviamente si en alguno de los pasos el programa da como contestación un false, eso significa que al menos no cumple una de lascondiciones y, por lo tanto, no está en el recinto. PUNTOS QUE PERTENECEN PUNTOS QUE NO PERTENECEN x = -1.420017573 y = 0.3922419785 x = 4.169497914 y = -0.2645009485 x=0 y = -3.568864701 x = 2.890519658 y = -1.927741029 Por lo que se llega a la conclusión de que tanto x = -1.420017573 y = 0.3922419785 como x = 0 y = -3.568864701 son candidatos a serextremos absolutos condicionados por la región R.Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 5 6
  • Jaime Martínez Verdú Para acabar la búsqueda de candidatos, necesitamos averiguar cuales son los extremos de la función f(x,y) al proyectar cada una de lasrectas y la parábola sobre dicha función. Es decir, crearemos una nueva función a partir de la cuál se buscarán sus extremos para cada caso. A continuación, vamos a comentar el método de búsqueda de los extremos de cada una de las funciones. Buscaremos cuales son suspuntos críticos ya que los extremos estarán clasificados como puntos críticos por tratarse f(x) de una función continua y derivable. Se haimplementado esta función con la finalidad de facilitar el proceso de búsqueda. La función se declara a continuación. BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0 , x, real) Nombre de la función ~ f ( x) xExamen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 5 7
  • Jaime Martínez Verdú Caso y = x + 3  Primeramente definiremos una nueva función al sustituir el valor de y en la función f(x, y). ~ f ( x) : f ( x, x  3)  x(4 x3  51x 2  182 x  199 ) MIFUNCION_1 := SUBST(Mifuncion(x, y), y, x + 3)El código de programa empleado para hallar sus puntos críticos ha sido el siguiente: BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R(MIFUNCION_1)Apareciendo las siguientes soluciones x = -2.546343733 x = -6.232441862 x = -0.783714403x = -2.546343733  y = 0.453656267x = -6.232441862  y = -3.232441861 Usando DERIVE y sustituyendo variables se obtienen las componentes en el eje yx = -0.783714403  y = 2.216285597Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 5 8
  • Jaime Martínez Verdú Caso y = - x + 3  Primeramente definiremos una nueva función al sustituir el valor de y en la función f(x, y). ~ ~ f ( x) : f ( x, x  3)   x(4 x 3  45 x 2  164 x  199 ) MIFUNCION_2 := SUBST(Mifuncion(x, y), y, -x + 3)El código de programa empleado para hallar sus puntos críticos ha sido el siguiente: BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R(MIFUNCION_2)Apareciendo las siguientes soluciones x = 0.912103814 x = 4.485082688 x = 3.040313497x = 0.912103814  y = 2.087896185x = 4.485082688  y = -1.485082687 Usando DERIVE sustituyendo variables se obtienen las componentes en el eje yx = 3.040313497  y = -0.040313497Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 5 9
  • Jaime Martínez Verdú Caso y = - x2 - 9  Primeramente definiremos una nueva función al sustituir el valor de y en la función f(x, y). ~ ~ ~ f ( x) : f ( x, x 2  93)  x(4 x6  96 x 4  3x3  749 x 2  27 x  1877 ) MIFUNCION_3 := SUBST(Mifuncion(x, y), y, x^2 - 9)El código de programa empleado para hallar sus puntos críticos ha sido el siguiente: BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R(MIFUNCION_3)Apareciendo las siguientes soluciones x = -3.089153559 x = -1.014513277 x = -2.581492392 x = 1.045704352 x = 2.654983451 x = 2.984471424x = -3.089153559  y = 0.5428697110x = -1.014513277  y = -7.970762810x = -2.581492392  y = -2.335897030 Usando DERIVE sustituyendo variables se obtienen las componentes en el eje yx = 1.045704352  y = -7.906502408x = 2.654983451  y = -1.951062874x = 2.984471424  y = -0.092930319Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 5 10
  • Jaime Martínez Verdú Una vez obtenidos todos los posibles candidatos a extremos absolutos, calcularemos sus imágenes y evaluaremos cuál es la mayor y cuálla menor: x = -1.420017573 y = 0.392241978  Mifuncion(-1.420017573, 0.3922419785)  -2.372808905 x=0 y = -3.568864701  Mifuncion (0, -3.568864701) 0 x = -2.546343733 y = 0.453656267  Mifuncion (-2.546343733, 0.4536562670)  -0.514404645 x = -6.232441862 y = -3.232441861  Mifuncion (-6.232441862, -3.232441861)  -482.0810488 x = -0.783714403 y = 2.216285597  Mifuncion (-0.783714403, 2.216285597)  -67.21381177 x = 0.912103814 y = 2.087896185  Mifuncion (0.912103814, 2.087896185)  76.44956599 x = 4.485082688 y = -1.485082687  Mifuncion (4.485082688, -1.485082687)  34.88427869 x = 3.040313497 y = -0.040313497  Mifuncion (3.040313497, -0.040313497)  11.95979534 x = -3.089153559 y = 0.542869711  Mifuncion(-3.089153559, 0.5428697110)  2.022376924 x = -1.014513277 y = -7.970762810  Mifuncion(-1.014513277, -7.970762810)  1196.290122 x = -2.581492392 y = -2.335897030  Mifuncion(-2.581492392, -2.335897030)  -136.6540513 x = 1.045704352 y = -7.906502408  Mifuncion(1.045704352, -7.906502408)  -1246.829379 x = 2.654983451 y = -1.951062874  Mifuncion(2.654983451, -1.951062874)  48.02613335 x = 2.984471424 y = -0.092930319  Mifuncion(2.984471424, -0.092930319)  11.69581795 Como el valor máximo es 1196.290122, se tiene que el punto (-1.014513277, -7.970762810) es el máximo absoluto. Como el valor mínimo es -1246.829379, se tiene que el punto (1.045704352, -7.906502408) es el mínimo absoluto.Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 5 11
  • Jaime Martínez Verdú c) Calcular el volumen comprendido entre las gráficas de f y el plano z = 0 sobre el recinto R. V ( K )  1d ( x, y, z )   ( f ( x, y)  0)d ( x, y)   (3x 2 y  7 xy  4 x( y 3  3 y 2  1))d ( x, y ) K R R   R1  ( x, y )   : 3  x  0, x 2  9  y  x  3  R : R1UR2     R2  ( x, y )   : 0  x  3, x 2  9  y   x  3    (3x y  7 xy  4 x( y 3  3 y 2  1))d ( x, y )   (3x y  7 xy  4 x( y 3  3 y 2  1))d ( x, y )   (3x 2 y  7 xy  4 x( y 3  3 y 2  1))d ( x, y )  2 2 R R1 R2 0 x 3 3  x 3 POR    DE      EL TEOREMA  FUBINI    3 x 2 9 (3x 2 y  7 xy  4 x( y 3  3 y 2  1))dydx   0 x 2 9 (3x 2 y  7 xy  4 x( y 3  3 y 2  1))dydx INT(INT(3·x^2·y - 7·x·y + 4·x·(y^3 + 3·y^2 + 1), y, x^2-9,3+x), x, -3, 0)  507663/280 INT(INT(3·x^2·y - 7·x·y + 4·x·(y^3 + 3·y^2 + 1), y, x^2 - 9, 3 - x), x, 0, 3)  - 640827/280 507663 64082 16407   280 280 4 Hemos decidido transformar el recinto R de esa manera ya que la función f(x, y) al pasar de un subrecinto a otro cambia de signo (tal ycomo muestra la gráfica) por lo que tendremos que sumar los valores absolutos de ambas integrales.Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 5 12
  • TEMA DE SUCESIONES:Criterio del Cociente  SUCESIONES_COCIENTE(aa) := LIM(ABS(SUBST(aa, n, n + 1)/SUBST(aa, n, n)), n, +inf)Criterio de Stolz (∞/∞ y 0/0)  SUCESIONES_STOLZ_1(aa,bb) := LIM((SUBST(aa,n,n+1)-SUBST(aa,n,n))/(SUBST(bb,n,n+1)-SUBST(bb,n,n)),n, +inf)Criterio de Stolz (∞0)  SUCESIONES_STOLZ_2(aa,bb) := LIM((SUBST(aa, n, n + 1)/SUBST(aa, n, n))^(1/(SUBST(bb, n, n + 1) - SUBST(bb, n, n))), n, +inf)Criterio de Euler (1∞)  SUCESIONES_EULER_1(aa,bb) := EXP(LIM(SUBST (bb,n,n)*(SUBST (aa,n,n)-1), n, +inf))Criterio de Euler (00 y ∞0)  SUCESIONES_EULER_2(aa,bb) := EXP(LIM(SUBST (bb,n,n)*LN(SUBST (aa,n,n)), n, +inf))TEMA DE SERIES:SERIE_DE_RAZON_R(penkito):=(SUBST(penkito,n,1)-LIM(penkito,n,+inf))/(1-SUBST(penkito,n,1))Criterio de d’Alembert  COCIENTE(aa):=LIM(SUBST(aa,n,n+1)/SUBST(aa,n,n),n,+inf)Criterio de Cauchy  RAIZ(aa):=LIM(SUBST(aa,n,n)^(1/n),n,+inf)Criterio de Logarítmico  LOGARITMICO(aa):=LIM(LN(1/aa)/LN(n),n,+inf)Criterio de Raabe  RAABE(aa):= LIM(n*(1- COCIENTE(aa)),n,+inf)Criterio de Condensación de Cauchy  CRITERIO_DE_CONDENSACION(penkito):=SUBST(penkito,n,2^n)Criterio de Comparación paso a límite  CRITERIO_DE_PASO_AL_LIMITE(aa,bb):=LIM(aa/bb,n,+inf)
  • DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff) := DIF(ff, x, 1)*(xx-x) + DIF(ff, y, 1)*(yy-y)DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_2(ff) := DIF(ff, x, 2)*(xx-x)^2 + DIF(DIF(ff, y, 1), x, 1)*(xx-x)*(yy-y) + DIF(DIF(ff, x, 1), y,1)*(yy-y)*(xx-x) + DIF(ff, y, 2)*(yy-y)^2DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_3(ff) := DIF(ff, x, 3)*(xx-x)^3 + DIF(DIF(ff, x, 1), y, 2)*(xx-x)*(yy-y)^2 + DIF(DIF(ff, x, 2), y,1)*((xx-x)^2)*(yy-y) + DIF(DIF(DIF(ff, x, 1), y, 1), x, 1)*((xx-x)^2)*(yy-y) + DIF(DIF(DIF(ff, y, 1), x, 1), y, 1)*((yy-y)^2)*(xx-x) + DIF(DIF(ff, y, 2), x, 1)*((yy-y)^2)*(xx-x) +DIF(DIF(ff, y, 1), x, 2)*(yy-y)*(x-x)^2 + DIF(ff, y, 3)*(xx-x)^3DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_4(ff) := DIF(ff, x, 4)*(xx-x)^4 + DIF(DIF(ff, y, 1), x, 3)*((xx-x)^3)*(yy-y) + DIF(DIF(DIF(ff, x, 1),y, 1), x, 2)*((xx-x)^3)*(yy-y) + DIF(DIF(ff, y, 2), x, 2)*(xx-x)^2*(yy-y)^2 + DIF(DIF(DIF(ff, x, 2), y, 1), x, 1)*((xx-x)^3)*(yy-y) + DIF(DIF(DIF(DIF(ff, x, 1), y ,1), x, 1), y, 1)*(xx-x)^2*(yy-y)^2 + DIF(DIF(ff, y, 3), x, 1)*(xx-x)*(yy-y)^3 +DIF(DIF(DIF(ff, y, 1), x, 2), y, 1)*((xx-x)^2)*(yy-y)^2 + DIF(DIF(DIF(ff, x, 1), y, 2), x, 1)*((yy-y)^2)*(xx-x)^2 + DIF(DIF(ff,x, 3), y, 1)*(yy-y)*(xx-x)^3 + DIF(DIF(DIF(DIF(ff, y, 1), x ,1), y, 1), x, 1)*((yy-y)^2)*(xx-x)^2 + DIF(DIF(DIF(ff, y, 2), x, 1),y, 1)*(yy-y)^3*(xx-x) + DIF(DIF(DIF(ff, y, 1), x, 1), y, 2)*((yy-y)^3)*(xx-x) + DIF(DIF(ff, x, 2), y, 2)*((yy-y)^2)*(xx-x)^2 +DIF(DIF(ff, x, 1), y, 3)*((yy-y)^3)*(xx-x) + DIF(ff, y, 4)*(yy-y)^4POLINOMIO_TAYLOR_1(ff, x0, y0) := SUBST(SUBST(ff, y, y0), x, x0) + SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff), y, y0), x, x0)POLINOMIO_TAYLOR_2(ff, x0, y0) := SUBST(SUBST(ff, y, y0), x, x0) + SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff), y, y0), x, x0) +(1/2)*SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_2(ff), y, y0), x, x0)POLINOMIO_TAYLOR_3(ff, x0, y0) := SUBST(SUBST(ff, y, y0), x, x0) + SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff), y, y0), x, x0) +(1/2)*SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_2(ff), y, y0), x, x0) + (1/6)*SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_3(ff), y, y0), x,x0)POLINOMIO_TAYLOR_4(ff, x0, y0) := SUBST(SUBST(ff, y, y0), x, x0) + SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff), y, y0), x, x0) +(1/2)*SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_2(ff), y, y0), x, x0) + (1/6)*SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_3(ff), y, y0), x,x0) + (1/24)*SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_3(ff), y, y0), x, x0)El definitivo polinomio de TaylorPOLINOMIO_TAYLOR(ff, y0, x0, orden) := IF(orden = 1, SUBST(SUBST(ff, y, y0), x, x0) +SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff), y, y0), x, x0), IF(orden = 2, SUBST(SUBST(ff, y, y0), x, x0) +SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff), y, y0), x, x0) + (1/2)·SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_2(ff), y, y0), x, x0),IF(orden = 3, SUBST(SUBST(ff, y, y0), x, x0) + SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff), y, y0), x, x0) +(1/2)·SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_2(ff), y, y0), x, x0) + (1/6)·SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_3(ff), y, y0), x,x0), IF(orden = 4, SUBST(SUBST(ff, y, y0), x, x0) + SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff), y, y0), x, x0) +(1/2)·SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_2(ff), y, y0), x, x0) + (1/6)·SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_3(ff), y, y0), x,x0) + (1/24)·SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_3(ff), y, y0), x, x0), "No hemos diseñado el algoritmo para un polinomio detaylor de orden mayor que 4"))))
  • Búsqueda de extremos relativos para funciones en RBUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0 , x, real)EVALUA_PUNTO_EN_R(ff, x0):= IF(SUBST(DIF(ff, x, 2), x, x0)<0, "El punto es un máximo relativo",IF(SUBST(DIF(ff, x, 2), x, x0)>0, "El punto es un mínimo relativo", "Se trata de unpunto de inflexión"))Búsqueda de extremos relativos para funciones en R2BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R_2(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0 AND DIF(ff, y, 1) = 0, [x, y])MATRIZ_HESSIANA_EN_R2(ff):=[DIF(ff, x, 2),DIF(DIF(ff, y, 1), x, 1);DIF(DIF(ff, x, 1), y, 1),DIF(ff, y, 2)]MATRIZ_HESSIANA_EN_R_2(ff, x0, y0) := SUBST(SUBST(MATRIZ_HESSIANA_EN_R2(ff), x, x0), y, y0)EVALUA_PUNTO_EN_R_2(ff, x0, y0) := IF(DET(MATRIZ_HESSIANA_EN_R_2(ff, x0, y0)) < 0, "Es un punto de ensilladura", IF(DET(MATRIZ_HESSIANA_EN_R_2 (ff, x0, y0)) = 0,"Es necesario usar el método de las regiones", IF(SUBST(SUBST(DIF(ff, x, 2), x, x0), y, y0) > 0, "Se trata de un mínimo relativo", IF(SUBST(SUBST(DIF(ff, x, 2), x, x0), y, y0) < 0, "Es unmáximo relativo", "No tenemos suficiente información"))))Método de las regiones:REGIONES(ff, x0, y0):=FACTOR(ff-SUBST(SUBST(ff, x, x0), y, y0),x,y)Búsqueda de extremos relativos para funciones en R3BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R_3(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0 AND DIF(ff, y, 1) = 0 AND DIF(ff, z, 1) = 0, [x, y,z])MATRIZ_HESSIANA_EN_R3(ff):=[DIF(ff, x, 2),DIF(DIF(ff, y, 1), x, 1),DIF(DIF(ff, z, 1), x, 1);DIF(DIF(ff, x, 1), y, 1),DIF(ff, y, 2),DIF(DIF(ff, z, 1), y, 1);DIF(DIF(ff, x, 1), z, 1),DIF(DIF(ff,y, 1), z, 1),DIF(ff, z, 2)]MATRIZ_HESSIANA_EN_R_3(ff, x0, y0, z0) :=SUBST( SUBST(SUBST(MATRIZ_HESSIANA_EN_R3(ff), x, x0), y, y0), z, z0)EVALUA_PUNTO_EN_R_3(ff, x0, y0, z0) := IF(DET(MATRIZ_HESSIANA_EN_R3(ff, x0, y0, z0)) < 0, "Es un punto de ensilladura", IF(DET(MATRIZ_HESSIANA_EN_R3 (ff, x0, y0,z0)) = 0, "Es necesario usar el método de las regiones", IF(SUBST(SUBST(SUBST(DIF(ff, x, 2), x, x0), y, y0), z, z0) > 0, "Se trata de un mínimo relativo", IF(SUBST(SUBST(SUBST(DIF(ff,x, 2), x, x0), y, y0), z, z0) < 0, "Es un máximo relativo", "No tenemos suficiente información"))))
  • Búsqueda de extremos absolutos para funciones en RBUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0, x, Real)·IF(DIF(ff, x, 1) = 0, " Los puntos críticos son los siguientes:", "La función no tiene puntos críticos")EVALUA_SI_CUMPLE_LA_RESTRICCION_EN_R(restriccion, x0):=IF(SUBST(restriccion, x, x0), "Este punto es un posible candidato a ser un extremo condicionado por la restricción","Este punto no cumple la restricción y por lo tanto no es candidato a ser extremo absoluto")BUSCA_CANDIDATOS_A_EXTREMOS_ABSOLUTOS_1_EN_R(ff, restriccion):=SOLVE(DIF(ff + y*restriccion, x, 1) = 0 AND retriccion=0,[x, y])”El valor que importa es x”BUSCA_CANDIDATOS_A_EXTREMOS_ABSOLUTOS_2_EN_R(restriccion):=SOLVE(DIF(restriccion, x, 1) = 0 AND retriccion=0,[x])Búsqueda de extremos absolutos para funciones en R2BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R_2(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0 AND DIF(ff, y, 1) = 0, [x, y]) IF(DIF(ff, x, 1) = 0 AND DIF(ff, y, 1) = 0, " Los puntos críticos son los siguientes:", "Lafunción no tiene puntos críticos")EVALUA_SI_CUMPLE_LA_RESTRICCION_R2(restriccion, x0, y0):=IF(SUBST(SUBST(restriccion, x, x0),y, y0), "Este punto es un posible candidato a ser un extremo condicionado por larestricción", "Este punto no cumple la restricción y por lo tanto no es candidato a ser extremo absoluto")BUSCA_CANDIDATOS_A_EXTREMOS_ABSOLUTOS_1_R2(ff, restriccion):=SOLVE(DIF(ff + z*restriccion, x, 1) = 0 AND DIF(ff + z*restriccion, y, 1) = 0 AND retriccion=0,[x, y, z])”El valor que importa es (x, y)”BUSCA_CANDIDATOS_A_EXTREMOS_ABSOLUTOS_2_R2(restriccion):=SOLVE(DIF(restriccion, x, 1) = 0 AND DIF(restriccion, y, 1) = 0 AND retriccion=0,[x, y])Búsqueda de extremos absolutos para funciones en R3BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R_3(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0 AND DIF(ff, y, 1) = 0 AND DIF(ff, z, 1) = 0, [x, y,z]) IF(DIF(ff, x, 1) = 0 AND DIF(ff, y, 1) = 0 AND DIF(ff, z, 1) = 0, "Los puntos críticos son los siguientes:", "La función no tiene puntos críticos")EVALUA_SI_CUMPLE_LA_RESTRICCION_EN_R3(restriccion, x0, y0, z0):=IF(SUBST(SUBST(SUBST(restriccion, x, x0),y, y0), z, z0), "Este punto es un posible candidato a ser unextremo condicionado por la restricción", "Este punto no cumple la restricción y por lo tanto no es candidato a ser extremo absoluto")BUSCA_CANDIDATOS_A_EXTREMOS_ABSOLUTOS_1_R3(ff, restriccion):=SOLVE(DIF(ff + t*restriccion, x, 1) = 0 AND DIF(ff + t*restriccion, y, 1) = 0 AND DIF(ff + t*restriccion, z,1) = 0 AND retriccion=0,[x, y, z, t]) ”El valor que importa es (x, y, z)”BUSCA_CANDIDATOS_A_EXTREMOS_ABSOLUTOS_2_R3(restriccion):=SOLVE(DIF(restriccion, x, 1) = 0 AND DIF(restriccion, y, 1) = 0 AND DIF(restriccion, z, 1) = 0 ANDretriccion=0,[x, y])