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Control Discreto Control Discreto Document Transcript

  • [CONTROL DIGITAL MITIT Introducción al control digital El control automático de sistemas no se habría podido desarrollar sin un paso anterior,dado por los reguladores, con el descubrimiento del computador digital, que abrió un campomuy amplio de avance. Hasta la aparición de los sistemas digitales, el único dispositivo de cálculo con quecontaba la Ingeniería de Control eran los computadores analógicos electrónicos. Lo mismoocurría con la implementación de los reguladores. Estos se construían con elementosanalógicos mecánicos, neumáticos o electrónicos. No obstante, el desarrollo de la electrónica y de los computadores digitales permitiócambiar rápidamente la idea. Los primeros ordenadores digitales fueron usados en sistemas decontrol de procesos enormemente complicados. Con la disminución continua de los precios ytamaño, hoy se implementan reguladores digitales individuales por lazo de control. Loscomputadores digitales son usados también como herramienta para el análisis y diseño de lossistemas automatizados. Ilustración 1. Diagrama de bloques de un control digital. La automática o ciencia del control cuenta con elementos mucho más poderosos queen el pasado. Los computadores digitales están en constante progreso especialmente con losavances en la tecnología de la integración en muy alta escala. En un primer momento, se intentaba trasladar todos los algoritmos y mecanismos dediseño del campo analógico a los elementos digitales. Pero la teoría del control ha avanzadocreando técnicas imposibles de implementar en forma analógica. Por lo tanto se llega a la existencia de dos formas de analizar los sistemas discretos.Una, como una aproximación de los reguladores analógicos, pero ésta es una visión pobre y losresultados a lo sumo son iguales a los obtenidos anteriormente. La segunda es ver a lossistemas discretos de control como algo distinto y de esta manera obtener conclusiones máspoderosas. Jaime Martínez Verdú | Introducción al control digital 1
  • [CONTROL DIGITAL MITIT Un sistema discreto se implanta en el lazo de control a fin de sustituir el reguladorpero el proceso físico continúa teniendo un carácter continuo en la mayoría de los casos deinterés. La señal de salida se muestrea cada cierto tiempo (llamado período de muestreo T) yse discretiza mediante un conversor analógico digital A/D. Esta información es procesada yconvertida nuevamente a analógica mediante un conversor digital analógico. Por lo tanto,internamente, el computador se independiza del tipo de señal con que está trabajando y tratatodas las magnitudes como una serie de valores discretos (de precisión finita). Por esto resultacómodo trabajar con ecuaciones en diferencia en lugar de ecuaciones diferenciales como sehacía con los métodos analógicos. Características del Control Digital Como características básicas del control digital se pueden mencionar las siguientes: 1. No existe límite en la complejidad del algoritmo. Cosa que sí sucedía inicialmente en los sistemas analógicos. 2. Facilidad de ajuste y transformación. Por el motivo primero, un cambio en un control analógico implica, en el mejor de los casos, un cambio de componentes si no un cambio del controlador completo. 3. Exactitud y estabilidad en el cálculo. Debido a que no existen desvíos u otras fuentes de error. 4. Uso del computador con otros fines (alarmas, archivo de datos, administración, etc.) 5. Costo - número de lazos. No siempre se justifica un control digital ya que existe un costo mínimo que lo hace inaplicable para un número reducido de variables. En cuanto a la arquitectura de un lazo de control es de la forma en que lo muestra laIlustración 1. El proceso en la mayoría de los casos es continuo, es decir, se debe excitar elmismo con una señal continua y entonces éste genera una salida continua. Esta señal, como encualquier lazo de control es monitorizada por un dispositivo que a su vez entrega una señalcontinua proporcional a la magnitud medida. Por otra parte, se dispone de un computador quesólo es capaz de operar con valores discretos. Para compatibilizar ambos existen doselementos: el D/A y el A/D que realizan la conversión de magnitudes. Para aplicar un control discreto hemos de actuar del siguiente modo:1. Definir el periodo de nuestro T.Elegir el periodo de nuestro periodo de muestreo T.La más usada que corresponde al ancho de banda del sistema en bucle cerrado.La frecuencia es tal que su la magnitud que aparece en su diagrama de Bode es deSe selecciona el Tpráctico ya que2.1 Se diseña un controlador continuo y se discretiza. Puede pasar de estable a inestable.2.2 Se discretiza y se aplican técnicas en discreto. Jaime Martínez Verdú | Introducción al control digital 2
  • [CONTROL DIGITAL MITIT D/A A/D T Ilustración 2. Diagrama de bloques de una planta empleando un control digital.Sólo sabemos lo que pasa en los intervalos de muestreo. Ilustración 3. Señal continua y digitalizada durante el control. Jaime Martínez Verdú | Introducción al control digital 3
  • [CONTROL DIGITAL MITIT EJERCICIO Disponemos de una planta con la siguiente función de transferencia: Ecuación 1 Con un periodo de muestreo de . Para discretizar el sistema, el códigoempleado ha sido el siguiente: sist_c=tf([1],[1 10 20]); sist_d=c2d(sist_c,0.001,zoh); sisotool; Se ha empleado la función C2d(sist_c, T, ‘zoh’) que nos permite obtener la funcióndiscretizada de la planta empleando un retenedor de orden cero. Los resultados obtenidos semuestran a continuación: Transfer function: 1 --------------- s^2 + 10 s + 20 Transfer function: 4.983e-007 z + 4.967e-007 ------------------------- z^2 - 1.99 z + 0.99 Sampling time: 0.001 Step Response 1.4 1.2 1 0.8 Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Time (sec) Ilustración 4. Respuesta ante escalón del sistema con MP = 30 %, ts = 0,56 s y ep = 10%. Jaime Martínez Verdú | Introducción al control digital 4
  • [CONTROL DIGITAL MITIT Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) 2 1.5 1 0.5Imag Axis 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Axis Ilustración 5. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = 30%, ts = 0,56s y ep = 10%. Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) 0.15 0.1 0.05 Imag Axis 0 -0.05 -0.1 -0.15 0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.03 Real Axis Ilustración 6. Detalle lugar geométrico de las raíces MP = 30%, ts = 0,56s y ep = 10%. Jaime Martínez Verdú | Introducción al control digital 5
  • [CONTROL DIGITAL MITIT EJERCICIO Disponemos de una planta discretizada con la siguiente función de transferencia: Ecuación 2 Repetiremos el procedimiento: SIST_D=tf([1],[1 -0.3 0.5],1/20) sisotool(SIST_D) Imag Axis -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 -2 -1 0 1 2 -0.8 -0.6 -0.4-1 Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) -0.2Real Axis 00.2 0.4 0.6 0.8 1 Ilustración 7. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = -, ts = - y ep = 80%. Step Response 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 Amplitude 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Time (sec) Ilustración 8. Respuesta ante entrada escalón del sistema con MP = -, ts = - y ep = 80%. Jaime Martínez Verdú | Introducción al control digital 6
  • [CONTROL DIGITAL MITIT Puesto que el sistema presenta unas malas especificaciones, procederemos a sucontrol mediante un controlador PID discreto: Ecuación 3 Aplicaremos la Transformación bilineal: Ecuación 4 Tendremos lo siguiente: ; ; El código empleado es: PID_C=tf([10 100 200],[1 0]) PID_D=c2d(PID_C,0.12,tustin) SIST _D Step LT I System Scope SIST _D LT I System2 Scope1 0.5 SIST _D Gain LT I System3 Scope3 SIST _D LT I System1 Scope2 LT I System4 PID_D Ilustración 9. Ilustración de un control mediante un PID discreto. Jaime Martínez Verdú | Introducción al control digital 7
  • [CONTROL DIGITAL MITIT Ilustración 10. Respuesta inestable del sistema con PID discreto. Se puede observar la dificultad y los problemas que acarrea la utilización de un PIDdiscreto para este caso. Se puede usar PID_c pero luego hay que retocar. Por ello, se decideemplear sisotool y proceder a introducir un par de polos y ceros: Polos en -1 y +1 Ceros en -0.5 y +0.5 Para un compensador con una ganancia de 0.10137 el sistema cumple lasespecificaciones: Ts<2s Mp<5% ep<1% Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) 2 1.5 1 0.5 Imag Axis 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Real Axis Ilustración 11. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = -, ts = 1,78 s y ep = 0%. Jaime Martínez Verdú | Introducción al control digital 8
  • [CONTROL DIGITAL MITIT 1 System: Closed Loop r to y I/O: r to y Settling Time (sec): 1.780.90.80.70.60.50.40.30.20.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Ilustración 12. Respuesta ante entrada escalón del sistema con MP = -, ts = 1,78 s y ep = 0%. Jaime Martínez Verdú | Introducción al control digital 9
  • [CONTROL DIGITAL MITIT EJERCICIO Disponemos de una planta discretizada con la siguiente función de transferencia: Ecuación 5 Con un periodo de muestreo de T = 0,1s. Se trata de un ejercicio de controladoresbásico donde la expresión del controlador PID es: Ecuación 6 Se desean unas especificaciones como las siguientes: Ts < 1,75 s Mp < 15 % ep = 0 Para controlar el sistema, empezaremos por implementar el siguiente código: NUM_D=0.007*[1,0,94] NUM_D=0.007*[1 0.94] DEN_D=conv([1 -0.86],[1 -0.95]) SIST_D=tf(NUM_D,DEN_D,0.1) sisotool(SIST_D) Mediante la utilización del esquema en Simulink antes ilustrado, encontramos que elsistema es muy lento por lo que no se cumplen las especificaciones requeridas. <Intentamosmejorar el comportamiento del sistema cerrando el lazo de control y siguen sin cumplirse lasespecificaciones. Procederemos a calcular un regulador PID basándonos en la ecuaciónanterior. Introducimos las especificaciones para ver más o menos y probamos Kp habiendocolocado los polos y ceros de modo que los ceros se obtengan del siguiente modo: 1. Buscamos z-a y z-b. 2. Colocamos un polo en el origen y obtenemos la parte real de un cero , por ejemplo a: Ecuación 7 3. El valor del cero correspondiente al integrador b la buscamos. a. Colocamos un polo en 0. b. Colocamos otro polo en -1. c. Colocamos un cero en 0,95. d. Buscamos el último cero de modo que consigamos las especificaciones. Ecuación 8 Jaime Martínez Verdú | Introducción al control digital 10
  • [CONTROL DIGITAL MITIT Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) 1.5 1 0.5Imag Axis 0 -0.5 -1 -1.5 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Axis Ilustración 13. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = 0 %, ts = 1,5 s y ep = 0 %. Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) 1 0.5 Imag Axis 0 -0.5 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Real Axis Ilustración 14. Detalle del lugar geométrico de las raíces con MP = 0 %, ts = 1,5 s y ep = 0 %. Jaime Martínez Verdú | Introducción al control digital 11
  • [CONTROL DIGITAL MITIT Step Response 1 0.9 0.8 0.7 0.6 Amplitude 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 Time (sec) Ilustración 15. Respuesta ante entrada escalón del sistema con MP = 0 %, ts = 1,5 s y ep = 0 %. Referencias1. Åström, Karl J.: Computer Controlled Systems. Theory and Design, Prentice Hall –19842. Aracil Santonja, R.: Sistemas Discretos de Control, Universidad Polit. de Madrid– 19803. Isermann, R.: Digital Control Systems, Springer Verlag – 19814. Papoulis, A: Sistemas Digitales y Analógicos, Marcombo – 19785. Kuo, B: Discrete Data Control Systems, Prentice Hall – 19706. Tou, : Digital and Sampled Data Control Systems, Mac Graw Hill – 19597. Proakis, J.G. & Manolakis, D.G.: Tratamiento Digital de Señales: Principios,8. Algoritmos y Aplicaciones, Traducción de Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications, 3rd. edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, UK., 1998. Jaime Martínez Verdú | Referencias 12
  • [CONTROL DIGITAL MITIT Tabla de contenidosIntroducción al control digital ....................................................................................................... 1 Características del Control Digital ................................................................................ 2 EJERCICIO.................................................................................................................. 4 EJERCICIO.................................................................................................................. 6 EJERCICIO................................................................................................................ 10Referencias .................................................................................................................................. 12Tabla de contenidos .................................................................................................................... 13Tabla de ilustracionesIlustración 1. Diagrama de bloques de un control digital. ............................................................ 1Ilustración 2. Diagrama de bloques de una planta empleando un control digital. ....................... 3Ilustración 3. Señal continua y digitalizada durante el control. .................................................... 3Ilustración 4. Respuesta ante escalón del sistema con MP = 30 %, ts = 0,56 s y ep = 10%............. 4Ilustración 5. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = 30%, ts = 0,56s y ep = 10%. .. 5Ilustración 6. Detalle lugar geométrico de las raíces MP = 30%, ts = 0,56s y ep = 10%. ................. 5Ilustración 7. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = -, ts = - y ep = 80%. ............... 6Ilustración 8. Respuesta ante entrada escalón del sistema con MP = -, ts = - y ep = 80%. ............. 6Ilustración 9. Ilustración de un control mediante un PID discreto. .............................................. 7Ilustración 10. Respuesta inestable del sistema con PID discreto. ............................................... 8Ilustración 11. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = -, ts = 1,78 s y ep = 0%. ....... 8Ilustración 12. Respuesta ante entrada escalón del sistema con MP = -, ts = 1,78 s y ep = 0%...... 9Ilustración 13. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = 0 %, ts = 1,5 s y ep = 0 %. .. 11Ilustración 14. Detalle del lugar geométrico de las raíces con MP = 0 %, ts = 1,5 s y ep = 0 %..... 11Ilustración 15. Respuesta ante entrada escalón del sistema con MP = 0 %, ts = 1,5 s y ep = 0 %. 12Tabla de ecuaciones Ecuación 1 ............................................................................. 4 Ecuación 2 ........................................................................... 6 Ecuación 3 ........................................................................ 7 Ecuación 4 ...................................................................................... 7 Ecuación 5............................................ 10 Ecuación 6 .................................................. 10 Ecuación 7 .................................................................................... 10 Ecuación 7 .............................................. 10 Jaime Martínez Verdú | Tabla de contenidos 13