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[CONTROL CONTINUO MITIT                                      Respuesta del sistema ante entrada escalón de 1 V            ...
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[CONTROL CONTINUO MITIT[Escribir el nombre de la compañía] | CONTROLADORES PID.   25
[CONTROL CONTINUO MITIT[Escribir el nombre de la compañía] | CONTROLADORES PID.   26
[CONTROL CONTINUO MITIT        Efectos de las acciones de los Reguladores PID:        • Regulador P: Aumenta la ganancia d...
[CONTROL CONTINUO MITIT       La forma de la ecuación de un control por PID es como se muestra a continuación:            ...
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[CONTROL CONTINUO MITIT       Esto nos indica que el controlador es físicamente irrealizable puesto que el orden delnumera...
[CONTROL CONTINUO MITIT                                                    2          2                                   ...
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[CONTROL CONTINUO MITITque los polos del sistema abierto son: -9.9975 y -2.0025. El punto medio entre ambos seencuentra en...
[CONTROL CONTINUO MITIT1.41.2                                                   System: Closed Loop r to y                ...
[CONTROL CONTINUO MITITEjercicio optativo 1.                                                      5       El sistema es:  ...
[CONTROL CONTINUO MITIT                      Primero dibujaremos el lugar geométrico de las raíces del sistema:           ...
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  1. 1. [CONTROL CONTINUO MITIT¿Qué es un SISTEMA DE CONTROL? Programa de ordenador o dispositivo electrónico que calcula las acciones a ejercersobre un sistema para obtener un comportamiento deseado.Clasificación: dos posibles. • 1ª clasificación: Control en BUCLE ABIERTO: No se comprueba el resultado de las acciones ejercidassobre el sistema. Tensión Temperatura CÁLCULOS SISTEMA Control en BUCLE CERRADO: Se comprueba continuamente el resultado de lasacciones ejercidas por si es necesario corregirlas. Temperatura Tensión Temperatura COMPARACIÓN SISTEMA Realimentación Ventajas Inconveniente s Bucle Es muy sencillo Puede funcionar MAL No requiere tomar el sistema sin ser ABIERTO medidas advertido Bucle Si funciona MAL el Es muy complejo sistema será advertido Requiere tomar CERRADO medidas • 2ª clasificación: Control CONTINUO: El sistema será de control continuo cuando empleemos undispositivo electrónico. Se estudian utilizando la Transformada de LAPLACE Control DISCRETO: El sistema será de control discreto cuando empleemos unprograma de ordenador. Se estudian utilizando la Transformada Z. Continuo Discreto [Escribir el nombre de la compañía] | ¿Qué es un SISTEMA DE CONTROL? 1
  2. 2. [CONTROL CONTINUO MITIT ¿Qué es una SEÑAL o un SISTEMA? SEÑAL: Cualquier variable que toma valores en el tiempo (tanto magnitudes físicas como abstractas, temperatura y cotización en bolsa, respectivamente). Magnitud física Magnitud abstracta SISTEMA: Conjunto de elementos cuyo comportamiento queda definido por la relación entre sus señales de entrada y de salida. Señales de Señales de entrada salida SISTEMA Señales que indican si el comport. Señales sobre las cuales se del sistema es el deseado Causa - Efecto puede actuar ¿Cuáles son las señales de uso común en TEORÍA DE SISTEMAS? Nom Forma CONINUA Forma DISCRETAbre de la Expresión Gráficafunción 1 1 Escal 0 t 0 ón u(t ) =  {uk } =  1 t 1 k 1 Impul 0 0 so δ (t ) =  {δ k } =  ∞ 1 k 1 Ramp 0 t 0 r(t ) =  {rk } =  m=1 a t t k [Escribir el nombre de la compañía] | ¿Qué es una SEÑAL o un SISTEMA? 2
  3. 3. [CONTROL CONTINUO MITITOperaciones con Señales. Operación SEÑALES SECUENCIAS Suma z (t ) = x (t ) + y (t ) {zk } = {xk } + {yk } Resta z (t ) = x (t ) − y (t ) {zk } = {xk } − {yk } Producto z (t ) = x (t )· y (t ) {zk } = {xk }{yk } · z (t ) = x(t ) {z k } = {x k }{y } División y (t ) k Producto por un escalar z (t ) = C · x (t ) {zk } = C·{xk } Desplazamiento temporal z(t ) = x(t − t0 ) {z k } = {xk −k } 0 +∞ +∞ Convolución z (t ) = ∫ x (ζ )· y (t − {zk } = ∑ xn · yk −n −∞ n=−∞Tipos de Sistemas. Sistemas continuos Con señales de entrada y salida contínuas.TI Sistemas discretos Con señales de entrada y salida discretas.PO - Con señales de entrada continua y de salida discreta.S Sistemas híbridos - Con señales de entrada discreta y de salida continua. [Escribir el nombre de la compañía] | ¿Qué es una SEÑAL o un SISTEMA? 3
  4. 4. [CONTROL CONTINUO MITIT Ejemplo: Sistema de control de un Horno. - Comportamiento deseado: Mantener a una cierta temperatura el interior del horno. ¿Cumple la definición? - Acción a calcular: Tensión a aplicar a la resistencia. Bucle ABIERTO Obtener la tensión a aplicar en función de ecuaciones o bien mediante experimentación.Diferencias entre tipos de bucle - Si es menor que la deseada, aplicamos menor tensión. Bucle CERRADO Se mide continuamente la temperatura y -Si es mayor que la deseada, aplicamos mayor tensión. Representación gráfica: Tensión Temperatura CÁLCULOS HORNO Control en BUCLE ABIERTO Temperatura Tensión Temperatura COMPARACIÓN HORNO Realimentación Control en BUCLE CERRADO Problemas: ¿Si se deteriora el aislamiento del horno y se pierde calor, que ocurriría? ABIERTO Aplicaría igual tensión Bajaría la temperatura MAL funcionamiento. CERRADO Aplicaría más tensión Mantendría la temperatura BUEN funcionamiento. [Escribir el nombre de la compañía] | ¿Qué es una SEÑAL o un SISTEMA? 4
  5. 5. [CONTROL CONTINUO MITIT¿Cuáles son las propiedades de los sistemas continuos? Linealidad o no linealidad: Un sistema será lineal si el cumple el principio de superposición:x1 (t ) y1 (t ) SA α · x1 (t ) + β ·x2 (t ) α · x1 (t ) + β · x2 (t )x2 (t ) y2 (t ) SA SA Varianza o invarianza en el tiempo: Se dice que un sistema es invariante en el tiempo si sucomportamiento no depende del instante: x (t ) y (t ) x(t − t0 ) y (t − t0 ) SA SA Un desplazamiento temporal en la señal de entrada ocasiona el mismo desplazamiento en la señal de salida Causalidad: Decimos que un sistema es causal si su salida en un instante, depende devalores futuros de la entrada:x1 (t ) y1 (t ) Si es causal se tiene que: SA Si x1 (t ) = x1 (t ) ∀t < t0 ⇒ y1 (t ) = y1 (t ) ∀t < t0x2 (t ) y2 (t ) SA Nota: A los sistemas NO Causales se les nombra FÍSICAMENTE IRREALIZABLES. [Escribir el nombre de la compañía] | ¿Qué es una SEÑAL o un SISTEMA? 5
  6. 6. [CONTROL CONTINUO MITIT ¿Cuáles son las propiedades de los sistemas discretos? Linealidad o no linealidad: Un sistema será lineal si el cumple el principio de superposición: {xk }1 {yk }1 SA α ·{xk }1 + β ·{xk }2 α ·{y k }1 + β ·{y k }2 {xk }2 {yk }2 SA SA Varianza o invarianza en el tiempo: Se dice que un sistema es invariante en el k si su comportamiento no depende del instante: {x k } {y k } {xk−n} {yk−n} SA SA Un desplazamiento temporal en la señal de entrada ocasiona el mismo desplazamiento en la señal de salida Causalidad: Decimos que un sistema es causal si su salida en un instante k, dependa de valores futuros de la entrada:{xk }1 {yk }1 Si es causal se tiene que: SA Si {xk }1 = {xk }2 ∀n < k ⇒ {y k }1 = {y k }2 ∀n < k{xk }2 {yk }2 SA Nota: A los sistemas NO Causales se les nombra FÍSICAMENTE IRREALIZABLES. [Escribir el nombre de la compañía] | ¿Qué es una SEÑAL o un SISTEMA? 6
  7. 7. [CONTROL CONTINUO MITIT¿Cuáles son las formas de representación de los Sistemas Lineales eInvariantes? Tipo de sistema Forma de representación Ecuación diferencial d y (t ) n d y (t ) n −1 d n x(t ) n + a n −1 n −1 + L + a 0 y (t ) = bm +L+ b dy dy dy n Salida ante entrada δ (t), llamada g (t) o Respuesta Impulsionalx 1 (t) y 1 (t) δ (t) g (t) x1 (t) y1 (t) SA SA Ecuación en diferencias y k − n + + a n −1 y k − ( n −1) + L + a 0 y k = bm x k − m + L + b0 x k δ (t) g (t){x k} {y k} x1 (t) y1 (t) SA SA¿Cómo determinar si un sistema es estable? Sistema estable: Es aquel que ante cualquier entrada acotada responde con una salidaacotada. x (t ) y (t ) = x (t ) * g (t ) = ∫− ∞ g (τ )x (t − τ )dτ +∞ g (t) x(t ) ≤ C ∫ g(τ ) dτ < ∞ ⇒ Es un sistemaestable +∞ Si y −∞ +∞ {x k } {y k } = {x k }* {g k } = ∑ g k x k − n n = −∞ {g k} +∞ Si {xk } ≤ C y ∑g k < ∞ ⇒ Es un sistema estable n = −∞ [Escribir el nombre de la compañía] | ¿Cómo determinar si un sistema es estable? 7
  8. 8. [CONTROL CONTINUO MITIT Transformadas - ω Transformada de Fourier. Cambio temporal Se pasa del dominio temporal al - S Transformada de Laplace. - Z Transformada Z. 1. Transformada de Fourier. F[x(t )] = X (ϖ ) = ∫ x(t )e − jϖt dt . +∞ - Señales continuas −∞ Transformada para +∞ - Señales discretas F[{xk }] = X(ϖ ) = ∑x e k − jϖkT . n = −∞ X (ϖ ) X (ϖ ) ϖ ϖFluctuaciones lentas componentes Fluctuaciones rápidas componentes de de frecuencias bajas frecuencias elevadas ¿Cuál es el problema de la Transformada de Fourier al aplicarla en Teoría de Sistemas? x(t ) ∫ x(t ) dt < ∞ . +∞ - Condición de existencia de −∞ Problemas +∞ - Condición de existencia de {xk } ∑x k < ∞. n = −∞ [Escribir el nombre de la compañía] | Transformadas 8
  9. 9. [CONTROL CONTINUO MITIT 2. Transformada de Laplace. Ésta aparece en Teoría de Sistemas con el objetivo de dar solución al problema de laexistencia para funciones como rampa, escalón, parábola,… ϖ = a + jb L [x(t )] = X (ϖ ) = ∫0 x(t )e −ϖt dt . +∞ - Señales continuasTransformada para +∞ - Señales discretas L [{xk }] = X (ϖ ) = ∑ xk e −ϖkT . n =02.1. ¿Cuál es el problema que resuelve la Transformada de Laplace respecto de la Transformada de Fourier al aplicarla en Teoría de Sistemas? x(t ) x(t )e −ϖt dt < ∞ ⇒ ∃∫ x(t )e −ϖt dt . +∞ +∞ - Condición de existencia de Si ∫ −∞ 0Soluciones +∞ +∞ - Condición de existencia de {xk } Si ∑ xk e −ϖkT < ∞ ⇒ ∃∑ xk e −ϖkT . k =0 k =0 - Señales Continuas La Transformada de Laplace ofrece una reducción de complejidad ya que las transformadas son cocientes de polinomios.Recursos - Señales Discretas La Transformada de Laplace no ofrece una reducción de complejidad ya que las transformadas son funciones periódicas de difícil utilización. - Señales Continuas Transformada de Laplace.Conclusión - Señales Discretas Transformada Z. [Escribir el nombre de la compañía] | Transformadas 9
  10. 10. [CONTROL CONTINUO MITIT2.2. ¿Cuáles son las principales propiedades de la Transformada de Laplace? i) Linealidad. L [x1 (t )] = X 1 (ϖ )  Si  ⇒ L [α ·x1 (t ) + β · x2 (t )] = α · X 1 (ϖ ) + β · X 2 (ϖ ) L [x2 (t )] = X 2 (ϖ ) ii) Desplazamiento en el tiempo. Si L [x(t )] = X (ϖ ) ⇒ L [x(t − t 0 )] = e − t ϖ X (ϖ ) 0 iii) Diferenciación en el dominio temporal.  dx(t )  Si L [x(t )] = X (ϖ ) ⇒ L  = ϖ · X (ϖ )  dt   (todas las condiciones iniciales son nulas) iv) Integración en el dominio temporal. t  X (ϖ ) Si L [x(t )] = X (ϖ ) ⇒ L  ∫ x(τ )dτ  = 0  ϖ v) Diferenciación en el dominio de Laplace.  dX (ϖ )  Si L -1 [ X (ϖ )] = x(t ) ⇒ L -1  = −t ·x(t )  dϖ   vi) Teorema del valor inicial. Si L [x (t )] = X (ϖ ) ⇒ lim x (t ) = lim ϖ · X (ϖ ) + t →0 t → +∞ vii) Teorema del valor final. Si L [x(t )] = X (ϖ ) ⇒ lim x(t ) = lim ϖ · X (ϖ ) t →+∞ t →0 viii) Teorema de Convolución. L [x1 (t )] = X 1 (ϖ )  Si  ⇒ L [x1 (t ) * x 2 (t )] = X 1 (ϖ )· X 2 (ϖ ) L [x2 (t )] = X 2 (ϖ )Aplicada sobre la Respuesta Impulsional si nos dan ésta como dato: y (t ) = x (t ) * g (t ) ⇒ L [ y (t )] = L [x(t ) * g (t )] ⇒ L [ y (t )] = L [x(t )]· L [g (t )] x (t ) g (t) Y (ϖ ) := L [ y (t )]    X (ϖ ) := L [x(t )]    ⇒ Y (ϖ ) = X (ϖ )·G(ϖ ) G (ϖ ) := L [g (t )]   x (t ) y (t ) L [ y (t )] = L [x (t ) * g (t )]  g (t) [Escribir el nombre de la compañía] | Transformadas 10
  11. 11. [CONTROL CONTINUO MITITAplicada sobre la Ecuación diferencial si nos dan ésta como dato: Supongamos la siguiente ecuación diferencial ordinaria: d n y (t ) d n −1 y (t ) dy(t ) d n x(t ) d n −1 x(t ) dx(t ) n + a n−1 n −1 + L + a1 + a0 y (t ) = bm n + bm−1 n −1 + L + b1 + b0 x(t ) dt dt dt dt dt dt Aplicamos la Transformada de Laplace:  d n y (t ) d n −1 y (t )   d n x(t ) d n −1 x(t )  L n + an −1 n −1 + L + a0 y(t ) = L bm n + bm−1 n −1 + L + b0 x(t )  dt dt   dt dt   d y (t ) n  d y (t ) n −1  d n x(t )   d n −1 x(t )  L n  + L an −1 n −1  + L + L [a0 y (t )] = L bm  + L bm −1  + L + L [b0 x(t )]  dt   dt   d tn   d t n −1   d n y(t )  d n −1 y (t )  d n x(t )  d n −1 x(t ) L n  + an −1 L  n −1  + L + a0 L [ y (t )] = bm L  n  + bm−1 L  n −1  + L + b0 L [x(t )]  dt   dt   dt   dt  ϖ nY (ϖ ) + a n−1ϖ n−1Y (ϖ ) + L + a0Y (ϖ ) = bmϖ m X (ϖ ) + ϖ m−1bm−1 X (ϖ ) + L + b0 X (ϖ ) ( ) ( Y (ϖ ) ϖ n + an −1ϖ n −1 + L + a0 = X (ϖ ) bmϖ m + ϖ m−1bm−1 + L + b0 )de donde se obtiene que bmϖ m + ϖ m−1bm−1 + L + b0 Y (ϖ ) = X (ϖ ) ⇒ Y (ϖ ) = G (ϖ )· X (ϖ ) ϖ n + an−1ϖ n−1 + L + a0 14444244443 función de transferencia G (ϖ ) Función de Transformada de Laplace de la = transferencia Respuesta Impulsional2.3. ¿A partir de la señal en el dominio temporal, cómo podemos obtener las señales bajo el dominio de la Transformada de Laplace?Cálculos de la Transformada de Laplace de cada señal e jat − e − jat sen(at ) = 2j e jat + e − jat cos(at ) = L [x(t )] = X (ϖ ) = ∫0 x(t )e − st dt +∞ 2 [Escribir el nombre de la compañía] | Transformadas 11
  12. 12. [CONTROL CONTINUO MITIT Transformada de Laplace de señales utilizadas en Teoría de Sistemas Expresión matemática Expresión matemática en ω Señal en t Unitaria Amplitud A 0 t<0 U (ϖ ) = A u (t ) =  U (ϖ ) = 1 Escalón 1 t≥0 ϖ ϖ 0 t<0 ℜ(ϖ ) = A r (t ) =  ℜ(ϖ ) = 1 Rampa t t≥0 ϖ2 ϖ2 0 t < 0 P (ϖ ) = A 2 p (t ) =  2 P(ϖ ) = 2 Parábola ϖ3 ϖ3 t t ≥ 0 0 t < 0 P.G.(ϖ ) = A n! p.g.(t ) =  n P.G.(ϖ ) = Potencia n! ϖ n+1 ϖ n +1 t t ≥ 0 genérica 0 t ≠ 0 Impulso δ (t ) =  ∆(ϖ ) = 1 ∞ t = 0 0 t < 0 E 0 (ϖ ) = A e0 (t ) =  −at E0 (ϖ ) = 1Exponencial t≥0 ϖ +a ϖ +a e 0 t < 0 1 E1 (ϖ ) = AExponencial e1 (t ) =  −at E1 (ϖ ) = por t te t≥0 (ϖ + a )2 (ϖ + a )2 0 t < 0 2 E 2 (ϖ ) = A 2Exponencial e2 (t ) =  2 −at E 2 (ϖ ) = por t2 t e t≥0 (ϖ + a )3 (ϖ + a )3 0 t < 0 n! E n (ϖ ) = A n!Exponencial en (t ) =  n − at E n (ϖ ) = genérica t e t≥0 (ϖ + a )n+1 (ϖ + a )n+1 0 t < 0 s(t ) =  S (ϖ ) = a S (ϖ ) = A a Senoidal sen(at ) t ≥ 0 ϖ + a2 ϖ + a2 2 2 0 t < 0 ϖ ϖCosenoidal c(t ) =  C (ϖ ) = C (ϖ ) = A cos(at ) t ≥ 0 ϖ +a ϖ + a2 2 2 2 Seno por 0 t < 0 a aA una s.e.(t ) =  −bt S .E.(ϖ ) = S .E.(ϖ ) =exponencial e sen(at ) t ≥ 0 (ϖ + b )2 + a 2 (ϖ + b )2 + a 2Coseno por 0 t < 0 C.E.(ϖ ) = ϖ +b C.E.(ϖ ) = (ϖ + b )A una c.e.(t ) =  −btexponencial e cos(at ) t ≥ 0 (ϖ + b )2 + a 2 (ϖ + b )2 + a 2 [Escribir el nombre de la compañía] | Transformadas 12
  13. 13. [CONTROL CONTINUO MITIT2.4. ¿A partir de la señal bajo el dominio de la Transformada de Laplace, cómo podemos obtener las señales en el dominio temporal? L − 1 [X (ϖ )] = x(t ) = 1 + j∞ ∫− j∞ X (ϖ )e dt −ϖt 2πj Definición de Antitransformada de Laplace Para averiguar la Antitransformada de Laplace emplearemos el método de resoluciónmediante fracciones simples que se aplicará de la siguiente manera: N (ϖ ) X (ϖ ) = Si D (ϖ )¿Qué pasos he de seguir para realizar un Modelado de Sistemas Continuos? Los pasos que seguiremos para la obtención de la función de transferencia en sistemascontinuos son: ⇒ Partimos de la ecuación diferencial. ⇒ Obtendremos el punto de equilibrio o de funcionamiento (derivadas = 0). ⇒ Linealizaremos y expresaremos en variables incrementales las ecuaciones. ⇒ Transformaremos al dominio de Laplace. ⇒ Obtendremos la función de transferencia (despejando o con diagramas de bloques). 3. Transformada Z. Z [x(t )] = X ( z ) = ∫ x(t )z − Kt dt . +∞ - Señales continuas −∞Transformada para +∞ - Señales discretas Z [{xk }] = X ( z ) = ∑x z k −k . k = −∞ No obstante, en Teoría de Sistemas emplearemos la siguiente expresión puesto quepara instantes inferiores al cero supondremos que todas las señales con las que trabajamosson nulas: +∞ Z [{xk }] = X ( z ) = ∑ xk z −k k =0 [Escribir el nombre de la compañía] | Transformadas 13
  14. 14. [CONTROL CONTINUO MITIT3.1. ¿Cuáles son las propiedades de la Transformada Z? i) Linealidad. Z [{xk }] = X ( z ) Si  ⇒ Z [α ·{xk }+ β ·{yk }] = α · X ( z ) + β ·Y ( z ) Z [{yk }] = Y ( z )  ii) Desplazamiento en el dominio de la variable k. Si Z [{x k }] = X ( z ) ⇒ Z [{xk −n }] = Z − n X ( z ) iii) Diferenciación en el dominio Z. Si Z [{xk }] = X ( z ) ⇒ Z [{k · xk }] = − z X (z ) d dz iv) Multiplicación por una exponencial. [{ }] Si Z [{xk }] = X ( z ) ⇒ Z a k · xk = X a −1 · z ( ) v) Teorema del valor inicial. Si Z [{xk }] = X ( z ) ⇒ lim+ xk = lim X ( z ) k →0 z →+∞ vi) Teorema del valor final. Si Z [{xk }] = X (z ) ⇒ lim xk = lim 1 − z −1 · X (z ) k →+∞ z →1 ( ) vii) Teorema de Convolución. Z [{xk ,1 }] = X 1 (z )   ⇒ L [{x k ,1 }* {xk , 2 }] = X 1 (z )· X 2 (z ) Z [{xk , 2 }] = X 2 (z ) Si3.2. ¿Cómo podemos sacarle partido a la Transformada Z en Teoría de Sistemas?Aplicada sobre la Secuencia de Ponderación: {xk } {yk } = {xk }* {g k } ⇒ Z [{yk }] = Z [{xk }* {g k }] ⇒ Z [{yk }] = Z [{xk }]·Z [{g k }] {gk} Y ( z ) := Z [{yk }]    X ( z ) := Z [{xk }]   G ( z ) := Z [{g k }] ⇒ Y ( z ) = X ( z )·G(z )   Z [{yk }] = Z [{xk }* {g k }]  [Escribir el nombre de la compañía] | Transformadas 14
  15. 15. [CONTROL CONTINUO MITIT Aplicada sobre la ecuación en diferencias: Supongamos la siguiente ecuación diferencial ordinaria: y k + a1 y k −1 + a2 yk −2 + L + an−1 yk −(n−1) + an y k −n = b0 xk + b1 xk −1 + b2 xk −2 + L + bm−1 xk −(m −1) + bm xk −m Aplicamos la Transformada Z: [ ] [ Z y k + a1 y k −1 + a 2 y k − 2 + L + a n−1 y k −(n−1) + a n y k − n = Z b0 x k + b1 x k −1 + b2 x k −2 + L + bm−1 x k −(m −1) + bm x k −m ] [ ] [ Z [ y k ] + Z [a1 y k −1 ] + Z [a 2 y k − 2 ] + L + Z a n−1 y k −(n−1) + Z [a n y k −n ] = Z [b0 x k ] + Z [b1 x k −1 ] + Z [b2 x k −2 ] + L + Z bm−1 x k −(m −1 ) ] + Z [b x m ] k −m [ Z [ y k ] + a1Z [ y k −1 ] + a 2Z [ y k − 2 ] + L + a n−1Z y k −(n−1 ) ]+ a Z [y n ] = b Z [x ] + b Z [x ] + b Z [x ] + L + b Z [x k −n 0 k 1 k −1 2 k −2 m −1 k −( m −1 ) ] + b Z [x m ] k −mY ( z ) + a1 z Y ( z ) + a 2 z Y ( z ) + L + a n−1 z −1 −2 Y ( z ) + a n z Y ( z ) = b0 X ( z ) + b1 z X ( z ) + b2 z X ( z ) + L + bm −1 z −( n −1) −n −1 −2 −( m −1) X ( z ) + bm z −m X ( z ) ( ) ( Y ( z ) 1 + a1 z −1 + a 2 z −2 + L + n−1 z −(n−1) + a n z − n = X ( z ) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + L + bm −1 z −(m−1) + bm z −m ) De donde se obtiene que b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + L + bm−1 z −(m−1) + bm z − m Y (z ) = X ( z ) ⇒ Y ( z ) = G ( z )· X ( z ) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + L + n−1 z −(n−1) + an z −n 14444444 244444444 4 3 función de transferencia G ( z ) Función de Transformada Z de la Secuencia de = transferencia ponderación [Escribir el nombre de la compañía] | Transformadas 15
  16. 16. [CONTROL CONTINUO MITIT 3.3. ¿A partir da la señal en el dominio k, cómo podemos obtener las señales bajo el dominio de la Transformada Z? Transformada Z de señales generalmente utilizadas en Teoría de Sistemas Seña Expresión matemática en el dominio Expresión matemática en z Cociente de polinomios en Cociente de polinomios l temporal potencias negativas de z en potencias negativas de z Escalón {uk } = {1,1,1,...} U (z ) = 1 U (z ) = z 1 − z −1 z −1 z −1 R (z ) = z {rk } = {0,1,2,3,...} = {k } R (z ) = Rampa (1 − z ) −1 2 (z − 1)2 1 + z −1 z2 {pk } = {0,1,4,9,...} = {k 2 } P (z ) = z −1 P (z ) = (1 − z ) Parábola −1 3 (z − 1)3 Potencia genérica {pg k } = {0 p ,1 p ,2 p ,...} = {k p } NO TIENE FORMA GENERAL SENCILLA Impulso {δ k } = {1,0,0,...} ∆(z ) = 1Exponencial { e } = {a , a , a ,...} = {a } 0 k 0 1 2 k U (z ) = 1 1 − az −1 U ( z ) = −1 a −1 z a z −1 az −1 a −1 zExponencial { e } = {0a ,1·a ,2·a 1 0 1 2 } { } ,3·a 3 ,... = ka k R (z ) = R (z ) = por k k (1 − az ) −1 2 (a −1 z − 1)2Exponencial { e } = {0a ,1·a ,4·a ,9·a ,...} = {k a } 2 0 1 2 3 2 k P (z ) = 1 + az −1 az −1 P (z ) = (a z ) −1 2 por k2 k (1 − az ) −1 3 (a −1 z −1 ) 3Exponencial genérica { e } = {0 p k p } { a 0 ,1 p a1 ,2 p a 2 ,... = k p a k } NO TIENE FORMA GENERAL SENCILLA Senoidal {senk } = {1,−1,1,−1,...} = {(− 1)k } U (z ) = 1 U (z ) = z 1 + z −1 z +1Cosenoidal {cosk } = {− 1,1,−1,1,...}(− 1)k +1 } { U (z ) = −1 U (z ) = −z 1 + z −1 z +1 Seno por una {esenk } = {a 0 ,−a1 , a 2 ,−a 3 ,...} = {(− a )k } U (z ) = 1 U (z ) = a −1 zexponencial 1 + az −1 a −1 z + 1Coseno por una {ecosk } = {− a 0 , a1 ,−a 2 , a 3 ,...}{(− a )k +1 } U (z ) = −1 U (z ) = − a −1 zexponencial 1 + az −1 a −1 z + 1 Cálculos de la Transformada Z de cada señal +∞ Z [{xk }] = X (z ) = ∑x z k −k k = −∞ [Escribir el nombre de la compañía] | Transformadas 16
  17. 17. [CONTROL CONTINUO MITIT3.4. ¿A partir de la señal bajo el dominio de la Transformada Z, cómo podemos obtener las señales en el dominio k? Z −1 [X (z )] = x (t ) = 1 ∫ X (z )dz 2π j Definición de Antitransformada Z3.5. ¿Cómo puedo realizar un Modelado de Sistemas Físicos Reales? ¿Qué pasos he de seguir para realizar un Modelado de Sistemas Continuos? Los pasos que seguiremos para la obtención de la función de transferencia en sistemascontinuos son: ⇒ Partimos de la ecuación en diferencias. ⇒ Obtendremos el punto de equilibrio o de funcionamiento (las señales toman valor constante). ⇒ Linealizaremos y expresaremos en variables incrementales las ecuaciones. ⇒ Transformaremos al dominio Z. ⇒ Obtendremos la función de transferencia (despejando o con diagramas de bloques).3.6. ¿Cómo obtener un sistema continuo a partir de uno discreto? ¿Y viceversa? Mediante el muestreo y reconstrucción de señales, se estudia la combinación deseñales continuas discretas. Será una mezcla de señales continuas y discretas de modo que,por ejemplo, seamos capaces de utilizar un control por computador para inspeccionar unsistema físico. Añadiremos a nuestros conocimientos dos conceptos nuevos: Muestreador Capaz de convertir una señal continua en otra discreta. Bloqueador Capaz de convertir una señal discreta en una continua. i) El muestreador. Por definición, un muestreador es capaz de convertir señales analógicas continuas enseñales secuenciales tal y como se muestra en la siguiente figura: Su ecuación de comportamiento es : xk = x (kT). x (t ) {xk } T [Escribir el nombre de la compañía] | Transformadas 17
  18. 18. [CONTROL CONTINUO MITIT Con respecto al período de muestreo, podemos decir que éste es un aspecto muyimportante en el momento de su elección puesto que dependiendo del tamaño de éste, laseñal podrá estar bien determinada o no cuando ésta se convierta. Por ejemplo, si la señaltiene muchas oscilaciones, hemos de elegir un período de muestreo corto para evitar que sedegrade demasiado la señal. {xk } x (t ) ⇒ k {xk } t k Cada señal necesitará un período de muestreo adecuado a los requerimientos quenecesite cada señal, por ejemplo, un señal de sonido no necesita el mismo período demuestreo que una de temperatura. [Escribir el nombre de la compañía] | Transformadas 18
  19. 19. [CONTROL CONTINUO MITIT 1. CONTROL DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE CORRIENTE CONTINUAPuede observarse en la figura siguiente el esquema de un motor CC: 1.1. Subsistema magnético El devanado de inducido del motor consiste en un arrollamiento de varias espiras quepuede girar en un campo magnético constante. Dicho campo magnético puede ser generadopor un imán permanente o por un devanado de excitación debido a una bobina por la quecircula una corriente de excitación if(t), que supondremos constante. Al circular unacorriente ia(t)por el devanado de inducido, como resultado de la interacción con el campomagnético se ejerce sobre él un par T(t) que es directamente proporcional al campo magnéticoy a la propia corriente de inducido ia(t): T(t) = Kt.ia(t) El giro de las espiras del devanado de inducido en presencia del campo magnético,produce en bornas del mismo una caída de tensión o fuerza contraelectromotriz, e(t),proporcional a su velocidad de giro: 1.2. Subsistema eléctrico Por otro lado, el devanado de inducido es una resistencia Ra y una inductancia La, sobreel que hay que considerar la fuerza contraelectromotriz como una fuente de tensióndependiente de la velocidad de giro. La ecuación en la malla de inducido será, por tanto: 1.3. Subsistema mecánico El par mecánico T(t) desarrollado por el motor se emplea para imprimir aceleraciónangular a la carga y en vencer la fuerza de fricción : [Escribir el nombre de la compañía] | CONTROL DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE 19 CORRIENTE CONTINUA
  20. 20. [CONTROL CONTINUO MITIT Aplicando la transformada de Laplace y teniendo en cuenta que la velocidadangular Ωm(s) = sΘm(s) se tiene: Va(s) = (Ra + sLa)Ia(s) + KesΘm(s) 1.4. Función de transferencia Agrupando términos, la función de transferencia que relaciona la tensión de inducidocon la posición angular y con la velocidad angular son A continuación procedemos a introducir los datos correspondientes del sistema en elprograma MatLab:>> Jm=0.01;>> La=0.5;>> Ra=1;>> b=0.1;>> Ke=0.01;>> Kt=0.01;>> NUM_motor=[Kt];>> DEN_motor=[Jm*La (Jm*Ra+La*b) (Ra*b+Ke*Kt)];>> SISTEMA=tf(NUM_motor,DEN_motor) Transfer function: 0.01---------------------------0.005 s^2 + 0.06 s + 0.1001 Como puede observarse en la última línea de código implementada, el sistema es desegundo orden. [Escribir el nombre de la compañía] | CONTROL DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE 20 CORRIENTE CONTINUA
  21. 21. [CONTROL CONTINUO MITIT Empleando la función roots() en el denominador obtenemos como resultado que lospolos del sistema (las raíces del polinomio del denominador) son -9.9975 y -2.0025. Puesto quela parte real de los polos del sistema se encuentran ubicados en el semiplano negativo,podemos afirmar que el sistema es estable. Para mostrar un ejemplo, implementaremos elesquema en Simulink y exitaremos el sistema ante una entrada escalón de valor 1 V: Kt 1 1 (Jm*La)^(-1) s s Step Gain2 Gain3 aceleración velocidad Gain Jm*Ra+La*b Gain1 Ra*b+Ke*Kt velocidad To Workspace Otra forma de representación en matLab es basándonos en el bloque de simulinkTransfer Function: NUM_motor(s) DEN_motor(s) Step1 Transfer Fcn Scope2 También podríamos haber empleado el bloque LTI System de la librería Control SystemToolbox. En cualquier caso, los resultados obtenidos ante una entrada escalón de 1 V para elvalor de la velocidad angular son: [Escribir el nombre de la compañía] | CONTROL DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE 21 CORRIENTE CONTINUA
  22. 22. [CONTROL CONTINUO MITIT Respuesta del sistema ante entrada escalón de 1 V 0.1 0.09 0.08 e c a n u r a /s) V lo id da g la (R d 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TIEMPO (s) El sistema se comporta de forma estable ante una entrada acotada puesto que susalida también es acotada. Si probáramos de forma infinita con un número indeterminado deseñales de entrada, conseguiríamos demostrar que el sistema es estable puesto que paracualquier entrada acotada, el sistema obtiene una salida acotada. Esto se demuestra puestoque los polos tienen su parte real en el semiplano negativo. Como podemos observar, ante unaentrada escalón de, la salida del sistema es de 0.1. Si deseásemos que la salida fuera igual quela entrada, en principio, bastaría con añadir un bloque controlador que multiplicara por diez elsistema, es decir, Kt 10 1 1 (Jm*La)^(-1) s s Step2 Gain7 Gain9 Gain8 aceleración velocidad1 ángulo1 Gain5 Jm*Ra+La*b Gain6 Ra*b+Ke*Kt angulo1 To Workspace1 [Escribir el nombre de la compañía] | CONTROL DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE 22 CORRIENTE CONTINUA
  23. 23. [CONTROL CONTINUO MITIT Respuesta del sistema ante entrada escalón de 1 V 1 0.9 0.8 Velocidad angular (Rad/s) 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TIEMPO (s) Obviamente, hemos obtenido una salida que se ajusta a nuestras especificaciones. Sinembargo, esta solución puede resultar engañosa puesto que sólo será válida si el sistema semantiene sin sufrir deterioro para la eternidad. Obviamente, esto no es así porque con eltiempo, las variables del sistema: los valores de resistencias, inductancias, viscosidad,… se venmodificadas a lo largo de la vida del motor. Por ello, está solución sólo resuelve momentáneamente el problema por lo que hemosde intentar controlar el sistema de una forma más fiable. Para ello, empezaremos cerrando elbucle. De este modo, la información de salida nos sirve para realimentar el sistema y que lanueva salida tenga como información la entrada actual y la salida en el instante anterior. Noobstante, sólo con cerrar el lazo no es suficiente: Respuesta del sistema ante entrada escalón de 1 V 0.1 0.09 0.08 V l cd d n u r( a / ) e i a a g l Rds 0.07 a 0.06 0.05 0.04 o 0.03 0.02 0.01 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TIEMPO (s) [Escribir el nombre de la compañía] | CONTROL DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE 23 CORRIENTE CONTINUA
  24. 24. [CONTROL CONTINUO MITIT SISTEMA Step5 Scope3 LTI System3 angulo To Workspace1 El sistema sigue siendo estable pero la ganancia del mismo ha bajado. Por tanto,necesitaremos modificar el sistema. Para ello, recordaremos la aplicación de dos métodos para controlar un sistema: • Controladores PID. • Lugar de las raíces. Partimos nuestra pequeña odisea en el control del motor eléctrico exponiendo lasdiferentes especificaciones para el comportamiento de nuestro sistema: • Sobreoscilación: Mp ≤ 5 % • Error en régimen permanente: ep ≤ 1 % • Tiempo de establecimiento: ts ≤ 2 s 2. CONTROLADORES PID. [Escribir el nombre de la compañía] | CONTROLADORES PID. 24
  25. 25. [CONTROL CONTINUO MITIT[Escribir el nombre de la compañía] | CONTROLADORES PID. 25
  26. 26. [CONTROL CONTINUO MITIT[Escribir el nombre de la compañía] | CONTROLADORES PID. 26
  27. 27. [CONTROL CONTINUO MITIT Efectos de las acciones de los Reguladores PID: • Regulador P: Aumenta la ganancia de la cadena directa del sistema. Reduce loserrores en régimen permanente. Modifica el transitorio y puede tender a desestabilizar elsistema en muchos casos si K aumenta demasiado. • Regulador I: Aumenta el tipo de la cadena directa del sistema. Mejora los errores enrégimen permanente. Anula el efecto sobre el régimen permanente del sistema, de lasperturbaciones que afectan al sistema entre el regulador y la salida. • Regulador PI: Aumenta la ganancia y el tipo de la cadena directa del sistema,combinando los efectos de los dos reguladores anteriores. Si el cero se encuentra muypróximo al origen con respecto a los polos dominantes del sistema, apenas modifica eltransitorio del sistema comparado con un regulador P con la misma ganancia K. • Regulador PD: Su ganancia, polo y cero permiten modificar la situación final de lospolos dominantes del sistema en bucle cerrado. Permite definir el comportamiento transitoriodel sistema. Por lo general estabiliza el sistema si se utiliza un valor de ganancia K moderado.Es muy sensible a perturbaciones de alta frecuencia. • Regulador PID: Es un compendio de los efectos de los reguladores anteriores. Básicamente el regulador que hemos añadido se trata de un bloque donde vanincluidas las tres acciones del PID: • Proporcional. • Integral. • Derivativa. 40 angulo P To Workspace 1Step4 50 SISTEMA s Acción integral I Scope1 LTI System2 du/dt 0 Acción derivativa D [Escribir el nombre de la compañía] | CONTROLADORES PID. 27
  28. 28. [CONTROL CONTINUO MITIT La forma de la ecuación de un control por PID es como se muestra a continuación: u Que aplicando la transformada de Laplace: U 1 ⇔ Mp ts ep ↓ hasta KP ↑ crece ≈ cierto límite Elimina el KI ↑ decrece ↑ empeora error KD ↓ crece ↓ disminuye ≈ Basándonos en la tabla anterior empezaremos a iterar en busca de un controlador quesatisfaga las condiciones impuestas. Empleando una acción proporcional de 40 y una integral de 50 se consigue controlar elsistema bajo las especificaciones exigidas. La acción proporcional nos permite mejorar laganancia del sistema, subiendo la magnitud de la salida. No obstante sólo con una acciónproporcional era imposible eliminar el error en régimen permanente. Para ello, introducíamosuna acción integral de 50 que nos permite eliminar el error. El resultado se muestra acontinuación. Tal y como se observa en la gráfica, el tiempo de establecimiento es deaproximadamente 0,3 s (por lo que es inferior a los 2 s solicitados). Con respecto a lasobreoscilación, podemos decir que se encuentra entre 2-4 % por lo que es inferior al 5 % de lasobreoscilación solicitada. Como puede observarse, el error en régimen permanente esprácticamente nulo por lo que es inferior a un 1 %. [Escribir el nombre de la compañía] | CONTROLADORES PID. 28
  29. 29. [CONTROL CONTINUO MITIT Respuesta del sistema ante entrada escalón de 1 V 1.4 1.2 Velocidad angular (Rad/s) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TIEMPO (s) Tal y como se observa en la gráfica, el tiempo de establecimiento es deaproximadamente 0,3 s (por lo que es inferior a los 2 s solicitados). Con respecto a lasobreoscilación, podemos decir que se encuentra entre 2-4 % por lo que es inferior al 5 % de lasobreoscilación solicitada. Como puede observarse, el error en régimen permanente esprácticamente nulo por lo que es inferior a un 1 %. El lagoritmo para obtener un controlador PID son los siguientes: 1. Obtener la respuesta en bucle abierto y determinar que no se cumplen los requerimientos. 2. Usar una acción proporcional P para mejorar el error y el tiempo de establecimiento. 3. Usar una acción Proporcional-Derivativa para mejorar la sobreoscilación. 4. Añadir una acción integral para eliminar el error en régimen permanente. 5. Ajustar las 3 acciones hasta obtener la respuesta deseada. Desarrollando la expresión del controlador PID: U / U ! " # [Escribir el nombre de la compañía] | CONTROLADORES PID. 29
  30. 30. [CONTROL CONTINUO MITIT Esto nos indica que el controlador es físicamente irrealizable puesto que el orden delnumerador es superior al del denominador. Por ello, debemos buscar una solución mejor alproblema por lo que emplearemos el método del lugar de las raíces y que pueda resolverse deforma más mecánica. 3. MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES. Durante la 3ª sesión de la asignatura (la segunda de ramón P. Ñeco) se procedió alrepaso del método del lugar de las raíces. Con este método logramos representar los polos enbucle abierto en función de los polos en bucle cerrado. Además, nos permite caracterizar elsistema dinámicamente. • Respuesta Transitoria Adecuada: – Transitorio suficientemente rápido. – Amortiguamiento adecuado. El lugar de raíces de una función de transferencia H(s) (en lazo abierto) es un diagramade los lugares de todos los polos a lazo cerrado posibles con ganancia proporcional k yrealimentación unitaria donde los polos del sistema a lazo cerrado son valores de s tales que 1+ K H(s) = 0. Sin importar el valor de k que elijamos, el sistema a lazo cerrado debe tener siempre npolos, donde n es la cantidad de polos de H(s). El lugar de raíces debe tener n ramas, cadarama empieza en un polo de H(s) y termina en un cero de H(s). Si H(s) tiene más polos queceros (el caso normal), m < n y decimos que H(s) tiene ceros en el infinito. En este caso, ellímite de H(s) cuando s -> infinito es cero. El número de ceros en el infinito es n-m, la cantidadde polos menos la cantidad de ceros, y es la cantidad de ramas del lugar de raíces que van alinfinito (asíntotas). Como el lugar de raíces son realmente los lugares de todos los polos posibles a lazocerrado, del lugar de raíces podemos elegir una ganancia tal que nuestro sistema a lazocerrado haga lo que queramos. Si cualquiera de los polos elegidos está en el semiplanoderecho, el sistema a lazo cerrado será inestable. Los polos más cercanos al eje imaginario sonlos que mayor influencia tienen en la respuesta a lazo cerrado, de modo que a pesar que elsistema tenga tres o cuatro polos, el mismo puede actuar como un sistema de segundo o aúnde primer orden, dependiendo de la ubicación del/los polo/s dominante/s. La mejor manera de entender el método del lugar geométrico de las raíces espracticando. Por ello, empezaremos por intentar controlar el motor aplicando este método. Acontinuación obtendremos el lugar de las raíces del motor. A continuación, dibujaremos las restricciones que representan la sobreoscilación y el 12tiempo de establecimiento: & $ % () * → , % -./ 0 ≅ 46,36° 34 $ [Escribir el nombre de la compañía] | MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES. 30
  31. 31. [CONTROL CONTINUO MITIT 2 2 % 2 → ; = ≅ 1,57 ; 2 Estas especificaciones se traducen en dos áreas geométricas en el plano imaginario. Laprimera supone un plano angular inferior a 46,36 grados mientras que la segunda supone elsemiplano con parte real inferior a 1,57. Primero dibujaremos el lugar geométrico de las raíces del sistema: Root Locus Editor f or Open Loop 1 (OL1) 4 0.91 0.83 0.72 0.58 0.4 0.2 3 0.96 2 0.99 1 mg xs I a Ai 10 8 6 4 2 0 -1 0.99 -2 0.96 -3 0.91 0.83 0.72 0.58 0.4 0.2 -4 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 Real A xis A continuación, dibujaremos las especificaciones junto con el lugar geométrico de lasraíces: Root Locus Editor f or Open Loop 1 (OL1) 4 0.91 0.83 0.72 0.58 0.4 0.2 3 0.96 2 0.99 1 Im gA is a x 10 8 6 4 2 0 -1 0.99 -2 0.96 -3 0.91 0.83 0.72 0.58 0.4 0.2 -4 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 Real Axis La zona en blanco es la permitida donde se cumplen las especificaciones.Si vamos variando el valor de K (modificando los polos del sistema en bucle cerrado) buscandoque se cumpla las especificaciones obtenemos que: [Escribir el nombre de la compañía] | MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES. 31
  32. 32. [CONTROL CONTINUO MITIT 0.8 System: Closed Loop r to y I/O: r to y Settling Time (sec): 0.495 System: Closed Loop r to y 0.7 I/O: r to y Final Value: 0.735 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Para un valor de la ganancia de 27,8 se obtiene una sobreoscilación de un 5%, untiempo de establecimiento por debajo de 0,5 segundos y un error superior al 1%. Se cumplendos de las tres especificaciones. Ya nos encontramos en el límite de la región por lo que ya nopodemos mejorar la respuesta del sistema. Por ello, proponemos soluciones más drásticascomo por ejemplo tratar de deformar el lugar de las raíces haciendo que la mayor parte deeste, o incluso íntegramente, se encuentre dentro de las regiones permitidas. Para saber cómo colocar el par de polo y cero realizaremos lo siguiente. Calcularemos 1el error del sistema deseado que debe ser inferior a 1%: %1→ → = 99 1 lim F G donde aplicando el teorema del valor final, D→E lim ( D→E HI J HI F J K F K ( = 99 ( F K ( K es el valor de la ganancia que hemos obtenido anteriormente, de 27,8. Ke tiene unvalor de 0.01. El valor del cero z lo tomaremos como la 2,4 parte de polo deseado que loseleccionamos como la vertical del lugar de las raíces. Empleando la función roots() obtenemos [Escribir el nombre de la compañía] | MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES. 32
  33. 33. [CONTROL CONTINUO MITITque los polos del sistema abierto son: -9.9975 y -2.0025. El punto medio entre ambos seencuentra en -6, por lo que el valor de z será 6/2,4 = 2,5 (parte real negativa). Despejando 2,5 0,01obtenemos: 27,8 = 99 → 0,070 0,1001El lugar de las raíces ahora es: Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) 30 0.28 0.19 0.135 0.095 0.06 0.03 25 0.4 20 20 15 10 10 0.7 5 I m a g A x is 0 5 -10 0.7 10 15 -20 20 0.4 25 0.28 0.19 0.135 0.095 0.06 0.03 -30 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 30 0 Real AxisPara una K de 1112, la respuesta del sistema es: [Escribir el nombre de la compañía] | MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES. 33
  34. 34. [CONTROL CONTINUO MITIT1.41.2 System: Closed Loop r to y I/O: r to y Peak amplitude: 1.03 Overshoot (%): 3.72 At time (sec): 1.19 System: Closed Loop r to y I/O: r to y System: Closed Loop r to y Final Value: 0.991 1 I/O: r to y Settling Time (sec): 0.7340.80.60.40.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Las especificaciones técnicas se cumplen y son: • Sobreoscilación: Mp = 3,72 ≤ 5 % • Error en régimen permanente: ep =0,9 ≤ 1 % • Tiempo de establecimiento: ts = 0,734 ≤ 2 s [Escribir el nombre de la compañía] | MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES. 34
  35. 35. [CONTROL CONTINUO MITITEjercicio optativo 1. 5 El sistema es: G 3 2 Las especificaciones técnicas se cumplen y son: • Sobreoscilación: Mp ≤ 20,8 % • Error en régimen permanente: ep ≤ 20 % • Tiempo de establecimiento: ts ≤ 1,57 s Se emplea el siguiente código de MatLab:>> NUM_1=[5];>> DEN_1=conv([1 3],[1 2]);>> SISTEMA1=tf(NUM_1,DEN_1)Transfer function: 5-------------s^2 + 5 s + 6 A continuación, dibujaremos las restricciones que representan la sobreoscilación y el 12tiempo de establecimiento: & $ % () * → , % -./ 0 ≅ 63,44° 34 $ 2 2 % 1,57 → ; = ≅ 2,00 ; 1,57 Estas especificaciones se traducen en dos áreas geométricas en el plano imaginario. Laprimera supone un plano angular inferior a 63,44 grados mientras que la segunda supone elsemiplano con parte real inferior a 2,00. [Escribir el nombre de la compañía] | MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES. 35
  36. 36. [CONTROL CONTINUO MITIT Primero dibujaremos el lugar geométrico de las raíces del sistema: Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) 5 4 3 2 1 Imag Axis 0 -1 -2 -3 -4 -5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 Real Axis A continuación, dibujaremos las especificaciones junto con el lugar geométrico de lasraíces: Root Locus Editor f or Open Loop 1 (OL1) 5 4 3 2 1 Imag Axis 0 -1 -2 -3 -4 -5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 Real Axis [Escribir el nombre de la compañía] | MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES. 36

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