Control Adaptativo
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  • 1. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Introducción al control adaptativo. La técnica del Control Adaptativo surge a partir de 1950 con el fin de dar solución aproblemas de control en los que las características del sistema a controlar son variables o pococonocidas. El término control adaptativo posee diversos significados pero, en términos generales,implica que un sistema mida las características dinámicas de una planta (función detransferencia o ecuación de estado) en forma continua y automática, las compare con lascaracterísticas dinámicas deseadas y utilice la diferencia entre ambas para variar losparámetros ajustables del sistema (estos parámetros suelen ser las características delcontrolador) o genera una señal actuante, de modo que se mantenga un desempeño óptimo;por tanto es capaz de acomodarse a modificaciones no predecibles de un medio, sean esoscambios internos o externos al sistema, un esquema general es mostrado en la figurasiguiente. Ilustración 1. Esquema general de un control adaptativo. Si la función de transferencia G(s) o la ecuación de estado de una planta estáidentificada continuamente, las variaciones que puedan aparecer en la función detransferencia o en la ecuación de estado de la planta son compensadas sólo con modificar losparámetros ajustables del controlador. De este modo, se obtiene un diseño continuado delsistema bajo diversas condiciones ambientales y de degeneración, cuyo comportamiento serásatisfactorio independientemente de la situación. Jaime Martínez Verdú | Introducción al control adaptativo. 1
  • 2. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Tal método de adaptación es de gran utilidad para afrontar un problema en el cual laplanta se encuentre indefectiblemente expuesta a condiciones ambientales variables y deenvejecimiento, de manera que los parámetros de la planta variasen respecto al tiempo. Esteconcepto es de gran interés para diseñadores de sistemas, ya que un sistema adaptativo,además de aceptar modificaciones ambientales y por envejecimiento de los componentes,admite errores de diseño de ingeniería o incertidumbre y es capaz de compensar las fallas decomponentes menores, incrementando así la confiabilidad del sistema. A pesar de las utilidades del control adaptativo expuestas anteriormente, no son sóloestas puesto que también se emplean para contrarrestar los aspectos negativos que induce elcarácter no lineal de los sistemas. Los problemas de control en los sistemas no lineales hansido extensivamente estudiados en el pasado. No obstante, existe un gran interés en lacomprensión de la conducta de los sistemas no lineales en cuanto a la modelización eidentificación de la estructura y de los parámetros de tales sistemas cuando se diseña uncontrolador adaptativo. El Control adaptativo trata el problema de controlar la salida de la planta en presenciade incertidumbres paramétricas o estructurales debidas a las no linealidades. En el controladaptativo tradicional, para conseguir que un problema fuera tratable, la planta se suponíalineal con parámetros desconocidos. Se escogía una estructura de controlador, y losparámetros se ajustaban escogiendo una ley adaptativa, de modo que la salida de la plantasiguiera a la referencia asintóticamente. En definitiva, las razones por las cuales se emplean técnicas de control donde elcontrolador se adapta, es decir, los problemas a resolver empleando control adaptativo son: Desconocimiento de cómo es exactamente la función de transferencia . Somos incapaces de conocer los parámetros b o a, o éstas cambian con el tiempo. Debido a: o Cambio en las condiciones ambientales del sistema. o Cambio en las propiedades de los componentes del sistema debido al envejecimiento. No linealidad de los sistemas físicos reales. Clasificación de reguladores de Control Adaptativo Desde el principio de la tecnología de control adaptativo, se han propuesto dos clasesdistintas de controladores adaptativos. Desde el principio de la tecnología adaptativa, se hanpropuesto dos clases distintas de controladores adaptativos, directo e indirecto: En el directo, los parámetros del controlador se ajustan directamente en base a los datos de entrada-salida. En el indirecto, los parámetros de la planta se estiman y se ajustan en base a los datos de entrada-salida. Existen una gran variedad de esquemas adaptativos dentro de estas dos clases, talescomo el Model Reference Adaptive Control (MRAC), Self-Tuning Adaptive Control (STAC), Self-Organizing Fuzzy Logic (SOFLIC), Neural Networks (NN), y Neurofuzzy Adaptive Control (NAC). Jaime Martínez Verdú | Introducción al control adaptativo. 2
  • 3. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Para los procesos cuyos parámetros varían lentamente en el tiempo, los controladoresadaptativos con realimentación pueden ser divididos en dos grandes grupos: MIAS: Sistemas adaptativos con identificación de modelo (Model Identification Adaptive System). MRAS: Sistemas adaptativos con modelo de referencia (Model Reference Adaptive System) Los sistemas adaptativos con identificación de modelo (MIAS) determinan un modelodel proceso las medidas de entrada-salida y métodos de identificación. Aquí los parámetrosson calculados de acuerdo con un método de diseño del controlador programado conanterioridad. Esta clase de reguladores adaptativos también se denomina “self-tuningregulators”. Los sistemas adaptativos con modelo de referencia (MRAS) intentan obtener unarespuesta en bucle cerrado próxima a la dada por el modelo de referencia para la señal deentrada. Aquí una señal externa, por ejemplo la variable de referencia, es medida y ladiferencia entre las señales se forma usando las señales del bucle de control y del modelo dereferencia y cambiando los parámetros del controlador por medio de un método adaptativo. (A) (B) (C) Ilustración 2. Esquema de un MRAS (A) y de un MIAS (B y C). Jaime Martínez Verdú | Introducción al control adaptativo. 3
  • 4. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia Bajo este nombre se agrupan una serie de estrategias de control que tienen en comúncomo característica principal, el hacer uso explícito de un modelo del proceso, para obtener laseñal de control mediante la minimización de una cierta función de transferencia. En estesentido forman parte de una familia más amplia, en la que se hace uso de un modelo delproceso para diseñar el controlador: LQ, IMC, asignación de polos y ceros,... Además de garantizar la operación estable de la planta, los controladores avanzadosde hoy en día han de satisfacer una serie de criterios adicionales u objetivos secundarios decontrol: económicos, de seguridad, limitaciones físicas de los equipos, calidad del productofinal, regulaciones ambientales, preferencias humanas,... Muchos de estos modelos admitenuna representación matemática muy natural, bajo la forma de funciones objetivo dinámicas yligaduras dinámicas de tipo desigualdad. Ventajas y características del Control Adaptativo MRAS El control adaptativo basado en modelo de referencia tiene las siguientescaracterísticas: Uso explícito de un modelo para predecir las salidas futuras. Cálculo de cierta secuencia que minimice cierta función objetivo. El horizonte se va desplazando hacia el futuro, lo que implica la aplicación de la primera señal de control calculada en cada paso. Ventajas del control adaptativo basado en modelos sobre otros métodos: Se puede aplicar con pocos conocimientos de control, porque los conceptos son intuitivos y el sintonizado es relativamente sencillo. Se puede utilizar para controlar una gran cantidad de procesos, tanto sencillos como complejos; incluyendo sistemas con tiempos de retardo grandes y sistemas de fase no mínima. Se puede aplicar al caso multivariable. El controlador resultante es una sencilla ley de control lineal. Su extensión para tratar el caso con restricciones es conceptualmente sencilla y puede ser incluida durante el diseño. Es muy útil cuando las referencias futuras son conocidas. Es una metodología abierta. Diseño de reguladores de Control Adaptativo MRAS A partir de los cambios de pendiente del Bode podemos saber el número de polos yceros aproximadamente. Recordemos que el punto de funcionamiento o del sistema ya no esválida la linearización del sistema por lo que hay que usar control adaptativo. Además, hemosde recordar la necesidad de satisfacer las especificaciones técnicas: ts,Mp, ep. Supongamos unejemplo donde queremos que el sistema se comporte del siguiente modo: Ecuación 1 Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 4
  • 5. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Por tanto, la función de transferencia Gm(s) representa el modelo deseado o Modelode referencia y cumple que: - La salida del modelo será la salida que deseamos. - El mecanismo de ajuste tendrá unos parámetros sin definir: es lo que se va a adaptar. Ilustración 3. Esquema del control adaptativo MRAS. Regla del MIT Ilustración 4. Regla del MIT empleada en un control adaptativo MRAS. o Funciona bien pero es “peligroso”. o ABTE es para solucionarlo. o Es más complicado de diseñar. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 5
  • 6. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Ilustración 5. Comportamiento del error en un control adaptativo MRAS. METODO DEL GRADIENTE¿Cómo variar para min ? Ecuación 2 Ecuación 3 Ecuación 4 nos marca la velocidad de la pelota. Si es muy grande, puede saltar de un lado a otro. Si es muy pequeño, puede no darle tiempo a adaptarse. Ilustración 6. Comportamiento del error empleando el método del gradiente. DESARROLLO (UN PARÁMETRO) Supongamos un modelo tal que éste sea el resultado de una ganancia de la planta y que donde K desconocido. Supongamos que conocemos K: Definamos donde realmente el parámetro K es un valor desconocido. Acontinuación, se determina la expresión del error, es decir, la diferencia entre la salida delmodelo y la del sistema: donde, y . Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 6
  • 7. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Ecuación 5 Si aplicamos el operador derivada a la ecuación anterior tenemos que: Ecuación 6 Si calculamos la derivada temporal del parámetro theta tenemos lo siguiente: Ecuación 7 Redefinimos el parámetro gamma de modo que la ecuación obtenida, en realidaddebe quedar de este modo: Ecuación 8 donde el valor de gamma prima es el siguiente: Ecuación 9 Transformando las expresiones al dominio de Laplace tenemos que la Ley deAdaptación en Laplace es: Ecuación 10 Ilustración 7. Obtención de la Ley de Adaptación. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 7
  • 8. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT EJERCICIO A continuación estudiaremos y analizaremos los reguladores MRAS empleando paraello la siguiente función de transferencia: Ecuación 11 Para estudiar en profundidad las características de estos reguladores empelaremos lassiguientes entradas: - Entrada escalón (Step). - Senoidal (Sine Wave). - Pulsos (Pulse generator). - Señal aleatoria (Random Number). Deberemos verificar lo siguiente: o Comprobar si el sistema se inestabiliza para algún o Valor óptimo. Por ejemplo,  Para en seno se inestabiliza la salida.  Para no se consigue "cazar" el seno. o Representar el parámetro o Valor óptimo de Cuando tengamos que el sistema se estabiliza desconectamos el mecanismo deadaptación y ponemos una cota que será justamente el valor final de los parámetros. Para ellose ha empleado el siguiente código donde tenemos :K=1;sistema=tf(K*[1],[1 0.5]);Km=3;modelo=tf(Km*[1],[1 0.5]);gamma=1; gamma=0.4; gamma=0.1; Se ha llevado a cabo diferentes simulaciones buscando un parámetro gamma capaz dedar un buen resultado para todas las señales. Se han obtenido diversas gráficas donde el colorazul representa la señal de salida y error procedente del modelo y el color verde representa laseñal de salida y error procedente del sistema regulado por un MRAC. Se ha observado que para valores pequeños de gamma (0,1) los mejores resultados seobtienen para la señal de entrada escalón y sinusoidal tal y como se muestra en la Ilustración9. Se puede observar cómo, mientras que el sistema alcanza la salida deseada dentro de losprimeros 30 segundos para las entradas mencionadas, para las otras dos entradas tiene un malcomportamiento puesto que ni durante 100 segundos es capaz de llegar a la salida deseada. Por otro lado, para valores grandes de gamma (1) se obtienen los mejores resultadosdel sistema para el escalón, la entrada de pulso y la señal aleatoria (Ilustración 11). En estecaso, se alcanzan los valores deseados dentro de los primeros 30 segundos. Sin embargo, parala entrada sinusoidal se obtiene que el regulador inestabiliza el sistema. Buscando un valor óptimo para todas las entradas se han obtenido resultadosaceptables para un parámetro gamma de 0.4, tal y como se muestra en la Ilustración 10,donde a partir del minuto de simulación aproximadamente ya se alcanza la señal de salidadeseada. Se puede observar en todas las gráficas el valor en régimen permanente delparámetro theta de 3. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 8
  • 9. Km/K sistema LTI System PLANTA S sistema GANANCIA [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT modelo modelo LTI System1 MODELO S modelo para un step LTI System2 MODELO S modelo para una senoidal theta para un step theta para una senoidal Integrator Integrator1 1 1 -gamma -gamma s s Step Product11 Sine Wave Product21 Gain1 Comparación para un step Gain2 Comparación para una senoidal Error para un step Error para una senoidal Comp Theta-Error para un step Comp Theta-Error para una senoidal sistema sistema Product12 S sistema para un step Product22 S sistema para una senoidal LTI System1 PLANTA LTI System2 PLANTA modelo modelo LTI System3 MODELO S modelo para un pulse LTI System4 MODELO S modelo para una random theta para un pulse theta para una random Integrator3 Integrator2 1 1 -gamma -gamma s s Pulse Product31 Uniform Random Product41Generator Comparación para un pulse Number Comparación para una random Gain4 Gain3 Error para un pulse Error para una random Comp Theta-Error para un pulse Comp Theta-Error para una random sistema sistema Product32 S sistema para un pulse Product42 S sistema para una random LTI System3 PLANTA LTI System4 PLANTA Ilustración 8. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 9
  • 10. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 9. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,1. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 10
  • 11. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 10. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,4. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 11
  • 12. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 11. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 1. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 12
  • 13. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT EJERCICIO A continuación estudiaremos y analizaremos los reguladores MRAS empleando paraello la siguiente función de transferencia: Ecuación 12 Para estudiar en profundidad las características de estos reguladores empelaremos lassiguientes entradas: - Entrada escalón (Step). - Senoidal (Sine Wave). - Pulsos (Pulse generator). - Señal aleatoria (Random Number). Deberemos verificar lo siguiente: o Comprobar si el sistema se inestabiliza para algún o Representar el parámetro o Valor óptimo de Cuando tengamos que el sistema se estabiliza desconectamos el mecanismo deadaptación y ponemos una cota que será justamente el valor final de los parámetros. Para ellose ha empleado el siguiente código donde tenemos :K=1; sistema=tf(K*[1 0.7],conv(conv([1 0.5],[1 1.5]),[1 2]));Km=3; modelo=tf(Km*[1 0.7],conv(conv([1 0.5],[1 1.5]),[1 2]));gamma=0.75; gamma=0.5; gamma=0.3; : Aparece una situación de inestabilidad. : Para las señales pulse generator y random no hay buen comportamiento. : Obtenemos un resultado aceptable para todas las señales. Se ha llevado a cabo diferentes simulaciones buscando un parámetro gamma capaz dedar un buen resultado para todas las señales. Se han obtenido diversas gráficas donde el colorazul representa la señal de salida y error procedente del modelo y el color verde representa laseñal de salida y error procedente del sistema regulado por un MRAC. Se ha observado que para valores pequeños de gamma (0,3) los mejores resultados seobtienen para la señal de entrada escalón y sinusoidal tal y como se muestra en la Ilustración14. Se puede observar cómo, mientras que el sistema alcanza la salida deseada dentro de losprimeros 30 segundos para las entradas mencionadas, para las otras dos entradas tiene un malcomportamiento puesto que ni durante 100 segundos es capaz de llegar a la salida deseada.Por otro lado, para valores grandes de gamma (0,75) se obtienen los mejores resultados delsistema para el escalón, la entrada de pulso y la señal aleatoria (Ilustración 12). En este caso,se alcanzan los valores deseados dentro de los primeros 30 segundos. Sin embargo, para lasentradas escalón y sinusoidal se obtiene que el regulador inestabiliza el sistema. Buscando unvalor óptimo para todas las entradas se han obtenido resultados aceptables para unparámetro gamma de 0,5, tal y como se muestra en la Ilustración 13, donde a partir del minutoy medio de simulación ya se alcanza la señal de salida deseada. Se puede observar en todas lasgráficas el valor en régimen permanente del parámetro theta de 3. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 13
  • 14. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 12. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,75. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 14
  • 15. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 13. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,5. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 15
  • 16. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 14. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,3. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 16
  • 17. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT DESARROLLO (DOS PARÁMETROS) Supongamos un modelo y un sistema tal que éste sea las funciones de transferenciadel modelo y de la planta : Ecuación 13 Ecuación 14 donde los parámetros a y b son desconocidos. Definamos los parámetros y donde realmente los parámetros a y b son valores desconocidos. Acontinuación, se determina la expresión del control, es decir, la diferencia entre la salida delmodelo y la señal de entrada, aplicando asignación de polos: Ecuación 15 Aplicaremos la regla del MIT: Ecuación 16 Y la definición de error: Ecuación 17 De la función de transferencia en bucle cerrado del sistema con el controlador: Ecuación 18 De la Ecuación de control , se tiene el siguiente resultado: Ecuación 19 Remodelando la expresión se tiene que la salida en función de la señal de entradaresponde a la siguiente expresión: Ecuación 20 A continuación, se procede con el cálculo de las derivadas respecto a los dosparámetros para el error, sabiendo que y : Ecuación 21 Ecuación 22 Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 17
  • 18. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Por otro lado, podemos obtener el valor de la derivada del primer parámetro thetatransformando la expresión del siguiente modo: Ecuación 23 de donde  Suponiendo que estamos cerca de lasituación de adaptación. A continuación, se procede con el cálculo de las derivadas respecto al parámetro querestaba: Ecuación 24 Ecuación 25 Por otro lado, podemos obtener el valor de la derivada del segundo parámetro thetatransformando la expresión del siguiente modo: Ecuación 26 Recapitulando, tenemos que: Ecuación 27 Ecuación 28 Esto es lo mismo que: Ecuación 29 Ecuación 30 Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 18
  • 19. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT EJERCICIO A continuación estudiaremos y analizaremos los reguladores MRAS empleando paraello la siguiente función de transferencia: Ecuación 31 Ecuación 32 Para estudiar en profundidad las características de estos reguladores empelaremos lassiguientes entradas: - Senoidal (Sine Wave). Frec=0’5 Rad/s A=1 - Pulsos (Pulse generator). Amp=2 10 20 20 s o Comprobar si el sistema se inestabiliza para algún o Valor óptimo. Por ejemplo,  Para en seno se inestabiliza la salida.  Para no se consigue "cazar" el seno. o Representar el parámetro y o Valor óptimo deLuego probamos con a muy distinto de o b muy distinto de . Deberemos verificar lo siguiente: Cuando tengamos que el sistema se estabiliza desconectamos el mecanismo deadaptación y ponemos una cota que será justamente el valor final de los parámetros. Para ellose ha empleado el siguiente código donde tenemos y donderealmente los parámetros a y b son valores desconocidos:a=1;b=0.5;am=2;bm=2;porasig_sistema=tf([b],[1 a]);porasig_modelo=tf([bm],[1 am]);gamma=0.30;gamma=0.95;gamma=4.95;gamma=9.95;gamma=19.95;gamma=99.95; Se ha llevado a cabo diferentes simulaciones buscando un parámetro gamma capaz dedar un buen resultado para todas las señales. Se han obtenido diversas gráficas donde el colorazul representa la señal de salida procedente del modelo y el verde aquella procedente delsistema regulado. En las gráficas de la derecha el color azul y verde representan a losparámetros y , respectivamente, y el color rojo al error procedente del sistema reguladopor un MRAC. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 19
  • 20. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Se ha observado que para valores pequeños de gamma (0,3) los mejores resultados seobtienen para la señal sinusoidal tal y como se muestra en la Ilustración 16. Se puede observarcómo, mientras que el sistema alcanza la salida deseada para la entrada mencionada, para lasotras dos entradas tiene un mal comportamiento puesto que ni durante 100 segundos escapaz de llegar a la salida deseada. Por otro lado, para valores grandes de gamma (19,95 y 99,95) se obtienen los mejoresresultados del sistema para el random, (Ilustración 20 e Ilustración 21). En este caso, sealcanzan los valores deseados dentro de los primeros 30 segundos. Sin embargo, para laentrada sinusoidal se obtiene que el regulador no consigue estabilizar los parámetros. Buscando un valor óptimo para todas las entradas se han obtenido resultadosaceptables para un parámetro gamma de 9,95, tal y como se muestra en la Ilustración 19,donde a partir del minuto de simulación aproximadamente ya se alcanza la señal de salidadeseada. Se puede observar en todas las gráficas el valor en régimen permanente delparámetro theta 1 de 4 y theta 2 de 2: y .Ahora probamos con a muy distinto de o b muy distinto de . Para ello se ha empleado el siguiente valor donde tenemos y donde realmente los parámetros a y b son valores desconocidos: a = 10. En definitiva, se obtiene que los resultados son peores puesto que el sistema necesitamás tiempo para ir a los valores del sistema puesto que ahora están más “lejos” y por lo tanto,necesitamos más tiempo o mejor gamma. Se ha llevado a cabo diferentes simulaciones buscando un parámetro gamma capaz dedar un buen resultado para todas las señales. Se han obtenido diversas gráficas donde el colorazul representa la señal de salida procedente del modelo y el verde aquella procedente delsistema regulado. En las gráficas de la derecha el color azul y verde representan a losparámetros y , respectivamente, y el color rojo al error procedente del sistema reguladopor un MRAC. Se ha observado que para valores pequeños de gamma (0,3) los mejores resultados seobtienen para la señal sinusoidal. Se puede observar cómo, mientras que el sistema alcanza lasalida deseada para la entrada mencionada, para las otras dos entradas tiene un malcomportamiento puesto que ni durante 100 segundos es capaz de llegar a la salida deseada. El MRAS se basa en la idea de llevar el error e = Y –Ym a cero. Esto no implicanecesariamente que los parámetros del regulador sean los valores correctos. El caso cuando laseñal de entrada es cero es un contra ejemplo típico. Buscando un valor óptimo para todas lasentradas se han obtenido resultados aceptables para un parámetro gamma de 9,95, tal y comose muestra en la Ilustración 19, donde a partir del minuto de simulación aproximadamente yase alcanza la señal de salida deseada. Se puede observar en todas las gráficas el valor enrégimen permanente del parámetro theta 1 de 4 y theta 2 de 2: y . Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 20
  • 21. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT porasi g_model o porasi g_model o LT I System8 S model o para un Pul se LT I System12 S model o para un Random Error para un Pul se Error para un Random Comparaci ón para un Random Pul se Uni form Random Generator Number Comparaci ón para un Pul se Product6 Product14 porasi g_si stema porasi g_si stema Product8 Product16 1 1 LT I System9 S si stema para un Pul se 1 1 LT I System13 S si stema para un Random -gamma -gamma s+am s s+am s T ransfer Fcn Integrator3 T ransfer Fcn4 Integrator7 Gai n4 Gai n8 Product7 Product15 Product9 theta11 Product17 theta31 1 1 theta12 1 1 gamma gamma s+am s s+am s T ransfer Fcn1 Integrator5 T ransfer Fcn5 Integrator8 Gai n5 Gai n9 theta32Comparaci ón para theta-Error para un pul se Comparaci ón para theta-Error para un random porasi g_model o LT I System10 S model o para un seno Error para un seno Comparaci ón para un seno Si ne Wave2 Product10 porasi g_si stema Product12 1 1 LT I System11 S si stema para un seno -gamma s+am s T ransfer Fcn2 Integrator4 Gai n6 Product11 Product13 theta21 Comparaci ón para theta-Error para un seno 1 1 gamma s+am s T ransfer Fcn3 Integrator6 Gai n7 theta22 Ilustración 15. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 21
  • 22. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 16. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,3. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 22
  • 23. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 17. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,95. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 23
  • 24. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 18. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 4,95. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 24
  • 25. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 19. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 9,95. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 25
  • 26. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 20. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 19,95. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 26
  • 27. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 21. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 99,95. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 27
  • 28. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 22. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,3. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 28
  • 29. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 23. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,95. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 29
  • 30. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 24. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 4,95. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 30
  • 31. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 25. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 9,95. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 31
  • 32. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 26. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 19,95. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 32
  • 33. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 27. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 99,95. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 33
  • 34. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Diseño de reguladores MRAS basados en Teoría de la Estabilidad Una forma de lograr el ajuste de parámetros en un MRAS es intentar leyes de ajustetales que garanticen que el error vaya a cero. El problema consiste en encontrar una ley de realimentación tal que e = y – ym tiendaa cero y que esta condición esté garantizada. TEORÍA DE LA ESTABILIDAD DE LYAPUNOV En matemáticas, la noción de estabilidad de Lyapunov se da en el estudio de lossistemas dinámicos. De manera sencilla, si todas las soluciones de un sistema dinámico descrito por unafunción X(t) que se encuentre cerca de un punto de equilibrio Xo en una vecindad acotada por T, entonces las trayectorias de la función X(t) son estables según Lyapunov. De manera fuerte, si la solución comienza en la vecindad de X(0) y converge a Xo,entonces X(t) es asintóticamente estable en el sentido de Lyapunov. 2º TEOREMA DE LA ESTABILIDAD DE LYAPUNOV Lyapunov introdujo un método directo para investigar la estabilidad de una soluciónparticular de ecuaciones diferenciales no lineales. El equilibrio x = 0 es estable si se puede encontrar una función real en el espacio deestado cuyas curvas de nivel encierran el equilibrio tal que las derivadas de los variables deestado siempre apunten al interior de las curvas de nivel. Ilustración 28. Representación de las curvas de nivel que encierran el equilibrio. Dada la ecuación diferencial en variables de estado: Ecuación 33 donde x es vector de estado de dimensión n, f es una función tal que la solución existepara todo t ≥ to. El punto de equilibrio es el origen y, aunque esto parezca restrictivo, se puedelograr siempre cualquier punto del espacio con una sencilla transformación de coordenadas. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 34
  • 35. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Si existe una función V que cumple: 1) Ecuación 34 2) es diferenciable en y 3) es definida positiva: Ecuación 35 Ecuación 36 Ecuación 37 La condición suficiente de estabilidad del punto Esto viene a decir que el sistema va a de equilibrio x=0 es que sea definida tender a x=0 si se cumplen las negativa. condiciones del 2º Teorema. Una condición suficiente para garantizar que el equilibrio x = 0 es asintóticamenteestable es que la función: Ecuación 38 , es decir debe ser definida negativa. En el caso del control adoptable solo seexige que sea semidefinida negativa. Esto implica que se impone una condiciónadicional sobre el sistema: Lema (convergencia). Si g es una función real de una variable real t, definida y uniformemente continua parat > 0, y si el límite de la integral: Ecuación 39 Cuando t tiende a infinitivo existe y es un número finito, entonces: Ecuación 40 Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 35
  • 36. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT DESARROLLO Recordemos nuestro sistema: SISTEMA MODELO Definamos los siguientes parámetros de modo que deseamos que el error tienda acero : Ecuación 41 Ecuación 42 Ecuación 43 Asumiremos que la función definida antes como V es el error e. Calculamos: Ecuación 44 Obtenemos el valor de la derivada del error del siguiente modo: Ecuación 45 A partir de la función de transferencia obtenemos la derivada de la salida: Ecuación 46 A partir de la función de transferencia obtenemos la derivada de la salida: Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 36
  • 37. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Se intenta que aparezca e Sumo y resto Ecuación 47 El siguiente paso consiste en encontrar una función V (función candidata de Lyapunov)adecuada para el problema: Ecuación 48 Cumple las tres primeras condiciones: ES CANDIDATA.1- Si e = 0e2=0 .2- Si y existe. 23- Si 0 ¿ es definida negativa? Ecuación 49 Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 37
  • 38. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Con esto se anulan los dos factores: Ecuación 50 Ecuación 51Obtenemos los siguientes resultados: Ecuación 52 Ecuación 53 Ecuación 54 Se tiene que: (Definida negativa) Ecuación 55 La función V será decreciente si el error es diferente de cero; y el error irá a cero.Notemos sin embargo, que esto no significa que los parámetros y converjan a los valoresde equilibrio a menos que se impongan otras condiciones. La regla obtenida es similar a laregla MIT, pero las derivadas de sensibilidad son remplazadas por otras señales. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 38
  • 39. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT EJERCICIO A continuación estudiaremos y analizaremos los reguladores MRAS empleando paraello la siguiente función de transferencia: Ecuación 56 Ecuación 57 Para estudiar en profundidad las características de estos reguladores empelaremos lassiguientes entradas: - Escalón. - Senoidal (Sine Wave). - Pulsos (Pulse generator). - Random. - Repeating sequence. o Comprobar si el sistema tarda menos tiempo en alcanzar la señal. Deberemos verificar lo siguiente:a=1;b=0.5;am=2;bm=2;porasig_sistema=tf([b],[1 a]);porasig_modelo=tf([bm],[1 am]);gamma=2;gamma=10;gamma=20; Se ha llevado a cabo diferentes simulaciones buscando un parámetro gamma capaz dedar un buen resultado para todas las señales. Se han obtenido diversas gráficas donde el colorazul representa la señal de salida procedente del modelo y el verde aquella procedente delsistema regulado. En las gráficas inferiores aparecen los resultados para el nuevo método. Se observa claramente que el nuevo método desarrollado es más rápido para todas lasentradas. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 39
  • 40. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT ??? ??? ??? ??? ??? LTI System8 S modelo4 LTI System10 S modelo5 LTI System12 S modelo6 LTI System1 S modelo1 LTI System3 S modelo2 Error3 Error4 Error5 Error1 Error2 Comparación3 Comparación4 Comparación5 Comparación1 Comparación2 Step Pulse Sine Wave Repeating Uniform Random Generator Sequence Number Product6 Product10 Product14 Product1 Product5 ??? ??? ??? ??? ???Product8 Product12 Product16 Product3 Product23 1 1 LTI System9 S sistema4 1 1 LTI System11 S sistema5 1 1 LTI System13 S sistema6 1 1 LTI System2 S sistema1 1 1 LTI System4 S sistema2 -gamma -gamma -gamma -gamma -gamma s+am s s+am s s+am s s+am s s+am s Transfer Fcn Integrator3 Transfer Fcn2 Integrator4 Transfer Fcn4 Integrator7 Transfer Fcn6 Integrator1 Transfer Fcn8 Integrator11 Gain4 Gain6 Gain8 Gain1 Gain3 Product7 Product11 Product15 Product2 Product22Product9 theta11 Product13 Product17 Product4 Product24 theta21 theta31 theta41 theta51 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 gamma gamma gamma gamma gamma s+am s s+am s s+am s s+am s s+am s Transfer Fcn1 Integrator5 Transfer Fcn3 Integrator6 Transfer Fcn5 Integrator8 Transfer Fcn7 Integrator2 Transfer Fcn9 Integrator12 Gain5 Gain7 Gain9 Gain2 Gain12 theta12 theta22 theta32 theta42 theta52 ??? ??? ??? ??? ??? S modelo9 LTI System20 S modelo10 LTI System18 LTI System7 S modelo8 LTI System5 S modelo3 LTI System14 S modelo7 Error9 Error10 Error7 Error8 Comparación10 Error6 Comparación9 Comparación7 Comparación8 Comparación6 Sine Wave1 Step1 Product37 Product33 Product25 Product29 Product18 ??? ??? Product39 ??? Product35 ??? ??? Product31 S sistema10 Product27 LTI System17 S sistema9 1 LTI System19 Product20 1 -gamma S sistema3 1 LTI System16 S sistema8 -gamma s LTI System15 S sistema7 1 LTI System6 -gamma s 1 -gamma s -gamma s Integrator18 Integrator20 s Integrator14 Integrator16 Gain19 Integrator9 Gain17 Gain13 Gain15 Product34 Product38 Gain10 Product26 Product30 Product19 thetaL41 Product40 thetaL51 Product36 thetaL21 Product32 thetaL31 Product21 thetaL11 Product28 1 1 gamma gamma 1 s s 1 1 gamma gamma s Integrator19 gamma s Integrator17 s Integrator15 Gain20 Integrator10 Integrator13 Gain18 thetaL52 Gain16 thetaL42 Gain11 Gain14 thetaL32 thetaL12 thetaL22 Ilustración 29. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 40
  • 41. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT ??? ??? ??? LTI System8 S modelo4 LTI System10 S modelo5 LTI System12 S modelo6 Error3 Error4 Error5 Comparación3 Comparación4 Comparación5 Step Pulse Sine Wave Repeating Generator Sequence Product6 Product10 Product14 ??? ??? ???Product8 Product12 Product16 Product3 1 1 LTI System9 S sistema4 1 1 LTI System11 S sistema5 1 1 LTI System13 S sistema6 1 -gamma -gamma -gamma s+am s s+am s s+am s s+am Transfer Fcn Integrator3 Transfer Fcn2 Integrator4 Transfer Fcn4 Integrator7 Transfer Fcn6 Integ Gain4 Gain6 Gain8 Product7 Product11 Product15Product9 theta11 Product13 Product17 Product4 theta21 theta31 1 1 1 1 1 1 1 gamma gamma gamma s+am s s+am s s+am s s+am Transfer Fcn1 Integrator5 Transfer Fcn3 Integrator6 Transfer Fcn5 Integrator8 Transfer Fcn7 Integ Gain5 Gain7 Gain9 theta12 theta22 theta32 ??? ??? ??? LTI System7 S modelo8 S modelo7 LTI System5 S modelo3 LTI System14 Error7 Error8 Error6 Comparación7 Comparación8 Comparación6 Sine Wave1 Step1 Product25 Product29 Product18 ??? Product35 ??? ??? Product31 Product20 Product27 S sistema3 1 LTI System16 S sistema8 LTI System15 S sistema7 1 LTI System6 -gamma 1 -gamma s -gamma s s Integrator14 Integrator16 Integrator9 Gain13 Gain15 Gain10 Product26 Product30 Product19 Product36 Product32 thetaL31 thetaL11 Product28 thetaL21 Product21 1 1 1 gamma gamma s gamma s s Integrator13 Integrator15 Integrator10 Gain14 Gain16 Gain11 thetaL32 thetaL12 thetaL22 Ilustración 30. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada P 1. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 41
  • 42. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT ??? ???em12 S modelo6 LT I System1 S modelo1 LT I System3 S modelo2 Error5 Error1 Error2 Comparación1 Comparación2 Repeating Uniform Random Sequence Number Product1 Product5 ??? ??? Product3 Product23em13 S sistema6 1 1 LT I System2 S sistema1 1 1 LT I System4 S sistema2 -gamma -gamma s+am s s+am s T ransfer Fcn6 Integrator1 T ransfer Fcn8 Integrator11 Gain1 Gain3 Product2 Product22 Product4 Product24 theta41 theta51 1 1 1 1 gamma gamma s+am s s+am s T ransfer Fcn7 Integrator2 T ransfer Fcn9 Integrator12 Gain2 Gain12 theta42 theta52 ??? ??? S modelo9 LT I System20 S modelo10 LT I System18 S modelo8 Error9 Error10 Error8 Comparación10 Comparación9 Product37 Product33 ??? ??? Product35 Product39 S sistema9 1 LT I System19 S sistema10 1 LT I System17 -gamma6 S sistema8 -gamma s s Integrator20 Integrator18 Gain19 Gain17 Product38 Product34 thetaL41 Product40 thetaL51 Product36 1 1 gamma gamma s s Integrator17 Integrator19 Gain18 Gain20 thetaL52 thetaL42 Ilustración 31. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada P 2. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 42
  • 43. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 32. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 2. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 43
  • 44. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 33. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 10. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 44
  • 45. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 34. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 10. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 45
  • 46. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 35. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 10. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 46
  • 47. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITIlustración 36. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 20. Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 47
  • 48. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Referencias1. Goodwin, G. Sin: Adaptive Filtering, Prediction and Control, Prentice Hall – 1984.2. Bellman, R.: Adaptive Control Processes: A Guided Tour, Princeton University – 19613. Äström, K., Hägglung: Automatic Tuning of PID Controllers, ISA – 19884. Äström, K., Wittenmark: Adaptive Control, Prentice Hall – 19895. CAMACHO, E., BORDONS, C. Model Predictive Control. Springer-Verlag, 2007.6. NARENDRA, K.S., ANNASWAMY, A.M. Stable Adaptive Systems. Prentice Hall, 1989. Jaime Martínez Verdú | Referencias 48
  • 49. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Tabla de contenidosIntroducción al control adaptativo................................................................................................ 1 Clasificación de reguladores de Control Adaptativo .................................................... 2Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia.................................................................. 4 Ventajas y características del Control Adaptativo MRAS ............................................. 4 Diseño de reguladores de Control Adaptativo MRAS .................................................. 4 Regla del MIT ............................................................................................................ 5 METODO DEL GRADIENTE ........................................................................................ 6 DESARROLLO (UN PARÁMETRO) .............................................................................. 6 EJERCICIO.................................................................................................................. 8 EJERCICIO................................................................................................................ 13 DESARROLLO (DOS PARÁMETROS) ........................................................................ 17 EJERCICIO................................................................................................................ 19 Diseño de reguladores MRAS basados en Teoría de la Estabilidad ........................... 34 TEORÍA DE LA ESTABILIDAD DE LYAPUNOV ........................................................... 34 2º TEOREMA DE LA ESTABILIDAD DE LYAPUNOV................................................... 34 DESARROLLO .......................................................................................................... 36 EJERCICIO................................................................................................................ 39Referencias .................................................................................................................................. 48Tabla de contenidos .................................................................................................................... 49Tabla de ilustraciones.................................................................................................................. 50Tabla de ecuaciones .................................................................................................................... 51 Jaime Martínez Verdú | Tabla de contenidos 49
  • 50. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITTabla de ilustracionesIlustración 1. Esquema general de un control adaptativo. ........................................................... 1Ilustración 2. Esquema de un MRAS (A) y de un MIAS (B y C). ..................................................... 3Ilustración 3. Esquema del control adaptativo MRAS. .................................................................. 5Ilustración 4. Regla del MIT empleada en un control adaptativo MRAS. ..................................... 5Ilustración 5. Comportamiento del error en un control adaptativo MRAS. ................................. 6Ilustración 6. Comportamiento del error empleando el método del gradiente. .......................... 6Ilustración 7. Obtención de la Ley de Adaptación......................................................................... 7Ilustración 8. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada. ........... 9Ilustración 9. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,1. .................... 10Ilustración 10. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,4. .................. 11Ilustración 11. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 1. ..................... 12Ilustración 12. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,75. ................ 14Ilustración 13. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,5. .................. 15Ilustración 14. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,3. .................. 16Ilustración 15. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada. ....... 21Ilustración 16. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,3. .................. 22Ilustración 17. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,95. ................ 23Ilustración 18. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 4,95. ................ 24Ilustración 19. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 9,95. ................ 25Ilustración 20. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 19,95. .............. 26Ilustración 21. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 99,95. .............. 27Ilustración 22. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,3. .................. 28Ilustración 23. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,95. ................ 29Ilustración 24. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 4,95. ................ 30Ilustración 25. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 9,95. ................ 31Ilustración 26. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 19,95. .............. 32Ilustración 27. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 99,95. .............. 33Ilustración 28. Representación de las curvas de nivel que encierran el equilibrio. .................... 34Ilustración 29. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada. ....... 40Ilustración 30. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada P 1. . 41Ilustración 31. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada P 2. . 42Ilustración 32. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 2. ..................... 43Ilustración 33. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 10. ................... 44Ilustración 34. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 10. ................... 45Ilustración 35. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 10. ................... 46Ilustración 36. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 20. ................... 47 Jaime Martínez Verdú | Tabla de ilustraciones 50
  • 51. [CONTROL ADAPTATIVO] MITITTabla de ecuaciones Ecuación 1 ........................................................................... 4 Ecuación 2 ......................................................................... 6 Ecuación 3 ..................................................................................................... 6 Ecuación 4 ...................................................................................... 6 Ecuación 5 ....................................................................................... 7 Ecuación 6 ............................................................................................. 7 Ecuación 7 ................................................................................. 7 Ecuación 8 ......................................................................................... 7 Ecuación 9 ................................................................................................. 7 Ecuación 10 ....................................................................................... 7 Ecuación 11 ........................................................................................... 8 Ecuación 12 .......................................................... 13 Ecuación 13 ............................................................................................ 17 Ecuación 14 ................................................................................. 17 Ecuación 15 .......................................................................... 17 Ecuación 16 ................................................................................ 17 Ecuación 17............................................................................................. 17 Ecuación 18 ................................................................................ 17 Ecuación 19 .............................................................. 17 Ecuación 20 ................................................................. 17 Ecuación 21 .................................................................. 17 Ecuación 22.................................................................. 17 Ecuación 23 ................................................................. 18 Ecuación 24 .................................................................. 18 Ecuación 25 ...................................................... 18 Ecuación 26 ..................................................................... 18 Ecuación 27 ....................................................................... 18 Ecuación 28 ....................................................................... 18 Ecuación 29 ........................................................................ 18 Ecuación 30 ........................................................................ 18 Ecuación 31 ......................................................................................... 19 Ecuación 32........................................................................................ 19 Ecuación 33 ................................................................................ 341) Ecuación 34 .................................................................................... 353) es definida positiva: Ecuación 35 ..................................................................... 35 Ecuación 36 .................................................................................... 35 Ecuación 37 ................................................................................................. 35 Ecuación 38 ..................................... 35 Ecuación 39 ................................................................................................. 35 Ecuación 40 .................................................................................... 35 Ecuación 41 ....................................................................................... 36 Ecuación 42 ............................................................................................... 36 Ecuación 43 ........................................................................................ 36 Ecuación 44 ................................................................................................ 36 Jaime Martínez Verdú | Tabla de ecuaciones 51
  • 52. [CONTROL ADAPTATIVO] MITIT Ecuación 45 ...................................................... 36 Ecuación 46 .................................................................................... 36 Ecuación 47 ................................ 37 Ecuación 48 ............ 37 Ecuación 49 .. 37 Ecuación 50 .............................................................................................. 38 Ecuación 51 ................................................................................................ 38 Ecuación 52 ......................................................................................... 38 Ecuación 53 .......................................................................................... 38 Ecuación 54 ............................................................................................. 38(Definida negativa) Ecuación 55 .................................................. 38 Ecuación 56 ......................................................................................... 39 Ecuación 57........................................................................................ 39 Jaime Martínez Verdú | Tabla de ecuaciones 52