Apuntes de prácticas de DERIVE

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Actualmente existen numerosos programas de cálculo simbólico: Macsyma, Reduce, Mathematica, Maple, Axiom, Form, GNU-Calc, Derive,... DERIVE es un software con muchas ventajas y que es ampliamente utilizado en universidades por varios motivos fundamentales:
1. La facilidad de su aprendizaje: no necesita muchos conocimientos previos de informática, y se puede aprender a utilizar en un corto espacio de tiempo, sin necesidad de invertir muchas horas en la lectura del manual.
2. La sencillez de su entorno de trabajo, ya que permite ejecutar los comandos vía menú, o a través de la edición de los mismos por pantalla.

Este documento son unos apuntes para aprender a usar DERIVE que tiene los siguientes contenidos:

MODULO 1 (Introducción al programa)
1. Introducción al programa DERIVE, principales comandos.
2.Operaciones algebraicas básicas.
MODULO 2. (Matemáticas I).
3. Comandos básicos para el cálculo diferencial.
4. Análisis de Funciones de una variable.
5. Análisis de funciones de varias variables.
6. Cálculo Integral.
MODULO 3 (Matemáticas II)
7. Principales comandos para el álgebra lineal.
8. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.
9. Sistemas de ecuaciones lineales.
10. Diagonalización.
11. Formas cuadráticas.

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Apuntes de prácticas de DERIVE

  1. 1. Departamento de Análisis Económico: Economía Cuantitativa Facultad de CC. Económicas y Empresariales UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MADRID PRÁCTICAS DE MATEMÁTICAS I y MATEMÁTICAS II CON DERIVE-5® Proyecto de Innovación Docente Curso 2001/2002 Director: Pedro Ortega Pulido® Derive es una marca registrada de Software Warehouse(Texas Instruments)
  2. 2. Introducción al uso de DERIVE 1 Introducción. Durante los últimos años las nuevas tecnologías y muy en particular losordenadores están causando numerosos cambios en la mayoría de los aspectos de nuestracultura. La enseñanza de las matemáticas no ha quedado ajena a estos cambios. Así, enmuchas universidades de todo el mundo se han venido empleando programas con el fin demejorar la calidad de la enseñanza de una disciplina, que por su elevado grado deabstracción, es una de la más complicadas del curriculum universitario. Juegos, simulaciones, tutoriales, enseñanza asistida por ordenador y lenguajes deprogramación, han sido los tipos de programas matemáticos más utilizados en las últimasdécadas. Sin embargo, con la aparición de los programas de cálculo simbólico o cálculoalgebraico en la década de los años 70, la situación de las antiguas herramientas ha idoquedando relegada a un segundo plano. Los programas de cálculo algebraico permitenrealizar cómputos usando tanto una aritmética exacta como una aritmética aproximada. Laposibilidad de realizar cómputos utilizando la aritmética exacta brinda la posibilidad deefectuar cálculos de tipo simbólico. De esta forma se consiguen desarrollar cálculos convariables, a diferencia de lo que hacían otros programas de cálculo numérico, basados enuna aritmética aproximada. Estos programas han provocado la aparición de numerosas experiencias didácticas,basadas fundamentalmente en la creación de laboratorios de prácticas, en los que elprograma de cálculo simbólico es utilizado por los alumnos como soporte para estudiar loshechos, conceptos y principios matemáticos desarrollados en las clases teóricas. Actualmente existen numerosos programas de cálculo simbólico: Macsyma,Reduce, Mathematica, Maple, Axiom, Form, GNU-Calc, Derive,... Elegimos DERIVEpara este curso por varios motivos fundamentales: 1. La facilidad de su aprendizaje: no necesita muchos conocimientos previos de informática, y se puede aprender a utilizar en un corto espacio de tiempo, sin necesidad de invertir muchas horas en la lectura del manual. 2. La sencillez de su entorno de trabajo, ya que permite ejecutar los comandos vía menú, o a través de la edición de los mismos por pantalla. Utilizaremos la versión 5-04 de DERIVE (es del año 2000) basada en el entornoWINDOWS. Objetivos de las prácticas: 1. Desarrollar mediante el programa DERIVE los contenidos fundamentales de la asignatura Matemáticas I de las Licenciaturas en CC.Económicas y Empresariales de la U.A.M. 2. Motivar mediante RESOLUCION DE PROBLEMAS, la utilización de este programa para desarrollar estrategias de resolución de problemas. (a) Metodología: A lo largo del curso desarrollaremos dos tipos de actividades:
  3. 3. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 2 1. Actividades manipulativas de introducción al programa. Consistirán en actividades de contenido matemático que nos introduzcan en el manejo de los cálculos algebraicos fundamentales, a través de los cuales podremos manipular, en algunas ocasiones de forma gráfica, los conceptos y principios matemáticos tratados en la asignatura. 2. Resolución de ejercicios de contenido matemático y económico, a través de los cuales el alumno podrá diseñar diversas estrategias de resolución, gracias a la utilización de programa. (b) Contenidos El curso estará formado por tres módulos: MODULO 1 (Introducción al programa) 1. Introducción al programa DERIVE, principales comandos. 2.Operaciones algebraicas básicas. MODULO 2. (Matemáticas I). 3. Comandos básicos para el cálculo diferencial. 4. Análisis de Funciones de una variable 5. Análisis de funciones de varias variables. 6. Cálculo Integral. MODULO 3 (Matemáticas II) 7. Principales comandos para el álgebra lineal 8. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 9. Sistemas de ecuaciones lineales 10. Diagonalización. 11. Formas cuadráticas. Proyecto de innovación docente. Este material didáctico es producto del proyecto de innovación docente: “Docencia de Matemáticas apoyada en aplicaciones informáticas”,integrado por los siguientes profesores: Director del Proyecto: Prof. Pedro Ortega Pulido Equipo de trabajo: Prof. Raquel Águeda Maté Prof. Rosa Barbolla Garcia Prof. Gema Duro Carralero Prof. M. Eugenia Rosado María Prof. Martha Saboya Baquero Prof. Milagros Saiz Jarabo Prof. Paloma Sanz Alvaro Prof. Francisco José Vázquez Hernández
  4. 4. Introducción al uso de DERIVE 31. INTRODUCCIÓN AL USO DE DERIVE. 1.1.¿QUÉ ES UN PROGRAMA DE CÁLCULO SIMBÓLICO? Los programas de cálculo simbólico, como DERIVE son lenguajes de programaciónmuy cercanos al usuario, es decir, lenguajes denominados “de alto nivel”, que ofrecen unascaracterísticas muy peculiares: (a) Utilizan por defecto aritmética exacta, es decir, permiten manipular expresiones racionales como 1/3, sin necesidad de tener que operar con su expresión en coma flotante 0,333333 (aunque también se puede utilizar la aritmética en coma flotante). (b) Permiten manipular variables sin asignación, es decir, es posible manipular expresiones no numéricas, y en consecuencia expresiones algebraicas, donde los datos no han de ser valores numéricos. (c) Soportan estructuras de datos de tipo vectorial y matricial. (d) Admiten realizar programaciones, aunque DERIVE utiliza una programación funcional en algunos casos muy poco operativa. 1.2. ENTRAR Y SALIR EN DERIVE. ENTRAR EN DERIVE: Para entrar en DERIVE bastará con hacer clic sobre el icono a continuación aparece el siguiente cuadro de diálogo que podemos suprimir en posteriores accesos, pero que en caso de aparecerdebemos aceptar con SI. SALIR DE DERIVE: Para salir de DERIVE 5 basta aplicar los comandos Archivo-Salir como lo muestrala siguiente pantalla
  5. 5. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 41.3. LA PANTALLA DE DERIVE.Cuando entramos por primera vez al programa DERIVE, obtenemos la siguientepantalla
  6. 6. Introducción al uso de DERIVE 5En esta pantalla podemos distinguir varias partes de arriba abajo:1) La barra de Títulos En esta barra aparece el nombre del programa y los botones de minimizar, maximizar y cerrar2) La barra de menú En esta aparecen todos los COMANDOS básicos de DERIVE clasificados en forma de menú. Los menús principales son: Archivo Edición Editar(Autor) Simplificar Resolver Cálculo Definir Opciones Ventana Ayuda Para acceder a ellos podemos utilizar dos técnicas: 1) O bien pinchar con el ratón sobre el comando para desplegar el grupo de subcomandos que contiene 2) O bien aplicar la secuencia ALT+(letra subrayada). Así por ejemplo para desplegar el comando Autor, se pulsaría a la vez la secuencia de teclas ALT+A. Más adelante iremos estudiando el contenido de los comandos de este menú.3) La barra de herramientas o de órdenes En la barra de herramientas se encuentran los iconos que representan los comandos que se utilizan con más frecuencia:4) Una ventana de Álgebra (actualmente vacía)
  7. 7. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 6 5) la barra de estadoEn la barra de estado a recibimos mensajes del programa en relación a las operaciones queestamos ejecutando. 6) La barra de Introducción de expresiones:llamada en ocasiones línea de edición. Esta línea nos permite ir introduciendo expresionesen la ventana de álgebra. 7) La barra de letras griegas y símbolos matemáticos:en la que tenemos disponibles un conjuntos de letras y símbolos que podemos utilizar en lalínea de edición sin mas que hacer un clic sobre cada botón. 1.4. ESTRUCTURA DE DERIVE: MENÚ DE COMANDOS. Todos los comandos que se pueden ejecutar en DERIVE se seleccionan a través de labarra de menú (seleccionando y aplicando o bien con ALT+ letra subrayada). Loscomandos se estructuran en forma de árbol, de tal forma que se pueden ir recorriendo deforma ascendente con la selección de los menús y submenús que van apareciendo y deforma descendente con la tecla ESC. Los COMANDOS más utilizados están disponibles en la barra de herramientas, quees el modo de acceso que más utilizaremos. Vamos a ir analizando las diferentes formas de aplicar los comandos: primero a travésde la barra de menú y en segundo lugar usando e la barra de herramientas. COMANDOS DE LA BARRA DE MENÚ ARCHIVO Si accedemos a este comando se despliega el submenú que contiene los comandosbásicos para manejar archivos en DERIVE:
  8. 8. Introducción al uso de DERIVE 7 Los subcomandos LEER y EXPORTAR tienen a su vez nuevos menús que sonespecialmente interesantes en DERIVE y que luego más adelante comentaremos. Así el subcomando LEER al desplegar contiene Este subcomando permite leer varios tipos de archivos: archivos de DERIVE(extensión .MTH) archivos de datos, archivos de demostración y archivos de utilidades. Y el submenú EXPORTAR al desplegar contiene otros accesos:que permite exportar, es decir transformar, el fichero que se está editando en un archivoBASIC; C, Fortran o Pascal. EDICIÓN Este menú contiene los elementos fundamentales para editar expresiones enWINDOWS para DERIVE. Al desplegarle se obtiene el siguiente conjunto de submenús: INSERTARMenú mediante el cual podemos insertar en la ventana de álgebra tanto gráficas 2D comográficas 3D, así como objetos de texto:
  9. 9. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 8 EDITAR(AUTOR) Sirve para editar las expresiones algebraicas que utiliza DERIVE, vectores o matrices: SIMPLIFICAR Este comando tiene varios subcomandos: El subcomando Normal sirve para simplificar expresiones algebraicas previamenteintroducidas, el subcomando Expandir, sirve para desarrollar expresiones algebraicas, elsubcomando Factorizar se emplea para factorizar polinomios, el subcomando Aproximarse utiliza para obtener aproximaciones numéricas de expresiones racionales o reales y porúltimo el subcomando Sustituir Variable se utiliza para sustituir en una expresiónalgebraica el contenido de una variable por el valor o expresión que se desee y por últimoel subcomando Sustituir Subexpresión para sustituir una subexpresión por otra RESOLVERUtilizado para resolver ecuaciones de forma algebraica numérica, así como para resolverun sistema de ecuaciones.Debemos señalar que para resolver sistemas de ecuaciones, utilizando este comando hayque introducirlos previamente las ecuaciones del sistem, de una manera especial a través deesta ventana.
  10. 10. Introducción al uso de DERIVE 9 CÁLCULOMenú que contiene los comandos básicos para realizar cálculos, como son la derivación laintegración, el cálculo de sumatorios, productorios, ... DEFINIRUtilizado para definir variables, funciones, dominios, o modos de operar: OPCIONES En este menú podemos encontrar opciones de impresión, opciones de color de la pantalla, también se permiten otras opciones como la renumeración automática de expresiones, la posibilidad de ocultar gráficas o texto de las hojas de trabajo.
  11. 11. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 10 VENTANAComo se puede observar aquí se pueden manejar las ventanas del programa, o bien paradefinir la forma de disposición de las ventanas cuando hay varias abiertas, o bien para abrirventanas. Tambien se obtiene información acerca de las ventanas que hay abiertas. Y con la opción Barra de Herramientas tenemos la posibilidad de ocultar o mostraralgunas barras de herramientas en la pantalla del programa: AYUDAPor último el menú de ayuda contiene los comandos para resolver las cuestiones generalesque se pueden presentar sobre el programa:
  12. 12. Introducción al uso de DERIVE 11A continuación vamos a estudiar las principales operaciones que podemos realizar conDERIVE. Iremos comentando las formas de aplicarlas sobre diferentes ejemplos. 1.5. EDICIÓN DE EXPRESIONES. Para poder efectuar operaciones con DERIVE es necesario tener introducidas en laVENTANA DE ÁLGEBRA aquellas expresiones algebraicas, sobre las cuales podamosoperar o efectuar las transformaciones matemáticas deseadas. Para introducir expresionespodemos utilizar varias alternativas: 1º) Situar el cursor en la Barra de Edición e introducir las expresiones que se deseen.Una vez editadas las expresiones se pulsa ENTER 2º) La segunda alternativa consiste en aplicar el botón de herramientas Editar-expresión EJERCICIO 1. Introducir la expresión x2+2x-1. Aplicamos primero los menús Editar-Expresión (o bien nos situamos en la línea deedición) y a continuación tecleamos x^2+2x-1 (enter)Podemos observar que en la ventana de álgebra aparecerá la expresión numerada. 1.5.1. OBSERVACIONES PARA INTRODUCIR EXPRESIONES. 1) Las expresiones en DERIVE se han de escribir en una sola línea, utilizando paréntesis para preservar asociaciones de operaciones. 2) Las operaciones aritméticas elementales se escriben con: (+) suma; (-) diferencia; (*) producto (el producto se suele sustituir por un espacio); (/) cociente; (^) potenciación. NOTA: Debemos de señalar que el símbolo (∧) que aparece en la ventana de edición, no es el símbolo de potenciación, que se indica con el acento circunflejo, sino que se corresponde con el operador lógico “and”. Por tanto cuando se desee introducir la potenciación se deberá introducir el circunflejo que aparece en el teclado. 3) Todas las letras que aparecen en una expresión por defecto, DERIVE las considera como elementos variables. De esta forma, si intentamos introducir una variable que se llame “ejemplo” en DERIVE, por defecto al introducirla aparece de la siguiente forma
  13. 13. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 12 es decir, como un conjunto de siete variables. Si queremos introducir una variable que tenga por nombre la palabra formada por esos siete caracteres deberemos aplicar la secuencia de comandos Definir Preferencias de entrada y seleccionar en el campo Modo la opción Palabras en este momento aparecerá en la última expresión de la ventana de álgebra deDERIVE la expresión si ahora intentamos introducir la misma expresión anterior "ejemplo" obsérvese que ahora sí queda introducida como una variable4) DERIVE reconoce un conjunto de funciones matemáticas que tienen una sintaxis especial. Algunas de las funciones matemáticas que se suelen utilizar son las siguientes: Funciones trigonométricas: sin(x), cos(x), tan(x),... Funciones trigonométricas inversas: asin(x), acos(x), atan(x)... Funciones logarítmicas: ln(x), log(x,a) (log. Neperiano, logaritmo de x en base a) Funciones exponenciales y radicales: sqrt(x) (raiz cuadrada), exp(x) (exponencial de x). Algunas otras funciones: abs(x) (módulo de x), x! (factorial de x), int(x), parte entera de x5) También existen algunas funciones predefinidas que sirven para efectuar algunas operaciones matemáticas o utilizar expresiones matemáticas muy comunes: Algunas de estas funciones son: IDENTITY_MATRIZ(n): con la que se obtiene una matriz identidad de orden n. Por ejemplo si editamos “identity_matriz(3)” y simplificamos esta expresión se obtiene GRAD(funcion,variables): con la que se puede obtener el vector gradiente de una “función” dada con las “variables” señaladas. Por ejemplo editando “grad(x^2+y^2,[x,y])” se obtiene al simplificar
  14. 14. Introducción al uso de DERIVE 13 6) Existen algunos símbolos que se introducen aplicando el botón reservado de la barra de letras griegas y símbolos o bien combinando la tecla (^) con alguna letra: El número e, se introduce con (^)+e apareciendo ê en pantalla El número imaginario i, se introduce con (^)+i apareciendo î en pantalla π se introduce tecleando “pi”. Obsérvese que la barra de letras griegas tiene los siguientes caracteres: por otro lado la barra de símbolos tiene: Entre estos símbolos tenemos el número e ê, o el número imaginario î. También debemos considerar la forma en la que se introducen los subíndices en DERIVE. Estos se introducen utilizando el símbolo o bien la palabra reservada “sub”. Así por ejemplo si deseamos editar la expresión x11 editaremos en DERIVE o bien que tras simplificar nos da la expresión EJERCICIO 2. Introducir las siguientes expresiones: 1) tg(3x3-6x+3)3 2) tg3(3x3-6x+3) 3) e3x-3 4) cos(3x-π) 3x 2 5) 2x − 1 x− y 6) e 2+ x 1.5.2. REEDICION DE EXPRESIONES. Para reeditar expresiones introducidas en la ventana de Álgebra de DERIVEpodremos efectuar las siguientes operaciones: • Recuperar una expresión de la ventana de álgebra en la línea de edición. Para poder recuperar una expresión introducida en la ventana de álgebra a la línea deedición podemos usar dos procedimientos:
  15. 15. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 14 1º) Elegir en primer lugar con los cursores (↑), (↓) o con el ratón la expresión de laventana de álgebra y aplicar sobre ella, el menú Edición-expresión, para hacer lasmodificaciones pertinentes. 2º) Seleccionar primero la expresión que deseamos reeditar, después aplicar el botónde herramientas y a continuación pulsar (F3) si deseamos recuperar la expresiónseleccionada tal cual, o bien (F4) si lo que deseamos es recuperar la expresión entreparéntesis. EJEMPLO 1.1. Si tenemos en la ventana de álgebra la expresióny deseamos recuperarla para reeditarla debemos aplicar Editar expresión, seleccionarla ypulsar F3 y se obtiene • Borrar caracteres dentro de la línea de edición. Para efectuar esta operación podemos utilizar varias alternativas: - utilizar la tecla (Supr) que borra el carácter sobre el que está el cursor. - Utilizar la tecla (Backspace) que borra el carácter anterior al cursor - La (barra espaciadora) que borra el carácter posterior al cursor si estamos en MODO SOBREESCRITURA. • Insertar nuevos caracteres . En la línea de edición (una vez aplicado el botón Editar-Expresión) podemos estar enmodo INSERTAR o en modo SOBREESCRITURA. Para pasar de un modo a otro bastacon pulsar la tecla (Ins). Obsérvese que en la línea de estado aparece el modo en el queestamos trabajando. MODO SOBREESCRITURA: EJERCICIO 3. Utilizando las expresiones editadas en los ejercicios anteriores y considerando lasúltimas indicaciones, introducir en DERIVE las expresiones:
  16. 16. Introducción al uso de DERIVE 15 3x 2 + 5 - 2x 2 + x − 2 x3 -e 2 + x EJERCICIO 4. Editar las expresiones:  x+2 a) ln   y −3 ( b) sen 1 − x 2 + y 2 )   1.6. MANEJO DE EXPRESIONES DE LA VENTANA DE ALGEBRA. 1.6.1. Situarnos en una expresión concreta. Si deseamos seleccionar una expresión concreta tenemos dos alternativas: - o bien utilizar el ratón y la barra de desplazamiento vertical del programa - o bien situarnos sobre la ventana de álgebra (si es necesario usando la tecla ESC) y utilizar las teclas (↑) y (↓).. 1.6.2. Mover una o varias expresiones. En ocasiones puede ser útil o necesario cambiar el orden de las expresiones denuestra sesión de trabajo, para lo cual se puede utilizar la opción de marcar un grupo deexpresiones y luego pegarlas en el lugar deseado. Por ejemplo si tenemos la siguientesituación de expresiones:
  17. 17. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 16si deseamos por ejemplo mover las expresiones #5, #6 y #7 y situarlas antes de la #2,podemos marcarlas con el ratón:y con el botón derecho del ratón seleccionar la opción cortar:luego nos situamos sobre la expresión #2, pulsamos el botón derecho del ratón y elegimosla opción pegar:y se obtiene el resultado deseado, aunque hay que tener en cuenta que DERIVE renumeraautomáticamente por defecto todas las expresiones:
  18. 18. Introducción al uso de DERIVE 17 EJERCICIO 5. Situar las expresiones #3 y #4 antes de la expresión #2. 1.6.3. Información de las operaciones realizadas con expresiones. Si deseamos observar las características de generación de las diferentes expresionesintroducidas en la ventana de álgebra, debemos centrar nuestra atención en la línea deestado, en la que se indica el proceso de obtención de la expresión seleccionada. Porejemplo en la siguiente gráfica se observa que la expresión #1 es una expresión NUEVA;introducida por el usuario:Sin embargo si observamos en la siguiente gráfica podemos comprobar que la expresión#12 se ha obtenido por simplificación de la expresión #11, y se ha tardado 0.04 segundosen su simplificación: EJERCICIO 6. Observar las expresiones #5 y #7 ¿qué información se observa en la línea deestado?
  19. 19. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 18 1.6.4. Borrar una expresión, o un bloque de expresiones de la ventana de álgebra. Para borrar una o un bloque de expresiones podemos utilizar dos procedimientos. El primer procedimiento consiste en seleccionar con el ratón las expresionescorrelativas que se desean borrar y aplicar sobre ellas o bien la secuencia Edición-Borrar:o bien el botón de herramientas . Una segunda opción consistiría en marcar con el ratón las expresiones que sedesean borrar y pulsar el botón de la derecha del ratón seleccionando la opción de borrar: También se puede utilizar la tecla (Supr) para borrar una o varias expresionesmarcadas previamente. EJERCICIO 7. Borrar las expresiones #1 a las #3 de vuestra ventana de álgebra. Usando el primerprocedimiento. Borrar ahora las expresiones #5 y #6 usando el segundo procedimiento. 1.6.5. Recuperar el último bloque de expresiones borrado. Si deseamos recuperar el último bloque de expresiones borrado, DERIVE nospermite incorporarlo en nuestra ventana de álgebra por medio la orden Edición-Recuperar:
  20. 20. Introducción al uso de DERIVE 19 1.7. INSERTAR TEXTO EN LA VENTANA DE ÁLGEBRA. Una de las opciones nuevas que nos permite DERIVE 5 es la posibilidad de introducir comentarios tipo texto dentro de la ventana de álgebra. Para ello podemos utilizar dos procedimientos: a) o bien utilizar el menú aplicando Insertar-Objeto de texto: b) o bien aplicar el botón de herramientas Así por ejemplo podemos introducir el siguiente comentario: “Vamos a derivar la función:” obsérvese que el texto no aparece numerado, ya que se trata de un objeto distinto, no es una expresión. 1.8. MANEJO DE FICHEROS. DERIVE permite manipular dos tipos de ficheros fundamentalmente: - Archivos con extensión .mth, que contienen únicamente expresiones simbólicas. - y archivos con extensión .dfw, archivos que contienen además de las expresiones algebraicas, comentarios tipo texto, gráficas de 2 dimensiones y graficas de 3 dimensiones. En consecuencia según el tipo de objetos que tengamos en nuestra hoja de trabajopodremos guardar los archivos de una u otra forma. Aunque los documentos se puedengrabar en formato .mth, pero perderían todos los objetos de texto. (a) Grabar en un fichero una sesión de trabajo. Si deseamos grabar el conjunto de expresiones que tenemos en una ventana de álgebraen un fichero concreto .mth, aplicaremos sobre el menú la secuencia Archivo-Guardarcomo entonces aparecerá una ventana de diálogo sobre la cual indicaremos el nombre delfichero y el tipo de fichero que deseamos guardar:
  21. 21. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 20 Evidentemente podremos seleccionar la unidad o el directorio en el cual queremosefectuar esta operación, del mismo modo que se realiza en Windows. Elegiremos tambiénel tipo de archivo que deseamos guardar, teniendo en cuenta las observaciones anteriores. Si lo que deseamos es guardar la sesión de trabajo o el conjunto de expresiones sobreun fichero ya existente, aplicaremos entonces o bien la secuencia Archivo-Guardar delmenú o bien el botón de herramientas Mediante estas órdenes, DERIVE grabará en el fichero que especifiquemos lasexpresiones contenidas en la ventana de álgebra. Por defecto el programa asigna a estefichero la extensión .dfw. EJERCICIO 8. Grabar en un fichero con el nombre “sesion1” las expresiones que tenemosactualmente en la ventana de álgebra, como archivo .mth. (a) Cargar un fichero nuevo de DERIVE. DERIVE permite cargar ficheros de varios tipos - ficheros de DERIVE, con extensión MTH, que se pueden cargar de dos formas o bien como un fichero normal MTH, o bien como un fichero de UTILIDAD. - ficheros tipo DOCUMENTO DE DERIVE, con extensión DFW - ficheros de DEMOSTRACIÓN; con extensión .dmo - ficheros de DATOS, con extensión .dat Los ficheros propios de DERIVE son los ficheros que tienen extensión MTH o bienDFW.
  22. 22. Introducción al uso de DERIVE 21 Si deseamos leer cualquiera de estos tipos de fichero aplicaremos o bien - la secuencia de menú Archivo Abrir - o bien el botón de herramientas y aparecerá deplegada la ventana: Hay que tener en cuenta que los archivos tipo DOCUMENTO DE DERIVE, es decircon extensión DFW solo se pueden abrir con esta opción, sin embargo los archivos .MTHpermiten cargarse utilizando las siguientes opciones: (b) Cargar un fichero añadiendo sus expresiones a las actuales. Si deseamos cargar un fichero .MTH que añada sus expresiones a las expresiones quetenemos actualmente en una ventana de álgebra utilizaremos la secuenciaArvhivo-Leer-Mth y a continuación seleccionamos el fichero deseado en la ventana dediálogo. Utilizando esta secuencia visualizaremos las expresiones del nuevo fichero acontinuación de las expresiones del fichero que teníamos antes cargado. EJERCICIO 9. Cargar el fichero SESION1.MTH en la ventana de álgebra como fichero de DERIVEy luego cargar el fichero VECTOR.MTH a continuación del fichero anterior. (c) Cargar un fichero de DERIVE como fichero de utilidad. Acabamos de comentar que podemos cargar ficheros de DERIVE visualizando elcontenido de sus expresiones, es la forma habitual de cargar ficheros de DERIVE. Peroexiste otra forma de cargar ficheros de DERIVE, esta consiste en cargar el ficheroúnicamente en memoria, sin visualizar el contenido de sus expresiones. Para cargar un fichero de esta forma aplicaremos la secuencia de menúArchivo-Leer-Utilidades, y elegiremos el fichero deseado desde la ventana de diálogo queaparece a continuación. Esta forma de cargar los ficheros de DERIVE suele denominarsecargar un fichero como fichero de utilidades.
  23. 23. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 22Podemos observar que a continuación aparece una expresión indicando que hemos cargadoel fichero de esta forma: EJERCICIO 10. Para observar el efecto de esta operación abrimos una ventana de álgebracompletamente vacía aplicando Archivo-Nuevo (o bien aplicando el botón de herramientas ). A continuación editamos sobre esta nueva ventana la expresión“rank(identity_matrix(3))” mediante Edición-Expresión. (Recuérdese queIDENTITY_MATRIZ(3) es una función predefinida en DERIVE que construye la matrizidentidad de orden 3). Obsérvese que en la ventana de álgebra aparecerá la expresión: Aunque la función RANK no es una función PREDEFINIDA, sin embargo se trata deuna función que viene en un fichero de utilidades PROPIO de DERIVE, por lo queautomáticamente DERIVE busca en estas funciones para aplicarla. Esta búsqueda nosucedería si por ejemplo definimos en un archivo nuevo la función:obsérvese que esta función hace lo mismo que la función RANK guardada en un fichero deutilidades de DERIVE, de hecho si efectuamos:obtenemos el resultado deseado. Si guardamos este fichero en la unidad A: con el nombre “ejemplo” y cerramos laventana. Al abrir una nueva ventana de álgebra si intentamos hacer la misma operaciónobtendríamos:pues DERIVE no reconoce esta función, ni se encuentra entre los ficheros de utilidades delprograma, en este caso está en una archivo de utilidad externo en la unidad A. (d) Cargar las expresiones de varios ficheros. Esta operación es similar a la anterior, consiste en incluir las expresiones de dos o másficheros, unas a continuación de otras. Para ello aplicamos sucesivamente la secuencia demenús Archivo-Leer-Mth. (e) Cargar un fichero de tipo demostración. En DERIVE existen ficheros de tipo demostración (con extensión .dmo) que nospermiten mostrar al usuario las posibilidades del programa. Para cargar este tipo deficheros se aplica la secuencia de menús Archivo-Leer-Demo y a continuación el nombredel fichero. Si se desea cargar en una ventana nueva este tipo de programas, aplicamos .
  24. 24. Introducción al uso de DERIVE 23 Obsérvese que con este tipo de fichero el programa carga expresiones e indica lasoperaciones que va realizando, a medida que vamos pulsando la tecla (enter) vuelven aaparecer nuevas operaciones y mensajes sobre la barra de estado indicándonos loscomentarios relacionados con las últimas operaciones realizadas. Si se desea parar la ejecución de un fichero demo, basta pulsar la tecla (Esc). EJERCICIO 11. Cargar el fichero de demostración CALCULUS.DMO y observar su funcionamiento.Obsérvese que cada vez que tecleamos (enter) aparece un mensaje en la línea de estado yuna nueva expresión en la ventana de álgebra que es la ejecución de la operación indicadapor la expresión anterior. EJERCICIO 12. Cargar los ficheros VECTOR.MTH y FRESNEL.MTH uno a continuación del otro detal forma que se visualice el contenido de ambos ficheros. 1.9. MANEJO DE VENTANAS. En el comienzo de esta sección hemos comentado la posibilidad de utilizar en laZONA DE VENTANAS varios tipos de ventanas: A) Ventanas de álgebra, utilizadas para introducir expresiones algebraicas y realizar diversas operaciones con ellas. B) Ventanas gráficas de DOS dimensiones (2D-plot), sirven para efectuar representaciones gráficas de dos variables. C) Ventanas gráficas de TRES dimensiones (3d-PLOT) para efectuar representaciones gráficas de tres variables. Cada uno de estos tipos de ventanas llevan asociados unos menús y barras deherramientas propios, aunque hasta ahora hemos venido comentando los menús y barras deherramientas de la ventana de álgebra. Las ventanas de DERIVE funcionan de forma autónoma y todas ellas llevan asociadoun nombre. El manejo de estos tipos de ventanas de DERIVE es muy similar al manejo deventanas de WINDOWS; no obstante vamos a analizar a continuación las operacionesbásicas que podemos realizar con las mismas. 1. Abrir ventanas gráficas 2D-plot Para abrir una NUEVA ventana gráfica 2D bastará aplicar la secuencia de menúVentana-Nueva Ventana 2D. Podemos abrir tantas ventanas 2D como deseemos, perosiempre debe existir al menos una ventana de álgebra. Las ventanas 2D que deseemosabrir se van numerando en la línea superior de la ventana. Para observar todas las ventanasa la vez en forma de pestaña debemos aplicar Ventana-Cascada y observaremos elsiguiente gráfico
  25. 25. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 24 En esta situación si deseamos representar gráficamente por ejemplo la función y=ln(x)tendríamos que situarnos en la ventana de álgebra aplicando la secuencia del menúVentana (seleccionando la ventana de álgebra)O bien situándonos con el ratón encima de la ventana sobre la que deseamos operar y hacerun clic.Ahora estaremos en disposición de introducir con Edición-Expresión la expresiónalgebraica que define y=ln(x),Para representar esta función en la ventana 2D Primera, bastará seleccionar la ventana2D:1 haciendo un clic con el ratón encima de ella o bien aplicando el botón deherramientasuna vez situados en la ventana 2D:1 aplicamos el comando !Representar¡ que aparece en elmenú o el botón de herramientas de esta ventana Representar gráficamente
  26. 26. Introducción al uso de DERIVE 25y obtenemos la siguiente gráficaDebemos de señalar que si no hubiese ninguna ventana 2D creada, a partir de la ventana deálgebra podemos crear una ventana 2D con sólo aplicar el botón de herramientasVentana 2D 2. Abrir ventanas gráficas 3D-Plot. Para abrir una NUEVA ventana gráfica 3D bastará aplicar la secuencia de menúVentana-Nueva Ventana 3D. Podemos abrir tantas ventanas 3D como deseemos, perosiempre debe existir al menos una ventana de álgebra. Las ventanas 3D que deseemosabrir se van numerando en la línea superior de la ventana como puede observarse en elsiguiente gráfico
  27. 27. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 26 En esta situación si deseamos representar gráficamente por ejemplo la función de dosvariables z=x2-y2 tendríamos que situarnos en una ventana de álgebra aplicando lasecuencia del menú Ventana (seleccionando la ventana de álgebra deseada), o biensituándonos con el ratón encima de la ventana sobre la que deseamos operar y hacer unclic.Ahora estaremos en disposición de introducir con Edición Expresión la expresiónalgebraica que define x2-y2para representar esta función en la ventana 3D Primera, bastará seleccionar la ventanaGraficos 3D:1 haciendo un clic con el ratón encima de ella o bien aplicando el botón deherramientasuna vez situados en la ventana 3D:1 aplicamos el comando !Representar¡ que aparece en elmenú o el botón de herramientas de esta ventana Representar gráficamentey obtenemos la siguiente gráficaDebemos de señalar que si no hubiese ninguna ventana 3D creada inicialmente, a partir dela ventana de álgebra podemos crear una ventana 2D con sólo aplicar el botón deherramientas Ventana 2D-Plot 3. Movernos entre ventanas. Si deseamos movernos entre ventanas basta con situarnos con el ratón sobre una partede la ventana que deseamos activar y hacer un clic. Otra posibilidad consiste en aplicar através del menú la secuencia Ventana (seleccionar la ventana en la que nos deseamossituar). 4. Cerrar una ventana. Para cerrar una ventana tenemos dos alternativas:
  28. 28. Introducción al uso de DERIVE 27 - Hacer clic sobre el botón que se encuentra en la ventana en la esquina superiorderecha. - Activando la ventana que deseamos borrar y aplicar la secuencia de menú ArchivoCerrar. 5. Minimizar una ventana. Para minimizar cualquier tipo de ventanas de DERIVE, basta con hacer clic sobre elbotón que se encuentra en la parte superior derecha de la ventana. 6. Disposición de las ventanas: mosaico/cascada. Cuando tenemos varias ventanas abiertas de forma simultánea, DERIVE nos ofrece laposibilidad de distribuirlas en la pantalla de varias formas. Aplicando el comando Ventanase despliega un submenú que contiene las diferentes posibilidadesen cascada, en mosaico horizontal y en mosaico vertical. Para observar el efecto de estossubcomandos, vamos a desplegar tres ventanas por ejemplo una de álgebra, una de dosdimensiones y otra gráfica de tres dimensiones:Si aplicamos el subcomando Ventana-Cascada la ventana anterior quedad de la forma
  29. 29. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 28si ahora aplicamos el subcomando Ventana-Mosaico Horizontal resultay por último si aplicamos el subcomando Ventana-Mosaico Vertical se obtiene
  30. 30. Introducción al uso de DERIVE 29como puede observarse son nuevas posiblidades para disponer las ventanas.Con esto hemos terminado la parte de introducción general al programa DERIVE.
  31. 31. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 302. OPERACIONES ALGEBRAICAS BÁSICAS. En este apartado vamos a realizar las operaciones algebraicas básicas que nospermiten utilizar DERIVE como herramienta de cálculo. Todas estas operaciones lasrealizaremos sobre una ventana de álgebra, por lo que los comandos que vamos autilizar están asociados a menús o barras de herramientas de una ventana de álgebra.Nos situamos por tanto sobre una ventana de álgebra. 2.1 SIMPLIFICAR EXPRESIONES. Para utilizar DERIVE como una calculadora, basta iluminar la expresión que sedesea simplificar y a continuación aplicar el comando del menú Simplificar-Normal. Si la expresión no ha sido introducida en la ventana de álgebra, existe laposibilidad de simplificarla directamente desde la ventana de edición. También seutiliza el botón de herramientas (o bien la secuencia Simplificar-Normal): Así por ejemplo, si introducimos con la expresión “35*(8984-4357)^3” yaplicamos el botón se obtiene: También se podría haber simplificado la expresión incluyendo el signo “=” dentrode la ventana de edición obteniéndose en ese caso: Por último debemos señalar que en la ventana de edición tenemos también laposibilidad de simplificar aplicando el mismo botón de herramientas con “=”,obsérvense los botones que aparecen en esta ventana de edición: Con este comando también podemos realizar simplificaciones de operacionesalgebraicas. Por ejemplo, podemos intentar simplificar la expresión“(x^2-4)/((x-2)(x+3))”. Para ello primero la editamos con y en segundo lugaraplicamos el comando de simplificar expresión con el botón de herramientasresultandopodemos observar que el resultado de la simplificación es una expresión que se sitúacentrada en la ventana de álgebra. También se puede utiliza este comando para desarrollar las operaciones quealgunas veces quedan indicadas en la ventana de álgebra, operaciones como el cálculode derivadas, integrales, ... más adelante veremos con detalle esta aplicación.
  32. 32. Operaciones algebraicas básicas 31 EJERCICIO 13.Calcular mediante DERIVE los siguientes valores: a) 500! b) Ln(45)-4 2.2.TRABAJAR EN MODO APROXIMADO Y MODO EXACTO. En el apartado b) del ejercicio anterior podemos observar que al simplificar laexpresión “ln(45)-4” obtenemos la misma expresión, ¿por qué? DERIVE siempretrabaja por defecto en MODO EXACTO, por lo que siempre al simplificar obtenemoscomo resultado un número exacto. Es una de las características fundamentales de losprogramas de cálculo simbólico: la aritmética exacta. Pero si deseamos calcularexpresiones aproximadas en coma flotante, con un cierto número de decimalespodemos aplicar el comando de aproximación que se aplica usando o bien la secuenciade menú Simplificar-Aproximar o bien utilizando el botón de herramientas Aproximar . Por ejemplo, si aplicamos Simplificar-Aproximar sobre la expresión anterioraparece la ventana de diálogo:ventana que nos solicita el número de dígitos de precisión o de aproximación, sipulsamos obtenemos una expresión que al simplificar nos daría:Si hubiésemos aplicado el botón habríamos obtenido directamente elresultado: Utilizando el botón sobre la expresión inicial obtendríamos directamente elmismo resultado. Hemos obtenido en este caso una aproximación con 10 dígitos decimales, que esla aproximación por defecto que tiene definida DERIVE. Sin embargo podemosmodificarla, indicando el número de dígitos decimales que deseemos. Efectivamente,si abrimos la ventana de diálogo Modos de Simplificación, con la secuencia de menúDefinir- Preferencias de Simplificación nos aparece la ventana de diálogo
  33. 33. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 32 En el campo PRECISION podemos seleccionar el número de dígitos de precisiónpara la aproximación. Al efectuar esta operación obligamos a que DERIVE efectúe pordefecto una aproximación con tantos dígitos decimales como los indicados en el menú. Sin embargo si no deseamos modificar el número de dígitos de aproximación másque en una operación concreta, resulta más cómodo aplicar el comando Simplificar-Aproximar indicando en la ventana de diálogo el número de dígitos de precisión quequeremos aplicar en con esta expresión, de tal forma que si EN ESA ventanaindicamos un número de dígitos diferente al determinado, DERIVE efectúa laaproximación con los dígitos que hemos señalado pero en posteriores aproximacionesseguirá utilizando la que tenía introducida por defecto. Por ejemplo, si deseamos aproximar la expresión ln(34) con 25 dígitos deaproximación, aplicamos Simplificar Aproximar y en la ventana de diálogointroducimos 25:si aplicamos Aproximar, obtenemos: Si ahora deseamos aproximar por 10 dígitos (que son los que tiene DERIVE pordefecto), bastaría aplicar sobre la expresión #18 y se obtiene: EJERCICIO 14. Obtener valores aproximados con 14 dígitos de las siguientes expresiones: a) el número pi b) el número e c) ln(2) d) e5
  34. 34. Operaciones algebraicas básicas 33 2.3.EXPANDIR UNA EXPRESIÓN.Para expandir o desarrollar una expresión utilizaremos la secuencia de menúSimplificar-Expandir. Al aplicar esta secuencia sobre cierta expresión previamenteiluminada nos aparece la siguiente ventana de diálogo En esta ventana de diálogo podemos seleccionar las variables respecto de lascuales deseamos expandir y el tipo de expansión: trivial, sin cuadrados, Racional yRadicales. Normalmente utilizaremos la expansión trivial, iluminando este campo; yen el campo Variables iluminaremos con el ratón aquellas variables respecto de lascuales se desea efectuar la expansión (suelen iluminarse todas). Una vez hecho estohacemos clic sobre el botón EXPANDIR. Por ejemplo si deseamos expandir la expresión "(x+y)4", introducimos primeroesta expresión en la ventana de álgebra con Edición Expresión; aplicamos la secuenciade menú Simplificar-Expandir y a continuación iluminamos las variables “x” e “y”luego aplicamos nuevamente el botón resultando
  35. 35. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 34 EJERCICIO 15.Desarrollar o expandir las expresiones a) (a3-b)8 b) (2x-y/3)6 c) 5 x − 1 4 x −1 2.4. FACTORIZAR UN NÚMERO. Obtener la descomposición en factores primos de un número entero es sencilla,basta con introducir el número como expresión y aplicar sobre esta la secuencia demenú Simplificar-Factorizar , inmediatamente aparece la siguiente ventana de diálogopara factorizar un número es suficiente con elegir el campo TRIVIAL, y hacer clicsobre el botón FACTORIZAR. Por ejemplo, si intentamos calcular la descomposiciónen factores primos del número “1470512848896” debemos primero editar la expresióny aplicar Simplificar-Factorizar elegir el campo TRIVIAL y factorizar, resultando EJERCICIO 16Calcular el máximo común divisor de los números 259308 y 7200. 2.5.FACTORIZAR UN POLINOMIO. DERIVE permite realizar distintos tipos de factorizaciones de polinomios: Todosellos se obtienen aplicando la secuencia de menú Simplificar-Factorizar como puedeobservarse en la ventana de diálogo en el campo FORMA:
  36. 36. Operaciones algebraicas básicas 35Eligiendo en el campo FORMA el tipo de factorización deseada sobre la expresiónpolinómica introducida en la línea de edición. Para entender como operan cada una de estas opciones vamos a introducir unpolinomio sobre el cual iremos observando el resultado obtenido al aplicar cada unode los comandos. Introduzcamos por tanto con el polinomio: x8+2x7-3x6-10x5-8x4+6x3+16x2+8x a) Si aplicamos la secuencia Simplificar-Factorizar y elegimos en el campo Forma la opción TRIVIAL, podemos sacar factor común al polinomio si es que este lo tiene, en nuestro ejemplo obtendríamos b) Aplicando la secuencia Simplificar-Factorizar, y eligiendo en el campo Forma la opción LIBRE DE CUADRADOS obtenemos la expresión c) Mediante la secuencia Simplificar-Factorizar y eligiendo en el campo Forma la opción RACIONAL, obtenemos la factorización racional del polinomio dado d) La secuencia Simplificar-Factorizar y eligiendo en el campo Forma la opción RADICAL efectúa una factorización real del mismo e) Y por último con Simplificar-Factorizar COMPLEJO se realiza una factorización polinómica utilizando raíces complejas
  37. 37. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 36 OBSERVACION: Si se intentan factorizar polinomios de varias variables, deberemos elegir las variables sobre las cuales se desea efectuar la factorización. EJERCICIO 17. Calcular las raíces enteras del polinomio 4x3-5x2+8x-5. 2.6.RESOLVER UNA ECUACIÓN. Para resolver una ecuación en DERIVE, en primer lugar deberemos introducir laexpresión que define la ecuación “expresión1 = expresión 2”, y a continuación aplicarla secuencia de menú Resolver-Expresión (o bien aplicar el botón de herramientasResolver-Algebraicamente ) y aparecerá la siguiente ventana de diálogo:donde, por defecto, aparecerá marcado el Método Algebraico. Si la ecuación tiene más de una variable, el programa nos solicita respecto de quévariable queremos obtener la solución. Por ejemplo, si deseamos resolver la ecuaciónx2-x-6=0, bastará que la introduzcamos en la ventana de álgebra, a continuaciónaplicamos el botón Resolver Algebraicamente , hacemos clic sobre el iconoResolver y se obtiene Hagamos un segundo ejemplo de una ecuación con más de una variable. Sideseamos resolver la ecuación x2+y2-8x+6y=169 respecto de la variable y; entoncesuna vez editada con Edición Expresión la expresión anterior, aplicamos sobre ellay elegimos la variable de resolución “y”, resultando
  38. 38. Operaciones algebraicas básicas 37 EJERCICIO 18. Resolver las ecuaciones: a) x2-5x+6=0 b) 5(x-1/x2)=x-1 c) x3-1=0 d) Resolver respecto de la variable x la ecuación x+y2-3xy=9 2.7.RESOLVER UNA INECUACIÓN CON MÁS DE UNA VARIABLE. Para resolver una inecuación bastará editar la inecuación y aplicar sobre ella elmenú Resolver-Expresión-Algebraicamente o el botón de herramientas . Acontinuación elegimos la variable respecto de la cual deseamos resolver y luegohacemos clic en RESOLVER. Por ejemplo, si deseamos resolver la inecuación 3x-5y+7>0, primero la editamosy en segundo lugar aplicamos , luego elegimos la variable respecto de la cualresolver "x" y resulta 2.8. ASIGNACIÓN DE VALORES A VARIABLES, DEFINICIÓN DE FUNCIONES Y SUSTITUCIÓN DE VARIABLES. Es frecuente efectuar asignaciones de valores a variables. Este procedimiento seejecuta editando en DERIVE una expresión de la forma “variable := valor” Por ejemplo si deseamos asignar a la variable a, el valor 3, editamos la expresión En adelante, cualquier expresión que contenga la variable a, siempre evaluara laexpresión tomando la variable a el valor asignado, en este caso 3. Así por ejemplo sieditamos la expresión “3ax+5” y la simplificamos, se obtiene De igual forma que definimos variables, podemos DEFINIR FUNCIONES. Paraello, seguiremos la siguiente sintaxis: “nombre_función(var1,var2,...,varn) := expresión funcional” Por ejemplo si deseamos definir la función mifuncion(x)=ln(x2+2x-3), bastará queeditemos la expresión Como puede observarse la función aparece escrita en mayúsculas. Esta es unacaracterística de DERIVE: todas las funciones definidas aparecen en mayúsculas en la
  39. 39. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 38ventana de álgebra (aunque en la línea de edición se hayan escrito en minúsculas). Estadefinición es útil, ya que si deseamos evaluar esta función en x=5, bastará editar laexpresión “mifuncion(5)” y aplicar el comando Simplificar-Normal resulta Si en una expresión dada deseamos sustituir el valor de una o varias variables sinnecesidad de asignar un valor a dichas variables, podemos utilizar el comandoSimplificar-SustituirVariables. Por ejemplo, si tenemos editada la expresióny deseamos sustituir la variable “x” por el valor “5” y la variable “y” por el valor “30”aplicaremos el comando Simplificar-SustituirVariables y aparece la ventana dediálogoen la que deberemos indicar para cada variable el valor de sustitución, marcandoprimero la variable y luego tecleando el valor en el campo Sustitución:al aplicar el botón se obtienesi en vez de aplicar el botón hubiésemos aplicado el botón seobtiene la simplificación de la expresión anterior, es decir
  40. 40. Operaciones algebraicas básicas 39 El botón de herramientas es equivalente a la secuencia Simplificar-SustituirVariable. EJERCICIO 19. a) Definir la variable “b” con el valor “34”. c) Evaluar la expresión b+5. d) Definir una función con el nombre mia(x,y)= x2-3xy y evaluarla en x=2,y=4. x − y2 + 2z e) Editar la expresión y sustituir en ella la variable x por el valor z + 2( x + y ) 58 y la variable y por el valor 89, y obtener la expresión simplificada. 2.9. FUNCIONES PREDEFINIDAS EN DERIVE. DERIVE tiene una colección de funciones predefinidas, es decir, funciones que no necesitan de un fichero de utilidades para ser cargadas en memoria. Estas funciones se encuentran por tanto, siempre disponibles. A continuación mostramos algunas de estas funciones: • Función raíz cuadrada: SQRT(x) • Función valor absoluto: ABS(x) • Función parte entera de x: FLOOR(x) • Función resto de la división entera del número h entre m: MOD(h,m) • Función exponencial: EXP(x) • Función logaritmo neperiano: LN(x) • Función seno: SIN(x) • Función coseno COS(x) • Función máximo común divisor de los números a y b GCD(a,b) • Mínimo común múltiplo de los números a y b: LCM(a,b) • Menor número primo mayor que el natural x: NEXT_PRIME(x) • Máximo común divisor de los polinomios a y b: POLY_GCD(a,b) • Factorial de n: n! • Función media aritmética de argumentos dados: AVERAGE(x1,x2,...,xn) • Función varianza de los argumentos dados: VAR(x1,x2,...,xn) • Número de subconjuntos de p elementos de un conjunto m (combinaciones) COMB(m,p) • Módulo del complejo z: ABS(z) • Argumento del número complejo z: PHASE(z) • Parte real del complejo z: RE(z) • Parte imaginaria del complejo z: IM(z)
  41. 41. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 40 • .... La lista de funciones predefinidas se puede consultar en la AYUDA de DERIVE. 2.10. LA AYUDA DE DERIVE. Utilizando el menú Ayuda podemos obtener información de todos los comandos yfunciones definidas en DERIVE. En concreto podemos obtener varios tipos de ayuda.Tenemos una ayuda en función de CONTENIDOS, de tal forma que al aplicar estaopción se despliega una nueva ventana independiente del programa que tieneagrupados por temas las ayudas que presta este programa: El programa de ayuda tiene estructura de fichero hipertexto de tal forma que basta ir pinchando las palabras subrayadas para acceder a la información que contiene el programa de ayuda sobre ellas. También tenemos la posibilidad de utilizar un índice de temas de ayuda. Esteíndice se desplica aplicando Ayuda-Indice desplegándose la ventana de diálogo:
  42. 42. Operaciones algebraicas básicas 41 EJERCICIO 20. Consultar en la AYUDA DE DERIVE las funciones predefinidas de DERIVE.Para calcular la tangente de 35.
  43. 43. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 423. COMANDOS BÁSICOS PARA ELCÁLCULO DIFERENCIAL. En esta sección vamos a mostrar una breve relación de las RUTINAS BASICASdel cálculo contenidas en el programa DERIVE-5. 3.1.CÁLCULO DE DERIVADAS Y DERIVADAS PARCIALES. Si tenemos seleccionada en la ventana de álgebra una expresión algebraica, porejemploy deseamos calcular su derivada podemos utilizar dos alternativas: - usar la secuencia de menú Cálculo-Derivadas - o bien el botón de herramientasa continuación aparecerá la ventana de diálogo:en esta ventana de diálogo tenemos varios elementos, por un lado la VARIABLE DEDERIVACIÓN (que deberemos elegir si se trata de una expresión de varias variables),y el ORDEN de la derivada que deseamos calcular. Una vez seleccionados estoselementos podemos optar por hacer clic sobre el botónen cuyo caso aparecerá en la ventana de álgebra una expresión que indica la operaciónde derivación a realizar:en este caso, si se desea obtener posteriormente la derivada habría que simplificar laexpresión obtenida. Si por el contrario hacemos uso del botónobtendremos el valor de la derivada directamente. Obsérvese la diferencia en el uso deambos botones.
  44. 44. Comandos básicos para el cálculo diferencial 43 Por ejemplo si deseamos calcular la derivada de orden tres de y=ln(cos x)), enprimer lugar introducimos la expresión “ln(cos x)” en la ventana de álgebra y acontinuación aplicamos la secuencia de menú Cálculo-Derivar, seleccionamos lavariable respecto de la cual queremos derivar (en este caso x) elegimos también elorden 3 y hacemos clic sobre el botón SI obteniendoSimplificando esta expresión con Simplificar-Normal obtenemos Si lo que deseamos es calcular derivadas parciales, tendremos que aplicarCalculo-Derivar respecto de la variable que deseemos derivar así como su orden. Por ejemplo si deseamos calcular ∂2 ∂x∂y ( 4 xy 2 − 3 x sen y )Primero introducimos la expresión “4xy2-3 x sin(y)” con , luego aplicamosrespecto de la variable y con orden 1 y se obtiene la expresiónA continuación aplicamos sobre esta última expresión nuevamente respecto de lavariable x con orden 1 y resultaQue al simplificar con Simplificar-Normal nos da las derivada parcial deseada: EJERCICIO 21. ∂2 Calcular (cos(ln(x + 3)) ∂x 2 3.2. CÁLCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS. Dada una expresión algebraica introducida previamente en la ventana de álgebra,por ejemplo:si deseamos calcular una primitiva de dicha expresión algebraica podemos utilizar unade las dos alternativas siguientes: - aplicar la secuencia de menú Cálculo-Integrales - o bien aplicar el botón de herramientas
  45. 45. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 44apareciendo en ambos casos la siguiente ventana de diálogo:En esta ventana de diálogo debemos elegir la variable de integración, el tipo deintegral (indefinida en este caso) y la constante de integración (si dejamos el 0 nointroduce ninguna constante; para que DERIVE sume una constante de integracióndebemos indicarle el nombre de dicha constante, que puede ser por ejemplo c). Unavez introducidos los datos correspondientes a los tres campos anteriores tenemos dosbotones para aplicar la integración deseada, - el botón que dejará la integral indefinida indicada como una nueva expresión en la ventana de álgebra obsérvese que si deseamos obtener a continuación el resultado de esta integral deberemos simplificarla. - el botón nos da el resultado de la integral indefinida. Por ejemplo, si deseamos calcular ∫ tan( x)dx , primero introducimos la expresión“csc(x)” (nombre con el cual se representa con DERIVE la función cosecante),aplicamos respecto de la variable x, marcamos el campo “Indefinida” y en elcampo “Constante” introducimos la letra c ; si deseamos dejar indicada la operacioneshacemos clic en , obtenemosSimplificando ahora esta expresión con Simplificar-Normal resultaque es una de las primitivas. Si después de haber aplicado hacemos clic sobre obtenemosdirectamente el resultado de la integral, es decirObsérvese que DERIVE únicamente calcula una de las primitivas, la constante generalde integración deberíamos añadírsela para dar una respuesta correcta al problema. EJERCICIO 22. Calcular las siguientes integrales indefinidas x 2 + 3x + 2 a) ∫ dx 3x − 5
  46. 46. Comandos básicos para el cálculo diferencial 45Solución: ∫x e 6 x b) dxSolución: 3.3. CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS. Para calcular integrales definidas primero editamos el integrando y luegoactivamos la ventana de diálogo de la integración bien a través de la secuencia demenú Cálculo-Integrales o bien con el botón de herramientas . Una vez activadadicha ventana de diálogoseleccionamos en el campo Integral la opción DEFINIDA con un simple clic, acontinuación aparecerá abierto el campo Integral Definida en el cual podemos incluirlos límites superior e inferior. Luego hacemos clic sobre el botón SI en el caso de quedeseemos dejar indicada la operación para posteriormente simplificarla. Cuandodeseemos obtener el resultado haremos clic sobre el botón SIMPLIFICAR. 3 ∫ (x 3 Por ejemplo, si deseamos calcular − 3x 2 + 4 x − 2)dx primero 0introducimos la expresión “x^3-3x^2+4x-2”, aplicamos el comando Cálculo-Integrales, respecto de la variable “x”, seleccionamos el campo de Integral Definida,introducimos los valores 0 y 3 en los campos correspondientes a límite inferior ysuperior y finalmente hacemos clic sobre el botón SI y obtenemos la expresiónsi aplicamos ahora Simplificar-Normal obtenemos:
  47. 47. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 46 2 sen( x) Existen integrales “no elementales” como por ejemplo ∫ 1 x dx que alintentarlas resolver con derive nos dan la misma expresión:Esto se debe a que la integral indefinida de esta función es no elemental, es decir noes expresable a partir de funciones elementales. En estos casos es aconsejable realizaruna aproximación usando Simplificar-Aproximar en cuyo caso resulta π EJERCICIO 23. Calcular ∫0 e x sen( x)dx . (Observación: el número π seintroduce tecleando “pi”). Solución: 3.4. CÁLCULO DE INTEGRALES IMPROPIAS. DERIVE permite calcular integrales impropias tratándolas “como si fuesenintegrales definidas”. Para ello basta con activar (del mismo modo que con en lasintegrales definidas) la ventana de diálogo por medio de la secuencia de menúCalculo-Integrales o bien mediante el botón de herramientas . Así por ejemplo, sideseamos calcular la integral 1 dx ∫ 0 x (x + 1)como se trata de integrar una función no acotada en un recinto acotado, cuyo únicopunto de no acotación es x=0. Para resolverla bastará introducir la funciónplantear la integral como si fuese una integral definida en DERIVEy al simplificarla resulta: De igual forma si tenemos que calcular una integral de una función acotada en unrecinto no acotado como ∞ dx ∫ x 2 + 4 dx 0
  48. 48. Comandos básicos para el cálculo diferencial 47 Esto se consigue editandoplantearla como si fuese una integral definida, teniendo en cuenta que el símbolo deinfinito en DERIVE se escribe “inf” (o bien se selecciona de la barra de caracteresadjunta a la ventana de diálogo de la integración el símbolo ∞)y tras simplificar resulta En los dos casos anteriores hemos obtenido la convergencia de ambas integrales.Pero DERIVE también nos da información acerca de la NO CONVERGENCIA. Porejemplo si intentamos calcular 1 dx ∫ x4 −1 0utilizando el procedimiento anterior obtendremos las siguientes expresiones enDERIVE Obsérvese que en la última expresión aparece -∞ , por tanto la integral noconverge. Pero deberemos tener cuidado a la hora de estudiar integrales impropias en lasque, la función sea no acotada en un intervalo no acotado, así como en aquellasintegrales de funciones no acotadas que contienen, los puntos de no acotación en elinterior del intervalo de integración. En estos casos DERIVE no calcula la integralimpropia sino que calcula lo que se suele denominar el VALOR PRINCIPAL DECAUCHY. Podemos comprobarlo con el cálculo de 2 1 ∫1 x 3 dx −
  49. 49. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 48 Si efectuamos el cálculo de esta integral en DERIVE “como si fuera una integraldefinida”, en este caso DERIVE nos indica que la integral es convergente, sin embargoes sabido que esta integral impropia no converge. El problema reside en que el puntode no acotación x=0 está en el interior y por tanto DERIVE calcula otra cosa distinta ala integral, obteniendo como valor de convergencia Sin embargo si calculamos por separado en DERIVE las integrales 0 2 1 1 ∫1 x 3 dx y ∫ x 3 dx − 0se obtienen las expresionespor lo que es divergente. EJERCICIO 24. Determinar la convergencia o no convergencia de las siguientes integralesimpropias 1 1 x−2 x−2 (a) ∫ 2 dx (b) ∫ dx 0 x −1 x 3.5. CÁLCULO DE LÍMITES. El cálculo de límites se puede efectuar aplicando sobre cierta expresión algebraicados opciones: - la secuencia de menú Cálculo-Límites - o bien la barra de herramientas
  50. 50. Comandos básicos para el cálculo diferencial 49en este momento aparecerá desplegada la ventana de diálogo correspondientes alcálculo de límites:En esta ventana podemos observar varios campos: - El campo VARIABLE en el que debemos indicar la variable del límite - El campo PUNTO en el que indicaremos el punto en el que deseamos calcular el límite - Y finalmente el campo TENDIENDO POR; en el que indicaremos si se trata de un límite o bien un límite por la izquierda o por la derecha. - Una vez introducidos estos datos podemos hacer clic en SI para que aparezca en laventana de álgebra la expresión que estamos calculando y que después podremossimplificar o bien hacer clic en SIMPLIFICAR si deseamos obtener directamente elvalor. Por ejemplo, para calcular sen( x) lim x →0 x En primer lugar introducimos la expresión “sin(x)/x”, a continuación aplicamosCalculo-Límite sobre esta expresión, y rellenamos la ventana de diálogo indicando - en el campo VARIABLE: x - en el campo PUNTO: 0 - y en el campo TENDIENDO POR: ambasy obtenemos después de simplificar:Se pueden calcular límites en el infinito si introducimos en el campo PUNTO:+∞ ó -∞. Por ejemplo para calcular el límite x 3 − 3x lim x →∞ 2 x + 1tras introducir la expresión “(x^3-3x)/(2x+1)” en DERIVE, obtendremos tras sucesivasaplicaciones de los comandos ya explicados las expresiones
  51. 51. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 50 EJERCICIO 25. Calcular los siguientes límites funcionales: x − 2x x − 2x (a) lim− (b) lim+ x→ 2 x−2 x→ 2 x−2 x − 2xSegún los resultados obtenidos ¿existe lim ? x→2 x−2 3.6. CÁLCULO DE SUMATORIOS. La expresión b ∑ p(i) i=asiendo a,b números enteros y b>a, denota un sumatorio de la expresión p(i) variandodesde i=1 hasta i=b, es dedir p(a)+p(a+1)+p(a+2)+...+p(b) DERIVE permite obtener el resultado de este tipo de operaciones desplegandouna ventana de diálogo especial para este tipo de operaciones. Una vez introducida laexpresión base del sumatorio podemos aplicar: - o bien la secuencia de menú Calculo-Suma y Series - o bien el botón de herramientasy aparecerá la ventana de diálogo correspondiente a esta operación. En esta ventana dediálogo aparecen varios campos como se observa en la siguiente figura: Los campos de esta ventana de diálogo son: - Campo VARIABLE; en el que se indica la variable del sumatorio - Campo SUMA, en el que se debe señalar si se trata de una suma definida o una suma indefinida. - Campos LÍMITES SUPERIOR E INFERIOR; indicando los límites superiores e inferiores de la variable. Por ejemplo si deseamos calcular cuanto vale la suma de los cuadrados de los10 primeros números naturales, es decir 10 ∑i i =1 2
  52. 52. Comandos básicos para el cálculo diferencial 51En primer lugar editamos la expresión “i^2”, aplicamos sobre esta expresión elcomando Calculo-Sumas, elegimos como variable “i”, elegimos suma “Definida” yseleccionamos como límites inferior “1” y como límite superior “10” (enter) (parapasar de un campo a otro recuérdese que se utiliza la tabla de tabulación ) y obtenemosla expresiónque al simplificar resulta También podríamos haber obtenido la fórmula general de la suma de loscuadrados de los n-primeros números naturales, efectuando EJERCICIO 26. Calcular la suma de los cubos de los n-primeros números naturales.¿Cuánto valdrá la suma de los cubos de los 100-primeros números naturales? Solunción: 3.7. CÁLCULO DE PRODUCTORIOS. Se denota por b ∏ p(i) i=asi a,b son números enteros y b>a, al resultado de efectuar el producto p (a ) ⋅ p (a + 1) ⋅ p(a + 2) ⋅ ... ⋅ p(b) Para efectuar este cálculo con DERIVE debemos desplegar la ventana de diálogocorrespondiente al cálculo de productos. Esta ventana se obtiene por dos métodos:
  53. 53. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 52 - aplicando la secuencia de comandos Calculo-Productos, - o bien aplicando el botón de herramientas Una vez desplegada la ventana de diálogodebemos rellenar los campos que aparecen: - Campo VARIABLE, en el que debemos señalar cual es la variable de la expresión de productos (por defecto DERIVE suele considerar una de las variables de la expresión base del productorio) - Campo PRODUCTO; donde debemos señalar si se trata de un producto definido o indefinido - En el caso de ser un producto definido, aparecen abiertos los campos LÍMITES SUPERIOR E INFERIOR; en el que introduciremos los límites superior e inferior del productorio. Por ejemplo si deseamos calcular 20 ∏ (i i =1 2 − 2i + 1)En primer lugar editamos la expresión “i^2-2i+1”, aplicamos sobre la misma elcomando Calculo-Productos, elegimos la variable “i” (enter), señalamos que se tratade un producto definido e indicamos en los campos límite superior e inferior losvalores 1 y 20 respectivamente (enter). Al simplificar se obtendrá el valor delproductorio anterior: ¿por qué se obtiene 0? Obsérvese que el primer factor para i=1, sale 0, por tanto elproducto total ha de ser nulo. EJERCICIO 27. Calcular el producto de los cuadrados de los n-primeros enteros positivos.¿Cuánto vale el producto de los cuadrados de los 20 primeros enteros positivos? Solución:
  54. 54. Comandos básicos para el cálculo diferencial 53 3.8. CÁLCULO DE DESARROLLOS DE TAYLOR. Para calcular el desarrollo de Taylor de cierta función, debemos como es habitualen todas las opciones de CALCULO desplegar la ventana de diálogo correspondiente aeste comando, con la secuencia Calculo-Polinomios de Taylor apareciendo la ventanade diálogo:que contiene los siguientes campos: - Campo VARIABLE, variable respecto de la cual se realiza el desarrollo de Taylor - Campo PUNTO; en el que se indica el punto donde se desarrolla la Serie de Taylor - Campo GRADO; es el orden del polinomio de Taylor que deseamos Por ejemplo, si deseamos calcular el polinomio de Taylor de la función ex en unentorno del punto x=0, procederemos de la siguiente forma: en primer lugarintroducimos la expresión “ê^x”, aplicamos Calculo-Polinomios de Taylor, indicamosla variable "x" (aunque DERIVE la toma por defecto), en el punto "0" y el orden "6"y obtenemosque tras simplificar resulta el polinomio EJERCICIO 28. Calcular el polinomio de Taylor de orden 4 de la función f(x)=x4-3x+2 en unentorno del punto x=0. Con las secuencias de comandos estudiadas tenemos las herramientasfundamentales para el CALCULO DIFERENCIAL. Las secciones que siguen sonaplicaciones que requieren únicamente un conocimiento CONCEPTUAL de loselementos que vamos a ir estudiando.
  55. 55. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 544. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE En esta sección realizaremos algunos ejercicios sobre el estudio de funciones de unavariable. En la parte final hay ejercicios propuestos. 4.1. PROPIEDADES GENERALES Y GRÁFICAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. EJEMPLO 4.1. x2 Dada la función f ( x) = 2 se pide: x −4 (a) Representar la función gráficamente. (b) Estudiar el comportamiento de la función: dominio, rango, asíntotas, intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión. Solución: (a) Para representar la función, se introduce la expresión “x^2/(x^2-4)”y a continuación aplicamos Ventana-Nueva ventana 2D. En la nueva ventana se aplicay se obtiene (b) En este caso, de la gráfica de la función se puede deducir directamente informaciónque utilizaremos en el análisis de este apartado y que se obtendrá de forma alternativa conel estudio analítico correspondiente.
  56. 56. Análisis de funciones de una variable 55 • DOMINIO. Para estudiar el dominio se buscan los valores de x para los cuales f(x) es un númeroreal, o, si se utiliza la representación anterior, los valores de x para los cuales “haygráfica”. Obsérvese que en nuestro ejemplo, para x=2 y x=-2, no existe la función, ya queestos son justamente los valores que anulan el denominador. • RANGO.Gráficamente el rango de la función es el conjunto de números del eje OY en los que“existe la gráfica”. Como puede verse, en este caso el rango de la función es todo elconjunto de números reales menos el intervalo (0,2] es decir en R(0,2]. • ASÍNTOTAS. Asíntotas verticales. La función, como se ve gráficamente, tiene dos asíntotasverticales, las rectas x=2 y x=-2. Analíticamente, para determinar las asíntotas verticales x2 x2estudiamos los siguientes límites lim+ 2 y lim− 2 . Para calcular el primer límite, x → −2 x − 4 x → −2 x − 4se edita la expresión “x^2/(x^2-4)”, se elige el botón de herramientas y en la ventanade diálogo correspondiente al cálculo de límites se introducen la variable “x”, el punto -2 yen el campo “Aproximación desde” se elige la opción “derecha”. Finalmente se hace clicen y obtenemosque tras simplificar con se obtiene Es decir cuando x se aproxima a –2 por la derecha la rama de la gráfica se va -∞.Para calcular el segundo límite se repite el proceso anterior, pero en el campo“Aproximación desde” se elige la opción “izquierda” y obtenemos las expresionesse observa que cuando los valores de x se aproximan a –2 por la izquierda la rama de lagráfica se va a infinito. Asíntotas horizontales. Gráficamente se ve que la recta y=1 es la única asíntotahorizontal de la función. Obsérvese que analíticamente los siguientes límites nos informande la existencia de dicha asíntota.
  57. 57. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 56 • INTERVALOS DE CRECIMIENTO /DECRECIMIENTO. En la gráfica se observa que en (-∞,-2)∪(-2,0) la función es creciente, y en (0,2)∪(2,∞)la función es decreciente. El estudio analítico de los intervalos de crecimiento y decrecimiento utiliza la funciónderivada. Por tanto, se calcula en primer lugar la derivada (derivada de primer orden) dela función. Para ello se edita la expresión “x^2/(x^2-4)”, se aplica y la ventana dediálogo que aparece nos aseguramos de que los campos “variable” y “orden” tenganasignados los valores “x” y “1” respectivamente y a continuación se elige la opción y se obtieneComo la función es creciente en aquellos valores en los que la derivada es positiva, 8xdebemos resolver la inecuación − 2 > 0 . Para ello se introduce la expresión ( x − 4) 2“-8x/(x^2-4)^2>0” mediantese aplica y en la ventana de diálogo se comprueba que los campos “Método” y“Dominio” tengan asignados las opciones “Algebraico” y “Complejo” y finalmente se eligela opción obteniéndose el resultado:Por tanto, los intervalos de crecimiento son (-∞,-2)∪(-2,0). Para determinar los intervalos de decrecimiento se estudian los valores en los que laderivada es negativa. El procedimiento es análogo al anterior: hay que resolver la 8xinecuación − 2 < 0. ( x − 4) 2Los intervalos de decrecimiento son en efecto (0,2)∪(2,∞).
  58. 58. Análisis de funciones de una variable 57 • EXTREMOS RELATIVOS. De la gráfica se concluye que en x=0 la función alcanza un máximo local.Para determinar analíticamente los puntos críticos de la función se calculan los puntos que 8xanulan la derivada. Por tanto, hay que resolver la ecuación − 2 = 0 , lo cuál se ( x − 4) 2consigue de la forma siguiente:1. Con se edita la expresión2. Se elige el botón de herramientas y en la ventana de diálogo se comprueba que los campos “Método” y “Dominio” tengan asignados las opciones “Algebraico” y “Complejo” y finalmente se elige la opción . El resultado es:3. El punto crítico es x=0. En este caso es un máximo local pues separa un intervalo de crecimiento (a su izquierda) de un intervalo de decrecimiento (a su derecha). • INTERVALOS DE CONCAVIDAD/CONVEXIDAD. Si observamos la gráfica de la función podemos concluir que la función es convexa enel conjunto (-∞,-2)∪(2,∞) y cóncava en el intervalo (-2,2).El estudio analítico de la convexidad de una función utiliza la segunda derivada de lafunción, la cual se obtiene de la siguiente forma: Utilizando la expresión que ya teníamos editada anteriormente Se aplica el botón de herramientas y en la ventana de diálogo se comprueba que los campos “variable” y “orden” tengan asignados los valores “x” y “2” respectivamente y finalmente se elige la opción y se obtiene: A continuación se determina el conjunto de los números reales para los que la segunda derivada es positiva resolviendo la inecuación
  59. 59. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 58 El resultado esY así se obtiene que los intervalos de convexidad son (−∞,−2) ∪ (2, ∞) Análogamente la función es cóncava en aquellos puntos que hacen negativa lasegunda derivada para lo que hay que resolver la inecuaciónEl resultado esY se obtiene que el intervalo de concavidad de la función es: (-2,2) • PUNTOS DE INFLEXION. Los puntos de inflexión se encuentran entre aquellos puntos que igualan a cero laderivada segunda. En el ejemplo que nos ocupa, bastará resolver la ecuaciónPara ello se elige el botón de herramientas y en la ventana de diálogo se compruebaque los campos “Método” y “Dominio” tengan asignados las opciones “Algebraico” y“Complejo” y finalmente se elige la opción . El resultado es:Por consiguiente no existen valores reales que anulen la derivada segunda, y enconsecuencia, (tal como se observa en la gráfica) no hay puntos de inflexión. Obsérvese que x=-2 y x=2 separan intervalos de concavidad y convexidad, pero noson puntos de inflexión por que son puntos que no están en el dominio de la función. 4.2. APROXIMACIÓN DE FUNCIONES. EJEMPLO 4.2. Dada la función g(x)=ln(1+2x) se pide:(a) Calcular los polinomios de Taylor de orden 1,2,3 y 4 de la función g(x) en un entorno de x=0.(b) Representar gráficamente en el mismo dibujo la función y todos los polinomios calculados en el apartado (a). Solución:(a) El cálculo del polinomio de Taylor de orden 1 en un entorno de x=0 se obtiene así: seintroduce la expresión “ln(1+2x)”, se aplica el comando Cálculo y luego la opción“Polinomios de Taylor” y en la ventana de diálogo que aparece se examina que los
  60. 60. Análisis de funciones de una variable 59campos “variable”, “punto” y “grado” tengan asignados los valores “x”, ”0” y “1”respectivamente y finalmente se elige la opción y aparece la expresiónque al simplificarla con obtenemosPara calcular los demás polinomios se procede como en el caso anterior: edición de laexpresión “ln(1+2x)”, aplicar la secuencia Cálculo-Polinomios de Taylor asignando encada caso, a diferencia del anterior, al campo “orden” los números “ 2,3 y 4”. Luegoaplicando se obtienen sucesivamente las siguientes funciones: (c) Para dibujar la función y sus cuatro polinomios en el mismo gráfico se procedede las siguiente forma: se edita la expresión “ln(1+2x)”, se elige el botón . En la nuevaventana se selecciona el botón . En la ventana 2D aparece entonces el dibujo de lagráfica de la función. A continuación se repite el siguiente proceso: seleccionamos laventana de álgebra donde tenemos editados los diferentes polinomios de Taylor,seleccionamos cada uno de ellos y los representamos en la ventana 2D anterior con .Finalmente obtenemos
  61. 61. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 60donde podemos observar como el grado de aproximación en un entorno de x=0 vaaumentando a medida que aumenta el orden del polinomio, lo cual se observa mejor si nosaproximamos con 4.3. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Si deseamos definir en DERIVE funciones definidas a TROZOS, debemos utilizarcomandos de programación, en concreto la sentencia IF(Condicion,I1,I2), cuyo significadoconsiste en estudiar la Condición, de tal forma que si es cierta se aplica I1 y si es falsa seaplica I2. Veámoslo con un ejemplo. EJEMPLO 4.3. Definir la función  x2 +1 x < 0 f ( x) =  2 − x + 4 x ≥ 0y estudiar su derivabilidad y continuidad.Solución:Para definir en DERIVE esta función se introduce la expresión: f(x):=if(x<0,x^2+1,-x^2+4)Veamos el aspecto de su gráfica seleccionando la ventana 2D y aplicando
  62. 62. Análisis de funciones de una variable 61Obsérvese que no es continua en x=0 (la curva de la función se “rompe” o da un salto), yen consecuencia no es derivable en x=0. A continuación estudiamos de forma analítica elproblema de continuidad. Para estudiar la continuidad de f es necesario calcular ellímite lim f ( x) , para lo cual aplicamos y en la nueva ventana comprobamos que los x→ 0campos “variable”, ”punto” y “Aproximación desde” tengan asignados los valores“x”,”0” y “ambas”. Finalmente hacemos clic en y nuevamente obtenemoslo cual significa que el límite no existe y, por tanto, la función no es continua en el puntox=0. 4.4. REPRESENTACIÓN DE GRÁFICAS DE FUNCIONES CONSTRUIDASPOR TRANSFORMACION DE FUNCIONES. EJEMPLO 4.4. Dada la función f(x)=x3-x+1 se pide representar gráficamente las funciones: (a) f(x), f(x)+3 , f(x)-3 (b) f(x), f(x+3), f(x-3) (c) f(x), 3f(x), f(x)/3 (d) f(x), f(3x), f(x/3) (e) f(x), f(-x),-f(x)Solución: En primer lugar se introduce la expresión “f(x):=x^3-x+1”. (a) La representación gráfica de f(x) se hace seleccionando la ventana 2D y aplicando y se obtiene Luego se editan las expresiones “f(x)+3” y “f(x)-3” en la ventana de edición de la ventana 2D, se aplica y obtenemos
  63. 63. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 62Se observa que la curva de la función “f(x)+3” se obtiene trasladando la curva de lafunción f(x) tres unidades hacia arriba.(b) Borremos ahora todas las gráficas de la ventana 2D aplicando el botón tres veces. Para representar las tres funciones pedidas se editan sucesivamente las expresiones “f(x)” “f(x+3)” y “f(x-3)” en la ventana de edición de la ventana 2D y a continuación elegimos la opción obteniendo Se observa que la curva de la función “f(x+3)” se obtiene trasladando la curva de la función f(x) tres unidades hacia la izquierda, respectivamente “f(x-3)” se obtiene trasladando la gráfica de f(x) tres unidades a la derecha.
  64. 64. Análisis de funciones de una variable 63(c) Nuevamente borramos primero todas las gráficas de la ventana 2D. Luego editamos las expresiones “f(x)”, “3*f(x)” y “f(x)/3” en la ventana de edición de la ventana 2D y aplicando se obtiene (d) Se borran todas las gráficas de la ventana 2D como en los casos anteriores, se editan las expresiones “f(x)”, “f(3x)” y “f(x/3)” y se representan las tres funciones utilizamos el mismo procedimiento que antes y se obtiene
  65. 65. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 64 (e) Borramos todas las gráficas y editamos las expresiones “f(x)”, “f(-x)” y “-f(x)”. A continuación podemos dibujar f(x), f(-x) y –f(x) y se obtiene EJERCICIO 29. Dada la función f(x)=x4+x3-x (a) Dibujar su gráfica. (b) Deducir ¿cuál será la función g(x) que tiene la siguiente gráfica? EJERCICIO 30. Dada la función   1 −1 < x  f ( x) =  x 2 −1 ≤ x < 1 x + 2 1≤ x  3  Se pide: (a) Definir la función en DERIVE (utilizando dos if encadenados) (b) Obtener su gráfica. (c) ¿es continua en su dominio? ¿es derivable en todo su dominio?
  66. 66. Análisis de funciones de una variable 65 (d) Dibujar la recta tangente a la función en el punto x=0. EJERCICIO 31.Una empresa posee las siguientes funciones de ingreso y coste x2 I ( x) = 20 x − 4 2 C ( x) = x + 10 x − 1800Siendo x el número de unidades. Se pide: (a) Representar I(x) y C(x). (b) Representar la función beneficio y determinar analíticamente el número de unidades que maximizan el beneficio. EJERCICIO 32. Si la gráfica de la derivada f’(x) de una cierta función f(x) viene dada porIntentar obtener una aproximación gráficamente de la función f(x).
  67. 67. Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5 665. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.En este apartado trabajaremos con funciones de dos variables, aunque los cálculosanalíticos se pueden efectuar con funciones de más de dos variables, con las limitacionesrelacionadas con la imposibilidad de representar sus gráficas.5.1. GRÁFICAS Y CURVAS DE NIVEL DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES.EJEMPLO 5.1. Dibujar la gráfica de la función  x2 + y2  cos  4   f ( x, y ) =  . 2 2 3+ x + ySolución Editamos la funcióny marcamos en Ventana la opción Nueva ventana 3D o y una vez abierta la ventana 3Dmarcamos nuevamente y obtenemos Como el recorrido de la función coseno es [-1,-1], el recorrido de nuestra función es[-1/3,1/3]. Modificamos, por tanto, la escala en la variable z, para obtener una mejor visión dela gráfica. Marcamos y fijamos el mínimo de la variable z en –0.5 y el máximo en 0.5,obteniendo
  68. 68. Análisis de funciones de varias variables 67 Para cambiar el punto de referencia del observador marcamos en Seleccionar la opciónPosición de ojo o equivalentemente y cambiamos las Coordenadas del ojo. Por ejemplo,si: x=10, y=10, z=24, obtenemos Podemos conseguir el mismo efecto (cambio de posición del ojo) utilizando los iconos Si lo que queremos es enfocar a otro punto de la gráfica para ver un trozo diferente dela misma marcamos en Seleccionar la opción Región. Por ejemplo, cambiando lascoordenadas del Centro por: x=5, y=5, z=0.2, obtenemos
  69. 69. Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5 68 Si lo que queremos es ampliar o disminuir la visión que tenemos de la gráficamarcamos en Seleccionar la opción Región y cambiamos Longitud o, equivalentemente,pinchamos el botón de herramientas que nos interese. Por ejemplo, considerando:x=25, y=25 y z=0.5, obtenemosEJEMPLO 5.2. Dada la función f(x,y)=x2+y2, se pide: (a) dibujar su gráfica (b) construir sus curvas de nivel.

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