Penyelesaian sistem persamaan linear dengan

4,740 views
4,467 views

Published on

0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
4,740
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
143
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Penyelesaian sistem persamaan linear dengan

  1. 1. Seminar matematika PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE ITERASI JACOBI Nama : Baidilah Nim : 09221008 Angkatan : 2009 PROGRAM STUDI TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) RADEN FATAH PALEMBANG TAHUN 2012
  2. 2. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE ITERASIJACOBIA. PENDAHULUAN1. Latar Belakang Masalah Sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dengan n variabelx1, x2, ..., xn (Anton, 2007: 24), dinyatakan dengan a11x1 + a12x2 +......................+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 +......................+ a2nxn = b2 .......... + .............+....................+........... = ..... an1x1 + an2x2 +......................+ annxn = bn Suatu persamaan linear tidak melibatkan hasil kali atau akar peubah, semua peubahhanya muncul sekali dengan pangkat satu dan tidak muncul sebagai peubah bebas dari sebuahfungsi trigonometri, logaritma, atau eksponensial (Anton, 2007:22). Berikut ini bukan persamaanlinear:Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian (Anton, 2007:23), misalnya:
  3. 3. Jika kita mengalikan persamaan kedua dari sistem dengan ½ akan terbukti bahwa tidakada penyelasaian karena sistem ekuivalen yang di hasilkan, mempunyai persamaan yangkontradisi Sebuah sistem persaman yang tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai takkonsisten, jika paling sedikit terdapat satu penyelesaian maka sistem itu di sebut konsisten. Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan metode langsung atau dengan metodeiterasi. Dengan menggunakan metode langsung misalnya Gauss dan Variasi-variasinya. Dalammetode eliminasi Gauss melibatkan banyak pembulatan galat, pembulatan yang terjadi padaelimainasi gauss (maupun gauss-Jordan) dapat menyebabkan solusi yang diperoleh “jauh” darisolusi sebenarnya. Dengan metode iterasi, galat pembulatan dapat diperkecil, karena kita dapatmeneruskan iterasi sampai solusi seteliti mungkin, sesuai denga batas galat yang kitaperbolehkan, dengan kata lain besar galat dapat dikendalikan sampai batas yang bisaditerima(Munir,2010:173). Ada dua metode iterasi yang sering digunakan, yaitu metode Jacobidan metode Gauss-Seidel. Metode Jacobi dikenalkan oleh Carl Jacobi (1804-1851). Metodeiterasi Jacobi merupakan proses rekursi berulang untuk mendekati bilangan yang tidak diketahui. Sebagai titik awal pada rekursi tersebut di perlukan nilai awal dan biasanya adalah X0,pada proses selanjutnya nilai yang sudah di ketahui tahapan sebelumnya X1 di pergunakan untukmencari nilai X pada tahapan selanjutnya X2. Proses tersebut terus berulang hingga di perolehnilai X yang sesungguhnya atau berhenti jika toleransi kesalahan tertentu telah dicapai.(Rumita,2009:302).2. Perumusan MasalahBerdasarkan uraian di atas, permasalahan yang dibahas yaitu bagaimana penurunan algoritma metode Jacobi? bagaimana menganalisis galat secara numerik metode Jacobi? bagaimana penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode jacobi pada suatu kasus?
  4. 4. 3. TujuanTujuan makalah ini adalah menjelaskan tentang penurunan algoritma metode Jacobi menjelaskan bagaimana menganalisis galat secara numerik metode Jacobi menjelaskan bagaimana penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode jacobiB. PEMBAHASAN 1. Penurunan Algoritma Jacobi Kita bahas sistem persamaan linear(Anton, 2007:24): a11x1 + a12x2 +......................+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 +......................+ a2nxn = b2 .......... + .............+....................+........... = ..... an1x1 + an2x2 +......................+ annxn = bn persamaan ke-i dari persamaan di atas adalah ai1x1 + ai2x2 + aiixi +......................+ ainxn = bidimana i = 1, 2, 3, ..., n.dapat diekspresikan sebagai Dengan i = 1,2,3,....................nSehingga dapat diperoleh penyelesaian persamaan ke-iSehingga algaritma metode jacobi dapat di apresiasikan sebagai(Rumita, 2009:303): , k=1,2,3..........n
  5. 5. Untuk menyelesikan sistem persamaan linear dengan metode Jacobi diperlukan suatunilai pendekatan awal yaitu x0. Nilai x0 biasanya tidak diketahui dan dipilih x0=0.(Luknanto,2001:50) 2. Analisis Error Pada Metode Jacobi Menurut May(dalam Nugroho, 2003:3)Untuk menyelesaikan persamaan linear dengan metode iterasi, koefisien matrik A dipecahkan manjadi dua bagian , N dan P, sedemikian hingga A=N-1P.perhatika bahwa : Sehingga di peroleh: N = diag(a11,a22,............ann)= P= Karena A=N-1P maka: A= x A= x A=
  6. 6. Dengan demikian, dapat di perolehOleh karena itu, syarat cukup agar motode jocobi konvergen adalah:Dengan demikian matode jacobi akan konvergen jika koefisien matrik dominan secaradiagonal, Artinya elemen pada diagonal utama merupakan nilai yang paling besar darijumlah setiap barisnya(Rumita, 2009:302). Dalam hal ini perlu dicatat bahwa menyusunulang persamaan akam membuat koefisien matrik dominan secara diagonal. Mengubahbentuk persaman linear simultan menjadi bentuk eksplisit dari x1,x2,........xn. sebagaiberikut:(a11 )x1 + a12x2 +......................+ a1nxn = b1a21x1 +( a22 )x2 +......................+ a2nxn = b2.......... + .............+....................+........... = .....an1x1 + an2x2 +......................+ (ann )xn = bn menjadi :Iterasi jacoby dapat dihentikan jika toleransi kesalahan tertentu talah tercapai artinya : absolut nilai yang baru di kurang nilai sebelumnya dibagi nilai yang baru dan di kali 100% harus kurang dari toleransi kesalahan.
  7. 7. Di mana adalah toleransi kesalahan yang di kehendaki. 3. Penerapan metode jacobi dalam kasus Di berikan sistem persamaan linear : -b + 2a =3 (a) 4b + 2a + y = 11 (b) 2b + a + 4y = 16 (c) Tentukan nilai a,b, dan y pada persamaan di atas dengan galat <0.01!....dengan menggunakan metode jacobi, dapat diketahui bahwa sistem persamaan linear di atastidak konvergen. Hal ini dikarenakan sistem tersebut tidak dominan secara diagonal, oleh karenaitu untuk memperoleh penyelasaian yang konvergan sistem tersebut perlu diatur kembali agarpersamaan tersebut dominan secara diagonal, menjadi:4b + 2a + y = 11-b + 2a =32b + a + 4y = 16Sehingga menurut algoritma jacobi sistem persaman di atas dapat di bentuk menjadidengan mensubtitusikan nilai xo=1 maka di dapat K B Galat b A Galat a y Galat y 0 1 - 1 - 1 -
  8. 8. 1 2 50 2 50 3.25 69.2307 2 0.9375 113.333 2.5 20 2.5 30 3 0.875 7.1428 1.9687 26.987 2.90625 13.9784 4 1.0390 15.779 1.9375 1.5587 3.0703 5.343 ... .... .... ...... 11 1.0001 0.034 1.9999 0.005 3.0001 0.01 12 1.00002 0.008 2.0000 0.005 2.9999 0.006 Sehingga himpunan penyelasaian persamaan tersebut adalah a=1, b=2, y=3. Dalam menyeselaikan sistem persamaan linear dengan metode iterasi, perhitungan manual sangat tidak efisien(Nugroho, 2003:5). Oleh karena itu perlu di buat program- program diantaranya dengan menggunakan delphi , seperti:procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);vara11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33,c1,c2,c3:real;galatx3,x3lama,x3baru,x2baru,x1baru,galatx1,galatx2,x1lama,x2lama : real;i:integer;begina11:=4;a12:=2;a13:=1;c1:=11;a21:=-1;a22:=2;a23:=0;c2:=3;a31:=2;a32:=1;a33:=4; c3:=16;galatx1:=1;galatx2:=1;galatx3:=1;x3baru:=0;x2baru:=0;x1baru:=0;x1lama:=1;x2lama:=1;x3lama:=1;i:=1;while (galatx1>0.01) or (galatx2>0.01) or (galatx3>0.01) do
  9. 9. beginx1baru:=(c1-(a12*x2lama)-(a13*x3lama))/a11;x2baru:=(c2-(a21*x1lama)-(a23*x3lama))/a22;x3baru:=(c3-(a31*x1lama)-(a32*x2lama))/a33;galatx1:=abs((x1baru-x1lama)/x1baru)*100;galatx2:=abs((x2baru-x2lama)/x2baru)*100;galatx3:=abs((x3baru-x3lama)/x3baru)*100;x1lama:=x1baru;x2lama:=x2baru;x3lama:=x3baru;listbox1.Items.add(inttostr(i));listbox2.Items.Add(format(%8.5f,[x1baru]));listbox3.Items.Add(format(%8.5f,[galatx1]));listbox4.Items.Add(format(%8.5f,[x2baru]));listbox5.Items.Add(format(%8.5f,[galatx2]));listbox6.Items.Add(format(%8.5f,[x3baru]));listbox7.Items.Add(format(%8.5f,[galatx3]));i:=i+1;end;edit1.Text:=format(%8.4f,[x1baru]);edit2.Text:=format(%8.4f,[x2baru]);edit3.Text:=format(%8.4f,[x3baru]);end;diatas merupakan algoritma untuk metode jacobi dalam aplikasi delphi.adapun tampilannya adalah sebagai berikut :
  10. 10. C. KESIMPULAN 1. Algoritma metode Jacobi adalah , k=1,2,3..........n Dengan niai pendekatan awal x0 biasanya dipilih nol 2. Untuk menganalisis galat metode jakobi kita kita bisa menggunakan Di mana adalah toleransi kesalahan yang di kehendaki. artinya : absolut nilai x yang baru di kurang nilai x sebelumnya di bagi nilai x yang baru dan di kali 100% harus kurang dari toleransi kesalahan. 3. Dari persoalan sistem persaman linear 4b + 2a + y =11, -b + 2a + 3, 2b + a + 4Y = 11, dengan galat <0,01% penyelesaian dengan menggunakan metode iterasi Jacoby hasil untuk mendapatkan hasil ,b=1 galat b=0.008%, a= 2 galat a=0.005%, y=3 galat y=0.006%. memerlukan 12 iterasi.
  11. 11. DAFTAR PUSTAKARumita.2009.matrik persamaan linier dan pemrograman linier. Bandung: Rekayasa SainsMunir, Renaldi.2008.metode numerik.bandung:informatikaAnton, Howard.2003.dasar-dasar aljabar linear. Tanggerang: Binarup aksara publisherLuknanto, djoko.2001.metoda numerik. Yokyakarta : UGMNugroho, susilo.2003.penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iteras.jurnalmatematika.
  12. 12. PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAR TARBIYAH INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) RADEN FATAH PALEMBANG KARTU BIMBINGAN SEMINAR MATEMATIKANama : BaidilahNim : 09221008Program study : Tadris MatematikaJudul Seminar : penyelesaian sistem persamaan linear dengan Metode iterasi jacobiPembimbing : Hartatiana M.Pdno Tanggal Saran Paraf

×