ABSTRAKDalam sistem penyederhanaan fungsi Boolean, metode aljabar dan metode petakarnaugh sangat sulit untuk menyederhanak...
logika. Untuk mendapatkan rangkaian logika maka diperlukannya metode-metodepenyederhanaan agar fungsi booleannya menghasil...
Pada prakteknya, fungsi boolean yang jumlah variabelnya kurang dariempat dapat dengan mudah disederhanakan menggunakan met...
KAJIAN PUSTAKA1. Aljabar Boolean      Aljabar Boolean dapat didefinisikan secara abstrak dalam beberapa cara.Cara yang pal...
Berhubung elemen-elemen B tidak didefenisikan nilainya (kita bebasmenentukan anggota-anggota B), maka untuk mempunyai sebu...
dan berharga 0 untuk harga x, y, dan z lainnya. Selain secara aljabar, fungsiBoolean juga dapat dinyatakan dengan tabel ke...
3. Bentuk Baku      Pada bentuk ini, suku-suku yang membentuk fungsi dapat mengandung satu,dua, atau sejumlah literal. Dua...
menyederhanakan fungsi Boolean yang jumlah variabelnya kecil misalnya 4variabel dan akan sangat sulit bila variabelnya leb...
PEMBAHASANMetode Quine-McCluskey     Metode peta Karnaugh hanya cocok digunakan jika fungsi Booleanmempunyai jumlah peubah...
e. Kombinasikan minterm dalam n-1 variabel dengan kelompok lain yang      jumlah „1‟-nya berbeda satu, sehingga diperoleh ...
Langkah g dan h :
berdasarkan tabel prime implicants diatas, didapatkan label-label prime implicantterpilih. Bentuk sederhananya adalah :f(h...
PENUTUP1. Kesimpulan     Metode Quine Mc.Cluskey menyelesaikan persamaannya denganmenentukan minterm-minterm sebagai prime...
DAFTAR PUSTAKAMarc Lars Lipson, Seymor Lipschutz, “Seri Penyelesaian Soal Schaum :     Matematika Diskrit 1”, Jakarta : Sa...
MENYEDERHANAKAN FUNGSI BOOLEAN DENGANMENGGUNAKAN METODE QUINE-MCCLUSKEY (QM)                      Oleh :               Nam...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1

2,637 views
2,506 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
2,637
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
60
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1

  1. 1. ABSTRAKDalam sistem penyederhanaan fungsi Boolean, metode aljabar dan metode petakarnaugh sangat sulit untuk menyederhanakan fungsi Boolean dengan jumlahvariabel maksimum 4(empat) variabel. Karena itu disimulasikan metode Quine-McCluskey yang mampu menyederhanakan fungsi Boolean dengan lebih dari4(empat) variabel. Maka dari itu untuk menyelesaikan masalah penyederhanaanfungsi boolean digunakan metode Quine-McCluskey. Metode ini merupakanmetode tabulasi dengan dua langkah utama yaitu pencarian prime implicant(implikan utama) dan penentuan prime implicant (implikan utama) inti.Kata kunci : fungsi Boolean, metode Quine-Mccluskey, prime implicant PENDAHULUAN1. Latar Belakang Aljabar Boolean, sebagai salah satu cabang matematika, pertama kalidikemukakan seorang matematikawan Inggris, George Boole, pada tahun 1854.Boole melihat bahwa himpunan dan logika proposisi mempunyai sifat –sifat yangserupa. Dalam buku The Law of Thought, Boole memaparkan aturan-aturan dasarlogika (yang kemudian dikenal sebagai Logika Boolean). Aturan dasar logika inimembentuk struktur matematika yang disebut aljabar Boolean. Pada tahun 1938,Claude Shannon memperlihatkan penggunaan aljabar Boolean untuk merancangsirkuit yang menerima masukkan 0 dan 1 dan menghasilkan keluaran juga 0 dan1. Aljabar Boolean telah menjadi dasar teknologi komputer digital karenarangkaian elektronik di dalam komputer juga bekerja dengan metode operasi bit, 0dan 1. Saat ini aljabar Boolean digunakan secara luas dalam perancanganrangkaian pensaklaran, rangkaian digital, dan rangkaian IC (integrated circuit)komputer. Definisi dari sebuah Aljabar Boolean adalah sebuah sistem aljabar yangterdiri atas himpunan semesta S bersama dengan dua buah operasi yaitu :penjumlahan/addition (+) dan perkalian/multiplication ( . ). Aturan-aturan yangada pada aljabar boolean pada intinya adalah pembentukan persamaan yangmenggunakan beberapa jenis operator (OR, AND, dan Negasi) sehingga aljabarboolean merupakan alat matematis yang cocok untuk keperluan analisis rangkaian
  2. 2. logika. Untuk mendapatkan rangkaian logika maka diperlukannya metode-metodepenyederhanaan agar fungsi booleannya menghasilkan fungsi yang sederhanasehingga dapat membentuk rangkaian logika. Fungsi Boolean seringkali mengandung operasi-operasi yang tidak perlu,literal atau suku-suku yang berlebihan. Oleh karena itu, diperlukanpenyerderhanaan fungsi Boolean. Menyederhanakan fungsi Boolean sama artinyamencari bentuk fungsi yang ekivalen tetapi dengan jumlah literal atau operasiyang lebih sedikit. Dalam pembuatan sirkuit elektronik bentuk yang terbaik inidimaksudkan untuk memperoleh biaya minimum dalam pembuatan sirkuitelektronik dan menghasilkan kinerja yang cepat dalam pengoperasian.Penyelesain fungsi Boolean disebut juga minimisasi fungsi. Contohnya,f(x,y) = x’y + xy’ + y’ dapat disederhanakan menjadi f(x, y) = x’ + y’. Dipandang dari segi aplikasi aljabar Boolean, fungsi Boolean yang lebihsederhana berarti rangkaian logikanya juga lebih sederhana (menggunakan jumlahgerbang logika lebih sedikit). Ada tiga metode yang dapat digunakan untukmenyederhanakan fungsi Boolean :1. Secara aljabar, menggunakan hukum-hukum aljabar Boolean.2. Metode Peta Karnaugh.3. Metode Quine-McCluskey. Penyederhanaan secara Aljabar, dilakukan dengan memodifikasi persamaanBoolean dimana dalam penyederhanaannya menggunakan teorema / aksiomadualitas untuk membuat bentuk yang paling sederhana. Salah satu cara yang dapatdigunakan adalah memanipulasi Aljabar Boolean. Karena metode AljabarBoolean bersifat trial and error, maka penyederhanaan dengan metode aljabar initidak digunakan dalam kasus nyata. Metode yang paling banyak digunakan adalahPeta Karnaugh dimana cara menggambarkannya dengan sejumlah kotakberbentuk persegi panjang yang berisi minimal term (minterm) dari fungsibooleannya dan banyaknya kotak bergantung pada banyaknya jumlah input darifungsi tersebut. Metode lain yang digunakan adalah metode Quine-McCluskeyatau biasa disebut dengan metode tabulasi.
  3. 3. Pada prakteknya, fungsi boolean yang jumlah variabelnya kurang dariempat dapat dengan mudah disederhanakan menggunakan metode Aljabar danPeta Karnaugh. Sedangkan fungsi boolean yang jumlah variabelnya lebih dariempat, kedua metode diatas sering kali menghasilkan penyederhanaan fungsi yangbentuknya tidak sederhana. Metode Quine-McCluskey lebih tepat untukmenyelesaikan kasus ini. Penyederhanaan dengan menggunakan metode QuineMcCluskey dilakukan dengan cara menyatakan variabel komplemen dengan 0variabel bukan komplemen dengan 1 dari bentuk baku fungsi booleannya, setelahitu mengkelompokan suku-suku berdasarkan jumlah 1 lalu mengkombinasikansuku-suku tersebut dengan kelompok lain yang jumlah 1-nya berbeda satusehingga diperoleh bentuk prime yang sederhana untuk mencari prime implicantserta memilih prime implicant yang mempunyai jumlah literal paling sedikit. Dari uraian di atas, penulis ingin mengggunakan metode Quine-McCluskeyuntuk menyederhanakan fungsi Boolean dengan judul “MenyederhanakanFungsi Boolean dengan Menggunakan Metode Quine-McCluskey”.2. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang diatas, masalah yang akan dibahas adalah:Bagaimana cara menyederhanakan fungsi Boolean dengan menggunakan metodeQuine-McCluskey ?3. Tujuan Tujuan penulisan pada makalah ini adalah untuk menyelesaikan masalahpenyederhanaan fungsi boolean dengan menggunakan metode Quine-McCluskey.4. Batasan Masalah Batasan masalah dalam penulisan Seminar Matematika ini adalah sebagaiberikut : Bentuk baku fungsi boolean yang digunakan adalah Sum Of Product(SOP).
  4. 4. KAJIAN PUSTAKA1. Aljabar Boolean Aljabar Boolean dapat didefinisikan secara abstrak dalam beberapa cara.Cara yang paling umum adalah dengan menspesifikasikan unsur-unsurpembentuknya dan operasi-operasi yang menyertainya.Misalkan terdapat : - Dua operator biner: + dan - Sebuah operator uner: ‟. - B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, , dan ‟ - 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Maka, tupel (B, +, , ‟)disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksiomaatau postulat Huntington berikut: 1. Identitas 2. Komutatif 3. Distributif 4. KomplemenTerdapat perbedaan antara aljabar Boolean dengan aljabar biasa untuk aritmatikabilangan riil :1. hukum distributif yang kedua, a + (b c) = (a + b) (a + c), benar untuk aljabar Boolean, tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.2. Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian atau kebalikan penjumlahan3. Aksioma nomor 4 mendefinisikan operator yang dinamakan komplemen yang tidak tersedia pada aljabar biasa.4. Aljabar biasa memperlakukan himpunan bilangan riil dengan elemen yang tidak berhinggga banyaknya. Sedangkan aljabar Boolean memperlakukan himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefenisikan, tetapi pada aljabar Boolean dua-nilai, B didefenisikan sebagai himpunan dengan hanya dua nilai, 0 dan 1.
  5. 5. Berhubung elemen-elemen B tidak didefenisikan nilainya (kita bebasmenentukan anggota-anggota B), maka untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean,kita harus memperlihatkan :1. Elemen-elemen himpunan B,2. kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner dan operator uner,3. himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut, memenuhi keempat aksioma diatas.2. Fungsi Boolean Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke Bmelalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai f : Bn Byang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurutganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B. Setiap ekspresi Boolean tidaklain merupakan fungsi Boolean. Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x‟y + y‟z Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) kehimpunan {0, 1}. Contoh pasangan terurut ganda-3 misalnya (1, 0, 1) yang berartix = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga f(1, 0, 1) = 1 · 0 · 1 + 1‟ · 0 + 0‟ · 1 = 0 + 0 + 1 = 1.Contoh. Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:1. f(x) = x2. f(x, y) = x‟y + xy‟+ y‟3. f(x, y) = x‟ y‟4. f(x, y) = (x + y)‟5. f(x, y, z) = xyz‟ Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentukkomplemennya, disebut literal. Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz‟ pada contoh diatas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z‟. Fungsi tersebut berharga 1 jikax = 1, y = 1, z = 0 sebab h(1, 1, 0) = 1 · 1 · 0‟ = (1 · 1) · 1 = 1 · 1 = 1
  6. 6. dan berharga 0 untuk harga x, y, dan z lainnya. Selain secara aljabar, fungsiBoolean juga dapat dinyatakan dengan tabel kebenaran dan dengan rangkaianlogika. Tabel kebenaran berisi nilai-nilai fungsi untuk semua kombinasi nilai-nilaipeubahnya. Jika fungsi Boolean dinyatakan dengan tabel kebenaran, maka untuk fungsiBoolean dengan n buah peubah, kombinasi dari nilai peubah-peubahnya adalahsebanyak 2n. Ini berarti terdapat 2n baris yang berbeda di dalam tabel kebenarantersebut. Misalkan n = 3, maka akan terdapat 23 = 8 baris tabel. Cara yang praktismembuat semua kombinasi tersebut adalah sebagai berikut:1. Untuk peubah pertama, isi 4 baris pertama pada kolom pertama dengan sebuah 0 dan 4 baris selanjutnya dengan sebuah 1 berturut-turut.2. Untuk peubah kedua, isi 2 baris pertama pada kolom kedua dengan 0 dan 2 baris berikutnya dengan 1, 2 baris berikutnya dengan 0 lagi, dan 2 baris terakhir dengan 1.3. Untuk peubah ketiga, isi kolom ketiga secara berselang-seling dengan 0 dan 1 mulai dari baris pertama sampai baris terakhir.Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z‟, nyatakan h dalam tabelkebenaran.Penyelesaian: Tabel 3.1 x y z f(x, y, z) = xy z‟ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0
  7. 7. 3. Bentuk Baku Pada bentuk ini, suku-suku yang membentuk fungsi dapat mengandung satu,dua, atau sejumlah literal. Dua tipe bentuk baku adalah bentuk baku SOP danbentuk baku POS. Contohnya, f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz (bentuk baku SOP) f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’) (bentuk baku POS)4. Aplikasi Aljabar Boolean Aljabar Boolean memiliki aplikasi yang luas dalam bidang keteknikan,antara lain:1. Jaringan pensaklaran (switching network)2. Sirkuit Elektronik5. Penyederhanaan Fungsi Boolean Ada tiga metode yang dapat digunakan untuk menyederhanakan fungsiBoolean :1. Secara aljabar, menggunakan hukum-hukum aljabar Boolean,Contoh : sederhanakanlah fungsi Boolean f(x, y, z) = xz’ + y’z + xyz’Penyelesaian : f(x, y, z) = xz’ + y’z + xyz’ = xz’ · 1 + y’z + xyz’ (Hukum identitas) = xz’ (1 + y) + y’z (Hukum distributif) = xz’ · 1 + y’z (Hukum dominansi) = xz’ + y’z (Hukum identitas) Pada soal diatas fungsi Boolean diminimumkan dengan trik manipulasialjabar dengan prosedur yang cut-and-try yang memanfaatkan postulat, hukum-hukum dasar, dan metode manipulasi lain yang sudah dikenal. Untuk tiga variabelsaja hukum yang dipakai sudah tiga. Bagaimana untuk enam varibel ke atas?Terlebih lagi tidak ada aturan khusus yang harus diikuti yang akan menjaminmenuju ke jawaban akhir. Maka metode aljabar hanya cocok untuk
  8. 8. menyederhanakan fungsi Boolean yang jumlah variabelnya kecil misalnya 4variabel dan akan sangat sulit bila variabelnya lebih dari 4.2. Metode peta Karnaugh, Contoh : carilah fungsi sederhana dari f(v, w, x, y, z) = ∑ (0, 2, 4, 6, 9, 11,13, 15, 17, 21, 25, 27, 29, 31).Penyelesaian :Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah : xyz vw 000 001 110 010 110 111 101 100 00 1 0 0 1 1 0 0 1 01 0 1 1 0 0 1 1 0 11 0 1 1 0 0 1 1 0 10 0 1 0 0 0 0 1 0Fungsi minimasi: f(v, w, x, y, z) = wz + v’w’z’ + vy’z Pada soal diatas peta Karnaugh untuk lima variabel dibuat dengan anggapanada dua buah peta empat variabel yang disambungkan, demikian juga untuk enamvariabel. Untuk fungsi Boolean 6 variabel pengerjaan penyederhanaan denganpeta Karnaugh sudah mulai rumit. Bagaimana untuk variabel 6 ke atas ? Makaakan semakin rumit, sebab ukuran peta bertambah besar. Selain itu, metode petaKarnaugh lebih sulit diprogram dengan komputer karena diperlukan pengamatanvisual untuk mengidentifikasi minterm-minterm yang akan dikelompokkan. Untuk itu diperlukan metode penyerderhanaan yang lain yang dapatdiprogram dan dapat digunakan untuk fungsi Boolean dengan sembarang jumlahpeubah. Metode alternatif tersebut adalah metode Quine-McCluskey (yang akandibahas oleh penulis pada Bab Pembahasan).
  9. 9. PEMBAHASANMetode Quine-McCluskey Metode peta Karnaugh hanya cocok digunakan jika fungsi Booleanmempunyai jumlah peubah paling banyak 6 peubah. Jika jumlah peubah yangterlibat pada suatu fungsi Boolean lebih dari 6 buah maka penggunaan petaKarnaugh menjadi semakin rumit, sebab ukuran peta bertambah besar. Selain itu,metode peta Karnaugh lebih sulit diprogram dengan komputer karena diperlukanpengamatan visual untuk mengidentifikasi minterm-minterm yang akandikelompokkan. Untuk itu diperlukan metode penyederhanaan yang lain yangdapat diprogram dan dapat digunakan fungsi Boolean dengan sembarang jumlahpeubah. Metode alternatif tersebut adalah metode Quine-McCluskey yangdikembangkan oleh W.V.Quine dan E.J.McCluskey pada tahun 1950. Penyederhanaan menggunakan metode Quine-McCluskey memberikan hasilyang pasti. Metode ini digunakan untuk mempresentasikan minimasi ekspresifungsi boolean, dan menyediakan sebuah prosedur sistematis untuk membangunsemua Prime Implicant dan kemudian mengambil sebuah set minimum dari primeyang ada. Langkah-langkah metode Quine-McCluskey untuk menyederhanakan fungsiBoolean dalam bentuk SOP terbagi dalam dua bagian, yaitu :1. Menentukan term-term sebagai kandidat (Prime Implicant), dengan langkah- langkah sebagai berikut : a. Terlebih dahulu buatlah tabel kebenaran b. Nyatakan tiap minterm (desimal) dalam n variabel menjadi string bit yang panjangnya n, yang dalam hal ini variabel komplemen dinyatakan dengan „0‟, variabel yang bukan komplemen dengan „1‟. c. Kelompokkan tiap minterm berdasarkan jumlah „1‟ yang dimilikinya. d. Kombinasikan minterm dalam n variabel dengan kelompok yang lain yang jumlah „1‟-nya berbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima (prime- implicant) yang terdiri dari n-1 variabel. Minterm yang dikombinasikan diberi tanda “√”.
  10. 10. e. Kombinasikan minterm dalam n-1 variabel dengan kelompok lain yang jumlah „1‟-nya berbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima yang terdiri dari n-2 variabel. f. Teruskan langkah diatas sampai diperoleh bentuk prima yang sesederhana mungkin.2. Memilih prime implicant untuk mendapatkan ekspresi dengan jumlah literal paling sedikit. Langkah-langkahnya : g. Ambil semua bentuk prima yang tidak bertanda “√”. Buatlah tabel baru yang memperlihatkan minterm dari fungsi Boolean semula yang dicakup oleh bentuk prima tersebut (tandai dengan “×”). Setiap minterm harus dicakup oleh paling sedikit satu buah bentuk prima. h. Pilih bentuk prima yang memiliki jumlah literal paling sedikit namun mencakup sebanyak mungkin minterm dari fungsi Boolean semula. Metode Quine-McCluskey biasanya digunakan untuk menyederhanakanfungsi Boolean yang ekspresinya dalam bentuk SOP, namun metode ini dapatdimodifikasi sehingga juga dapat digunakan untuk ekspresi dalam dalam bentukPOS. Contoh dibawah ini akan mengilustrasikan penggunaan metode Quine-McCluskey untuk menyederhanakan fungsi Boolean dalam bentuk SOP.Contoh Metode Quine-McCluskey Berikut ini contoh kasus dengan menggunakan metode Quine McCluskeyyang akan dibahas :Contoh : Fungsi Boolean dengan delapan variabelf(h, g, f, e, d, c, b, a) = ∑ (18, 20, 27, 32, 44, 48, 49, 52, 53, 64, 79, 80, 84, 95,100, 104, 105, 106, 107, 108, 142, 143, 148, 154, 158, 160 ).
  11. 11. Langkah g dan h :
  12. 12. berdasarkan tabel prime implicants diatas, didapatkan label-label prime implicantterpilih. Bentuk sederhananya adalah :f(h, g, f, e, d, c, b, a) = z = h’g’f’ed’c’ba’ + h’g’f’edc’ba + h’fe’dcb’a’ + h’g’fed’b’ + h’gf’d’c’b’a’ + h’gf’dcba + h’gfe’cb’a’ + h’gfe’dc’ + hg’f’e’dcb + g’f’ed’cb’a’ + hg’f’edba’ + g’fe’d’c’b’a’ + h’gf’ed’b’a’Gambar rangkaian logikanya : h g f e d c b a
  13. 13. PENUTUP1. Kesimpulan Metode Quine Mc.Cluskey menyelesaikan persamaannya denganmenentukan minterm-minterm sebagai prime implicant dan memilih primeimplicant untuk mendapatkan ekspresi dengan jumlah literal sedikit denganbeberapa pengulangan minimasi dari tahap penyederhanaan sebelumnyasampai tidak dapat lagi disederhanakan dan didapat hasil maksimumpeminimasian prime implicant yang terpilih, namun metode ini sangat rumitlangkah-langkahnya contohnya saja dalam menentukan prime implicantnyadari penyederhanaan 1 ke penyederhanaan selanjutnya selama masih dapatdisederhanakan dan akan berhenti apabila minimasi mintermnya tidak dapatdilakukan lagi.2. Saran Beberapa saran untuk pengembangan penyederhanaan fungsi Booleandengan menggunakan metode Quine-McCluskey selanjutnya :1. Bentuk persamaan fungsi boolean yang diimplementasikan adalah penjumlahan dari perkalian (Sum Of Product). Diperlukan pengembangan untuk masukan ekspresi dalam bentuk kalimat perkalian dari penjumlahan (Product Of Sum).2. Buatlah listing program aplikasi metode Quine-McCluskey untuk membantu pengerjaan penyederhanaan fungsi Boolean dengan menggunakan komputer.
  14. 14. DAFTAR PUSTAKAMarc Lars Lipson, Seymor Lipschutz, “Seri Penyelesaian Soal Schaum : Matematika Diskrit 1”, Jakarta : Salemba Teknika, Edisi 1, 2001.Munir Rinaldi, “Matematika Diskrit”, Bandung : Informatika Bandung, Cetakan III, 2009.Sudijono Anas, “Pengantar Statistik Pendidikan”, Jakarta : Rajawali Pers, Cetakan 23, 2011.
  15. 15. MENYEDERHANAKAN FUNGSI BOOLEAN DENGANMENGGUNAKAN METODE QUINE-MCCLUSKEY (QM) Oleh : Nama : Altio Zuhroh NIM : 09221003 Dosen Pembimbing : Sujinal Arifin, M.Pd Dosen Pengampuh : Agustiany Dumeva Putri, M.Si JURUSAN TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI RADEN FATAH PALEMBANG 2012

×