Your SlideShare is downloading. ×
Menentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsisten
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Introducing the official SlideShare app

Stunning, full-screen experience for iPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Menentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsisten

14,870
views

Published on


0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
14,870
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
189
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. MENENTUKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DALAM BENTUK SISTEM KONSISTEN DAN INKONSISTEN Dwi Narariah1 ABSTRAKSistem persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuateksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian denganpeubah lain atau dirinya sendiri. Dalam menyelesaikan suatu persamaan linier kitadapat menemukan bentuk dari sistem persamaan tersebut yaitu sistem persamaanlinier nonhomogen dan sistem persamaan linier homogen perbedaannya yaitu terletakpada matriks konstanta (G) dari sistem persamaan yang disusun dalam bentukmatriks, jika pada persamaan linier nonhomogen G bernilai bukan sama dengan nol(G≠0) sedangkan pada persamaan linier homogen G bernilai sama dengan nol (G=0).Dari himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan maka dapat ditentukan apakahpersamaan tersebut bersifat sistem konsisten atau inkonsisten. Adapun salah salahsatu metode/cara yang digunakan yaitu metode eliminasi Gauss dan Operasi BarisElementer (OBE) dalam bentuk sistem persamaan linier atau matriks.Kata kunci : sistem persamaan linier (SPL), SPL nonhomogen, SPL homogen, sistemkonsisten, sistem inkonsisten.PENDAHULUANLATAR BELAKANG Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang wajib diikuti olehsiswa mulai dari tingkat sekolah dasar sampai tingkat sekolah menengah bahkansampai ke perguruan tinggi. Hal ini disebabkan matematika sangat dibutuhkan danberguna dalam kehidupan sehari-hari bagi sains, pedagangan, dan industri. Disamping matematika menyediakan suatu daya, alat komunikasi yang singkat dan 1 Mahasiswi Prodi Tadris Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Raden Fatah Palembang 1
  • 2. tidak ambigius serta berfungsi sebagai alat untuk mendeskripksikan dan memprediksi(Jailani dalam Hamzah, 2008: 129). Dalam kehidupan sehari-hari, perhitungan matematika telah diterapkan dalamberbagai hal, seperti menentukan harga suatu barang, pengaturan kuota hasil,contohnya dalam menentukan kestabilan harga BBM, negara-negara anggota OPECberusaha mengatur kuota hasil dari pasokan sunber-sumber minyaknya. Keberhasilanpengaturan initidak akan dapat lepas dari kemampuan OPEC dalam memahamipersamaan linier. Dari ilustrasi contoh di atas, maka sistem persamaan linier dapat diterapkandalam kehidupan sehari-hari. Suatu sistem persamaan linier tidak melibatkan hasilkali atau akar peubah, semua peubahnya muncul sekali dengan pangkat satu dan tidakmuncul sebagai peubah bebas dari sebuah fungsi trigonometri, logaritma ataueksponensial (Anton, 2007). Dalam suatu persamaan linier, kita dapat menyelesaikan persamaan tersebutdalam berbagai cara/solusi, namun jika ditinjau dari bentuk matriksnya sistempersamaan linier dapat dibedakan lagi menjadi sistem persamaan linier nonhomogendan sistem persamaan linier homogen, perbedaannya yaitu terletak pada matrikskonstanta (G) dari sistem persamaan yang telah disusun dalam bentuk SPL atauMatriks, jika pada persamaan linier nonhomogen G bernilai bukan sama dengan nol(G≠0) sedangkan pada sistem persamaan linier homogeny G bernilai sama dengan nol(G=0). Adapun cara/metode yang digunakan oleh penulis yaitu dengan metode Gaussdan Operasi Baris Elementer (OBE) dalam bentuk SPL atau Matriks. Solusipenyelesaian Gauss yang dipilih dikarenakan melalui eliminasi Gauss lebih mudahdalam hal jumlah operasi aritmatika yang lebih sedikit (untuk sistem persamaan yanglebih besar) hitungan dilakukan dengan komputer. 2
  • 3. Dalam menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier, tidaksemua sistem persamaan linier mempunyai penyelesaian (Anton, 2007 : 23).Misalnya : x + y = 5 dan 2x + 2y = 6 Jika kita mengalikan persamaan kedua dari sistem dengan akan terbuktibahwa tidak ada penyelesaian karena sistem ekuivalen yang dihasilkan mempunyaipersamaan yang kontradisi x+y=4 2x + 2y = 6 Sebuah sistem persamaan yang tidak memiliki penyelesaian disebut dengansistem inkonsisten sedangkan jika suatu persamaan memiliki penyelesaian disebutsistem konsisten. Dalam konsisten ada dua jenis yaitu penyelesaian tunggal (unique)dan banyak penyelesaian (dependen). Berdasarkan uraian di atas, maka tujuan makalah ini memaparkan sistempersamaan linier dengan memperhatikan himpunan penyelesaiannya melalui metodeeliminasi Gauss dan Operasi Baris Elementer (OBE), sehingga dapat ditentukan daripenyelesaian sistem persamaan linier menjadi sistem konsisten atau inkonsisten. Olehkarena itu dalam makalah ini penulis mengambil judul “MENENTUKAN SISTEMPERSAMAAN LINIER DALAM BENTUK SISTEM KONSISTEN DANINKONSISTEN”.RUMUSAN MASALAH Masalah yang akan dibahas pada makalah seminar ini adalah bagaimana caramenentukan sistem persamaan linier apakah bersifat sistem konsisten atauinkonsisten ? 3
  • 4. BATASAN MASALAH Adapun batasan-batasan masalah yang akan diambil pada pembahasanterhadap rumusan masalah di atas, yaitu menentukan penyelesaian sistem persamaanlinier apakah bersifat sistem konsisten atau inkonsisten dengan menggunakan metodeeliminasi Gauss dan Operasi Baris Elementer (OBE).TUJUAN Penulisan makalah seminar matematika ini bertujuan menentukan sistempersamaan linier apakah bersifat sistem konsisten atau inkonsisten. 4
  • 5. KAJIAN PUSTAKASISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuateksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian denganpeubah lain atau dirinya sendiri. Persamaan linier adalah Suatu persamaan linierdengan n peubah x1, x2, … , xn dapat dinyatakan dalam bentuk : a11x11 + a12x12 + . . . + a1nx1n = b1 a21x21 + a22x22 + . . . + a2nx2n = b2 . . . am1xm1 + am2xm2 + . . . + amnxmn = bm dimana x1, x2, . . . , xn : bilangan tak diketahui a,b : konstanta. Perhatikan contoh sistem persamaan linier berikut : 2x1 – x2 + 2x3 = 7 x1 + 3x2 – 5x3 = 0 - x1 + x3 = 4 Dengan notasi matriks 2 1 2 x1 7 1 3 5 x2 0 1 0 1 x3 4 5
  • 6. A X = G 2 1 2 7 1 3 5 0 1 0 1 4Contoh 2 :3x1 – 7x2 + x3 = 0-2x1 + 3x2 – 4x3 = 0Dengan notasi matriks : x1 3 7 1 0 x2 2 3 4 x3 0 A X = GA= matriks koefisienX= matriks variabel / peubahG= matriks konstanta. 6
  • 7. 1. Sistem persamaan linier nonhomogen Sistem persamaan linier nonhomogen yaitu dimana jika dituliskan dalam bentuk contoh persamaan di atas akan berbentuk AX = G dengan G ≠ 0. Sistem persamaan linier nonhomogen mempunyai solusi atau cara untuk menyelesaikan suatu persamaan maka akan dibedakan dalam beberapa jenis yaitu jika suatu persamaan mempunyai penyelesaian disebut sistem konsisten, dalam sistem konsisten dibedakan lagi menjadi sistem penyelesaian jawab tunggal (unique) dan sistem dependen (memiliki banyak penyelesaian). Kemudian sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan sistem inkonsisten (tidak mempunyai penyelesaian).2. Sistem persamaan linier homogen. Sistem persamaan linier homogen yaitu dimana jika dituliskan dalam bentuk contoh persmaan di atas berbentuk AX = G dengan G = 0. Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena G = 0 selalu merupakan penyelesaian, penyelesaian ini dinamakan penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain yang memenuhi persamaan homogeny tersebut, maka penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian nontrivial (tak trivial). Sistem persamaan liner homogen dengan lebih banyak bilangan tak diketahui (peubahnya) dari pada banyaknya persamaan, selalu mempunyai tak hingga banyak penyelesaian. 7
  • 8. PEMBAHASANSTRATEGI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Metode Gauss Mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang lebih sederhana. Operasi Baris Elementer (OBE) Tiga operasi yang mempertahankan penyelesaian SPL SPL 1. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol. 2. Menukar posisi dua persamaan sebarang. 3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya. MATRIKS 1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol. 2. Menukar posisi dua baris sebarang. 3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya. Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris. Contoh penyelesaian dari sistem persamaan linier nonhomogen. Contoh 1 : Cari penyelesaian dari sistem : x1 – 2x2 + x3 = -5……………... (i) 3x1 + x2 – 2x3 =11…………….. (ii) -2x1 + x2 + x3 = -2…………….. (iii) 8
  • 9. Penyelesaian :1) ELIMINASI MAJUELIMINASI X1 DALAM (2) DAN (3)1 2 1 5 Baris (i) dikalikan 3 dikurang baris (ii)3 1 2 11 2 1 1 2 1 2 1 5 Baris (i) dikalikan -2 dikurang baris ke (iii) 0 7 5 26 2 1 1 2ELIMINASI X2 DALAM PERS. (3)1 2 1 5 Baris (ii) dibagi -70 7 5 260 3 3 121 2 1 5 Baris (ii) dikalikan 3 dikurang baris (iii) 5 260 1 7 70 3 3 121 2 1 5 Baris (iii) dibagi 5 260 1 7 7 6 60 0 7 7 9
  • 10. 1 2 1 5 5 260 1 7 70 0 1 12. SUBSTITUSI BALIKx3 = -1x2 + x3 =x2 + (-1) = X2 = - =3x1 – 2 x2 - x3 = -5 x1 – 2 (3) – (1) = -5 x1 – 7 = -5 x1 = 2r(A) = 3r(A G) = 3n=3Diperoleh penyelesaian x1 = 2, x2 = 3, x3 = -1 , jadi persamaan tersebut termasukpersamaan nonhomogen dengan sistem konsisten penyelesaian tunggal (unique).Contoh 2 :Selesaikan sistem persamaan :x1 – 2x2 + x3 = 2-2x1 + 3x2 – 4x3 = 1-5x1 + 8x2 – 9x3 = 0 10
  • 11. Penyelesaian :Lakukan OBE, bahwa (A,G) menjadi bentuk Echelon 1 2 1 2 2 3 4 1 5 8 9 0Kalikan persamaan (i) dengan 2 , kemudian tambahkan ke persamaan (ii). 1 2 1 2 0 1 2 5 5 8 9 0Kalikan persamaan (i) dengan 5 , ditambahkan ke persamaan (iii) 1 2 1 2 0 1 2 5 0 2 4 10Kalikan persamaan (ii) dengan -2 ditambahkan persamaan ke (iii) 1 2 1 2 0 1 2 5 0 0 0 0 r(A) = 2 r(A G) = 2 n=3Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x3 11
  • 12. Persamaan baru menjadi : x1 – 2x2 + x3 = 2 – x2 – 2x3 = 5 Berikan nilai parameter tertentu pada variabel bebas, kemudian subtitusikan pada persamaan baru. Misalkan x3 = α, dng α bil Real-x2 – 2x3 = 5 -x2 - 2α = 5 x2 = -2α -5x1 – 2x2 + x3 = 2 x1 – 2(-2α – 5) + α = 2 x1 = -5α – 8Jadi, penyelesaian umum : {(-5a-8, -2a-5, a)}Jika diambil nilai α = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-8, -5, 0)}.Dengan demikian sistem persamaan tersebut disebut SPL nonhomogen denganbanyak penyelesaian (sistem dependen).Contoh 3 :Selesaikan sistem persamaan berikut :x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2-x1 + x2 – 3x3 + x4 = 12x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= - 3Solusi : 1 1 2 3 2(A G) = 1 1 3 1 1 2 2 3 8 3 12
  • 13. Persamaan (i) + persamaan (ii) 1 1 2 3 2 0 0 1 2 1 0 0 1 14 7Persamaan (i) dikalikan 2 dikurang persamaan (iii) 1 1 2 3 2 0 0 1 2 1 2 2 3 8 3Persamaan (ii) ditambah persamaan (iii) 1 1 2 3 2 0 0 1 2 1 1 0 0 0 0 2r(A) = 2r(A G) = 3n=4r(A) ≠ r(A G); tidak punya penyelesaian. Mengapa ?Persamaan baru yg terakhir dpt dibaca :0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 =Apakah ada nilai x yang memenuhi ?Sistem tidak punya penyelesaian, berarti sistem persamaan tersebut sistem persamaanlinier nonhomogen yang tidak mempunyai penyelesaian (sistem inkonsisten). 13
  • 14. Penyelesaian dari sistem persamaan linier homogen. Persamaan linier homogen dengan himpunan penyelesaian jawab tunggal /trivial / hanya jawab nol. Metode solusi : Lakukan OBE terhadap matriks koefisien A, sehingga menjadi bentuk echelon.Contoh 1 :Selesaikan persamaan :x1 – 2x2 + x3 = 0-x1 + 3x2 – 2x3 = 02x1 + x2 – 4x3 = 0 1 2 1 0(A 0) = 1 3 2 0 2 1 4 0Persamaan (i) ditambah persamaan (ii) 1 2 1 0 0 1 1 0 2 1 4 0Persamaan (i) dikalikan 2 dikurang persamaan (iii) 1 2 1 0 0 1 1 0 0 5 6 0Persamaan (ii) dikali -5 ditambah persamaan (iii) 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 14
  • 15. r(A) = 3 ; r(A 0) = 3n=3Sistem hanya mempunyai jawab nol, dari persamaan baru dapat dibaca :x1 – 2x2 + x3 = 0 x2 – x3 = 0 – x3 = 0Dengan subtitusi balik diperoleh :x3 = 0, x2 = 0, dan x1 = 0Catatan : saat OBE, perhatikan bahwa bagian kanan dari (A | 0) tidak berubah, Jadikhusus sistem homogen kita dapat cukup melakukan OBE terhadap matriks A;dengan mengingat bahwa bagian ruas kanan selalu bernilai 0 (nol). Persamaan linier homogen dengan banyak penyelesaian.Conoth 2 :Selesaikan persamaan berikut :x1 – 2x2 + x3 = 0-x1 + 3x2 – 2x3 = 02x1 + x2 – 3x3 = 0Solusi : 1 2 1 1 3 2 2 1 3Persamaan (i) ditambah persamaan (ii) 15
  • 16. 1 2 1 0 1 1 2 1 3Persamaan (i) dikalikan dengan -2 ditambah persmaan (iii) 1 2 1 0 1 1 0 5 5Persamaan (ii) dikalikan -5 ditambah persamaan (iii) 1 2 1 0 1 1 0 0 0r(A) = 2n=3Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x3Dari persamaan baru dapat dibaca :x1 – 2x2 + x3 = 0 x2 – x3 = 0Misalkan x3 = α, dng α bil RealDengan subtitusi balik diperoleh :x2 – x3 = 0 x2 = αx1 – 2x2 + x3 = 0 x1 = αJadi penyelesaian umum : {(α, α , α)}. Misal diambil nilai α = 1, maka salah satupenyelesaian khusus adalah {(1, 1, 1)}. 16
  • 17. GRAFIK SISTEM PERSAMAAN LINIER Dalam bentuk geometris, karena grafik dalam bentuk garis lurus, dapatdiperlihatkan dalam 3 kemungkinan, seperti gambar berikut : y k l k k,l l x (a) (b) (c)  Untuk kasus (a) garis paralel dan tidak berpotongan. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem tidak konsisten (inkonsisten) yaitu tidak memiliki penyelesaian.  Untuk kasus (b) garis berpotongan hanya pada satu titik. Dikatakan bahwa sistem persamaan konsisten (tunggal / unique).  Untuk kasus (c) dua garis berimpit. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem bergantung (dependen)yaitu mempunyai penyelesaian banyak / tak hingga. 17
  • 18. KESIMPULAN Berdasarkan uraian di atas, maka dapat kita simpulkan bahwa sistempersamaan linier itu persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial,trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain ataudirinya sendiri. Dalam menyelesaikan suatu persamaan linier kita dapat menemukanbentuk dari sistem persamaan tersebut yaitu sistem persamaan linier nonhomogen dansistem persamaan linier homogen. Sistem persamaan linier nonhomogen yaitu dimana jika dituliskan dalambentuk matriks A X = G, dengan G ≠ 0 maksudnya matriks konstanta (G) bernilaibukan sma dengan nol. Sedangkan sistem persamaan linier homogen yaitu matrikskonstantanya sama dengan nol (G=0). Adapun berbagai solusi dari sistem persamaanlinier pada makalah ini penulis menggunakkan metode Gauss dan Operasi BilanganElementer (OBE), yang disajikan terlebih dahulu dalam bentuk SPL atau Matriks.Setelah didapatkan himpunan penyelesaiannya maka dapat kita tentukan juga sistemdari penyelesaian tersebut yaitu dibedakan menjadi sistem konsisten yang berartimempunyai penyelesaian tunggal (Unique) dan penyelesaian banyak (Dependen),sistem inkonsisten yaitu sistem persamaan yang tidak memiliki penyelesaian. Agarlebih mudah memahami dari sistem persamaan linier yang termasuk konsisten(tunggal / dependen), sistem inkonsisten maka dapat disajikan dalam bentuk grafik. 18
  • 19. DAFTAR PUSTAKAAminulhayat. 2005. Matematika SMA Kelas X. Bandung : Regina.Anton, Howard. 2003. Dasar-dasar Aljabar Linear. Tanggerang : Binarup Angkasa Publisher.Wiley, Jhon. 2004. Dr. Math ‘Menjelaskan Aljabar’. Bandung : Pakar Raya Pustaka. 19