Bilangan kompleks

371 views

Published on

Review Bilangan kompleks: bilangan, imaginer, bentuk kutub, bentuk polar, penarikan akar, teorema de moivre, conjugate

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
371
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
330
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Bilangan kompleks

  1. 1. Bilangan Kompleks @btatmaja Dept. of Engineering Physics Institut Teknologi Sepuluh Nopember 19 September 2016
  2. 2. Table of Contents 0. Bilangan 1. Bentuk kutub dari bilangan kompleks 2. Conjugate 3. Teorema De Moivre 4. Penarikan Akar
  3. 3. Bilangan Bilangan Real Bil. Asli, 1, 2, 3, ... Bil. Bulat, ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... Bil. Rasional, 1 2 , 1 3 , 2 5 , ... Bil. Irasional, √ 2, √ 3, √ 5 Bilangan Kompleks z = a + bi
  4. 4. Bilangan Kompleks Z = a + bi i = √ −1 (satuan imaginer) i2 = −1 a bagian real dari z, ditulis Re z =a b bagian imaginer dari z, ditulis, Im z =b
  5. 5. Bilangan Kompleks Diberikan dua bilangan kompleks: Z1 = a + bi Z2 = c + di, maka: 1. z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 2. z1 − z2 = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i 3. z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i 4. z1 z2 = a + bi c + di = ac + bd c2 + d2 + (bc − ad)i c2 + d2
  6. 6. Bentuk kutub dari bilangan kompleks Bidang XOY = bidang kompleks z = a + bi → r = x2 + y2 r disebut modulus dari nilai z atau Nilai mutlak dari z, ditulis |z| sin θ = b r −→ θ disebut cos θ = a r argumen dari z z = a + bi → z = r(cos θ + i sin θ) Soal: Nyatakan z = 1 + √ 3i ke dalam bentuk kutub
  7. 7. Conjugate Conjugate dari z = a + bi ialah ¯z = a − bi z = a + bi ¯z = a + bi z1 = a + bi z2 = c + di 1. ¯¯z = z 2. z.¯z = |z|2= |¯z|2 3. z1 ± z2 = ¯z1 ± ¯z2 4. z1z2 = ¯z1. ¯z2 5. z1 z2 = ¯z1 ¯z2 Jika: z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) dan z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2 ) maka: 1. z1z2 = r1r2[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)] 2. z1 z2 = r1 r2 [cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)]
  8. 8. Teorema De Moivre Abraham De Moivre (1667-1754) menyatakan untuk setiap bilangan rasional n berlaku: [r(cos θ + i sin θ)]n = rn(cos(nθ) + i sin(nθ)) Jika r=1 maka, (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ) Contoh Dapatkan nilai dari ( √ 3 + i)6
  9. 9. Penarikan akar a + bi = r (cos θ + i sin θ) Karena sin θ = sin(θ + k.360o ) → k = bil.bulat (1) cos θ = cos(θ + k.360o ) (2) maka: a + bi = r[cos(θ + k.360o) + i sin(θ + k.360o)] Jika zn = a + bi → z1,2,3,..,n = n √ a + bi = ....? Penyelesaiannya: z1,2,3,...,n = r 1 n cos θ + k.360o n + i sin θ + k.360o n

×