Your SlideShare is downloading. ×
0
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Basis dan Dimensi

807

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
807
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
62
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. ALJABAR LINIER Kelompok 16 BASIS, DIMENSI, BASIS, DIMENSI, dan TEOREMANYA dan TEOREMANYA Lizza Ulfa Fauziah (120210101002) Amalia Warniasih Sasmito (120210101008)
  • 2. Dimensi De finis i : Suatu ruang vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat ditemukan suatu himpunan n vektor-vektor ϵ V yang bebas linier, sedangkan setiap himpunan (n+1) vektor-vektor ϵ V selalu bergantung linier. Dengan kata lain, banyak maksimum vektor-vektor ϵ V yang bebas linier adalah n.
  • 3. Teorema : Setiap n vektor-vektor {u1,u2,…… un} yang bebas linier dari V ruang vektor berdimensi n pasti merupakan sistem pembentuk dari V
  • 4. Bukti : Ambil vektor sembarang v ϵ V. Karena dimensi V adalah n, menurut definisi {u1,u2,……un} bergantung linier. Sehingga pada persamaan λ1u1+λ2u2+...+λnun+λn+1v=0 terdapat λi yang tidak nol, dan haruslah λn+1 ≠0 karena bila demikian, persamaan λ1u1+λ2u2+...+λnun+0v=0, berakibat {u= −,……un− bergantung linier. ,u2 λ1 u } λ2 u − ... − λn u v1 1 2 n λn +1 Bertentanganλberarti : λn +1 n +1 = µ1u1 + µ 2u 2 + ... + µ n u n Jadi, setiap v ϵ V kombinasi linier dari {u1,u2,……un berarti {u1,u2,……un} sistem pembentuk
  • 5. Catatan : Suatu sistem pembentuk tidak perlu bebas linier. Mudah diterangkan bahwa bila {u1,u2, ……um} merupakan sistem pembentuk yang bergantung linier, sedang maksimum vektor-vektor di antara u1,u2, ……un yang bebas linier adalah {u1,u2,……up} juga sistem pembentuk. Jadi dalam hal ini
  • 6. Contoh 1. Tentukan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk: ,−2,3,1], q = [ 2,−4,5,2] p = [1 a) u = [5,7,11,4], v = [10,14,22,8] b)
  • 7. Penyelesaian : a) Kedua vektor pembentuk tidak berkelipatan, jadi sistem pembentuk bebas linier. Berarti dimensi = 2 b) v ≠ 0 vektor berkelipatan. Vektor u Kedua maupun . Jadi baik {u} maupun {v} merupakan sistem pembentuk yang bebas linier. Jadi, dimensi = 1
  • 8. Basis De finis i : Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut basis dari ruang vektor tersebut. Dengan kata lain, setiap himpunan n vektor {u1,u2,……un} yang bebas linier dari ruang vektor berdimensi n disebut basis dari ruang vektor tersebut.
  • 9. Basis Ca ta ta n : 1.Karena vektor-vektor ϵ V tak berhingga banyaknya, kecuali ruang vektor yang dibentuk oleh vektor nol sendiri, yaitu L{0}, dan misalnya dimensi V berhingga n, maka kita dapat mencari banyak sekali himpunan n vektor-vektor ϵ V yang bebas linier. Sehingga kita dapat memilih banyak basis untuk V 2.Dimensi dari ruang vektor Rn adalah n
  • 10. Teorema : Apabila { u1,u2,……un} basis dari ruang vektor V berdimensi n, maka setiap vektor v ϵ V dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linier dari {u1,u2,……un}, misal v=k1u1+ k2u2 + ……knun dan n-tupel skalar [k1,k2,……kn]disebut koordinat v relatif terhadap basis { u1,u2,……un} .
  • 11. Bukti : Misal v=k1u1+ k2u2 + ……+kmum dan juga v=μ1u1+ μ 2u2 + …… +μmum ,maka 0 =(k1-μ1) u1+ (k2-μ2) u2 + ……(km-μm) um Karena { u1,u2,……un} bebas linier, maka (k1μ1)=( k2-μ2) =…..=(km-μm)=0, berarti k1=μ1 ; k2=μ2 ;…; km=μm
  • 12. Contoh Tentukan basis dari ruang vektor yang dibentuk oleh : 1.p = [3,2,7,11] dan q = [2,5,8,9] 2.u = [2,1,6,3], dan v = [6,3,18,9]
  • 13. Contoh Jawab : 1.Kedua vektor yaitu p dan q tidak berkelipatan, sehingga p dan q bebas linier. Jadi p dan q adalah basis dari ruang vektor yang dibentuk. Atau dapat dituliskan, basis dari ruang vektor yag dibentuk adalah {p,q} 2.Kedua vektor berkelipatan (v=3u), sehingga keduanya merupakan vektor yang saling bergantung linier. Vektor u maupun v ≠0, jadi keduanya merupakan sistem pembentuk yang bebas linier. Jadi basis dari ruang vektor tersebut adalah {u} atau {v}
  • 14. Contoh 1. Diketahui S {a=[1,1,1], b=[2,1,1], c=[3,2,2]}. S membentuk ruang vektor L(S)=L{a,b,c}. Tentukan basis dan dimensi dari L(S) p =[ 0,0], =[1,1,0], r =[1,1 2. Tentukan basis1,dan qdimensi dari ,1] ruang vektor yang dibentuk oleh
  • 15. Jawaban 1. c=a+b sehingga {a,b,c} bergantung linier {a,b} tidak berkelipatan sehingga bebas linier Jadi, dimensi dari L(S) adalah 2 dan basis dari ,L(S)[1,1,0] + λ3 [1,1,1] = [ 0,0,0] atau : λ1 [1,0 0] + λ2 adalah {a,b},atau{a,c}, atau {b,c}. 2. λ1 + λ2 + λ3 = 0 λ2 + λ3 = 0 λ3 = 0 jelas λ3 = λ2 = λ1 = 0, berarti bebas linier, maka dimensinya adalah 3 dan basisnya adalah {p, q, r}
  • 16. LATIHAN 1. Apakah himpunan vektor-vektor ini merupakan basis ? R3 a) [1,1,1], [1,− ,3] 2 b) [1,1,2], [1,2,5], [5,3,4] c) [1,0,0], [1,1,0], [1,1,1] 2. Diketahui L dibentuk oleh p = [1,3,1], q = [2,1,0], dan r = [4,x-2,2]. Tentukan nilai x supaya L berdimensi 2. 3. Diketahui a = [1,2,1], b = [2,4,1], dan r = [3,6,2]. Tentukan basis dan dimensinya
  • 17. Jawab R3 1. a) Bukan, karena dimensi = 3, berarti basis harus terdiri atas 3 vektor b) kita selidiki apakah bebas linier. λ1 [1,1,2] + λ2 [1,2,5] + λ3 [ 5,3,4] = [ 0,0,0], atau : λ1 + λ2 + 5λ3 = 0 .........(1) λ1 + 2λ2 + 3λ3 = 0 .........( 2) 2λ1 + 5λ2 + 4λ3 = 0 .........(3) (1) − (2) : - λ2 + 2λ3 = 0...........(4) (3) − (2 kali)(1) : 3λ2 − 6λ3 = 0...........(5) (4) dan (5) ekivalen, berarti λ2 = 2λ3 sebarang. boleh kita ambil λ3 ≠ 0, jadi terdapat λ yang ≠ 0. berarti bergantung linier. maka ketiga vektor tersebut bukan basis R 3
  • 18. Jawab c) kita selidiki apakah bebas linier. λ1 [1,0,0] + λ2 [1,1,0] + λ3 [1,1,1] = [ 0,0,0], atau : λ1 + λ2 + 5λ3 = 0 .........(1) λ2 + λ3 = 0 .........(2) λ3 = 0 .........(3) karena λ1 , λ2 , λ3 = 0. berarti bebas linier. maka ketiga vektor tersebut basis R 3
  • 19. 2. supaya L berdimensi 2 maka {p,q,r} bergantung linier. Maka r merupakan [ 4, x − 2,2] = λ1[ 3,1] + λ 2,1,0], {p,q} kombinasi1,linier2 [dari atau 4 = λ1 + 2λ2 .............(1) x − 2 = 3λ1 + λ2 ........(2) 2 = λ1.......................(3) Dari persamaan (3) dan (1) diperoleh λ1=2 , λ2=1, yang harus memenuhi persamaan (2) berarti x=9
  • 20. 3. c merupakan kombinasi linier dari [ 3,6,2 {a,b} ] = [1,2,1] + [2,4,1] karena {a,b,c} bergantung linier. {a,b} tidak berkelipatan sehingga bebas linier. Jadi, dimensinya adalah 2 dan basisnya adalah {a,b} atau{a,c} atau {b,c}.
  • 21. THANK YOU

×