Apostila geometria descritiva

43,772 views
43,497 views

Published on

Published in: Design
5 Comments
28 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
43,772
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
7
Actions
Shares
0
Downloads
1,412
Comments
5
Likes
28
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Apostila geometria descritiva

  1. 1. Universidade Federal de Alagoas – UFAL Faculdade de Arquitetura e Urbanismo – FAU RealizadoresOrientadoras Patricia Hecktheuer Suzann Flávia Cordeiro de LimaMonitor Daniel Aubert de Araujo BarrosIlustrações Daniel Aubert de Araujo Barros
  2. 2. SumárioApresentação.................................................................................................................01Introdução......................................................................................................................01Instrumentos..................................................................................................................02 1. Compasso........................................................................................................02 2. Esquadros.......................................................................................................03 3. Lapiseira.........................................................................................................04Capítulo 1: Desenho Geométrico...................................................................................05 1. Ponto médio e mediatriz de um segmento de reta......................................05 2. Perpendicular de um segmento passando por ponto dado........................06 3. Triangulação...................................................................................................08 4. Retas paralelas...............................................................................................09 5. Como achar o centro de uma circunferência................................................10 6/7. Dividindo um segmento de reta/circunferência em x partes.....................11 8. Estrela regular.................................................................................................13 9. Polígono regular circunscrito numa circunferência dada.............................14 10. Concordância de arcos..................................................................................15 11. Concordância de segmentos de retas por um arco......................................17 12. Triângulos: exercícios resolvidos..................................................................19 Exercícios.............................................................................................................21Capítulo 2: Vistas Ortográficas......................................................................................25 Exercícios............................................................................................................27Capítulo 3: Geometria Descritiva (Projeção Mongeana).............................................30 1. Ponto na projeção mongeana........................................................................30 2. Reta e segmento de reta em épura...............................................................32 2.1 Tipos de reta......................................................................................33 3. Planos em épura.............................................................................................36 3.1 Tipos de plano...................................................................................37 4. Objetos tridimensionais em épura................................................................39 5. Planificação.....................................................................................................42 Exercícios...........................................................................................................46Respostas dos exercícios..............................................................................................50 Capítulo 1............................................................................................................50 Capítulo 2............................................................................................................54 Capítulo 3............................................................................................................58
  3. 3. Apresentação Esta apostila tem o objetivo de agregar todos os assuntosabordados pela disciplina de Geometria Descritiva da FAU – UFAL, deuma maneira didática, com passo a passos e exercícios. Atividades etutoriais feitos pelos professores e monitores já existiam à disposiçãodos alunos, porém separados, e às vezes não eram arquivados. Comesta publicação, todo o conteúdo da disciplina poderá ser acessadopelos estudantes mais facilmente. Introdução Este documento está dividido em três capítulos: o primeiroapresenta como utilizar os instrumentos (compasso, esquadros,escalímetro, etc.) para representações e soluções geométricas; osegundo trata-se das vistas ortográficas, como obtê-las de um sólidogeométrico e como representá-las; e o terceiro introduz o conceito eaplicação das projeções mongeanas, por meio da épura. 1
  4. 4. Instrumentos Antes de começar a fazer exercícios de geometria, o aluno deveestar ciente de como usar os instrumentos, por isso aqui vão algumasdicas: 1. Compassoa) Deve-se segurar na haste superior para rotacioná-lo, sem encostarnas “pernas”, pois isso pode modificar o raio da circunferência.b) Quando for gerar a circunferência,deite o compasso um pouco na direçãoda rotação, como mostra a figura ao lado.c) Se possível, use minas um pouco duras,como HB ou 2H e mantenha-as apontadas, poissão mais precisas do que as macias (B, 2B...), ea geometria requer precisão. 2
  5. 5. 2. Esquadrosa) O jogo de esquadros permite desenhar retas paralelas...b) ... retas concorrentes com ângulos de 30°, 45°, 60° e seus múltiplos.O jogo de esquadro permite combinações que são muito úteis para odesenho técnico. Porém, o capítulo 1 (Desenho Geométrico), mostrarácomo desenhar retas paralelas, perpendiculares, dentre outras, sem oposicionamento dos esquadros, e sim com o compasso; um métodocom menos chances de erros de instrumento. 3
  6. 6. 3. Lapiseiraa) É aconselhado o uso de minas HB, pois não são tão macias ao pontode sujar muito o papel, e nem muito duras, o que dificulta a visibilidadeda linha e às vezes, se muito dura, pode até rasgar a folha.b) Da mesma forma que o compasso, quando for desenhar um linha,incline-a um pouco no sentido em que se está fazendo o traço, oumantenha-a em pé. Mas nunca incline-a no sentido contrário dopercurso do traço, pois pode quebrar a mina. Também tente girar um pouco a lapiseira quando estiverinclinada, para que o desgaste da mina seja uniforme.c) Para melhor precisão dos traços, é aconselhado o uso de pontas 0.5ou 0.3. 4
  7. 7. Capítulo 1 Desenho Geométrico Este capítulo consiste de passo a passos de como solucionardiversos problemas geométricos, por exemplo como achar a mediatrizde um segmento de reta, ou como encontrar o centro de umacircunferência. São métodos necessários para os demais assuntos dessamatéria e até convenientes em qualquer desenho técnico. 1. Ponto médio e mediatriz de um segmento de reta. Dado o segmento AB, coloque a ponta seca do compasso em A ou B. Abra um raio maior que a metade do segmento e trace um arco acima e abaixo deste. Obs.: Faça o arco com um linha fina, pois, além de ser apenas uma linha de construção, permite maior precisão no desenho. Faça o mesmo no outro ponto (com o mesmo raio de abertura do compasso). Ligue as intersecções dos arcos com um esquadro e marque o ponto médio ou trace a mediatriz. 5
  8. 8. 2. Perpendicular de um segmento passando por ponto dado.2.1 Ponto contido no segmento (duas maneiras) a. Dado o segmento, prolongue-o a partir do ponto escolhido (nesse caso foi a extremidade B) para passar a perpendicular. b. Coloque a ponta seca do compasso no ponto, abra qualquer raio e faça um arco de cada lado, passando pelo segmento. c. Ponta seca nas intersecções dos raios com o segmento, então, como na mediatriz, abra um raio maior que a metade do segmento (o segmento de um arco ao outro) e marque um arco acima e abaixo da reta. d. Ligue as intersecções desses raios por uma reta. Esta será a perpendicular. 6
  9. 9. Também pode ser feito da seguinte maneira: Com um raio qualquer de abertura do compasso, faça osseguintes arcos (mantendo sempre o mesmo raio). e. Então é só ligar a última intersecção de raios com a extremidade do segmento de reta.2.2 Ponto não contido no segmento. b. Com a ponta seca em C, abra o compasso até a extremidade mais próxima (B) e faça um arco passando pelo segmento. Se necessário prolongue o segmento. c. Então faça como na mediatriz: ponta seca nas extremidades; raio maior que a metade; arcos abaixo. 7
  10. 10. Perceba que o processo de achar uma perpendicular a uma reta sempre precisará do método que acha a mediatriz, ou seja, é criado um novo segmento cuja mediatriz já será essa perpendicular. 3. Triangulação. Necessária para redesenhar um mesmo triângulo em outra posição (figura abaixo), ou outra figura plana se dividida em triângulos; o que ajudará na Planificação (no capítulo 3). b. Agora meça BC com o compasso e passe o arcoa. Tendo o triângulo ABC, comece como na figura.desenhando uma reta qualquer emarcando um ponto (B). Então abraum raio igual a um segmento quecontenha esse ponto (AB) e faça oarco. d. Termine o triângulo ABC, que tem as mesmas dimensões daquele primeiro, porém em outra posição. c. Raio AC. 8
  11. 11. 4. Retas paralelasPara desenhar uma reta paralela a outra dada deve-se tentar imaginarum retângulo, quadrado ou um paralelogramo (o último é mais usado)entre elas, numa posição que dois lados opostos estejam contidos nasretas como mostram as figuras abaixo. Assim o processo ficará maisfácil de se entender. b. Dado um segmento de reta, ou uma reta, coloque a ponta seca em qualquer ponto do segmento e faça um arco qualquer (essa será a medida de um lado do paralelogramo). c. Faça o mesmo em outro ponto (nesse caso foram escolhidas as extremidades) com o mesmo raio. d. O raio desse arco equivale à diagonal do paralelogramo. O ponto onde os arcos se encontram corresponde a um vértice do paralelogramo 9
  12. 12. e. Abra o compasso com um raio igual ao segmento AB. Coloque a ponta seca no vértice do paralelogramo e marque um arco como mostrado. f. Ligue as intersecções dos arcos. As retas estarão paralelas. 5. Como achar o centro de uma circunferênciaApenas trace duas cordas quaisquer, não paralelas, e suas mediatrizes; aintersecção destas será o centro da circunferência. 10
  13. 13. 6. Dividindo um segmento de reta em x partes. O processo a seguir pode ser usado para dividi-lo em qualquer número de partes.a. Trace uma reta adjacente ao segmento, de b. Divida essa adjacente no número desejadopreferência com um ângulo agudo. de partes. A unidade não importa; pode ser usado o escalímetro ou mesmo o compasso.c. Ligue a última marcação com a d. Usando o jogo de esquadros, faça asextremidade do segmento. marcações em AB de maneira que sejam paralelas a essa última reta que liga a B, partindo das marcações da adjacente (não é necessário desenhar o tracejado). 7. Dividindo uma circunferência em x partes. O processo a seguir pode ser usado para dividi-la em qualquer número de partes.a. Trace o diâmetro na circunferência. b. Como no item 6, divida o diâmetro no número de partes requerido; nesse caso seis partes. 11
  14. 14. c. Com a ponta seca do compasso nessas d. Escolha as marcações ímpares ou paresposições, abra um raio igual ao diâmetro e do diâmetro e transfira-as para amarque os arcos. circunferência partindo das intersecções dos arcos. (Não é necessário o tracejado).e. Faça o mesmo partindo da outra f. Se as marcações forem ligadas, terá umintersecção de arcos. A circunferência está polígono regular com o número de ladosdividida em seis partes iguais. igual ao de partes da circunferência, inscrito nesta. 12
  15. 15. 8. Estrela regular. O processo a seguir pode ser usado para criar estrelas com qualquer número de pontas, a partir de quatro.a. A estrela deverá partir de uma b. Partindo de uma marcação, façacircunferência dividida igualmente. O duas retas ligando a outros doisnúmero de pontas é equivalente ao pontos que não estejam ao lado desta.número de partes desta. Esses segmentos devem ser simétricos. e. Ambas as estrelas acima têm 12 pontas, porém os lados foram feitos pulando diferentes números de marcação. Na primeira, as marcações ligadas pularam apenas uma; já na segunda foram pulados três pontos para ligar as pontas. Tanto faz qual maneira será escolhida; o importante é manter a simetria. 13
  16. 16. 9. Polígono regular circunscrito numa circunferência dada.a. Divida uma circunferência b. Faça uma perpendicular ao c. Trace pequenos segmentospelo número de lados do diâmetro passando em uma partindo das marcações atépolígono requerido. das extremidades. * encontrarem a perpendicular (a reta deve passar pelo centro). (Não é necessário desenhar o tracejado).d. Com o compasso, abra um e. Faça os mesmos pequenosraio do centro até essa nova segmentos nas outrasintersecção com a marcações.perpendicular e faça umacircunferência. f. Ligue as intersecções dos segmentos com a circunferência maior. g. Por fim, escureça a circunferência de dentro para enaltecer que o polígono está circunscrito a ela. * Para fazer desta maneira, que é mais fácil, divida a circunferência de modo que as divisões dela não estejam na extremidade do diâmetro. Deixe pelo menos uma dessas extremidades sem ser uma divisória da circunferência. 14
  17. 17. 10. Concordância de arcos. Dado o arco, deve-se desenhar uma reta passando pelo centro e por uma extremidade do arco. Nesta reta deve estar contido o centro do outro arco, senão não estarão concordando, ou seja, se tangenciando. Posicione a ponta seca em qualquer ponto da reta, sendo que depois da extremidade, abra o raio até encontrar com B e faça o arco. Se for pedido um raio específico para a circunferência deste arco, a distância de B até o novo centro deve ter a medida do raio.10.1 Concordar dois arcos passando por um ponto dado.a. Dados o arco e o ponto, faça como no item anterior: trace uma retapartindo de O e passando em B. 15
  18. 18. b. O segmento BC é uma corda da circunferência do novo arco...c. ... Portanto a intersecção de sua mediatriz com a reta prolongada consiste nonovo centro (ver item 5).d. Com a ponta seca nessa intersecção, abra o raio até B e faça o arco. 16
  19. 19. 11 Concordância de segmentos de retas por um arco.11.1 Segmentos paralelos. a. Dados dois segmentos de reta, desenhe uma perpendicular passando pelas extremidades (estas devem estar na mesma vertical senão o arco não concordará). b. Com a ponta seca no ponto médio da perpendicular (ver item 1), abra o raio até uma das extremidades (B ou D) e faça o arco11.2 Segmentos oblíquos ou ortogonais, sem raio dado. b. Prolongue os segmentos até se intersectarem.c. Com a ponta seca na intersecção, d. Os segmentos deverão terminarabra um raio qualquer e marque os nesses arcos.dois arcos. 17
  20. 20. e. Passe perpendiculares a cada f. Abra o raio do centro até B ou D esegmento a partir de B e D. A faça o arco.intersecção destas será o centro dacircunferência do arco. 11.3 Segmentos oblíquos ou ortogonais, com raio dado. b. Prolongue os segmentos até se intersectarem. c. Faça uma perpendicular em cada d. Desenhe paralelas às semi-retas A segmento, em qualquer posição e e C partindo das extremidades dessas com a dimensão do raio pedido para perpendiculares. a circunferência do arco. 18
  21. 21. e. Se passadas duas perpendiculares f. Com a ponta seca nessa posição às semi-retas a partir desta faça o arco, concordando os intersecção (centro da segmentos. circunferência), encontraremos os pontos B e D, que definem os segmentos AB e CD. 12 Triângulos: exercícios resolvidos.12.1 Faça o triângulo ABC de maneira que tenha altura 3cm, AB 5cm e oângulo  45°.a. Comece aplicando os dados da b. Desenhe uma perpendicular a ABquestão. passando em A com 3 cm de altura. c. Na extremidade dessa perpendicular, trace uma paralela a AB até encontrar a reta inclinada a 45°. Este é o ponto C. Feche o triângulo. 19
  22. 22. 12.2 Desenhe um triângulo isósceles com altura 2 cm e com um ângulo de 120°.a. Faça uma reta de 2 cm. b. Já que o triângulo é isósceles e tem um ângulo de 120°, sabemos que o vértice desse ângulo está numa das extremidades da altura, pois os outro dois ângulos serão equivalentes entre si e não pertencerão a essa altura. Então posicione o esquadro de 60° fazendo duas retas de 60° com a altura, uma pra cada lado, somando os 120°. d. Faça uma perpendicular à altura a partir de sua outra extremidade, fechando o triângulo. 12.3 Dados apenas os ângulos  60° e B 75° de um triângulo e AB igual a 3cm, construa-o.a. Desenhe o segmento ABcom 3 cm. b. Com o esquadro de 60° transfira esse ângulo para A, fazendo uma reta. c. Portanto use o esquadro Nesta estará contido o de 45° para achar o último ponto C. Já que a soma ponto (C), deslizando-o dos ângulos internos de pela semi-reta A até que se um triângulo é 180°, o posicione como mostra a outro ângulo é 45°. imagem. Isso chama-se enquadramento. 20
  23. 23. Exercícios1. Faça uma reta perpendicular ao segmento AB passando por B2. Faça uma reta perpendicular ao segmento XY passando pelo centrodo triângulo. Lembrando: o centro do triângulo é achado com aintersecção de suas bissetrizes (reta que divide o ângulo em duas partesiguais).3. Desenhe o triângulo ABC em outra posição. 21
  24. 24. 4. Desenhe uma reta paralela ao segmento AB passando por C.5. Faça uma reta paralela ao segmento XY passando pelo centro dacircunferência dada.6. Divida o segmento abaixo em 13 partes.7. Divida a circunferência abaixo em 10 partes. 22
  25. 25. 8. Faça uma estrela de 14 lados.9. Faça um polígono de 7 lados circunscrito a uma circunferência de raio3 cm.10. Faça uma estrela de 5 pontas circunscrita a uma circunferência deraio 2 cm11. Concorde o arco OAB com outro que contenha o ponto C.12. Concorde 2 segmentos, cada um pertencendo a uma reta abaixo, porum arco de circunferência .13 Faça o mesmo que a questão anterior, porém usando umacircunferência de raio 2 cm. 23
  26. 26. 14. Concorde o segmento abaixo com um arco de circunferência quecontenha o ponto C.15. Faça o triângulo ABC de maneira que tenha altura (perpendicular aAB) 4cm, AB 2cm e o ângulo  75°.16. Desenhe um triângulo isósceles com altura 4 cm e com apenas umângulo de 45°.17. Dados apenas os ângulos  30° e B 105° de um triângulo e AB igual a3cm, construa-o. 24
  27. 27. Capítulo 2 Vistas Ortográficas Trata-se da representação bidimensional de um objeto projetadaortogonalmente em seis planos. Estes são posicionados ao redor doobjeto, formando um cubo, para assim serem obtidas as projeções. Porém, esta imagem é apenas didática. A maneira correta derepresentar as vistas é planificando esse cubo. Portanto as vistas dessapirâmide devem ficar assim: As linhas tracejadas compreendem as arestas do cubo que envolve o objeto. Porém, estas linhas NÃO DEVEM ser representadas, pois qualquer reta em vistas ortográficas representa uma aresta ou um plano ortogonal ao de projeção. 25
  28. 28. As distâncias entre as vistas devem ser iguais, facilitando a transferência de medidas; como mostra a imagem: da vista lateral direita para a vista superior. Note também que as linhas tracejadas representam arestas. Porém estas estão por trás de um plano do próprio objeto, ou seja, são arestas escondidas e devem ser representadas tracejadas. Exemplos de objetos com planos curvos: Na vista lateral esquerda não aparecem arestas ligando os planos porque estes estão concordando, ou seja, estão se tangenciando. Já na vista superior aparece uma reta que não está no sólido. Esta não é uma aresta, mas sim o plano em S quando está perpendicular à vista.Para escolher a vista frontal (seja um objetocom plano curvo ou não) sempre use osseguintes requisitos: a que identifica maisaquele objeto; a maior; e com menos arestasescondidas. Note que na posição em que o plano curvo fica ortogonal a vista, surge uma aresta; como a tracejada da VLE. 26
  29. 29. Exercícios1. Dadas as duas vistas ortográficas abaixo de um sólido, faça a vistasuperior e a inferior do mesmo. VF VLE2. Dos seguintes sólidos, represente:(Lembre-se de manter a proporção nas vistas)a) todas as vistas. b) VF,VS, VLD.c) VF, VS, VLD. d) VF, VS, VLE.Obs.: Mesmo que alguns sólidos não venham com as medidas ao lado,tente percebê-las para ajudar a manter a proporção. 27
  30. 30. e) VF, VS, VLD. f) VF, VS, VLE.g) VF, VS, VLE. h) VF, VS, VLD.i) apenas as vistas necessárias. j) VF, VS, VLE.k) VF, VS, VLD. l) VF, VI, VLE. 28
  31. 31. m) VF, VS, VLD. Dois pontos de vista do mesmo sólido.n) todas as vistas. o) VF, VS, VLD.3. Identifique erros nas vistas ortográficas do sólido abaixo. Refaça asvistas da maneira correta. Escala e unidade livres.4. Faça todas as vistas do sólido abaixo. 29
  32. 32. Capítulo 3 Geometria Descritiva (Projeção Mongeana) Este assunto assemelha-se ao anterior, porém usaremos apenasdois planos de projeção (às vezes será necessário um plano auxiliar) eserão usadas coordenadas para os pontos projetados. Os planos deprojeção correspondem a um diedro. Existem quatro, mas a ABNTadota apenas o primeiro (imagem abaixo), portanto usaremos apenaseste. 1 Ponto na projeção mongeana.Já que os objetos estão no espaço, pertencem a um sistematridimensional, portanto serão usadas três coordenadas. São a Abscissa(distância do ponto para π0), o Afastamento (distância do ponto paraπ2), e a Cota (distância do ponto para π1). π0 é o plano auxiliar queposiciona-se perpendicular ao vertical e ao horizontal, passando pelaorigem (como mostra a imagem a seguir). 30
  33. 33. Mas como nas vistas ortográficas, a representação deve ser feitaem duas dimensões. Portanto o resultado é a planificação desse diedro,e chama-se Épura. As linha finas são apenas de construção, mas mostram como deve haver uma correspondência entre as projeções. 31
  34. 34. O resultado, sem todas aquelas informações, deve ficar assim. Porém quando você fizer linhas de construção não apague-as, pois mostra quais os passos usados para chegar naquele resultado. E lembre-se que devem ser linhas claras, pois também usaremos retas em épura, e elas não devem ser confundidas. 2 Reta e segmento de reta em épura.Segmento de reta é a simples ligação de dois pontos. Já a reta deve serrepresentada como se fosse infinita, ou seja, não deve ter pontoslimitando-a. Segmento de reta: Reta: Perceba que a reta deve ser representada apenas por uma letraminúscula. 32
  35. 35. 2.1 Tipos de reta. Dependendo da posição da reta em relação aos planos de projeção, ela receberá denominações diferentes. Existem sete tipos. Reta frontal A reta é paralela a π2, oblíqua a π1 e π0. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π2, e em Projeção Reduzida em π1 e π0.Obs.:Verdadeira Grandeza (VG) – Quando a projeção tem a mesma dimensão do objeto real.Ocorre quando o objeto está paralelo àquele plano de projeção.Projeção Reduzida (PR) – Quando a projeção é menor que o objeto real, porém não chega aser o mínimo, como um ponto. Ocorre quando o objeto está oblíquo àquele plano deprojeção.Projeção Acumulada (PA) – Quando uma dimensão do objeto do objeto está resumida a umponto na projeção, ou seja, quando o objeto está ortogonal ao plano de projeção Reta horizontal A reta é paralela a π1, oblíqua a π2 e π0. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π1, e em Projeção Reduzida em π2 e π0. 33
  36. 36. Reta fronto-horizontal A reta é paralela a π1 e π2, e ortogonal a π0. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π1 e π2, e em Projeção Acumulada em π0. Este símbolo é usado para mostrar que dois ou mais pontos estão acumulados no mesmo ponto de projeção.Reta vertical A reta é paralela a π0 e π2, e ortogonal a π1. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π0 e π2, e em Projeção Acumulada em π1.Reta de perfil A reta é paralela a π0, e oblíqua a π1 e π2. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π0, e em Projeção Reduzida em π1 e π2. 34
  37. 37. Reta de topo A reta é paralela a π1 e π0, e ortogonal a π2. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π1 e π0, e em Projeção Acumulada em π2. Reta oblíqua A reta é oblíqua a π1, π0 e π2. Portanto está em Projeção Reduzida em π1, π0 e π2. Tabela de posicionamento dos tipos de reta Tipos de reta π1 π2 π0 Frontal PR VG PR Horizontal VG PR PRFronto-Horizontal VG VG PA Vertical PA VG VG Perfil PR PR VG Topo VG PA VG Oblíqua PR PR PRLegenda: : oblíqua; : ortogonal; : paralela. 35
  38. 38. 3 Planos em épuraUm plano pode ser representado ou subentendido de diversas formasem épura, não apenas por uma figura plana. Como: Por três pontos não colineares Uma reta e um ponto Uma figura plana Pelos traços do planoObs.: Traço de um plano é a reta gerada quando o plano intersecta osplanos de projeçãoEste seria o plano dessesúltimos traços: 36
  39. 39. 3.1 Tipos de planos. Como as retas, também existem sete. Frontal O plano é paralelo a π2, e ortogonal a π0 e π1. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π2, e em Projeção Acumulada em π0 e π1. Horizontal O plano é paralelo a π1, e ortogonal a π0 e π2. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π1, e em Projeção Acumulada em π0 e π2. Perfil O plano é paralelo a π0, e ortogonal a π1 e π2. Portanto está em Verdadeira Grandeza em π0, e em Projeção Acumulada em π1 e π2. 37
  40. 40. Vertical O plano é ortogonal a π1, e oblíquo a π0 e π2. Portanto está em Projeção Acumulada em π1, e em Projeção Reduzida em π0 e π2.Rampa O plano é ortogonal a π0, e oblíquo a π1 e π2. Portanto está em Projeção Acumulada em π0, e em Projeção Reduzida em π1 e π2.Topo O plano é ortogonal a π2, e oblíquo a π1 e π0. Portanto está em Projeção Acumulada em π2, e em Projeção Reduzida em π1 e π0. 38
  41. 41. Oblíquo O plano é oblíquo a π1, π0 e π2. Portanto está em Projeção Reduzida em π1, π0 e π2.Tabela de posicionamento dos tipos de plano Tipos de plano π1 π2 π0 Frontal PA VG PA Horizontal VG PA PA Perfil PA PA VG Vertical PA PR PR Rampa PR PR PA Topo PR PA PR Oblíquo PR PR PR 4 Objetos tridimensionais em épura Superfícies planas – Cubos, paralelepípedos, pirâmides. Obs.: Perceba que, como nas vistas ortográficas, linhas tracejadas representam segmentos de reta escondidos (atrás de um plano). 39
  42. 42. Superfícies de revolução – Cones, cilindros, esferas e troncos. São aquelas formadas pela rotação de um plano ao longo de umeixo, como mostram as figuras:Cone O cone é obtido pela rotação de uma triângulo. Quando o vértice pode ser definido, como no cone, o objeto possui vértice próprio.Cilindro O cilindro é obtido pela rotação de uma retângulo/quadrado. Quando o vértice está no infinito, como no cilindro, o objeto possui vértice impróprio.Esfera A esfera é obtida pela rotação de um semi-círculo. 40
  43. 43. As retas finas nas épuras dessas superfícies representam asgeratrizes dos volumes (não é obrigatória sua representação nosexercícios). Estas são as retas que ligam a diretriz ao vértice, formandoa superfície lateral do objeto. A diretriz por sua vez é a circunferênciaque direciona as geratrizes, por isso possui esse nome (normalmentecorresponde à base do objeto). O eixo da superfície é a reta que liga o centro de sua base aovértice. Percebe-se que nos últimos exemplos o eixo forma 90° com abase, portanto são considerados de eixo reto. Exemplo de superfície de eixo oblíquo.Troncos - São superfícies de vértice próprio, porém chanfradas entre abase e o vértice, de maneira que este último não se encoste à superfície. Tronco de pirâmide. Tronco de cone. 41
  44. 44. 5 Planificação Seu objetivo é posicionar todas as faces de uma superfície sobre um mesmo plano, resultando numa figura inteiramente em verdadeira grandeza. Portanto, dada a superfície, o primeiro passo é achar a verdadeira grandeza de todas suas arestas, caso já não estejam em VG. Para perceber se uma reta está em VG em tal plano, digamos π1, é necessário verificar em um dos outros planos, usaremos π2, se ela está paralela a tal plano. No caso ao lado perceba que em π2 a reta está paralela a linha de terra, portanto está paralela a π1 e em VG no mesmo. Ou então se ela estiver em PA no outro plano (π2), e nesse (π1) estiver representada como um reta, com certeza esta estará em VG.] Obs.: o mesmo pode ser feito para π0, porém ao invés de se basear pela linha de terra deve- se usar a reta perpendicular a esta que passa pela origem, sempre usada quando necessário esse plano auxiliar.Para facilitar: o único tipo de reta quenão possui VG em nenhum dos trêsplanos de projeção é a oblíqua. Usaremos esse tronco de pirâmide como exemplo de planificação. 42
  45. 45. 1° Passo: Como já foi dito, deve-se saber quais segmentos de reta não estão em VG. Portanto AD e CF. Porém, nesse processo de planificação, é usada a triangulação para desenhar cada face da superfície, como veremos a frente, e este objeto possui faces quadriláteras, portanto deve-se usar a diagonal de cada face quadrilátera (formando triângulos). O que significa que se estas não estiverem em VG, suas verdadeiras grandezas também terão de ser achadas. Por sorte, AD é igual a CF, e a diagonal BD é igual a EF. Assim só teremos de achar a VG de uma de cada par. 2° Passo: Deve-se achar a VG de cada segmento de reta oblíquo. A seqüência de imagensmostra como fazê-lo. AD foi escolhido. Passa-se uma reta horizontal em um dos pontos, no caso D (em π1 ou em π2). 43
  46. 46. Essa horizontal deve sair do ponto que A distância dessa intersecção ao pontofoi rotacionado, nesse caso: A. D1 é a VG de AD.3° Passo: Depois de achadas todas as VGs, deve-se começar a fazer a planificação forada épura, de preferência em uma folha avulsa. A seqüência de imagens mostracomo montar, por triangulação, a superfície planificada. Comece desenhando uma das faces. E continue face por face. 44
  47. 47. Continuando com a triangulação para achar cada face, obtém-se aplanificação completa. Obs.: A posição das faces poderia ser diferente, se mantido o mesmométodo de triangulação usando somente as verdadeiras grandezas. Como assim: A planificação continua correta, porém com outra configuração. 45
  48. 48. Exercícios Para todas questões: Escala 1:1 / Un.: mm1. Desenhe em épura uma superfície cuja diretriz é uma circunferênciade centro O (50;50;00), raio 20mm, contida no plano horizontal deprojeção. Sabe-se que uma de suas geratrizes é o segmento de retafrontal definido por Z (30;50;00) e Y (30;50;25).2. Planifique as seguintes superfícies desenhadas em épura.a)Prisma de base hexagonal. b)Prisma de base triangular.3. Represente, em épura, uma pirâmide de base quadrangular, sabe-seque esta base pertence a um plano horizontal de cota 20mm.4. Represente uma superfície com eixo oblíquo e de vértice impróprioem épura. Sua diretriz deve ser uma circunferência.5. Represente em épura uma superfície de vértice próprio cuja diretriz éa circunferência de centro O (40;50;30).6. Desenhe e planifique a superfície cúbica cujos vértices são:A (60;60;10) B (60;20;10) C (20;20;10) D (20;60;10) E (60;60;50)F (20;60;50) G (60;20;50) H (20;20;50)7. Desenhe e planifique a superfície de base ABC e vértice V.A (20;10;30) B (30;10;10) C (10;10;10) V (20;30;20)8. Represente em épura um plano horizontal por 2 retas concorrentes.9. Represente em épura um plano vertical por um segmento de reta eum ponto não pertencente a este. 46
  49. 49. 10. Represente em épura um plano de perfil por segmentos de reta nelecontidos.11. Represente em épura um plano frontal por três pontos nãocolineares.12. Planifique os seguintes poliedros:a)A (60;25;00) B (60;40;00) C (30;40;00) D (30;25;00) E (15;40;40) F (00;40;40)G (00;10;40) H (15;10;40) 47
  50. 50. b) A (60;15;00) B (60;30;00) C (30;15;00) D (30;30;00) E (28;??;24) F (28;??;24) G (??;??;20) H (??;??;20) V (00;56;45)c) A (10,20,00) B (10,20,20) C (18,12,00) D (18,12,20) E (30,24,32) F (22,32,32) G (40,34,22) H (32,42,22) 48
  51. 51. d) A (30,05,20) B (30,05,00) C (25,21,20) D (25,21,00) E (40,15,00) F (35,7.5,20) G (15,10,20) H (20,18,00) I (20,??,00) J (15,15,20) K (40,10,00) L (35,17,20)13) QUAL dos seguintes segmentos de reta não pertence ao plano quecontém os demais segmentos?AB: A(40;10;30) B(40;40;30)CD: C(00;00;30) D(30;50;30)EF: E(60;30;30) F(60;50;60)GH: G(70;25;30) H(10;25;30)14) Desenhe o resultado de um cubo cortado por um plano vertical, demaneira que a parte que sobrar deste cubo seja a mais distante daorigem. O cubo tem abscissa 10mm, afastamento 20mm e cota 20mm,suas faces tem 30mm x 30mm e são paralelas aos planos de projeção; oplano vertical faz 45º com π2 e π0 e corta o cubo exatamente ao meio.15) Desenhe um cone cuja base pertença a um plano de topo. O planofaz 30º com π1e seu traço neste plano de projeção tem abscissa 60mm;o cone tem altura 45mm, eixo reto, e sua base tem raio 15mm, e centrocom afastamento 30mm e cota sendo metade da cota do traço em π0. 49
  52. 52. Respostas dos exercícios Capítulo 11.2. 3.4. 5.6. 50
  53. 53. 7.8. Obs.: Apesar que a estrela deva ter 14 pontas, estas podem ser mais apontadas do que nesta resposta.9. 51
  54. 54. 10.11.12. 13. 52
  55. 55. 14.15.16.17. 53
  56. 56. Capítulo 21.2. a) b)c) d) 54
  57. 57. e) f)g) h)i) j) 55
  58. 58. k) l)m)n)o) 56
  59. 59. 3.4. 57
  60. 60. Capítulo 31.2. a) Planificação: 0b) Planificação: 0 58
  61. 61. 3.4.5. 59
  62. 62. 6.Obs.: desenho em reduzido. 60
  63. 63. 7. Planificação:8. 61
  64. 64. 9.10.11. 62
  65. 65. 12. a) 63
  66. 66. b)c)d) 64
  67. 67. 13. O segmento EF.14. 65
  68. 68. 15. 66

×