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clase numero 1 con la profesora aminta en ingeniera por el curso fundamentos de mecanica.

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  • 1. Curso de Física I Aminta Mendoza Of. Of 352 Edif 404gamendozab@unal.edu.co Lunes 9 a.m. a 11 a.m.*Miércoles*Mié l 9 a.m. a 11 a.m.
  • 2. Clas f a n d Clasificación de las ciencias n asCiencias formales:Estudian ideas LasDemuestran  con base en principios lógicos o  matemáticas,matemáticos la estadísticaNo confirman experimentalmente.Ciencias empírica:El conocimiento proviene de fenómenos observables y  Cienciascapaces de ser evaluados por otros investigadores que trabajen bajo las mismas condicionest b j b j l i di i naturalesEstudian hechos naturales o socialesComprueban mediante la observación y la  Cienciasexperimentación.experimentación sociales ci lCrean hipótesisFormulan teorías o leyes.
  • 3. Física Física de los MesonesAcústica Física Aeronáutica s ca e o áut caAstrofísica Física ForenseAstronomía‐Astrofísica Física MatemáticaBiofísica Física Médica Física de la complejidadFísica de la complejidad Física Nuclear Fí i N lComputación cuántica Físico QuímicaCuántica  GeofísicaElectromagnetismo  Historia y Epistemología y p gEspintrónica Mecánica y cinemáticaEstadística  Nanomateriales y NanotecnologíaEstado sólido  Neurofísica Física AtómicaFísica Atómica Optica y Fotónica Optica y FotónicaFísica del caos RelatividadFísica del Medio ambiente Teoría de CampoFísica de satélites y comunicaciones Teoría de la Unificación  Teoría de partículas  Termodinámica
  • 4. Física clásicaIncluye principios desarrollados casi todosantes de 1900Mecánica Principamente desarrollada por Newton,y continuó desarrollándose en el siglo XVIII d llá d l i lThermodinámica, óptica y electromagnetismo Desarrollado a finales del siglo XIX Comenzaron a estar disponibles equipos para controlar los experimentos
  • 5. Modelo de la materia• Grecia la materia esta hecha de átomos sin estructura• JJ Thomson (1897) encontró los electroneos y mostro estructura del átomo• Rutherford (1911) identificó l id tifi ó el nucleo l central rodeadopor átomos
  • 6. Física ModernaRelatividadR l ti id d especial i l• Describe correctamente objetos cuyo j y movimiento es cercano a la velocidad de la luz• Modifica los conceptos tradicionales de espacio, tiempo y energía• Muestra el limite de c y la relacion E m E, Mecánica Cuántica Se formuló para d S f ló describir f ó ibi fenómenos fí i físicos a nivel atómico Ha permitido el d i id l desarrollo d muchos di ll de h dispositivos ii prácticos
  • 7. Física clásicaIncluye principios desarrollados casi todosantes de 1900Mecánica Principamente desarrollada por Newton,y continuó desarrollándose en el siglo XVIII d llá d l i lThermodinámica, óptica y electromagnetismo Desarrollado a finales del siglo XIX Comenzaron a estar disponibles equipos para controlar los experimentos
  • 8. PRIMER PARCIAL Agosto 23
  • 9. SEGUNDO PARCIAL Septiembre 20
  • 10. TERCER PARCIAL Noviembre 15
  • 11. grupo 5 grupo 6 grupo 7 grupo 8 lunes 01-Ago sin clase sin clase martes 02 Ago 02-Ago clase 1. unidades,dimensiones y notacion cientifica incertidumbresmiercoles 03-Ago taller 1_ AM JFL incertidumbres jue es jueves 0 04-Ago go ta e taller 1 AM DR incertidumbresviernes 05-Ago JFL taller 1 AM incertidumbres lunes 08-Ago ?? taller 1 martes 09-Ago clase 2. movimiento rectilineomiercoles 10-Ago taller 2 lab rectilineo jueves 11-Ago taller 2 lab rectilineo viernes 12-Ago lab rectilineo taller 2 lunes 15-Ago fiesta fiesta martes 16-Ago clase 3. movimiento en 2 dimensiones lab 2miercoles 17-Ago taller 3 dimensiones lab 2 jueves 18-Ago taller 3 dimensiones lab 2viernes 19-Ago dimensiones taller 3 lab 2 lunes 22-Ago dimensiones taller 2 y 3 martes 23-Ago I PARCIAL
  • 12. Agosto 23 Septiembre 20Noviembre 15 Noviembre 22
  • 13. Talleres• Cuaderno individual de 50 hojas. Obligatorio en cada sesión de taller. d ió d ll• En cada sesión cada estudiante debe llevar 10 ejercicios preparados y/o la tarea asignada en la magistral.• Trabajarán en grupos de 3 y cada sesión se recogerá un cuaderno de los 3, al azar!!
  • 14. ¿Cómo estudio física?La preparación y el trabajo duro son la clave para cualquierempresa de aprendizaje exitosa. Pero un factor que no se exitosamenciona con frecuencia es la organización. En las siguientes diapositivas se di ii analizarán varias sugerencias para aprender principios de física.
  • 15. OrganizaciónRecopile materiales:• Libro de texto• Cuaderno de apuntes• Cuaderno de ejercicios (taller)• CD de tutoriales• Calculadora científica• “Perforadora”• Tijeras• Transportador (ángulos)• Cinta adhesiva• Otros suministros
  • 16. Encuentre un compañero de clase pEl primer día de clase encuentre aalguien que quiera ser sucompañero de clase. pAsegúrese de conseguir sunombre, número telefónicoy horario.El “sistema de compañeros” es su red de seguridadpara clases perdidas, resúmenes, tareas, ensayos perdidas resúmenes tareasdevueltos, clarificación, etc.
  • 17. Aprendizaje oportunoEl aprendizaje oportuno es aprendizaje eficiente.Es jE mejor estudiar una hora cada día que t di h d díatiborrarse los fines de semana.Después de cada clase, usesu siguiente periodo librepara reforzar sucomprensión. pSi espera hasta el fin de semana, debe dedicartiempo valioso sólo para reconstruir la información. información
  • 18. Fuera del salón de claseEl aprendizaje rara vez secompleta en clase. Para l t l Preforzar el aprendizaje, deberesolver problemas por sucuenta tan pronto después declase como sea posible.Trate primero, busque ayuda sies necesario revise ejemplos necesario, ejemplos,trabaje con otros. Resolverproblemas es la principal formaded aprender. d
  • 19. Quejas de los estudiantes de física principiantes• Tengo un mal maestro.• ¡No puedo leer este libro!• No estoy preparado para esto.• No tengo suficiente tiempo.• Tengo problemas: empleo, padres, amigos...• Cuatro (cinco, seis, siete…) cursos y un laboratorio... ¡es demasiado!
  • 20. ¡Es su responsabilidad!Por duro que suene, la responsabilidad última deaprender descansa en usted y nadie más.Busque ayuda si la necesita. Revise otros libros necesitade la biblioteca. Recurra tutoriales en internet.Repase matemáticas. Sepa cuándo están matemáticasprogramados los exámenes. Contacte a suinstructor o profesor de talleres. p Emprenda acciones: ¡Nunca deje que cosas fuera de su control eviten que usted logre sus metas!
  • 21. ¡La nota final la obtiene usted!El profesor no puede ni debe realizar ningún cambioen la nota obtenida.Este curso permitiría mejorar su promedio, peroello requiere trabajo de su parte.Aprobar lA b el curso d depende d su trabajo. d de b j Comience ahora a aprobar su curso! C i h b !
  • 22. Cantidades físicas Una cantidad física es una propiedad cuantificable o asignable adscrita a un fenómeno, cuerpo o sustancia particular.Longitud Carga Tiempo eléctrica
  • 23. Unidades de mediciónUna unidad es una cantidad física particular con la quese comparan otras cantidades del mismo tipo para id d d l i iexpresar su valor. Un metro es una unidad establecida para medir longitud. Medición del Con base en la definición, se diámetro del dice di que el diámetro es 0 12 m o l diá t 0.12 disco. 12 centímetros.
  • 24. Unidad SI de medición para longitudUn metro es la longitud de la ruta recorrida por unaonda luminosa en el vacío en un intervalo detiempo de 1/299,792,458 segundos. p , , g 1m 1 t= segundo 299,792,458 299 792 458
  • 25. Unidad SI de medición de masaEl kilogramo es la unidad de masa – es igual a lamasa del prototipo internacional del kilogramo. Este estándar es el único que requiere comparación para validar un artefacto. En la Oficina Internacional de Pesos y Medidas hay una copia del estándar.
  • 26. Unidad SI de medición de tiempoEl segundo es la duración de 9 192 631 770 periodosde la di iód l radiación correspondiente a la transición entre di l i iólos dos niveles hiperfinos del estado base del átomode cesio 133. 133 Reloj atómico de fuente j de cesio: El tiempo primario y la frecuencia estándar para el USA (NIST)
  • 27. Siete unidades fundamentales Website: http://physics.nist.gov/cuu/index.html Cantidad Unidad Símbolo Longitud Metro m Masa Kilogramo kg Tiempo Segundo Seg ndo s Corriente eléctrica Ampere A Temperatura Kelvin KIntensidad luminosa Candela cdCantidad de sustancia Mol mol
  • 28. Cantidades fundamentales y sus unidadesCantidad fundamental Unidad Estadio, vara, Longitud cuarta, brazada, año luz… Libra, deben(en el , ( Masa M antiguo egipto)… Estación, año, Estación año un Tiempo tabaco, un jornal…
  • 29. Cantidades fundamentales y sus unidades Cantidad Unidades en el SI Longitud Metro (m) Masa Kilogramo (kg) Tiempo Segundo (s) Temperatura Kelvin (K)Corriente electrica Amperio (A)Intensidad Luminosa Candela (C) Cantidad de Mol (mol) Sustancia
  • 30. Unidades: longitud, masa y tiempoLongitud: Es la distancia entre dos puntos del espacio. g p p Unidad: el metro Se habia defiinido como : una millonésima de la distancia del polo norte al ecuador Actualmente: la distancia que viaja la luz en el vacío en 1/299,792,458 de segundoMasa: “Permite cuantificar la cantidad de materia” Unidad: el kilogramo Es la masa de un cilindro de platino-iridio, conservado en el p , International Bureau of Weights and Standards, Sèvres, France.Tiempo:magnitud física que mide la duración o separación de acontecimientos Unidad: el segundo Desde D d 1967 s el tiempo que tarda l radiación d l á l i d la di ió del átomo d de cesium-133 en completar 9,192,631,770 oscilaciones.
  • 31. PARA ILUSTRAR UN POCO Actualmente se adopta como patrón para el denominado TIEMPO UNIVERSAL COORDINADO, un promedio de las horas marcadas por aproximadamente 200 relojes de d cesio instalados en 55 lugares diferentes i i l d l dif del mundo, consiguiendo una precisión mejor de un nanosegundo (una mil millonésima fracción de segundo) p día. g ) porCilindro de platino-iridio, conservado en elInternational Bureau ofWeights d S d dW i h and Standards,Sèvres, France.
  • 32. Unidades para mecánicaEn mecánica sólo se usan tres cantidades fundamentales:masa, longitud y tiempo. Una cantidad adicional, fuerza, sederiva de estas tres. Cantidad Unidad SI Unidad USCS Masa kilogramo (kg) slug (slug) Longitud metro (m) pie (ft) Tiempo segundo (s) segundo (s)
  • 33. Cantidades más usadas en Mecánica• En mecánica se usan tres cantidades básicas – Logitud – Masa – Tiempo O también conocidas como cantidades fundamentales.• También se usan cantidades derivadas – E Estas cantidades pueden ser expresadas en términos d l id d d d é i de las cantidades básicas • Ejemplo: Area: es el producto de dos longitudes j p p g – Area es una cantidad derivada – Longitud es una cantidad básica ó fundamental
  • 34. Sistemas de unidadesSistema SI: Sistema internacional de unidadesestablecido por el Comité Internacional de Pesos yMedidas. Dichas unidades se basan en definicionesestrictas y son las únicas unidades oficiales para ti t l ú i id d fi i lcantidades físicas.Unidades usuales en EUA (USCU): Unidades másantiguas todavía de uso común en Estados Unidos, p g , perolas definiciones se deben basar en unidades SI.
  • 35. Procedimiento para convertir unidades1. Escriba la cantidad a convertir.2. Defina cada unidad en términos de la unidad deseada. d d3. Por cada definición, forme dos factores de conversión, conversión uno como recíproco del otro. otro4. Multiplique la cantidad a convertir por aquellos factores que cancelarán todo menos las q unidades deseadas.
  • 36. Ejemplo 1: Convertir 12 in a centímetros in. dado que 1 in. = 2.54 cm.Paso 1: Escriba la cantidad a 12 in.convertir.Paso 2. Defina cada unidad 1 in. = 2.54 cmen términos de la unidaddeseada. 1 in.Paso 3. Para cada definición, , 2.54 2 54 cmforme dos factores de 2.54 cmconversión, uno como el 1in. =1 2.54 in cmrecíproco del otro. 2.54 cm 1 in.
  • 37. Ejemplo 1 (cont.): Convertir 12 in. a centímetros d d que 1 in. = 2.54 cm. tí t dado i 2 54 1 in. 2.54 cm Del paso 3. o 2.54 cm 1 inPaso 4. Multiplique por aquellos factores quecancelarán todo menos las unidades deseadas. Tratealgebraicamente los símbolos de unidades. ⎛ 1 in. ⎞ in.2 ¡Mala elección! 12 in. ⎜ ⎟ = 4.72 ⎝ 2.54 cm ⎠ cm ⎛ 2.54 cm ⎞ 12 in. ⎜ ⎟ = 30.5 cm ¡ ¡Respuesta correcta! p ⎝ 1 in. ⎠
  • 38. Ejemplo 2: Convertir 60 mi/h a unidades de km/s dado 1 mi. = 5280 ft y 1 h = 3600 s.Paso 1: E ib la cantidad aP 1 Escriba l id d mi 60convertir. hNota: Escriba las unidades de modo que losnumeradores y denominadores de las fracciones seanclaros.clarosPaso 2. Defina cada unidad en términos de las unidadesdeseadas.deseadas 1 mi. = 5280 ft 1 h = 3600 s
  • 39. Ej. 2 (cont): Convertir 60 mi/h a unidades de km/s dado que 1 mi. = 5280 ft y 1 h = 3600 s.Paso 3. Para cada definición, forme dos factores deconversión, uno como recíproco del otro. 1 mi i 5280 ft f1 mi = 5280 ft or 5280 ft 1 mi1 h = 3600 s 1h 3600 s or 3600 s 1h El paso 3, que se muestra aquí por claridad, en realidad se puede hacer mentalmente y no se necesita escribir.
  • 40. Ej. 2 (cont.): Convertir 60 mi/h a unidades de ft/s dado que 1 mi. = 5280 ft y 1 h = 3600 s.Paso 4. Elija factores para cancelar las unidades no j pdeseadas. mi ⎛ 5280 ft ⎞⎛ 1 h ⎞ 60 ⎜ ⎟⎜ ⎟ = 88.0 m/s h ⎝ 1 mi ⎠⎝ 3600 s ⎠ Tratar algebraicamente la conversión de unidades ayuda a ver si una definición se usará como multiplicador o como divisor. p
  • 41. Incertidumbre de mediciónTodas las mediciones se suponen aproximadas con el p púltimo dígito estimado. Aquí, Aquí la longitud en “cm” se 0 1 2 escribe como: 1.43 cm El último dígito “3” se estima como 0.3 del intervalo entre 0.3 y 0.4. 03 04
  • 42. Mediciones estimadas (cont.) (cont ) Longitud = 1.43 cm i d 0 1 2 El último dígito es estimación, pero es significativo. Dice que la longitud real está entre 1.40 cm y 1.50 cm. Sin b Si embargo, no sería posible estimar otro dígito, como í ibl i dí i 1.436.Esta medición de longitud se puede dar a tres dígitossignificativos,significativos con el último estimado. estimado
  • 43. Cifras significativas y númerosCuando se escriben números, los ceros que se usan SÓLOpara ayudar a ubicar el punto decimal NO sonsignificativos, los otros sí. Vea los ejemplos. 0.0062 cm 2 cifras significativas 4.0500 4 0 00 cm 5 cifras significativas if i ifi i 0.1061 cm 4 cifras significativas 50.0 cm 3 cifras significativas 50,600 50 600 cm 6!! cifras significativas
  • 44. Regla 1. Cuando se multiplican o dividen númerosaproximados, el número de dígitos significativos en la i d l ú d dí i i ifi i lrespuesta final es el mismo que el número de dígitossignificativos en el menos preciso de los factores. factores 45 N Ejemplo: P= = 6.97015 N/m 2 (3.22 m)(2.005 m) ( )( )El factor menos significativo (45) sólo tiene dos (2) (45)dígitos,dígitos así que sólo se justifican dos en la respuesta. respuestaLa forma correcta de escribir P = 7 0 N/ 2 7.0 N/mla respuesta es:
  • 45. Regla 2. Cuando se suman o restan númerosaproximados, el número de dígitos significativos será i d l ú d dí i i ifi i áigual al número más pequeño de lugares decimales decualquier término en la suma o diferencia. diferenciaEj: 9.65 cm + 8.4 cm – 2.89 cm = 15.16 cmNote que la medición menos precisa es 8 4 cm. Por 8.4 cmtanto, la respuesta debe estar a la décima de cm máscercana aun cuando requiera 3 dígitos significativos. q g gLa forma correcta de 15.2 15 2 cmescribir la respuesta es:
  • 46. Ejemplo 3. Encuentre el área de una placa metálica que mide 8.71 cm por 3.2 cm. A = LW = (8.71 cm)(3.2 cm) = 27.872 cm2 Sólo 2 dígitos justificados: A = 28 cm2 Ejemplo 4. E Ej l 4 Encuentre el perímetro de la placa t l í t d l l que mide 8.71 cm de largo y 3.2 cm de ancho.p = 8.71 cm + 3.2 cm + 8.71 cm + 3.2 cmRespuesta a décimasR t dé i de d p = 23 8 cm 23.8cm:
  • 47. Redondeo de ú R d d d númerosRecuerde que las cifras significativas se aplican al q g presultado que reporte. Redondear sus números en el reporte.proceso puede conducir a errores. Regla: Siempre retenga en sus cálculos al menos una cifra significativa más que el número que debe reportar en el resultado.Con las calculadoras, usualmente es más fácil conservar todos los dígitoshasta que reporte el resultado.
  • 48. Reglas para redondeo de númerosRegla 1R l 1. Si el resto más allá del último dígito a reportar l t á llá d l últi dí it tes menor que 5, elimine el último dígito.Regla 2. Si el resto es mayor que 5, aumente el dígitofinal por 1.Regla 3. Para evitar sesgos de redondeo, si el resto es 3.exactamente 5e actamente 5, entonces redondee el último dígito alnúmero par más cercano. cercano.
  • 49. Verificar los siguientes ejemplosRegla 1. Si el resto más allá del último dígito areportar es menor que 5, elimine el último dígito. t 5 li i l últi dí itRedondee lo siguiente a 3 cifras significativas: 4.99499 se vuelve 4.99 0.09403 se vuelve 0.0940 95,632 se vuelve 95,600 0.02032 0 02032 se vuelve 0.0203 0 0203
  • 50. Verificar los siguientes ejemplosRegla 2. Si el resto es mayor que 5, aumente eldígito fi ldí i final por 1.1Redondee lo siguiente a 3 cifras significativas: 2.3452 se vuelve 2.35 0.08757 se vuelve 0.0876 23,650.01 se vuelve 23,700 4.99502 4 99502 se vuelve 5.00 5 00
  • 51. Verificar los siguientes ejemplos g j pRegla 3. Para evitar sesgos de redondeo, si el resto esexactamente 5, entonces redondee el último dígito alnúmero par más cercano. cercano.Redondee lo siguiente a 3 cifras significativas: 3.77500 se vuelve 3.78 0.024450 se vuelve 0.0244 96,6500 se vuelve 96,600 5.09500 se vuelve 5.10
  • 52. Trabajar con númerosEl trabajo en clase y el delaboratorio se deben tratar demodo diferente. .En clase, por logeneral no seconocen las En laboratorio, se laboratorioincertidumbres en conocen las limitacioneslas cantidades. de las mediciones. No seRedondee a 3 cifras deben conservar dígitossignificativas en la que no estén justificados.mayoría de loscasos.
  • 53. Ejemplo para después de clase: Un auto que inicialmente viaja a 46m/s experimenta aceleración constante de 2 m/s2 durante un tiempo de 4.3 s. Encuentre el desplazamiento total dada la fórmula. x = v0t + at1 2 2 = (46 m/s)(4.3 s) + 1 (2 m/s 2 )(4.3 s) 2 2 = 197 8 m + 18 48 m = 216 29 m 197.8 18.48 216.29 Si se solicita la información dada con 3 cifras significativas. x = 217 m
  • 54. Ejemplo de laboratorio: Una hoja metálica mide 233 3 mm 233.3 de largo y 9.3 mm de ancho. Encuentre su área. Note que la precisión de cada medida está a la décima de milímetro más cercana. Sin embargo, la longitud tiene 4 dígitos significativos y el ancho sólo 2.¿Cuántos dígitos significativos hay en el producto de longitud y ancho (área)? l it d h (á )? Dos (9 3 tiene menos dígitos significativos) (9.3 significativos).
  • 55. Ejemplo para laboratorio (cont.): Una hoja metálica mide233.3 mm de largo y 9.3 mm de ancho. Encuentre su área.Área = LA = (233.3 mm)(9.3 mm)Área = 2169.69 mm2 2169 69 A = 9.3 mm Pero sólo se pueden tener dos dígitos significativos. Por ende, la respuesta se L = 233.3 mm convierte en: i t Área = 2200 mm2
  • 56. Ejemplo para laboratorio (cont.): Encuentre el perímetro de lahoja metálica que mide L = 233.3 mm y A = 9.3 mm. (Regla de la suma)p = 233.3 mm + 9.3 mm + 233.3 mm + 9.3 mmp = 485.2 mm 485. A = 9.3 mm Note: The answer is determined by the Nota: E este (the tenthl N tprecise measure.caso, elof a mm) least En t resultado tiene más dígitos significativos que L = 233.3 mm el factor ancho. Perímetro = 485.2 mm
  • 57. Notación científica (estudiar de manera independiente)La notación científica proporciona un método abreviado paraexpresar números o muy p q p y pequeños o muy g y grandes. 0.000000001 = 10 −9 Ejemplos: 0.000001 = 10 −6 93,000,000 mi = 9.30 x 107 mi 0.001 = 10 −3 0.00457 m = 4.57 x 10-3 m 1 = 100 876 m 8.76 x 102 m 1000 = 103 v= = 0.00370 s 3.70 x 10-3s 1,000,000 = 106 v = 3.24 x 105 m/s1,000,000,000 = 109
  • 58. Notación científica y cifras significativas i ifi tiCon la notación científica uno puede fácilmente seguirla pista de los dígitos significativos al usar sólo aquellosdígitos necesarios en la mantisa y dejar que la potenciade diez bid di ubique el decimal. ld i l Ejemplo. Exprese el número 0.0006798 m, preciso a tres dígitos significativos. Mantisa M i x 10-4 m 4 6 80 x 10-4 m 6.80El “0” es significativo, el último dígito en duda. significativo duda
  • 59. Unidades: longitud, masa y tiempo
  • 60. El diámetro típico de El diámetro típico deuna galaxia es 1021 m una átomo es 10-10 m
  • 61. Análisis Dimensional• C l i Cualquier fó fórmula fí i l física válida d b ser álid debedimensionalmente consistente – cada términodebe tener las mismas dimensiones Cantidad Dimensión Distancia Area Volúmen Velocidad Aceleración Energía
  • 62. Análisis dimensionalCantidad Area Volúmen Velocidad AceleraciónDimensiónSI UnidadesUnidades Americanas
  • 63. Análisis dimensional• Técnica para verificar si una ecuación es correcta o para apoyar el proceso de derivación de una ecuación• Las dimensiones (longitud, masa, tiempo y sus combinaciones) pueden ser tratadas como cantidades algebráicas – Suma, resta, división, y multiplicación• Los dos lados de una ecuación deben tener igual dimensión
  • 64. Análisis Dimensional, ejemplo• Dada la ecuación: x = ½ at 2• Verifique las dimensiones a cada lado: q L L = 2 ⋅ T2 = L T• T2 se cancela, dejando L como dimension a cada lado – La ecuación es dimensionalmente correcta – Las constantes son adimensioales
  • 65. Análisis Dimensional para determinar la ley de potencia y p• Determina la potencia en una relación• Ejemplo: encuentre los exponentes en la expresión x ∝ amtn • Debería obtenerse distancia a ambos lados • Las dimensiones de aceleración son: L/T2 • Las dimensiones de tiempo son T • El análisis resulta en: m ⎛ L ⎞ x → L ∝ ⎜ 2 ⎟ (T ) x ∝ at 2 n ⎝T ⎠

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