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    3. ecuaciones basicas de flujo 3. ecuaciones basicas de flujo Document Transcript

    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 1ECUACIONES BASICAS DE FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOSPOROSOSLa ecuación de difusividad para flujo radial es:tPKCrPrrrt∂∂=∂∂∂∂ φµ1(1)La ecuación 1 es una ecuación diferencial parcial que tiene muchas solucionesdependiendo de las condiciones iniciales y condiciones de frontera. Para susolución siempre se requerirán una condición inicial y dos condiciones defrontera.SOLUCIÓN PARA FLUJO ESTABLE (Steady state)Esto quiere decir que no hay cambio de presión con el tiempo, por lo cual el ladoderecho de la ecuación 1 se hace nulo, pues:0=∂∂tPPara resolver lo que queda de la ecuación 1 colocamos las siguientescondiciones:Condición inicial:La presión inicial en el yacimiento a un tiempo cero es, ( ) PetrPi == 0,Condiciones de frontera:La presión en el límite externo a cualquier tiempo es constante, ( ) ee PtrP =≥ 0,El caudal en el pozo a cualquier tiempo es constante, ( ) Ctetrq w => 0,La ecuación 1 se reduce a:01=∂∂∂∂rPrrr(2)La solución a la ecuación 2 es:=−wwfrrInKhqPPπµ2(3)Cuando r=re entonces P=Pe y la ecuación se puede escribir como:
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 2=−wewferrInKhqPPπµ2(4)En unidades de campo la ecuación 4 toma la siguiente forma:=−weoowferrInKhBqPPµ2.141(5)OBSERVACIONES A LA SOLUCIÓN STEADY STATE• El fluido fue considerado incomprensible.• Solo se aplica cuando bRwf PPyP >• La viscosidad y el factor volumétrico del aceite deben ser evaluados a unapresión promedio2Rwf PP +• Solo aplicaría para yacimientos de agua.ESTIMACION DE LA PRESION PROMEDIO_PPor definición, la presión promedio es definida como:__P =dvPdv∫∫(6)Pero se sabe que el volumen poroso es:φπ hrV 2=La diferencial del volumen sería:drrhdv φπ2= (7)Substituyendo estas expresiones en la ecuación 6,rdrdrdrrhdrrhPP ewewrrrr∫∫=∫∫=Pr22__φπφπ(8)Al remplazar la ecuación 3 en la ecuación 8 se obtiene:
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 3( )22__212wewwfrrrdrrrInkhqPP−+=∫ πµ( )22222__ 21.2 weweweewfrrrrrrInrkhqPP−−−+=πµ(9)Asumiendo que 022≈ewrrentonces la ecuación 9 se reduce a:−+=212__wewfrrInKhqPPπµ(10)SOLUCIÓN PARA ESTADO SEUDO – ESTABLE (SEMI STEADY STATE)En este caso el cambio de la presión con el tiempo es constante. O sea quetenemos las siguientes condiciones:El cambio de la presión con respecto al tiempo es constante, CtetP=∂∂Condición inicial: La presión original del yacimiento en cualquier punto de él, aun tiempo cero, es ( ) PitrP == 0,Condiciones de frontera:• El gradiente de presión con respecto al radio en la frontera es nulo, o sea,no hay flujo en la frontera, ( )0,0 >∂∂==∂∂trrPrPe• El caudal en el pozo a cualquier tiempo es constante, o sea,( ) Cteotrq w =>,La solución a la ecuación de difusividad a estas condiciones es: −−=−ewwwfrrrrrInKhqPP2222πµ(11)
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 4Si hacemos ee PPrr =⇒= y: −−=−ewewewferrrrrInKhqPP2222πµ(12)La presión promedio,__P , para este caso sería en forma similar al caso establedefinida por:drrrPewrrwePr222__∫−= (13)Integrando, −−−+= 222__4212 ewewewfrrrrrInkhqPPπµ(14)Los últimos dos términos en el corchete pueden ser aproximados a ¾ y laecuación queda como,−+=432__wewfrrInkhqPPπµ(15)OBSERVACIONES• En la practica Pe no se puede medir.• Para condiciones estables, Pe debe ser muy similar a Pi.Craft y Hawkins mostraron que RP__está localizada aproximadamente a un r iguala 0.61 re para el caso estable. Por lo cual la ecuación para este caso ellos lapresentan como:( ) +===weooowfRerrInKhBqPPrrP61.02.14161.0__ µ(16)Lo que equivale a:
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 5−−=5.02.141__weoowfRorrInBPPKhqµ(17)Para el caso de flujo seudo-estable, RP−aparece aproximadamente a un valor der = 0.472re.( ) +===weooowfRerrInKhBqPPrrP472.02.141472.0__ µ(18)Lo que equivale a:−−=−75.0ln2.141weoowfRorrBPPKhqµ(19)En cálculos de productividad en la mayoría de los casos se prefiere usar elmodelo seudo estable.FLUJO EN POZOS DE GASEl gas obviamente es un fluido altamente compresible, por lo cual el caudalvolumétrico de gas es una función de la presión. La rata másica representadapor el producto de la densidad por el caudal sí seria constante. Para el cálculode la densidad de los gases se aplica la ecuación de estado.ZRTPM=ρ (20)scscscscRTZMP=ρ (21)scsc qq ρρ = (22)La ecuación de Darcy en su forma mas sencilla es:drdPrhKqggµπ2= (23)reemplazando la ecuación 22 en la 23,
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 6drdPrhKTZPPTqPPqggscscscscµπ2.==Separando variables e integrando:rdrhKgTZTPqPdP rerwscscgscPePwf ∫=∫πµ2(24)=−wescscgscwferrInhKrTZTPqPPπµ22(25)Para flujo estabilizado y en unidades de campo:−=wegwfRgscrrZTInPPhKq472.0000703.0 22__µ(26)EL FACTOR DE DAÑOLa figura 1 muestra que la caída de presión en las cercanías del pozo no siguela tendencia normal sino que cambia haciendo que la presión de pozo fluyendono sea la esperada´wfP sino una menor o tal vez una mayor. Esto se debe a uncambio de la permeabilidad en las cercanías del pozo. Cuando esto sucede sedice que hay un daño en la formación. Un daño designado por el símbolo S quepuede ser positivo cuando la Pwf disminuye o negativo cuando la Pwf aumenta.Figura 1. Definición del factor de daño.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 7Cuando se incluye el factor de daño en las ecuaciones básicas de flujo seobtiene las siguientes relaciones.Para el caso de flujo estable:+−= SrrInKhBqPPwooRwfµ2.141(27)Para el caso de flujo seudo-estable:+−−−= SrrrrrInKhBqPPeweweooRwf 22222.141 µ(28)Donde el factor de daño, S, es definido por la siguiente relación:S =  −−− 22221ewswss rrrrrInKK(29)Ks es la permeabilidad de la zona dañada y rs es el radio de la zona dañada. Sise considera que el radio de la zona dañada es aproximadamente igual al radiodel pozo, o sea, que ws rr ≈ , entonces la expresión:,02222≈−ewsrrr(30)Y el valor del daño se reduce a:−=wsrrInKsKS 1 (31)La expresión anterior del daño es conocido como el factor de daño de Hawkins.Algunos autores definen un factor de daño compuesto donde incluyen elcoeficiente de turbulencia en las cercanías del pozo y que también afecta elcaudal de fluido. Dicho factor de daño es definido de la siguiente forma:S’ = S + Dq (32)donde D es el coeficiente de turbulencia.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 8Las ecuaciones anteriores que definen el flujo se aplican para áreas de drenecirculares. En el evento en que dichas áreas de drene no sean circulares ODEHpropuso un factor de forma cuyo valor varía de acuerdo a la forma del área dedrene y a la ubicación relativa del pozo dentro del área. Los valores de losfactores de forma aparecen en tablas de la literatura. Por consiguiente, laecuación de flujo incluyendo el factor de forma queda como:( )[ ]SxInBPPKhqoowfRo+−=472.000708.0__µ(33)Donde x es el valor del factor de forma. Algunos valores de x son mostrados enla figura 2.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 9Figura 2. Valores del factor de forma.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 10RELACION DEL COMPORTAMIENTO DE AFLUENCIA (INFLOWPERFORMANCE RELATION I.P.R.)La relación de comportamiento de la afluencia no es mas que una relación entreel caudal de fluido y la presión de pozo fluyendo. La figura 3 muestra lascaracterísticas de una IPR de un pozo.CARACTERÍSTICAS DE LAS CURVAS IPR♦ En el eje “X” de la gráfica siempre se suele colocar el caudal, q.♦ Cuando Pwf es igual a PR entonces el caudal es nulo, q=0.♦ El caudal se hace máximo cuando Pwf se hace nulo.♦ La pendiente de la líneaJm1= y J es el índice de productividad.♦ El modelo de IPR recta solo es útil para pozos de flujo monofásico, o sea,pozos de petróleo sub-saturados o pozos de agua en condiciones seudo-estables.♦ Si la IPR es recta, entonces J es constante y2211wfRwfR PPqPPqcteJ−=−==IPR NO LINEALLo mas común en pozos de petróleo es que la IPR no sea lineal debido entreotras a las siguientes razones:♦ Flujo de mas de una fase cuando se fluye a P < Pb♦ Flujo multifásico con presencia de agua.♦ Yacimientos saturados en donde hay flujo de gas libre.En estos casos la IPR presenta una curvatura que se hace mas pronunciada aaltas ratas de flujo asociadas a altas P∆ . Ello hace que se obtenga unareducción de “J”.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 11Figura 3. Líneas de comportamiento de flujo recta y curva.Para el caso de la IPR curvilínea, la mejor ecuación para modelarla es unaecuación de la forma:( )nwfR PPCq 22−= (34)Los valores de los parámetros C y n tienen las siguientes características:• el valor de n puede variar entre 0.5 y 1.0• “n” se determina de una prueba multirata graficando ( )222PPP wfR ∆− vs q.• Siempre se grafica el caudal en el eje “X” y P∆ 2en el eje “y”. La pendientede esa recta en log – log es “1/n”.Esta ecuación es mas usada para pozos de gas, aunque FETKOVICH (1973)también la usó para pozos de petróleo.FACTORES QUE AFECTAN EL INDICE DE PRODUCTIVIDADUna mejor definición del índice de productividad basada en la ecuación de flujoes mediante la siguiente ecuación:
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 12dPBKSrrInPPKhJooroPPwewfRRwfµ__472.000708.0__∫+−= . (35)Se debe recordar que,KKK oor = (36)El análisis de la ecuación 35 que define el valor del índice de productividad J,permite concluir que el índice de productividad está fuertemente influenciado porla variación de los valores de las permeabilidades relativas, de la viscosidad ydel factor volumétrico. Todos ellos a la vez son función de la variación de lapresión y de las saturaciones.Las figuras 4, 5, 6 y 7 muestran la variación del comportamiento de fases en elyacimiento, de las permeabilidades relativas, de la viscosidad del aceite y de sufactor volumétrico en función de la presión.Figura 4. Variación de las fases con la presión.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 13Figura 5. Variación de las permeabilidades relativas con la saturaciónFigura 6. Variación de la viscosidad del aceite con la presión.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 14Figura 7. Variación del factor volumétrico del aceite con la presión.Como se nota en las figuras Ko, µo y Bo están fuertemente influenciadas por elvalor de la presión del yacimiento. Para aceites subsaturados la variación µo, Bono es grande. El efecto compuestooo Bµ1decrece linealmente con la presión.Si queremos incluir este efecto, entonces evaluar µo y Bo a una presiónpromedio2wfe PPPavg+= (37)La ecuación para flujo seudo-estable usando los valores promedio resultantesería:( )( ) −−=75.02.141weavgoowfRorrInBPPKhqµ(38)FACTORES QUE AFECTAN LA IPRLa IPR para un pozo es la relación entre la rata de flujo del pozo y la presión delpozo fluyendo Pwf. La IPR es ilustrada gráficamente haciendo una figura de Pwf
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 15versus q. Si la IPR puede ser representada por un índice de productividadconstante J, la gráfica será una línea recta y la pendiente de la línea sera –1/J,con intercepto de Pwf= RP−y q=qmax en valores de q=0 y Pwf=0 respectivamente.En una sección previa se dio la expresión teórica para determinar J y se señalóque algunos cambios en las propiedades del sistema roca-fluido podrían causarun cambio de J. Si el valor de J cambia, la pendiente de la curva IPR cambiará yno existirá una relación lineal entre Pwf y q. Para yacimientos de petróleo, losprincipales factores que afectan la IPR son:1. La disminución de Kro cuando la saturación de gas aumenta.2. El incremento de la viscosidad del aceite al disminuir la presión y con ellodisminuir el gas en solución.3. Disminución del factor volumétrico del aceite al reducir la presión y conello el gas en solución.4. Daño o estimulación de la formación en las cercanías del pozo que sedebe reflejar en la expresión S´=S+Dqo.5. Aumento del factor de turbulencia Dqo al aumentar qo.Estos factores pueden cambiar ya sea como resultado de un cambio en la caídade presión para poder mantener la rata constante o por la depleción delyacimiento. Los cambios en el factor de daño pueden resultar de trabajos deestimulación o de daño propiamente dicho. Los efectos sobre la IPR delmecanismo de empuje, de la disminución de la Pwf y de la depleción se discutenbrevemente a continuación.1. Mecanismo de empujeLa fuente de energía del yacimiento tiene gran efecto en el comportamiento de lapresión y en la rata de flujo.a. Gas en solución (yacimiento saturado)
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 16Un yacimiento que produce por gas en solución es cerrado a cualquier otrafuente de energía en su límite externo tal como a empujes hidráulicos. Supresión inicialmente está por encima del punto de burbuja y por ello no hay gaslibre en el yacimiento. La única fuente de material para remplazar los fluidosproducidos es la expansión de los fluidos remanentes en el yacimiento. Puedehaber una expansión despreciable del agua connata y de roca.La presión del yacimiento declina rápidamente con la producción hasta que sehace igual a la presión de burbuja debido a que el aceite se está expandiendopara remplazar lo fluidos producidos. El GOR será constante durante esteperíodo de flujo. También como no hay gas libre, entones la f(PR) permanecerámas o menos constante. (Recordar que la dPBKPfooroPPRRwfµ__)( ∫= ).Una vez RP−cae por debajo de Pb, habrá gas libre para expandirse y así RP−sereducirá pero con menos rapidez. Sin embargo, cuando la saturación de gassupere a la saturación crítica gas, el GOR aumentará rápidamente provocandouna depleción adicional de la energía del yacimiento. Cuando se llegue acondiciones de abandono, el GOR empezará a disminuir debido a que lamayoría del gas se ha producido, y porque a bajas presiones de yacimiento, elvolumen del gas en el yacimiento no está muy lejos del valor del volumen delgas a condiciones estándar.La recuperación a condiciones de abandono estará entre un 5 % y un 30%. Elcomportamiento típico de un yacimiento que produce por gas en solución semuestra en la figura 8.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 17Figura 8. Comportamiento de yacimiento por gas en soluciónb. Capa de gasEl yacimiento de capa de gas es también un yacimiento cerrado a fuentes deenergía externa pero el petróleo está saturado de gas a su presión inicial y porello habrá gas libre. A medida que se produce petróleo la capa de gas seexpande y ayuda a mantener la presión del yacimiento. También, a medida quela presión se reduce el gas se libera de la solución del petróleo saturado.La presión declinará en forma menos intensa que los yacimientos que producenpor gas en solución, pero a medida que la capa de gas se expanda los pozosubicados en la parte mas alta de la estructura producirán con un GOR muy alto.Bajo condiciones primarias, la recuperación al momento del abandono puedeestar entre un 20% y 40%. El comportamiento primario de una yacimiento porempuje de capa de gas se muestra en la figura 9.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 18Figura 9. Comportamiento de yacimiento por empuje de capa de gasc. Empuje de acuíferoUn yacimiento que produce por empuje de acuífero activo, el petróleo está encontacto con el agua que produce la energía y ella suministra el material pararemplazar al petróleo producido. El agua que remplaza al petróleo puedeprovenir de la expansión de ella misma o de un acuífero activo que puede estarconectado. El petróleo es sub-saturado pero si la presión se reduce por debajodel punto de burbuja, se formará gas libre y el gas remanente en solución ayudatambién a suministrar energía para la producción.La recuperación esperada para este tipo de yacimiento está entre el 35% al75%. Si la rata de producción es lo suficientemente baja para permitir que elagua se mueva y remplace al petróleo producido o si se instala un sistema deinyección de agua, la recuperación puede llegar a ser mas alta. Si el yacimientopermanece por encima del punto de burbuja, no se formará gas libre y la funciónpresión RP−permanecerá mas o menos constante. El comportamiento de unyacimiento que tiene empuje hidráulico se muestra en la figura 10.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 19Figura 10. Yacimiento por empuje hidráulico.d. CombinadoEn muchos casos un yacimiento producirá por la combinación de mas de unmecanismo. En este caso, cada mecanismo hará sus aportes a la produccióndel yacimiento.2. Rata de producción o DrawdownSe mencionó anteriormente que la principal razón del cambio del índice deproductividad es el cambio de la función presión dPBKPfooroPPRRwfµ__)( ∫= . Si la presiónen algún lugar del yacimiento cae por debajo del punto de burbuja, el gas saldráde la solución y la permeabilidad al aceite se reducirá, causando así unadisminución de J. Aunque la presión del yacimiento puede estar bien porencima del punto de burbuja, para obtener una rata de flujo razonable puede sernecesario reducir la Pwf a niveles por debajo de Pb. Cuando esto sucede, seforma una zona de permeabilidad relativa al aceite reducida en los alrededoresdel pozo donde la presión esté por debajo de Pb. Los efectos de del daño delpozo se discutirán brevemente a continuación.♦ Skin cero
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 20Los efectos de la caída de presión o de la rata de producción en la IPR puedenser ilustrados mejor gráficamente. El primer caso considerado es aquel donde lapresión del yacimiento está por encima del punto de burbuja. La ubicación detodas las presiones se muestra en un diafragma de fases en la figura 11 y elperfil de presión en la figura 12.Figura 11. Diagrama de fases para el flujo de un pozo
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 21Figura 12. Perfiles de presión en las cercanías del pozoSi la rata de producción deseada puede ser obtenida con una presión de flujomayor a la presión de burbuja, entonces la función presión será más o menosconstante a cualquier distancia del pozo y el valor de J será constante.Si se quiere una rata de flujo mayor, se debe reducir la presión de flujo. Si estapresión de flujo es menor que la presión de burbuja, aparecerá el gas libre a unadistancia determinada, reduciendo así el valor de la permeabilidad relativa alaceite. Como J depende de la permeabilidad relativa al aceite, entonces sereducirá cuando la presión de flujo caiga a valores por debajo de la presión deburbuja. Ver figura 13.Reducciones adicionales de la presión de flujo extenderán la zona en la cual sereduce la permeabilidad relativa al aceite.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 22Figura 13. Cambios del valor de J♦ Skin positivo o negativoLa construcción de la IPR para un pozo que presente factor de daño, seapositivo o negativo, puede ser más complejo, especialmente para el caso dondela presión del yacimiento está por encima de la presión de burbuja. Para el casode un pozo dañado (factor de daño positivo), posiblemente no se tendrá unasaturación de gas en el yacimiento aunque se tenga una presión de flujo menora la presión de burbuja. Para el caso de un pozo estimulado, puede haber unacaída de presión despreciable a través de la zona estimulada. Esto distorsionael perfil de presión asumido y ofrece dificultades en la construcción de la IPR delos datos de prueba, especialmente para los casos en que la presión delyacimiento está por encima de la presión de burbuja.3. La depleción del yacimiento.En un yacimiento en que la presión no se mantenga por encima de la presión deburbuja, la saturación de gas aumentará en el área de drenaje de los pozos.Esto causará una disminución del valor de la función presión, por ello, paramantener una rata de flujo constante será necesario aumentar la caída de
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 23presión a medida que la presión del yacimiento disminuya por depleción. Estosefectos se ilustran cualitativamente en las figuras 14 y 15.Figura 14. Efecto de la depleción en el perfil de presiónFigura 15. Efecto de la depleción en la IPR
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 244. Tipo de pozo: aceite o gasLa IPR para un pozo de gas no será una recta porque la rata de flujo es unafunción del cuadrado de la presión de flujo. Para yacimientos de gas seco y gashúmedo, en la cual no hay condensación de líquidos en el yacimiento, lasaturación de gas y la permeabilidad al gas permanecerán constantes a medidaque la presión del reservorio disminuye. Si existiera flujo turbulento, la caída depresión debido a la turbulencia aumentará con la rata de flujo, causando undeterioro en la IPR.En el caso de gases de condensación retrógrada, si la presión en algún puntodel yacimiento cae por debajo de la presión de rocío Pd, se formará líquido y lapermeabilidad relativa al gas disminuirá. La predicción de la IPR para gases decondensación retrógrada y para gases con empuje hidráulico es muy compleja yno se tratará en este trabajo.PRUEBAS PARA DETERMINAR I.P.R.1. PRUEBA FLOW AFTER FLOWUna prueba de flow after flow empieza con un cierre del pozo mientras la presiónestática promedio RP−se estabiliza. El pozo es colocado luego en producción auna rata constante hasta que la presión de pozo fluyendo se estabiliza y sevuelve constante. La presión de flujo debe ser medida con un registrador defondo de pozo. Una vez la Pwf se estabiliza, la rata de producción se cambia yel procedimiento se repite para varias ratas, 3 a 4. La prueba también puedeser hecha mediante una rata decreciente.La prueba es analizada haciendo una gráfica log-log de RP−2-Pwf2versus q ytrazando la mejor línea recta que pase por los puntos. El exponente n esdeterminado del recíproco de la pendiente de la línea. Ver figuras 16 y 17 que
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 25muestran la forma de hacer la prueba y su procedimiento de análisisrespectivamente.( )22loglogwfRoPPqn−∆∆= (39)Figura 16. Ilustración de un prueba flow after flow.Figura 17. Método de análisis de la prueba flow after flow
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 262. PRUEBAS ISOCRONASSi el tiempo requerido para que la producción se estabilice para un tamaño dechoque determinado o si la rata de producción es excesiva, se puede hacer unaprueba isócrona o de tiempos iguales. El procedimiento para hacer una pruebaisócrona es el siguiente:• Empiece con el pozo cerrado, abra el pozo a producir a una rata constantey mida la Pwf a períodos específicos de tiempo. El período de producción paracada rata puede ser menor que el requerido para la estabilización.• Cierre el pozo y deje que la presión se recupere al valor de RP−.• Abra el pozo a producción a otra rata de flujo y mida la presión a losmismos intervalos de tiempo.• Cierre el pozo de nuevo hasta que Pws= RP−.• Repita el procedimiento para varias ratas.Los valores de RP−2-Pwf2determinados en los diferentes períodos son graficadosversus q y n es obtenida de la pendiente de la línea. Para determinar el valor deC, un período de flujo debe ser estabilizado y por lo general es el último periodode flujo el que se deja lo suficientemente largo para lograr la estabilidad. Lafigura 18 muestra un esquema de la prueba isócrona.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 27Figura 18. Esquema que muestra una prueba isócrona3. PRUEBAS ISOCRONAS MODIFICADASSi el tiempo de cierre requerido para que la presión se restaure al valor de RP−entre los períodos de flujo es excesivo, la prueba isócrona puede ser modificada.La modificación consiste en cerrar el pozo entre los períodos de flujo por untiempo igual al tiempo de producción.. La presión de pozo estática Pws puede nollegar al valor de RP−, pero el una figura de Pwsi2-Pwfi2versus q generalmenteproducirá un línea recta de la cual se puede obtener n. El objetivo es obtener losmismos datos de la isócrona pero sin tener periodos prolongados de cierre. Eneste caso los periodos de cierre tienen la misma duración de los periodos deflujo. Una prueba estabilizada también es necesaria para hallar el valor de C. Elprocedimiento de prueba es ilustrado en la figura 19. .
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 28Figura 19. Esquema que ilustra una prueba isócrona modificada.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 29
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 30PREDICCION DE IPR PARA POZOS DE PETRÓLEOTRABAJO DE VOGELEl trabajo de Vogel se hizo para yacimientos saturados, sin incluir el factor dedaño, S. Standing mas tarde modificó el trabajo de Vogel para ser aplicado apozos con daño.Vogel graficó presiones adimensionales RwfPPvs. ratas adimensionalesmax,ooqq. El estudio incluyó una amplia gama de yacimientos, con diferentespropiedades de fluidos, permeabilidades relativas y espaciamiento de pozos.Algunos de las figuras preparadas por Vogel son mostradas en las figuras 20,21, 22, 23 y 24. El encontró que para todos los casos estudiados, la forma de lacurva de IPR dimensional fue la misma. Siendo siempre la curva igual, obtuvouna ecuación empírica para relacionar la presión adimensional con la rataadimensional, que es la que se muestra a continuación :28.02.01max, −−=RwfRwfooPPPPqq(40)donde qo es la rata de flujo a la correspondiente Pwf, PR e la presión en elyacimiento existente en el momento de interés y qo(max) es la rata de flujocorrespondiente a una Pwf=0 (AOF). La forma gráfica de la ecuación de Vogel esmostrada en la figura 24 y ella puede ser usada para remplazar la ecuación.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 31Figura 20. Cambio de la IPR con la depleciónFigura 21. IPR adimensional para la figura anterior
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 32Figura 22. Cambio de la IPR con las condiciones del yacimientoFigura 23. IPR adimensional de la figura anterior
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 33Figura 24. IPR adimensional de VogelAplicando la ecuación de Vogel, la IPR adimensional cuando J sea constantesería:RwfooPPqq−= 1,max(41)Vogel señaló que en la mayoría de las aplicaciones de su método el error podríaestar entre el 10% y el 20%.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 34MÉTODO DE VOGEL PARA YACIMIENTOS SUBSATURADOSUna breve variación del método de Vogel puede ser echa para ser aplicada ayacimientos subsaturados. Para derivar la variación ver la figura 25.Figura 25. IPR para yacimiento subsaturadoLa prueba para este caso puede estar en 2 puntos, por encima o por debajo dela presión de burbuja, Pb.Si Pwf > Pb entonces el flujo es saturado y J es constante.Si Pwf < Pb entonces el flujo es subsaturado y se aplica la ecuación de VOGEL.Como la curva IPR es continua, el J calculado a Pwf = Pb debe ser el mismo paracualquiera de los dos casos. En otras palabras, la pendiente de los dossegmentos calculada a la presión de burbuja son iguales en Pwf = Pb .Basándonos en la figura 25, siendo qb el caudal a la presión de burbuja,aplicando VOGEL para cualquier q>qb,2max,8.02.01 −−=−−bwfbwfboboPPPPqqqq(42)o
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 35( )−−−+=2max, 8.02.01bwfbwfboboPPPPqqqq (43)Derivando,( )−−−= 2max,6.12.0bwfbbowfoPPPqqdPdq(44)PerowfodPdqes también el inverso de la pendiente.Evaluando la derivada a bwf PP = ,( )( )bbobbowfoPqqPqqdPdq −=+−=−max,max, 8.16.12.0 (45)El índice de productividad es definido con el negativo del inverso de lapendiente, entonces,( )8.1 max,bbowfoPqqJdPdq −==− . (46)o1.8JPq-q bbmaxo, = (47)Cuando el yacimiento sea saturado, Rb PP ≥ , en este caso qb = 0, entonces,qo,max =8.1bJP(48)Substituyendo la ecuación 47 en la 43,−−+=28.02.018.1 bwfbwfboPPPPJPbqq (49)Una vez un valor de J a una Pwf > Pb se conoce la ecuación 49 puede ser usadapara generar la IPR. Si la prueba se corre a una Pwf>Pb entonces J puede sercalculada directamente,−=−= PbPPqJ RwfRo__b PJqy (50)
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 36Si la prueba se corre a una Pwf < Pb el cálculo de J es más complejo pues no seconoce qb. Combinando las ecuaciones 49 y 50:−−+−= 2__8.02.018.1 bwfbwfbbRoPPPPPPPqJ (51)EJEMPLOS DE IPRPROBLEMA 11. PSIG1765PcuandoDSTB282qy2086 wfo__=== PSIGPR .A. Calcule J si lo asume constante.B. Calcule qo cuando Pwf = 1485 PSIGC. Calcule Pwf si se quiere que qo = 400 STB/DD. Calcule el AOFSOLUCIÓNA.PSIDaySTBPPqJwfRo−=−=−= 88.017652085282__B. ( )DSTBPPJq wfRo 5281485208588.0__=−=−=C. PSIGJqPP oRwf 163088.04002085_=−=−=D.DSTBPJAoFq Ro 1835)2085(88.0)0(__max, ==−==PROBLEMA 2El mismo problema anterior pero sabiendo que Pb=2100 psig. Usando VOGELcalcule:A. AOF (qo,max)B. qo=? Cuando Pwf = 1485 PSIGC. Pwf = ? si se quiere qo=400 STB/D
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 37SOLUCIONA.DSTBPPPPqqRwfRwfoo 1097208517658.0208517652.012828.02.01, 22max =−−=−−=−−B. [ ]DSTBPPPPqqRwfRwfoo 496452.0109728.02.01, ____max ==−−=D. Resolviendo de la ecuación de Vogel,0776125.00525.1266.1max,__=−−=ooRwfqqPP.PSIGPP Rwf 1618776.0*__==PROBLEMA 3Los siguientes datos pertenecen a un yacimiento subsaturado.PSIG,2000P,4000 b__== PSIGP R s =0. Los datos de prueba son: Pwf = 3000 PSIGcuando .200DSTBqo =Genere la IPR.SOLUCIÓN1. De la pruebaPSIDSTBPPqJPPwfRobwf.2.030004000200__=−=−=⇒≥2.DSTBPPJq bRb 400)20004000(2.0__=−=−=3.−−+=28.02.018.1 bwfbwfbboPPPPJPqq−−+= 2220008.020002.018.12000*2.0400wfwfoPPq
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 38Como a la prueba bwf PP > entonces J es constante por encima de Pwf. Latabla a continuación muestra algunos datos de la IPR generada.Pwf qo4000 03000 2002000 4001500 4891000 556500 6000 622Si la prueba se hubiera hecho a una Pwf < Pb entonces J se calcula con laecuación 51 y qo con la ecuación 50 y la IPR se genera con la ecuación 49. Elejemplo a continuación muestra este caso.PROBLEMA 4El mismo yacimiento del ejemplo anterior pero la prueba fue hecha a Pwf = 1200PSIG yDSTBqo 532=1.PSIDSTBPPPPPPPqJbwfbwfbbRo /2.08.02.018.12__=−−+−=2. DSTBPPJq bRb /400__=−=De aquí en adelante se sigue el procedimiento de manera similar al anterior.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 39MÉTODO DE VOGEL CON SKINEsta modificación del método de Vogel fue propuesta por Standing.La definición de eficiencia de flujo es (ver figura 1):____//realIdealJJJqJqPPPPPPFEwfRwfR==−−=∆∆= (52)Donde:Pwf’es la idealPwf es la real.También:____472.0472.0srrInrrInPPPsPPFEwewewfRwfR+=−∆−−= (53)Usando la definición de FE, la ecuación de VOGEL es:2____1,8.0021−−==RwfRwfFEMaxO PPPPqqo(54)donde 1,=FEMaxOq es q cuando s’ = o y FE = 1De la ecuación 52,+−=RwfRwfPPFEFEPP____1 (55)La construcción de la IPR adimensional según Standing se hace siguiendo lossiguientes pasos:1. Seleccionar un valor de FE.2. Asumir un rango de valores deRwfPP__.3. Para cada valor en el paso 2 calcularRwfPP__usando la ecuación 55.4. para cada valor en 2 calcular 1max,=FEoqqousando la ecuación 54.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 405. Graficar Pwf/PR vs 1max,=FEoqqo6. Seleccionar otro valor de FE e ir al paso 2.La forma de IPR adimensional propuesta por Standing para pozos con daño esmostrada en la figura 26.Figura 26. IPR para pozos dañados o estimulados
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 41Obviamente la ecuación 55 es inconsistente para FE>1 a valores pequeños dePwf pues daría valores negativos de Pwf’/ RP__. En tal caso se usa la gráfica peroextrapolando a Pwf = o.La relación de las eficiencias de flujo antes y después de una estimulación esllamado el folds of increase:ofofJJFEFEFOI == (56)La gráfica de Standing puede ser puesta en forma de ecuación, combinando lasecuaciones 54 y 55.21max,8.02.01 AAqqfeoo−−==donde,+−=RwfPPFEFEA 1 (55)que puede ser reducida a:2__2__1max,1)(8.018.1−−−=>RwfRwfFEooPPFEPPFEqq(57)Como sabemos que wfP debe ser mayor o igual a cero, entonces la ecuación 57sólo es válida si:−≥≤ =FEqq RFEoo11PPo__wf1max, .La relación siempre se cumple para eficiencias de flujo menores o iguales a launidad. Para FE >1 una relación aproximada entre las dos es:( )FEqq FE376.0624.01maxmax += =(58)Para una FE=1 la ecuación 57 es idéntica a la de VOGEL.
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 42El aporte de Standing es importante para predecir comportamientos cuando sehacen trabajos de estimulación. Una vez conocido 1max,=FEoq se puede usar la figurao la ecuación 57 para calcular q a diferentes FE. El procedimiento es:1. Usando los datos de la prueba (q vs. Pwf) y el valor de FE calcular 1max=FEqusando la ecuación 57.2. Asumiendo valores de Pwf calcular qo para cada valor de Pwf. Otros valoresde FE pueden ser usados para determinar el efecto de FE.PROBLEMA 5 (EJEMPLO 2.5 A)Construya la IPR para este pozo a las condiciones presentes y para FE =1.3PSIGP R 2085__− Pb = 2100 PSIG FE = 0.7 De la pruebaqo = 202 STB/D a una Pwf = 1.765 PSIGSOLUCIÓNUsando la ecuación 57,1. .153.02085176511 =−=−RwfPPDSTB1100153.0*7.0*8.0153.0*)7.0(8.1202q 221FEmaxo, =−==2.−−−=22208518.0208518.11100 wffwoPFEPFEqLuego para diferentes FE y Pwf calculamos las IPR. Los resultados se muestranen la siguiente tabla:wfPRwfPP−11.3FE0.7 ==FEqo2085 0 0 01800 0.137 181 3241765 0.153 202 360
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 431600 0.233 300 5181300 0.376 461 7581000 0.52 604 937700 0.664 730 1054300 0.856 871 ___0 1.0 955 1224El mínimo valor que puede ser calculado para FE = 1.3 sin que den resultadosnegativos es:Pwf = 2085 .PSIG4823.111 =−Por ello los dos últimos valores del caudal no pueden ser calculados en la tabla.Una estimación del caudal se obtiene de la ecuación 58 y es:( ) .12243.1*376.0624.01100maxDSTBq =+= Para finalizar el informe se debegraficar las 2 IPR.Para resolver el mismo problema en forma gráfica se sigue igual procedimientopero usando la gráfica de Standing..847.020851765==RwfPPPara lo cual de la gráfica 18.01max,==FEoqqopara FE=0.7AhoraDSTBqq oFEo 112218.020218.0/1max, ====.Una vez obtenido el caudal máximo a la FE=1 se procede a preparar la IPR.MODIFICACION DE STANDING PARA YACIMIENTOS NO SATURADOS.Cuando la FE ≠ 1 la ecuación 49 puede ser modificada a:−−−+−=2__18.018.18.1 bwfbwfbbRoPPFEPPJPPPJq (59)
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 44La IPR se genera de acuerdo a los siguientes procedimientos:CASO 1. Cuando la prueba Pwf > Pb1. Calcular J usando la ecuación 50.2. Generar la IPR para Pwf < Pb usando el valor conocido de FE y la ecuación59. Para Pwf > Pb la IPR es lineal.3. Para valores diferentes de FE, J se debe modificar a:( )( )1212FEFEJJ = dondeJ2 = nuevo valor de J para el pozo.J1 = valor de j calculado de la prueba usando (FE)1(FE)1 = el de la prueba(FE)2 = otra FECASO 2. Cuando en la prueba Pwf < Pb1. Calcular J con los datos de la prueba en la ecuación 59.2. Generar la IPR para valores Pwf < Pb con la ecuación 59.3. Para otros valores de FE proceder como en el caso 1.PROBLEMA 6 (EJEMPLO 2.5 B)Usando los datos de la prueba, calcule la q que resulta si Pwf = 1500 PSIG siFE = 1.4. Otros datos son:PR =4000 PSIG Pb = 2000 PSIG FE=0.7 qo=378 STB/DPwf = 1200 PSIG.SOLUCIÓNComo Pwf < Pb entonces seguimos los pasos del caso 2• 4.02000120011 =−=−RwfPP
    • Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 451.( )[ ]14.04.0*7.0*8.04.08.18.12000200040003782=−+−=JLa IPR es entonces:−−−+−=217.0*8.018.18.1)2000(14.0)20004000(14.0bwfbwfoPPPPq2. Como ejemplo para FE = 0.7.si PSIGPwf 1500= entonces,25.01 =−RwfPP[ ] DSTBq 345)25.0(*7.0*8.0)25.0(8.1156280 2=−+=Para FE = 1.4.28.07.04.1*14.0*1212 ===FEFEJJLa IPR será:−−−+−=2200014.1*8.0200018.18.12000*28.0)20004000(28.0wfwfoPPqPara FE = 1.4 y Pwf= 1500 psig entonces qo=678 STB/D.