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Volumen Esfera

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  • 1. Medici ón del volumen de la esfera Prof. Iv án Pérez
  • 2.
    • Arquímedes ide ó una fórmula para determinar el volumen de una esfera.
    • Imagin ó una esfera, un cono y un cilindro.
  • 3.
    • Supuso que la esfera ten ía radio R y tanto el cono como el cilindro con el mismo radio basal R . También supuso que las alturas del cono y el cilindro medían R .
  • 4. Son conocidos los vol úmenes: Radio R y altura R Radio R y altura R Cono Cilindro
  • 5.
    • Luego cort ó las figuras con un plano paralelo a la base del cilindro y del cono y a una distancia d de la parte superior de las figuras.
    • Se preguntó cómo serían las secciones determinadas por este plano en la semiesfera, el cono y el cilindro:
  • 6. La secci ón del cilindro
    • En el cilindro la secci ón que determina el plano es un círculo de radio R y su área es:
  • 7. La secci ón de la semiesfera
    • La secci ón circular que determina el plano que corta a la semiesfera, tiene un radio r (menor a R ) que depende de la distancia d.
    • El área del círculo de radio r es:
    • Usando Teorema de Pit ágoras, el triángulo rectángulo de lados R, d y r se cumple que:
  • 8. La secci ón en el cono
    • El cono de altura y radio basal R , por lo tanto el tri ángulo formado por dicho radio basal, la altura y la pared del cono es rectángulo e isósceles. Por semejanza de triángulos, el círculo que determina el plano que corta al cono tiene radio d .
  • 9. Juntando f órmulas
    • Sabemos que:
    • pero de la semiesfera obtuvimos que:
    • si en el área del cilindro reemplazamos R 2 por r 2 + d 2
  • 10.
    • Esto ocurre para cualquier valor de d , por lo tanto, si consideramos las secciones como rebanadas finas, para cada tr ío de rebanadas tendríamos que:
    • De la relación anterior podríamos suponer que:
    Reb cilindro = Reb semiesfera + Reb cono Vol cilindro = Vol semiesfera + Vol cono
  • 11. Reemplazamos Despejando, Por lo tanto, el volumen de la esfera es el doble de la semiesfera Vol semiesfera
    • Vol semiesfera
    Vol cilindro = Vol semiesfera + Vol cono
  • 12.
    • El m étodo de Arquímedes para encontrar el volumen de la esfera es simple e ingenioso. Quedó tan maravillado con él, que dispuso grabar en su tumba esta figura en recuerdo de su idea.