Materi Kuliah Statistik Industri Bab 4 tentang Variabel Random dan Distribusi Peluang termasuk Diskrit & Kontinu

1. VARIABEL RANDOM &
DISTRIBUSI PELUANGDISTRIBUSI PELUANG
Dr. Auditya Purwandini Sutarto

2. Variabel
Random
• Tipe Variabel
Distribusi
Probabilitas
• Distribusi• Tipe Variabel
Random
• Distribusi
Diskrit
• Distribusi
Kontinu

3. Topik
1. KonsepVariabel Random
2. Distribusi Probabilitas untuk Variabel
Random Diskrit
– Distribusi Binomial– Distribusi Binomial
– Distribusi Poisson
– Distribusi Hipergeometrik
3. Distribusi Probabilitas untuk Variabel
Random Kontinu
– Distribusi Normal

4. Topik
7. Metode Deskriptif untuk Menilai
Normalitas
8. Mengakprosimasi Distribusi Binomial
dengan Distribusi Normaldengan Distribusi Normal
9. Distribusi Uniform dan Eksponensial

5. Tujuan Pembelajaran
1. Memahami definisi dan konsep variabel random
2. Mampu membedakan nilai pengamatan termasuk
variabel random diskrit atau kontinu
3. Memahami beberapa distribusi probabilitas3. Memahami beberapa distribusi probabilitas
variabel random diskrit dan kontinu

6. KONSEP VARIABELKONSEP VARIABEL
RANDOM

7. Variabel Random
• Variabel random (acak) adalah suatu fungsi bernilai
numerik yang didefinisikan untuk seluruh ruang sampel.
• Contoh: ruang sampel untuk kemungkinan hasil jika 3
spesimen diuji
S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC}, B
baik & C cacat
• Umumnya minat pada banyaknya cacat yang terjadi
yang dapat bernilai 0, 1, 2, atau 3. Nilai ini kuantitas
random yang ditentukan oleh hasil eksperimen.
• Nilai-nilai ini diasumsikan sebagai variabel random, X,
yaitu banyaknya item spesimen yang cacat dalam
pengujian.

8. • Penggunaan huruf besar, misal X, untuk menyatakan
suatu variabel random dan huruf kecil x untuk nilai-
nilainya. Dalam ilustrasi diatas, variabel random X
mengasumsikan nilai 2 untuk semua elemen dalam
subset
Variabel Random
subset
E = {CCB, CBC, BCC}
• dari ruang sampel S (mengandung Cacat sebanyak dua
buah). Setiap kemungkinan nilai X merepresentasikan
suatu kejadian yang merupakan suatu subset dari ruang
sampel untuk suatu eksperimen yang diberikan.

9. Variabel Random
Variabel random dapat dibedakan menjadi dua
Variabel
Random
Diskrit
Variabel
Random
Kontinu

10. Variabel Random Diskrit
Variabel random yang hanya mempunyai nilai pada titik
tertentu atau nilai yang dapat dibilang baik terbatas
(finite) maupun tidak terbatas (infinite)
Percobaan Variabel Random
Nilai yang Mungkin
Percobaan Variabel Random
Nilai yang Mungkin
Terjadi
Menginspeksi 70 produk Banyaknya cacat 0, 1, 2, ... , 70
Menjawab 30 pertanyaan Banyaknya jawaban yang
benar
0, 1, 2, ..., 30
Perhitungan banyak mobil
masuk tol pukul 9.00 – 12.00
Banyaknya mobil 0, 1, 2, ... , ∞

11. Variabel Random Kontinu
Variabel random yang dapat mempunyai nilai-nilai yang
berhubungan dengan setiap titik dalam satu atau lebih
interval (range) dimana nilai-nilai tersebut tidak terbatas
(infinite) dan tidak dapat dibilang (uncountable)
Percobaan Variabel Random
Nilai yang Mungkin
Terjadi
Mengukur Berat 100 orang Berat 44.5, 67, 78, …
Mengukur usia hidup suatu
part
Jam 503.9, 775, …
Mengukur Waktu antara
kedatangan pesawat
Inter-arrival Time 0, 1.3, 2.78, …

12. DISTRIBUSI PROBABILITAS
VARIABEL RANDOM DISKRIT

13. Distribusi Probabilitas Diskrit
Distribusi probabilitas suatu variabel random diskrit
adalah suatu tabel, grafik, atau formula yang
menyatakan probabilitas yang dihubungkan dengan
setiap kemungkinan nilai x.
Syarat-Syarat untuk Suatu Distribusi
Probabilitas Diskrit x
1. p(x) ≥ 0 untuk semua nilai x
.  p(x) = 1 untuk semua nilai x
Distribusi probabilitas diskrit dalam literatur asing sering disebut dengan pmf
(probability mass function) atau fungsi massa peluang

14. Contoh Distribusi Probabilitas
Diskrit
Distribusi Probabilitas
Nilai, Probabilitas, ( )
Percobaan: Melempar dua koin. Menghitung
banyaknya kemunculan ekor (tail).
Nilai, x Probabilitas, p(x)
0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25
© 1984-1994 T/Maker Co.

15. Visualisasi Distribusi
Probabilitas Diskrit
Mendaftar Tabel
# Tails
f(x)
Count
p(x)
0 1 .25
1 2 .50
Grafik
{ (0, .25), (1, .50), (2, .25) }
# = Banyaknya
Formula
1 2 .50
2 1 .25
p x
n
x!(n – x)!
( )
!
= px(1 – p)n – x
Grafik
.00
.25
.50
0 1 2
x
p(x)

16. Ringkasan Ukuran pada
Distribusi Probabilitas Diskrit
1. Nilai Harapan (Rataan/Mean Distribusi Probabilitas)
• Rata-rata tertimbang untuk semua nilai yang
mungkin
• m = E(x) = x p(x)• m = E(x) = x p(x)
2. Variansi
• Rata-rata tertimbang dari deviasi kuadrat di sekitar
rataan
• s2 = E[(x  m) =  (x  m) p(x)
3. Standard Deviation
2
s s=●

17. Nilai Harapan & Variansi
0 .25 –1.00 1.000
x p(x) x p(x) x – m (x – m)  (x – m) p(x)
.250 .25 –1.00 1.00
1 .50 0 0
2 .25 1.00 1.00
0
.50
.50
m = 1.0
.25
0
.25
s = .50
s = .71

18. Contoh
• Pengiriman 20 tipe laptop yang sama ke satu toko ritel
tertentu berisikan 3 buah produk cacat. Jika suatu
sekolah membeli 2 laptop dari toko ini, carikah
distribusi probabilitas untuk banyaknya laptop yang
cacat.cacat.
• Misalkan X adalah variabel random yang nilai-nilai x-
nya merupakan kemungkinan banyaknya laptop cacat
yang dibeli sekolah tersebut. Nilai x yang mungkin
adalah 0, 1, dan 2.

19.  )  )
95
68
2
20
2
17
0
3
00 =


















=== XPf  )  )
190
51
2
20
1
17
1
3
11 =


















=== XPf
 )  )
190
3
2
20
0
17
2
3
22 =


















=== XPf
• Distribusi Probabilitas X diberikan sebagai berikut:
x 0 1 2
f(x)
95
68
190
51
190
3

20. Distribusi Kumulatif Diskrit
• Berapa probabilitas nilai pengamatan suatu variabel
random X kurang dari atau sama dengan beberapa
bilangan riil x.  F(x) = P(X ≤ x) untuk setiap
bilangan x, F(x) dapat didefinisikan sebagai fungsi
distribusi kumulatif variabel random X.distribusi kumulatif variabel random X.
• Distribusi kumulatif F(x) dari variable random diskrit
X dengan distribusi peluang f(x) adalah:
untuk - ∞ < x < ∞ )  )  )
==
xt
tfxXPxF

21. Contoh
• Seorang penjaga penyimpanan barang mengembalikan
tiga helm yang telah diberi nama pemilik pada tiga
karyawan secara acak. Jika Smith (S), Jones(J), dan
Brown(B), menerima satu dari tiga topi, daftarlah ruang
sampel untuk berbagai kemungkinan urutan helm yangsampel untuk berbagai kemungkinan urutan helm yang
dikembalikan.
• Carilah ruang sampel dan nilai m untuk variabel random
M yang menyatakan kesesuaian dengan pemiliknya.
• Buatlah tabel distribusi peluangnya.
• Carilah distribusi probabilitas kumulatifnya

22. a. Ruang sampel untuk semua pengaturan yang
mungkin dan banyaknya kesesuaian helm dengan
pemiliknya adalah sebagai berikut
Ruang Sampel m
SJB 3
SBJ 1
JSB 1
b. Tabel Distribusi peluangnya adalah sebagai berikut
JBS 0
BSJ 0
BJS 1
m 0 1 3
P (M = m)
3
1
2
1
6
1

23. c. Untuk mencari distribusi probabilitas kumulatifnya,
terlebih dahulu hitung,
selanjutnya
 )  )  )  )
6
5
2
1
3
1
1022 ==== ffMPF
 )









=
31untuk
5
10untuk
3
1
0untuk0
m
m
m
mF



 

3untuk1
31untuk
6
5
m
m

24. Latihan Soal
Dalam pelemparan dua
koin, kita tertarik
menghitung banyaknya ekor
(tails). Berapakah nilai
harapan, variansi, dan
deviasi standar dari
variabel random X, yaitu
banyaknya ekor?
© 1984-1994 T/Maker Co.

25. DISTRIBUSI PROBABILITAS
VARIABEL RANDOM KONTINU

26. Distribusi Probabilitas Kontinu
• Suatu variabel random kontinu X memiliki tiga sifat
berikut
1. X merupakan bilangan yang bernilai tidak terhingga
tidak terhitung (uncountably infinite number of
 
tidak terhitung (uncountably infinite number of
values) dalam interval (-,)
2. Fungsi distribusi kumulatif, F(x), kontinu.
3. Probabilitas X sama dengan sembarang nilai yang
khusus adalah 0

27. • Karena probabilitas variabel random kontinu sama
dengan suatu sembarang nilai sama dengan nol. Jika X
adalah variabel random kontinu, maka
• Dan dapat dihitung sebagai berikut
 )  )  )  )bXaPbXPbXaPbXaP ===
 )  )=
b
dxxfbXaP
• Tidak masalah apakah titik akhir suatu selang diikutkan
atau tidak. Hal ini berbeda dengan variabel random
diskrit. Distribusi variabel random kontinu dapat
dinyatakan dalam bentuk formula
 )  )=
a
dxxfbXaP

28. Definisi
• Fungsi f(x) adalah fungsi densitas probabilitas untuk
variabel random kontinu X, didefinisikan pada bilang
real , jika
 )  xxf semuauntuk,01. .
2. .
3. .
 ) ,1


=dxxf
 ) =
b
a
xfbXaP )(
 )  xxf semuauntuk,0

29. Contoh
• Kesalahan pengukuran temperatur dinyatakan dengan
variabel random X dengan fungsi densitas yang
didefinisikan sebagai berikut
 ) 

 21
2
x
x
1. Periksa syarat 2 dari definisi 4.3. diatas
2. Hitunglah
 )






=
lainyanguntuk0
21
3
x
x
x
xf
 )10  XP

30. • Jawab
1. .
2. .
 ) 1
9
1
9
8
3
2
1
2
===  


x
dxxf
 ) 1
10
1
2
== 
x
XP2. .  )
9
1
3
10
1
0
== 
x
XP

31. Distribusi Kumulatif Kontinu
• Distribusi kumulatif F(x) dari variabel random
kontinu X dengan fungsi densitas peluang f(x) adalah
 )  )  ) ,untuk
==
x
xdttfxXPxF
• Sebagai akibat dari definisi diatas dapat dituliskan
• Dan jika turunannya ada

 )  )  )aFbFbxaP =
 )  )
dx
xdF
xf =

32. Contoh
• Dari contoh sebelumnya tentukan F(x) kemudian gunakan
untuk menghitung
• Jawab
Untuk -1 < x < 2
sehingga
 )10  XP
 )  )
9
1
3
32

===  
x
dt
t
dttfxF
xx
  10 xsehingga
Untuk menghitung
 )











=
21
21
9
1
10
3
x
x
x
x
xF
 )  )  )
9
1
9
1
9
2
0110 === FFXP
 )10  XP

33. DISTRIBUSI GABUNGAN

34. Distribusi Gabungan Variabel
Random Diskrit
• Jika X dan Y dua variabel random diskrit, maka
distribusi peluang untuk kejadian simultan dapat
direpresentasikan dengan fungsi f (x,y) untuk setiap
pasangan (x,y). Fungsi ini disebut dengan distribusi
peluang gabungan dari variabel random X dan Y.
Untuk kasus diskrit dituliskan:
 )  )yYxXPyxf === ,,

35. Definisi
• Fungsi f (x, y) adalah distribusi peluang gabungan
atau fungsi massa peluang dari dua variabel random
diskrit X dan Y jika
1. . untuk semua (x, y) ) 0, yxf
2. .
3. .
Untuk daerah sembarang A dalam bidang xy,
 ) =
y x
yxf 1,
 )  )yxfyYxXP ,, ===
 )   )=
y x
yxfAyxP ,,

36. Contoh
• Dua isi ulang bolpoin diambil dari kotak yang berisi 3
warna biru, 2 warna merah, dan 3 warna hijau. Jika X
menyatakan banyaknya warna biru yang terpilih dan
Y banyaknya warna merah terpilih, tentukan
1. Fungsi peluang gabungan f(x, y)
2. dimana A adalah daerah  ) 1|,  yxyx ) AYXP ,

37. Jawab
Nilai pasangan yang mungkin dari (x, y) adalah (0, 0),
(0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), dan (0, 2).
1. Misalkan f (0,1) menggambarkan probabilitas
sebuah bolpoin hijau, dan merah yang terpilih.
Banyaknya semua kemungkinan memilih 2 dari total
8 bolpoin adalah
Banyaknya cara memilih 1 merah dari 2 bolpoin
merah dan 1 hijau dari 3 bolpoin hijau .
Oleh karena itu
28
2
8
=





6
1
3
1
2
=











 ) 1432861,0 ==f

38. • Perhitungan yang sama untuk pasangan hasil lain
yang mungkin dapat dilihat dalam tabel berikut
x Total
baris0 1 2
0
1
 )yxf ,
28
9
28
3
14
5
28
15
28
3
• .
y
1
0
2
0 0
Total Kolom
128
15
14
3
14
3
7
3
28
1
28
1
28
3
14
5

39. • Jika dinyatakan dalam bentuk formula, distribusi
probabilitas gabungan dalam tabel tadi adalah sebagai
berikut
Untuk x = 0, 1, 2; y = 0, 1, 2;
dan 0 ≤ x + y ≤ 2
 )






















=
8
2
3
2
23
yxx
f
dan 0 ≤ x + y ≤ 2
2. Probabilitas (X, Y) berada dalam daerah A adalah



2
 )   )  )  )  )
14
9
28
9
14
3
28
3
0,11,00,01,
==
== fffYXPAYXP

40. LATIHAN SOAL
• Misalkan W adalah suatu variabel random yang
menyatakan banyaknya kepala (K) dikurangi
banyaknya ekor (E) dalam 3 kali pelemparan suatu
koin. Daftarlah elemen-elemen dalam ruang sampel S
untuk ketiga pelemparan tersebut. Untuk setiap titik
sampel, berikan nilai w yang bersesuaiansampel, berikan nilai w yang bersesuaian

41. • Banyaknya jam (diukur dalam unit per 100 jam) suatu
vacum cleaner digunakan dalam suatu RT selama 1
tahun merupakan variabel random kontinu X yang
memiliki fungsi densitas peluang
 )







=
lainyanguntuk0
212
10
xx
xx
xf
Temukan probabilitas dalam 1 tahun, keluarga
tersebut menggunakan vacum cleaner mereka
a. Kurang dari 120 jam
b. Antara 50 – 100 jam.

 lainyanguntuk0

42. • Suatu pengiriman 7 set televisi terdapat 2 produk
cacat. Suatu hotel membeli secara acak 3 set televisi.
Jika x menyatakan banyaknya produk cacat yang
dibeli pihak hotel, tentukan distribusi probabilitas X
dan gambarkan dalam bentuk histogram
• Distribusi probabilitas X, yang menyatakan banyak
cacat per 10 meter dari suatu kain sintetis adalahcacat per 10 meter dari suatu kain sintetis adalah
sebagai berikut
Buatlah distribusi kumulatif X
x 0 1 2 3 4
f(x) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01

43. DISTRIBUSI BINOMIALDISTRIBUSI BINOMIAL

44. Distribusi Binomial
Banyaknya ‘sukses’ dalam suatu sampel dari
pengamatan (trial) sebanyak n
• Banyaknya item yang cacat dalam suatu batch
berisikan 5 itemberisikan 5 item
• Banyaknya jawaban yang benar dari 30
pertanyaan saat ujia
• Banyaknya pelanggan yang berbelanja dari 100
pelanggan yang masuk toko (tiap pelanggan
memiliki kesempatan sama untuk membeli)

45. Karakteristik Variabel Random
Binomial
1. Eksperimen terdiri dari percobaan Bernoulli sebanyak
n yang identik Hanya ada dua kemungkinan hasil
pada setiap percobaan, yaitu S (untuk sukses) dan F
(untuk gagal)(untuk gagal)
2. P(S) = p and P(F) = q tetap sama dari satu percobaan
ke percobaan lain (Perhatikan bahwa p + q =1)
3. Percobaan-percobaan tersebut adalah independen
4. Variabel random binomial x adalah banyaknya S
dalam n kali percobaan

46. Fungsi Distribusi Probabilitas
Binomial
!
( ) (1 )
! ( )!
x n x x n xn n
p x p q p p
x x n x
  
= =  
 
p = probabilitas terjadinya sukses dalam percobaan
tunggaltunggal
q = 1- p
n = banyaknya percobaan
x = banyaknya sukses dalam n kali percobaan
n – x = banyaknya gagal dalam n kali percobaan

47. Contoh Distribusi Probabilitas
Binomial
Percobaan: Melemparkan 1 koin sebanyak 5 kali. Catat
banyaknya kemunculan ekor. Berapakah probabilitas
muncul 3 ekor dari 5 pelemparan tersebut?
3 5 3
!
( ) (1 )
!( )!
5!
(3) .5 (1 .5)
3!(5 3)!
.3125
x n xn
p x p p
x n x
p


= 

= 

=
© 1984-1994 T/Maker Co.

48. Tabel Probabilitas Binomial
(contoh)
n = 5 p
k .01 … 0.50 … .99
0 .951 … .031 … .000
1 .999 … .188 … .0001 .999 … .188 … .000
2 1.000 … .500 … .000
3 1.000 … .812 … .001
4 1.000 … .969 … .049
Probabilitas Kumulatif
p(x ≤ 3) – p(x ≤ 2) = .812 – .500 = .312

49. Rataan & Variansi Variabel
Random Binomial
.0
.5
1.0
X
P(X)
n = 5 p = 0.1
Rataan
np=m
.0
0 1 2 3 4 5
X
.0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
n = 5 p = 0.5
Variansi
npq=2
s

50. Contoh Soal
Diasumsikan seorang telemarketer
pada suatu hari berhasil menjual 20
dari 100 panggilan (p = .20). Jika ia
menelepon 12 orang hari ini,
berapakah probabilitasberapakah probabilitas
A. Tidak ada penjualan?
B. Tepat 2 penjualan?
C. Paling banyak 2 penjualan?
D. Minimum 2 penjualan?

51. Jawab
n = 12, p = .20
A. p(0) = .0687
B. p(2) = .2835
C. p(paling banyak 2) = p(0) + p(1) + p(2)
= .0687 + .2062 + .2835= .0687 + .2062 + .2835
= .5584
D. p(paling tidak 2) = p(2) + p(3)...+ p(12)
= 1 – [p(0) + p(1)]
= 1 – .0687 – .2062
= .7251

52. Penjumlahan Binomial
(Binomial Sums)
• Terkadang kita perlu memecahkan masalah
untuk menemukan P ( x< r) atau P (a ≤ X ≤ b)
 )  )=
r
pnxbpnrB ,;,;
 Nilai tersebut dapat diperoleh melalui tabel untuk n
= 1,2, …, 20 dan p = 0,1 – 0,9
 )  )=
=
x
pnxbpnrB
0
,;,;

53. Contoh Soal
• Probabilitas seorang pasien sembuh dari penyakit
darah langka adalah 0,4. Jika 15 orang diketahui
terkena penyakit ini, maka berapa probabilitas
- Paling sedikit 10 orang mampu bertahan- Paling sedikit 10 orang mampu bertahan
- Antara 3-8 orang survive
- Tepat 5 orang survive?

54. Tabel Binomial
(Lampiran A1 Walpole, 2013)

55. Jawab

56. DISTRIBUSI HIPERGEOMETRI

57. Karakteristik Variabel Random
Hipergeometri
1. Percobaan terdiri dari penarikan n elemen secara
random tanpa pengembalian dari suatu set elemen
sebanyak N. Dari percobaan tersebut dapat
dinyatakan r yang merupakan S (untuk sukses) dan (-dinyatakan r yang merupakan S (untuk sukses) dan (-
r) yang merupakan F (untuk gagal)
2. Ukuran sampel n relatif besar dibandingkan dengan
banyaknya elemen N dalam populasi, yaitu n / N >
0,05
3. Variabel random hipergeometrik, X adalah banyaknya
S yang terambil dalam n elemen.

58. Distribusi Probabilitas
Hipergeometrik
,),,;(




















=
n
N
xn
kN
n
k
knNxh
nx ,,2,1,0 =
N = total banyaknya elemen
k = banyaknya sukses dalam N elemen
n = banyaknya elemen yang diambil
x = banyaknya sukses yang terambil dari n elemen



n

59. Rataan & Variansi Variabel Random
Hipergeometrik
Rataan
N
nr
=m
Variansi
N
 )  )
 )12
2


=
NN
nNnrNr
s

60. Contoh Soal
• Setiap lot sebanyak 40 komponen dikatakan
tidak lolos jika ditemukan produk cacat
sebanyak 3 atau lebih. Suatu rencana sampling
dilakukan dengan memilih 5 komponen secaradilakukan dengan memilih 5 komponen secara
acak dan menolak lot tersebut jika 1 produk
cacat ditemukan. Berapakah peluang tepat 1
cacat ditemukan dalam sampel jika terdapat 3
produk cacat di keseluruhan lot?

61. Jawab
• Dengan menggunakan distribusi hipergeometri
dengan n = 5, N = 40, k = 3, dan x = 1, peluang
menemukan tepat 1 cacat adalah
373








• Rencana sampling tersebut tidak begitu bagus karena
peluang lot dinyatakan jelek cukup besar yaitu 30%
 ) 3011.0
5
40
4
37
1
3
3,5,40;1 =


















=h

62. DISTRIBUSI POISSONDISTRIBUSI POISSON

63. Distribusi Poisson
1. Banyaknya kejadian yang terjadi dalam
interval /selang
• kejadian per unit
— Waktu, panjang, area
2. Contoh
• Banyaknya pelanggan yang datang dalam 20
menit
• Banyaknya gol dalam suatu liga sepakbola per
tahun.
• Banyaknya mesin pabrik yang rusak dalam
satu hari

64. Karakteristik Variabel
Random Poisson
1. Percobaan terdiri dari menghitung banyaknya sukses yang terjadi
dari suatu kejadian khusus yang terjadi selama suatu unit waktu
tertentu, atau dalam suatu area atau volume tertentu (atau berat,
jarak, atau sembarang unit pengukuran)
2. Probabilitas bahwa suatu kejadian terjadi dalam suatu unit
pengukuran tertentu adalah sama untuk seluruh unit
3. Banyaknya kejadian yang terjadi dalam satu unit pengukuran
independen terhadap banyaknya kejadian yang terjadi dalam
unit-unit lain.
4. Rataan (atau harapan) banyaknya kejadian dalam suatu unit akan
dinotasikan dengan huruf Yunani, 

65. Fungsi Distribusi Probabilitas
Poisson
 ) ...),2,1,0(
!
);( ==

x
x
te
txp
xt



λt = rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi per
satuan waktu atau daerah
x = banyaknya kejadian per unit
e = 2.71828 . . .

66. Rataan & Variansi Variabel
Random Poisson
.0
.2
.4
.6
.8
X
P(X)
 = 0.5
Rataan
tm = .0
0 1 2 3 4 5
X
.0
.1
.2
.30
2
4
6
8
10
X
P(X)
 = 6Variansi
tm =
ts =2

67. Contoh Distribusi Poisson
• Dalam sebuah eksperimen di laboratorium nuklir,
rata-rata jumlah partikel radioaktif yang melewati
sebuah pencacah (counter ) adalah 5 tiap milidetik.
Tentukan peluang 8 partikel akan lewat dalam selang
waktu 1 milidetik.waktu 1 milidetik.

68. Jawab
• Dalam kasus ini λt =5 dan x = 8, dengan menggunakan
tabel distribusi Poisson diperoleh
 )  )  ) 0653.08666.09319.05;5;
!8
5
)5;8(
7
0
8
0
85
====  ==

xx
xpxp
e
p

69. Soal
Seorang karyawan administrasi
bertugas memasukkan 75 kata
per menit dengan 6
error/kesalahan per jam.
Berapakah probabilitas iaBerapakah probabilitas ia
membuat 0 kesalahan dalam
255 transaksi kata yang dibuat?

70. Jawab: (Menentukan *
terlebih dahulu)
• 75 kata/menit = (75 kata/menit) =
= 4500 kata/jam
• 6 errors/jam= 6 errors/4500 kata• 6 errors/jam= 6 errors/4500 kata
= .00133 error/kata
• Dalam 255-transaksi kata (interval):
 = (.00133 error/kata)(255 kata)
= .34 error/255-transaksi kata

71. Jawab: Menentukan p(0)
-
( )
!
x
e
p x
x


=
 )
0 -.34
!
.34
(0) .7118
0!
x
e
p = =

72. DISTRIBUSI PROBABILITAS
VARIABEL RANDOM KONTINU

73. DISTRIBUSI UNIFORM

74. • Salah satu distribusi kontinu yang cukup sederhana
adalah distribusi uniform. Fungsi densitas distribusi
dicirikan oleh bentuknya yang datar (flat) dan
seragam dalam interval tertutup, misalkan [a, b].
Fungsi densitas peluang dari variabel random uniformFungsi densitas peluang dari variabel random uniform
X pada selang [a, b] adalah







=
lainyang0
jika
1
)(
bxa
abxf

75. Fungsi densitas peluang suatu variabel
random uniform dalam interval [a, b]

76. Contoh
• Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk
rapat yang lamanya tidak lebih dari 4 jam.
Misalkan X adalah variabel random yang
menyatakan waktu rapat, yang berdistribusimenyatakan waktu rapat, yang berdistribusi
seragam.
• Tentukan fungsi densitas peluang X.
• Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3
jam atau lebih.

77. Jawab
 )





===
lainnya,0
40,
4
1
sehingga,4,0
x
x
xfba
 )
4
1
4
3
4
4
|
4
1
4
1
3 4
3
4
1
==== =
=
x
xxdxXP

78. Contoh Distribusi Uniform
Di suatu perusahaan pembuat soft drink,
suatu mesin yang disetel mengeluarkan
minuman sebanyak 12 oz sesungguhnya
akan mengeluarkan antara 11.5 and
12.5 oz. Anggap banyaknya minuman12.5 oz. Anggap banyaknya minuman
yang dikeluarkan berdistribusi uniform.
Berapakah probabilitas minuman yang
dikeluarkan kurang dari 11.8 oz?
SODA

79. Distribusi Uniform
f(x)
1 1
12.5 11.5
1
1.0
1
d c
=
 
= =
1.0
P(11.5  x  11.8) = (Base)/(Height)
= (11.8– 11.5)/(1) = .30
11.5 12.5
x
11.8
1.0
1
= =

80. DISTRIBUSI NORMAL

81. Keutamaan Distribusi Normal
1. Distribusi normal adalah distribusi yang paling
penting di antara distribusi statistik yang lain.
2. Menggambarkan banyak fenomena yang
terjadi di alam, industri, dan penelitian.terjadi di alam, industri, dan penelitian.
3. Dapat digunakan untuk meng-aproksimasi
distribusi probabilitas diskrit lainnya
(binomial, Poisson)
4. Dasar dalam statistik inferensi klasik

82. Distribusi Normal
1. ‘Bell-shaped’ &
simetris
2. Rataan, median,
modus sama
f(x )
modus sama
x
Rataan
Median
Modus

83. Fungsi Densitas Probabilitas
Variabel Random Normal
 )
=

xexf
x
-,
2
1
)(
2
2
2
1
m
s
s
µ = Rataan variabel random x
s = Deviasi standar
π = 3.1415 . . .
e = 2.71828 . . .

84. Probabilitas Distribusi Normal
Probabilitas
adalah luas
daerah dibawah
kurva
= )( 21 xXxP
 )  ) 

2
1
221
2
1 x
x
x
dxe sm
s

86. • luas daerah di bawah kurva normal antara x =
x1 dan x = x2 juga bergantung pada nilai rataan
μ dan deviasi standar σ.
• Masalah integral fungsi padat normal
dipecahkan menggunakan tabel luas untuk
setiap nilai µ dan σ.

87. f(x)
Distribusi Normal Tidak Baku
Distribusi normal bergantung
pada nilai rataan μ dan deviasi
standar σ
Setiap distribusi
memerlukan tabel sendiri
x
f(x)
Banyaknya tabel
tak hingga!

88. Membawa ke bentuk
Standar/Baku
Distribusi Normal
s s
Distribusi Normal
Baku
z =
x  m
s
xm
s
Butuh satu tabel saja!
m = 0
s = 1
z

89. Distribusi Normal Baku
Distribusi normal baku adalah distribusi normal
dengan µ = 0 dan s = 1. Suatu variabel random yang
berdistribusi normal baku dinotasikan dengan z =
variabel random normal bakuvariabel random normal baku

90. Cara Membaca Tabel Normal

91. Mencari luas di bawah kurva
di sebelah kanan z = 1.64  P(Z ≥1.64)
• Luas daerah dibawah kurva di sebelah kanan z =
1.64 sama dengan 1 dikurangi luas area dalam
tabel Normal (yaitu daerah di sebelah kiri z =
1.64) sehingga sama dengan 1 – 0.9495 = 0.0505
zz

92. Mencari luas di bawah kurva
P(- 1.85 < Z< 0.78)
• Luas daerah untuk z terletak di antara – 1.85 dan 0.78
sama dengan luas area di sebelah kiri z = 0.78
dikurangi luas area di sebelah kiri z = -1.85. Dari tabel
luas tersebut sama dengan 0.7823 – 0.0322 = 0.7501
- 1.85 0.78

93. Contoh Soal
Di bagian pengendalian kualitas GE
usia bola lampu diasumsikan
berdistribusi normal dengan m = 2000
jam dan s = 200 jam. Berapakah
probabilitas suatu bola berusia
(menyala selama)
A. Antara 2000 dan 2400
jam?
B. Kurang dari 1470 jam?

94. Distribusi Normal
Baku
Jawab: P(2000 ≤ X ≤ 2400)
Distribusi Normal
z =
x  m
s
=
2400  2000
200
= 2.0
Baku
zm = 0
s = 1
2.0xm = 2000
s = 200
2400
.4772

95. Distribusi Normal
Standar
Jawab: P(x  1470)
Distribusi Normal
z =
x  m
s
=
1470  2000
200
= 2.65
zm = 0
s = 1
–2.65
Standar
xm = 2000
s = 200
1470
.0040 .4960
.5000

96. Contoh Soal
• Suatu pesanan kain tekstil dari pembeli kain katun
dengan spesifikasi tiap rol kain yang diinginkan
memiliki panjang 10 ± 0.01 meter. Rol kain yang
tidak kategori tersebut tidak diterima pembeli.
Diketahui proses produksi rol kain tersebutDiketahui proses produksi rol kain tersebut
berdistribusi normal dengan rataan μ=10 dan standar
deviasi σ=0.005. Secara rata-rata berapa banyak
produksi rol kain yang ditolak?

97. Jawab
• Distribusi panjang rol kain ditunjukkan dalam
gambar. Nilai z yang berpadanan untuk x1 = 9.99 dan
x2 = 10.01 adalah
00.2
005.0
1099.9
1 =

=

=
s
mx
z 00.2
005.0
1001.10
2 =

=

=
s
mx
z
005.0s
 )  )0.20.201.1099.9 = ZPXP

98. Pendekatan Normal untuk Binomial

99. Pendekatan Normal untuk
Binomial
Jika X suatu variabel random dengan rataan
dan variansi
Maka bentuk limit distribusinya adalah sebagaiMaka bentuk limit distribusinya adalah sebagai
untuk n  ∞ merupakan suatu distribusi normal, n
~ (0,1)

101. • Probabilitas seorang pasien sembuh dari
penyakit darah langka adalah 0,4. Jika 100
orang diketahui terkena penyakit ini, maka
berapa probabilitas paling sedikit 30 orang
yang mampu bertahan?

102. Continuity Correction
• Misalkan X adalah variabel random binomial
dengan parameter n dan p. Untuk n yang
cukup besar X mendekati distribusi normal
dengan μ = np dan σ2= npq = np(1- p) dan
Pendekatan ini akan cukup baik jika np dan
n(1−p) lebih besar atau sama dengan 5 (beberapa
menyarankan 10)