Your SlideShare is downloading. ×
UCLA Decanato de Ingeniería Civil
Departamento de Hidráulica y Sanitaria

PROBLEMARIO DE HIDROLOGIA APLICADA
A LA INGENIER...
INDICE DE CONTENIDO
Pagína
ii
iv
v

INDICE DE CONTENIDO
INDICE DE TABLAS
INDICE DE FIGURAS
CAPITULO I. GENERALIDADES
1.0
I...
CAPITULO VI
6.1
Tránsito por embalses
6.2
Tránsito por cauces naturales
6.3
Problemas relativos a el tránsito por el embal...
INDICE DE TABLAS

Tabla No.
1
2
3
4
5

Gumbel
Número de curva de escorrentía para complejo
hidrológico suelos-cobertura, p...
INDICE DE FIGURAS
Figura
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
5.1
6.1
6.2
6.3
7.1

Relación lluvia – Escorrentía
Hidrograma de esco...
CAPITULO I
1.0

Introducción

La hidrología es una disciplina muy importante para el ingeniero civil ya
que estudia el agu...
2

CAPITULO II
2.0

Distribución espacial de la precipitación

Desde el punto de vista espacial, la precipitación no se di...
3

2.1.2 Polígono de Thiessen

Este método es aplicado a zonas con una distribución irregular de las estaciones y
en dónde...
4

At :
Pm:
n:

área total de la cuenca.
precipitación media
número de isoyetas adyacentes

El método de las isoyetas es f...
5

2.2

Problemas relativos a la distribución espacial de la precipitación

PROBLEMA 2.2.1
En la figura y cuadro adjuntos ...
6

Calculando las respectivas áreas, se tiene:
Estaciones
P1
P2
P3
P4
P5

Área (Km2) Precipitación (mm)
11.5
16.5
13
12.5
...
7

De esta forma, puede elaborarse el cuadro siguiente, en el cuál el valor de la
columna precipitación corresponde al pro...
8

PROBLEMA 2.2.3

En la figura, las líneas delgadas identifican la delimitación de la cuenca y
subcuencas que como puede ...
9

SOLUCIÓN

En la figura adjunta se muestran los polígonos de Thiessen trazados para la cuenca.

Para cada subcuenca pued...
10

Aplicando ahora la ecuación (2.2) para el mes 2, la precipitación media en la cuenca
será:
Pm =

54mm * (8 + 8.5) Km 2...
11

SOLUCIÓN:

Se mide el área Aj entre cada par de isoyetas en la cuenca y se multiplica por el promedio
Pj de las profun...
12

CAPITULO III
3.0

Aplicaciones de la teoría de las probabilidades a la hidrología

El cálculo de un valor específico p...
13

Pr ob( X ≤ x0 ) = Px ( x0 ) = ∑ p x ( x0 )

(3.2)

∀x

Esta función es positiva, comprendida entre cero y uno, y es si...
14

Se define como función de distribución acumulada, FDA, de la variable X a la
probabilidad de que la variable aleatoria...
15

Cuadro 3.1 Formulas para la probabilidad experimental
Método

Probabilidad(P)

Método

Probabilidad (P)

Weibull

m
n ...
16

xp:
S:

donde:

promedio
desviación típica

Cada valor x de la muestra puede ser expresado en términos de la variable ...
17

1
1 + 0.33267 Z
el error de esta aproximación es menor de 10-5
V =

(3.20)

Otra aproximación usual es la de Masting:
...
18

1
2π

F (Z ) =

3.3.5

∫

z

e

−

Z2
2

−∞

dZ

(3.25)

Distribuciones de valores extremos

Una muestra de valores ex...
19

Gumbel obtuvo valores modificados minimizando la suma de los cuadrados de los
errores perpendiculares a la recta de aj...
20

3.5

Problemas de probabilidad aplicados a la hidrología

PROBLEMA 3.5.1

Para una estación de precipitación se tiene ...
21

−

120.91 = X +

(4.6 − 0.5128)
* σx
1.0210

resolviendo, se obtiene:
σx = 12.40 mm

−

X = 71.27 mm

Conocidas la med...
22

se obtiene:

Y = 3.702

De acuerdo al cuadro del apéndice 1 este valor de Y correspondería a un período de retorno
de ...
23

reemplazando valores en la ecuación (3.31) para x = 450 m3/s:

P( X ≥ 450) = 1 − e − e

−0.0034 ( 450 − 250.9 )

P(X ≥...
24

α=

1.281 1.281
=
= 0.0463
Sx
27.65
−

β = X − 0.45 * Sx = 85.25 − 0.45 * 27.65 = 72.81
sustituyendo en la ecuación (3...
25

En este caso debe aplicarse la ecuación (3.29) que es la correspondiente a la
distribución Gumbel; para ello debe tene...
26

a.

Utilizando la tabla correspondiente del anexo 1 y para n = 60, se tiene:
Yn = 0.5521

σn = 1.1750

Así mismo, para...
27

d.
Para calcular el riesgo de que ocurra una creciente de 100 años de período de
retorno en un lapso de 8 años debe co...
28

b.
En temporada alta la disponibilidad de agua, incluyendo el pozo de temporada baja,
será de: 16 pozos * 25 lps / poz...
29

R = 1 – P(0) = 1 – 0.6648 = 0.3352
De la misma forma para un período de retorno de 100 años:

P ( X ≥ x) =

P (0) =

1...
30

−

(X − X )
z=
Sx
de donde:

ó:

− 0.8416 =

( X − 242.9)
79.7

X = 175.82 mm.

La lámina aprovechable será entonces: ...
31

P(X≥x) = 0.02
Para esta probabilidad de excedencia el valor de la variable tipificada será z =
2.0537 y reemplazando e...
32

a. Realizar la prueba de ajuste a distribución extrema tipo I, considerando un delta
máximo de 0.27
b. Calcular el cau...
33

Como puede observarse, el máximo valor calculado de delta es igual 0.0999 el cuál
es menor que el delta máximo permiti...
34

CAPITULO IV
4.0

Hidrograma de escorrentía

4.1

Coeficiente de escorrentía

La escorrentía es consecuencia directa de...
35

expresión integral de las características fisiográficas y climáticas que gobiernan la relación
lluvia-escorrentía de u...
36

4.3

Separación del caudal base

El caudal que circula por un cauce puede tener dos componentes: uno proveniente
de la...
37

Figura 4.4 Método de las tangentes para la separación de Qb

4.4

Hidrograma unitario

El hidrograma unitario se defin...
38

En otras palabras, el escurrimiento directo es generado durante un intervalo de
tiempo que no necesariamente es igual ...
39

4.5

Cálculo de HU para diferentes duraciones efectivas

Si se tiene un hidrograma unitario correspondiente a una dura...
40

Figura 4.7 Método de la curva “S”

En algunos casos la curva “S” puede presentar oscilaciones que serán necesarias
cor...
41

4.6

Problemas relativos a Hidrogramas

PROBLEMA 4.6.1
Una tormenta de 6 horas de duración total ocurre en una cuenca ...
42

4.
El Hidrograma Unitario, HU, de la cuenca se determina dividiendo cada uno de los
valores de caudal de escorrentía d...
43

PROBLEMA 4.6.2
Es una cuenca de 0.5 Km2 determine el índice φ , la infiltración acumulada, la
precipitación efectiva a...
44

Este valor de Le supera largamente al valor de 35.28 mm por lo que deberá
asumirse un valor mayor de φ ; este procedim...
45

proporcionado como dato del problema. Este procedimiento permitiría formar el sistema de
ecuaciones que se muestra en ...
46

PROBLEMA 4.6.4
Sobre una cuenca dada ocurre el siguiente evento de precipitación:

Tiempo (h)

Precipitación Acumulada...
47

T(h)
1

Qd(m3/s)
4.5

HU*Pe0-1
X1*2.5

HU*Pe1-2

HU*Pe2-3

2

84.45

X2*2.5

X1*4

3

349.3

X3*2.5

X2*4

X1*6.5

4
5...
48

(ΣHU (m 3 / s ) / mm * 3600 s
= 846.468 * 10 6 m 2
0.001m / mm
A= 846.468 km2
A=

PROBLEMA 4.6.5
Tres subcuencas A, B ...
49

SOLUCIÓN.
1.

Calculo del HU de 1 hora, por el método de deconvolución:

Se realiza un sistema de ecuaciones teniendo ...
50

T(h)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5

HU(m3/s)/mm
1 hora
0
0.9
15.92
42.8
20.054
7.3
2.769
0.9

Como la precipitación en el hi...
51

2.3 Precipitación efectiva:
Pe0-2 = 15.7 mm – 4.65 mm/h * 2h = 6.4 mm
Pe2-4 = 11.4 mm – 3.91 mm/h * 2h = 3.58 mm
Pe4-6...
52

El hidrograma unitario de ½ hora para ambas cuencas es el siguiente:
t(h)
0
3
HU(m /s/mm) 0

0.5
0.47

1.0
2.12

1.5
2...
53

T(h)

HU(m3/s)/mm HU(m3/s)/mm)
1/2 hora

0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5

0
0.47
2.12
2.6
2.24
1.65
1.06
0.59
0.3
...
54

Extrema Tipo I. Dicha información indica que la probabilidad de exceder la lámina de 80
mm en una hora es del 29 %, mi...
55

−0.031( x −45.45 )

0.0667 = 1 − e−e

Sustituyendo:

el valor de x, (precipitación en la segunda hora), será:

P02= 13...
56

T(horas) HU 1 hora Qd=HU*140.63 Qd=HU*124.88 Qd=HU*112.26
(m3/s/mm)
m3/s
m3/s
m3/s
0
0
0
0.33
0.1
14.06
0.67
0.44
61.8...
57

Nd =

Tb
Du

donde:
Nd:
Tb:
Du:

número mínimo de desplazamientos
tiempo base del hidrograma unitario en h
duración de...
58

Curva S Corregida

T(h)

CSC

CSCD

CSC - CSCD HU(m3/s)/mm
3h
(CSC-CSCD)*4/3
0
0
6
8
36
48
91
121.33
106
141.33
93
124...
59

Como puede apreciarse, para determinar el hidrograma unitario de 3 horas se resta de la
curva S corregida la curva S, ...
60

Pe 1.5-3 = 30 mm – 5 mm/h*1.5 h =22.5 mm
Pe 3-4.5= 25 mm – 5 mm/h*1.5 h =17.5 mm
Para determinar el hidrograma unitari...
61

El HU de 1.5 horas de duración será entonces:
T(h)

CSC

0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5

0
1.4
5.19
8.5
10.14
10.9
11.1...
62

CAPÍTULO V
5.1

Método de la curva número

La relación entre la escorrentía y la lluvia que la origina ha sido objeto ...
63

( P − Ia) 2 − ( P − Ia) * Q = Q * S
( P − Ia) 2 = Q * S + Q * ( P − Ia)
( P − Ia) 2 = Q * ( S + ( P − Ia))
Q=

( P − I...
64

Las condiciones hidrológicas pueden aproximarse a partir del grado de cobertura vegetal
del área en estudio, de la for...
65

Figura 5.1. Curvas adimensionales de tormentas (SCS, 1958)

Sin embargo, es recomendable tratar de obtener curvas cara...
66

El procedimiento a seguir puede resumirse en los siguientes pasos:
•
•

La duración de la lluvia total se divide en in...
67

5.3

Problemas de aplicación de la Curva Número

PROBLEMA 5.3.1

Una cuenca tiene 47.36 Km de longitud máxima de recor...
68

Luego el intervalo de trabajo será:
IT ≤ 0.25 Tp IT ≤ 0.25* 4 h IT ≤ 1.0 h.
El resultado indica que el evento de tres ...
69

CNII = 88→CNI = 75.49
CNII = 82→CNI = 65.675
CNII = 75→CNI = 55.75
Como existen 3 sectores de la cuenca con diferentes...
70

hidrograma generado por la escorrentía directa de la primera hora se calculan procediendo
de forma similar.
Los hidrog...
71

PROBLEMA 5.3.2
Una cuenca de 15 Km2 de área total tiene 6 Km2 con curva número 60, 5 Km2 con curva
número 85, el resto...
72

T/Tp

qt/qp

T(h)

Qd1(m3/s) Qd2(m3/s) Qd3(m3/s) Qd4(m3/s) Qd5(m3/s) Qd6(m3/s) Qdt(m3/s)

0

0

0

0

0.25

0.12

1

0...
73

CAPITULO VI
6.1

Tránsito por embalses

Un embalses es una estructura de almacenamiento que permite regular el escurri...
74

El tránsito a través del embalse es el procedimiento por medio del cuál se
determina el hidrograma de salida, conocido...
75

I1 + I 2 +

2 * S1
2* S2
− O1 =
+ O2
∆t
∆t

(6.2)

La ecuación (6.2) tiene dos incógnitas; para resolverla se construy...
76

6.2

Tránsito por cauces naturales

El método de Muskingum es un procedimiento de tránsito hidrológico que se usa
comú...
77

por continuidad:

∆S =

(I1 + I 2) ∆t − (O 2 − O1) ∆t
2

(6.6)

2

igualando (6.5) y (6.6):
K [x(I 2 − I1) + (1 − x )(...
78

6.3

Problemas relativos a el transito por el embalse y transito por el cauce

PROBLEMA 6.3.1
A un tramo de un río, co...
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Ave
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Ave

1,390

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
1,390
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
94
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Ave"

  1. 1. UCLA Decanato de Ingeniería Civil Departamento de Hidráulica y Sanitaria PROBLEMARIO DE HIDROLOGIA APLICADA A LA INGENIERIA CIVIL Autor: Oberto R., Livia R. Barquisimeto, 2003
  2. 2. INDICE DE CONTENIDO Pagína ii iv v INDICE DE CONTENIDO INDICE DE TABLAS INDICE DE FIGURAS CAPITULO I. GENERALIDADES 1.0 Introducción 1.1 Justificación 1.2 Objetivo 1 1 1 CAPITULO II 2.0 Distribución espacial de la precipitación 2.1 Cálculo de la precipitación media 2.1.1 Promedio aritmético 2.1.2 Polígono de Thiessen 2.1.3 Métodos de las Isoyetas 2.2 Problemas relativos a la distribución espacial de la precipitación 2 2 2 2 3 4 CAPITULO III. 3.0 Aplicación de la teoría de las probabilidades a la Hidrología 3.1 Distribución normal o Gaussiana 3.2 Distribución log-normal de 2 parámetros 3.3 Distribución log-normal de 3 parámetros 3.4 Distribución de valores extremos 3.5 Problemas de probabilidad aplicados a la hidrología 11 11 12 13 14 16 CAPITULO IV 4.0 Hidrograma de escorrentía 4.1 Coeficiente de escorrentía 4.2 Hidrograma de crecientes 4.3 Separación del caudal base 4.4 Hidrograma Unitario 4.5 Cálculo de Hu para diferentes duraciones efectivas 4.6 Problemas relativos a Hidrogramas 31 31 32 33 34 36 38 CAPITULO V 5.1 Método de la curva número 5.2 Distribución del evento en el tiempo 5.3 Problemas de aplicación de la Curva Número 59 61 64 ii
  3. 3. CAPITULO VI 6.1 Tránsito por embalses 6.2 Tránsito por cauces naturales 6.3 Problemas relativos a el tránsito por el embalse y tránsito por el cauce 70 73 75 CAPITULO VII 7.1 7.2 Hidrograma de C.O Clark 86 Problemas de aplicación del Hidrograma Unitario Instantáneo 88 CAPITULO VIII 8.1 Demanda de riego 8.2 Problemas relativos a la demanda de riego 108 110 CAPITULO IX 9.1 Operación de embalse 9.2 Problemas de aplicación de la operación de embalse 114 115 BIBLIOGRAFÍA ANEXO 1 ANEXO 2 ANEXO 3 123 124 126 129 iii
  4. 4. INDICE DE TABLAS Tabla No. 1 2 3 4 5 Gumbel Número de curva de escorrentía para complejo hidrológico suelos-cobertura, para condiciones de humedad antecedente II e Ia = 0.20 Número de curva (CN) para otras condiciones Coeficiente de desarrollo foliar para el cálculo de la evapotranspiración Coeficiente de densidad de enraizamiento, r, Para el cálculo del umbral óptimo de riego (Norero,1976) iv Página 125 127 128 130 130
  5. 5. INDICE DE FIGURAS Figura 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 5.1 6.1 6.2 6.3 7.1 Relación lluvia – Escorrentía Hidrograma de escorrentía Separación del caudal base del Hidrograma Método de las tangentes para la separación de Qb Determinación de la duración efectiva de la lluvia Cálculo de HU de 2t horas a partir del HU de t horas Método de la curva “ S “ Curva adimensionales de tormentas(SCS,1958) Volúmenes característicos en un embalse Esquema del transito de una creciente a través de un embalse Esquema del transito por cauces naturales Líneas de igual tiempo de viaje Isocronas v Página 31 32 33 34 35 36 37 62 70 71 73 86
  6. 6. CAPITULO I 1.0 Introducción La hidrología es una disciplina muy importante para el ingeniero civil ya que estudia el agua en la tierra, su distribución y circulación, lo que le permite por diferentes métodos y procedimientos cuantificar el agua que llega a un punto determinado. Ello es información básica imprescindible para el diseño de puentes, estructuras para control de avenidas, presas, vertederos, sistemas de drenaje para poblaciones, carreteras, sistemas de abastecimiento de agua y otras estructuras similares. Una de las dificultades que encuentra el estudiante de ingeniería es la falta de bibliografía asociada al planteamiento y solución de problemas similares a los que se le puedan presentar en su ejercicio profesional. Ello ha motivado la elaboración del presente trabajo de problemas resueltos de hidrología, los cuáles pretender ayudar al estudiante a comprender mejor la enseñanza teórica que se les imparte, encaminándolos de forma sencilla y clara a la aplicación de esos conocimientos con ejemplos prácticos. 1.1 Justificación En la generalidad de los casos, los textos tradicionales de hidrología básica desarrollan sus ejemplos y aplicaciones prácticas utilizando información de cuencas cuyas condiciones físico ambientales, y de disponibilidad de información, son diferentes al entorno regional y nacional en el cual se desenvolverá el futuro ingeniero civil. Un ejemplo típico lo constituye el tópico de cálculo de la evapotranspiración y las demandas de riego, los cuáles usualmente se hacen a partir de ecuaciones basadas en información climática que usualmente no están disponibles en la mayoría de las cuencas locales. Adicionalmente, se estima conveniente que el estudio de los diferentes procesos que integran el ciclo hidrológico se presenten de manera interrelacionada, tal como sucede en la naturaleza. Por lo expuesto, se considera que el material aquí presentado constituye un valioso aporte a la formación del futuro ingeniero civil 1.2 Objetivo Elaborar un conjunto de ejemplos y problemas típicos que sirvan como material de apoyo en el aprendizaje de la hidrología básica para el ingeniero civil.
  7. 7. 2 CAPITULO II 2.0 Distribución espacial de la precipitación Desde el punto de vista espacial, la precipitación no se distribuye de manera uniforme en el ámbito de la cuenca, debido principalmente a los mecanismos de generación de la lluvia y a las características altitudinales de la hoya hidrográfica. De allí que uno de los aspectos iniciales de la hidrología es la estimación de la precipitación representativa para el conjunto del área en estudio. Usualmente, este valor representativo puede tomarse como el promedio aritmético del conjunto de las estaciones existentes o como el valor ponderado por un área de influencia determinado. En este segundo caso, el problema a resolver será la estimación del área para el cuál el valor puntual, medido en una estación, es representativo. 2.1 Cálculo de la precipitación media Para la estimación de la precipitación media existen 3 métodos usuales: • • • Promedio aritmético Polígono de Thiessen Isoyetas. 2.1.1 Promedio aritmético Es el más simple de los procedimientos para determinar la lluvia promedio sobre un área, se promedian las profundidades de lluvia que se registran en un número dado de pluviómetros. Este método es satisfactorio si los pluviómetros se distribuyen uniformemente sobre el área y sus mediciones individuales no varían de manera considerable de la media. Pm = P1 + P 2 + P3 + ......... + Pn n (2.1) donde: Pm: P1, P2,P3…Pn: n: precipitación media precipitación en cada una de las estaciones número de estaciones 2
  8. 8. 3 2.1.2 Polígono de Thiessen Este método es aplicado a zonas con una distribución irregular de las estaciones y en dónde los accidentes topográficos no juegan un papel importante en la distribución de la precipitación. El cálculo se inicia ubicando en los mapas las estaciones de precipitación ubicadas en la cuenca y en las áreas circunvecinas. Se unen estas estaciones con trazos rectos, tratando de formar triángulos, cuyos lados sean de la mínima longitud posible; después de que los triángulos hayan sido dibujados, se trazan las mediatrices de todos los lados, con lo que se formarán unos polígonos alrededor de cada estación. Se determina el área de cada polígono y, a partir de su relación con el área total, se obtiene un coeficiente de ponderación para cada estación. La precipitación media resultante de la sumatoria de los productos de las lluvias registradas en cada estación por su área correspondiente, entre el área total: n Pm = ∑ Ai * Pi i =1 At (2.2) para: A i: Pi: A t: Pm: n: área del polígono i precipitación en la estación i área total de la cuenca precipitación media sobre la cuenca número de polígonos 2.1.3 Métodos de las Isoyetas Utilizando las profundidades que se observan en los pluviómetros, e interpolando entre pluviómetros adyacentes, se unen los puntos de igual profundidad de precipitación, (de modo semejante a como se trazan las curvas de nivel en topografía). Una vez que el mapa de Isoyetas se construye, se mide el área Aj entre cada par de Isoyetas en la cuenca y se multiplica por el promedio Pj de las profundidades de la lluvia de las dos isoyetas adyacentes para calcular la precipitación promedio sobre el área mediante la ecuación: n Pm = ∑ Aj * Pj j =1 At (2.3) donde: Aj : Pj : área entre cada par de Isoyetas promedio de las profundidades de lluvia de dos isoyetas adyacentes. 3
  9. 9. 4 At : Pm: n: área total de la cuenca. precipitación media número de isoyetas adyacentes El método de las isoyetas es flexible, y el conocimiento de los patrones de la tormenta pueden influir en la gráfica de las mismas, pero es necesario una red de medidores más o menos densa para construir correctamente el mapa de Isoyetas de una tormenta compleja. 4
  10. 10. 5 2.2 Problemas relativos a la distribución espacial de la precipitación PROBLEMA 2.2.1 En la figura y cuadro adjuntos se muestran la ubicación de 5 estaciones de precipitación de una cuenca dada, así como los valores de precipitación anual, en milímetros. Calcular la precipitación media anual en la cuenca aplicando el método de polígonos de Thiessen, si cada cuadricula del gráfico equivale a 1 kilómetro cuadrado. Estación P1 P2 P3 P4 P5 Precipitación anual (mm) 800 600 900 400 200 SOLUCIÓN El primer paso para la solución del problema es el trazado de los polígonos de Thiessen, los mismos que se aprecian en el gráfico adjunto. 5
  11. 11. 6 Calculando las respectivas áreas, se tiene: Estaciones P1 P2 P3 P4 P5 Área (Km2) Precipitación (mm) 11.5 16.5 13 12.5 11.5 65 800 600 900 400 200 A*P 9200 9900 11700 5000 2300 38100 Aplicando la ecuación (2.2) se obtiene: Pm = 38100 Km 2 * mm = 586.15mm 65 Km 2 PROBLEMA 2.2.2 Resolver el problema anterior por el método de las isoyetas. SOLUCIÓN Con la información proporcionada se construyen las isoyetas, tal como se muestra en el gráfico. Luego se mide el área encerrada por cada par de las isoyetas adyacentes, como por ejemplo la correspondiente a los valores 800 y 900 mm que se destaca en la figura. 6
  12. 12. 7 De esta forma, puede elaborarse el cuadro siguiente, en el cuál el valor de la columna precipitación corresponde al promedio de los valores de las isoyetas adyacentes: Isoyetas Áreas Precipitación Area*Precipitación (mm) (Km2) (mm) (Km2*mm) 900 6 900 5400 900-800 8 850 6800 800-700 700-600 600-500 500-400 400-300 300-200 200 9 7 8.5 8.5 8 6 4 65 750 650 550 450 350 250 200 6750 4550 4675 3825 2800 1500 800 37100 Aplicando ahora la ecuación (2.3) se tiene: Pm = 37100 Km 2 * mm = 570.77 mm 65 Km 2 7
  13. 13. 8 PROBLEMA 2.2.3 En la figura, las líneas delgadas identifican la delimitación de la cuenca y subcuencas que como puede apreciarse son tres: SC1, SC2 y SC3. Cada cuadricula del gráfico puede asumirse igual a 1 Km2. Empleando el método de los polígonos de Thiessen, se pide calcular el volumen total de agua precipitada en cada una de las subcuencas, así como en el total de la cuenca, durante el mes 2, en millones de metros cúbicos, mmc. Precipitación (mm) Estación 1 2 3 4 Mes 1 170 70 50 35 Mes 2 54 30 9.1 4.6 Mes 3 49.6 22 7.5 3.1 Mes 4 30 21 10.3 5 8
  14. 14. 9 SOLUCIÓN En la figura adjunta se muestran los polígonos de Thiessen trazados para la cuenca. Para cada subcuenca puede determinarse el área, en km2, que es influenciada por cada estación de precipitación, obteniéndose el cuadro siguiente: Subc/Estación SC 1 SC2 SC3 Total P1 8 8.5 0 16.5 P2 8 0 9 17 P3 4.5 18.75 0 23.25 P4 0.75 3.25 31 35 Total 21.25 30.5 40 91.75 Como puede apreciarse, el área total de la cuenca es de 91.75 km2, correspondiendo superficies de 21.25, 30.5 y 40 km2 a las subcuencas 1, 2 y 3, respectivamente. Esta área total también puede expresarse en términos de cuál es la superficie de la cuenca influenciada por cada estación de precipitación lo cuál corresponde a valores de 16.5, 17, 23.25 y 35 km2. para las estaciones P1, P2, P3 y P4, respectivamente. 9
  15. 15. 10 Aplicando ahora la ecuación (2.2) para el mes 2, la precipitación media en la cuenca será: Pm = 54mm * (8 + 8.5) Km 2 + 30mm * (8 + 9) Km 2 + 9.1mm * (4.5 + 18.75) Km 2 + 4.6mm * (0.75 + 3.25 + 31) Km 2 = 19.33mm 91.75 Km 2 Este valor corresponde a la precipitación media sobre toda la cuenca; a partir del mismo, y considerando el área total, puede obtenerse el volumen total precipitado, Vp: V p = 0.01933m * 91750000m 2 = 1.77 *10 6 m 3 Lo cuál equivale a 1.77 millones de metros cúbicos, mmc. Procediendo de forma similar en cada una de las subcuencas, se tiene: Subcuenca 1: Pm1 = 54mm * 8 Km 2 + 30mm * 8Km 2 + 9.1mm * 4.5 Km 2 + 4.6mm * 0.75 Km 2 = 33.71mm 21.25 Km 2 V p1 = 0.0337 m * 21250000m 2 = 716337.5m 3 = 0.716mmc Subcuenca 2: Pm2 = 54mm * 8.5 Km 2 + 9.1mm * 18.75Km 2 + 4.6mm * 3.25 Km 2 = 21.13mm 30.5Km 2 V p 2 = 0.02113m * 30500000m 2 = 644465m 3 = 0.644mmc Subcuenca 3: Pm3 = 30mm * 9 Km 2 + 4.6mm * 31Km 2 = 10.315mm 40 Km 2 V p 3 = 0.010315m * 40000000 m 2 = 412600m 3 = 0.4126mmc PROBLEMA 2.2.4 Calcule la precipitación media de la cuenca, que tiene las siguientes isoyetas, (línea punteada), cada cuadro de la cuadricula vale 1 Km2. 10
  16. 16. 11 SOLUCIÓN: Se mide el área Aj entre cada par de isoyetas en la cuenca y se multiplica por el promedio Pj de las profundidades de lluvia de las dos isoyetas adyacentes; luego, aplicando la ecuación (2.3) se obtiene: Pm = 1000mm * 3.75Km2 + 950mm * 10 Km2 + 850mm * 7.25Km 2 750mm * 8.25Km2 + 650mm * 17 Km 2 + 550mm * 7.25Km2 53.5Km 2 Pm = 759.58mm 11
  17. 17. 12 CAPITULO III 3.0 Aplicaciones de la teoría de las probabilidades a la hidrología El cálculo de un valor específico para una variable hidrológica que se evalúa es uno de los aspectos básicos del análisis hidrológico en la ingeniería civil. Usualmente este valor específico, también denominado valor de diseño, está referido a valores máximos de precipitación en un intervalo dado o de caudal para una sección específica del cauce. En ambos casos, constituye una información básica para el posterior dimensionamiento y diseño de la estructura. Sin embargo, el procedimiento de cálculo implica, además de los aspectos númericos, los relativos a la posibilidad de que el valor de diseño sea igualado o excedido durante un evento cualesquiera o durante un número de eventos dado. Desde el punto de vista estadístico, las variables hidrológicas pueden considerarse como variables aleatorias continúas mientras que su ocurrencia efectiva para un evento, o un número de eventos dado, puede resolverse tratándolas como variables aleatorias discretas. 3.1 Funciones de probabilidad: variable discreta Un modelo probabilística asocia un valor de probabilidad a cada punto del espacio muestral; dicho modelo se denomina función de probabilidad de masa (FPM) y se designa por px(x0) y se define como la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X sea igual a x0. Para que una función matemática cualquiera se considere una función de probabilidad de masa debe cumplir las siguientes dos condiciones: • • Su valor debe estar comprendido entre 0 y 1 La sumatoria de todos los posibles valores de x debe ser igual 1 También conviene recordar que, a partir de la definición de variable condicionada, puede considerarse que dos variables aleatorias son independientes si: p xy ( x 0 , y 0 ) = p x ( x 0 ) p y ( y 0 ) (3.1) Se define como función distribución acumulada, FDA, a la función que define la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores menores o iguales a un valor dado: 12
  18. 18. 13 Pr ob( X ≤ x0 ) = Px ( x0 ) = ∑ p x ( x0 ) (3.2) ∀x Esta función es positiva, comprendida entre cero y uno, y es siempre creciente. Otro concepto que conviene recordar es el del valor esperado, éste se define como la sumatoria para todos los posibles valores de X del producto de la función por la FPM evaluada en el mismo punto que la función: E{g ( x)} = ∑ g ( x0 ) * p x ( x0 ) (3.3) ∀x En particular interesan algunos casos especiales de la función g(x): los correspondientes a las potencias enteras de x, las cuáles se denominan momentos de x: E ( x n ) = ∑ x n * p x ( x0 ) (3.4) La expresión (3.4) también puede definirse como la potencia centrada con respecto al valor esperado o momento central n-ésimo de x: { E ( x − E ( x) n 3.2 } (3.5) Funciones de probabilidad: variable continua La probabilidad asociada a una variable continua está representada por la función densidad de probabilidad, fdp. Si X es una variable aleatoria continua en el rango a – b, se tiene: b Pr ob(a ≤ x ≤ b) = ∫ f x ( x)dx (3.6) a donde: f x (x) : función densidad de probabilidades Figura 3.1. Area que representa la Prob(a ≤ x ≤ b) 13
  19. 19. 14 Se define como función de distribución acumulada, FDA, de la variable X a la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual a un valor dado: Pr ob( x ≤ x0 ) = FX ( x0 ) = x0 ∫f x ( x)dx (3.7) −∞ La función de distribución acumulada mide la probabilidad de que el valor de la variable sea menor o igual al valor x0; tiene las siguientes propiedades: FX (+∞) = 1 FX (−∞) = 0 Pr ob(a ≤ x ≤ b) = FX (b) − FX (a) FX (b) ≥ FX (a ) para: b≥a dFX ( x) = f x ( x) dx 3.3 (3.8) (3.9) (3.10) (3.11) Algunas distribuciones probabilísticas de uso frecuente en la hidrología 3.3.1 Distribución binomial Esta es una distribución de probabilidad discreta; en este caso la variable aleatoria K se define como el número de éxitos que ocurren en n ensayos; se define por la expresión: p K (k ) = C kn p k (1 − p) (1− k ) k = 1,2........n (3.12) siendo las combinaciones de k0 grupos en n elementos: C kn = n! k!(n − k )! (3.13) 3.3.2 Distribución de probabilidad empírica A esta distribución se le denomina también probabilidad experimental o frecuencia acumulada. Para su cálculo existen varias formulas algunas de las cuáles se presentan en el cuadro 3.1. 14
  20. 20. 15 Cuadro 3.1 Formulas para la probabilidad experimental Método Probabilidad(P) Método Probabilidad (P) Weibull m n +1 2 Chegadayev m − 0.3 n + 0.4 8 Tukey 3m − 1 3n + 1 n m m− 1 California Hazen n m− 3 Blom n+ 1 4 m−a n + 1 − 2a Gringorten Donde: P: m: n: a: probabilidad experimental o frecuencia relativa empírica número de orden número de datos valor comprendido en el intervalo 0 a 1 el valor de a depende de n, de acuerdo a: valor n valor a 10 20 30 40 50 0.448 0.443 0.442 0.441 0.44 60 0.44 70 0.44 80 0.44 90 100 0.439 0.439 Fuente. Villón, 1993 3.3.3 Distribución normal o Gaussiana Para esta distribución la función de densidad es: 1 f ( x) = e S 2π  1  x− x  −  &&& p  2 S       2    − ∞〈 x〈∞ (3.14) 15
  21. 21. 16 xp: S: donde: promedio desviación típica Cada valor x de la muestra puede ser expresado en términos de la variable reducida utilizando la expresión: Z= x − xp S con lo cuál la ecuación (3.14) se transforma en: f ( x) =  Z 2 −   2    1 e S 2π − ∞〈 Z 〈∞ (3.15) (3.16) La función de distribución acumulada, (FDA), es: x F ( x) = ∫ f ( x)dx = −∞ 1 S 2π ∫ x e −∞  1  x− x p −   2 S       2    dx (3.17) o su equivalente: 1 F (Z ) = 2π ∫ Z −∞ e  Z 2 −   2    dZ (3.18) Para resolver la ecuación (3.18) existen algunos métodos de aproximación entre los cuáles puede mencionarse el de Abramowitz y Stegun: F ( Z ) ≈ 1 − f ( Z )(0.043618V − 0.1217V 2 + 0.9373V 3 (3.19) donde: F(Z): función de distribución acumulada f(Z): función densidad de la variable estandarizada V se define para valores de Z mayores o iguales a cero como: 16
  22. 22. 17 1 1 + 0.33267 Z el error de esta aproximación es menor de 10-5 V = (3.20) Otra aproximación usual es la de Masting: F ( Z ) = 1 − f ( Z )(b1w + b2 w2 + b3 w3 + b4 w4 +b5 w5 ) (3.21) donde w es definido para Z mayor o igual a cero como: w= con: 1 1 + 0.2316419 Z (3.22) b1 = 0.319381530 b3 = 1.781477937 b5 = 1.330274429 b2 = -0.356563782 b4 = -1.821255978 el error de esta aproximación es menor de 10-8 . En ambas aproximaciones la FDA es (1 – F(Z) ) si Z < 0 el error de esta aproximación es menor de 10-5 3.3.4 Distribución Log-Normal de 2 parámetros En este caso la variable aleatoria X es positiva y el límite inferior x0 no aparece. La variable aleatoria Y = lnX es normalmente distribuida, con media µ y y varianza σ2y La función de densidad de Y es: f ( y) = 1 σy e 1  y−µ y  −   2 σ y    2 (3.23) donde: − ∞〈 y 〈∞ para: la función de distribución acumulada es: F ( y) = 1 2πσ y y ∫e 1  y−µ y −  2 σ y      2 dy (3.24) −∞ o, en términos de la variable reducida: 17
  23. 23. 18 1 2π F (Z ) = 3.3.5 ∫ z e − Z2 2 −∞ dZ (3.25) Distribuciones de valores extremos Una muestra de valores extremos se genera tomando una serie continua de datos, de longitud T, de la variable aleatoria x y dividiéndola en n submuestras, cada una de longitud m, de forma tal que T = n*m. Luego, en cada una de dichas submuestras se seleccionan valores de la variable x de acuerdo a un cierto criterio tal como la magnitud de la variable, un valor acumulativo o alguna propiedad. Tal proceso de selección generará una muestra de una nueva variable aleatoria, y, con una longitud n. Usualmente los criterios de selección están asociados a la ocurrencia de eventos máximos, tales como los caudales máximos, o mínimos, tal como las sequías. En ambos casos se tratan de eventos extremos. Una de las distribuciones de valores extremos para eventos máximos es la presentada por R.A. Fisher y L.H.C. Tippet: F ( x) = e − e −α ( x − β ) (3.26) donde: 0 ‹ α ‹∞ -∞ ‹ β ‹∞ es el parámetro de escala es el parámetro de posición, llamado también valor central o moda A esta distribución transformación: también se le denomina de Gumbel. Si se hace la y = α (x − β ) la ecuación (3.26) se transforma en: F ( x) = e − e −y (3.27) También: α= 1.281 σ β = µ − 0.45 * σ (3.28) 18
  24. 24. 19 Gumbel obtuvo valores modificados minimizando la suma de los cuadrados de los errores perpendiculares a la recta de ajuste de valores extremos.. Las ecuaciones que obtuvo son sólo función del tamaño de muestra y de los parámetros:  Y − yn XT = X +   σ n    *σ x   (3.29) donde: XT : X: σx : σn , yn : 3.4 valor de la variable correspondiente al período de retorno media de la serie de datos desviación estándar funciones de la longitud de la serie de datos, en la tabla Nº1 anexo 1. Prueba de bondad de ajuste Smirnov - Kolmogorov Esta prueba de ajuste consiste en comparar las diferencias, en valores absolutos, entre la probabilidad empírica y la probabilidad teórica seleccionada; de estas diferencias se toma el valor máximo, el cuál se denomina discrepancia máxima calculada. Dicho valor se compara con el valor de la máxima discrepancia permitida o valor crítico del estadístico Smirnov – Kolmogorov, el cuál es función del número de datos y del nivel de confiabilidad seleccionado, tal como se aprecia en el cuadro 3.2. Cuadro 3.2 Valores críticos del estadístico Smirnov Kolmogorov Tamaño de la Muestra (N) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 N>50 0.20 NIVEL DE SIGNIFICACIÓN ( α ) 0.10 0.05 0.01 0.45 0.32 0.27 0.23 0.21 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 1.07 N 0.51 0.37 0.30 0.26 0.24 0.22 0.20 0.19 0.18 0.17 1.22 N 0.56 0.41 0.34 0.29 0.27 0.24 0.23 0.21 0.20 0.19 1.36 N 0.67 0.49 0.40 0.36 0.32 0.29 0.27 0.25 0.24 0.23 1.63 N Fuente: Yevjevich, 1972 19
  25. 25. 20 3.5 Problemas de probabilidad aplicados a la hidrología PROBLEMA 3.5.1 Para una estación de precipitación se tiene información de 15 años de registro para profundidades máximas de lluvia para una duración de 02 horas. Los mismos indican que la lluvia correspondiente a dicha duración y a un periodo de 15 años de período de retorno, es de 97.52 mm. Análogamente, para un período de retorno de 100 años, y la misma duración, se tiene un valor de 120.91 mm. Con base a ello, y asumiendo que los datos se ajustan a una distribución Gumbel, se pide calcular: a. b. c. Profundidad de la lluvia correspondiente a 50 años de periodo de retorno. Probabilidad de que dicha lluvia sea igualada o excedida al menos una vez durante 30 años de vida útil de la estructura a diseñar. Si se toma 110 mm como valor de diseño. ¿Cuál será la probabilidad de que dicho valor sea igualado o excedido 2 veces durante un período igual a 2 veces su periodo de retorno. SOLUCION: a. Aplicando la ecuación (3.29): Los valores Yn y σn son función del número de datos, conforme al cuadro que se muestra en el anexo 1; el valor de Y depende del período de retorno Tr. Utilizando dicha tabla 1 para n = 15 datos se obtiene: Yn = 0.5128 σn = 1.0210 Análogamente, y utilizando la misma tabla se tiene: Tr = 15 años Tr = 100 años Y = 2.674 Y = 4.6 Aplicando nuevamente la ecuación (3.29) para los valores dados correspondientes a los períodos de retorno de 15 y 100 años de período de retorno puede formarse el siguiente sistema de ecuaciones: − 97.52 = X + (2.674 − 0.5128) * σx 1.0210 20
  26. 26. 21 − 120.91 = X + (4.6 − 0.5128) * σx 1.0210 resolviendo, se obtiene: σx = 12.40 mm − X = 71.27 mm Conocidas la media y la desviación típica puede aplicarse la ecuación (3.29) para un período de retorno de 50 años para el cuál Y = 3.9020, obtenido de la tabla del anexo 1: (3.9020 − 0.5128) * 12.40 1.0210 X = 71.27 + de donde: P = X50 = 112.43 mm. b. Por definición, la probabilidad de que un valor dado sea excedido al menos una vez durante un período de vida útil n, corresponde al riesgo: Riesgo = 1 – P(o) En donde el valor P(o) se obtiene aplicando la ecuación (3.12) con k = 0. También: P ( X ≥ x) = 1 Tr (3.30) luego: P ( X ≥ x) = 1 1 = = 0.02 Tr 50 luego: P (0) = 30! * (0.02)0 * (1 − 0.02)30 − 0 0!*(30 − 0)! P(0) = 0.545 Finalmente, el riesgo de que se presente una lluvia igual o mayor de 112.43 mm, al menos una vez durante un período de 30 años, es: R = 1 – P(0) = 1 – 0.545 = 0.455 R = 0.455 c. En este caso, aplicando la ecuación (3.29) para la precipitación de 110 mm: 110 = 71.27+ (Y − 0.5128) * 12.40 1.0210 21
  27. 27. 22 se obtiene: Y = 3.702 De acuerdo al cuadro del apéndice 1 este valor de Y correspondería a un período de retorno de Tr = 38.64 años ≈ 39 años; como el período de análisis, o vida útil, corresponde a dos veces este período de retorno: n = 2 * 39 = 78. Luego, aplicando (3.12) y teniendo en cuenta (3.30): P(k ) = n! * ( P( X ≥ x)) k * (1 − P( X ≥ x)) n − k k!*(n − k )! 78! 1 1 * ( ) 2 * (1 − )78 − 2 2!*(78 − 2)! 39 39 Finalmente, la probabilidad de que la precipitación 110 mm ocurra 2 veces en un período de 78 años es: P (2) = P(2) = 0.274 PROBLEMA 3.5.2 En una cuenca dada los caudales máximos anuales tienen un promedio de 421 m3/s y una desviación típica de 378 m3/s. Asumiendo que dichos caudales se ajustan a una distribución de probabilidades Extrema Tipo I, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra un caudal entre 450 y 600 m3/s? SOLUCIÓN: Aplicando la ecuación (3.26) para la probabilidad de excedencia, se tiene: P ( X ≥ x) = 1 − F ( x) = 1 − e − e −α ( x − β ) (3.31) Ecuación en la cuál α y β son los parámetros de la distribución e iguales a: α= 1.281 Sx − β = X − 0.45 * Sx reemplazando los valores dados: α= 1.281 1.281 = = 0.0034 378 Sx − β = X − 0.45 * Sx = 421 − 0.45 * 378 = 250.9 22
  28. 28. 23 reemplazando valores en la ecuación (3.31) para x = 450 m3/s: P( X ≥ 450) = 1 − e − e −0.0034 ( 450 − 250.9 ) P(X ≥ 450) = 0.398 Análogamente para x = 600 m3/s: P ( X ≥ 600) = 1 − e − e −0.0034 ( 600 − 250.9 ) P(X ≥ 600) = 0.263 Finalmente: P(450 ≤ X ≤ 600) = 0.398 – 0.263 = 0.135 PROBLEMA 3.5.3 En una cuenca dada existen 3 estaciones de precipitación, P1, P2 y P3, que influencian en 30%, el 40% y el 30% del área de la cuenca respectivamente. Para la estación P2 se tiene un registro de 20 años de profundidades máximas de precipitación para 6 horas de duración, con un promedio de 85.25 mm y una desviación típica de 27.65 mm. Asumiendo que los datos de la estación 2 se ajustan a una distribución probabilística Extrema Tipo I, se pide calcular la precipitación media de la cuenca para una lluvia de 6 horas de duración, y 25 años de periodo de retorno, si se conoce que las ecuaciones de correlación entre las estaciones son: P1 = 3.2 + 0.28 * P2 P3 = 2.5 + 0.021 * P22 SOLUCION: La probabilidad de excedencia para la lluvia de 6 horas de duración y 25 años de período de retorno en la estación 2 será: P ( X ≥ x) = 1 1 = = 0.04 Tr 25 calculando los parámetros de la distribución Extrema Tipo I: 23
  29. 29. 24 α= 1.281 1.281 = = 0.0463 Sx 27.65 − β = X − 0.45 * Sx = 85.25 − 0.45 * 27.65 = 72.81 sustituyendo en la ecuación (3.31) se tiene: 0.04 = 1 − e − e −0.0463 ( x − 72.81) de donde: X= P2 = 141.90 mm Considerando las ecuaciones de correlación se tendrá para las estaciones P1 y P3: P1 = 3.2 + 0.28 * 141.9 = 42.93 mm P3 = 2.5 + 0.021 * 141.92 = 425.35 mm Luego, la precipitación media sobre la cuenca será: Pm = P1 * 0.30 + P2 * 0.40 + P3 * 0.30 Pm = 42.93 *0.30 + 141.9 * 0.40 + 425.35 * 0.30 Pm = 197.24 mm. PROBLEMA 3.5.4 La planta de tratamiento de agua para el abastecimiento de una ciudad tiene una capacidad de 1.5 millones de metros cúbicos, mmc, por semana y debe satisfacer una demanda aleatoria D, la cual puede considerarse que se ajusta a una distribución Gumbel, como una media de 1.5 mmc por semana y desviación típica de 50.000 metros cúbicos por semana. Estos valores se calcularon con base a 20 semanas de mediciones. Para satisfacer una eventual demanda adicional durante una semana, la municipalidad ha previsto un tanque a fin de tener en almacenamiento una cierta reserva de seguridad. Calcular cuál debe ser la capacidad C del tanque de seguridad si se desea que la probabilidad de no satisfacer la demanda sea de 0.01. SOLUCION: 24
  30. 30. 25 En este caso debe aplicarse la ecuación (3.29) que es la correspondiente a la distribución Gumbel; para ello debe tenerse en cuenta que: X=1.5 mmc σx = 0.05 mmc utilizando la tabla Nº 1 del anexo 1 y para n = 20, se tiene: Yn = 0.5236 σn = 1.063 De acuerdo al problema la probabilidad de excedencia de la demanda debe ser de 0.01 lo cuál corresponde a un período de retorno de: Tr = 1 1 = = 100años P ( X ≥ x) 0.01 para el cuál, y utilizando la tabla antes citada, se tendrá: Y = 4.6 reemplazando valores en la ecuación (3.29) se tendrá: X = 1.5 + (4.6 − 0.5236) * 0.05 1.063 de donde: X= 1.692 mmc Luego la capacidad del tanque de seguridad será: C = 1.692 – 1.5 = 0.192 mmc PROBLEMA 3.5.5 El análisis de una serie anual de crecientes desde 1900 a 1959 muestra que la creciente correspondiente a 100 años de período de retorno es de 3100 m3/seg y la de 10 años, 1400 m3/seg. Si puede considerarse que la serie de datos se ajusta a una distribución Gumbel calcular: a. b. c. d. La media y la desviación típica de las crecientes anuales. La probabilidad de tener el próximo año una creciente mayor o igual a 2000 m3/seg La magnitud del evento de 40 años de período de retorno. La probabilidad de tener como mínimo una creciente de 100 años en los próximos 8 años. SOLUCIÓN: 25
  31. 31. 26 a. Utilizando la tabla correspondiente del anexo 1 y para n = 60, se tiene: Yn = 0.5521 σn = 1.1750 Así mismo, para Tr = 100 años, Y = 4.6; luego reemplazando valores en la ecuación (3.29), se tiene: − (4.6 − 0.5521) 3100 = X + * σx 1.1750 análogamente, para Tr = 10 años, Y = 2.25 se tiene: − 1400 = X + (2.25 − 0.5521) * σx 1.1750 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: X= 171.73 σx = 850 b. Para determinar la P(X ≥ 2000), se debe calcular el valor de Y para lo cual reemplazando en la ecuación (3.29): 2000 = 171.73+ despejando se tiene: (Y − 0.5521) * 850 1.1750 Y = 3.079 De acuerdo al anexo 1, para Y = 3.079 se tiene Tr = 22.37 años; luego: P ( X ≥ 2000) = c. 1 1 = = 0.0447 Tr 22.37 Para calcular la creciente correspondiente para un periodo de retorno de 40 años debe considerarse que para este Tr se tiene Y = 3.643. Sustituyendo en la ecuación (3.29): X = 171.73+ de donde: (3.643 − 0.5521) * 850 1.1750 X = 2407.70 m3/seg. 26
  32. 32. 27 d. Para calcular el riesgo de que ocurra una creciente de 100 años de período de retorno en un lapso de 8 años debe considerarse que: P ( X ≥ x) = 1 1 = = 0.01 Tr 100 reemplazando valores en la ecuación (3.12): P (0) = 8! * 0.010 * (1 − 0.01)8 − 0 = 0.9227 0!*(8 − 0)! de donde: R = 1 – P(0) = 1 – 0.9227 = 0.0773 PROBLEMA 3.5.6 Para un área turística, por ejemplo Chichiriviche, se ha planteado construir un campo de pozos para extraer agua para abastecimiento urbano, con una capacidad de 25 litros por segundo, lps, en cada pozo. El problema de este tipo de centro urbano es que en época de temporada alta ( carnaval, semana santa, etc), la demanda de agua es bastante alta pudiendo considerarse que se ajusta a una distribución Extrema Tipo I. Para el resto del año, la demanda puede considerarse que se ajusta a una distribución normal. a. Calcular cuantos pozos deben construirse para satisfacer la demanda de temporada normal, si la misma tiene una media de 25 lps y una desviación típica de 0.25 lps. ( para una P(X ≥ x) = 0.8) b. Para satisfacer la demanda de la temporada alta se ha propuesto habilitar 16 pozos. Calcular cuál será la probabilidad de que la demanda exceda la disponibilidad de dichos pozos, si existe un 5 % de probabilidad de que la demanda sea mayor de 389.25 lps y 1 % que supere a 593.02 lps. SOLUCIÓN Utilizando tablas estadísticas o métodos aproximados de solución se obtiene, para un 80 % de probabilidad de excedencia: Z = - 0.8416 remplazando en (3.15): ( X − 25) 0.25 X= 24.79 lps, lo que equivale a 1 pozo. − 0.8416 = despejando: 27
  33. 33. 28 b. En temporada alta la disponibilidad de agua, incluyendo el pozo de temporada baja, será de: 16 pozos * 25 lps / pozo = 400 lps. Reemplazando valores en la ecuación (3.31) para la probabilidad de excedencia del 5 %: P(X≥389.5) = 5% = 0.05 = 1 − e − e − α ( 389.5 − β ) y para el 1 % se tendrá: P(X≥593.02) = 1% = 0.01 = 1 − e − e Resolviendo el sistema de ecuaciones : − α ( 593.02 − β ) β=18.67 α = 8.009 * 10−3 Nuevamente reemplazando valores en (3.31): −8.009*10 −3 ( 400 −18.67 ) P ( X ≥ 400) = 1 − e −e de donde la probabilidad de que la demanda exceda los 400 l/s es: P(X≥400) = 0.046 Lo cuál significa que cada año la probabilidad de falla del sistema de abastecimiento en temporada alta es de 4.6 %. PROBLEMA 3.5.7 La reglamentación legal de una llanura de inundación prohíbe la construcción dentro de la zona de inundación con período de retorno de 25 años. ¿ Cuál es el riesgo de que una estructura construida exactamente en el borde de esta llanura se inunde durante los próximos 10 años?¿ Cuánto se reduciría este riesgo si la construcción estuviera limitada al borde de la inundación causada por la creciente de 100 años?. SOLUCIÓN Aplicando la ecuación (3.12) con x = 0 y n = 10 y teniendo en cuenta (3.30) se tiene: P ( X ≥ x) = P(0) = 1 1 = = 0.04 Tr 25 10! * 0.040 * (1 − 0.04)10 − 0 = 0.6648 0!*(10 − 0)! El riesgo de que la llanura se inunde durante los próximos 10 años será entonces: 28
  34. 34. 29 R = 1 – P(0) = 1 – 0.6648 = 0.3352 De la misma forma para un período de retorno de 100 años: P ( X ≥ x) = P (0) = 1 1 = = 0.01 Tr 100 10! * 0.010 * (1 − 0.01)10 − 0 = 0.9044 0!*(10 − 0)! y el riesgo para este período de retorno será: R = 1 – P(0) = 1 – 0.9044 = 0.096 Luego, el riesgo se reduciría en 0.3352 – 0.096 = 0.2392 = 23.92 % si la construcción se limitase al borde del área inundada por la creciente de 100 años de período de retorno. PROBLEMA 3.5.8 Se tiene una cuenca de 20.000 hectáreas de superficie. Durante el mes de agosto, el promedio de lluvia mensual es de 242.9 milímetros y la desviación típica, 79.7 milímetros. Puede considerarse que el 8 % de esta lámina puede ser aprovechada almacenándola en una presa. Asumiendo que estas lluvias se ajustan a una distribución normal, se pide calcular: a. b. Cuál sería la capacidad de la presa, en millones de m3, si se desea que el 80 % de las veces se llene. La capacidad de la presa, en millones de m3, si se desea captar el 8% de las láminas de lluvia que caen en el rango de 60% y el 75% de probabilidad de excedencia. SOLUCIÓN: a. En este caso se sabe que para el mes de agosto: X = 242.9 mm Sx = 79.7 mm. La condición de diseño establece que el 80 % de las veces se llene o, lo que es lo mismo: P(X ≥ x) = 0.80 Para esta probabilidad, y en distribución normal, la variable tipificada es: z = 0.84162; o lo que es lo mismo: 29
  35. 35. 30 − (X − X ) z= Sx de donde: ó: − 0.8416 = ( X − 242.9) 79.7 X = 175.82 mm. La lámina aprovechable será entonces: = 175.82 mm *0.08 =14.07 mm Y la capacidad de la presa: = 14.07 * 10-3 m * 20* 103 *104 m2 = 2.814 * 106 m3 b. Análogamente, puede calcularse. P(X ≥ x) 0.75 0.60 Valor z -0.67449 -0.25335 Valor de X (mm) 189.14 222.708 Considerando estas láminas como los límites inferior y superior del intervalo, el promedio de ambos será de 205.924 mm y la lámina aprovechable: 205.924 mm * 0.08 = 16.47 mm y el volumen V = 16.47 * 10-3 m * 2 * 108 m2 = 3.294 * 106 m3 PROBLEMA 3.5.9 Para un registro de 20 años de profundidad máximas de precipitación para 06 horas de duración se ha obtenido un promedio de 85.25 mm y una desviación típica de 27.65 mm. Asumiendo que los datos se ajustan a una distribución normal. Se pide: a. b. c. Calcular el valor de la precipitación de diseño si se desea que la probabilidad de que dicha precipitación ocurra en dos años consecutivos sea de 0.0004 ( 0.04 %). Asumir que los eventos de precipitación máxima anual son independientes. Determinar el riesgo de la precipitación de diseño calculada en el punto anterior para 25 años de vida útil. Calcular el valor de la precipitación de diseño si se desea que el riesgo calculado en el punto anterior se reduzca a la mitad. SOLUCIÓN a. Asumiendo independencia de los eventos de precipitación, se tiene para la ocurrencia en dos años consecutivos: P(X≥x) * P(X≥x) = 0.0004 de donde: 30
  36. 36. 31 P(X≥x) = 0.02 Para esta probabilidad de excedencia el valor de la variable tipificada será z = 2.0537 y reemplazando en la ecuación (3.15), se tiene: 2.0537 = ( X − 85.25) 27.65 y: X = 142.03 mm b. Aplicando la ecuación (3.12), la probabilidad de no ocurrencia de la precipitación de diseño en un período de 25 años será: P (0) = 25! * 0.020 * (1 − 0.02) 25 − 0 = 0.6035 0!*(25 − 0)! y el riesgo: R = 1 – P(0) = 1 – 0.6035 = 0.3965 c. Si ahora el riesgo se reduce a la mitad se tendrá: R = 0.19825 = 1 – P(0) de donde: P(0) = 1 – 0.19825 = 0.80175 reemplazando en (3.12): P (0) = 25! * P ( X ≥ x) 0 * (1 − P ( X ≥ x) 25−0 0!*(25 − 0)! P(X ≥ x) = 0.0088 despejando: para esta probabilidad de excedencia la variable tipificada será: reemplazando en (3.15): 2.3739 = ( X − 85.25) 27.65 Z = 2.3739 y despejando: X= 150.89 mm PROBLEMA 3.5.10 Los datos siguientes corresponden a caudales máximos anuales registrados en el Río Paguey, para el período 1948 – 1972 ( m3/s): 975.5 1450.0 1460.0 1870.0 990.0 640.0 940.0 950.0 820.0 845.0 1330.0 1136.0 690.0 800.0 1534.0 644.0 1240.0 1190.0 1856.0 995.0 1605.0 1030.0 1882.0 658.0 1745.0 31
  37. 37. 32 a. Realizar la prueba de ajuste a distribución extrema tipo I, considerando un delta máximo de 0.27 b. Calcular el caudal correspondiente a una período de retorno de 250 años. SOLUCIÓN: Para efectuar la prueba de ajuste se ordenan los datos de forma descendente y se calcula, para cada valor, su probabilidad empírica de acuerdo a la ecuación de Weibull, (Cuadro 3.1). Para calcular la probabilidad teórica, en este caso Distribución Extrema Tipo I, se calculan: X = 1171.02 m3/s α = 3.157∗10−3 Sx = 405.76 m3/s β = 988.43 con esta información puede elaborarse el cuadro siguiente: N Datos ordenados Probabilidad empírica P(X≥x) delta de mayor a menor n / (m+1) D. Extrema tipo I 1 1882 0.0385 0.0578 0.0193 2 1870 0.0769 0.05997 0.017 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1856 1745 1605 1534 1460 1450 1330 1240 1190 1136 1030 995 990 975.5 950 940 845 820 800 690 658 644 640 0.1154 0.1538 0.1923 0.2308 0.2692 0.3077 0.3462 0.3846 0.4231 0.4615 0.5 0.5385 0.5769 0.6154 0.6538 0.6923 0.7308 0.7692 0.8077 0.8462 0.8846 0.9231 0.9615 0.0626 0.0877 0.133 0.1636 0.202 0.2078 0.2883 0.3636 0.4109 0.4661 0.584 0.6245 0.6303 0.6471 0.6766 0.6881 0.7925 0.8177 0.8368 0.9231 0.9415 0.9485 0.9504 0.0528 0.0661 0.0593 0.0672 0.0672 0.0999 0.0579 0.021 0.0122 0.0046 0.084 0.086 0.0534 0.0317 0.0228 0.0042 0.0617 0.0485 0.0291 0.0769 0.0569 0.0254 0.0111 32
  38. 38. 33 Como puede observarse, el máximo valor calculado de delta es igual 0.0999 el cuál es menor que el delta máximo permitido, 0.27. Por lo tanto, puede concluirse que los datos se ajustan a una distribución Extrema Tipo I. b. La probabilidad de excedencia para un período de retorno de 250 años será: P ( X ≥ x) = 1 1 = = 0.004 Tr 250 sustituyendo en la ecuación (3.31) se tiene: 0.004 = 1 − e −e de donde: −3.157*10−3*( x −988.43 ) X= 2736.75 m3/s 33
  39. 39. 34 CAPITULO IV 4.0 Hidrograma de escorrentía 4.1 Coeficiente de escorrentía La escorrentía es consecuencia directa de la precipitación, estando ambas variables estrechamente relacionadas. Sin embargo, en esta relación deben considerarse las características de la cuenca ya que , por ejemplo, dos tormentas con características iguales sobre una misma hoya pueden producir escorrentías diferentes, dependiendo de sus condiciones iniciales al momento de producirse el evento. Esquemáticamente, esta relación puede apreciarse en la figura 4.1. Figura 4.1 Relación lluvia - escorrentía Un parámetro que cuantifica esta relación escorrentía, definido por la ecuación: Ce = Ve Vp es el denominado coeficiente de (4.1) En la cuál: Ce: Ve: Vp: coeficiente de escorrentía. volumen de escorrentía volumen de precipitación las magnitudes de la variable independiente de la ecuación (4.1) pueden expresarse también en términos de lámina; en ambos casos el valor de Ce será menor que la unidad. 4.2 Hidrograma de crecidas El hidrograma de una corriente es la representación grafica o tabular del caudal como una función del tiempo y en una sección especifica del cauce. El hidrograma es una 34
  40. 40. 35 expresión integral de las características fisiográficas y climáticas que gobiernan la relación lluvia-escorrentía de una cuenca en particular. En la figura 4.2 se observa la forma típica del hidrograma. Figura 4.2 Hidrograma de escorrentía Como puede observarse, el hidrograma presenta un primer segmento ascendente, denominado curva de concentración, cuyas características dependen de la duración, intensidad y distribución en el tiempo y en el espacio de la tormenta. También la condicionan la forma y tamaño de la cuenca receptora, así como las condiciones iniciales de humedad del suelo y la cobertura vegetal. La denominada cresta del hidrograma corresponde al valor máximo de caudal; usualmente se le denomina el caudal pico. El sector denominado curva de descenso se debe a la disminución gradual de la escorrentía directa y depende de las características de la red de drenaje. Finalmente, se ubica el segmento final, denominado curva de agotamiento, la cuál disminuye lenta y progresivamente, representando los aportes al flujo de la escorrentía subterránea. Usualmente, la curva de agotamiento se define por la expresión: Qt = Qo * e-αt (4.2) donde: Qt: Qo: e: α∞ t: caudal en el instante t caudal en el tiempo to, al inicio del agotamiento base del logaritmo neperiano. coeficiente de agotamiento expresado en unidades de tiempo. tiempo El valor de α depende de la morfología de la cuenca receptora y de su naturaleza geológica. 35
  41. 41. 36 4.3 Separación del caudal base El caudal que circula por un cauce puede tener dos componentes: uno proveniente de la precipitación efectiva del evento o escorrentía directa, Qd y otro originado por flujos susbsuperficiales generados por eventos anteriores o caudal base, Qb. A la suma de ambos se le denomina caudal total, Qt. Si se desea analizar la respuesta de la cuenca a la ocurrencia de una precipitación específica deben eliminarse los aportes al hidrograma provenientes de eventos anteriores; a este proceso se le denomina separación del caudal base del hidrograma, tal como se ilustra en la figura 4.3 Figura 4.3 Separación del caudal base del hidrograma Para ello existen diferentes procedimientos, siendo uno de los más usuales áquel que consiste en trazar una línea recta desde el comienzo del hidrograma hasta un tiempo N, en días, después de la ocurrencia del pico. Una relación que permite estimar el valor de N está dada por: 0.2 N = O.827 * A (4.3) en la cuál: N: A: tiempo en días. área de la cuenca, Km2 Otro procedimiento consiste en proyectar hacia atrás la línea de recesión del agua subterránea hasta un punto bajo el punto de inflexión del limbo descendente; luego se traza un segmento arbitrario ascendente desde el punto de ascenso del hidrograma hasta intersectarse con la recesión antes proyectada, tal como se ilustra en la figura 4.4. Este tipo de separación puede presentar algunas ventajas cuando el aporte de agua subterránea es relativamente grande y llega a la corriente con rapidez como sucede en terrenos con calizas. 36
  42. 42. 37 Figura 4.4 Método de las tangentes para la separación de Qb 4.4 Hidrograma unitario El hidrograma unitario se define como aquél cuyo volumen de escurrimiento directo representa para el área de la cuenca una altura de agua o lamina escurrida, de una unidad, usualmente esta lámina unidad se expresa en milímetros. Para un evento cualquiera, la lámina de escorrentía directa, Le, será igual a: Le = Ve A (4.4) dónde Ve es el volumen escurrido, A es el área es el de la cuenca y Le es la lámina escurrida Para cada ordenada del hidrograma unitario se tendrá: qu = q Le (4.5) expresión en la cuál: qu: q: Le ordenada del hidrograma unitario. ordedenada del hidrograma de escorrentía directa. lámina de escorrentía directa. A la lámina de escorrentía directa también se le denomina lluvia efectiva o exceso de precipitación. Un aspecto importante de este exceso de precipitación es el intervalo de tiempo en el cuál se produce. 37
  43. 43. 38 En otras palabras, el escurrimiento directo es generado durante un intervalo de tiempo que no necesariamente es igual a la duración total del evento de lluvia, siendo usualmente menor. A dicha duración se le denomina duración efectiva de la lluvia y su determinación se efectúa relacionando el histograma de precipitación y el hidrograma de escorrentía directa, tal como se ilustra en la figura 4.5 Figura 4.5 Determinación de la duración efectiva de la lluvia El procedimiento se basa en la asunción que la capacidad de infiltración del suelo, o índice φ, permanece constante a lo largo del evento, lo cuál puede ser representado por una línea horizontal en el hietograma de precipitación, tal como se aprecia en la figura. Luego, la sumatoria de los valores de precipitación por encima de esta línea de φ, debe coincidir con el valor obtenido aplicando la ecuación (4.4); si ello no sucede, debe asumirse un nuevo valor de infiltración y repetir el cálculo. Finalmente, cuando se haya establecido, por tanteo, el valor de φ, el número de intervalos que queden por encima de esta línea definirá la duración efectiva de la lluvia. Todo hidrograma unitario, HU, debe estar asociado a una duración efectiva. 38
  44. 44. 39 4.5 Cálculo de HU para diferentes duraciones efectivas Si se tiene un hidrograma unitario correspondiente a una duración efectiva igual a “t” horas y se le suma el mismo hidrograma, desplazado un intervalo “t”, el hidrograma resultante representa el de 2 unidades de escorrentía para 2t horas. Si las ordenadas de dicho diagrama se dividen por 2, el resultado es un hidrograma unitario para una duración de 2t horas. El procedimiento se ilustra en la figura 4.6 Figura 4.6 Cálculo del HU de 2t horas a partir del HU de t horas Sin embargo, el procedimiento descrito sólo sería aplicable para determinar hidrogramas unitarios de duración efectiva múltiplo del inicial. Para obtener el HU de una duración cualquiera se utiliza el denominado método de la curva “S”, definiéndose como tal al hidrograma resultante del desplazamiento, un número infinito de veces, del HU original, tal como se ilustra en la figura 4.7. La magnitud de cada desplazamiento será “t” horas respecto al anterior. En la práctica, no es necesario realizar un número infinito de desplazamientos; bastará efectuar los necesarios para alcanzar la zona de estabilización de la curva. El número de desplazamientos que usualmente permite cumplir esta condición está dada por la relación: Nd = Tb Du (4.6) dónde: Tb: Du: tiempo base del HU original duración efectiva del HU original 39
  45. 45. 40 Figura 4.7 Método de la curva “S” En algunos casos la curva “S” puede presentar oscilaciones que serán necesarias corregir. Para ello se traza una línea recta, siguiendo el criterio de mejor ajuste, en el segmento superior de la curva, tal como se aprecia en la figura; luego se procede a sustituir los valores de la curva original por las nuevas lecturas que se harán en la recta ajustada. A la nueva curva S así obtenida se le denomina curva S corregida. El HU para cualquier duración efectiva puede ahora obtenerse desplazando la curva S corregida un intervalo igual a la duración del hidrograma deseado, obteniéndose lo que se denomina curva S desplazada; luego dicha curva desplazada se resta de la corregida. Finalmente, para obtener el HU buscado cada uno de los valores de esta diferencia se multiplica por el factor: Factor = Du t (4.7) dónde: Du: t: duración del HU con el cuál se construyó la curva S duración efectiva del HU deseado 40
  46. 46. 41 4.6 Problemas relativos a Hidrogramas PROBLEMA 4.6.1 Una tormenta de 6 horas de duración total ocurre en una cuenca de 150 Km2 de superficie, con un hietograma de 42, 18 y 26 mm, respectivamente, cada 2 horas. Estimar el caudal pico, en m3/s, del hidrograma generado. Asumir un índice φ igual a 10 mm/h. Adicionalmente se dispone de la información de una creciente producida por una lluvia de 2 horas de duración efectiva y cuyo hidrograma de escorrentía total fue: T(h) 0 3 Q(m /s) 20 2 20 4 110 6 200 8 270 10 220 12 180 14 120 16 70 18 45 20 20 22 20 SOLUCIÓN En primer lugar, se determina el hietograma de precipitación efectiva para un intervalo de trabajo de 2 horas: Pe0-2 = P0-2 - φ = 42 mm – 10 mm/h * 2h = 22 mm Pe2-4 = P2-4 - φ = 18 mm – 10 mm/h * 2h = 0 Pe4-6 = P4-6 - φ = 26 mm – 10 mm/h * 2h = 6 mm El siguiente paso es calcular el hidrograma unitario de 2 horas lo cuál puede hacerse a partir de la información de la creciente y siguiendo la secuencia que a continuación se describe: 1. Se determinan los caudales de escorrentía directa. Para ello, a cada valor de la escorrentía total se le resta el caudal base; como puede observarse, en este caso dicho caudal base puede tomarse como un valor constante e igual a 20 m3/s. 2. El volumen de escorrentía directa puede calcularse sumando las ordenadas del hidrograma de escorrentía directa, en m3/s, y multiplicándolo por el intervalo de tiempo del hidrograma, en segundos: 2 * 3600 seg 3. Este volumen escurrido se divide entre el área de la cuenca para obtener la lámina de escorrentía directa del evento: Le = ∑ Qd * t = 1055m3 / s * 2 * 3600 = 0.0506mts. Area 150 * 10 6 41
  47. 47. 42 4. El Hidrograma Unitario, HU, de la cuenca se determina dividiendo cada uno de los valores de caudal de escorrentía directa entre Le. Los cálculos detallados se presentan en el cuadro siguiente: T(h) Qt(m3/s) Qb(m3/s) Qd(m3/s) HU(m3/s)mm 2 horas 0 20 20 0 0 2 20 20 0 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 110 200 270 220 180 120 70 45 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 90 180 250 200 160 100 50 25 0 0 1.78 3.55 4.94 3.95 3.16 1.97 0.99 0.49 0 0 Multiplicando ahora el HU por cada una de las láminas de escorrentía directa, teniendo en cuenta los respectivos desplazamientos, y sumando se obtiene el hidrograma de escorrentía directa resultante, tal como se aprecia en el cuadro adjunto: T(h) HU(m3/s)mm Qd=Hu*22 Qd =HU*6 Qdt(m3/s) 2 horas 0 0 0 0 2 0 0 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 1.78 3.55 4.94 3.95 3.16 1.97 0.99 0.49 0 0 39.16 78.1 108.68 86.9 69.52 43.34 21.78 10.78 0 0 0 0 10.68 21.3 29.64 23.7 18.96 11.82 5.94 2.94 39.16 78.1 119.36 108.2 99.16 67.04 40.74 22.6 5.94 2.94 Como puede observarse, el caudal pico generado es de 119.36 m3/s. 42
  48. 48. 43 PROBLEMA 4.6.2 Es una cuenca de 0.5 Km2 determine el índice φ , la infiltración acumulada, la precipitación efectiva acumulada y el hidrograma unitario de los siguientes datos de lluviaescorrentía. T(h) P(mm) Qd(m3/s) 0 0 0 1 27 0.8 2 33 1.6 3 20 1.3 4 19 0.8 5 18 0.4 6 15 SOLUCIÓN: La lámina de escorrentía directa será: Le = ∑ Qd * t = 4.9 * 3600 = 0.03528m Area 0.5 * 10 6 Le = 35.28 mm En cada intervalo de tiempo una parte de la precipitación se infiltra y otra queda en la superficie como lámina de escorrentía directa; el valor de la infiltración puede asumirse constante e igual al denominado índice φ. Para determinar el valor de φ puede seguirse el procedimiento que se ilustra en el gráfico adjunto y que se explica a continuación. En primer lugar, se asume un valor inicial de φ; por ejemplo, 1 mm; eso implica que la láminas de escorrentía directa será: Le = (27-1) + (33-1) + (20-1) + (19-1) + (18-1) +(15-1) = 126 mm 43
  49. 49. 44 Este valor de Le supera largamente al valor de 35.28 mm por lo que deberá asumirse un valor mayor de φ ; este procedimiento de tanteo debe seguirse hasta obtener una sumatoria de láminas de escorrentía directa igual a 35.28 mm. En este caso, ello se produce para un valor de φ igual a 16.344 mm. Luego la infiltración acumulada será: Infiltración acumulada = 16.344 mm*5 + 15mm = 96.72 mm Y la precipitación efectiva acumulada: Precipitación efectiva acumulada = Precipitación acumulada – infiltración acumulada Precipitación efectiva acumulada = 132 mm – 96.72 mm = 35.28 mm Para calcular las ordenadas del hidrograma unitario, se dividen las ordenadas del hidrograma de escorrentía directa entre la lamina de escorrentía directa. La duración de este HU será de 5 horas ya que esa es la duración efectiva del evento o, dicho en otras palabras, el número de horas durante los cuáles se produce escorrentía directa. T(h) Qd(m3/s) HU(m3/s)/mm 0 0 0 1 0.8 0.023 2 1.6 0.045 3 1.3 0.037 4 0.8 0.023 5 0.4 0.011 PROBLEMA 4.6.3 La precipitación efectiva y la escorrentía directa registrada para una tormenta son las siguientes: T(h) Pe(mm) Qd(m3/s) 1 1 10 2 2 120 3 1 400 4 5 6 7 8 9 560 425 300 265 170 50 Calcular el hidrograma unitario de 1 hora, sin utilizar el método de la curva S. SOLUCIÓN Designando por X1, X2, ... X7 a los valores del hidrograma unitario buscado. Si este HU se multiplicase por cada una de las precipitaciones efectivas, considerando los respectivos desplazamientos, el resultado sería el hidrograma de escorrentía directa que es 44
  50. 50. 45 proporcionado como dato del problema. Este procedimiento permitiría formar el sistema de ecuaciones que se muestra en el cuadro siguiente: T(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Qd(m3/s) 10 120 400 560 425 300 265 170 50 HU*Pe0-1 X1*1 X2*1 X3*1 X4*1 X5*1 X6*1 X7*1 HU*Pe1-2 X1*2 X2*2 X3*2 X4*2 X5*2 X6*2 X7*2 HU*Pe2-3 X1*1 X2*1 X3*1 X4*1 X5*1 X6*1 X7*1 Resolviendo el sistema se tiene: X2 = X1 = 10 120 − 10 * 2 = 100 1 X3 = 400 − 100 * 2 − 10 * 1 = 190 1 X4 = 560 − 190 * 2 − 100 * 1 = 80 1 X5 = 425 − 80 * 2 − 190 * 1 = 75 1 X6 = 300 − 75 * 2 − 80 *1 = 70 1 X7 = 265 − 70 * 2 − 75 * 1 = 50 1 luego, el HU buscado será: T(h) 1 2 3 4 5 6 7 HU(m3/s)/mm 1 hora 10 100 190 80 75 70 50 Sin embargo, es conveniente acotar que este procedimiento no siempre conduce a soluciones directas, debiendo realizarse procesos de corrección y ajuste. 45
  51. 51. 46 PROBLEMA 4.6.4 Sobre una cuenca dada ocurre el siguiente evento de precipitación: Tiempo (h) Precipitación Acumulada(mm) Índice Fí (mm/h) 1 5 2.5 2 11 2 3 19 1.5 Dicho evento genera el siguiente hidrograma de escorrentía directa: T(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 Qd(m /s) 4.5 84.45 349.3 647.75 898.86 638.37 598.18 231.52 11.7 Con base a ello, se pide calcular el hidrograma unitario de la cuenca para una hora de duración. Así mismo, determinar el área de la cuenca: SOLUCIÓN 1. Calculo de la precipitación efectiva. Para el calculo de la precipitación efectiva es necesario, determinar la precipitación parcial y restarle la infiltración o índice Fí. Tiempo(h) Precipitación parcial (mm) 1 5 2 6 3 8 Pe1 = 5 mm - 2.5 mm/h * 1 h = 2.5 mm Pe2 = 6 mm - 2.0 mm/h * 1 h = 4 mm Pe3 = 8 mm – 1.5 mm/h * 1 h = 6.5 mm 2. Calculo del Hidrograma Unitario de 1 hora de duración. Se hace un sistema de ecuaciones donde las incógnitas son las ordenadas del Hidrodrama Unitario. 46
  52. 52. 47 T(h) 1 Qd(m3/s) 4.5 HU*Pe0-1 X1*2.5 HU*Pe1-2 HU*Pe2-3 2 84.45 X2*2.5 X1*4 3 349.3 X3*2.5 X2*4 X1*6.5 4 5 6 7 8 9 647.75 820.4 512.86 394.22 231.52 11.7 X4*2.5 X5*2.5 X6*2.5 X7*2.5 X3*4 X4*4 X5*4 X6*4 X7*4 X2*6.5 X3*6.5 X4*6.5 X5*6.5 X6*6.5 X7*6.5 4.5 =1.8 2.5 84.45 − 1.8 * 4 X2 = = 30.9 2.5 349.3 − 30.9 * 4 − 1.8 * 6.5 X3 = = 85.6 2.5 647.75 − 85.6 * 4 − 30.9 * 6.5 X4 = = 41.8 2.5 820.4 − 41.8 * 4 − 85.6 * 6.5 X5 = = 38.72 2.5 512.86 − 38.72 * 4 − 41.8 * 6.5 X6 = = 34.51 2.5 394.22 − 34.51 * 4 − 38.72 * 6.5 X7 = = 1.8 2.5 X1 = T(h) HU(m3/s)/mm 1 hora 1 1.8 2 30.9 3 4 5 6 7 85.6 41.8 38.72 34.51 1.8 Para determinar el área de la cuenca se suman las ordenadas del hidrograma unitario, se multiplica por el tiempo y los milímetros se llevan a metros, de la siguiente forma: 47
  53. 53. 48 (ΣHU (m 3 / s ) / mm * 3600 s = 846.468 * 10 6 m 2 0.001m / mm A= 846.468 km2 A= PROBLEMA 4.6.5 Tres subcuencas A, B y C confluyen en un punto común a la salida de ellas. Sobre las mismas ocurren los siguientes hietogramas de precipitación media efectiva, en milímetros. Tiempo(h) A 1 10 B 12 15 3 6 8 2 C 9 El hidrograma de escorrentía directa resultante del evento, en el punto de confluencia, es el siguiente: T(h) Qd(m3/s) 0.5 9 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 159.2 444.2 487.1 872.2 898.1 1510 718.3 249.8 88 5.5 28.8 Tiempo después se produce una tormenta de seis horas de duración en la subcuenca A, en el cuál existen tres estaciones de precipitación P1, P2, y P3, con porcentajes de influencia de 30%, 40% y 30%, del área de la subcuenca, el cual es de 85 Km2. Los valores del índice φ, expresados en mm/h, pueden considerarse variables de acuerdo a los tipos de suelos, tal como se muestra en el cuadro adjunto. Los hietogramas de precipitación en las estaciones también se presentan en el cuadro adjunto de la derecha. Calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante de este evento, asumiendo que el hidrograma unitario de 1 hora es el mismo para las tres subcuencas. Valor de φ mm/h 2 Hietograma (mm) Area(Km ) h02 h04 h06 10 5 4 3 30 4 3 45 5 4.5 h02 h04 h06 P1 18 12 14 2.5 P2 16 12 9 3.5 P3 13 10 8 48
  54. 54. 49 SOLUCIÓN. 1. Calculo del HU de 1 hora, por el método de deconvolución: Se realiza un sistema de ecuaciones teniendo como incógnita el hidrograma unitario, como dicho hidrograma es el mismo para las tres subcuencas, se procede de la siguiente manera: SUBCUENCA A T(h) SUBCUENCA B SUBCUENCA C Qd=HU*10 Qd=HU*15 Qd=HU*12 Qd=HU*8 Qd=HU*6 Qd=HU*9 QdR(m3/s) 0 X1*10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 X2*10 X3*10 X4*10 X5*10 X6*10 X7*10 X8*10 0 X1*15 X2*15 X3*15 X4*15 X5*15 X6*15 X7*15 X8*15 X1*12 X2*12 X3*12 X4*12 X5*12 X6*12 X7*12 X8*12 X1*8 X2*8 X3*8 X4*8 X5*8 X6*8 X7*8 X8*8 X1*6 X2*6 X3*6 X4*6 X5*6 X6*6 X7*6 X8*6 X1*9 X2*9 X3*9 X4*9 X5*9 X6*9 X7*9 X8*9 9 159.2 444.2 487.1 872.2 898.1 1510 718.3 249.8 88 28.8 X1 = 0 9 X2 = = 0.9 10 159.2 − X 1 *12 − X 1 * 6 X3 = = 15.92 10 444.2 − X 2 *12 − X 2 * 6 X4 = = 42.8 10 487.1 − X 1 *15 − X 3 * 12 − X 1 * 8 − X 3 * 6 − X 1 * 9 X5 = = 20.054 10 872.2 − X 2 * 15 − X 4 * 12 − X 2 * 8 − X 4 * 6 − X 2 * 9 X6 = = 7.3 10 898.1 − X 3 *15 − X 5 *12 − X 3 * 8 − X 5 * 6 − X 3 * 9 = 2.769 X7 = 10 1510 − X 4 *15 − X 6 *12 − X 4 * 8 − X 6 * 6 − X 4 * 9 X8 = = 0.9 10 49
  55. 55. 50 T(h) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 HU(m3/s)/mm 1 hora 0 0.9 15.92 42.8 20.054 7.3 2.769 0.9 Como la precipitación en el hietograma de precipitación esta cada 2 horas se debe determinar el Hu de 2 horas de duración: T(h) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 HU(m3/s)/mm HU(m3/s)/mm 1 horas 1 hora 0 0.9 15.92 0 42.8 0.9 20.054 15.92 7.3 42.8 2.769 20.054 0.9 7.3 2.769 0.9 0 0.9 15.92 43.7 35.974 50.1 22.823 8.2 2.769 0.9 HU(m3/s)/mm 2 horas 0 0.45 7.96 21.85 17.99 25.05 11.41 4.1 1.38 0.45 2. Calculo de la precipitación efectiva: 2.1 Calculo de la precipitación media en cada intervalo: P0-2 = 18 * 0.3 + 16 * 0.4 + 13 * 0.3 = 15.7 mm P2-4 = 12 * 0.3 +12 * 0.4 + 10 * 0.3 = 11.40 mm P4-6 = 14 * 0.3 + 9 * 0.4 + 8 * 0.3 = 10.2 mm 2.2. Calculo del φ promedio: 5 *10 + 4 * 30 + 5 * 45 = 4.65mm / h 85 4 * 10 + 3 * 30 + 4.5 + 45 = 3.91mm / h φ2 − 4 = 85 3 *10 + 2.5 * 30 + 3.5 * 45 φ4 − 6 = = 3.09mm / h 85 φ0 − 2 = 50
  56. 56. 51 2.3 Precipitación efectiva: Pe0-2 = 15.7 mm – 4.65 mm/h * 2h = 6.4 mm Pe2-4 = 11.4 mm – 3.91 mm/h * 2h = 3.58 mm Pe4-6 = 10.2 mm – 3.09 mm/h * 2h = 4.02 mm Para calcular el hidrograma de escorrentía directa, se multiplica el hidrograma unitario de 2 horas por la precipitación efectiva de 2 horas de la forma siguiente: T(h) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 HU(m3/s)/mm Qd=HU*6.4 Qd=HU*3.58 Qd=HU*4.02 QdR(m3/s) 2 horas 0 0 0 0.45 2.88 2.88 7.96 50.94 50.94 21.85 139.84 139.84 17.99 115.14 0 115.14 25.05 160.32 1.61 161.93 11.41 73.02 28.5 101.52 4.1 26.24 78.22 104.46 1.38 8.83 64.4 0 73.24 0.45 2.88 89.68 1.81 94.37 40.85 32 72.85 14.68 87.84 102.52 4.94 72.32 77.26 1.61 100.7 102.31 0 45.87 45.87 16.48 16.48 5.55 5.55 1.81 1.81 PROBLEMA 4.6.6 Se tiene dos cuencas, A y B, que confluyen en un punto común a la salida de ambas y en las cuales simultáneamente ocurre un evento de precipitación, con los siguientes hietogramas: Intervalo (hrs) Precipitación cuenca A (mm) Precipitación cuenca B (mm) 0 - 1.0 31 13 1.0 - 2.0 2.0 - 3.0 21 22 51
  57. 57. 52 El hidrograma unitario de ½ hora para ambas cuencas es el siguiente: t(h) 0 3 HU(m /s/mm) 0 0.5 0.47 1.0 2.12 1.5 2.60 2.0 2.24 2.5 1.65 3.0 1.06 3.5 0.59 4.0 0.30 4.5 0.12 5.0 0 En la cuenca A el índice φ inicial es de 8 mm/h y se reduce en 10% en cada intervalo; en la cuenca B puede considerarse constante e igual a 6 mm/hora. Calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante en la confluencia de ambas cuencas. SOLUCIÓN Cálculo de la precipitación efectiva en cada subcuenca: Los valores del índice φ y de la precipitación efectiva en la subcuenca A, en cada intervalo serán: Intervalo Indice φ (mm/h) Precipitación efectiva (mm) 0-1 1–2 2–3 8 8 – 0.10*8 = 7.2 7.2 – 0.10*7.2 = 6.48 31 – 8 = 23 0 22 – 6.48 = 15.52 Análogamente, para la subcuenca B se tendrá: Intervalo 0-1 1–2 Indice φ (mm/h) 6 6 Precipitación efectiva (mm) 13 – 6 = 7 21 – 6 = 15 Los hietogramas de precipitación para cada subcuenca están en intervalos de 01 hora mientras que el hidrograma unitario proporcionado como dato corresponde a 0.5 horas de duración. Ello hace aconsejable determinar el HU de 01 horas. Para ello, se desplaza el HU de ½ hora, una vez y un intervalo respecto a sí mismo, determinándose luego la sumatoria del hidrograma original y el desplazado. El resultado será un hidrograma de 1 hora de duración y 2 mm de precipitación efectiva; dividiendo este nuevo hidrograma entre dos se obtendrá el HU correspondiente a 01 horas de duración. El procedimiento descrito se resume en el cuadro adjunto: 52
  58. 58. 53 T(h) HU(m3/s)/mm HU(m3/s)/mm) 1/2 hora 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 0 0.47 2.12 2.6 2.24 1.65 1.06 0.59 0.3 0.12 0 HU(m3/s)/mm) 1/2 hora 1 hora 0 0.47 2.59 4.72 4.84 3.89 2.71 1.65 0.89 0.42 0.12 0 0 0.47 2.12 2.6 2.24 1.65 1.06 0.59 0.3 0.12 0 0 0.24 1.3 2.36 2.42 1.95 1.36 0.83 0.45 0.21 0.06 0 Para calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante en la confluencia de ambas cuencas, se procede de la forma siguiente: SUBCUENCA A T(h) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 HU(m3/s)/mm) Qd= HU*23 Qd= HU*15.52 1 hora 0 0.24 1.3 2.36 2.42 1.95 1.36 0.83 0.45 0.21 0.06 0 0 5.52 29.9 54.28 55.66 44.85 31.28 19.09 10.35 4.83 1.38 0 0 3.72 20.18 36.63 37.56 30.26 21.11 12.88 6.98 3.26 0.93 0 SUBCUENCA B Qd=HU*7 0 1.68 9.10 16.52 16.94 13.65 9.52 5.81 3.15 1.47 0.42 0 Qd=HU*15 QdR(m3/S) 0 3.60 19.50 35.4 36.3 29.25 20.40 12.45 6.75 3.15 0.9 0 0 7.20 39.00 74.4 92.04 97.62 97.28 90.67 71.46 49.01 29.66 16.03 7.88 3.26 0.93 0 PROBLEMA 4.6.7 En una cuenca de 15 Km2 de superficie se tiene información de precipitaciones máximas anuales para una hora de duración las cuáles puede asumirse se ajustan a una distribución 53
  59. 59. 54 Extrema Tipo I. Dicha información indica que la probabilidad de exceder la lámina de 80 mm en una hora es del 29 %, mientras que la probabilidad de exceder los 140 mm de lluvia, también en una hora, es de 5.19 %. Sobre dicha cuenca ocurre una precipitación de 3 horas de duración. En la primera hora, cae la precipitación de periodo de retorno, Tr = 25 años; en la segunda hora cae la precipitación Tr = 15 años y finalmente, en la tercera ocurre la precipitación de Tr = 10 años. El hidrograma unitario de la cuenca, para una duración de 1/3 de hora, es: T(h) 0 HU((m3/s)/mm) 0 0.5 0.47 1 2.12 1.5 2.6 2 2.24 2.5 1.65 3 1.06 3.5 0.59 4 0.3 4.5 0.12 5 0 El índice φ inicial es de 8 mm/h y se reduce en un 15 % cada intervalo. Calcular el hidrograma de escorrentía directa generado por la tormenta. SOLUCIÓN Como las precipitaciones se ajustan a una distribución extrema Tipo I , se calcula los parámetros de la distribución con los siguientes datos: Para P= 80 mm la P(X≥x) = 0.29 Para P = 140mm la P(X≥x) = 0.0519 luego: − 0.29 − 1 = − e e −α ( x − β ) − 0.0519 − 1 = − e e −α ( x − β ) resolviendo: β= 45.45 α=0.031 Con los parámetros calculados se determinan las precipitaciones para las horas indicadas en 1 1 el hietograma. En la primera hora, para Tr = 25 años se tiene: P ( X ≥ x) = = = 0.04 Tr 25 Luego, sustituyendo en la ecuación probabilística se obtiene: −0.031 ( x −45.45 ) 0.04 = 1 − e−e despejando el valor de x (precipitación en la primera hora): Igualmente, en la segunda hora y para Tr = 15 años: P ( X ≥ x) = P01= 148,63 mm 1 1 = = 0.0667 Tr 15 54
  60. 60. 55 −0.031( x −45.45 ) 0.0667 = 1 − e−e Sustituyendo: el valor de x, (precipitación en la segunda hora), será: P02= 131.68 mm análogamente, para la tercera hora: Tr = 10 años, la P ( X > x) = 1 1 = = 0.1 Tr 10 −0.031( x −45.45 ) Sustituyendo: 0.1 = 1 − e−e despejando el valor de x (precipitación en la tercera hora): P03= 118.04 mm Para determinar la precipitación efectiva, se debe calcular el índice φ para cada intervalo y restárselo a la precipitación: luego: Hora (h) 1 2 3 Indice φ (mm/h) 8 8 – 0.15*8 = 6.8 6.8 – 0.15*6.8 = 5.78 Precipitación efectiva (mm) 148.63 – 8 = 140.63 131.68 – 6.8 = 124.88 118.04 – 5.78 = 112.26 Para calcular el hidrograma de escorrentía directa se debe determinar primero el hidrograma unitario de 1 hora, por desplazamientos, tal como se ilustra a continuación: T(horas) HU 1/3 h HU 1/3 h HU 1/3 h (m3/s)/mm (m3/s)/mm (m3/s)/mm 0 0 0.33 0.31 0 0.67 1.02 0.31 0 1 2.12 1.02 0.31 1.33 2.44 2.12 1.02 1.67 2.48 2.44 2.12 2 2.24 2.48 2.44 2.33 1.85 2.24 2.48 2.67 1.45 1.85 2.24 3 1.06 1.45 1.85 3.33 0.75 1.06 1.45 4 0.3 0.75 1.06 4.33 0.18 0.3 0.75 4.67 0.08 0.18 0.3 5 0.08 0.18 5.33 0.08 0 0.31 1.33 3.45 5.58 7.04 7.16 6.57 5.54 4.36 3.26 2.11 1.23 0.56 0.26 0.08 HU 1 hora (m3/s/mm) 0 0.1 0.44 1.15 1.86 2.35 2.39 2.19 1.85 1.45 1.09 0.7 0.41 0.19 0.09 0.03 55
  61. 61. 56 T(horas) HU 1 hora Qd=HU*140.63 Qd=HU*124.88 Qd=HU*112.26 (m3/s/mm) m3/s m3/s m3/s 0 0 0 0.33 0.1 14.06 0.67 0.44 61.88 1 1.15 161.72 0 1.33 1.86 261.57 12.49 1.67 2.35 330.48 54.95 2 2.39 336.11 143.61 0 2.33 2.19 307.98 232.28 11.23 2.67 1.85 260.17 293.47 49.39 3 1.45 203.91 298.46 129.10 3.33 1.09 153.29 273.49 208.80 4 0.7 98.44 231.03 263.81 4.33 0.41 57.66 181.08 268.30 4.67 0.19 26.72 136.12 245.85 5 0.09 12.66 87.42 207.68 5.33 0.03 4.22 51.20 162.78 5.67 23.73 122.36 6 11.24 78.58 6.33 3.75 46.03 6.67 21.33 7 10.10 7.33 3.37 QdR m3/s 0 14.06 61.88 161.72 274.06 385.43 479.72 551.49 603.03 631.47 635.58 593.28 507.04 408.69 307.76 218.2 146.09 89.82 49.78 21.33 10.10 3.37 PROBLEMA 4.6.8 Dado el hidrograma unitario de 4 h de duración, se pide calcular el hidrograma unitario de 3 horas, en una cuenca de 300 Km2 de superficie. T(h) 0 3 HU(m /s)/mm 0 11 41 1 6 2 36 3 66 4 91 5 106 6 93 7 79 8 68 9 58 12 34 13 27 14 23 15 17 16 13 17 9 18 6 19 3 10 49 20 1.5 SOLUCIÓN Para resolver este problema se utilizará el procedimiento de la curva S para lo cuál debe determinarse primero el número de desplazamientos mínimos que deben efectuarse empleando la relación: 56
  62. 62. 57 Nd = Tb Du donde: Nd: Tb: Du: número mínimo de desplazamientos tiempo base del hidrograma unitario en h duración del hidrograma unitario h. Luego: 20 =5 4 Se calcula ahora la curva S, sumando el hidrograma unitario y los 5 desplazamientos cada 4 horas (duración del hidrograma unitario), obteniéndose: Nd = T(h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 HU(m3/s/)mm Suma de los 5 4h 0 6 36 66 91 106 93 79 68 58 49 41 34 27 23 17 13 9 6 3 1.5 Desplazamientos 0 6 36 66 91 112 129 145 159 170 178 186 193 197 201 203 206 206 207 206 Curva S 0 6 36 66 91 112 129 145 159 170 178 186 193 197 201 203 206 206 207 206 207.5 206 207 206 Esta curva S debe corregirse a fin de eliminar las oscilaciones que se presentan en la parte superior de la curva; esta corrección puede efectuarse de manera gráfica, tal como se aprecia en la figura adjunta y cuadro adjuntos. 57
  63. 63. 58 Curva S Corregida T(h) CSC CSCD CSC - CSCD HU(m3/s)/mm 3h (CSC-CSCD)*4/3 0 0 6 8 36 48 91 121.33 106 141.33 93 124 54 72 47 62.67 41 54.67 33 44 27 36 23 30.67 19 25.33 15 20 10 13.33 9.5 12.67 5.5 7.33 3.5 4.67 0 0 0 0 1 6 2 36 3 91 0 4 112 6 5 129 36 6 145 91 7 159 112 8 170 129 9 178 145 10 186 159 11 193 170 12 197 178 13 201 186 14 203 193 15 206.5 197 16 206.5 201 17 206.5 203 18 206.5 206.5 CSC : CURVA S CORREGIDA CSCD: CURVA S CORREGIDA DESPLAZADA 58
  64. 64. 59 Como puede apreciarse, para determinar el hidrograma unitario de 3 horas se resta de la curva S corregida la curva S, también corregida, desplazada previamente un intervalo igual a la duración del hidrograma que se desea calcular. En el cuadro, el resultado corresponde a la columna CSC – CSCD. Luego, dicho resultado se multiplica por el factor obtenido al dividir la duración del hidrograma con el que se construyó la curva S, en este caso 4 horas, entre la duración del hidrograma que se desea calcular. Para el problema el factor es igual a 4/3; el resultado será el HU de la duración deseada. PROBLEMA 4.6.9 Se tiene dos cuencas A y B, que confluyen en un punto común a la salida de ambas y en las cuales simultáneamente empieza a llover, con los siguientes hietogramas de precipitación en cada cuenca: Cuenca A 0 - 1.5 Cuenca B 40 1.5 – 3 3.0 – 4.5 30 60 25 El hidrograma unitario de 1/3 de hora para ambas cuencas es el siguiente: T(h) 0 3 HU(m /s)/mm 0 1/3 0.47 2/3 2.12 3/3 2.6 4/3 2.24 5/3 1.65 6/3 1.06 7/3 0.59 8/3 0.3 9/3 0.12 En la cuenca A el índice φ es de 7 mm/h y se reduce en 12 % cada intervalo; en la cuenca B puede considerarse constante e igual a 5 mm/h. Calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante en la confluencia de ambas cuencas. SOLUCIÓN: En este caso, y procediendo de forma similar a problemas anteriores se tendrá para la cuenca A: Intervalo (h) 0 – 1.5 1.5 – 3.0 3.0 – 4.5 Indice φ 7 7 – 7*0.12 = 6.16 6.16 – 6.16*0.12 = 5.42 Precipitación efectiva (mm) 40 – 7*1.5 = 29.5 60 – 5.42*1.5 = 51.87 En la cuenca B el índice φ es constante, por lo tanto, la precipitación efectiva en cada intervalo será: 59
  65. 65. 60 Pe 1.5-3 = 30 mm – 5 mm/h*1.5 h =22.5 mm Pe 3-4.5= 25 mm – 5 mm/h*1.5 h =17.5 mm Para determinar el hidrograma unitario de 1.5 h puede emplearse el método de la curva S a partir del HU de 1/3 hora; el número mínimo de desplazamientos será: 10 Tb = 3 = 10 Nd = 1 Du 3 Luego, la curva S será: T(h) 0 0.33 0.67 1 1.33 1.67 2 2.33 2.67 3 3.33 HU(m3/s)/mm 1/3 h 0 0.47 2.12 2.6 2.24 1.65 1.06 0.59 0.3 0.12 0 Suma de los 10 desplazamientos 0 0.47 2.59 5.19 7.43 9.08 10.14 10.73 11.03 11.15 Cuva S 0 0.47 2.59 5.19 7.43 9.08 10.14 10.73 11.03 11.15 11.15 Y la curvas S corregida: 60
  66. 66. 61 El HU de 1.5 horas de duración será entonces: T(h) CSC 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 1.4 5.19 8.5 10.14 10.9 11.15 11.15 11.15 11.15 CSCD CSC –CSCD 0 1.4 5.19 8.5 10.14 10.9 11.15 0 1.4 5.19 8.5 8.74 5.71 2.65 1.01 0.25 0 HU(m3/s)/mm 1.5 H (CSC-CSCD)*(1/3)/1.5 0 0.31 1.15 1.89 1.94 1.27 0.59 0.22 0.06 0 CSC: CURVA S CORREGIDA CSCD: CUEVA S CORREGIDA DESPLAZADA Luego, el hidrograma de escorrentía directa en la confluencia de ambas cuencas es: T(h) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 Cuenca A Cuenca B HU(m3/s)/mm Qd = HU*29.50 Qd=HU*51.87 Qd =HU*22.5 Qd=HU*17.5 QdR(m3/s) 0 0 0 0.31 9.15 9.15 1.15 33.93 33.93 1.89 55.76 0 55.76 1.94 57.23 6.98 64.21 1.167 34.43 25.88 60.31 0.59 17.41 0 42.53 0 59.94 0.22 6.49 16.08 43.65 5.43 71.65 0.06 1.77 59.65 26.26 20.13 107.81 0 0 98.03 13.28 33.08 144.39 100.63 4.95 33.95 139.53 60.53 1.35 20.42 82.3 30.6 10.33 40.93 11.41 3.85 15.26 3.11 1.05 4.16 61
  67. 67. 62 CAPÍTULO V 5.1 Método de la curva número La relación entre la escorrentía y la lluvia que la origina ha sido objeto de múltiples análisis e interpretaciones hidrológicas. Si bien es cierto que existe una estrecha interrelación entre ambos elementos hidrológicos, ésta no es una asociación fija e invariable en el tiempo y en el espacio. Básicamente, la relación lluvia- escorrentía está determinada por las características específicas de la cuenca tales como pendiente, vegetación, tipo de suelos y otras. El conjunto de ellas determina la respuesta del sistema, o cuenca, ante la ocurrencia de la lluvia. Los diversos métodos desarrollados para el análisis del proceso tratan de cuantificar esta capacidad de respuesta de la cuenca. La forma más simple está dada por la adopción de un coeficiente global que expresa, en forma de porcentaje, la relación entre lo precipitado y lo escurrido. Esto es lo que se denomina el coeficiente de escorrentía. Aún cuando este método ha sido bastante difundido, sus limitaciones son obvias si se tiene en cuenta la excesiva simplificación del ciclo hidrológico que él mismo hace. El servicio de Conservación de Suelos, SCS, de los Estados Unidos, luego del análisis de gran número de datos de cuencas experimentales, ha desarrollado un método de estimación de la escorrentía. Dicho método se basa en el análisis del complejo suelo cobertura y las condiciones de humedad del suelo antes de la ocurrencia de la precipitación. La relación básica del procedimiento es: Re tención _ Re al Escorrentía _ Re al = Re tención _ Potencial Escorrentìa _ Potencial (5.1) Si se adopta la designación de variables siguientes: S: Q: Ia: P: retención potencial escorrentía real pérdidas por intercepción, almacenamiento en depresiones e infiltración. precipitación. La ecuación (5.1) puede escribirse ahora como: ( P − Ia) − Q Q = S P − Ia (5.2) Efectuando operaciones: [( P − Ia) − Q ]* ( P − Ia) = Q * S 62
  68. 68. 63 ( P − Ia) 2 − ( P − Ia) * Q = Q * S ( P − Ia) 2 = Q * S + Q * ( P − Ia) ( P − Ia) 2 = Q * ( S + ( P − Ia)) Q= ( P − Ia) 2 S + ( P − Ia) (5.3) Trabajos realizados en diversas cuencas experimentales han permitido establecer que el valor de Ia es aproximadamente el 20% del valor de S, o sea: Ia = 0.20 * S (5.4) Reemplazando (5.4) en (5.3), se tiene: Q= ( P − 0.20 * S ) 2 S + P − 0.20 * S Finalmente: Q= ( P − 0.20 * S ) 2 P + 0.80 * S (5.5) El valor de S, en centímetros, se relaciona con el número de curva de escorrentía a través de la expresión: S= 2540 − 25.40 CN (5.6) donde: CN: valor de la curva número El valor de CN se determina a partir de las características de infiltración y uso del suelo, la cobertura vegetal y las condiciones de humedad en la cuenca al momento de producirse la precipitación, lo que se denomina humedad antecedente; los rangos establecidos experimentalmente son: Condición de humedad Antecedente I II III ILRI, 1978 Lluvia total de los 5 días previos (cm) 0 - 3.50 3.50 - 5.25 más de 5.25 63
  69. 69. 64 Las condiciones hidrológicas pueden aproximarse a partir del grado de cobertura vegetal del área en estudio, de la forma siguiente: Condición Hidrológica Porcentaje de Cobertura vegetal (%) Buena más de 75 Regular Entre 50 y 75 Mala menos del 50 ILRI, 1978 En lo referente al grupo hidrológico del suelo, éste es un parámetro que trata de ponderar las características de infiltración del suelo. De acuerdo a ello, se han establecido cuatro grupos: Grupo A B C D ILRI, 1978 Infiltración Alta Moderada Lenta Muy lenta Con la información descrita puede determinarse el número de curva, CN, empleando la Tabla Nº1, la cual corresponde a condiciones de humedad antecedente II. Para otras condiciones, debe emplearse la Tabla Nº 2, en el anexo 2. 5.2 Distribución del evento en el tiempo El método del número de curva no considera la variable tiempo por lo que previamente a su aplicación se requiere distribuir la precipitación a lo largo de la duración total del evento; luego para el cálculo de los hidrogramas generados por la precipitación efectiva de cada intervalo también se requerirá considerar el factor tiempo. Para la distribución de la lluvia en el tiempo debe considerarse previamente el intervalo de trabajo a emplear. Una regla práctica para ello establece que dicho intervalo debe ser igual o menor que la cuarta parte del tiempo al pico de la cuenca. Establecido el intervalo de trabajo se utiliza la denominada curva adimensional de tormentas que es un gráfico que relaciona la fracción acumulada de tiempo transcurrido, respecto a la duración total del evento, con la fracción acumulada, respecto a la lámina total del evento, de la lámina precipitada. En la figura 5.1. Pueden apreciarse las curvas adimensionales de lluvia típicas desarrolladas por el Servicio de Conservación de Suelos, SCS. 64
  70. 70. 65 Figura 5.1. Curvas adimensionales de tormentas (SCS, 1958) Sin embargo, es recomendable tratar de obtener curvas características para las zonas en estudio a partir de la información disponible. Para el cálculo de los valores de caudales en los hidrogramas generados puede utilizarse el hidrograma adimensional de escorrentía. Este es un gráfico donde en el eje x se encuentran los valores discretizados en intervalos de 0.25 del tiempo al pico y desde 0 hasta 5 veces el tiempo al pico. En el eje y se colocan los correspondientes valores para cada x, pero expresados en términos qt / qp; es decir como una fracción del caudal pico. El hidrograma adimensional desarrollado por el SCS se muestra a continuación: T/Tp 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 qt/qp 0 0.12 0.43 0.83 1 0.88 0.66 0.45 0.32 0.22 0.15 0.105 0.075 0.053 0.036 0.026 0.018 0.012 0.009 0.006 0.004 65
  71. 71. 66 El procedimiento a seguir puede resumirse en los siguientes pasos: • • La duración de la lluvia total se divide en intervalos iguales, o menores, a 0.25 del tiempo al pico Para cada intervalo se calcula la relación: tiempo _ acumulado _ hasta _ el _ int ervalo Duración _ total • Empleando la curva adimensional de tormenta, se calcula la relación: Precipitación acumulada hasta el intervalo dado Precipitación total • • • • Con el valor anteriormente obtenido se calcula el valor de la lluvia acumulada Con la lluvia acumulada, y las ecuaciones (5.5) y (5.6), pueden obtenerse los valores de la lámina de escorrentía directa acumulada. Con los valores obtenidos en el paso anterior pueden obtenerse las láminas de escorrentía directa generados en cada intervalo Luego, se calcula el caudal pico producido por la lámina de escorrentía correspondiente a cada intervalo de tiempo. Para ello se emplea la siguiente ecuación: qp = 0.208 * A * Q Tp (5.7) donde: A: Q: Tp: qp: • • área de la cuenca, Km2 escorrentía directa, mm tiempo al pico, horas caudal pico en m3/s. Empleando el hidrograma adimensional de escorrentía se calcula el hidrograma correspondiente a cada intervalo de tiempo. Se suman los hidrogramas de cada intervalo, para calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante 66
  72. 72. 67 5.3 Problemas de aplicación de la Curva Número PROBLEMA 5.3.1 Una cuenca tiene 47.36 Km de longitud máxima de recorrido de la escorrentía y una diferencia de cota de 1000 mts entre el punto más remoto y la salida, con un área total de 350 Km2. En ella, el 30 % del área tiene CNII de 88; 40% posee CNII de 82 y el 30% restante tiene CNII de 75. Sobre esta cuenca ocurre una lluvia de 70 mm en tres horas. Calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante del evento empleando la curva adimensional de lluvia y el hidrograma adimensional de escorrentía que se dan a continuación y asumiendo que al producirse el evento las curvas números están en condición I. t/T p/Pt 0 0 t/Tp 0 qt/qp 0 0.1 0.3 0.2 0.5 0.3 0.7 0.4 0.8 0.5 0.87 0.6 0.91 0.7 0.95 0.8 0.97 0.9 0.99 1.0 1.0 0.25 0.12 0.50 0.4 0.75 0.83 1.0 1.0 1.25 0.85 1.50 0.66 1.75 0.45 2.0 0.32 2.25 0.22 2.50 0.15 2.75 3.0 3.25 3.50 3.75 4.0 4.25 4.50 4.75 5.0 0.105 0.075 0.053 0.036 0.026 0.018 0.012 0.009 0.005 0.004 SOLUCIÓN La curva adimensional de lluvia permite desagregar la duración total del evento en intervalos de tiempo más pequeños. Sin embargo el problema será determinar cuál es el intervalo de trabajo más recomendable de manera de no perder precisión en el cálculo o generar un excesivo, e innecesario, número de segmentos. Al respecto, una regla práctica establece que la longitud del intervalo de trabajo recomendado es que sea menor o igual a la cuarta parte del tiempo al pico; de allí que la solución de este problema se inicie por calcular el tiempo de concentración de la cuenca, para lo cuál se dispone de la información necesaria, y luego relacionarlo con el tiempo al pico, luego: Tc = 0.0195 * L1.155 * H −0.385 Tc = 0.0195 * (47.36 *1000)1.155 * 1000−0.385 Tc = 5.715 h A partir de este valor puede calcularse el tiempo al pico empleando la relación: Tp = 0.7*Tc = 0.7*5.715 h = 4 h 67
  73. 73. 68 Luego el intervalo de trabajo será: IT ≤ 0.25 Tp IT ≤ 0.25* 4 h IT ≤ 1.0 h. El resultado indica que el evento de tres horas de duración total será segmentado en 3 intervalos de una hora cada uno. Luego se calcula la relación t/T, en la cual t es el tiempo acumulado hasta el intervalo considerado y T la duración total del evento. Empleando la curva adimensional de lluvia puede determinarse el valor p/P, correspondiente a cada t/T. El valor p es la precipitación acumulada hasta el tiempo t y P la precipitación total del evento. Los valores de p/P permiten calcular la precipitación acumuladas hasta cada intervalo, Pa, tal como se aprecia en el cuadro siguiente. T(h) 0 1 2 3 t/T 0 0.33 0.67 1 p/P 0 0.73 0.938 1 Pa(cm) 0 5.11 6.566 7 Qa(cm) 0 0.382 0.888 1.069 Qparc.(mm) 0 3.82 5.06 1.81 qp(m3/s) 0 69.52 92.09 32.94 El valor Qa corresponde a la lamina escorrentía directa acumulada hasta el intervalo t y se calcula utilizando la expresión: Q= ( P − 0.20 * S ) 2 ( P + 0.8 * S ) donde S es el coeficiente de retención potencial del suelo el cuál puede calcularse por la relación siguiente, para S en centímetros: S= 2540 − 25.4 CN aquí, CN es la curva número de la cuenca y es función de las condiciones de suelo, vegetación y humedad antecedente. De acuerdo al enunciado del problema la condición de humedad antecedente es I al momento de producirse el evento, por lo cual cada una de las curvas número proporcionadas deberán ser llevadas a esta condición; para ello pueden utilizarse las ecuaciones: CN I = 4.2 * CN II 10 − 0.058 * CN II CN III = 23 * CN II 10 + 0.13 * CN II luego: 68
  74. 74. 69 CNII = 88→CNI = 75.49 CNII = 82→CNI = 65.675 CNII = 75→CNI = 55.75 Como existen 3 sectores de la cuenca con diferentes valores de CN resulta conveniente ponderar dichos valores por sus respectivas áreas obteniéndose: CNp = 75.49 * 0.3 + 65.675 * 0.4 + 55.75 * 0.3 = 65.642 y el coeficiente de retención será: S= 2540 − 25.40 = 13.29cm 65.642 Determinada la precipitación efectiva acumulada, por diferencia puede calcularse la escorrentía directa para cada intervalo, Qparc; cada una de estas láminas producirá un hidrograma de salida del cuál puede conocerse su caudal pico aplicando la ecuación: qp = 0.208 * donde: qp: A: Q: Tp: A*Q Tp caudal pico, m3/seg área de la cuenca, Km2 lámina de escorrentía, mm tiempo al pico de la cuenca, horas El problema será ahora definir completamente los hidrogramas de escorrentía directa de cada intervalo. Para ello se utiliza el concepto de hidrograma adimensional de escorrentías el cuál no es otra cosa sino la relación entre el porcentaje de tiempo transcurrido, t/Tp, y el porcentaje del caudal instantáneo con relación al caudal pico, qt/qp. En el cuadro adjunto las dos primeras columnas corresponden a la relación adimensional de tiempos y caudales. Por ejemplo el par de valores 0.25 y 0.12 de la segunda línea debe interpretarse como que en el instante en que ha transcurrido el 25 % del tiempo al pico, el caudal es igual al 12 % del caudal pico correspondiente a la primera hora. Ello permite calcular el tiempo absoluto transcurrido hasta este intervalo, el cuál será igual a 0.25*Tp = 0.25*4 h = 1; este valor se coloca en la columna T(h). El caudal instantáneo, columna Qd, para ese momento será entonces igual a 0.12*69.52 = 8.34 m3/seg. Procediendo de forma análoga para la tercera línea se tendrá que transcurrido un lapso igual al 50 % del tiempo al pico se produce un caudal igual al 40 % del caudal pico de la primera hora lo cuál equivale a 0.4*69.52 = 27.81 m3/seg. El resto de los valores del 69
  75. 75. 70 hidrograma generado por la escorrentía directa de la primera hora se calculan procediendo de forma similar. Los hidrogramas correspondientes a la segunda y tercera hora se calcula de la misma forma teniendo en cuenta los desplazamientos que deben efectuarse. El hidrograma de escorrentía directa resultante, Qdt, se muestra en la última columna del cuadro. t/Tp 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 qt/qp 0 0.12 0.4 0.83 1 0.85 0.66 0.45 0.32 0.22 0.15 0.105 0.075 0.053 0.036 0.026 0.018 0.012 0.009 0.005 0.004 T(h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Qd=qt/qp*69.52 Qd=qt/qp*92.09 Qd=qt/qp*32.94 Qdt(m3/s) 0 0 8.34 0 8.34 27.81 11.05 0 38.86 57.7 36.84 3.95 98.49 69.52 76.43 13.18 159.13 59.09 92.09 27.34 178.52 45.88 78.28 32.94 157.1 31.28 60.78 28 120.06 22.25 41.44 21.74 85.43 15.29 29.47 14.82 59.58 10.43 20.26 10.54 41.23 7.3 13.81 7.25 28.36 5.21 9.67 4.94 19.82 3.68 6.91 3.46 14.05 2.5 4.88 2.47 9.85 1.81 3.32 1.75 6.88 1.25 2.39 1.19 4.83 0.83 1.66 0.86 3.35 0.63 1.11 0.59 2.33 0.35 0.83 0.4 1.58 0.28 0.46 0.3 1.04 0.37 0.16 0.53 0.13 0.13 70
  76. 76. 71 PROBLEMA 5.3.2 Una cuenca de 15 Km2 de área total tiene 6 Km2 con curva número 60, 5 Km2 con curva número 85, el resto del área con curva número 93. El tiempo al pico de la cuenca se puede estimar en 2 horas. Sobre ella ocurre una precipitación de 3 horas de duración y lámina total precipitada igual a 39.87 mm. Se pide calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante, empleando la curva adimensional de lluvia y el hidrograma adimensional de escorrentía que se da a continuación: t/T p/Pt 0 0 T/Tp 0 qt/qp 0 0.1 0.3 0.2 0.5 0.3 0.7 0.4 0.8 0.5 0.87 0.6 0.91 0.7 0.95 0.8 0.97 0.9 0.99 1.0 1.0 0.25 0.12 0.50 0.4 0.75 0.83 1.0 1.0 1.25 0.85 1.50 0.66 1.75 0.45 2.0 0.32 2.25 0.22 2.50 0.15 2.75 3.0 3.25 3.50 3.75 4.0 4.25 4.50 4.75 5.0 0.105 0.075 0.053 0.036 0.026 0.018 0.012 0.009 0.005 0.004 SOLUCION En este caso, el intervalo de trabajo a utilizar será IT≤ 0.25*2 = IT≤ 0.5 horas. La curva número promedio ponderada para el conjunto de la cuenca es: CN = 6 * 60 + 5 * 85 + 4 * 93 = 77.13 15 para el cuál se tendrá un valor igual a 7.53 cm para el almacenamiento potencial del suelo. Luego, aplicando los mismos criterios y relaciones del problema anterior pueden elaborarse los cuadros mostrados a continuación. T(h) t/T p/P Pa(cm) Qa(cm) Qp(mm) qp(m3/s) 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0.17 0.44 1.75 0.008 0.08 0.12 1 0.33 0.73 2.91 0.22 2.12 3.31 1.5 0.5 0.87 3.47 0.406 1.86 2.9 2 0.67 0.938 3.74 0.511 1.05 1.64 2.5 0.83 0.976 3.89 0.573 0.62 0.97 3 1 1 3.99 0.616 0.43 0.67 71
  77. 77. 72 T/Tp qt/qp T(h) Qd1(m3/s) Qd2(m3/s) Qd3(m3/s) Qd4(m3/s) Qd5(m3/s) Qd6(m3/s) Qdt(m3/s) 0 0 0 0 0.25 0.12 1 0.014 0 0.5 0.4 2 0.048 0.397 0 0.75 0.83 3 0.1 1.324 0.348 0 1 1 4 0.12 2.747 1.16 0.197 0 1.25 0.85 5 0.102 3.31 2.407 0.656 0.116 qt/qp*0.12 qt/qp*3.31 qt/qp*2.9 qt/qp*1.64 qt/qp*0.97 qt/qp*0.67 0 0.014 0.445 1.772 4.224 0 6.591 1.5 0.66 6 0.079 2.814 2.9 1.361 0.388 0.08 7.622 1.75 0.45 7 0.054 2.185 2.465 1.64 0.805 0.268 7.417 2 0.32 8 0.038 1.49 1.914 1.394 0.97 0.556 6.362 2.25 0.22 9 0.026 1.059 1.305 1.082 0.82 0.67 4.962 2.5 0.15 10 0.018 0.728 0.928 0.738 0.64 0.57 3.622 2.75 0.105 11 0.013 0.497 0.638 0.525 0.44 0.44 2.553 3 0.075 12 0.009 0.348 0.435 0.361 0.31 0.302 1.765 3.25 0.053 13 0.006 0.248 0.305 0.246 0.213 0.214 1.232 3.5 0.036 14 0.004 0.175 0.218 0.172 0.146 0.147 0.862 3.75 0.026 15 0.003 0.119 0.154 0.123 0.102 0.101 0.602 4 0.018 16 0.002 0.086 0.104 0.087 0.073 0.07 0.422 4.25 0.012 17 0.001 0.06 0.075 0.059 0.051 0.05 0.296 4.5 0.009 18 0.001 0.04 0.052 0.043 0.035 0.036 0.207 4.75 0.005 19 0.001 0.03 0.035 0.03 0.025 0.024 0.145 5 0.004 20 0 0.017 0.026 0.02 0.018 0.017 0.098 0.013 0.015 0.015 0.012 0.012 0.067 0.012 0.008 0.009 0.008 0.037 21 22 72
  78. 78. 73 CAPITULO VI 6.1 Tránsito por embalses Un embalses es una estructura de almacenamiento que permite regular el escurrimiento de un río; es decir, para almacenar el volumen de agua que escurre en exceso en las temporadas de lluvia para posteriormente usarlo en las épocas de sequía cuando los escurrimientos son escasos. Las características topográficas de un sitio de presa se resumen en la denominada curva altura – área – capacidad, la misma que permite calcular el volumen almacenado y el área de la superficie libre para cualquier altura del nivel de agua. Esta curva se calcula siguiendo los siguientes pasos: • • • Se mide el área encerrada por cada curva de nivel. El volumen almacenado entre dos curvas de nivel se calcula como el producto de la semisuma de las áreas inicial y final por el intervalo entre curvas. El volumen de agua almacenada hasta una altura dada se obtiene acumulando los valores obtenidos en el paso anterior. Los volúmenes característicos de un embalse se muestran en la figura 6.1. Figura 6.1 Volúmenes característicos en un embalse En el gráfico: CNM: CNN: CNMa: VM: VU: VSA: cota de nivel muerto cota de nivel normal cota a nivel máximo volumen muerto volumen útil almacenamiento de seguridad, (control de crecientes) 73
  79. 79. 74 El tránsito a través del embalse es el procedimiento por medio del cuál se determina el hidrograma de salida, conocidos el hidrograma de entrada, el nivel del agua al inicio del tránsito y las normas de funcionamiento de la estructura. El procedimiento se esquematiza en la figura 6.2. Figura 6.2 Esquema del tránsito de una creciente a través de un embalse Las ecuaciones de tránsito a través de un embalse se deducen a partir de la ecuación fundamental de la hidrología: ENTRADAS - SALIDAS = CAMBIO EN EL ALMACENAMIENTO Expresando esta ecuación en términos de volumen, y para un intervalo de tiempo ∆t, se tendrá: ( I1 + I 2) (O1 + O 2) * ∆t − * ∆t = S 2 − S1 2 2 (6.1) Los términos con subíndice 1 corresponden al instante inicial del intervalo, mientras que los poseen el subíndice 2 son los instante 2; el valor O1 corresponde al caudal de salida al iniciarse al cálculo, siendo dato del problema o pudiendo deducirse de las condiciones iniciales. Si ahora los valores de la ecuación (6.1) se reordenan colocando en el lado izquierdo los valores conocidos, se tendrá: I1 + I 2 − O1 − O 2 = 2 * S 2 2 * S1 − ∆t ∆t 74
  80. 80. 75 I1 + I 2 + 2 * S1 2* S2 − O1 = + O2 ∆t ∆t (6.2) La ecuación (6.2) tiene dos incógnitas; para resolverla se construye una expresión 2*S + O con O. El procedimiento a seguir es el descrito que relaciona los valores de ∆t brevemente a continuación: 1. Se fija el intervalo ∆t que se empleará para el transito; es recomendable que dicho intervalo sea el del hidrograma de entrada. 2. Se calcula O con la ecuación, (o ecuaciones) de descarga 3. Se determina S con la curva Altura- Area-Capacidad 4. Se determina 2*S +O ∆t Para el tránsito por el embalse deben seguirse los siguientes pasos: 1. Se fija el nivel del agua en el embalse. 2 * S1 + O1 , correspondiente del nivel al inicio del transito, en la 2. Se determina O1 y ∆t 2*S + O Vs O. curva ∆t 2 * S1 2 * S1 3. Se Calcula − O1 , restándole 2*O1 a + O1 ∆t ∆t 4. Con los valores de I1 e I2, conocidas del hidrograma de entrada y el resultado del 2* S2 paso 3, se calcula + O2 ∆t 2 * S1 2* S2 I1 + I 2 + − O1 = + O2 ∆t ∆t 2*S + O Vs O , se determina O2 5. Con el resultado anterior y la curva ∆t 2* S2 2* S2 + O 2 , con esto se obtiene − O2 6. Se resta O2 dos veces de ∆t ∆t 7. Se pasa al siguiente intervalo y se vuelve al paso 4 75
  81. 81. 76 6.2 Tránsito por cauces naturales El método de Muskingum es un procedimiento de tránsito hidrológico que se usa comúnmente para manejar la relación caudal – almacenamiento en los cauces naturales. Este método modela el almacenamiento volumétrico de creciente en un tramo de un río mediante la combinación del almacenamiento de cuña y prisma, tal como se esquematiza en la figura 6.3 Figura 6.3 Esquema del tránsito por cauces naturales Durante el avance de la onda de creciente, el caudal de entrada es mayor que el de salida, siendo un almacenamiento de cuña. Adicionalmente, existe un almacenamiento por prisma que esta formado por un volumen de sección transversal constante a lo largo de la longitud del canal. Suponiendo, que el área de la sección transversal del flujo de la creciente es directamente proporcional al caudal en la sección el almacenamiento por prisma es igual a KO, donde K es un coeficiente de proporcionalidad ( es el tiempo de tránsito de la onda de creciente a través del tramo del canal). El volumen de almacenamiento por cuña es igual a Kx(I-O), donde x es un factor de ponderación dentro de un rango 0≤x≤0.5 ( llamado el peso del volumen de cuña en el calculo de volumen total). S = KO + Kx( I − O) (6.3) Lo cual puede reordenarse para dar la función de almacenamiento por el método de Muskingun. S = K [xI + (1 − x )O ] (6.4) El valor de x depende de la forma de almacenamiento por cuña modelada; su valor varía desde 0 para un almacenamiento tipo embalse hasta 0.5 para una cuña completamente desarrollada. Los valores de almacenamientos pueden escribirse como: ∆S = K [x(I 2 − I1) + (1 − x )(O 2 − O1)] (6.5) 76
  82. 82. 77 por continuidad: ∆S = (I1 + I 2) ∆t − (O 2 − O1) ∆t 2 (6.6) 2 igualando (6.5) y (6.6): K [x(I 2 − I1) + (1 − x )(O 2 − O1)] = (I1 + I 2) ∆t − (O 2 − O1) ∆t 2 (6.7) 2 despejando O2: O2 = − ( Kx − 0.5t ) ( Kx + 0.5t ) ( K − Kx − 0.5t ) *I2 + * I1 + * O1 ( K − Kx + 0.5t ( K − Kx + 0.5t ) ( K − Kx + 0.5t ) O 2 = Co * I 2 + C1 * I1 + C 2 * O1 (6.8) los coeficientes deben cumplir la condición: Co + C1 + C 2 = 1 (6.9) 77
  83. 83. 78 6.3 Problemas relativos a el transito por el embalse y transito por el cauce PROBLEMA 6.3.1 A un tramo de un río, con parámetros de tránsito K= 10 horas y x = 0.08 llega la siguiente creciente: T(h) Q(m3/s) T(h) Q(m3/s) 0 50 30 250 3 65 33 200 6 125 36 165 9 200 39 140 12 320 42 120 15 475 45 100 18 545 48 85 21 490 51 75 24 372 27 300 Calcular cuál será el caudal máximo de la creciente a la salida del tramo. SOLUCION En este caso los coeficientes de Muskingum para el tránsito en el cauce serán: Co = − (10 * 0.08 − 0.5 * 3) − ( K * x − 0.5 * t ) = = 0.0654 ( K − K * x + 0.5 * t ) (10 − 10 * 0.08 + 0.5 * 3) C1 = ( K * x + 0.5 * t ) (10 * 0.08 + 0.5 * 3) = = 0.215 ( K − K * x + 0.5 * t ) (10 − 10 * 0.08 + 0.5 * 3) C2 = ( K − K * x − 0.5 * t ) (10 − 10 * 0.08 − 0.5 * 3) = = 0.720 ( K − K * x + 0.5 * t ) (10 − 10 * 0.08 + 0.5 * 3) Verificando que la suma de los coeficientes cumplan la condición: Co+C1+C2 = 1 0.0654+ 0.215 + 0.720 = 1 Luego para este cauce la ecuación de tránsito será: O2 = Co*I2 + C1*I1 + C2*O1 O2 = 0.0654*I2 + 0.215*I1 + 0.720*O1 78

×