ÁREA1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia
Cursos de Engenharia
Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: Álvaro Fernande...
Índice

Limite e continuidade................................................................................................
Limite e continuidade


Noção intuitiva de limite


           Considere a função f ( x ) = x 2 − 1. Esta função está defi...
Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento desta
função quando x está muito p...
Observação:

Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais.

∗ Quando x tende...
0
Cálculo de uma indeterminação do tipo
                                                   0

                            ...
x −1                                     0
                                                  (observe a indeterminação mat...
Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites.

Produtos notáveis:

1º) Quadrado da soma: (a + ...
x2 −7
Exemplo 6. Calcule lim                   usando as propriedades.
                                  2x + 4
          ...
Continuidade
Definição: Seja x0 um ponto do domínio de uma função f. Dizemos que f é contínua no ponto
x0 se:

           ...
b) Calculando o limite, temos:


                                                                                         ...
Limites infinitos


Quando resolvemos um limite e não encontramos como resposta valores numéricos, mas sim
infinito ( + ∞ ...
Regra (generalização)

                                                                       k
                          ...
As tabelas abaixo apresentam situações de operações com infinito que usaremos com freqüencia.

Produto:                   ...
Expressões indeterminadas

                   0
Vimos que            é uma expressão de indeterminação matemática. Também ...
Atividades (grupo 7).

1. Calcule os limites abaixo:

            2x3 − 1
a) lim                  .
   x → +∞ 5 x 3 + x + ...
Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo 0 × ∞, mas não podemos
afirmar, a priori, o valor dela...
Tabela
                                  x                                                                                ...
Conseqüências importantes do limite fundamental exponencial:

                                                            ...
sen( x )
Visualizando o gráfico da função f ( x ) =                             , podemos perceber também este resultado.....
Funções limitadas

Definição: Uma função y = f ( x ) é chamada limitada, se existe uma constante k ∈ ℜ* , tal que
 f ( x )...
cos( x )
b) Calcule lim                 .
                        x
             x → +∞


Solução: de forma análoga...
   ...
1. Problema da área sob o arco da parábola y = x 2 no intervalo [0 , 1] (Figura 1).
   Método dos retângulos.




        ...
1  n(n + 1)(2n + 1)  n(n + 1)(2 n + 1)
=                        =
                                            .
      ...
Derivada

A reta tangente.

Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto...
Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seu
domínio.

Seja y = f ( x ) uma curva...
Definição: Seja y = f ( x ) uma curva e P( xo , y o ) um ponto sobre o seu gráfico. O coeficiente
angular m da reta tangen...
Equação da reta normal

Definição: Seja y = f ( x ) uma curva e P( xo , y o ) um ponto sobre o seu gráfico. A reta normal ...
Outras notações para a derivada da função y = f ( x ) num ponto x qualquer:

         y' ( x ) (lê-se: y linha de x ou der...
Definição: Seja y = f ( x ) uma função e xo um ponto do seu domínio. A derivada à esquerda de f
em xo , denotada por f − '...
Regras de derivação

Vamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem recorrer
a...
3. Derivada do produto de uma constante por uma função.

Se f ( x ) é uma função derivável e c é uma constante real, então...
Apostila Alvaro Lim Deriv
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Apostila Alvaro Lim Deriv

  1. 1. ÁREA1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia Cursos de Engenharia Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Álvaro Fernandes Serafim  a  ax  ln  lim  1 +   = 25 .  x → +∞  x    Qual o valor de a ? Apostila de limites e derivadas “Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta” George Polya Última atualização: 26/10/2007
  2. 2. Índice Limite e continuidade............................................................................................................. 3 Noção intuitiva de limite........................................................................................................... 3 Tabelas de aproximações........................................................................................................... 4 Cálculo de uma indeterminação do tipo 0/0.............................................................................. 6 Fórmulas de simplificações e propriedades dos limites............................................................ 8 Continuidade............................................................................................................................. 10 Limites infinitos........................................................................................................................ 12 Limites no infinito..................................................................................................................... 13 Expressões indeterminadas....................................................................................................... 15 Limite fundamental exponencial............................................................................................... 17 Limite fundamental trigonométrico.......................................................................................... 19 Funções limitadas..................................................................................................................... 21 Aplicação 1: Problema da área sob o arco de uma parábola..................................................... 23 Aplicação 2: Problema do circuito RL em série...................................................................... 24 Derivada................................................................................................................................... 25 A reta tangente.......................................................................................................................... 25 A reta normal............................................................................................................................ 28 A derivada de uma função num ponto...................................................................................... 28 Derivadas laterais..................................................................................................................... 29 Regras de derivação.................................................................................................................. 31 Derivada da função composta (Regra da cadeia)...................................................................... 33 Derivada da função inversa....................................................................................................... 35 Derivada das funções elementares............................................................................................ 36 Derivada da função exponencial............................................................................................... 36 Derivada da função logarítmica................................................................................................. 37 Derivada das funções trigonométricas...................................................................................... 37 Derivada das funções trigonométricas inversas........................................................................ 40 Tabela de derivadas.................................................................................................................. 42 Derivadas sucessivas................................................................................................................ 43 Derivada na forma implícita..................................................................................................... 45 Derivada de uma função na forma paramétrica........................................................................ 50 Diferencial................................................................................................................................ 54 Aplicações da derivada........................................................................................................... 56 A regra de L’Hospital............................................................................................................... 56 Interpretação cinemática da derivada....................................................................................... 58 Taxa de variação....................................................................................................................... 61 Análise gráfica das funções...................................................................................................... 64 Máximos e mínimos........................................................................................................... 64 Funções crescentes e decrescentes..................................................................................... 67 Critérios para determinar os extremos de uma função........................................................ 68 Concavidade e inflexão....................................................................................................... 70 Assíntotas horizontais e verticais........................................................................................ 72 Esboço gráfico..................................................................................................................... 75 Problemas de otimização......................................................................................................... 80 Álvaro Fernandes 2
  3. 3. Limite e continuidade Noção intuitiva de limite Considere a função f ( x ) = x 2 − 1. Esta função está definida para todo x ∈ℜ , isto é, qualquer que seja o número real xo , o valor f ( xo ) está bem definido. Exemplo 1. Se xo = 2 então f ( xo ) = f (2 ) = 2 2 − 1 = 3 . Dizemos que a imagem de xo = 2 é o valor f (2 ) = 3 . Graficamente: x2 − 1 g( x ) = Considere agora uma outra função . Esta função está definida x −1 ∀x ∈ℜ − {1} . Isto significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1. 12 − 1 0 g (1) = = ??? 1−1 0 Quando dividimos a por b procuramos um número c tal que o produto bc resulte em a. a 6 = c ⇔ bc = a . Por exemplo, = 2 ⇔ 3 ⋅ 2 = 6 . 3 b 0 = x ⇔ 0 ⋅ x = 0 , para qualquer valor de x ∈ ℜ , isto é, infinitos valores de x . Daí a Se fizermos 0 indeterminação no valor de x... 0 simboliza uma indeterminação matemática. Outros tipos de indeterminações matemáticas 0 serão tratados mais adiante. Álvaro Fernandes 3
  4. 4. Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento desta função quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a seguinte pergunta: Qual o comportamento da função g quando x assume valores muito próximos (ou numa vizinhança) de 1, porém diferentes de 1? A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função numa vizinhança de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função f, qualquer valor atribuído a x determina imagem única, sem problema algum. Mas na função g, existe o ponto x = 1 que gera a indeterminação. x2 − 1 Estudemos os valores da função g( x ) = quando x assume valores próximos de 1, x −1 mas diferente de 1. Para isto vamos utilizar as tabelas de aproximações. Observação: Podemos nos aproximar do ponto 1: • por valores de x pela direita: • por valores de x pela esquerda: Tabelas de aproximações As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma função (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto. Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores (pela esquerda) do que 1: (tabela A) x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999 Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores (pela direita) do que 1: (tabela B) x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 g(x) 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001 Observe que podemos tornar g(x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. De outra forma, convencionaremos: “O limite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2”. x2 − 1 Simbolicamente escrevemos: lim g( x ) = 2 = 2. lim ou x −1 x →1 x →1 Álvaro Fernandes 4
  5. 5. Observação: Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais. ∗ Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por x → 1− . Temos então que: Obs: O sinal negativo no expoente do x2 − 1 lim g( x ) = 2 ou =2 no 1 simboliza apenas que x se lim x −1 − − x →1 x →1 aproxima do número 1 pela esquerda. ∗ Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por x → 1+ . Temos então que: x2 − 1 Obs: O sinal positivo no expoente lim g( x ) = 2 ou =2 lim do no 1 simboliza apenas que x se x −1 + + x →1 x →1 aproxima do número 1 pela direita. Definição intuitiva de limite (para um caso geral) Seja f uma função definida num intervalo I ⊂ ℜ contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L ∈ℜ , e escrevemos lim f ( x ) = L , se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a são iguais x→a à L, isto é, lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L . Caso contrário, dizemos que o limite não existe, em x→a x →a lim f ( x ) . símbolo x→a x2 − 1 Ainda com relação à função g( x ) = , podemos então concluir, pela definição, que: x −1 x2 − 1 x2 − 1 x2 − 1 = 2 , porque os limites lateriais lim+ lim e lim− são iguais a 2. x −1 x →1 x − 1 x −1 x →1 x →1 De forma equivalente, lim g( x ) = 2 porque lim g( x ) = lim g( x ) = 2 . x → 1− + x →1 x →1 Será necessário sempre construir tabelas de aproximações para determinar o limite de uma função, caso ele exista? Não! Há uma forma bem mais simples, como veremos a seguir. Álvaro Fernandes 5
  6. 6. 0 Cálculo de uma indeterminação do tipo 0 0 , deveremos simplificar* a Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo 0 expressão da função envolvida. Logo após, calculamos o limite da função substituindo, na expressão já simplificada, o valor de x. * Para simplificar a expressão você deve utilizar fatoração, conjugado de radical, dispositivo prático de Briot-Ruffini para dividir polinômios, etc... Vejamos os exemplos seguintes. x2 − 1 Exemplo 2. Determine lim g( x ) , onde g( x ) = . x −1 x →1 0 Observe que substituindo x por 1 na função g obtemos g (1) = que é uma indeterminação 0 matemática! Quando a variável x está cada vez mais próxima de 1, a função g está cada vez mais próxima de quanto? Devemos então simplificar a expressão da função g e depois fazer a substituição direta. x 2 − 1 ( x − 1)( x + 1) g (x ) = = ( x + 1), ∀x ≠ 1 Então: = (x − 1) x −1 (x − 1)(x + 1) = lim (x + 1) = 1 + 1 = 2 . x2 − 1 x2 − 1 lim g ( x ) = lim = lim = 2. Logo, lim x −1 x − 1 x →1 x −1 x →1 x →1 x →1 x →1 Chegamos à mesma conclusão da análise feita pelas tabelas de aproximações, porém de uma forma mais rápida e sistemática. Não mais utilizaremos as tabelas de aproximações para casos semelhantes a este!! x2 − 1 x2 − 1 = 2 significa que a função g( x ) = Vale lembrar que a expressão lim está x −1 x −1 x →1 tão próxima de 2 assim como x está suficientemente próximo de 1, porém diferente de 1. Graficamente podemos verificar isso: x2 − 1 Gráfico da função g( x ) = , ∀x ≠ 1. x −1 Álvaro Fernandes 6
  7. 7. x −1 0 (observe a indeterminação matemática no ponto x = 1 ). Exemplo 3. Determine lim x −12 0 x →1 (x − 1) x −1 x −1 x +1 1 1 = lim 2 ⋅ = lim = lim = ) ) . lim (x − 1)(x + 1)( (x + 1)( x − 1 x →1 x − 1 2 x + 1 x →1 x +1 x +1 4 x →1 x →1 x −1 Se você construir as tabelas de aproximações, constatará que a função y = está cada vez x −1 2 mais próximo de 1/4 a medida que x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita. x3 − 8 0 (observe a indeterminação matemática no ponto x = 2 ). Exemplo 4. Determine lim x →2 3 x 2 − 12 0 ( ) (x − 2 )(x 2 + 2 x + 4 ) = lim (x ) x3 − 8 x3 − 23 + 2 x + 4 12 2 = lim = lim = =1 lim ( ) 3( x − 2 )( x + 2 ) 3( x + 2 ) 3 x 2 − 12 x→2 3 x 2 − 4 x→2 12 x →2 x →2 x3 − 8 Constate através das tabelas de aproximações que se x → 2 então y = → 1. 3 x 2 − 12 2x3 + 3x − 5 0 (observe a indeterminação matemática no ponto x = 1 ). Exemplo 5. Determine lim 2 x →1 4 x − 3 x − 1 0 Vamos resolver este limite usando o dispositivo prático para dividir polinômios de Briot-Ruffini. Precisaremos antes do... Teorema de D’Alembert: Um polinômio f ( x ) é divisível por ( x − a ) , a ∈ ℜ , se, e somente se, a é uma raiz de f ( x ) , isto é, f (a ) = 0 . (x − a ) f (x ) ⇒ f ( x ) = ( x − a ) ⋅ q( x ) + r ( x ) . Assim, f (a ) = 0 ⇔ r (a ) = 0 . r (x ) q(x ) Como o ponto x = 1 anula os polinômios do numerador e denominador, então ambos são divisíveis por x − 1 . Assim, 2 x3 + 3x − 5 2 x 2 + 2 x + 5 2(1) + 2(1) + 5 9 (x − 1) 2 2x3 + 3x − 5 = (* ) = lim = lim = =. lim 2 4 (1) + 1 x →1 4 x − 3 x + 1 4 x − 3x − 1 4x + 1 2 5 x →1 x →1 (x − 1) (* ) Usamos então o dispositivo de Briot- Ruffini para dividir estes polinômios... 4 -3 -1 1 2 0 3 -5 1 4 1 0 = resto 2 2 5 0 = resto ax + b = 4 x + 1 ax 2 + bx + c = 2 x 2 + 2 x + 5 Obs.: Faça uma revisão deste dispositivo num livro de matemática do ensino médio. Álvaro Fernandes 7
  8. 8. Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites. Produtos notáveis: 1º) Quadrado da soma: (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 . 2 2º) Quadrado da diferença: (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 . 2 3º) Produto da soma pela diferença: (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2 . 4º) Cubo da soma: (a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 . 3 5º) Cubo da diferença: (a − b ) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 . 3 Fatorações: 6º) Fator comum: ax ± ay = a ( x ± y ) . 7º) Diferença de quadrados: a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) . 8º) Trinômio do 2º grau: ax 2 + bx + c = a(x − x' )( x − x' ' ) , onde x' e x' ' são as raízes obtidas pela   −b± ∆ fórmula de Bháskara  x = , onde ∆ = b 2 − 4 ac  .   2a   ) 9º) Soma de cubos: a + b = (a + b )(a − ab + b . 3 3 2 2 ) 10º) Diferença de cubos: a 3 − b 3 = (a − b )(a 2 + ab + b 2 . Conjugado de radicais: ( ) ( a + b )= a − b . a− b é a + b , pois a− b ⋅ 11º) Conjugado de ) , pois ( a − b )⋅ ( a + ab + a −3 b é b2 = a − b . a 2 + 3 ab + 3 b 2 2 3 3 3 3 3 3 3 12º) Conjugado de Proposição (unicidade do limite). Se lim f ( x ) = L1 e lim f ( x ) = L2 , então L1 = L2 . Se o limite de uma função num ponto existe, x→a x→a então ele é único. Principais propriedades dos limites. Se lim f (x ) e lim g ( x ) existem, e k é um número real qualquer, então: x→ a x→ a a) lim [ f ( x ) ± g ( x )] = lim f (x ) ± lim g ( x ) . x→a x→a x→a b) lim k . f ( x ) = k .lim f ( x ) . x→a x→a c) lim [ f (x ) ⋅ g (x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g (x ) . x→a x→a x→a f ( x ) lim f ( x ) , lim g ( x ) ≠ 0 . = x→a d) lim g (x ) lim g ( x ) x →a x→a x→a e) lim k = k . x→a Álvaro Fernandes 8
  9. 9. x2 −7 Exemplo 6. Calcule lim usando as propriedades. 2x + 4 x →1 x 2 − 7 1 lim x − 7 1 lim x +xlim − 7 1 (1) + (− 7 ) − 6 2 2 2 x2 −7 x2 −7 1 = lim = ⋅ lim =⋅ =⋅ =⋅ = = −1 x →1 x →1 →1 lim x →1 2( x + 2 ) x →1 2 x + 4 2 x→1 x + 2 2 lim x + 2 2 lim x + lim 2 1+ 2 2 6 x →1 x →1 x →1 Bastaria substituir o ponto x = 1 diretamente na expressão, obtendo logo Ufa, quanto trabalho!!! −6 = −1 . 6 Atividades (grupo 1). Calcule os limites abaixo: x3 − 1 4 − x2 x2 − 4x + 3 c) lim a) lim b) lim 2 x →1 5 x − 5 x →−2 2 + x x →3 x − x − 6 x −1 8 + x3 x 4 − 16 f) lim d) lim e) lim x −1 x →1 x →−2 4 − x 2 8 − x3 x→2 1 − x2 3− 5+ x 2− x−3 g) lim i) lim h) lim x →−1 x + 2 + x 1− 5 − x x 2 − 49 x →4 x →7 Atividades (grupo 2). Calcule os limites indicados:  x 2 − 1, x ≤ 0 calcule: lim f ( x ) , lim f ( x ) e lim f ( x ) . a) f ( x ) =  ,  x + 1, x > 0 x →−1 x →2 x →0 x2 , x ≠ 2 calcule: lim g( x ) . b) g( x ) =  , 3 , x = 2 x →2 4 − x 2 , x < 1 calcule: lim h( x ) . c) h( x ) =  , 5 − 2 x , x > 1 x →1 2 x , x < 0  d) l ( x ) = 1 − x 2 , 0 ≤ x < 2 , calcule: lim l ( x ), lim l ( x ), lim l ( x ) e lim l ( x ) . x →0 x→2 x → −∞ x → +∞  2 x − 6 , x ≥ 2 Álvaro Fernandes 9
  10. 10. Continuidade Definição: Seja x0 um ponto do domínio de uma função f. Dizemos que f é contínua no ponto x0 se: lim f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 Exemplo 7. A função do exemplo 1 (pág. 3) é contínua no ponto x0 = 2 , pois lim f ( x ) = f (2 ) = 3 . x →2 Na verdade esta função é contínua em ℜ , isto é, em todos os pontos da reta (do seu domínio). Exemplo 8. Algumas funções que não são contínuas no ponto x0 : a) b) c) Pois... a) não existe lim f ( x ) , apesar de f ( x0 ) existir, neste caso f ( x0 ) = L ; x→ x0 lim f ( x ) = L1 . Existe f ( x0 ) , neste caso f ( x0 ) = L2 , mas lim f ( x ) , isto é b) existe x → x0 x→ x0 lim f ( x ) ≠ f ( x0 ) ; x → x0 c) não existe lim f ( x ) , apesar de f ( x0 ) existir, neste caso f ( x0 ) = L . x→ x0 Exemplo 9. Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados:  1 − x2 , x >1  x −1   x 2 − 16  , x≠4  8 − 2x 2   2x − 2 a) f ( x ) =  b) g ( x ) =  x0 = 4 . , , x<1 x0 = 1 . ,  1− x 2 x − 4 , x = 4      1 − 5 x , x = 1   (x − 4 )(x + 4 ) = lim − (x + 4 ) = −4 . x 2 − 16 = lim Soluções: a) Calculando o limite, temos: lim 2(4 − x ) 8 − 2 x x →4 2 x→4 x→4 Calculando a imagem, temos: f (4 ) = 2(4 ) − 4 = 4 . Como lim f ( x ) ≠ f (4 ) , então a função não é x→4 contínua (ou descontínua) no ponto x0 = 4 . Álvaro Fernandes 10
  11. 11. b) Calculando o limite, temos: ) = lim (1 − x )(1 + x ) ⋅ (1 − x )(1 + x )( ) 1 − x2 x +1 x +1 − (1 + x )( x + 1 = −4 = lim+ = lim+ lim+ x −1 x −1 x −1 x +1 x →1+ x →1 x →1 x →1 ( ) (x − 1)(x + 1) = 2 lim 2x2 − 2 2 x2 − 1 − ( x + 1) = 2(− 2 ) = −4 = lim− = 2 lim− lim− 1− x 1− x 1− x x →1 − x →1 x →1 x →1 Como os limites laterais são iguais, temos que lim g ( x ) = −4 . x →1 Calculando a imagem, temos: g (1) = 1 − 5(1) = −4 . Como lim g ( x ) = g (1) , então a função é contínua no ponto x0 = 1 . x →1 Atividades (grupo 3). Determine, se possível, a constante a ∈ ℜ de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto x o , sendo: 3ax 2 + 2 , x < 1 ax 2 + 2 , x ≠ 1  a) f ( x ) =  (xo = 1) . b) g ( x ) =  2 (x o = 1) . x − 2, x ≥ 1 a , x = 1  Atividades (grupo 4). Determine, se possível, as constantes a e b ∈ ℜ de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto x o , sendo: 2a. cos(π + x ) + 1, x < 0 3 x − 3, x > −3   c) f ( x ) = ax , x = −3 ( x o = −3 ) . d) g ( x ) = 7 x − 3a , x = 0 (xo = 0 ) . bx 2 + 1, x < −3 b − 2 x 2 , x > 0   Propriedades das funções contínuas. Se as funções f e g são contínuas em um ponto x0 , então: i) f ± g é contínua em x0 ; . ii) f g é contínua em x0 ; iii) f / g é contínua em x0 desde que g ( x0 ) ≠ 0 . Álvaro Fernandes 11
  12. 12. Limites infinitos Quando resolvemos um limite e não encontramos como resposta valores numéricos, mas sim infinito ( + ∞ ou − ∞ ), dizemos então que o limite é infinito. x2 − 1 Exemplo 10. Calcule lim . x −1 x → −1 x2 − 1 0 Neste caso, quando fazemos a substituição de x por − 1 na expressão =0. , encontramos x −1 −2 0 Esta não é uma situação especial. Sempre que na substituição de x ocorrer , k ≠ 0 , o resultado k do limite será sempre zero, naturalmente. k , k ≠0? E se na substituição do valor de x ocorrer 0 Vamos analisar esta situação num caso particular e depois formalizar uma regra. 1 Exemplo 11. Estude o seguinte limite: lim . x x →0 Devemos analisar os limites laterais. Vamos recorrer às tabelas de aproximações: Aproximação do zero pela direita (notação x → 0 + ) x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 f(x)=1/x 1 10 100 1000 10.000 Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela direita), f ( x ) = 1 x cresce indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim: 1 = +∞ lim+ x x →0 Aproximação do zero pela esquerda (notação x → 0 − ) x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 f(x)=1/x -1 -10 -100 -1000 -10.000 Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela esquerda), f ( x ) = 1 x decresce indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim: 1 = −∞ lim− x x →0 1 Conclusão: Como os limites laterais são distintos, então . lim x x →0 Veja ao lado o gráfico da função f ( x ) = 1 x . Álvaro Fernandes 12
  13. 13. Regra (generalização) k , k ≠ 0 , então diremos que a Se na substituição do valor de x no cálculo de um limite ocorrer 0 resposta do limite é:  k k + ∞ , se ocorre 0 + , k > 0 − ∞ , se ocorre ,k < 0 e 0+  .   k k − ∞ , se ocorre − , k > 0 + ∞ , se ocorre ,k < 0 e 0−  0 k → 0 . Se o denominador tende ao infinito com o numerador Desta regra podemos perceber que ±∞ constante, a razão se aproxima de zero. Como veremos agora. Limites no infinito Estamos interessados agora em estabelecer o comportamento de uma função quando a variável x cresce indefinidamente ( x → +∞ ) ou quando ela decresce indefinidamente ( x → −∞ ). Em algumas situações, a função se aproxima de um valor numérico (figura 1), noutros pode também crescer indefinidamente (figura 2) ou decrecer indefinidamente (figura 3). Figura 1 Figura 2 Figura 3 Exemplo 12. 1  Na figura 1: lim  + 1 = 0 + 1 = 1 . x → +∞ x   Na figura 2: lim ( x + 1) = +∞ . x → +∞ Na figura 3: lim (4 − x 2 ) = −∞ . x → +∞ Álvaro Fernandes 13
  14. 14. As tabelas abaixo apresentam situações de operações com infinito que usaremos com freqüencia. Produto: Soma: (∞ ) ⋅ (∞ ) = ∞ (∞ ) + (∞ ) = ∞  (∞ ) ⋅ (− ∞ ) = −∞ (− ∞ ) + (− ∞ ) = −∞   (− ∞ ) ⋅ (∞ ) = −∞ (∞ ) − (∞ ) = ? indeterminação!  (− ∞ ) ⋅ (− ∞ ) = ∞  Produto por constante: Soma com constante: (± ∞ ) + k = ±∞ , k ∈ ℜ k ⋅ (∞ ) = ∞ , k > 0 k ⋅ (− ∞ ) = −∞ , k > 0   k ⋅ (∞ ) = −∞ , k < 0 k ⋅ (− ∞ ) = ∞ , k < 0  Quociente: Potências: ±∞ Se n é um natural não nulo, então: = ? indeterminação! ±∞ ∞ , se n é par. (− ∞ )n =  (∞ )n = ∞ e  − ∞ , se n é ímpar. Atividades (grupo 5). Calcule os limites: x2 a) lim . x→2 x − 2 2x − 4 b) lim . ( x − 3 )2 x →3 2x − 7 c) lim . ( x − 3 )2 x →3 5 − 2x3 + 6 . d) lim 2 3x x → +∞ Atividades (grupo 6). Calcule os limites: 3− x 3−x x−2 x 2 − 10 b) lim− d) lim+ a) lim+ c) lim− x−5 x + x −6 x +x−2 2 2 2 x + 10 x→2 x →1 x →5 x → −5 Álvaro Fernandes 14
  15. 15. Expressões indeterminadas 0 Vimos que é uma expressão de indeterminação matemática. Também são: 0 ∞ , ∞ − ∞ , 0 × ∞ , 1∞ , 0 0 e ∞0 . ∞ Vamos analisar os quatro primeiros casos. Os outros serão tratados em capítulos posteriores. ∞ . A indeterminação do tipo ∞ Exemplo 13. Calcule os limites abaixo: x3 + 1 6 x2 + 1 x2 + 1 a) lim b) lim c) lim x4 + x 3x 2 + x 5x 2 + 3 x → +∞ x → +∞ x → +∞ ∞ , pois quando x → +∞ Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo ∞ as expressões do numerador e denominador também tendem a + ∞ . Não podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: a)  1  1  1 x 3 1 + 3  x 1 + 3  lim x 1 + 3  x  + ∞(1 + 0 ) + ∞ x +1 3  x = lim  x  x → +∞ = lim = = = = +∞ lim 5(1 + 0 ) x → +∞ 5 x + 3 2 3  x →+∞  3  3 2 5 x → +∞ 5x 1 + 2  5 1 + 2  lim 5 1 + 2   5x   5 x  x →+∞  5x     1  1 1 x2 1 + 1 + 2  lim  1 + 2   (1 + 0 ) = 1 = 0 . x +1 2 x2   = lim  x  x x → +∞ = lim = = b) lim 4 1  + ∞(1 + 0 ) + ∞ x → +∞ x + x   x → +∞  1  1 x → +∞ x4 1 + x 2  1 + 3  lim x 2  1 + 3   x3    x  x x → +∞  1  1  1 6 x 2 1 + 2  61 + 2  lim  1 + 2  6 x  6 (1 + 0 ) 2 6x + 1 6x  6  6x   x → +∞ = lim = lim =⋅ =⋅ =2. c) lim 1  3 (1 + 0 ) 2 2 1  x →+∞  1  x → +∞ 3 x + x 3 x → +∞ 3x 1 + 3 1 + lim  1 +    3x  3x  3x    x → +∞ ∞ Observamos que nas três situações analisadas as indeterminações do tipo produziram respostas ∞ distintas (como era esperado, por isso que é indeterminação!) Você deve ter notado que para resolver indeterminações deste tipo a idéia é colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e no denominador. Álvaro Fernandes 15
  16. 16. Atividades (grupo 7). 1. Calcule os limites abaixo: 2x3 − 1 a) lim . x → +∞ 5 x 3 + x + 1 x 5 + 3x 2 b) lim . 2x + 1 x → +∞ x2 + 2x3 c) lim . x → −∞ 5 x + 3 − x 4 x2 d) lim . x → −∞ 1 − 5 x 2 A indeterminação do tipo ∞ - ∞ Exemplo 14. Calcule os limites abaixo: a) lim x 2 − x 3 . b) lim 5 x 2 + x . x → +∞ x → −∞ Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo ∞ - ∞, mas não podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: Usando a mesma técnica da indeterminação anterior... 1  a) lim x 2 − x 3 = lim − x 3  − + 1 = −∞(0 + 1) = −∞(1) = −∞ . x  x → +∞ x → +∞ 1 7 + 1 + 2  = +∞(0 + 1 + 0 ) = +∞(1) = +∞ . b) lim x + 5 x 2 + 7 = lim 5 x 2   5x 5x  x → −∞ x → −∞ Atividades (grupo 8). 1. Calcule os limites abaixo: a) lim x 5 − x 3 + 2 x . c) lim x + 2 − x . b) lim x 4 + 5 x − 6 . x → +∞ x → −∞ x →∞ A indeterminação do tipo 0 × ∞ Exemplo 15. Calcule os limites abaixo: ( ) 22 3 (x ) . x +1 . a) lim b) lim x3 x x → +∞ x → +∞ Álvaro Fernandes 16
  17. 17. Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo 0 × ∞, mas não podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: 2x2 + 2 ( ) 22 x + 1 = lim = ... Transformamos a indeterminação 0 × ∞ em ∞ ⁄ ∞ . Daí você a) lim x3 x3 x → +∞ x → +∞ já sabe! 2x 2 + 2 ... = lim = ... = 0 . x3 x → +∞ 3 3x (x ) = xlim = ... Novamente transformamos a indeterminação para ∞ ⁄ ∞. Usando a b) lim x x x → +∞ → +∞ técnica da racionalização: 3x 3x x 3x x = lim 3 x = 3(+ ∞ ) = +∞ . ... = lim = lim ⋅ = lim x x x x x → +∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ Atividades (grupo 9). 1. Calcule os limites abaixo: (x 2 + 3). ( ) 1 2 2  x − 25 . a) lim b) lim  x→5 +  x-5  x x → +∞ Limite fundamental exponencial (a indeterminação do tipo 1∞) O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais, por exemplo: Crescimento populacional, crescimento de populações de bactérias, desintegração radioativa (datação por carbono), circuitos elétricos, etc. Na área de economia, é aplicado no cálculo de juros. Foi o Matemático Inglês Jonh Napier (1550-1617) o responsável pelo desenvolvimento da teoria logarítmica utilizando o número e como base. O número e é irracional, ou seja, não pode ser escrito sob forma de fração, e vale aproximadamente: e ≅ 2,7182818 Como o número e é encontrado em diversos fenômenos naturais, a função exponencial f ( x ) = e é considerada uma das funções mais importantes da matemática, merecendo atenção x especial de cientistas de diferentes áreas do conhecimento humano. x  1 lim  1 +  = e. Proposição: x  x → ±∞ A prova desta proposição envolve noções de séries. Utilizaremos o recurso das tabelas de aproximações e gráfico para visualizar este resultado. Álvaro Fernandes 17
  18. 18. Tabela x x  1 f (x ) =  1 +  x  100 2,7048.. 1000 2,7169.. 100.000 2,7182.. f(x) → e x→ +∞ Faça uma tabela para x → - ∞. Gráfico: Exemplo 16. Calcule os limites abaixo: 5x 4x  1  3 a) lim  1 + b) lim  1 −  . . x x   x → +∞ x → −∞ Nestes dois casos percebemos indeterminações do tipo 1∞ . Vejamos as soluções... 5 5  1   1  5x x x  1  a) lim  1 +  = lim  1 +   =  lim  1 +   = e 5 . x x  x     x →+∞ x → +∞ x → +∞     b) Neste caso, usaremos uma mudança de variável... Faça x = −3t . Se x → −∞ então t → +∞ . −12 4 ( −3 t )  1  −12 t 4x t  3  3  1  = e −12 . Logo, lim  1 −  = lim  1 − = lim  1 +  =  lim  1 +    − 3t  x t t     t →+∞  x → −∞ t → +∞ t → +∞   Atividades (grupo 10). 1. Calcule os limites abaixo: 2x 5x 2x  x + 1  2  7 b) lim  1 − . c) lim  . a) lim  1 +  . x → +∞ x − 1  x   x x →+∞  x → −∞ Álvaro Fernandes 18
  19. 19. Conseqüências importantes do limite fundamental exponencial: ax −1 = ln(a ), a > 0 e a ≠ 1 . i) lim (1 + x ) 1x = e. ii) lim x x →0 x →0 Atividades (grupo 11). Resolva os dois limites acima com as sugestões a seguir: 1 • No item (i) faça a mudança de variável x = e use o limite fundamental exponencial. t • No item (ii) faça a mudança de variável a x − 1 = t e use o item (i). Atividades (grupo 12). 1. Resolva os limites abaixo: 3x − 1 ex − 1 ex − 2x a) lim (1 + 2 x ) . 1x b) lim . c) lim . d) lim . x →0 x 4x x x →0 x →0 x →0 Limite fundamental trigonométrico 0 O limite fundamental trigonométrico trata de um limite cuja indeterminação é do tipo 0 envolvendo a função trigonométrica y = sen( x ) . Este limite é muito importante, pois com ele resolveremos outros problemas. sen( x ) = 1. lim Proposição: x x→0 sen( x ) A função f ( x ) = é par, isto é, f (− x ) = f ( x ) , ∀x ≠ 0 , pois x sen(− x ) − sen(x ) sen( x ) f (− x ) = = f (x ) . = = −x −x x Se x → 0 + ou x → 0 − , f ( x ) apresenta o mesmo valor numérico. Vamos utilizar a tabela de aproximação para verificar este resultado. Tabela sen( x ) x f (x ) = x ±0,1 0.9983341664683.. ±0,01 0.9999833334167.. ±0,001 0,9999998333333.. ±0,0001 0,9999999983333.. ±0,00001 0,9999999999833.. ±10-10 0,9999999999999.. f (x ) → 1 x→0 Álvaro Fernandes 19
  20. 20. sen( x ) Visualizando o gráfico da função f ( x ) = , podemos perceber também este resultado... x Exemplo 17. Calcule os limites abaixo: tg ( x ) sen(2 x ) cos( x ) − 1 sen(5 x ) a) lim . c) lim . d) lim . b) lim . sen(3 x ) x x x x →0 x →0 x →0 x →0 Soluções: sen(2 x ) sen(2 x ) sen(2 x ) = lim 2 ⋅ = 2 ⋅ lim = ... a) lim x 2x 2x x →0 x →0 x →0 Faça 2 x = t . Se x → 0 então t → 0 . Logo: sen(t ) = 2(1) = 2 . ... = 2 ⋅ lim t t →0 sen(kx ) De uma forma geral, ∀k ∈ ℜ* , lim = 1 . Vamos usar este resultado agora: kx x →0 sen(5 x ) sen(5 x ) ⋅ 5x lim sen(5 x ) 5 x →0 5 x 51 5 = lim 5 x =⋅ =⋅=. b) lim x →0 sen(3 x ) sen(3 x ) 3 1 3 x →0 sen(3 x ) 3 ⋅ 3x lim 3x 3x x →0 cos ( x ) − 1 cos( x ) − 1 cos( x ) + 1 cos 2 ( x ) − 1 − sen 2 ( x ) = lim ⋅ = lim = lim = c) lim cos( x ) + 1 x →0 x[cos( x ) + 1] x →0 x[cos ( x ) + 1] x x x →0 x →0 sen( x ) − sen(x ) 0 = lim ⋅ = 1 =0. cos( x ) + 1  1 + 1  x x →0 tg ( x ) sen( x ) sen(x ) sen( x )  1 1 1 = lim = lim ⋅ = lim ⋅ lim = 1  = 1 . d) lim x →0 x cos ( x ) cos( x ) x →0 cos ( x ) x x x  1 x →0 x →0 x →0 Atividades (grupo 13). 1. Resolva os limites abaixo usando o limite trigonométrico fundamental: sen(4 x ) 6 x − sen( x ) 1 − cos( x ) 2e x + 6 sen( x ) − 2 b) lim . a) lim . d) lim . c) lim . 2 x + 3 sen( x ) 2 3x x x →0 x →0 x →0 3x x →0 Álvaro Fernandes 20
  21. 21. Funções limitadas Definição: Uma função y = f ( x ) é chamada limitada, se existe uma constante k ∈ ℜ* , tal que f ( x ) ≤ k , ∀x ∈ D( f ) , isto é , − k ≤ f ( x ) ≤ k , ∀x ∈ D( f ) . Em outras palavras, y = f ( x ) possui o conjunto imagem contido num intervalo de extremos reais. Obs.: D( f ) significa o domínio da função f. Exemplo 14. Algumas funções limitadas e seus gráficos. f(x) = sen(2x2+3x-1) f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) f(x) = k Proposição: Se lim f ( x ) = 0 e g ( x ) é uma função limitada, então lim f ( x ).g ( x ) = 0 . x→a x→a ou ou x → ±∞ x → ±∞ Exemplo 18. sen( x ) a) Calcule lim . x x → +∞ Solução: sen( x ) 1 = lim ⋅ sen( x ) = * = 0 lim x x → +∞ x x → +∞ 1 → 0 . Como a função sen(x ) é limitada, então o * Usando a proposição: Se x → +∞ então x resultado é zero. sen( x ) Gráfico da função f ( x ) = : x Observe que as oscilações vão reduzindo a sua amplitude quando x → +∞ . O resultado do limite permanece o mesmo se x → −∞ . Álvaro Fernandes 21
  22. 22. cos( x ) b) Calcule lim . x x → +∞ Solução: de forma análoga... cos( x ) 1 = lim ⋅ cos( x ) = 0 . lim x x → +∞ x x → +∞ cos( x ) Gráfico da função f ( x ) = : x Observe que, da mesma forma que a função anterior, as oscilações vão reduzindo a sua amplitude quando x → +∞ . O resultado do limite permanece o mesmo se x → −∞ .  x+1   ⋅ cos( x ) . c) Calcule lim  2 x → +∞ x + 1    x+1   x+1   ⋅ cos(x ) = 0 .  = 0 (Por quê?) e cos( x ) é uma função limitada. Logo, lim  2 lim  2 x → +∞ x + 1 x → +∞ x + 1      x+1  Gráfico da função f ( x ) =  2  ⋅ cos( x ) :  x + 1 Atividades (grupo 14). 1. Resolva os limites abaixo usando o conceito de função limitada: 3 cos(x ) + 2 x a) lim e x ⋅ sen( x ) . b) lim . 2x x → −∞ x → +∞ Álvaro Fernandes 22
  23. 23. 1. Problema da área sob o arco da parábola y = x 2 no intervalo [0 , 1] (Figura 1). Método dos retângulos. Figura 1. Dividindo o intervalo [0 , 1] em n subintervalos, cada subintervalo terá comprimento 1 n :  1 1 2 1o subintervalo 0 ,  , 2o subintervalo  ,  ,  n n n n − 1 n 2 3 n 3o subintervalo  ,  , ... , no subintervalo  = 1. , . Obs.: n n n n n Vamos construir retângulos (Figura 2) cujas bases são ao subintervalos e cujas alturas são as imagens dos extremos direito* de cada subintervalo pela função y = x 2 : * a altura pode ser calculada sobre qualquer ponto do subintervalo, neste caso foi tomado o extremo direito. Figura 2. Figura 3. Calculando as área desses retângulo ( A = b.h ), obtemos: 1 12 1 22 1 32 1 n2 A1 = ⋅ A2 = ⋅ A3 = ⋅ An = ⋅ , , , ... , . n n2 n n2 n n2 n n2 A área total desses retângulos ( Atn ) nos dá uma aproximação da área (Figura 1) que queremos calcular: 1  12 2 2 3 2  1  12 + 2 2 + 3 2 + + n2  n2 n Atn = ∑ Ai =  2 + 2 + 2 + =  = +2 nn  n  n2 n n n     i =1 Álvaro Fernandes 23
  24. 24. 1  n(n + 1)(2n + 1)  n(n + 1)(2 n + 1) = =  . 6n2 6n3 n  Obs.: A soma 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 é conhecida pela fórmula [n(n + 1)(2 n + 1)] 6 . Vejamos alguns resultados para alguns valores crescentes de n: 6 (Figura 3) n 10 100 1.000 10.000 100.000 0,421296 0,385000 0,338350 0,333834 0,333383 0,333338 Atn A área exata que estamos procurando (Figura 1) é calculada pelo limite: n(n + 1)(2 n + 1) 1 lim ATn = lim = = 0 ,3 . (Calcule este limite e mostre que é igual a 1/3) 6n3 3 n → +∞ n → +∞ 2. Problema do circuito RL em série. No circuito da figura 4, temos uma associação em série de um resistor (símbolo R) e um indutor (símbolo L). Da segunda lei de Kirchhoff (lei das voltagens) e do estudo das equações diferenciais, pode-se mostrar que a corrente i no circuito é dada por R E −  t i (t ) = + c.e  L  , (1) R onde E é uma bateria de voltagem fixa, c é uma constante real e t é o tempo. Unidade de resistência: ohm. Unidade de indutância: henry. Figura 4. Exercício 1: Se uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série (como na fig. 4) no qual o indutor é de 1/2 henry e o resistor é de 10 ohms, determine o valor da constante c e a corrente i (t ) . Considere a corrente inicial e o tempo inicial iguais a zero. Exercício 2: Determine lim i (t ) , sendo i (t ) da equação (1). t → +∞ R −  t Obs.: Quando t → +∞ o termo c.e  L  da equação (1) se aproxima de zero. Tal termo é usualmente denominado de corrente transitória. A razão E/R é chamada de corrente estacionária. Após um longo período de tempo, a corrente no circuito é governada praticamente pela lei de Ohm E = Ri . Álvaro Fernandes 24
  25. 25. Derivada A reta tangente. Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto. Na situação da figura 4, dizemos que a reta r é tangente a circunferência no ponto P. Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas: Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 Na figura 7, apesar da reta tocar a curva em dois pontos, ela tangencia a curva em P, como na figura 4. Estas retas tocam suavemente as curvas nos pontos P indicados. Exemplos de retas que não são tangentes (no ponto Q) a algumas curvas: Fig. 8 Fig. 9. Estas retas não tocam suavemente as curvas nos pontos indicados como no exemplo da circunferência (fig. 4). Elas “cortam” , “penetram” as curvas. Álvaro Fernandes 25
  26. 26. Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seu domínio. Seja y = f ( x ) uma curva definida num intervalo aberto I. Considere P( xo , y o ) , sendo y o = f ( x o ) , um ponto fixo e Q( x , y ) um ponto móvel, ambos sobre o gráfico de f. Seja s a reta que passa pelos pontos P e Q e considere β o ângulo de inclinação de s. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto P e considere α o ângulo de inclinação de t. y t s f y Q ∆y = y − yo P ∆x = x − xo T yo α β x x xo Considerando o triângulo retângulo PTQ, obtemos o coeficiente angular da reta s como Q ∆y y − yo tg (β ) = = . ∆x x − xo y − yo β P T x − xo Suponha que o ponto Q mova-se sobre o gráfico de f em direção ao ponto P. Desta forma, a reta s se aproximará da reta t. O ângulo β se aproximará do ângulo α, e então, a tg (β ) se aproximará da tg (α ) . Usando a notação de limites, é fácil perceber que lim tg (β ) = tg (α ) . Q→ P Mas quando Q → P temos que x → xo . Desta forma, o limite acima fica f ( x ) − f ( xo ) y − yo lim tg (β ) = tg (α ) = tg (α ) . ⇔ = lim lim x − xo x→ xo x − xo Q→ P x → xo f ( x ) − f ( xo ) = tg (α ) . Assim lim x − xo x → xo Álvaro Fernandes 26
  27. 27. Definição: Seja y = f ( x ) uma curva e P( xo , y o ) um ponto sobre o seu gráfico. O coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de f no ponto P é dado pelo limite f (x ) − f (xo ) m = lim , quando este existir. x − xo x → xo m = tg (α ) y o = f (xo ) Equação da reta tangente Podemos agora determinar a equação da reta tangente t, pois já conhecemos o seu coeficiente angular e um ponto do seu gráfico P( xo , y o ) . A equação da reta tangente t é: a) ( y − y o ) = m(x − xo ) , se o limite que determina m existir; f (x ) − f (xo ) b) A reta vertical x = xo se lim for infinito. x − xo x → xo Exemplo 19. Determine a equação tangente a parábola f ( x ) = x 2 no ponto de abscissa xo = 1 . Solução: Temos que determinar dois termos y o e m. y o = f ( xo ) ⇒ y o = f (1) = 12 = 1 . f (x ) − f (xo ) f ( x ) − f (1) x2 − 1 m = lim = lim = lim = = 2. x − xo x −1 x →1 x − 1 x → xo x →1 Logo a equação da reta tangente é ( y − 1) = 2( x − 1) y = 2x − 1 . ou Álvaro Fernandes 27
  28. 28. Equação da reta normal Definição: Seja y = f ( x ) uma curva e P( xo , y o ) um ponto sobre o seu gráfico. A reta normal (n) ao gráfico de f no ponto P é a reta perpendicular a reta tangente (t). () ( ) (x − xo ) , sendo que m = xlim f x − f xo ≠ 0 . −1 A equação da reta normal é ( y − y o ) = • x − xo m → xo • Se m = 0 , então a equação da reta normal é a reta vertical x = xo . f (x ) − f (xo ) • for infinito, então a reta normal é horizontal e tem equação y = y o . Se lim x − xo x → xo Atividades (grupo 15). Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo nos pontos indicados. Esboce os gráficos das funções com as retas. a) f ( x ) = x 3 no ponto de abscissa xo = 1 . b) f ( x ) = x no ponto de abscissa xo = 4 . A derivada de uma função num ponto f (x ) − f (xo ) O limite lim é muito importante, por isso receberá uma denominação especial. x − xo x → xo Definição: Seja y = f ( x ) uma função e xo um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da função f no ponto xo e denota-se f ' ( xo ) (lê-se f linha de xo ), o limite f (x ) − f (xo ) f ' ( xo ) = lim , quando este existir. x − xo x → xo Forma alternativa para derivada: Se fizermos ∆x = x − xo , obtemos a seguinte forma para f ' ( xo ) : f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) f ' ( xo ) = lim . ∆x ∆x →0 Álvaro Fernandes 28
  29. 29. Outras notações para a derivada da função y = f ( x ) num ponto x qualquer: y' ( x ) (lê-se: y linha de x ou derivada de y em relação a x); • • D x f (lê-se: derivada da função f em relação à x); dy • (lê-se: derivada de y em relação à x). dx Exemplo 20. Dada a função f ( x ) = x 2 − x + 1 , determine f ' (2 ) . Use as duas formas da definição. f (x ) − f (xo ) ⇒ Usando f ' ( xo ) = lim : x − xo x → xo f ( x ) − f (2 ) (x − 2 )(x + 1) = lim (x + 1) = 3 . x2 − x + 1 − 3 x2 − x − 2 f ' (2 ) = lim = lim = lim = lim x−2 x−2 x−2 x−2 x→2 x→2 x→2 x→2 x→2 f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) ⇒ Usando f ' ( xo ) = lim : ∆x ∆x →0 f (2 + ∆x ) − f (2 ) (2 + ∆x ) − (2 + ∆x ) + 1 − 3 = lim 4 + 4 ∆x + ∆x 2 − 2 − ∆x − 2 = 2 f ' (2 ) = lim = lim ∆x ∆x ∆x ∆x →0 ∆x →0 ∆x →0 ∆x(3 + ∆x ) 3∆x + ∆x 2 = lim (3 + ∆x ) = 3 + 0 = 3 . = lim = lim ∆x ∆x ∆x →0 ∆x →0 ∆x →0 Teorema: Toda função derivável num ponto é contínua neste ponto. Atividades (grupo 16). 1. Determine a equação da reta tangente à curva y = 5 − x 2 , que seja perpendicular à reta y = 3 + x . 2. Determine a equação da reta normal à curva y = x 3 , que seja paralela à reta 3 y + x = 0 . Derivadas laterais Lembre-se que o limite de uma função num ponto somente existe se os limites laterais existem e são iguais. Como a derivada de uma função num ponto é um limite, esta derivada somente existirá em condições análogas. Definição: Seja y = f ( x ) uma função e xo um ponto do seu domínio. A derivada à direita de f em xo , denotada por f + ' (xo ) é definida por f (x ) − f (xo ) f + ' ( xo ) = lim+ . x − xo x → xo Álvaro Fernandes 29
  30. 30. Definição: Seja y = f ( x ) uma função e xo um ponto do seu domínio. A derivada à esquerda de f em xo , denotada por f − ' ( xo ) é definida por f (x ) − f (xo ) f − ' ( xo ) = lim− . x − xo x → xo Uma função é derivável num ponto quando as derivadas laterais (a direita e a esquerda) existem e são iguais neste ponto. Exemplo 21. Considere a função f ( x ) = x + 1 . Mostre que esta função é contínua no ponto x = −1 mas não é derivável neste ponto. f é contínua neste ponto pois lim f ( x ) = lim x + 1 = − 1 + 1 = 0 = 0 = f (− 1) . x → −1 x → −1  x + 1, x > −1  Sabemos que f ( x ) = x + 1 = − x − 1, x < −1 . Vamos calcular f ' (− 1) : 0 , x = −1  f ( x ) − f (− 1) x +1−0 x+1 = lim+ (1) = 1 . f + ' (− 1) = lim+ = lim+ = lim+ x+1 x+1 x → −1 x + 1 x → −1 x → −1 x → −1 f ( x ) − f (− 1) − ( x + 1) − x −1−0 = lim− (− 1) = −1 . f − ' (− 1) = lim− = lim− = lim− x+1 x+1 x+1 x → −1 x → −1 x → −1 x → −1 Como as derivadas laterais são distintas concluímos que não existe f ' (− 1) . Veja o gráfico da função f ( x ) = x + 1 . Não existe reta tangente ao gráfico desta função no ponto x0 = −1 . Obs.: Quando as derivadas laterais existem e são diferentes num ponto, dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função. Neste caso, não existe reta tangente num ponto anguloso. No exemplo acima a função f ( x ) = x + 1 tem um ponto anguloso em x = −1 . Atividades (grupo 17). Verifique se a função abaixo tem derivada no ponto xo . Este ponto é anguloso? Esboce o gráfico da função e constate.  2 1 − x , x > 0  x + x + 1, x > 0 2 a) f ( x ) =  x b) g ( x ) =  x no ponto x o = 0 . no ponto x o = 0 . e , x ≤ 0 e , x ≤ 0   Álvaro Fernandes 30
  31. 31. Regras de derivação Vamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem recorrer a definição. 1. Derivada de uma função constante. Se f ( x ) = c , c é uma constante real, então f ' ( x ) = 0 . f ( x + ∆x ) − f ( x ) c−c f ' ( x ) = lim = lim = lim 0 = 0 . ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x → 0 2. Derivada da função potência. Se n é um inteiro positivo e f ( x ) = x n , então f ' ( x ) = nx n −1 . f ( x + ∆x ) − f ( x ) (x + ∆x ) − x n n Prova: f ( x ) = lim = lim ' ∆x ∆x ∆x →0 ∆x → 0 Usando o Binômio de Newton para expandir ( x + ∆x ) , obtemos n n(n − 1) n − 2 n n  x + nx ∆x + 2! x (∆x ) + ... + nx(∆x ) + (∆x )  − x n −1 2 n −1 n f ' ( x ) = lim   = ∆x ∆x →0 n(n − 1) n − 2  n −1  x (∆x ) + ... + nx(∆x ) + (∆x )  n−2 ∆x nx n −1 + 2!  = = lim ∆x ∆x →0 n(n − 1) n − 2  n −1  x (∆x ) + ... + nx(∆x ) + (∆x )  = nx n −1 . n−2 = lim nx n −1 + 2!   ∆x →0 Exemplo 22. Calcule as derivadas das funções abaixo: a) f ( x ) = x b) f ( x ) = x 2 c) f ( x ) = x 5 a) f ( x ) = x 1 ⇒ f ' (x ) = 1x 1−1 = 1 . Logo f ' ( x ) = 1 . b) f ( x ) = x 2 ⇒ f ' ( x ) = 2 x 2 −1 = 2 x . Logo f ' ( x ) = 2 x . c) f ( x ) = x 5 ⇒ f ' ( x ) = 5 x 5 −1 = 5 x 4 . Logo f ' (x ) = 5 x 4 . Obs.: Se n for um número inteiro negativo ou racional o resultado contínua válido. Atividades (grupo 18). 1. Mostre, usando a regra e a definição, que a derivada da função f ( x ) = x −1 é f ' ( x ) = − x −2 . 1 2. Mostre, usando a regra e a definição, que a derivada da função f ( x ) = x é f ' ( x ) = . 2x Álvaro Fernandes 31
  32. 32. 3. Derivada do produto de uma constante por uma função. Se f ( x ) é uma função derivável e c é uma constante real, então a função g ( x ) = cf ( x ) tem derivada dada por g' ( x ) = cf ' ( x ) . c[ f ( x + ∆x ) − f ( x )] g ( x + ∆x ) − g ( x ) cf ( x + ∆x ) − cf ( x ) Prova: g´ ( x ) = lim = lim = lim = ∆x ∆x ∆x ∆x →0 ∆x →0 ∆x →0 f ( x + ∆x ) − f ( x ) = cf ´ ( x ) . = c ⋅ lim ∆x ∆x →0 () Exemplo 23. Se f ( x ) = 5 x 3 então f ' ( x ) = 5 3 x 2 = 15 x 2 . 4. Derivada de uma soma de funções. Se f ( x ) e g ( x ) são função deriváveis, então a função h( x ) = f ( x ) + g ( x ) tem derivada dada por h' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) . Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cÀ

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