• Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
5,170
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1

Actions

Shares
Downloads
193
Comments
0
Likes
1

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. 1 Trigonometri TRIGONOMETRI 1. Pengertian Trigonometri Trigonometri berasal dari bahasa Yunani yaitu tri artinya tiga,gonomon artinya sudut dan metria yang artinya ukuran jadi. Jadi, trigonometri adalah pengukuran sudut segitiga. Menurut Edward J. Byng bahwa trigonometri adalah ciptaan orang arab. Oleh karena itu, banyak kata-kata dalam trigonometri yang menggunakan istilah dari Arab. 2. Awal Perkembangan Trigonometri Walaupun pada mulanya trigonometri dikaji sebagai cabang astronomi tetapi akhirnya trigonometri berdiri sendiri sebagai sebuah disiplin ilmu. Perkembangan awal trogonometri terbukti digerakkan disebabkan keperluan penyelesaian masalah astronomi. Kemunculan trigonometri merupakan proses yang perlahan. Jika dibandingkan dengan cabang matematika lain, trigonometri berkembambang disebabkan hubungan antara pendidikan matematika terapan dengan keperluan sains dalam bidang astronomi. Hubungan ini dianggap saling berkait, tetapu tersembunyi sehingga zaman Renaissans trigonometri dijadikan sebagai topik tambahan dalam astronomi. Adapun tokoh – tokoh Trigonometri adalah Al-Khawarizmi , Al-Battani, Abu Al-Wafa, dan Ibnu Al-sahtir. 3. Aplikasi Trigonometri Trigonometri merupakan alat utama ilmu ukur segitiga. Trigonometri memiliki banyak kegunaannya pada kehidupan seharian, diantaranya pada bidang teknik ukur tanah dan astronomi. Trigonometri memiliki kaitan yang sangat erat dalam kehidupan kita, baik secara langsung dan tidak langsung. Ilmu perbintangan dan konstruksi bangunan sangat dibantu oleh hadirnya trigonometri. Kepentingan trigononomerti sangat besar manfaatnya dalam ilmu astronomi, kerana ukuran benda-benda langit tidak mungkin diukur dengan menggunakan penggari, mesti dikira dengan bermain skala-skala dan sudut-sudut, sehingga dapat dikenalpasti ukurannya secara tepat.
  • 2. 2 Trigonometri Prasyarat Trigonometri merupakan materi baru. Di SMP, kalian belum memperoleh materi ini namun, kalian telah mempelajari kesebangunan dan kongruensi. Kalian juga telah mempelajari sudut. Materi itu akan kita gunakan untuk memahami perbandingan trigonometri. Perbandingan trigonometri yang utama adalah sinus, kosinus, dan tangen. Sebelum membahas lebih lanjut materi ini, ada baiknya kita ingat kembali beberapa pengertian yang pernah kita pelajari di SMP. Untuk itu, kerjakan soal berikut. 1. Perhatikan Gambar 1 a. Tunjukkan bahwa segitiga ABC dan segitiga PQR sebangun b. Sebutkan perbandingan sisi – sisi yang sama pada kedua segitiga itu. 2. Perhatikan Gambar 2 Gambar 2
  • 3. 3 Trigonometri a. Apakah kedua segitiga itu memiliki perbandingan yang sama? Jika Ya. Sebutkan. b. Apakah kedua segitiga itu sebangun? c. Apakah kedua segitiga itu kongruen? Berikan alasanmu. 3. Syarat apakah yang harus dipenuhi oleh suatu segitiga siku – siku? 4. Gambarlah sebuah segitiga. Ukurlah ketiga sisinya. Berapakah jumlah seluruh sudutnya? Cobalah dengan cara yang sama untuk segitiga yang lain. Apa kesimpulanmu? Setelah kalian benar – benar dapat menjawab soal – soal diatas, mari kita lanjutkan ke materi berikut.
  • 4. 4 Trigonometri r r s r 1 rad P Q R r A. Sudut 1. Definisi Sudut Sebuah sudut didefinisikan sebagai perputaran suatu titik tertentu ke titik tertentu lainnya terhadap pusat putaran ruas garis OA diputar terhadap titik O ke garis OB, sehingga diperoleh sudut AOB. OA disebut sisi awal dan OB disebut sisi terminal dari sudut AOB. B A 2. Satuan Pengukuran Sudut Suatu sudut disebut sudut satu putaran penuh, apabila terdapat sebuah sinar OA diputar berlawanan arah jarum jam sedemikian rupa sehingga untuk pertama kalinya berimpit dengan sinar OA kembali. Sudut satu putaran didefinisikan sebesar 360º (dalam derajat) atau 2 radian (dalam radian). Dengan demikian, besar sudut satu derajat (1º) didefinisikan sebagai ukuran sudut yang besarnya putaran penuh. Apabila diungkapkan bentuk matematis, dapat dituliskan 1º = putaran Ukuran sudut lainnya adalah radian. Satu radian (1 rad) didefinisikan sebagai besarnya sudut pusat suatu lingkaran yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari – jari lingkaran tersebut. Perhatikan Gambar 4. Penjang jari – jari PQ QR = r. besar sudut pusat PQR disebut 1 radian apabila panjang busur PR adalah r. dengan demikian, secara uum dapat dikatakan bahwa besar sudut dala radian merupakan nilai perbandingan antara panjang busur dengan panjang jari – Gambar 5Gambar 4 O Gambar 3
  • 5. 5 Trigonometri jarinya. Jika sudut – sudut pusat sebuah lingkaran dinyatakan dengan (dalam radian), panjang busurnya s, dan jari – jari lingkaran itu r (Gambar 5), maka berlaku rumus berikut 3. Hubungan Satuan Derajat dan Radian Perhatikan kembali gambar . besar sudut PQR adalah 1 rad. Untuk satu putaran penuh, nilainya sama dengan keliling lingkaran. Yaitu 2 oleh karena itu, 1 putaran penh = = 2 . Karena sudur 1 putaran penuh = 360º maka 2 = 360º = 180º 57,3º Sebaliknya kita juga dapat memperoleh hubungan berikut. 360º =2 1º = 1º = 0,0174 rad Perlu juga diketahui bahwa 1 derajat = 60 menit atau ' 601 1 menit = 60 1 derajat atau  60 1 1' 1 menit = 60 detik atau "' 601 1 detik = 60 1 menit atau ' " 60 1 1
  • 6. 6 Trigonometri Contoh soal 1 : 1. Ubahlah besar sudut dalam satuan derajat dibawah in ke dalam satuan radian. a. 30o b. 3o c. 2,5o Jawab : a. Besar sudut (radian) = x rad = rad b. Besar sudut (radian) = x rad = rad c. Besar sudut (radian) = x rad = rad 2. Ubahlah besar sudut dalam satuan derajat dibawah in ke dalam satuan derajat. a. 2 rad b. rad c. rad Jawab : a. Besar sudut (derajat) = x rad = = 114,6o b. Besar sudut (derajat) = x rad = 45o c. Besar sudut (derajat) = x 4 rad = 720o
  • 7. 7 Trigonometri Q B. Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut 1. Nilai Perbandingan Trigonometri dari Suatu sudut Trigonometri merupakan nilai perbandingan sisi – sisi pada sebuah segitiga sembarang maupun segitiga siku – siku yang dikaitkan dengan suatu sudut. Trigonometri bersandarkan pada enam perbandingan yang akan kita kembangkan di sini. Misalkan sudutnya , maka keenam perbandingan trigonometri untuk sudut itu dapat dituliskan : sin , cos , tan , cot ,sec ,cosec Pada segitiga siku – siku terdapat dua sisi yang saling tegak lurus dan satu sisi terpanjang, yaitu sisi miring atau hypotenuse. Mula – mula kita bekerja pada kuadran pertama dengan sudut lancip dan segitiga siku – siku yang dibentuk dari titik P(x,y). perhatikan gambar berikut. Pada gambar (2), titik P(x,y) terletak pada lingkaran yang berpusat pada titik O(0,0) dengan jari – jari r. hal ini berarti OP= r . apabila dari titik P(x,y) ditarik garis lurus sehingga memotong secara tegak lurus dengan sumbu X di titik Q(x,0), maka diperoleh PQ = y, OQ = x, sudut PQO = 90º (siku – siku), dan sudut POQ = (seperti terlihat pada Gambar (6)). Hubungan OP, PQ, dan OQ pada segitiga siku – siku POQ oleh Pythagoras dirangkumkan sebagai berikut : OP2 =OQ2 +PQ2 OQ2 =OP2 -PQ2 PQ2 =OP2 -OQ2 Atau r2 =x2 +y2 x2 =r2 -y2 y2 =r2 -x2 y x X Y P(x,y) r Gambar 6 O y x X Y P(x,y) r Gambar 7 O
  • 8. 8 Trigonometri A=D=PQ E B C F R Gambar 8 Dari gambar diatas dapat disimpulkan bahwa besar sudut A, sudut D, sudut P, sama. Kita namakan sudut itu sebagai sudut . Dari gamabr tersebut, terlihat pula bahwa sudut C= sudut F= sudut R dan sudut b = sudut E= sudut Q ( merupakan sudut siku – siku). Pada gambar tersebut sisi dihadapan adalah BC, EF, dan QR. Sisi – sisi ini dinamakan sisi hadap. Sisi samping adalah AB, AE, dan AQ. Sisi – sisi ini namakan sisi samping. Sisi miring segitiga dinamakan sisi hipotenusa. Perbandingan = dinamakan tangent dari , ditulis tan Perbandingan = dinamakan sinus dari , ditulis sin Perbandingan = dinamakan cosinus dari , ditulis cos A adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c. A B C ca b Gambar 9
  • 9. 9 Trigonometri C A 13 B 5 Terhadap sudut : Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri terhadap sudut sebagai berikut: 1. c a hipotenusapanjang Asudutdepandisiku-sikusisipanjang sin 2. c b hipotenusapanjang Asudut(berimpit)dekatdisiku-sikusisipanjang osc 3. b a Asudutdekatdisiku-sikusisipanjang Asudutdepandisiku-sikusisipanjang tan 4. a c Asudutdepandisiku-sikusisipanjang hipotenusapanjang csc 5. b c Asudutdekatdisiku-sikusisipanjang hipotenusapanjang sec 6. a c Asudutdepandisiku-sikusisipanjang Asudutdekatdisiku-sikusisipanjang cot Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus: cos sin tan dan sin cos cot cos 1 sec dan sin 1 csc Contoh soal 2 : Diketahui segitiga siku – siku ABC, siku – siku di titik A. panjang BC = 13 dan panjang AB = 9. Tentukan nilai – nilai perbandingan trigonometri sudut seperti pada gambar di atas.
  • 10. 10 Trigonometri Jawab : Terlebih dahulu kita cari panjang sisi AC dengan teorema Pythagoras. AC = = = = = 12 Nilai – nilai perbandingan trigonometrinya adalah : = = = = = = = = = = = = 2. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut di berbagai Kuadran P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius, sehingga XOP dapat bernilai 0 sampai dengan 90 . Perlu diketahui bahway x X Y P(x,y) r 1 Gambar 10 O
  • 11. 11 Trigonometri ry 22 xOP dan r 0 Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut: 1. r y OPpanjang Pordinat αsin 4. y r Pordinat OPpanjang αcsc 2. r x OPpanjang Pabsis αcos 5. x r Pabsis OPpanjang αsec 3. x y Pabsis Pordinat αtan 6. y x Pordinat Pabsis αcot Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini. Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran: Perbandingan Trigonometri Kuadran I II III IV sin + + - - cos + - - + tan + - + - csc + + - - sec + - - + cot + - + - y x X Y P(x,y) r 1 O y x X YP(x,y) r 2 O y x X Y r P(x,y) 3 O y x X Y r P(x,y) 4 O Gambar 11
  • 12. 12 Trigonometri 3. Menghitung Nilai Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut – Sudut Istimewa Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0 , 30 , 45 ,60 , dan 90 . Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30 , 45 ,dan 60 . Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini. Dari gambar 12 dapat ditentukan 2 2 1 2 1 45sin 2 1 2 45csc 2 2 1 2 1 45cos 2 1 2 45sec 1 1 1 45tan 1 1 1 45cot Dari gambar 13 dapat ditentukan 2 1 03sin 3 2 1 2 3 06sin Gambar 12 sudut istimewa 2 45 1 1 Gambar 13 sudut istimewa 3 60 30 1 2
  • 13. 13 Trigonometri 3 2 1 2 3 03cos 2 1 06cos 3 3 1 3 1 30tan 3 1 3 60tan 2 1 2 30csc 3 3 2 3 2 60csc 3 3 2 3 2 30sec 2 1 2 60sec 3 1 3 30cot 3 3 1 3 1 60cot Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa. 0 30 45 60 90 sin 0 2 1 2 2 1 3 2 1 1 cos 1 3 2 1 2 2 1 2 1 0 tan 0 3 3 1 1 3 tak terdefinisi cot tak terdefinisi 3 1 3 3 1 0 Tabel 2 Contoh soal 3: Hitunglah nilai : a. b. c. Jawab : a. = b. =
  • 14. 14 Trigonometri c. = = = 4. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ), (180 ), (360 ), dan - . Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40 , pelurus sudut 110 adalah 70 . 1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - ) di kuadran I Dari gambar 13 diketahui Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan garis y x, sehingga diperoleh: a. XOP = dan XOP1 = 90 - b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh: a. cos90sin 1 1 r x r y b. sin90cos 1 1 r y r x y x X Y P(x,y) r (90- ) P1(x1,y1) r1 x1 y1 y = x Gambar 14 sudut yang berelasi O
  • 15. 15 Trigonometri y x X Y P(x,y) r (180 - ) P1(x1,y1) r1 x1 y1 O Gambar 15 sudut yang berelasi c. cot90tan 1 1 y x x y Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut: 2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - ) di kuadran II Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu y, sehingga a. XOP = dan XOP1 = 180 - b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r maka diperoleh hubungan: a. sin180sin 1 1 r y r y b. c. tan180tan 1 1 x y x y Dari hubungan di atas diperoleh rumus: 3. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + ) di kuadran III cos180cos 1 1 r x r x a. cos90sin d. sec90csc b. sin90cos e. eccos90sec c. cot90tan f. tan90cot a. sin180sin d. csc180csc b. cos180cos e. sec180sec c. tan180tan f. cot180cot y x Y P(x,y) r (180 + ) x1 O
  • 16. 16 Trigonometri Dari gambar 16 titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap garis y x, sehingga a. XOP = dan XOP1 = 180 + b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r maka diperoleh hubungan: a. sin180sin 1 1 r y r y b. cos180cos 1 1 r x r x c. tan180tan 1 1 x y x y x y Dari hubungan di atas diperoleh rumus: 4. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- ) di kuadran IV Dari gambar 17 diketahui titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu x, sehingga a. XOP = dan XOP1 = - b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r maka diperoleh hubungan a. sinsin 1 1 r y r y a. sin180sin d. csc180csc b. cos180cos e. sec180sec c. tan180tan f. cot180cot y x X Y P(x,y) r (360 - 1) P1(x1,y1) r1 x1 y1 O - Gambar 17 sudut yang berelasi
  • 17. 17 Trigonometri b. coscos 1 1 r x r x c. tantan 1 1 x y x y Dari hubungan di atas diperoleh rumus: Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360 , misalnya sin (360 ) sin . Contoh soal 4 : 1. Nyatakana perbandingan trigonometri berikut dalam sudut lancip. a. Sin 149o b. Cos 267o c. Tan 303o Jawab : a. Sudut 149o terletak dikuadran II. Oleh karena itu, sin 149o dapat dinyatakan sebagai sin 149o = sin (180o – 31o ) = sin 31o b. Sudut 267o terletak dikuadran III. Oleh karena itu, cos 267o dapat dinyatakan sebagai cos 267o = sin (180o + 87o ) = -cos 87o c. Sudut 303o terletak dikuadran IV. Oleh karena itu, tan 303o dapat dinyatakan sebagai tan 303o = tan (360o – 57o ) = -tan 57o 2. Hitunglah nilai a. Sin 150o a. sinsin d. csccsc b. coscos e. secsec c. tantan f. cotcot
  • 18. 18 Trigonometri b. Tan 300o c. Sin 225o Jawab : a. Sudut 150o terletak di kuadran II. Oleh karena itu, sin 150o dapat dinyatakan sebagai sin ( 180o – 30o ) = b. Sudut 300o terletak di kuadran IV. Oleh karena itu, tan 300o dapat dinyatakan sebagai sin ( 360o – 600o ) = -tan 60o = - c. Sudut 225o terletak di kuadran III. Oleh karena itu, sin 225o dapat dinyatakan sebagai sin ( 180o – 45o ) = - sin 45o = C. Menentukan Koordinat kartesius dan Koordinat Kutub Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutub. Pada gambar 18 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam koordinat kutub dengan P(r, ) seperti pada gambar 19. Jika koordinat kutub titik P(r, ) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari dengan hubungan: r x cos cosrx y x X Y P(x,y) O Gambar 18. koordinat kartesius y x X Y P(r, ) r O Gambar 19. koordinat kutub
  • 19. 19 Trigonometri r y sin sinry jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik P(r, ) dapat dicari dengan hubungan: 22 yxr x y tan arc tan x y , arc tan adalah invers dari tan. Contoh soal 5 : 1. Ubahlah koordinat a. (8,4) kedalam koordinat kutub b. (10, 30o ) kedalam koordinat Cartesius Jawab : a. Titik (8,4); x = 8, y = 4 ( kuadran I ) r = = = 4 = arc tan = arc tan = arc tan 0,5 = 26,6o Jadi, (8,4) sama dengan (4 , 26,6o ) b. Titik (10,30o ); r = 10, = 30o ( kuadran I ) x = r cos = 10 cos 30o = 10 . = y = r sin = 10 sin 30o = 10 . = 5 Jadi, (10,30o ) sama dengan ( , 5 )
  • 20. 20 Trigonometri D. Identitas Trigonometri Dari gambar di samping diperoleh r x cos , r y sin dan 22 yxr . Sehingga : 2 2 2 2 22 cossin r x r y 1 2 2 2 22 r r r yx E. Persamaan Trigonometri Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian. Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar. 1. Menyelesaikan persamaan sin x sin Dengan mengingat rumus sin (180 - ) sin dan sin ( + k. 360 ) sin , maka diperoleh: y x X Y P(x, y) r O Gambar 20. rumus identitas sin2 +cos2 1Jadi Jika sin x sin maka x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B
  • 21. 21 Trigonometri 2. Menyelesaikan persamaan cos x cos Dengan mengingat rumus coscos dan cos ( + k. 360 ) cos , diperoleh 3. Menyelesaikan persamaan tan x tan Dengan mengingat rumus tan (180 + ) tan dan tan ( + k. 360 ) tan , maka diperoleh: F. Grafik Fungsi Trigonometri Nilai fungsi : - 1 Sin o 1 - 1 Cos o 1 - Tan o + Artinya nilai Y = Sin o nilai maksimum “1” dan minimumnya “ 1” Y = Cos o nilai maksimum “1” dan minimumnya “ –1 “ Y = Tan o nilai maksimum “+ “ dan minimumnya “- “ Fungsi Y = Sin xo , Y = Cos xo dan Y = Tan xo merupakan fungsi periodik atau berkala. a. Fungsi Y = Sin xo dan Y = Cos xo mempunyai periodik 360o b. Khusus fungsi Y = Tan xo , Cot xo mempunyai periodik 180o - Untuk x mendekati 90o atau 270o dari kanan, nilai Tan xo menuju ke arah negatif tak hingga Jika cos x cos maka x + k. 360 atau x + k. 360 , k B Jika tan x tan maka x + k. 180 , k B
  • 22. 22 Trigonometri - Untuk x mendekati 90o atau 270o dari kiri, nilai Tan xo menuju ke arah positif tak hingga - Garis x = 90o atau 270o di sebut garis asimtot - Fungsi Y = Tan xo dikatakan diskontinyu pada x = 90o dan x = 270o Cara menggambar grafik fungsi trigonometri : Langkah 1. Buat tabel yang menyatakan hubungan antara x dan f(x) Langkah 2. Gambar titik-titik yang didapat pada koordinat Cartesius. Pilih nilai sudut pada sumbu x dan nilai fungsi pada sumbu y. Langkah 3. Hubungkan titik-titik yang didapat. Contoh : Lukislah grafik Y = Sin xo untuk 0 x 360o Isi Tabel berikut : X 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o Sin x 0 ½ X 210 225 240 270 300 315 330 360 Sin y 0 90o 180o 270o 360o Cara lain : 1 1 /2 3 1 /2 -1 /2 -1 /2 3 -1
  • 23. 23 Trigonometri Menggambar grafik y = Sin xo dengan bantuan lingkaran satuan. Lingkaran satuan adalah lingkaran trigonometri yang berjari-jari 1 satuan. Lihat gambar : Dalam OPM dapat diperoleh Sin o = YP YP OP PM 1 Cos o = XP XP OP OM 1 Dalam OAQ dapat diperoleh Tan o = AQ AQ OA AQ 1 Nilai fungsi Y = Tan Q adalah ordinat titik Q Grafik Y = sin xo Grafik Y = Cos xo O M A P Q 1 -1 90 180 270 360 45O 1 -1 90 180 270 360 60O 1 /2 1 /2 1 /2 Gambar 21 Gambar 22 Gambar 23
  • 24. 24 Trigonometri Pernahkah kamu berfikir untuk mencocokkan apakah benar tinggi monument nasional (Monas) kurang lebih 130 meter? Untuk membuktikannya, kamu dapat menerapkan konsep trigonometri yaitu menggunakan tangen suatu sudut pada perbandingan trigonometri. Caranya dengan mengukur besarnya sudut yan terbentuk oleh garis pandang pengamat ke puncak onas melalui garis horizontal. Misalnya, jika pengamat berada pada sudut 30 derajat, maka pengamat harus berjalan mendekati Monas sampai terbentuk sudut 45 derajat. Apabila jarak dari tempat pengamatan pertama sejauh 1 km, maka dengan aturan sudut ganda pengamat dapat menentukan tinggi Monas. Nah, pada penjelasan berikut ini kamu akan mempelajari rumus trigonometri dan penggunaannya. G. Rumus – Rumus Segitiga a. Aturan sinus Untuk menentukan nilai sisi pada segitiga sembarang, dapat ditentukan dengan cara yang lebih mudah dengan memakai aturan Sinus. Perhatikan ABC sembarang, berikut ini : C Q P a b Gambar 24
  • 25. 25 Trigonometri Pada ACR Sin A = b CR CR = b Sin A ……….(1) Pada BCR Sin B = a CR CR = a Sin B …… (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh b Sin A = a Sin B BSin b ASin a Pada APC dab APB didapat CSin c ASin a Kesimpulan : Disebut Aturan Sinus Contoh soal 6 : Contoh : 1. Pada segitiga ABC, b = 1, 00 1,53,30 CB . Hitunglah c. Jawab : SinC c SinB b SinB bSinC c = 30 1,5312 Sin Sin = 5,0 8,0.12 = 5,0 6,9 = 2,19 Gambar 25 CSin c BSin b ASin a
  • 26. 26 Trigonometri 1. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. 2,68B . Hitunglah C SinC c SinB b Sin C = 65 2,6846Sin b cSinB = 65 928,046x = 65 710,42 = 657,0 C = 41,1 b. Aturan cosinus Bila pada sebuah segitiga unsur-unsur yang diketahui, tidak memuat pasangan sisi dan sudut yang sehadap, maka unsur segitiga yang lain tidak bisa dihitung dengan aturan sinus. Oleh karena itu perlu ada aturan yang baru. Aturan itu disebut Aturan Kosinus. Lihat gambar pada DBC Sin B = BSinah a h Cos B = BCosaDB a DB C AD = AB – DB AD = C – a Cos B b a Lihat ADC siku-siku di D b2 = AD2 + C D2 h b2 = (C – a Cos B)2 + 6 Sin B)2 b2 = C2 – 2ac Cos B + a2 Cos2 B + a2 Sin2 B A c D B b2 = C2 – 2ac Cos B + a2 (Cos2 B + Sin2 B) b2 = c2 + a2 – 2ca Cos B Disebut Aturan Cosinus Gambar 26
  • 27. 27 Trigonometri Untuk menentukan sisi a dan sisi c berlaku rumus : Dari aturan Kosinus di atas bisa diturunkan rumus untuk menghitung besarnya sudut. Contoh soal 7 : 1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, A = 600 . Hitung panjang BC Jawab : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A = 52 + 82 – 2.5.8. cos 60 = 25 + 64 – 80. ½ = 89 – 40 = 49 a = 7 cm c. Luas Segitiga a2 = b2 + c2 – 2bc Cos A c2 = a2 + b2 – 2ab Cos C Cos A = bc acb 2 222 Cos B = ca bac 2 222 Cos C = ab cba 2 222
  • 28. 28 Trigonometri L = ½ b.c. sin A L = ½ a.b. sin C L = ½ a.c. sin B C b a c A B Gambar 28 1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui (i) CD = AC sin C = b sin C atau (ii) CD = AC sin (180o – C) = b sin C Luas Segitiga ABC = = . BC . CD = ab sin C Dengan cara yang sama diperoleh : Luas Segitiga ABC = ac sin B Luas Segitiga ABC = bc sin A 2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi B C A b c a D Gambar 27
  • 29. 29 Trigonometri yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui. Perhatikan gambar 28. Dengan aturan sinus diperoleh : dan Luas Segitiga ABC = bc sin A = sin A = = = Dengan cara yang sama diperoleh Luas Segitiga ABC = Luas Segitiga ABC =
  • 30. 30 Trigonometri 3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui Perhatikan gambar berikut : (lihat segitiga ACD dengan segitiga BCD) ...(i) Perhatikan segitiga ACD: ... (ii) Substitusikan persamaan ke (i) ke (ii) Anggap 2s = a+b+c, maka persamaan menjadi: Maka, kita sudah mendapatkan tinggi segitiga. Luas =
  • 31. 31 Trigonometri Contoh soal 8 : 1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 450 Jawab : L = ½ a.b.sin C = ½ 5.8.sin 450 = 20. ½ 2 = 10 2 2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, 60,65 BA . Tentukan luasnya. Jawab : 556065180C C BAc L sin2 sin.sin.2 55sin2 60sin.65sin.52 L 82,0 87,0.425,0.25 L 27,11L 3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm. Jawab : s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6 )).().(.( csbsassL )56).(46).(36.(6L
  • 32. 32 Trigonometri 1.2.3.6L 636L cm2 H. Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut 1. Rumus cos ( + ) dan cos ( ) Pada gambar di samping diketahui garis CD dan AF keduanya adalah garis tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumus cos ( + ). AC AD cos cosACAD Pada segitiga siku siku CGF CF GF sin sinCFGF …………..(1) Pada segitiga siku siku AFC, AC CF sin sinACCF …………..(2) AC AF βcos cosACAF …………..(3) Pada segitiga siku siku AEF, AF AE cos cosAFAE …………..(4) Dari (1) dan (2) diperoleh GF AC sin sin Karena DE GF maka DE AC sin sin A D E B C G F Gambar 27
  • 33. 33 Trigonometri Dari (3) dan (4) diperoleh AE AC cos cos Sehingga AD AE DE AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin Jadi Untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan lalu disubstitusikan ke rumus cos ( + ). cos ( ) cos ( + ( )) cos cos ( ) sin sin ( ) cos cos sin ( sin ) cos cos + sin sin Jadi Contoh soal 9: cos ( + ) cos cos sin sin cos ( ) cos cos + sin sin
  • 34. 34 Trigonometri Jawab : 2. Rumus sin ( + ) dan sin ( ) Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat rumus sebelumnya, yaitu: sin (90 ) cos dan cos (90 ) sin sin ( + ) cos (90 ( + )) cos ((90 ) ) cos (90 ) cos + sin (90 ) sin sin cos + cos sin Jadi Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ). sin ( ) sin ( + ( )) sin cos ( ) + cos sin ( ) sin cos + cos ( sin ) sin cos cos sin Jadi sin ( + ) sin cos + cos sin sin ( ) sin cos cos sin
  • 35. 35 Trigonometri Contoh soal 10 : Jawab : 3. Rumus tan ( + ) dan tan ( ) Dengan mengingat cos sin tan , maka sinsincoscos sincoscossin )(cos )(sin )(tan cos sin cos sin 1 cos sin cos sin coscos sinsincoscos coscos sincoscossin )(tan tantan1 tantan Jadi Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu disubstitusikan ke tan ( + ). tantan1 tantan )(tan
  • 36. 36 Trigonometri tan ( ) tan ( + ( )) )(-tantan1 )(-tantan )tan(tan1 )(tantan tantan1 tantan Jadi Contoh soal 11 : Jawab : I. Rumus Sudut Rangkap dan Sudut Pertengahan a. Sudut Rangkap Dari rumus rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap. 1. sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos Jadi tantan1 tantan )(tan sin 2 2 sin cos
  • 37. 37 Trigonometri Contoh soal 12 : Jawab : 2. cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos2 sin2 Jadi Rumus rumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan dengan mengingat rumus dasar cos2 + sin2 1. cos 2 cos2 sin2 cos 2 cos2 sin2 cos2 (1 cos2 ) (1 sin2 ) sin2 2cos2 1 1 2 sin2 Sehingga Contoh soal 13 : cos 2 cos2 sin2 1) cos 2 cos2 sin2 2) cos 2 2cos2 1 3) cos 2 1 2 sin2
  • 38. 38 Trigonometri Jawab : 3. 2 tan1 tan2 tantan1 tantan )(tan2tan Jadi Contoh soal 14 : Jawab : 2 tan1 tan2 2tan
  • 39. 39 Trigonometri b. Sudut Pertengahan Karena teorema berlaku untuk sebarang sudut, kita dapat menyatakan kaitan antara suatu sudut dengan setengah sudutnya sin = 2 sin ½ cos ½ cos = cos2 ½ - sin2+ ½ = 1 – 2 sin2 ½ = 2 cos2 ½ - 1 tan = 2 1 tan1 2 1 tan2 2 Dari rumus kedua diperoleh kosinus dan sinus setengah sudut dinyatakan dalam sudutnya Cos2 ½ = ½ (1 + cos ) dan sin2 ½ = ½ (1 – cos ) Dari hubungan ini diperoleh cos ½ = cos1 2 1 , cos ½ ≥ 0 dan cos ½ = cos1 2 1 , cos ½ ≤ 0 sin ½ = cos1 2 1 , sin ½ ≥ 0 dan sin ½ = cos1 2 1 , sin ½ ≤ 0 Kita ingat kembali jika kesamaan cos2 + sin2 = 1 dibagi cos2 , akan diperoleh 1 + tan2 = sec2 . Dengan menggunakan rumus sudut ganda sin 2 = 2 sin cos dan cos 2 = cos2 - sin2 diperoleh hubungan sin 2 dan cos 2 dengan tan . sin 2 = 2 sin cos = 2 2 cos 1 cos cossin2 = 2 sec tan2 2 tan1 tan2 cos 2 = cos2 - sin2 = 22 2222 sincos sincos 1 sincos
  • 40. 40 Trigonometri = 2 22 2 22 cos sincos cos sincos = 2 1 tan1 2 1 tan1 2 2 Dari hasil ini diperoleh sin = 2 1 tan1 2 1 tan2 2 dan cos = 2 1 tan1 2 1 tan1 2 2 Contoh soal 15 : Jawab :
  • 41. 41 Trigonometri + - J. Rumus Perkalian Dua Fungsi Trigonometri 1. Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh: cos ( + ) cos cos sin sin cos ( ) cos cos + sin sin cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos Jadi cos ( + ) cos cos sin sin cos ( ) cos cos + sin sin cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin Jadi 2. Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh: sin ( + ) sin cos + cos sin sin ( ) sin cos cos sin sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos Jadi sin ( + ) sin cos + cos sin sin ( ) sin cos cos sin sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos Jadi K. Rumus Jumlah dan Selisih Dua Fungsi Trigonometri Dari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumus jumlah dan selisih fungsi sinus dan kosinus. Misalkan Dan + cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin + sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin
  • 42. 42 Trigonometri Maka akan diperoleh rumus-rumus: sin A + sin B = 2 sin sin A - sin B = 2 cos cos A + cos B = 2 cos cos A - cos B = -2 cos