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Derivabilidad Derivabilidad Document Transcript

  • TEMA 4.- DERIVABILIDAD.1.- Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica2.- Derivadas laterales.3.- Función derivada. Derivadas sucesivas.4.- Reglas de derivación. Regla de la cadena.1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. INTERPRETACIÓNGEOMÉTRICA.Definición: Se llama derivada de una función f(x) en un punto x=a, y se representa df f ´ (a) = f (a) = D dx (a) , al siguiente límite (si existe): f ( x ) − (a ) f f (a + ) − (a ) h f f ′ a ) =lim ( =lim x →a x − a h →0 hEjemplo: Calcula f (2), utilizando la definición de derivada, siendo: f (x) = 2x2 + 5xSolución: f ( 2 +h ) −f ( 2) 2 ( 2 +h ) 2 +5 (2 +h ) −18 2 ( 4 +4h +h 2 ) +10 +5h −18 f (2 ) = lím = lím = lím = h→0 h h→ 0 h h→ 0 h 8 +8h +2h 2 +10 +5h −18 2h 2 +13h h( 2h +13) = lím =lím =lím =lím ( 2h +13 ) =13 h→0 h h→ 0 h h→ 0 h h→ 0Interpretación geométrica:El conjunto de funciones reales de variable real es tan amplio que es prácticamente imposibleencontrar propiedades generales para todas. Si nos restringimos a las funciones continuas yapueden establecerse algunas propiedades importantes como los teoremas de Bolzano y deWeierstrass. Pero en las funciones continuas todavía se plantean muchos problemas como puedeser la determinación de la recta tangente en un punto de la gráfica. Con la definición intuitiva deque la tangente es la recta que toca a la curva sólo en ese punto la recta de la primera figura nosería tangente, mientras que en las otras figuras habría varias tangentes (alguna bastante extraña)en un mismo punto.
  • Lo cierto es que esa definición intuitiva sólo es válida para la circunferencia y curvas similares:cerradas y convexas (“sin baches”). Para el caso general hace falta una nueva definición que seaválida siempre y que corresponda a la idea intuitiva en los casos en que ésta pueda aplicarse. Yesa definición es la siguiente: “La recta tangente a una curva en un punto P(a, f(a)) es la posición límite hacia la quetienden las rectas secantes que pasan por ese punto P y por otro punto Q de la curva, cuando elsegundo punto Q se acerca a P”. Para poder hallar la ecuación de esa recta tangente en el punto de coordenadas A(a, f(a)),si la escribimos en forma punto-pendiente: y – f(a) = m(x – a)necesitamos saber el valor de la pendiente m.Para ello, si tenemos en cuenta que la recta tangente es la posición límite de las secantes,entonces su pendiente será el límite de las pendientes de las secantes, con lo que:
  • Punto Fijo Punto Variable Recta Ángulo Pendiente f(a +h) −f(a) A……………….P1.........................sec nº 1….........α1…......... m 1 =tg α 1 = h f( a +h) −f(a) A……………….P2.........................sec nº 2….........α2…......... m 2 =tg α 2 = h ………………...................................................................................................... ………………. …................................................................................................Cuando esa situación la llevemos al límite, es decir, cuando acerquemos P hacia A, tendremos: A…………….A……………......tangente...........α….... f(a +h) −f(a) m =tg α = lim =f ´ (a) h →0 h Por tanto, la derivada de una función f(x) en un punto “a” puede interpretarsegeométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en elpunto (a, f(a)).Interpretación física:El cálculo de derivadas o cálculo diferencial surge en el siglo XVII al tratar de resolver una seriede problemas que aparecían en las Matemáticas y en la Física, como son (entre otros): - la definición de velocidad - la determinación de la recta tangente a una curva en un punto dado. - el cálculo de los valores máximos y mínimos que alcanza una función. En estos y otros problemas similares de lo que se trata, en el fondo, es de estudiar, demedir y cuantificar, la variación de un determinado fenómeno, la rapidez con que se produce uncambio. La tasa de variación media (TVM), o cociente incremental, nos da una primera idea de larapidez con que varía un fenómeno en un intervalo determinado. Se define como el cociente: f(b) −f(a) f(x) −f(x 0 ) f(x 0 +h) −f(x 0 ) f(x +Δx) −f(x) Δy TVM [a, b ] = = = = = b −a x −x 0 h Δx Δxes decir, nos dice cuanto variaría la función por cada unidad de variación de la variableindependiente dentro del intervalo considerado suponiendo que esa variación fuese uniforme entodo el intervalo.La tasa de variación media coincide, evidentemente, con el valor de la pendiente de la recta queune los puntos de coordenadas (x0, f(x0)) y (x0 + h, f(x0 + h)).
  • El valor obtenido al calcular la T.V.M. de una función en un intervalo determinado noquiere decir que en todo el intervalo se haya mantenido ese porcentaje de variación; de hecho, nosuele ser así. Además, lo que interesa normalmente es saber lo que ocurre en un puntodeterminado: la velocidad en un instante dado, la trayectoria que seguirá un disco al ser lanzado,el punto en que un proyectil alcanza su máxima altura, etc. Por tanto, el problema es estudiar la variación instantánea (T.V.I.) de la función en unpunto determinado x0. Para ello lo que haremos será estudiar su variación en intervalos [x 0, x] (o[x, x0]) cada vez mas pequeños haciendo que x se aproxime a x 0. En el momento en que xcoincida con x0 la T.V.M. se convertirá en la tasa de variación instantánea que es lo querealmente nos interesa. Pero el problema es que en el cociente que define la T.V.M. al llegar a coincidir x con x 0el denominador valdría 0. Por ello se define la tasa de variación instantánea como: f(x 0 + h) − f(x 0 ) f(x) − f(x 0 ) TVI ( x 0 ) = lim = lim h →0 h x →x 0 x −x 0 Y este límite es lo que hemos llamado derivada de la función f en el punto x0.Por tanto la derivada puede interpretarse también como la tasa de variación instantánea, esdecir, como la razón de cambio instantánea de una función.Ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto. Ecuación de la rectanormal. Como vimos en la interpretación geométrica de la derivada, ésta es la pendiente de larecta tangente a la función (realmente a la gráfica de la función) en el punto de coordenadas , por lo que la ecuación de la recta tangente será: P ( a , f ( a )) y − ( a ) = (a ).( x − f f a)NOTA: Para calcular la ecuación de la recta tangente utilizamos la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente: y −y =m.( x −x ) 1 1
  • La normal a una curva en un punto P ( a , f ( a )) es la perpendicular a la rectatangente en dicho punto. Si la pendiente de la tangente es m t =f (a ), la pendiente de la normal será 1 m N =− f (a ) (ya que el producto de ambas debía ser -1) y la ecuación de la recta normalnos viene dada por: 1 y − f (a ) = − ⋅ ( x −a ) f (a ) Si f ´(a) = 0, la recta tangente será horizontal y de ecuación y = f(a). En ese caso la rectanormal es vertical y de ecuación x = a.Ejemplos.1. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por f ( x) = 3 x en el punto de abscisa x = 2. Calculamos la derivada de la función dada en el punto que nos indican. Aplicando la propia definición tendremos: f (2 + h) − f (2) (2 +h) 3 −2 3 (23 +3.2 2 h +3.2h 2 +h3 ) −23 f (2) = lím = lím = lím = h→0 h h→ 0 h h→ 0 h 3.22 h +3.2h 2 +h 3 h.(3.2 2 +3.2h +h 2 ) = lím = lím = lím(3.2 2 +3.2 h + h 2 ) = 3.2 2 =12 h→0 h h→ 0 h h→ 0 1 1 En consecuencia, f ( 2) =12 ⇒ m t = f ( 2) =12 y m N =− f ( 2) =− 12 Una vez que hemos obtenido las pendientes de las rectas tangente y normal a la curva, podemos escribir sus ecuaciones, utilizando la ecuación de la recta en la forma punto- pendiente: Si tenemos en cuenta que el punto de tangencia tiene por coordenadas ( 2, f ( 2 )) ≡ , 8 ) (2 , las ecuaciones de las rectas pedidas son: Ecuación de la recta tangente: y −= .( x − 8 12 2) ⇒ = − y 2x 16 1 1 49 Ecuación de la recta normal: y −8 =− 12 ⋅ ( x −2) ⇒ y =− 12 ⋅x + 6
  • 2. Dada la parábola de ecuación y = 2 −x + , x 8 12 hallar el punto donde la tangente es paralela al eje de abscisas. Calculamos la derivada de la función dada en un punto cualquiera x: f ( x +h) − f ( x) (( x + h) 2 −8 x +12) −( x 2 −8 x +12) f ( x) = lím = lím = h→0 h h→ 0 h ( x 2 +2 xh +h 2 −8 x −8h +12) −( x 2 −8 x +12) 2 xh + h 2 −8h = lím = lím = h→0 h h→ 0 h h.(2 x +h −8) = lím = lím(2 x + h −8) = 2 x −8 h→0 h h→ 0 Como la tangente es paralela al eje de abscisas, las dos rectas tendrán igual pendiente: si tenemos en cuenta que la pendiente del eje de abscisas es igual a cero, al igualar la derivada a cero nos queda: mt = ( x) = f 0 ⇒x − = 2 8 0 ⇒ = x 4 Obtenida la abscisa del punto de tangencia, la ordenada correspondiente del punto la obtenemos sustituyendo en la función: f ( 4) =4 −.4 + 8 12 = 4 − 2 En consecuencia, el punto de tangencia tiene por coordenadas (4, −4).2.- DERIVADAS LATERALES.Como una derivada es un límite, para que exista, han de existir y coincidir los límites lateralesque, en este caso, se llaman derivadas laterales de la función en el punto:Derivada por la izquierda. Se llama derivada por la izquierda de la función f en el punto x = a al siguiente límite, sies que existe: f ( a + h) − f ( a ) f ( x ) − f (a ) f ( a −) = lim h→ − 0 h o f ( a −) = lím x →a − x −aDerivada por la derecha:Se llama derivada por la derecha de la función f en el punto x = a al siguiente límite, si es queexiste: f ( a + h) − f ( a ) f ( x ) − f (a ) f (a +). = lim h→ + 0 h o f (a +). = lím x →a + x −a
  • Evidentemente, una función es derivable en un punto sí, y sólo sí, es derivable por laizquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales son iguales. Si las derivadas laterales existen pero no coinciden, se debe a que la función tiene unpunto anguloso.Ejemplo:Este es el caso de la función f ( x) =x que en el punto x = 0 tiene por derivadas laterales f (0 − = 1 ) − y f (0 + = 1. ) +Derivabilidad en un intervalo. Una función es derivable en un intervalo abierto si es derivable en cada uno de ( a, b )sus puntos. Una función es derivable en un intervalo cerrado [ ] si es derivable en cada uno de a, blos puntos del intervalo abierto y derivable por la derecha en x = a y por la izquierda en ( a, b ) x = . bEjemploEn la gráfica podemos observar que lafunción es derivable en el intervalo (n,p)pero no en el (m,p) ya que en este últimointervalo contiene un punto angulosoRelación entre continuidad y derivabilidad. La derivabilidad es una propiedad de las funciones más restrictiva que la continuidad, yaque existen funciones continuas que no son derivables. La implicación de que una función derivable es continua se demuestra en el siguienteTEOREMA: "Si una función es derivable en un punto (derivada finita), entonces escontinua en dicho punto"
  • En consecuencia, las funciones derivables forman un subconjunto de las funcionescontinuas.Demostración: 1) ∃ ∃ (a ), lim f ( x ) = (a )f será continua en a si: lim f ( x ), x →a 2) f 3) x →a f f ( x ) − (a ) fPor ser derivable en a ∃ ´ (a ) =lim f x →a x − a , luego tiene que existir todo lo queinterviene en ese límite, en concreto f(a).Además, en caso de existir el límite, será: f ( x ) −f (a )  lim f ( x ) −f (a ) = lim [ f (x) −f (a ) ] = lim  ⋅ ( x −a )  = x →a x →a x →a  x −a  f ( x ) −f (a ) = lim ⋅ lim ( x −a ) =f ´ (a ) ⋅0 =0 x →a x −a x →apor tanto existe lim f ( x ) x →a y además coincide con f(a), con lo que se cumplen las trescondiciones así que f es continua en a.NOTA: Sin embargo, el recíproco de este teorema no es cierto: Una función continua enun punto no es necesariamente derivable en dicho punto.Ejemplo: Esto podemos verlo fácilmente estudiando la función f ( x) =x en el punto x =0.En efecto, esta función es continua en x = 0 lím f (x) = lím− (− x) = 0 x→ 0− x→ 0   ⇒ ∃ lím f ( x ) = 0 lím+ f (x) = lím+ (x) = 0  x→ 0 x→ 0 x→ 0 Como f(0) = 0, entonces f es continua en x = 0.Veamos ahora la derivabilidad en x = 0: f (0 + h) − f (0) −h  f (0 − ) = lím− = lím− = − 1 h→ 0 h h→ 0 h  − +  ⇒ f (0 ) ≠ f (0 ) f (0 + h) − f (0) h f (0 + ) = lím+ = lím+ = + 1  h→ 0 h h→ 0 h 
  • Por tanto, la función f ( x ) =| x | no es derivable en el punto x = 0.
  • 3.- FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS Hasta ahora sólo hemos estudiado la derivada de una función en un punto y el resultadoes un número real por tratarse de un límite. Si una función f es derivable en un subconjunto D de su dominio D ( D ⊆D ), podemosdefinir una nueva función que asocie a cada elemento de D su derivada en ese punto: D  ¡ f → / x∈ D  f ( x ) ∈ f → ¡ Esta nueva función que asigna a cada elemento su derivada correspondiente recibe elnombre de FUNCIÓN DERIVADA o, simplemente, DERIVADA y se representa por f¨(x)Ejemplo:Halla la derivada de y =x 2 . A continuación, calcula la derivada en el punto x=2. dx 2 ( x + h) 2 − x 2 x 2 + 2 xh + h 2 − x 2 2 xh + h 2 h( 2 x + h) y = = lim = lim = lim = lim dx h →0 h h →0 h h →0 h h →0 h = lim(2 x + h) = 2 x h →0 dx 2 Entonces : = 2x dxEn x = 2 la derivada es: 2(2)=4Calcula la derivada de y =x 3 dx 3 ( x + h) 3 − x 3 x 3 + 3 x 2 h + 3 xh 2 + h 3 − x 3 y = = lim = lim = 3x 2 dx h →0 h h →0 h dx 3 Entonces : = 3x 2 dxDerivadas sucesivasYa hemos visto que la derivada de una función en un punto, si existe, es el valor de la pendientede la recta tangente a la curva de la función en ese punto. Si esto se generaliza a todos los puntos,hemos visto que obtenemos la función derivada f´(x).Si a esta función (derivada primera) la volvemos a derivar, se obtiene otra función derivada,llamada derivada segunda ( f ′ ). ( x) A partir de la función derivada primera se puede definir, si existe, también su derivadaque recibe el nombre de derivada segunda y se representa por f . Análogamente se definirían la derivada tercera, cuarta, quinta,..., n-ésima, y serepresentarían por f ( x ), f ( x ), f (4 ( x ),  , (5 f ( x) (nOtras formas de representar las derivadas son:
  • Df , D 2 f , D 3 f ,  , D n f df d2 f dn f = f , 2 = f ,  , =f (n dx dx dx nEjemplo: Dada la función: f ( x ) =3x 3Tenemos que. f ′ =9x ( x) . 2 f (′ ) =18 x ′ xSi continuamos con este proceso, obtendremos la derivada tercera, cuarta, quinta, etc. f ( ′x′) = 18 f IV ( x ) = 0 f V ( x) = 0Observen que, a partir de la cuarta derivada, las siguientes siempre van a ser cero, en este casoparticular que hemos tomado como ejemplo.Ejemplo:Consideremos la función f (x ) =senx , y calculemos las cuatro primeras derivadas: f (′ ) =cos x x f (′) =− ′ x senx f (′′ =− ′ x) cos x f IV ( x) = senxA partir de aquí vuelven a repetirse las funciones derivadas, ya que la cuarta derivada, coincidecon la función original.Ejercicios de aplicación1) Hallar las cuatro primeras derivadas de f ( x ) =3 x 4 − x 2 + 2 12) Hallar las primeras tres derivadas de f( x) =2 x3) Hallar las primeras cinco derivadas de f (x ) = 2 senx + − − 1 cos x4.- REGLAS DE DERIVACIÓN. REGLA DE LA CADENA.
  • Obtener la expresión de la función derivada de una función dada implica calcular ellímite que define a esa función derivada en un punto genérico usando la expresión que define a lafunción original; es decir, calcular f(x +h) −f(x) y ´ = ´ (x) = lim f h →0 h Pero calcular ese límite cada vez que deseemos obtener la derivada de una función resultabastante engorroso y, por ello, se obtienen (aunque no las demostraremos) unas expresiones ofórmulas generales que permiten obtener fácilmente la derivada de cualquier función. Esasfórmulas o reglas de derivación son las siguientes:1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE: Una función constante es siemprederivable y su derivada vale siempre 0. f(x) = k f´ (x) = 02.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD: La función identidad es siempre derivable ysu derivada vale siempre 1. f(x) = x f´ (x) = 13.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE NATURAL: La funciónpotencial de exponente natural es siempre derivable y su derivada vale f(x) = xn f´ (x) = n xn – 14.- DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES: Si dos funciones f y g son derivables lafunción suma f + g también es derivable y su derivada es la suma de las derivadas. (f + g)´ (x) = f´ (x) + g´ (x)5.- DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES: Si dos funciones f y g son derivablesla función producto f g también es derivable y su derivada vale (f g)´ (x) = f´ (x) · g(x) + f(x) · g´ (x)Como caso particular tenemos que si una función f es derivable el producto de un número k porla función f también es derivable y su derivada vale (k · f)´ (x) = k f´ (x)En el caso de tres funciones sería: (f g h)´ (x) = f´ (x)·g(x)·h(x) + f(x)·g´ (x)·h(x) + f(x)·g(x)·h´ (x)y así sucesivamente.
  • 6.- DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES: Si dos funciones f y g son derivables,en los puntos en que la segunda sea distinta de cero la función cociente también es derivable y suderivada vale ′ f  f´ (x) ⋅g(x) −f(x) ⋅g´ (x)  g  (x) =    [g(x)]2 1Como caso particular tenemos que si una función g es derivable la función g es derivable entodos los puntos en que g sea distinta de cero y su derivada vale ′ 1  −g´ (x)  g  (x) =    [g(x)]27.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO:La función potencial de exponente entero negativo es siempre derivable y su derivada vale f(x) = x – n f´ (x) = - n · x - n – 18.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA: La función logarítmica f(x) = ln (x), quesólo está definida para los números positivos, es siempre derivable y su derivada vale 1 f(x) = ln x f´ (x) = x9.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE REAL: La funciónpotencial de exponente real f(x) = x a es siempre derivable y su derivada vale f(x) = x a f´ (x) = a · x a – 1Como caso particular tenemos la derivada de la raíz n-ésima (que se deduciría escribiéndolacomo potencia de exponente fraccionario y derivando): 1 f(x) = n x ⇒ f ′(x) = n n x n −1 1Y para la raíz cuadrada: f (x) = x ⇒f ′ x) = ´( 2 x10.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA DE BASE a: La función logarítmica debase un número real a (positivo y distinto de 1), que está definida sólo para números positivos, essiempre derivable y su derivada vale
  • 1 1 f(x) =log a x ⇒ f ′(x) = = ⋅ log a e x⋅ a ln x11.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a: La función exponencial debase un número real a (positivo y distinto de 1) es siempre derivable y su derivada vale ax f(x) =a x ⇒ f ′(x) = a x ⋅ ln a = log a eComo caso particular podemos considerar la función exponencial de base el número e, que suelellamarse simplemente función exponencial, cuya derivada es f(x) = ex f´ (x) = exÉsta es la única función que coincide con su derivada.12.- DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: a) La función seno es siempre derivable y su derivada vale f(x) = sen x f´ (x) = cos x b) La función coseno es siempre derivable y su derivada vale f(x) = cos x f´ (x) = - sen x c) La función tangente es derivable siempre que exista y su derivada vale 1 f(x) = tg x f ′(x) = =sec 2 x = +tg 2 x 1 cos 2 x13.- DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS: a) La función arco seno, definida en [-1,1], es derivable en (-1,1) y su derivada vale 1 f ′(x) = f(x) = arc sen x 1 −x 2 b) La función arco coseno, definida en [-1,1], es derivable en (-1,1) y su derivada vale −1 f ′(x) = f(x) = arc cos x 1 −x 2 c) La función arco tangente es siempre derivable y su derivada vale 1 f(x) = arc tg x f ′(x) = 1 +x 2
  • 14.- DERIVADA DE UNA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. REGLA DE LA CADENA:Dadas dos funciones f y g, si la función f es derivable en un punto x y la función g es derivableen el punto f(x), la función compuesta gΒf es derivable en el punto x y su derivada vale (g◦f)´ (x) = g´ [f(x)] · f´ (x)15.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN RECÍPROCA O INVERSA: Si una función f es inyectivay derivable, con derivada distinta de cero, la función recíproca o inversa f - 1 también esderivable y su derivada vale (f −1 )′ (x) = [ 1 ] f′f −1 (x)16.- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA: Es un método que permite calcular fácilmente muchasderivadas y que consiste en tomar logaritmos neperianos en los dos miembros de la función yderivar a continuación. 1 1 y′ =cosx ⋅ x + ⋅ ln sen x sen x y xEjemplo: y=x  1  Ln (y) = ln (x sen x) y ′ =  cos x ⋅ln x + ⋅sen x ⋅y x   1  Ln (y) = sen x · ln x y ′ =cos x ⋅ln x + ⋅sen x ⋅x sen x  x 17.- DERIVACIÓN IMPLÍCITA: Es un método que se emplea cuando resulta difícil escribir lafunción a derivar en la forma y = f(x).Ejemplo: 2x·y2 + 3y = 5 2y2 + 2y·y´·2x + 3y´ = 0 −2y 2 y′ = 4xy +3ANEXO: Reglas de Derivación:
  • OPERACIONES REGLA SUMA Y DIFERENCIA ( f ± ) =f ± g g PRODUCTO ( f ⋅g ) =f ⋅g +f ⋅g  f  f .g − f .g COCIENTE   = g  g2 PRODUCTO POR UN Nº ( k . f ) =k . f COMPOSICIÓN ( g o f ) = ( f ( x )) ⋅ f ( x ) gA modo de ejemplo, podríamos comprobarlas con la suma y diferencia:Suponiendo que las funciones f y g sean derivables, tenemos: ( f ± g )( x + h) −( f ± g )( x ) ( f ± g ) ( x) = lím = h→0 h = lím [ f ( x + h) ± g ( x + h)] −[ f ( x) ± g ( x)] = lím [ f ( x + h) − f ( x)] ± [ g ( x + h) − g ( x)] = h→0 h h→0 h  f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x )  f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) = lím  ±  = lím ± lím = h→ 0  h h  h→ 0 h h→ 0 h = f ( x) ± g ( x)Derivada del producto de una constante por una función. (k ⋅ f )( x + h) −( k ⋅ f )( x) ( k ⋅ f ) ( x) = lím = h→0 h k ⋅ f ( x + h) −k ⋅ f ( x ) k ⋅[ f ( x +h ) − f ( x ) ] f ( x +h) − f ( x ) = lim = lím = k ⋅ lím = k ⋅ f ( x) h→0 h h→ 0 h h→ 0 h
  • Derivadas de Funciones Elementales: F O R M A ST I P O S S I M P L E S COMPUESTASConstante: f ( x) =k f ( x) =0F. Identidad: f ( x) =x f ( x) =1 n−Potencial Dx n = . x n − n 1 Df n = f n. 1 . f 1 f D( Lx ) = D ( Lf ) = x fLogarítmico 1 f D log a x = ⋅ log a e D log a f = ⋅log a e x f D (e x ) = x e D (e f ) = .e f fExponencial D ( a x ) = x .La a D(a f ) = .a f f .La g− D f g =f g. . f + f 1 g . g .LfPotencial-exponencial 1 f f =Raíz Cuadrada D x = 2 x D 2 fSeno D sen x = cos x D sen f = cos f ⋅ fCoseno D cos x =− sen x D cos f = ⋅ −f sen f D tg x =1+ 2x tg D tg f = .( + 2 f ) f 1 tg D tg x =sec 2 x D tg f = .sec 2 f fTangente 1 f D tg x = D tg f = cos 2 x cos 2 f Dctg x = ( + − 1 ctg 2 x ) Dctg f = f .( + − 1 ctg 2 f ) Dctg x =cosec 2 x − Dctg f = f ⋅ − cosec 2 fCotangente 1 f Dctg x = − Dctg f = − sen 2 x sen 2 f 1 f D arcsen x = D arcsen f =Arco seno 1 −x 2 1− f 2 1 f D arccos x = − D arccos f = −Arco coseno 1 −x 2 1− f 2 1 fArco tangente D arctg x = 1+x2 D arctg f = 1+ f 2 1 fArco cotangente D arcctg x = − 1+x2 Darcctg f =− 1+ f 2
  • EJERCICIOS RESUELTOS.• Dada la función f :¡ →¡ definida por  − x 2 , si x < 0  f ( x) =  x 2 , si 0 ≤ x ≤ 3  6x, si 3 < x  Determina los puntos en los que la función f es derivable y en cada uno de ellos calcula su derivada.  Nuestra función f es una función definida a trozos en cada uno de los cuales está definida como una función cuadrática o como función lineal. Tanto una como la otra son funciones continuas y derivables en todo y, por tanto, en el trozo en el que están ¡ definidas. En consecuencia, la función f es continua y derivable en ¡ −{0, 3} por serlo las funciones mediante las que está definida. Estudiemos la continuidad y la derivabilidad de la función f en los puntos x = 0 y x = 3.  En x = 0: Como en este punto hay un cambio de definición de la función, para estudiar la existencia de límite en él tendremos que calcular los límites laterales de la función: lím− f (x) = lím− (− x 2 ) = 0 x→ 0 x→ 0   ⇒ ∃ lxí→m0 f (x) = 0 lím f (x) = lím+ (x ) = 0  2 x → 0+ x→ 0  Por otra parte, f ( 0) =0 y la función sería continua en el punto x = 0. Estudiemos la derivabilidad: tendremos que calcular las derivadas laterales − f ( x ) − f ( 0) − x2 − 0  f (0 ) = lím− = lím− = lím− (− x) = 0 x→ 0 x− 0 x→ 0 x − 0 x→ 0   ⇒ ∃ f ( 0) = 0 f ( x ) − f ( 0) x −0 2 f (0 + ) = lím+ = lím+ = lím− ( x) = 0  x→ 0 x− 0 x→ 0 x − 0 x→ 0    En x = 3. Continuidad: operamos de igual manera que en x = 0. lím− f (x) = lím− ( x 2 ) = 9   ⇒ xlím−3 f ( x) ≠ xlím+3 f ( x) ⇒ no existe lím3 f (x) x→ 3 x→ 3 lím+ f ( x) = lím+ (6x) = 18 → → x→ x→ 3 x→ 3 
  • Por tanto, la función no es continua en x = 3 (presenta en este punto una discontinuidad inevitable de salto finito) y, en consecuencia, será no derivable en él.  La derivada de la función f nos vendría dada por:  − 2 x, si x < 0   0, si x = 0 f ( x) =   2 x, si 0 < x < 3  6, si 3 < x • Estudia, según los valores del parámetro a, la continuidad y derivabilidad de la función f :¡ →¡ definida por  x 2 + ax si x ≤ 2 f ( x) =   a − x 2 si x > 2 Para cualquier valor distinto de 2, la función f está definida como función cuadrática en cada uno de los segmentos, para cualquier valor del parámetro a. Como las funciones cuadráticas son continuas y derivables en todo , también lo serán en cualquier intervalo ¡ abierto de ¡ y, por tanto, la función f será continua y derivable, para cualquier valor del parámetro a, en ¡ − {2}. Estudiemos la continuidad de f en el punto 2: Para que sea continua tiene que existir límite en el punto 2 y, para ello, los límites laterales tienen que ser iguales: lím f ( x) = lím− ( x 2 + ax) = 4 + 2a x → 2− x→ 2 lím+ f ( x) = lím+ (a − x 2 ) = a − 4 x→ 2 x→ 2 Igualando estos límites laterales obtenemos: 4 + =− 2a a 4 ⇒= a − 8 En consecuencia, la función sería continua en el punto 2 si a = 8. − Para este valor del parámetro la función nos queda de la forma:  x 2 − 8x si x ≤ 2 f ( x) =  2  − 8 − x si x > 2 y su derivada, salvo en el punto 2, es:  2x − 8 si x < 2 f ( x) =   − 2x si x > 2 Calculamos la derivada en el punto 2:
  • f (2 − ) = lím f ( x) = lím (2 x −8) = −4  x →2− x →2−  +  ⇒ f (2− ) = f (2− ) ⇒∃f (2) = −4 f (2 ) = lím f ( x) = lím ( −2 x) = −4  x →2 + x →2 +  La función es derivable en el punto x = 2. • En resumen: Si a ≠ 8, − la función es continua y derivable en R − {2}. Si a = 8, − la función es continua y derivable en R .EJERCICIOS PROPUESTOS.1. Hallar la ecuación de la tangente a las curvas en los puntos que se indican: f ( x) = x 2 + 3 8 en el punto P(1,11). f ( x) =x +1 5 en el punto P(0,1) f ( x) =3 en el punto de abscisa x = 0. 2 x2 + 1 f ( x ) = .e x x en el punto de abscisa x = 0.2. Escribid la ecuación de la recta tangente a la hipérbola en el punto de abscisa x = 3. x ⋅y =13. ¿En qué punto de la gráfica de la función f ( x) =x −x + 6 8 la tangente es 2 paralela a la bisectriz del primer cuadrante?4. Determinar los puntos de la curva x en los cuales la tangente es paralela y = 3 + x 2 −x + 9 9 15 a la recta y = x + 12 5.5. Buscar los puntos de la curva 7 13 que tienen la tangente formando y = 4 −x 3 + x 2 + + x x 1 un ángulo de 45º con el eje de abscisas.  1 si x ≤ 16. Estudiar la derivabilidad de la función f ( x) =  Dibujar la gráfica.  2 si x > 17. Demostrar que la función f ( x ) =− x 2 no puede tener tangente en el punto de abscisa x =28. Dada la función hallar f ( x) = x , x ⋅ f ( x) y f ( x ). Representar gráficamente los resultados.9. Estudia la derivabilidad de la función f ( x) = − ) 2 (1 x en el intervalo [ 1,1] − .10. Estudia la derivabilidad de la función f ( x) =cos x en el intervalo [ 0, π].11. Halla la derivada de la función 2 1  x ⋅ sen si x ≠ 0 f ( x) =  x  0 si x = 0 ¿Es f continua en x = ? 0 ¿Es f derivable en x = ? 012. Calcula m y n para que la función
  •  x 2 − 5x + m si x ≤ 1 f ( x) =  2  − x + nx si x > 1 sea derivable en todo ¡ .13. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones y, en caso de no sean derivables en algún punto, dar el valor de sus derivadas laterales:  3x − 1 si x < 3  x 2 − 1 si x ≤ 1 f ( x) =  2 f ( x) =   x − x + 3 si x ≥ 3  2x − 2 si x > 114. Consideremos la función Sabiendo que g(x) es continua en 0, probar que f ( x ) = ⋅ ( x ). x g f(x) es derivable en 0 y calcular su derivada. (No se puede suponer que g es derivable; puede no serlo). DERIVABILIDAD. EJERCICIOS1. Relaciona la gráfica de cada función dada en las figuras a)-d) con las gráficas de sus derivadas I-IV. Explica las razones de su elección.
  • 2. Para cada una de las siguientes funciones, traza la gráfica de su derivada.3. Determina la derivada de cada una de las siguientes funciones:a. f ( x ) =x 4 + x 3 + x + 3 16 25 5 b. f ( x) =( x2 + x + ) 16 5 8 5 c. f ( x) =sen(3 x 2 +) 8 3 x 4 +15d. f ( x) = x2 e. f ( x) = 2 x cos x f. f ( x) =tan( sen( x2 +1)) x 3 +5 x 2 +1 x 3 senxg. f ( x) = x h. f ( x) = x + (3 5) x +cos( x 2 ) 1 i. f ( x) = tan x4. Encuentra la ecuación de la recta que es tangente a la curva y = x 3 − x 2 −x 5 6 5 en el origen.5. Si la recta tangente a y = ( x) f en (4,3), pasa por el punto (0,2) encuentra f ( 4) y f ( 4)
  • 6. Dibuja una función para la cual f ( 0) = f ( 0) = f ( ) = y 0, 3, 1 0 f ( 2) = −17. Si f ( x) = x − x encuentra 3 2 5 f ( 2) y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente a la función en el punto (2,2)8. Para las siguientes funciones halla la derivada en el punto que se indica 2 2 a ) x 3 +y 3 =5 ; (8,1) b) ( x −y 2 )( x +xy ) =4 ; ( 2,1) c ) x 3 +y 3 =2 xy ; (1,1)9. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la circunferencia x2 + 2 = y 25 en los puntos (4,3) y (-3,4)