Aplicaciones de-la-derivada
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Aplicaciones de-la-derivada Aplicaciones de-la-derivada Document Transcript

  • APLICACIONES DE LA DERIVADA1. RECTA TANGENTE A UNA CURVA y = f (x)La pendiente de la recta tangente a una función en un punto x0 es el valor de laderivada de la función en ese punto pendiente = f ′( x0 ) , así la ecuación de la rectatangente a una curva en un punto x0 es y −f ( x ) =f ′ x ) ⋅( x − ) 0 ( 0 x o f ( x) = x 2 − x , recta tangente en .2. INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA PRIMERA DERIVADAObserva la gráfica siguiente y ten en cuenta la relación entre derivada en un punto y lapendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. 2.1. RELACIÓN ENTRE CRECIMIENTO Y DERIVADA 1
  • f (x ) derivable y creciente en x0 ⇒ f ′( x0 ) ≥ 0 f (x ) derivable y decreciente en x0 ⇒ f ′( x0 ) ≤ 0Ejemplo:y = x 3 es derivable en todo R y su derivada es y ′ = 3x 2 . La gráfica es se observa que en x0 = 0 la función es creciente (de hecho, es creciente en todo su dominio), luego la derivada en ese punto tendrá que ser mayor o igual a 0. Efectivamente f ′(0) = 0 ≥ 0 ( f ′( x) ≥ 0 para todo x) 2.2. CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CRECIENTES O DECRECIENTESf ′( x) > 0 ⇒ f es crecientef ′( x) < 0 ⇒ f es decreciente 2.3. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS 2.3.1. CONDICIÓN NECESARIA DE MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO Si f (x ) es derivable en x0 , entonces f (x ) tiene un máximo o un mínimo en x0 ⇒ f ′( x0 ) = 0Sin embargo no es una condición suficiente, porque puede ocurrir que la derivada en un puntovalga 0 y que no haya máximo ni mínimo , como en x0 = 0 en el ejemplo y = x 3 . 2.3.2. REGLA PARA SABER SI UN PUNTO SINGULAR ES MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO 2
  • Para saber si un punto singular (puntos que anulan la derivada) es máximo o mínimorelativo de una función estudiaremos el signo de la derivada primera de la función.Ejemplo:y = x 3 − 27 xSi calculamos su derivada y estudiamos el signo se tiene,y ′ = 3 x 2 − 27 = 3 ⋅ ( x 2 − 9 ) = 3 ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x − 3)Luego podríamos decir que la función • crece en ( −∞,−3) ∪( 3, ∞) • decrece en ( −3,3)Así que hay un máximo relativo en ( −3, f ( −3) ) y un mínimo relativo en ( 3, f (3) ) −∞ -3 3 3 -3 ∞3 + + +( x + 3) - + +( x −3) - - +Signoy′ + - +como se observaba en la gráfica.3. INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA SEGUNDA DERIVADAUna función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función en eseintervalo están por debajo de la función. Una función es convexa en un intervalo si larectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima. 3
  • La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adoptepara considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o"desde abajo". Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominacionescóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades.Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman puntos de inflexión. 3.1. RELACIÓN DE LA CURVATURA CON LA SEGUNDA DERIVADASi observamos la gráfica siguiente veremos que cuando la función es cóncava laspendientes de las rectastangentes (las derivadas)tienen un valor cada vezmás grande, y cuando esconvexa cada vez menor.Criterios de concavidad o convexidad: • Por la derivada primera: a. Si una función es cóncava las pendientes de las tangentes aumentan (f´ es creciente). b. Si una función es convexa las pendientes de las tangentes disminuyen (f´ es decreciente). • Por la derivada segunda: Si f es cóncava hacia arriba  entonces f´ creciente, por lo tanto f´´ ≥ 0 Si f es cóncava hacia abajo  entonces f´ decreciente, por lo tanto f´´ ≤ 0Si f ( x ) es derivable en x0 y tiene un punto de inflexión en x0 ⇒ f ′′( x0 ) = 0 3.2. CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CÓNCAVOS Y CONVEXOSSi una función es derivable dos veces, se tienef ′′( x ) > 0 ⇒ f es cóncavaf ′′( x ) < 0 ⇒ f es convexa 4
  • Ejemplo: EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 5
  •  2x − 3 si x <41º) Comprueba que la función f ( x ) =  cumple las − x + 10x − 19 x ≥4 2 si hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo [0, 8]. Averigua dónde cumple la tesis. x 2 + ax si x <32º) Calcula a, b y c para que la función f ( x ) =  cumpla las  bx + c si x ≥3 hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo [0, 8]. Di en qué punto cumple la tesis. π3º) Halla el valor de k para que la función f ( x ) = kx + tgx cumpla el Teorema de 2 3 Rolle en el intervalo [π/6,π/3].  1 / x si − 2 ≤ x ≤ −1  24º) Comprueba que la función f ( x ) =  x − 3 satisface las  2 si − 1 ≤ x ≤ 0  hipótesis del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial. Calcula el valor o valores donde se cumple la tesis.5º) Comprueba que la función f(x) = |x – 2| no cumple las condiciones del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial en el intervalo [0, 3].6º) Estudia si el Teorema de Lagrange (o del Valor Medio del Cálculo Diferencial) se  x3 x <0 puede aplicar a la función: f ( x) =  en el intervalo [–1, 2]. e − 1 x ≥ 0 x7º) Sea f(x) una función continua y derivable en IR tal que f(0) = 3. Calcula cuánto tiene que valer f(5) para asegurar que en (0, 5) existe un valor c tal que f ’(c) = 8.8º) Determinar, si es posible, a y b para que el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial sea aplicable a la función:  a  x si − 2 ≤ x ≤ −1 f (x) =  2  x − b si − 1 < x ≤ 0  29º) ¿Se puede aplicar el Teorema de Rolle a la función f(x) = |sen x| en el intervalo [π/3, 4π/3]? Razona la respuesta.10º) Enuncia el teorema que asegura la existencia de solución del siguiente problema y resuélvelo: Halla el punto de tangencia de una recta paralela a la cuerda de la curva y = e x definida por los puntos (0, 1) y (1, e).11º) Determina un punto de la función f(x) = x3 en el que la recta tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (2, 8). 6
  • x312º) Sea la función f ( x) = . ¿Puede cumplir la tesis del Teorema del Valor Medio x +1 del Cálculo Diferencial en el intervalo [-2, 5]?. Justifícalo.13º) Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b], con derivada segunda en el intervalo (a, b). Demuestra que si f(x) = 0 en al menos tres valores de x ∈ [a, b], entonces f ‘’(x) = 0 para algún x ∈ [a, b].14º) Razona si son aplicables los Teoremas de Rolle y del Valor Medio del Cálculo Diferencial a la función f(x) = tg x en [0, π].15º) Si una función f(x) verifica las hipótesis del Teorema de Rolle, ¿verifica también las del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial? ¿Que diferencia hay en las conclusiones de ambos teoremas en ese caso?16º) Dada la función f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c : a) Halla a, b y c para que la función admita un extremo relativo en x = 2 y un punto de inflexión en x = 0, siendo f (−1) = −5 . b) Para los valores anteriores de a, b y c, hallar: b1) Los extremos relativos de la función. b2) Los valores máximo y mínimo de dicha función en el intervalo [-3, 5]. 1− x17º) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x) = , en su ex punto de inflexión. Estudia la concavidad y convexidad de f(x).18º) a) Define el concepto de máximo relativo de una función f(x) en un punto x = a y enunciar su relación con las derivadas sucesivas de f(x) en x = a . b) Determinar si la función f ( x) = x 2 − sen 2 x tiene un máximo relativo en x = 0 .19º) Dada la función f ( x) = ( x −1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) , halla tres intervalos talesque cada uno contenga una raíz diferente de la ecuación f ´(x) = 0 .20º) Si el término independiente de un polinomio en x es igual a 3 y el valor que tomaese polinomio para x = 2 es 3, prueba que su derivada se anula para algún valor de x;razona que ese valor pertenece a un cierto intervalo que se especificará.21º) Demuestra que la ecuación x 3 + 6 x 2 + 15 x − 23 = 0 no puede tener más de una raízreal. (Sugerencia: averigua si la primera derivada del polinomio se anula en algúnpunto).22º) Demuestra que la ecuación x18 − 5 x + 3 = 0 no puede tener más de dos raíces reales.(Sugerencia: localiza los puntos en que se anula la derivada del primer miembro y vercuántos son, para deducir lo dicho). 7
  • 23º) Comprueba, utilizando los teoremas de Bolzano y Rolle, que la curvay = x 5 − 5 x −1 tiene exactamente tres puntos de intersección con el eje OX. 24º) Calcula los siguientes límites: x 3 − 3x − 2 x2 + x +1 1) lim 2) lim 3) x →2 x2 − 4 x →∞ x2 − x x − sen x lim x →0 cos x −1 (1 − cos x ) sen x tg x − x 4) lim 5) lim 6) x →0 x 2 x →0 x − sen x e x − e sen x lim x →0 x3 7) lim e x − e −x − 2x 8) lim ( x ex −1 ) 9) x →0 x − sen x x →0 cos x − senx + x − 1 x cos x − sen x lim x →0 x3 1 − cos( x −1) 10) lim 11) xlim+ x ⋅ ln x 12) x→ 1 ( ln x ) 2 →0lim ( x − 1) ln ( x − 1)x →1+ 13) lim( tg x ⋅ ln x ) , x>0 x →0 14) xlim 2 cos x ⋅ ln ( tg x ) →π / 15) 1 + x  lim x ⋅ ln  x →∞  x   1  e 1  16) lim c tg x −  17) lim x −  18) x →0  x x →1 e − e  x −1   x 1  lim −   x →1 ln x x ⋅ ln x  8
  • 1 − cos x 19) lim(1 − cos x ) c tg x 20) lim 21) x →0 x→ 0 (e x −1 ) 2 x ⋅ arcsen x lim x →0 sen x ⋅ cos x 22) lim( c tg x ) 23) x lim 4( tg x ) sen x 1 / cos 2 x sen x x →0 →π / 24) lim x x →0 , x>0 25) x lim 2( tg x ) 26) lim( e + x ) cos x x 3 1/ x →π / x →0 27) lim(1 + sen x ) cos ec ( x / 2 ) x →0 28) lim( cos x + 3 sen x ) 2/ x 1/ x x →0 29) lim x x →∞ 30) lim x x a − 1 x →∞25º) Estudia y representa gráficamente las siguientes funciones: x 2 +1 x 1) y = 2) y = 3) x x −1 2 x y= x − 5x + 4 2 4x x2 x 4) y = 5) y = 6) y = 1 + x x +4 2 x +1 x 2 −1 ln x 7) y = 8) y = e1 / x 9) y = x x ex x 2 ln x si x >0 10) y = 11) y = 12) y = e x − e −x x  0 si x =0 13) y = x ln x 2 14) y = x 2 e −x 15) y = ( x −1)e −x 9
  • 26º) En un libro los márgenes superior e inferior deben ser de 3 cm. y los márgenes laterales de 2 cm. Si cada página tiene una superficie de texto impreso de 96 cm 2, ¿cuáles son las dimensiones si se sabe que el gasto de papel ha sido mínimo?27º) Se quiere construir un marco para una ventana de 1 m 2 de área. El coste del marco se estima en 6 € por cada metro de alto y 3 € por cada metro de ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del marco más económico?28º) Se desea construir una caja abierta, de base cuadrada y 864 dm 3 de capacidad. ¿Cuáles han de ser sus dimensiones para que su superficie sea mínima?29º) Con una plancha de cartón cuadrada de 12 dm de lado, se quiere construir una caja con el mayor volumen posible, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando luego la plancha de forma adecuada. ¿Qué lado debe tener el cuadrado que se ha de cortar?30º) Calcula las dimensiones que debe tener un bote cilíndrico de hojalata cuyo volumen es 8π m3, si queremos que la hojalata empleada en su fabricación sea mínima. Considera los casos siguientes: a) El bote sólo tiene tapa inferior. b) El bote tiene dos tapas.31º) De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, halla lasdimensiones del que tenga área máxima.32º) En un jardín con forma de semicírculo de radio 10 m se quiere construir un parterrerectangular; uno de los lados del rectángulo está sobre el diámetro y el lado opuestotiene sus extremos en la curva. Calcula las dimensiones del parterre para que su área seamáxima.33º) Se quiere construir un depósito cilíndrico de área total 54 cm2. Determina el radiode la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máximo.34º) De todas las rectas que pasan por el punto P(1, 2), encuentra la que determina conlos ejes de coordenadas (en el primer cuadrante) un triángulo de área mínima. 10
  • EJERCICIOS DE SELECTIVIDADSeptiembre de 19961.- A. Enunciado de la Regla de L’Hôpital. x − sen( x ) B. Calcular lim x →0 sen( x 2 )Junio de 19972.- A. Enunciado de la Regla de L’Hôpital. ( x −1) e x +1 B. Calcular el límite siguiente: lim x →0 sen 2 ( x )Septiembre de 19973.- A. ¿Existen funciones polinómicas de tercer grado que no tengan ningún punto de inflexión? Razonar la respuesta. B. Calcular los intervalos de concavidad, convexidad y los puntos de inflexión de lafunción f(x) = sen(x) + cos(x) definida en el intervalo [0, 2π].Junio de 19984.- A. ¿Puede ocurrir que exista el x→x0 f ( x ) y que la función f(x) no sea continua en lim x0? Razonar la respuesta. B. Calcular el límite lim( e − x ) x 1/ x x →0Septiembre de 19985.- De todos los rectángulos de área la unidad, halla las dimensiones de aquel que tiene mínimo el producto de las dos diagonales.Junio de 19996.- La curva y = x 3 + a· x 2 + b· x + c corta al eje OX en x = 1 y tiene un punto deinflexión en el punto (3, 2). Calcular los puntos de la curva que tengan recta tangenteparalela al eje OX.Septiembre de 19997.- En un triángulo isósceles de base 12 cm (el lado desigual) y altura 10 cm, se inscribeun rectángulo de manera que uno de los lados esté sobre la base del triángulo y los otrosdos vértices sobre los lados iguales. ¿Qué dimensiones debe tener el rectángulo de áreamáxima?Septiembre de 20008.- A. ¿Puede tener una función polinómica de grado dos un punto de inflexión? Razona la respuesta. 11
  • B. Estudia la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la función: ln ( x ) f ( x) = xJunio de 2002 x 2 − 2x + 29.- Dada f ( x ) = , escriba la ecuación de la secante a f que une los puntos x −4(-2, f(-2)) y (2, f(2)). ¿Existe un punto c en el intervalo [-2, 2] verificando que latangente a la gráfica de f en (c, f(c)) es paralela a la secante que ha hallado? En casoafirmativo razone su respuesta y calcule c, en caso negativo razone porqué no existe.Septiembre de 200210.- Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 1) y tal que el área deltriángulo formado por esta recta y los semiejes positivos coordenados sea mínima.Septiembre de 200311.- A) Dada la parábola f ( x) = ax 2 + bx + c , determine los valores de a, b y c sabiendo 1 que f tiene un máximo en el punto de abscisa x = − y la recta tangente a f en el 2 punto (1,3) es y = -3x+ 6. B) Determine el área de la región limitada por la gráfica de la función 1 f ( x) = x 2 + x + 5 , el eje OX y las rectas x = − e y = x + 6. 2Junio de 200412.- A) Un barco B y dos ciudades A y C de la costa forman un triángulo rectángulo en C. Las distancias del barco a las ciudades A y C son 13 Km y 5 Km respectivamente. Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a 3 Km/h y caminar a 5 Km/h, ¿a qué distancia de A debe abandonar la costa para nadar hasta B si quiere llegar lo antes posible? 4 B) Demuestre que la función f dada por f ( x) = es estrictamente x + x−2 2 positiva en [2,+ ) y halle el área de la región determinada por la gráfica de f , el ∞ eje de abscisas y las rectas x=2 y x=3.Junio 200513.- A. Enunciado de la Regla de L´Hôpital. B. Calcule la relación entre a y b para que sea continua en toda la recta real lafunción f : R → R definida por:  e ax − 1  , si x ≠ 0 f (x ) =  2x  b, si x = 0  12
  • Junio 200614.- Opción 1. a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = (x + 1) e −x en el punto de corte de f(x) con el eje OX. b) Calcula, para f(x) = (x + 1) e −x : intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexión, concavidad y convexidad. c) Enunciado e interpretación geométrica del Tª del Valor Medio del Cálculo Integral.Junio 200615.- Opción 2. a) Enunciado e interpretación geométrica del Tª del Valor Medio del Cálculo Diferencial. b) De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 cm, calcula las longitudes de los catetos que corresponden al de área máxima. c) Área de un recinto.Septiembre 2006 b16.- Opción 1. a) Calcula los valores de a y b para que la gráfica de f(x) = a x + x tenga un mínimo relativo en el punto (½, 4). Para esos valores de a y b, calcula: asíntotas e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x). x 2 ex b) Calcula lim x →0 cos 2 x − 1 c) Teoría de Cálculo Integral.Septiembre 200617.- Opción 2. a) Definición de función continua en un punto. ¿Qué tipo de x2 discontinuidad tiene en x=0 la función f(x) = ? x b) Un alambre de 170 cm de longitud se divide en dos partes. Con una de las partes se quiere formar un cuadrado y con la otra un rectángulo de modo que la base mida el doble que la altura. Calcula las longitudes de las partes en las que se tiene que dividir el alambre para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima. c) Área de un recinto.Junio 200718.- Opción 1. b) Dada g ( x) = ax 4 + bx + c , calcula los valores a,b,c para que g(x) tengaen el punto (1,-1) un mínimo relativo y la recta tangente a la gráfica de g(x), en x=0, seaparalela a la recta y=4x. 13
  • Opción 2. a) Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Rolle. b) Dada f ( x) = x 3 − 9 x , calcula para f(x): puntos de corte con los ejes,intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, intervalos deconcavidad y convexidad y puntos de inflexión.Septiembre 2007 e x senx − x19.- a)Calcula lim . x →0 2 x 2 + x 4b) Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima que se puede construirde modo que su base esté sobre el eje OX y los vértices del lado opuesto estén sobre laparábola y = −x 2 +12 .Junio 2008 mx 2 − 1 + cos x20.- Calcula el valor de m para que: lim =0. x →0 sen( x 2 ) Razón de cambio y razones relacionadas LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIOPuede interpretarse el concepto de la velocidad en el movimiento rectilíneo, estudiadaen la sección 4.2, como el concepto más general de la razón de cambio instantáneo. Esesta una razón de cambio de la distancia respecto al tiempo, y si s = f (t ) describe unmovimiento rectilíneo, está razón de cambio en cualquier instante t, está representadapor f ′ ( t0 ) . De modo semejante a menudo nos interesamos en una razón de cambio deuna cantidad respecto a otra. Existen muchas aplicaciones del concepto de razóninstantáneo y razón promedio tanto en Ingeniería, Economía, Física, Química, así comotambién en Matemáticas. Son ejemplos, la razón de cambio del área de un círculorespecto a su diámetro, la razón de cambio de la longitud de una varilla de metalrespecto a su temperatura, la razón de la solución de un compuesto químico en unsolvente respecto al tiempo así como por ejemplo, la cantidad de agua Q(lts) que hay enun recipiente es función del tiempo t. Si el agua entra y sale, Q cambia en una cantidad ∆Q de un tiempo t a un tiempo t + ∆t . Entonces la razón de cambio media o promediode Q con respecto a t es: ∆Q dQ ∆Q ( lt / min ) y la razón instantánea: = lim ( 1t / min ) ∆t dt ∆t →0 ∆tEs decir, con frecuencia tales problemas pueden analizarse de una maneracompletamente igual a la empleada para los problemas de la tangente y de la velocidad.Así, si se dà y en términos de x por una fórmula y = f ( x) podemos discutir la razón decambio de y respecto a x.Por razón de cambio de media de y respecto a x, desde x = x0 hasta x = x , se entiendela relación: 14
  • f ( x) − f ( x0 ) cambio de ordenadas = x − x0 cambio de abscisasSi el cociente diferencial tiene un límite cuando x → x0 , este límite está acorde connuestro concepto intuitivo de razón de cambio instantáneo de y con respecto a x.Definición: La razón de cambio instantáneo de f ( x) respecto a x en x1 es laderivada f ′ ( x1 ) siempre que la derivada exista.Ejemplos:1). Hallar la razón de cambio del área de un cuadrado respecto a un lado cuando el lado mide 5 pulgadas. Solución: Sea A = f (a ) = a 2 , el área del cuadrado como función de su lado. Entonces: Da A = f ′( a) = Da a 2 = 2a pu lg 2 / pu lg a = 5 pu lg ⇒ Da A = 10 pu lg 2 / pu lg.Todas las cantidades que se encuentran en la vida diaria cambian con el tiempo. Esto escierto especialmente en las investigaciones científicas. Por ejemplo, un químico puedeestar interesado en la cantidad de cierta substancia que se disuelve en el agua por unidadde tiempo. Un ingeniero eléctrico puede querer saber qué tanto cambia la corriente enalguna parte de un circuito eléctrico por unidad de tiempo. Un biólogo puede estudiar elaumento (o la disminución), por unidad de tiempo, del número de bacterias de algúncultivo. Pueden citarse muchos otros ejemplos, incluyendo algunos en campos fuera delas ciencias naturales. Consideremos la siguiente situación que puede aplicarse acualquiera de los ejemplos anteriores.Supongamos que una variable w es función del tiempo de manera que al tiempo t , westá dada por w = g ( t ) , donde g es una función derivable. La diferencia entre el valorinicial y el valor final de w en el intervalo de tiempo [ t , t + h] está dada por g ( t + h ) − g (t ) . Análogamente a lo que hicimos tratamiento del concepto de velocidad,formulamos la siguiente definición.DEFINICIÒN La razón media de cambio de w = g (t ) en el intervalo [ t , t + h ] es g (t + h) − g (t ) h La razón de cambio de w = g (t ) con respecto a t es 15
  • dw g (t + h) − g (t ) = g ′(t ) = lim dt h →0 hLas unidades que deben usarse en al definición (4.29) dependen de la naturaleza de lacantidad representada por w . A veces dw / dt se llama la razón de cambio instantáneode w con respecto a t .El límite de este cociente cuando h tiende a 0 (es decir, dy / dx ) se llama la razón decambio de y con respecto a x. Así, si la variable x cambia, entonces y cambia a razónde dy / dx unidades por unidad de cambio de x. Por ejemplo, supongamos que ciertacantidad de gas está encerrada en un globo. Si el gas se calienta o se enfría mientras lapresión permanece constante, el globo se dilata o se contrae y su volumen V es unafunción de la temperatura t. La derivada dV / dT nos da la razón de cambio delvolumen con respecto a la temperatura. 16
  • PROBLEMAS PROPUESTOS1.- La intensidad I (en amperes) de la corriente eléctrica en cierto circuito está dada por I = 100 / R , donde R denota la resistencia (en ohms). Encuentre la razón de cambio de I con respecto a R cuando la resistencia es 20 ohms.2.- El radio (en centímetros) de un globo esférico que se está inflando, después de t minutos está dado por r (t ) = 3 3 t + 8 , donde 0 ≤ t ≤ 10 . ¿Cuál es la razón de cambio con respecto a t de cada una de las cantidades siguientes en t = 8? (a) r(t) (b) el volumen del globo (c) El área de la superficie.3.- Una escalera de 4 metros de largo está apoyada en una casa. Si el extremo inferior se desliza por el suelo a razón de 1m/seg., ¿qué tan rápido cambia el ángulo entre la escalera y el suelo cuando el extremo inferior está a 2 metros de la casa?4.- La iluminación I que produce una fuente de luz es directamente proporcional a la intensidad S de la fuente e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d a la fuente. Suponiendo que I es igual a 120 unidades a una distancia de 2m, encuentre la razón de cambio de I con respecto a d a una distancia de 20m.5.- Demuestre que la razón de cambio del radio de un círculo con respecto a su perímetro es independiente del tamaño del círculo. Ilustre este hecho usando unos círculos máximos sobre dos esferas, una del tamaño de un balón de basketball y otra del de la tierra.6.- La relación entre la temperatura F en la escala Fahrenheit y la temperatura C en 5 la escala Celsius está dada por C = ( F − 32). ¿Cuál es la razón de cambio de F 9 con respecto a C?.7.- Un hombre sobre la azotea de un edificio, tira de una cuerda de 10 metros de longitud en cuyo extremo esta atado un peso P. El hombre se aleja del borde de la azotea con una velocidad de 2m/s ¿Con qué velocidad se alejan o se acercan el hombre y el objeto en el instante en que ya el hombre ha caminado 3m?8.- Un cilindro circular recto tiene una altura fija de 8cm. Hallar la razón de cambio del volumen respecto al radio cuando este mide 2cm.9.- Un estudiante de Ingeniería descubrió que el radio de una bola de nieve que se derretía era de ( 4 − 0.04t ) pulgadas, donde t es el tiempo en minutos. Hallar la razón de cambio del volumen respecto al tiempo al final de 1 hora.10.- Hallar el punto (o los puntos) de la parábola y = x 2 + 2 x , donde la razón de cambio de la pendiente de la normal respecto a x sea 2 por unidad de longitud.11.- Hallar la variación respecto al tiempo del ángulo agudo formado por las diagonales de un rectángulo si el lado mayor crece a razón de 4cm/seg., en una dirección y el otro permanece constante igual a 10cm; en el instante en que el lado que crece vale 17cm. 17
  • Datos: h = 10cm Dt b = 4cm / seg se pide : Dt 0 = ?? cuando b = 17cm12.- La longitud de una arteza horizontal es de 4m, su sección transversal es un trapecio, el fondo tiene 2m de ancho; el seno del ángulo entre sus caras laterales y el plano horizontal es 4/5. Se echa agua a la arteza a razón de 1/ 4m3 / min . ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua, cuando el agua tiene 60cm de profundidad.13.- Un rombo tiene 10cms de lado. Dos de los vértices opuestos se separan a razón de 2cm/seg. ¿Con qué rapidez cambia el área, en el momento en que los vértices se han separado una distancia de 16 cms? (Tener en cuenta que los lados del rombo tienen 10 cms en todo instante.  x 2 + 3x ; x ≤ 114.- Un punto se mueve a lo largo de la curva: f ( x) =  De modo  5x − 1 ; x > 1 que su abscisa cambie en la razón de 5 unidades por segundo. ¿Cuál es la razón de cambio en su ordenada? ¿Cuánto vale esta razón en el instante en que pasa por f ( x ) = 18 .15.- Un punto móvil recorre con una velocidad de 3km/hr el diámetro vertical CB de un círculo de centro 0, en el sentido de abajo arriba, partiendo de C. En el extremo izquierdo A, del diámetro horizontal AD , hay un foco de luz, que proyecta la sombra del punto móvil sobre el arco CDB. Calcular la velocidad de dicha sombra en el momento en que el punto móvil ha recorrido la cuarta parte de la longitud del diámetro.16.- Una bola gira describiendo círculos en el extremo de una cuerda de 5 pies a una velocidad de 20 r.p.m. Si la cuerda se rompe dejando escapar la bola tangencialmente, ¿a qué velocidad se estará alejando del centro de su trayectoria primitiva 1/100 de segundo después de que se rompió la cuerda?.17.- Un hombre corre a lo largo de un diámetro de longitud 200mts. de un parque semicircular, a una velocidad uniforme de 5m/seg. ¿A qué velocidad se moverá su sombra a lo largo de la pared cuando los rayos del sol forman ángulo recto con el diámetro.18.- Un punto se mueve sobre la parábola 6 y = x 2 de manera que cuando x = 6 la abscisa aumenta con una rapidez de 2mts/seg. ¿Con qué rapidez aumenta la ordenada en ese instante?19.- El piloto de un bombardero que vuela a 2kmts. De altura y a una velocidad de 240 km/hr, observa un blanco terrestre hacía el que se dirige. Calcular la velocidad a la que debe girar el instrumento óptico cuando el ángulo entre la ruta del avión y la línea de mira es 30º?20.- El radio de la base de un cono aumenta a razón de 3cm/hr y la altura disminuye a razón de 4cm/hr. Calcular como varía el área total del cono cuando el radio mide 7cm. Y la altura 24cm. 18
  • Datos: h = 10cm Dt b = 4cm / seg se pide : Dt 0 = ?? cuando b = 17cm12.- La longitud de una arteza horizontal es de 4m, su sección transversal es un trapecio, el fondo tiene 2m de ancho; el seno del ángulo entre sus caras laterales y el plano horizontal es 4/5. Se echa agua a la arteza a razón de 1/ 4m3 / min . ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua, cuando el agua tiene 60cm de profundidad.13.- Un rombo tiene 10cms de lado. Dos de los vértices opuestos se separan a razón de 2cm/seg. ¿Con qué rapidez cambia el área, en el momento en que los vértices se han separado una distancia de 16 cms? (Tener en cuenta que los lados del rombo tienen 10 cms en todo instante.  x 2 + 3x ; x ≤ 114.- Un punto se mueve a lo largo de la curva: f ( x) =  De modo  5x − 1 ; x > 1 que su abscisa cambie en la razón de 5 unidades por segundo. ¿Cuál es la razón de cambio en su ordenada? ¿Cuánto vale esta razón en el instante en que pasa por f ( x ) = 18 .15.- Un punto móvil recorre con una velocidad de 3km/hr el diámetro vertical CB de un círculo de centro 0, en el sentido de abajo arriba, partiendo de C. En el extremo izquierdo A, del diámetro horizontal AD , hay un foco de luz, que proyecta la sombra del punto móvil sobre el arco CDB. Calcular la velocidad de dicha sombra en el momento en que el punto móvil ha recorrido la cuarta parte de la longitud del diámetro.16.- Una bola gira describiendo círculos en el extremo de una cuerda de 5 pies a una velocidad de 20 r.p.m. Si la cuerda se rompe dejando escapar la bola tangencialmente, ¿a qué velocidad se estará alejando del centro de su trayectoria primitiva 1/100 de segundo después de que se rompió la cuerda?.17.- Un hombre corre a lo largo de un diámetro de longitud 200mts. de un parque semicircular, a una velocidad uniforme de 5m/seg. ¿A qué velocidad se moverá su sombra a lo largo de la pared cuando los rayos del sol forman ángulo recto con el diámetro.18.- Un punto se mueve sobre la parábola 6 y = x 2 de manera que cuando x = 6 la abscisa aumenta con una rapidez de 2mts/seg. ¿Con qué rapidez aumenta la ordenada en ese instante?19.- El piloto de un bombardero que vuela a 2kmts. De altura y a una velocidad de 240 km/hr, observa un blanco terrestre hacía el que se dirige. Calcular la velocidad a la que debe girar el instrumento óptico cuando el ángulo entre la ruta del avión y la línea de mira es 30º?20.- El radio de la base de un cono aumenta a razón de 3cm/hr y la altura disminuye a razón de 4cm/hr. Calcular como varía el área total del cono cuando el radio mide 7cm. Y la altura 24cm. 18
  • Datos: h = 10cm Dt b = 4cm / seg se pide : Dt 0 = ?? cuando b = 17cm12.- La longitud de una arteza horizontal es de 4m, su sección transversal es un trapecio, el fondo tiene 2m de ancho; el seno del ángulo entre sus caras laterales y el plano horizontal es 4/5. Se echa agua a la arteza a razón de 1/ 4m3 / min . ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua, cuando el agua tiene 60cm de profundidad.13.- Un rombo tiene 10cms de lado. Dos de los vértices opuestos se separan a razón de 2cm/seg. ¿Con qué rapidez cambia el área, en el momento en que los vértices se han separado una distancia de 16 cms? (Tener en cuenta que los lados del rombo tienen 10 cms en todo instante.  x 2 + 3x ; x ≤ 114.- Un punto se mueve a lo largo de la curva: f ( x) =  De modo  5x − 1 ; x > 1 que su abscisa cambie en la razón de 5 unidades por segundo. ¿Cuál es la razón de cambio en su ordenada? ¿Cuánto vale esta razón en el instante en que pasa por f ( x ) = 18 .15.- Un punto móvil recorre con una velocidad de 3km/hr el diámetro vertical CB de un círculo de centro 0, en el sentido de abajo arriba, partiendo de C. En el extremo izquierdo A, del diámetro horizontal AD , hay un foco de luz, que proyecta la sombra del punto móvil sobre el arco CDB. Calcular la velocidad de dicha sombra en el momento en que el punto móvil ha recorrido la cuarta parte de la longitud del diámetro.16.- Una bola gira describiendo círculos en el extremo de una cuerda de 5 pies a una velocidad de 20 r.p.m. Si la cuerda se rompe dejando escapar la bola tangencialmente, ¿a qué velocidad se estará alejando del centro de su trayectoria primitiva 1/100 de segundo después de que se rompió la cuerda?.17.- Un hombre corre a lo largo de un diámetro de longitud 200mts. de un parque semicircular, a una velocidad uniforme de 5m/seg. ¿A qué velocidad se moverá su sombra a lo largo de la pared cuando los rayos del sol forman ángulo recto con el diámetro.18.- Un punto se mueve sobre la parábola 6 y = x 2 de manera que cuando x = 6 la abscisa aumenta con una rapidez de 2mts/seg. ¿Con qué rapidez aumenta la ordenada en ese instante?19.- El piloto de un bombardero que vuela a 2kmts. De altura y a una velocidad de 240 km/hr, observa un blanco terrestre hacía el que se dirige. Calcular la velocidad a la que debe girar el instrumento óptico cuando el ángulo entre la ruta del avión y la línea de mira es 30º?20.- El radio de la base de un cono aumenta a razón de 3cm/hr y la altura disminuye a razón de 4cm/hr. Calcular como varía el área total del cono cuando el radio mide 7cm. Y la altura 24cm. 18
  • Datos: h = 10cm Dt b = 4cm / seg se pide : Dt 0 = ?? cuando b = 17cm12.- La longitud de una arteza horizontal es de 4m, su sección transversal es un trapecio, el fondo tiene 2m de ancho; el seno del ángulo entre sus caras laterales y el plano horizontal es 4/5. Se echa agua a la arteza a razón de 1/ 4m3 / min . ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua, cuando el agua tiene 60cm de profundidad.13.- Un rombo tiene 10cms de lado. Dos de los vértices opuestos se separan a razón de 2cm/seg. ¿Con qué rapidez cambia el área, en el momento en que los vértices se han separado una distancia de 16 cms? (Tener en cuenta que los lados del rombo tienen 10 cms en todo instante.  x 2 + 3x ; x ≤ 114.- Un punto se mueve a lo largo de la curva: f ( x) =  De modo  5x − 1 ; x > 1 que su abscisa cambie en la razón de 5 unidades por segundo. ¿Cuál es la razón de cambio en su ordenada? ¿Cuánto vale esta razón en el instante en que pasa por f ( x ) = 18 .15.- Un punto móvil recorre con una velocidad de 3km/hr el diámetro vertical CB de un círculo de centro 0, en el sentido de abajo arriba, partiendo de C. En el extremo izquierdo A, del diámetro horizontal AD , hay un foco de luz, que proyecta la sombra del punto móvil sobre el arco CDB. Calcular la velocidad de dicha sombra en el momento en que el punto móvil ha recorrido la cuarta parte de la longitud del diámetro.16.- Una bola gira describiendo círculos en el extremo de una cuerda de 5 pies a una velocidad de 20 r.p.m. Si la cuerda se rompe dejando escapar la bola tangencialmente, ¿a qué velocidad se estará alejando del centro de su trayectoria primitiva 1/100 de segundo después de que se rompió la cuerda?.17.- Un hombre corre a lo largo de un diámetro de longitud 200mts. de un parque semicircular, a una velocidad uniforme de 5m/seg. ¿A qué velocidad se moverá su sombra a lo largo de la pared cuando los rayos del sol forman ángulo recto con el diámetro.18.- Un punto se mueve sobre la parábola 6 y = x 2 de manera que cuando x = 6 la abscisa aumenta con una rapidez de 2mts/seg. ¿Con qué rapidez aumenta la ordenada en ese instante?19.- El piloto de un bombardero que vuela a 2kmts. De altura y a una velocidad de 240 km/hr, observa un blanco terrestre hacía el que se dirige. Calcular la velocidad a la que debe girar el instrumento óptico cuando el ángulo entre la ruta del avión y la línea de mira es 30º?20.- El radio de la base de un cono aumenta a razón de 3cm/hr y la altura disminuye a razón de 4cm/hr. Calcular como varía el área total del cono cuando el radio mide 7cm. Y la altura 24cm. 18