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Transformaciones lineales y espacios vectoriales
 

Transformaciones lineales y espacios vectoriales

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    Transformaciones lineales y espacios vectoriales Transformaciones lineales y espacios vectoriales Presentation Transcript

    • PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN ELECTRICIDAD DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD UNIDAD CURRICULAR ALGEBRA LINEAL FACILITADOR: BACHILLERES: WILMER COLMENARES López kleider C.I.23.552.053 Kelvin Rondon C.I: 19.535.904 Pérez Arturo C.I: 21.261.673 Sección: T1- Ele-1M Ciudad Bolívar, Julio del 2010 TRANSFORMACIONES LINEALES Y ESPACIOS VECTORIALES
      • Vectores .
      • Definición : Se puede definir como una herramienta geométrica utilizada generalmente para representar gráficamente una magnitud, el cual posee un modulo y una dirección .
      • Propiedades de la suma . Propiedades de la multiplicación :
      • Conmutativa: k + o = o + k Distribut.: k (o + u) = (k · o ) + (k · u).
      • Asociativa: ( k + o )+ q = k +( o + q ) Conmutativa : k · o = o · k.
      • Elemento Neutro: k + 0 = k Elemento Neutro: 1 · k = k.
      • Elemento Simétrico: k +(- k )= k - k =0 Elemento Simétrico: -1 · k = - k.
      • Representación Grafica. Ejercicio resuelto (suma y multiplicación de vectores)
      Representación grafica. Dado el vector libre a= (8,2) y b= (-3,4) calcular las coordenadas del vector 2A+ 3b Para su solución basta realizar las siguientes operaciones: 2A+3b = 2(8,2) + 3(-3,4) = (16,4) +(-9,12)= (7,16). 7 16 a+b
      • Importancia de los Vectores en la Electricidad .
      • En la electricidad es importante en la (intensidad del campo eléctrico, fuerza electrostática...), en electromagnetismo (vector de inducción magnética...), etc.
      • Por otra parte es de vital importancia mencionar que gran parte del desarrollo matemático con señales eléctricas se hace con fasores y notación compleja. A efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones.
      • OH por decirlo de una manera mas técnica el mundo real es vectorial, y no se puede expresar de otra forma sino es con vectores, es decir, gran cantidad de magnitudes del mundo son vectoriales, y como ya lo hemos dicho antes los vectores son definitivamente necesarios para expresar matemáticamente la realidad.
      • Ejercicios de Vectores Aplicado a Circuitos Eléctricos.
      • Se dispone de una carga eléctrica de 5*10^-4 coul. ¿ calcular el modulo de la intensidad del campo eléctrico a 15 cm de ella y hacer un diagrama que identifique el sentido de la intensidad del campo.
      • Nota : Se tiene que tener presente que es A el punto el cual esta a 15 cm de la carga…!
      • Datos : Formula
      • E =? E= k* q/d^2
      • Q= 5*10^-4 coul. + q A E
      • D = 15*10^-2 m
      • K = 9*10^9 new. m^2 15cm
      • coul^2
      +
      • Continuación del ejercicio de Vectores en Circuitos Eléctricos.
      • E = 9*10^9 new. m^2 * 5*10^-4 coul
      • coul^2 (15*10^-2)^2
      • E = 9*10^9 new. m^2 * 5*10^-4 coul
      • coul^2 0.15m^2
      • E = 3,0* 10 ^7 new
      • coul
      • Transformaciones Lineales .
      • Definición: Es una aplicación lineal llamada también ( función lineal u operador lineal). El cual es aplicable entre dos espacios vectoriales, donde se emplean suma de vectores y producto escalar. O se define como una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.
      • Propiedades de las Transformaciones Lineales.
      • Sean P y Q espacios vectoriales sobre K (donde K representa el cuerpo) se satisface que: Si T: P Q es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera : el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio .
      • Como también además hay q tener en cuenta que el núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio :
      • 1- 0P pertenece a Ker (T) dado que T(0P)= 0Q
      • 2-Dados x,y pertenece a Ker (T): T ( x+y)= T (x))+ T (Y)= 0Q + 0Q= 0Q=> x+y pertenece a Ker (T)
      • 3- dados que x pertenece a Ker (T)^ K pertenece a R: T (Kx)= KT (X)^ T (Kx)= K0Q= 0Q => Kx pertenece a Ker (T).
      • Ejercicio de Transformaciones Lineales.
      • Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la transformación lineal
      • T^3 R^2
      • (X, Y, Z) > (2x+3y+z, x-3y-z)
      • Para hallas su solución es necesario determinar los valores de (x, y, z) R^3 tales que: T (x, y, z)= (0,0)
      • Entonces nos queda que evaluando T seria:
      • ( 2x+3y+z, x-3y-z)=(0,0) es decir que:
      • 2x+3y+z=0, x-3y-z=0 y utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos 2 3 1 1 0 0
      • 1 -3 -1 0 1 1/3
      • Quedando que : x=0 y +1/3z=0
      • Con lo Cual : x; y; z) = (0;-(1/3)z; z) lo que es igual a: z(0;-(1/3);1) y se representaría de la siguiente forma: (0, -1/3, 1)
      • Nota: “cuando resolvemos un sistema de ecuación equivale encontramos las preimágenes de un vector para una transformación lineal dada”.
      • Aplicación de las Transformaciones Lineales en Espacios vectoriales.
      • De acuerdo a investigaciones realizadas las Transformaciones lineales aparecen frecuentemente en el álgebra lineal y otras ramas de la matemática. Tales funciones cumplen ciertas propiedades y de ellas se obtienen numerosos resultados, tanto en las matemáticas como en otras áreas del saber. Por ejemplo en geometría se usan para definir homotecias, en finanzas para convertir un conjunto de activos a otro, en dibujos o gráficas, para cambiar el punto de vista aplicando una rotación o una proyección.
      • Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n- dimencional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.
      • Ejercicios de Método Jacobi.
      • Partiendo de (x = 1, y = 2) aplique dos iteraciones del método de Jacobi para resolver el sistema: 5 x + 2 y = 1
      • x − 4 y = 0
      • Solución :
      • Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnita correspondiente. x = 0.20 + 0.00 x − 0.40 y
      • y = 0.00 + 0.25 x + 0.00 y
      • Escrito de manera vectorial quedaría: x = 0.20 + 0.00 -0.40 x
      • y 0.00 0.25 0.00 y
      • Aplicamos la primera iteración sabiendo que x0= 1.00 y y0= 2.00
      • X1= 0.20 + 0.00(1.00) – 0.40 (2.00)= -0.60
      • Y1= 0.00 + 0.25(1.00) + 0.00 (2.00)= 0.25
      • Aplicamos la segunda iteración sabiendo que x1= -0.60 y y1= 0.25
      • X2= 0.20 + 0.00 (-0.60) -0.40 (0.25)= 0.10
      • Y2= 0.00 + 0.25 (-0.60) +0.00 (0.25)= -0.15
      • Continuación del ejercicio Jacobi .
      • Aplicamos la siguiente iteración sabiendo que x2= 0.10 y y2= -0.15
      • X3= 0.20 + 0.00 (0.10) – 0.40 (-0.15)= 0.26
      • Y3= 0.00 + 0.25 (0.10) + 0.00 (-0.15)= 0.025
      • Aplicamos la siguiente iteración sabiendo que x3= 0.26 y y3= 0.025
      • X4= 0.20 + 0.00 (0.26) – 0.40 (0.025)= 0.190
      • Y4= 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (0.025)= 0.065
      • Aplicamos la siguiente iteración sabiendo que x4= 0.190 y y4= 0.065
      • X5= 0.20 + 0.00 (0.19) – 0.40 (0.065)= 0.174
      • Y6= 0.00 + 0.25 (0.19) + 0.00 (0.065)= 0.0475
      • Aplicamos la siguiente iteración sabiendo que x5= 0.174 y y5= 0.0475
      • X6= 0.20 + 0.00 (0.174) – 0.40 (0.0475)= 0.181
      • Y6= 0.00 + 0.25 (0.174) + 0.00 ( 0.0475)= 0.0435
      • Ejercicio del Método Gauss-Seidel
      • Lo haremos muy sencillo si partimos de (x=1, y=2) aplicamos dos iteraciones del Método Seidel para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
      • 5x + 2y= 1
      • x - 4y= 0
      • Su solución seria la siguiente :
      • X= 0.20 + 0.00x – 0.40y
      • Y= 0.00 + 0.25x + 0.00y
      • Aplicamos la primera iteración sabiendo que x0= 1.00 y y0= 2.00
      • X1= 0.20 + 0.00 (1.00) – 0.40 (2.00)= -0.600
      • Y1= 0.00 + 0.25 (1.00) + 0.00 (2.00)= -0.15
      • Aplicamos la segunda iteración sabiendo que x1= -0.600 y y1= -0.15
      • X2= 0.20 + 0.00 (-0.600) – 0.40 (-0.15)= 0.26
      • Y2= 0.00 + 0.25 (-0.600) + 0.00 (-0.15)= 0.065
      • Aplicamos la tercera iteración sabiendo que x2= 0.26 y y2=0.065
      • X3= 0.20 + 0.00 (0.26) – 0.40 (0.065)= 0.174
      • X4= 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (0.065)= 0.0435
      • Bibliografía.
      • www.wikipedia.com
      • www.rincondelvago.com
      • García J: Algebra Lineal y Geométrica. Editorial Marfil, 1989
      • Ejercicios de algebra Lineal, Serrano, ML., Fernández, Z., Arias de Velasco, L., Los autores, 1999
      • Algebra Lineal y sus Aplicaciones, Lay, D.C.., Addison Wesley, 1999