Modelos cuantitativos para la toma de decisiones

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Modelos cuantitativos para la toma de decisiones

  1. 1. UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL NORESTE UANE COLABORADORES ING. JUAN CARLOS GUERRA ING. SERGIO ARTURO GONZALEZ MAESTRIA ADMINISTRACION Y LIDERAZGGO MANUALMODELOS CUANTITATIVOS PARA LA TOMA DE DECISIONES
  2. 2. [PROGRAMACION LINEAL] ContenidoMODELO PARA LA TOMA DE DECISIONES .......................................................................................... 9ELPROBLEMA DETRANSPORTE:......................................................................................................... 20El Problema de Transporte .............................................................................................................. 31El Problema de Transbordo............................................................................................................. 46MODELO DE INVENTARIOS ............................................................................................................... 50PRONÓSTICOS ................................................................................................................................... 61ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS.................................................................................................... 91 Página 2 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  3. 3. [PROGRAMACION LINEAL]PROGRAMACION LINEAL • La programación lineal es una técnica de modelado (construcción de modelos). • La programación lineal (PL) es una técnica matemática de optimización, es decir, un método que trata de maximizar o minimizar un objetivo. • Su interés principal es tomar decisiones óptimas. • Se usa mucho en la industria militar y en la petrolera. S i bien esos sectores han sido quizá los principales usuarios de ella, el sector servicios y el sector público de la economía también la han aprovechado ampliamente.ESTRUCTURA BÁSICA DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL (PL) Un problema de PL consta de una función objetivo (lineal) por maximizar o minimizar,sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades.Conceptos clave: Función objetivo: La función por optimizar (maximizar o minimizar) Restricciones: Representan condiciones que es preciso satisfacer. Sistema de igualdades y desigualdades (≤ Ó≥ )Ejemplo: Función objetivoMaximizar1.2Sujeto a 2 Y 180 3Y 300 Restricciones 0 0 Página 3 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  4. 4. [PROGRAMACION LINEAL]Ejemplo: Función objetivoMinimizar ‫ܥ‬ 68Sujeto a ૝૝૝ ૝૝ ૝૝૝૝ Restricciones ૝૝૝ ૝૝ ૝૝૝૝ ૝૝ ૝૝ ૝૝૝૝ 0 0 TIPOS DE RESTRICCIONES.De no negatividad EstructuralesGarantizan que ninguna variable deDecisión sea negativa. Reflejan factores como la limitación De recursos y otras condiciones que Función objetivo Impone la situación del problema.Ejemplo:Maximizar 5 ૝ Restricciones Estructurales6 ଶSujeto a 3 ૝ 2 ଶ120 Restricciones de no negatividad 4 ૝ 6 ଶ 260 Página 4 de 109 ૝ 0y ଶ 0SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  5. 5. [PROGRAMACION LINEAL] SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE PL.Cuando un modelo de programación lineal se expresa en términos de dos variables puederesolverse con procedimientos gráficos.Conceptos clave: Conjunto factible: Es el conjunto de puntos que integran la región de resolución. Solución factible: Cada punto que integra la región (plana) que resuelve el problema. Solución óptima: Constituye la solución al problema de programación lineal.¿Cuál es el objetivo de la solución gráfica? Encontrar (entre todos los puntos del conjunto factible) el punto o los puntos queoptimicen la función objetivo.Ejemplo:Maximizar 32Sujeto a 2 3Y 12 2 Y 8 0 0Paso 1 Se igualan las restricciones: 2 3Y Ecuación 1 12 2 Y 8 Ecuación 2 Página 5 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  6. 6. [PROGRAMACION LINEAL]Paso 2 Se grafican las ecuaciones, se puede hacer escogiendo un conjunto de números quenos permitan dibujar la línea (por ejemplo 0, 1, 2, 3,-1, -2, -3), es decir, para la ecuación 1 X Y 1 10/3 2 8/3 3 2 0 4 -1 14/3 -2 16/3 -3 6Y de la misma forma se procede con la ecuación 2.Una manera más sencilla es la siguiente:Para la ecuación 1 Para la ecuación 2 2 3Y 12 2 Y 8 X Y X Y 0 4 0 8 6 0 4 0Con estos puntos obtendremos la siguiente gráfica. Página 6 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  7. 7. [PROGRAMACION LINEAL] El área sombreada de azul es la que corresponde al conjunto factible, cada punto quecontiene el conjunto factible es un candidato para resolver este problema. Ya que tienes graficado el conjunto factible (el área azul de la gráfica) identifica lascoordenadas de todas las esquinas (vértices) del conjunto factible: A (0,4) B (3,2) C (4,0) Página 7 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  8. 8. [PROGRAMACION LINEAL]Nota: Para poder encontrar las coordenadas del punto B tienes que resol ver el sistema deecuaciones conformado por las dos ecuaciones anteriores (2 3Y 122 Y 8) puedes resolver el sistema a través de los métodos que ya debes de yhaber anteriormente (suma y resta, sustitución, igualación o gráfico). En nuestro casoestudiadoutilizaremos el método de sustitución.2 3Y Ecuación 1122 Y Ecuación 28 Paso 1. Se despeja Y de la ecuación 2 Y 8 2 Paso 2. Se sustituye el valor de Y en la ecuación 1 2 3૝8 2 ૝ 12 Paso 3. Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de X. 2 24 6 12 4 12 24 4 12 12/ 4 3 Paso 4. Sustituye el valor de X en el despeje que hiciste en el paso 1. Y 8 2૝3૝ Y 8 6 Y 2Y con esto obtienes el resultado del vértice B (3,2) Página 8 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  9. 9. [PROGRAMACION LINEAL]Después de haber encontrado las coordenadas de todas las esquinas es necesario quesustituyas el valor de cada una de ellas en la función objetivo, para que encuentres el valormáximo (o mínimo, según sea el caso). Sustituyendo el valor del vértice A en la función objetivo. 3 2 Vértice A (0,4) 3 2 3૝0૝ 2૝4૝ 8 Vértice B (3,2) 3 2 3૝3૝ 2૝2૝ 13 Vértice (4,0) 3 2 3૝4૝ 2૝0૝ 12Resultados: Vértice A (0,4) Valor 8 Vértice B (3,2) Valor Vértice C (4,0) 13Observando los resultados Valor concluir que el máximo se encuentra en el vértice B. podemos 12MODELO PARA LA TOMA DE DECISIONES Página 9 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  10. 10. [PROGRAMACION LINEAL] Definición Una decisión es una elección consciente y racional, orientada a conseguir un objetivo, que se realiza entre diversas posibilidades de actuación (o alternativas). Antes de tomar una decisión deberemos calcular cual será el resultado de escoger una alternativa. En función de las consecuencias previsibles para cada alternativa se tomará la decisión. Así, los elementos que constituyen la estructura de la decisión son: los objetivos de quién decide y las restricciones para conseguirlos; las alternativas posibles y potenciales; las consecuencias de cada alternativa; el escenario en el que se toma la decisión y las preferencias de quien decide. Métodos y modelos para la toma de decisiones Existen diversas situaciones en las que deben tomarse decisiones empresariales: situaciones de certeza, incertidumbre y riesgo. Decisiones en situación de certeza Una situación de certeza es aquella en la que un sujeto tiene información completa sobre una situación determinada, sobre cómo evolucionará y conoce el resultado de su decisión. Ej: decisiones sobre compras cuando se conoce la demanda, de distribución de personal cuando se conoce el coste por persona y operación, etc. La toma de decisiones en un marco de certeza no implica dificultad alguna, más allá de las relacionadas con la gestión empresarial. Decisiones en situación de incertidumbre Una situación de incertidumbre es aquella en la que un sujeto toma la decisión sin conocer del todo la situación y existen varios resultados para cada estrategia. Pueden ser decisiones no competitivas y competitivas. Decisiones no competitivas En las decisiones no competitivas nadie se opone a la estrategia del sujeto que decide. Ej: vendedores de periódicos (se quiere conocer la cantidad a adquirir de acuerdo con las ventas). Para decidir existen una serie de criterios de elección: - Maximin, pesimista o Wald - Máximax, optimista o Hurwicz - Coeficiente de optimismo-pesimismo - Razón suficiente o Laplace - Mínimax, coste de oportunidad o Savage a) El criterio maximin supone maximizar el resultado mínimo, es decir el decisor quiere asegurarse la elección mejor en caso que se de la situación más desfavorable. Es pesimista. Es útil en situaciones muy inciertas, si quieren evitarse riesgos o si existe conflicto. Página 10 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  11. 11. [PROGRAMACION LINEAL] b) El criterio maximax consiste en maximizar el máximo; escoger el resultado máximo entre los mejores de cada alternativa. El decisor es optimista. c) El criterio del coeficiente de optimismo-pesimismo se sitúa entre los dos anteriores. Partimos de un grado de optimismo y de pesimismo relacionados del siguiente modo: Coeficiente de optimismo= p; coeficiente de pesimismo= (1-p)= q; donde p+q= 1 y 0<p<1. Dentro de la misma alternativa o estrategia consideraremos el resultado mayor de cada alternativa como p mientras que el resultado menor será q. Se escoge el mayor tras ponderar los resultados esperados por los coeficientes de optimismo y pesimismo. d) El criterio del principio de razón suficiente espera que todas las situaciones de futuro tendrán la misma probabilidad de suceder. Ante esta situación se elige el resultado medio más elevado. e) El criterio minimax plantea elegir en función de lo que se dejará de ganar. Por tanto, en primer lugar debe calcularse el máximo coste de oportunidad de cualquier opción y, en segundo lugar, elegir el menor de ellos. Ejemplo Supongamos que una empresa quiere realizar una campaña publicitaria. Se le presentan 3 posibilidades: radio (15 minutos de lunes a jueves en un espacio), TV (1 spot cada semana sobre las 12h) y prensa (1 anuncio 2 días a la semana los lunes y los jueves). Como han hecho campañas anteriormente se han podido valorar los resultados de las diferentes posibilidades del siguiente modo: DEMANDA ALTA DEMANDA MEDIA DEMANDA BAJA RADIO 100 40 20 T.V. 80 20 5 PRENSA 90 35 25 Ej: si la demanda de mercado se mantiene alta, la campaña publicitaria en la radio garantiza los mejores resultados. Si la demanda de mercado se mantiene baja, la campaña publicitaria que garantiza los mejores resultados es la prensa. ¿Qué medio de comunicación elegiríais? a) El pesimista adoptará el MAXIMIN, es decir, escoger el mejor resultado de entre la peor situación. El peor escenario (o peor situación) es que la demanda sea baja. El mejor resultado en el peor escenario es: PRENSA. b) El optimista adoptará el criterio MAXIMAX, el mejor de los mejores. El mejor escenario es la demanda alta. El mejor de los mejores es: RADIO. Página 11 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  12. 12. [PROGRAMACION LINEAL] c) Puede escogerse una situación intermedia entre optimismo y pesimismo (CRITERIO OPTIMISMO-PESIMISMO). Debe suponerse un determinado grado de optimismo (p). Si suponemos p= 60% = 0,6 ; q=0,4: Radio : p * max + q * min = 100 * 0,6 + 20 * 0,4 = 68 T.V. : p * max + q * min = 80 * 0,6 + 5 * 0,4 = 50 Prensa: p * max + q * min = 90 * 0,6 + 25 * 0,4 = 64 Escogerá la RADIO, al ser el resultado mayor de entre las distintas alternativas. d) Si creemos que todas las situaciones tienen la misma posibilidad de suceder se escogerá el resultado medio más elevado (LAPLACE). Resultado medio radio = (100+40+20)/3 = 53,3 Resultado medio TV = (80+20+5)/3 = 35 Resultado medio prensa = (90+35+25)/3= 50. Escogerá RADIO e) Con el MINIMAX se escoge el mínimo de los máximos costes de oportunidad posibles. Calculamos la matriz de costes de oportunidad: DEM. ALTA DEM. MEDIA DEM. BAJA Máx. Coste de Oportunidad Radio 0 0 5 5 T.V. 20 20 20 20 Prensa 10 5 0 10 Elegirá el mínimo de los máximos costes de oportunidad: RADIO. En resumen: Maximin Maximax Laplace Optim-pesim Minimax Radio X X X X T.V. Prensa X Se escogerá realizar la campaña publicitaria por la RADIO. Decisiones competitivas Muchas veces la empresa se enfrenta a un oponente que conoce sus estrategias y que escogerá aquella que más le perjudique –ej: duopolios (coca-cola y pepsi-cola) y oligopolios (fabricantes de coches)–. Estas decisiones se estudian en la teoría de juegos. Esta teoría considera que en la toma de decisiones intervienen pocos individuos, con información diferente y, generalmente incompleta, sobre los resultados de las decisiones. Pueden darse dos situaciones genéricas: Conflicto puro: las ganancias de un “jugador” son pérdidas para el otro (juego bipersonal de suma cero). Conflicto mixto y de cooperación: quienes deciden pueden llegar a acuerdos o colaborar para mejorar sus resultados aunque ambos se arriesgarán en el juego. Se denomina juego cooperativo o de suma no cero. Página 12 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  13. 13. [PROGRAMACION LINEAL] Ejemplo de Juego de suma no cero Dos empresas A y B pueden optar por mantener o reducir precios. Resultados: Empresa B Estrategia (1) Mantener (2) Reducir precios precios (1) Mantenim. 8,8 2,9 precios todo queda igual B gana; A pierde A (2) Reducción 9,2 3,3 de Precios A gana; B pierde Ambos pierden La situación (2) (2) no es satisfactoria ya que ambos pierden. Si B se avanza y reduce precios ganará 9 unidades monetarias. Entonces A bajará precios y llegarán a (2) (2). Si A baja precios ganará 9 pero entonces B bajará precios y llegarán a (2) (2). Les interesa cooperar y así saldrán ganando ambos 8 unidades monetarias, pero con información incompleta sobre lo que hará el otro tienden a no cooperar y pueden llegar a la insatisfactoria solución de (2) (2). Decisiones en situación de riesgo En este tipo de situaciones conocemos la probabilidad de que ocurra cada situación. Se trata de analizar beneficios y pérdidas ponderados por las probabilidades de que sucedan. Ejemplos EJERCICIO 1.- Los directivos de la agencia de viajes de Barcelona Cabarna.SA quieren plantear una estrategia de expansión hacia el resto de comarcas, por lo que se plantea si fusionarse con la empresa Sol SA, comprar la empresa de la competencia o bien ampliar sus instalaciones. La decisión se tomará en función de la evolución futura de las ventas. El Departamento comercial prevé que las ventas pueden ser altas, medias o bajas, con una probabilidad del 25%, 45% y 30% respectivamente. Por otra parte, los beneficios esperados de acuerdo con la estrategia seleccionada son los siguientes: - Fusionarse: 350.000 euros si las ventas son altas, 60.000 bajas y 140.000 si son medias. - Comprar la empresa competidora: 300.000 si las ventas son altas, 50.000 si son bajas y 180.000 si son medias. - Ampliar instalaciones: 275.000 si las ventas son altas, 80.000 bajas y 160.000 medias. Página 13 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  14. 14. [PROGRAMACION LINEAL] Con estos datos, se pide: 1. Construir la matriz de decisión 2. Escoger la opción que maximiza los beneficios según: a) Criterio de certeza, si sabe que la situación será de ventas medias b) Criterio de riesgo, si se parte del conocimiento de la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los estados de la naturaleza: 25% ventas altas, 45% ventas medias y 30% ventas bajas c) Criterio de incertidumbre I. Criterio pesimista II. Criterio optimista III. Criterio de optimista - pesimista1 IV. Criterio de la razón suficiente V. Criterio de coste de oportunidad SOLUCIÓN 1. MATRIZ DE DECISIÓN BENEFICIOS ALTERNATIVAS Ventas Altas Ventas Medias Ventas Bajas Fusión 350.000 140.000 60.000 Compra 300.000 180.000 50.000 Ampliación 275.000 160.000 80.000 2. a) Criterio de certeza. Si se conoce que la situación es de ventas medias, la estrategia escogida entre las tres disponibles será la de Comprar la empresa de la competencia, ya que le aporta un mayor beneficio (180.000 euros). b) Criterio de riesgo BENEFICIOS ALTERNATIVAS Ventas Altas Ventas Medias Ventas Bajas 25% 45% 30% Fusión 350.000 140.000 60.000 Compra 300.000 180.000 50.000 Ampliación 275.000 160.000 80.000 Aplicamos el criterio del valor esperado a partir de las probabilidades: VE Fusión: 350.000*0,25+140.000*0,45+60.000*0,3 = 168.500 euros. VE Comprar: 300.000*0,25+180.000*0,45+50.000*0,3 = 171.000 euros. VE Ampliar: 275.000*0,25+160.000*0,45+80.000*0,3 = 164.750 euros. Por lo tanto, la estrategia escogida será la de Comprar la empresa competidora, ya que da unos beneficios superiores. 1 Se considera que es un 60% optimista y un 40% pesimista Página 14 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  15. 15. [PROGRAMACION LINEAL] c) Criterio de incertidumbre I. Criterio pesimista o de Wald o maximin Este criterio no desea arriesgar y siempre piensa que una vez escogida una estrategia se le presentará el estado de la naturaleza más desfavorable, por ello escogerá el valor máximo entre los mínimos. En nuestro caso BENEFICIOS ALTERNATIVAS Ventas Ventas Ventas Peor Altas Medias Bajas Fusión 350.000 140.000 60.000 60.000 Comprar 300.000 180.000 50.000 50.000 Ampliar 275.000 160.000 80.000 80.000 Escogerá Ampliar las instalaciones, ya que como mínimo tendría unos beneficios de 80.000 euros. II. Criterio optimista o maximax El criterio optimista siempre piensa que se le presentará la mejor alternativa, es decir, escogerá el máximo entre los máximos. Arriesga mucho. BENEFICIOS ALTERNATIVAS Ventas Ventas Ventas Mejor Altas Medias Bajas Fusión 350.000 140.000 60.000 350.000 Comprar 300.000 180.000 50.000 300.000 Ampliar 275.000 160.000 80.000 275.000 Según este criterio, la estrategia escogida será la de Fusionar, ya que le producirá unos beneficios de 350.000 euros. III. Criterio optimista - pesimista Mezcla el optimismo y el pesimismo, partiendo de que es un 60% optimista, y un 40% pesimista. Como consecuencia multiplica por 0.60 el mejor resultado de cada alternativa (el máximo) y el 0,40 por el peor (mínimo) BENEFICIOS ALTERNATIVAS Ventas Ventas Ventas Mejor Peor Altas Medias Bajas Fusión 350.000 140.000 60.000 350.000 60.000 Comprar 300.000 180.000 50.000 300.000 50.000 Ampliar 275.000 160.000 80.000 275.000 80.000 Fusión: 350.000*0,60+60.000*0,40 = 234.000 euros. Comprar: 300.000*0,60+50.000*0,40 = 200.000 euros. Ampliar: 275.000*0,60+80.000*0,40 = 197.000 euros. Según este criterio, la estrategia escogida sería la de Fusionarse debido a que proporciona unos beneficios superiores. IV. Criterio de la razón suficiente El criterio de la razón suficiente (Laplace), como no conoce la probabilidad de ocurrencia de cada situación, imagina que todas tienen la misma probabilidad. Como hay tres opciones, la probabilidad de cada una es 1/3 y después se aplica el criterio de riesgo: Página 15 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  16. 16. [PROGRAMACION LINEAL] BENEFICIOS ALTERNATIVAS Ventas Altas Ventas Medias Ventas Bajas 33,33% 33,33% 33,33% Fusión 350.000 140.000 60.000 Comprar 300.000 180.000 50.000 Ampliar 275.000 160.000 80.000 Fusión: 1/3*350.000+1/3*140.000+1/3*60.000 = 183.315 euros. Comprar: 1/3*300.000+1/3*180.000+1/3*50.000 = 176.667 euros. Ampliar: 1/3*275.000+1/3*160.000+1/3*80.000 = 171.667 euros. La estrategia escogida seria Fusionarse. V. Criterio de coste de oportunidad Para aplicar el criterio de coste de oportunidad debe construirse una matriz de costes de oportunidad, que es lo que se deja de ganar por no haber escogido la mejor opción. Observando los datos de forma vertical, es decir, por columnas, se resta el peor resultado del mejor. MATRIZ DE COSTE DE OPORTUNIDAD BENEFICIOS ALTERNATIVAS Ventas Altas Ventas Medias Ventas Bajas Mejor Fusión 0 40.000 20.000 40.000 Comprar 50.000 0 30.000 50.000 Ampliar 75.000 20.000 0 75.000 A partir de la matriz se escogen por filas, los costes de oportunidad mayores y de éstos el más pequeño, en resumen, de los máximos se escoge el mínimo. Por ello siguiendo este criterio, el valor escogido sería Fusionarse ya que tiene un coste de oportunidad mínimo. EJERCICIO 2.- Los directivos de una empresa de Aviación analizan las nuevas posibles líneas estratégicas para afrontar una competencia más intensa en el mercado europeo. Sus expertos en prospectiva han elaborado tres posibles escenarios para el futuro próximo: - Escenario de recuperación económica y bajada de los precios del petróleo. - Escenario de mantenimiento de precios altos en el petróleo y economías con dificultades para arrancar. - Escenario de nuevos atentados terroristas (y recesión con altos precios del petróleo) Han propuesto tres posibles orientaciones estratégicas: - Repliegue de la oferta de vuelos hacia los destinos nacionales más rentables. - Expansión en el continente europeo con estrategia de costes bajos. - Intensificación de la oferta en el mercado español con una mayor oferta de vuelos. La matriz que recoge los posibles beneficios y costes es la siguiente: Página 16 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  17. 17. [PROGRAMACION LINEAL] BENEFICIOS COSTES ALTERNA- Recuperación Mantenimiento Recuperación Mantenimiento Atentados Atentados TIVAS económica de precio altos económica de precio altos Repliege 3000 2500 2000 2000 2500 3000 Expansión 3400 3100 1500 3100 2700 2800 Intensificación 3100 2700 1700 2700 2100 2400 A- Escoger la opción que maximiza los beneficios según: a) Criterio de certeza, (si sabe que la situación será de recuperación económica). b) Criterio de incertidumbre I. Criterio pesimista omaximin II. Criterio optimista o maximax III. Criterio de optimista-pesimista2 IV. Criterio de la razón suficiente o Laplace V. Criterio de coste de oportunidad o minimax o Savage c) Criterio de riesgo3 B- Escoger la opción que minimiza los costes con los mismos criterios del apartado anterior SOLUCIÓN A. Maximizar beneficios a) Criterio de certeza. Se conoce que la situación será de recuperación, con lo cual se escogerá Expansión, debido a que tiene el mayor beneficio; 3.400 euros. b) Criterios de incertidumbre: Criterio pesimista. Este criterio no quiere arriesgar y siempre escogerá los peores resultados, es decir, 2000 euros de Repliegue, 1500 de Expansión y 1700 de Intensificación, y de todos ellos el mayor, que en este caso es Repliegue porque es la alternativa que ofrece un resultado más alto. Criterio optimista. Consiste en escoger de cada alternativa la mejor porque es muy optimista y siempre cree que todo irá bien. Arriesga mucho. Escoge 3000 euros de Repliegue, 3400 de Expansión y 3100 de Intensificación. Entre estos tres resultados se queda con Expansión. Criterio optimista - pesimista. Mezcla el optimismo y el pesimismo, parte de que es un 75% optimista y en consecuencia un 25% pesimista. Multiplica 0.75 por el mejor resultado de cada alternativa y 0.25 por el peor: Repliegue: 0.75*3000+0.25*2000= 2750 euros. Expansión: 0.75*3400+0.25*1500= 2925 euros. Intensificación: 0.75*3100+0.25*1700= 2750 euros. 2 Suponemos que es optimista en un 75% y pesimista en un 25% 3 Suponemos que la probabilidad de cada escenario es de 10%, 15% y 75%, respectivamente Página 17 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  18. 18. [PROGRAMACION LINEAL] Escogerá Expansión, porque es el resultado más alto. Criterio la razón suficiente. Como no conoce la probabilidad de ocurrencia de cada situación una situación imagina que todas tienen la misma probabilidad, como hay tres opciones la probabilidad de cada una es 1/34: Repliegue: 1/3*3000+1/3*2500+1/3*2000=2500 euros. Expansión:1/3*3400+1/3*3100+1/3*1500=2666.66 euros. Intensificación: 1/3*3100+1/3*2400+1/3*1500=2500 euros. La mejor opción según este criterio es la Expansión. Criterio de coste de oportunidad, construye una matriz de costes de oportunidad, que es lo que dejas de ganar o perder al no haber escogido la mejor opción. Posteriormente se extrae, por filas, los costes de oportunidad más grandes(lo que te cuesta de más); Repliegue (600 euros), Expansión (500) e Intensificación (400) y de estos costes se escoge el más pequeño, es decir, Intensificación. MATRIZ DE COSTE DE OPORTUNIDAD BENEFICIOS ALTERNATI Recuperación Mantenimiento de Coste oportunidad Atentados VAS económica precio altos mayor Repliegue 400 600 0 600 Expansión 0 0 500 500 Intensificación 300 400 300 400 c) Criterio de riesgo. Parte del hecho que conoce cuáles son las probabilidades de ocurrencia de cada estado de la naturaleza, para el primero 0.1, para el segundo 0.15 y 0.75 para el tercero y aplica esta probabilidad a cada opción: Repliegue: 0.1*3000+0.15*2500+0.75*2000=2175 euros. Expansión: 0.1*3400+0.15*3100+0.75*1500=1930 euros. Intensificación: 0.1*3100+0.15*2700+0.75*2700=1990 euros. Escogerá Repliegue debido a que le ofrece un mejor resultado. B. Minimizar costes a) Criterio de certeza. Sabe que la situación será de recuperación económica, con lo cual escogerá Repliegue, que es la que le da un menor coste (2000 euros). b) Criterios de incertidumbre Criterio pesimista. Con este criterio no se desea arriesgar y siempre se escogen los peores resultados, es a decir, los costes más altos, los peores, 3000 euros de Repliegue, 3100 de Expansión y 2700 de Intensificación y de estos el mejor, que en este caso es Intensificación porque es la alternativa que ofrece el coste más bajo, de los peores costes. Criterio optimista. Consiste en escoger de cada alternativa la mejor, debido a que es totalmente optimista. Arriesga mucho. Escoge 2000 euros de Repliegue, 2700 Página 18 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  19. 19. [PROGRAMACION LINEAL] de Expansión y 2100 de Intensificación, los costes más bajos, es decir, los mejores resultados. Entre estos tres se queda con la alternativa de Repliegue. Criterio optimista - pesimista. Mezcla el optimismo y el pesimismo, partiendo que es un 75% optimista y un 25% pesimista. Repliegue: 0.75*2000+0.25*3000= 2250 euros. Expansión: 0.75*2700+0.25*3100= 2800 euros. Intensificación: 0.75*2100+0.25*2700= 2250 euros. Para la elección son indiferentes, la Intensificación o Repliegue, debido a que ambas tienen los mismos costes. Criterio de la razón suficiente. Como no conoce la probabilidad de que ocurra una situación imagina que todas tienen la misma probabilidad, como hay tres opciones la probabilidad de cada una es 1/3: Repliegue: 1/3*2000+1/3*2500+1/3*3000=2500 euros. Expansión:1/3*3100+1/3*2700+1/3*2800=2866.66 euros. Intensificación:1/3*2700+1/3*2100+1/3*2400=2400 euros. La mejor opción, según este criterio, es Intensificación Criterio de coste de oportunidad, se ha de construir una matriz de costes de oportunidad, observando los datos de manera vertical, es decir, por columnas y no por filas. MATRIZ DE COSTE DE OPORTUNIDAD: COSTES Recuperación Mantenimiento Coste de oportun.ALTERNATIVAS Atentados económica de precio altos mayorRepliegue 0 400 600 600Expansión 1100 600 400 1100Intensificación 700 0 0 700 Se ha extraído, por filas, los costes de oportunidad más grandes, que representa lo que tengo que pagar de más, si ocurre ese estado de la naturaleza; Repliegue (600 euros), Expansión (1.100) e Intensificación (700), y de estos costes se escoge el más pequeño, es decir, Repliegue. c) Criterio de riesgo. Parte del hecho de que se conoce cuales son las probabilidades de ocurrencia de cada estado de la naturaleza, 0.1, para el primero, 0.15 para el segundo y 0.75 para el tercero y aplica esta probabilidad a cada opción: Repliegue: 0.1*2000+0.15*2500+0.75*3000=2825 euros. Expansión: 0.1*3100+0.15*2700+0.75*2800=2815 euros. Intensificación: 0.1*2700+0.15*2100+0.75*2400=2385 euros. Escogerá Intensificación porque es la que tiene un menor coste. Página 19 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  20. 20. [PROGRAMACION LINEAL]ELPROBLEMA DETRANSPORTE:EL MODELO DE RED Y UNA FORMULACIÓN DEPROGRAMACIÓNLINEALEl problema de transporte surge con frecuencia en la planeación de ladistribución de productos y servicios desde varios sitios de suministro haciavarios sitios de demanda. La cantidad de productos disponibles en cada locaciónde suministro (origen), por lo general, es limitada, y la cantidad de productosnecesarios en cada una de varios sitios de demanda (destinos) es un datoconocido. El objetivo usual en un roblema de transorte es minimizar el costo deenviar mercancía desde el origen a sus destinos.Lo ilustraremos considerando un problema de transporte enfrentado por FosterGenerators. Este problema implica la movilización de un producto de tresplantas a cuatro centros de distribución. Foster Generators opera plantas enCleveland, Ohio; Bedford, Indiana y York, Pennsylvania. Las capacidades deproducción a lo largo del siguiente periodo de planeación de tres meses para untipo de generador son las siguientes: Página 20 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  21. 21. [PROGRAMACION LINEAL]La firma distribuye sus generadores a través de cuatro centros regionales localizadosen Boston, Chicago, San Luis y Lexington; el pronóstico de la demanda en los tres mesespara los centros de distribución es la siguiente: Página 21 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  22. 22. [PROGRAMACION LINEAL]A la administración le gustaría determinar cuánta de su producción debería embarcarsedesde cada planta a cada centro de distribución. La siguiente grafica muestra las 12 rutas dedistribución que puede usar Foster. Esta gráfica se llama red; los círculos se conocen comonodos y las líneas que los conectan como arcos; cada origen y destino se presenta con unnodo y cada ruta de embarque posible se representa con un arco.La cantidad de suministro se escribe junto a cada nodo de origen y la cantidad de la demandase escribe junto a cada nodo de destino. Los bienes embarcados de los orígenes a los destinosrepresentan el flujo en la red. Observe que la dirección del flujo (del origen al destino) estáindicada por las flechas.El objetivo del problema de transporte de Foster es determinar las rutas a usar y la cantidadque se embarcará por cada ruta para lograr que el costo de transporte total sea mínimo.El costo para cada unidad embarcada en cada ruta se da en la tabla siguiente:Puede usarse un modelo de programación lineal para resolver este problema detransporte. Usamos variables de decisión con doble subíndice, con x11 denotandola cantidad de unidades embarcadas del origen 1 (Cleveland) al destino 1(Boston), x12 denotando la cantidad de unidades embarcadas del origen 1(Cleveland) al destino 2 (Chicago), etcétera. Página 22 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  23. 23. [PROGRAMACION LINEAL]Los problemas de transporte necesitan restricciones debido a que cadaorigen tiene un suministro limitado y cada destino tiene un requerimiento dedemanda. Consideraremos primero las restricciones de suministro. La capacidaden la planta de Cleveland es de 5000 unidades. Con la cantidad total de unidadesdesde la planta de Cleveland expresado comoCon tres orígenes (plantas), el problema de transporte de Foster tiene tresrestricciones de suministro. Dada la capacidad de 6000 unidades en la planta deBedford y de 2500 unidades en la planta de York, las dos restricciones desuministro adicionales son:Con los centros de distribución como los destinos, se necesitan cuatrorestricciones de demanda para asegurar que se satisfarán lasdemandas de destino:Combinar la función objetivo y las restricciones en un modelo proporciona unaformulación de programación lineal de 12 variables y 7 restricciones delproblema de transporte de Foster Generators: Página 23 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  24. 24. [PROGRAMACION LINEAL] Página 24 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  25. 25. [PROGRAMACION LINEAL] Usando el programa the Manangement Scientist lo podremos resolver de dos maneras: I.- como se había formulado antes en un problema de programación lineal con 12 variables y 7 restricciones. Comenzamos con entrar al programa por medio de la ruta genérica que ya conocemos y en la siguiente pantalla selecciona Página 25 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  26. 26. [PROGRAMACION LINEAL] 1.- Seleccionamos programación lineal y luego “OK” 2.- Tomamos la opción “File” y luego “new” 3.- Ponemos el número de variables y de restricciones. Y ponemos MINIMIZAR 4.- Procedemos a llenar el cuadro y posteriormente le damos solución y luego “solve” Página 26 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  27. 27. [PROGRAMACION LINEAL] 5.- Obtenemos el resultado óptimo que es 39500 Página 27 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  28. 28. [PROGRAMACION LINEAL] II.- También lo podemos resolver seleccionando el modulo transportación 1.- Seleccionamos transporte y luego “ok” 2.- Le damos en clic “File” y luego en new 3.- Ponemos el número de orígenes y de destinos respectivamente y le damos “ok” Página 28 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  29. 29. [PROGRAMACION LINEAL] 4.- Procedemos a llenar el cuadro con las demandas, los suministros y los costos de transporte y posteriormente le damos clic en solución y luego “solve” 5.- Escogemos si vamos a maximizar o a minimizar en este caso minimizar y le damos clic en “ok” 6.- El programa te da el resultado más óptimo. Que es el costo total mínimo $39500 Página 29 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  30. 30. [PROGRAMACION LINEAL] Página 30 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  31. 31. [PROGRAMACION LINEAL]El Problema de Transporte El Problema de Transporte corresponde a un tipo particular de un problema de programacionlineal. Si bien este tipo de problema puede ser resuelto por el m´todo Simplex, existe un algoritmo esimplificado especial para resolverlo.1 Formulacion del Problema de Transporte ´1.1 Ejemplo de FormulacionA modo de ejemplo, construyamos el modelo de programaci´ n lineal para el siguiente problema. oEjemplo 1. Una empresa energ´tica dispone de tres plantas de generacion para satisfacer la de- emanda el´ctrica de cuatro ciudades. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 35, 50 y 40 millones de e[kWh] respectivamente. El valor maximo de consumo ocurre a las 2 PM y es de 45, 20, 30 y 30millones de [kWh] en las ciudades 1, 2, 3 y 4 respectivamente. El costo de enviar 1 [kWh] dependede la distancia que deba recorrer la energ´a. La siguiente tabla muestra los costos de env´o unitario ı ıdesde cada planta a cada ciudad. Formule un modelo de programcion lineal que permita minimizarlos costos de satisfaccion de la demanda maxima en todas las ciudades. Hacia Oferta Desde Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 (Millones kWh) Planta 1 8 6 10 9 35 Planta 2 9 12 13 7 50 Planta 3 14 9 16 5 40 Demanda 45 20 30 30 (Millones kWh)En primer lugar debemos definir las variables de decisi´ n necesarias para representar las posibles odecisiones que puede tomar la empresa energ´tica . En este caso, corresponde a la cantidad de e ıaenerg´ que se debe enviar desde cada planta a cada ciudad, luego para i = 1 . . . 3 y j = 1 . . . 4 : xij = numero de millones de [kWh] producidos en la planta i enviadas a ciudad j ´ e e ıaEn t´rminos de ´stas variables, el costo total de entregar energ´ a todas las ciudades es: 8x11 + 6x12 + 10x13 + 9x14 ıa (Costo de enviar energ´ desde la Planta 1) +9x21 + 12x22 + 13x23 + 7x24 ıa (Costo de enviar energ´ desde la Planta 2) +14x31 + 9x32 + 16x33 + 5x34 ıa (Costo de enviar energ´ desde la Planta 3) ıaEl problema tiene dos tipos de restricciones. En primer lugar, la energ´ total suministrada por cadaplanta no puede exceder su capacidad. En este caso se habla de restricciones de oferta o suministro. Página 31 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  32. 32. [PROGRAMACION LINEAL]Como existen tres puntos de oferta o sumistro, existen tres restricciones: x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 35 (Restricci´ n de oferta de la Planta 1) o x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 50 (Restricci´ n de oferta de la Planta 2) o x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40 (Restricci´ n de oferta de la Planta 3) oEn segundo lugar, se deben plantear las restricciones que permitan asegurar que se satisfaga la ı,demanda en las cuatro ciudades. As´ las restricciones de demanda para cada punto de demandaquedan: x11 + x21 + x31 ≥ 45 (Restricci´ n de demanda de la Ciudad 1) o x12 + x22 + x32 ≥ 20 (Restricci´ n de demanda de la Ciudad 2) o x13 + x23 + x33 ≥ 30 (Restricci´ n de demanda de la Ciudad 3) o x14 + x24 + x34 ≥ 30 (Restricci´ n de demanda de la Ciudad 4) oEvidentemente, cada xij debe ser no negativo, por lo tanto se agregan las restricciones x ij ≥ 0donde i = 1 . . . 3 y j = 1 . . . 4. M´s adelante demostraremos que la soluci´ n de este problema es a oz = 1020, x12 = 10, x13 = 25, x21 = 45, x23 = 5, x32 = 10 y x34 = 30. El resto de las variables valecero.Por otro lado, es posible construir una representaci´ n gr´fica del problema: o a Puntos de Oferta Puntos de Demanda Ciudad 1 d1 = 45 s1 = 35 Planta 1 Ciudad 2 d2 = 20 s2 = 50 Planta 2 Ciudad 3 d3 = 30 s3 = 40 Planta 3 Ciudad 4 d4 = 301.2 Formulacio n GeneralUn problema de transporte queda definido por la siguiente informaci´ n: o 1. Un conjunto de m puntos de oferta. Cada punto de oferta i tiene asociado una oferta s i . 2. Un conjunto de n puntos de demanda. Cada punto de demanda j tiene asociada una demanda dj . 3. Cada unidad enviada desde un punto de oferta i a un punto de demanda j tiene un costo unitario de transporte cijConsideremos: xij = numero de unidades enviadas desde el punto de oferta i al punto de demanda j ´ Página 32 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  33. 33. [PROGRAMACION LINEAL]Luego, la formulaci´ n general del problema de transporte queda: o Pi=m Pj=n Min i=1 j=1 cij xij st Pj=n j=1 xij ≤ si (i = 1 . . . m) (Restricciones de oferta) Pi=m i=1 xij ≥ dj (j = 1 . . . n) (Restricciones de demanda) xij ≥ 0 (i = 1 . . . m; j = 1 . . . n) (Restricciones de signo)Si se satisface: i=m j=n X X si = dj i=1 j=1se dice que el problema est´ balanceado. En el caso del ejemplo anterior, se verifica que tando la asuma de ofertas como las de las demandas es igual a 125. En el caso de un problema de transporte a ımite, por lo tanto la formulaci´ n queda:balanceado todas las restricciones estar´n al l´ o Pi=m Pj=n Min i=1 j=1 cij xij st Pj=n j=1 x Pi=m ij = si (i = 1 . . . m) (Restricciones de oferta) i=1 xij = dj (j = 1 . . . n) (Restricciones de demanda) xij ≥ 0 (i = 1 . . . m; j = 1 . . . n) (Restricciones de signo)1.3 Problemas de Transporte no BalanceadosSi la oferta total supera a la demanda total, se puede balancear el problema de transporte incorpo-rando un punto de demanda artificial o dummy que tenga como demanda el excedente de oferta delproblema. Como las asignaciones al punto artificial no son reales, se le asigna un costo unitario decero. En general, el costo unitario no necesariamente debe ser igual a cero, basta co que tenga igualvalor a todos los puntos de oferta disponibles de forma de no generar preferencias. Por simplicidad,se prefiere emplear cero. Para ilustrar el balanceo de un problema no balanceado, supongamos enel ejemplo anterior que la demanda de la ciudad 1 disminuye a 40 [kWh]. La siguiente figura ilustrala incoporaci´ n del punto de demanda artificial y entrega la soluci´ n respectiva: o o Puntos de Oferta Puntos de Demanda Ciudad 1 d1 = 40 s1 = 35 Planta 1 Ciudad 2 d2 = 20 x23 = 10 s2 = 50 Planta 2 Ciudad 3 d3 = 30 Ciudad 4 d4 = 30 s3 = 40 Planta 3 Artificial d5 = 5 Página 33 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  34. 34. [PROGRAMACION LINEAL]Una forma m´s pr´ctica de representar un problema de transporte es mediante un tableau de trans- a aporte. Una celda de la fila i y la columna j representa la variable xij . Se suele incorporar en laesquina superior derecha de cada celda, el costo unitario cij de la combinaci´ n i − j. En general, el otableau queda: Oferta c11 c12 c1n ··· s1 c21 c22 c2n ··· s2 . . . . . . . . cm1 cm2 cmn ··· sm Demanda d1 d2 ··· dnConstruyendo el tableau para el ejemplo anterior (caso balanceado), introduciendo la soluci´ n oo´ ptima, se tiene: Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta 8 6 10 9 Planta 1 10 25 35 9 12 13 7 Planta 2 45 5 50 14 9 16 5 Planta 3 10 30 40 Demanda 45 20 30 30En este caso se puede verificar que el problema est´ balanceado comprobando que la suma de la aultima columna y la suma de la ultima de la fila es id´ntica.´ ´ e ıAs´ como un problema de transporte puede no estar balanceado cuando la demanda es inferiora la oferta, tambi´n es posible que la demanda supere a la oferta. En este caso, se recurre a un epunto de oferta artificial co valor de oferta equivalente a la diferencia entre oferta y demanda, de ıamodo de balancear el problema. En la mayor´ de las situaciones, el hecho de no satisfacer total-mente la demanda puede significar algun tipo de costo. Por lo tanto, en ´stos casos el costo unitario ´ ede las casillas ficticias suele no ser cero y puede variar de un punto de demanda a otro.2 Resolucion del Problema de Transporte ´2.1 Solucion InicialConsideremos un problema de transporte balanceado con m puntos de oferta y n puntos de demanda.De acuerdo a la formulaci´ n vista anteriormente, el problema tendr´ m + n restricciones de igualdad. o aPara proceder a describir algunos m´todos para encontrar una primera soluci´ n inicial, es impor- e otante observar que si un conjunto de valores para las variables x ij satisface todas las restriccionessalvo una, autom´ticamente satisface la otra restricci´ n. Por ejemplo consideremos que en el ejem- a oplo anterior se sabe que los valores de las varibles satisfacen todas las restricciones, salvo la primerarestricci´ n de oferta. Por lo tanto, los valores de las xij satisfacen d1 + d2 + d3 + d4 = 125 millones ode [kWh] y proveen s2 + s3 = 125 − s1 = 90 millones de [kWh] de las plantas 2 y 3. Por lo tanto,la planta 1 debe proveer 125 − (125 − s1 ) = 35 millones de [kWh], luego los valores de xij tambi´n esatisfacen la primera restricci´ n de oferta. o Página 34 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  35. 35. [PROGRAMACION LINEAL]En lo sucesivo, para resolver el problema de transporte, consideraremos que se satisfacen m + n − 1restricciones, omitiendo alguna. En forma arbitraria, omitiremos la primera restricci´ n de oferta. oEvidentemente, cualquier colecci´ n de m + n − 1 variables no necesariamente es una soluci´ n factible o opara el problema.Consideremos el siguiente problema de transporte (omitiremos los costos unitarios): 4 5 3 2 4En forma matricial, las restricciones del problema de transporte balanceado anterior puede ser escritode la siguiente forma: x11 1 1 1 0 0 0 4 x12 0 0 0 1 1 1 5 x13 1 0 0 1 0 0 = 3 x21 0 1 0 0 1 0 2 x22 0 0 1 0 0 1 4 x23Eliminando la primera restricci´ n de oferta el sistema se reduce a: o x11 0 0 0 1 1 1 x12 5 1 0 0 1 0 0 x13 3 = 0 1 0 0 1 0 x21 2 0 0 1 0 0 1 x22 4 x23Como el sistema anterior tiene 4 restricciones y 6 variables posee infinitas soluciones, sin embargo,siempre tendr´ como soluci´ n al menos 4 variables no nulas. a oPara obtener una soluci´ n b´sica factible en forma simple introduciremos el concepto de loop. o aDefinici´ n 1 Un orden secuencial de al menos cuatro celdas distintas se denomina loop si: o 1. Dos celdas consecutivas estan en la misma columna o en la misma fila. 2. No tiene tres celdas consecutivas en una misma columna o en una misma fila. 3. La ultima celda de la secuencia tiene una fila o columna comun con la primera celda de la ´ ´ secuencia.Las figuras siguientes muestran algunos tipos de loop en dos tableaux de transporte: Página 35 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  36. 36. [PROGRAMACION LINEAL]Las siguientes figuras muestran algunos ejemplos de secuencias de celdas que no conforman un loop,pues no satisfacen todas las condiciones.Teorema 1 En un problema de transporte balanceado con m puntos de oferta y n puntos de de-manda, las celdas correspondientes a un conjunto de m + n − 1 variables no contienen un loop s´ y ısolo s´ las n + m − 1 variables constituyen una solucion inicial. ıEl teorema anterior se desprende del hecho de que en un conjunto de m+n−1 celdas no contienen unloop s´ y s´lo s´ las m + n − 1 columnas correspondientes a las celdas son linealmente independientes. ı o ıLos m´todos m´s empleados para obtener soluciones iniciales son: e a • El m´todo de la Esquina Noroeste. e • El m´todo del Costo M´ e ınimo. • El m´todo de Vogel. eA continuaci´ n revisaremos s´lo el m´todo de la Esquina Noroeste y el de Vogel. o o eM´todo de la Esquina Noroeste. ePara encontrar una soluci´ n inicial se comienza por la esquina superior izquierda (noroeste) del otableau de transporte intentando asignar la m´xima cantidad posible a x 11 . Evidentemente, el valor am´ximo de x11 debe ser el menor entre s1 y d1 . Si x11 = s1 , se puede descartar la primera fila pues aya no podr´ asignarse m´s desde el primer punto de oferta, se avanza a la siguiente fila. Al mismo a atiempo, se debe cambiar d1 por d1 − s1 , de forma de indicar la cantidad de demanda no satisfecha enel primer punto de demanda. En caso que x11 = d1 , se debe descartar la primera columna y cambiars1 por s1 − d1 , avanzando una columna. Si x11 = d1 = s1 , se debe avanzar en una columna o en unafila (pero no en ambas). Se asigna un cero en la direcci´ n escogida y se descarta la otra alternativa. oEl m´todo continua aplicando el mismo criterio desde la esquina noroeste del tableau restante. Una e ´vez que est´n asignadas toda de demanda y oferta disponible, se terminan las asignaciones y est´ a acompleta la asignaci´ n inicial. oApliquemos el m´todo al siguiente tableau (notar que no se incorporan los costos pues el m´todo e eno los emplea): 5 1 3 2 4 2 1Comenzamos asignando la m´xima cantidad posible por fila o por columna en la esquina noroeste. aEn este caso, controla la primera columna, luego: 2 3 × 1 × 3 0 4 2 1A continuaci´ n, avanzamos una columna y en esta celda controla la fila, por lo tanto queda: o Página 36 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  37. 37. [PROGRAMACION LINEAL] 2 3 × × 0 × 1 × 3 0 1 2 1 ı,En este caso, la esquina m´s noroeste disponible es la celda 2-2. Aqu´ la demanda y la oferta se aigualan. Arbitrariamente se escoger´ la celda inferior de la misma columna para asignar un cero: a 2 3 × × 0 × 1 × × 0 × 0 3 0 0 2 1Luego, la celda m´s noroeste disponible es la 3-3. En esta celda, controla la demanda de 2 sobre la aoferta de 3, luego: 2 3 × × 0 × 1 × × 0 × 0 2 1 0 0 0 1Finalmente, se completa el tableau haciendo la ultima asignaci´ n factible: ´ o 2 3 × × 0 × 1 × × 0 × 0 2 1 0 0 0 0 0En el tableau final se puede verificar las m + n − 1 asignaciones. Adem´s se observa que la secuencia ade celdas no no conforman ningun loop, por lo tanto, de acuerdo al teorema corresponde a una ´asignaci´ n inicial factible. oM´todo de Vogel. eEl m´todo comienza calculando por cada columna y por cada fila el castigo o penalty. El cas- etigo se calcula como la diferencia entre los dos costos menores en la columna o en la fila segun´corresponda. A continuaci´ n, se determina la fila o columna con un mayor valor de castigo. Luego, ose selecciona como variable basal la celda con menor costo de la fila o columna, segun corresponda, ´y se le asigna la m´xima cantidad posible. Una vez realizada la asignaci´ n, se descarta la fila o a ocolumna cuya oferta o demanda haya sido completa. Se recalcula la demanda u oferta disponibleen la fila o columna. La primera asignaci´ n se ha completado. oSe vuelven a calcular los castigos por fila y por columna y se repite el procedimiento descritohasta completar las asignaciones posibles en el tableau.La ventaja del m´todo de Vogel por sobre el de la Esquina Noroeste es que va adelante algunas eiteraciones y por lo tanto se obtiene una soluci´ n inicial mejor. Eventualmente puede ocurrir que oaplicando el m´todo se llegue directamente a la soluci´ n ´ ptima. La desventaja del m´todo de Vogel e o o e a a ıcilradica en que sin duda es m´s complejo que el de la esquina noroeste, por lo tanto es m´s dif´ deimplementar y m´s proclive a errores en la aplicaci´ n. a oPara ilustrar la aplicaci´ n del m´todo veamos un ejemplo. Consideremos el siguiente tableau de o etransporte: Página 37 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  38. 38. [PROGRAMACION LINEAL] Oferta 6 7 8 10 15 80 78 15 Demanda 15 5 5De acuerdo al m´todo, en primer lugar se calculan los castigos por fila y por columna: e Oferta Castigo 6 7 8 10 7−6 = 1 15 80 78 15 78 − 15 = 63 Demanda 15 5 5 Castigo 9 73 70El mayor castigo entre filas y columnas se encuentra en la segunda columna. De ambas celdas, lade m´ınimo costo es la de costo unitario de 7, buscando la m´xima asiganci´ n por fila y por columna a ocontrola la columna con una signaci´ n m´xima de 5 unidades. o a Oferta Castigo 6 7 8 5 5 8−6 = 2 15 80 78 × 15 78 − 15 = 63 Demanda 15 0 5 Castigo 9 - 70De los castigos recalculados, el mayor corresponde a la tercera columna. En este caso la celda demenor costo es la de la primera fila. Verificando la asignaci´ n m´xima por fila y por columna, o acontrola la fila con una asignaci´ n m´xima de 5 unidades. o a Oferta Castigo 6 7 8 5 5 0 - 15 80 78 × × 15 - Demanda 15 0 0 Castigo 9 - -Luego, el unico castigo disponible (y por lo tanto el mayor) corresponde a la primera columna. En ´ ınimo costo corresponde a la primera fila. La m´xima cantidad posible a asignar poreste caso, el m´ acolumna es 15, pero por fila es 0. Por lo tanto, debemos asignar 0 unidades a la celda de menorcosto. Oferta Castigo 6 7 8 0 5 5 0 - 15 80 78 × × 15 - Demanda 15 0 0 Castigo - - -Finalmente, no es posible calcular castigos y debemos asignar las unidades disponibles a la unica ´celda libre. Luego: Página 38 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  39. 39. [PROGRAMACION LINEAL] Oferta Castigo 6 7 8 0 5 5 0 - 15 80 78 15 × × 0 - Demanda 0 0 0 Castigo - - -N´ tese que el numero de asignaciones es exactamente igual a m + n − 1 = 2 + 3 − 1 = 5. Eventual- o ´mente, el m´todo puede generar un numero inferior de asignaciones. En dicho caso se completa las e ´m + n − 1 asignaciones con ceros. En el caso de que falte s´lo una asiganci´ n, se puede ubicar un o ocero en cualquier casilla no asignada. En el caso que se requiera de dos o m´s ceros, la asignaci´ n a ono es tan arbitraria. M´s adelante se definir´ qu´ criterio emplear en dichos casos. a a eExisten problemas de maximizaci´ n que pueden ser considerados como problemas de Transporte. oEn este caso, los coeficientes cij est´n asociado a los beneficios unitarios de la variable asociada a ala combinaci´ n i − j y el objetivo es maximizar la suma total de los aportes individuales de las ovariables. Se mantienen las restricciones de oferta y demanda.En los casos de maximizaci´ n, es preciso alterar los m´todos para obtener una soluci´ n inicial o e ofactible. En el caso del m´todo de la Esquina Noroeste, se debe intentar asignar la mayor cantidad eposible a las casillas con mayor cij . En el caso del m´todo de Vogel, las castigos se calculan entre elos dos mayores beneficios por fila y por columna. Al igual que el m´todo de la Esquina Noroeste, ese busca asignar la mayor cantidad posible a las casillas con mayor beneficio.2.2 El M´todo Simplex del Problema de Transporte eA continuaci´ n se expondr´n los pasos para aplicar el m´todo Simplex para el problema de Trans- o a eporte. La deducci´ n y justificaci´ n detallada de cada uno de los pasos se puede encontrar en los o o ıatextos de la bibliograf´ de la asignatura.Paso 1 Si el problema no est a balanceado, balancearlo. Construir el tableau de transporte. ´Paso 2 Encontrar una solucion inicial factible por el m´todo de la Esquina Noroeste o el de Vogel. eVerificar las m + n − 1 asignaciones y completarlas si es necesario.Paso 3 Plantear y resolver el sistema que se obtiene a trav´s de: e • Definir para cada fila del tableau la variable u i con (i = 1 . . . m). • Definir para cada columna del tableau la variable v j con (j = 1 . . . n). • Plantear para cada casilla asignada la ecuacion ui + vj = cij . Donde cij es el costo unitario asociado a la casilla i − j. • Asignar un valor arbitrario a una de las variables, por ejemplo u 1 = 0.Paso 4 Calcular en todas las casillas no asignadas (no basicas) eij = cij − ui − vj . Si todos loseij ≥ 0 se ha encontrado el optimo. Si existe algun eij < 0, incorporar la variable con menor eij ´ ´siempre y cuando pueda formar un loop, en dicho caso, asignar el mayor valor posible de modo demantener las variables basales mayores o iguales a cero.Paso 5 Si la solucion no es la optima, emplear la solucion del paso anterior para volver a plantear ´y resolver el sistema (Paso 3). Seguir al Paso 4. Página 39 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  40. 40. [PROGRAMACION LINEAL]La variable eij representa el aporte neto unitario de la incorporaci´ n de la variable i − j a la base. oPor lo tanto, si el problema es de maximizaci´ n, la soluci´ n ser´ ´ ptima si todos los e ij < 0. En o o a ocaso contrario, se ingresa a la base la variable con mayor eij que pueda formar un loop.En el caso de que al emplear uno de los m´todos para obtener una soluci´ n inicial falten dos o e om´s asignaciones para completar las m + n − 1 asignaciones requeridas, los ceros deben ser ubicados ade tal forma que sea suficiente dar s´lo un valor arbitrario a las variables del sistema asociado a la oasignaci´ n para poder resolverlo completamente. oIlustremos el procedimiento resolviendo el tableau planteado para el problema del primer ejemplo.En ese caso, mediante la Esquina Noroeste se obtuvo la siguiente soluci´ n inicial: o Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta 8 6 10 9 Planta 1 35 35 9 12 13 7 Planta 2 10 20 20 50 14 9 16 5 Planta 3 10 30 40 Demanda 45 20 30 30A continuaci´ n podemos plantear las variables del sistema asociado: o v1 v2 v3 v4 8 6 10 9 u1 35 35 9 12 13 7 u2 10 20 20 50 14 9 16 5 u3 10 30 40 45 20 30 30Luego, las ecuaciones se plantean en las casillas asignadas: u1 + v1 = 8 (1) u2 + v1 = 9 (2) u2 + v2 = 12 (3) u2 + v3 = 13 (4) u3 + v3 = 16 (5) u3 + v4 = 5 (6)Agregando la condici´ n u1 = 0 se obtiene de (1) v1 = 8. Luego, de (2) u2 = 1. De (3) y de (4) ov2 = 11 y v3 = 12. Reemplazando en (5) se calcula u3 = 4. Finalmente, de (6) se obtiene v4 = 1. Acontinuaci´ n se calculan los eij en las casillas no b´sicas: o a e12 = 6 − 0 − 11 = −5 e13 = 10 − 0 − 12 = −2 e14 = 9−0−1 = 8 e24 = 7−1−1 = 5 e31 = 14 − 4 − 8 = 2 e32 = 9 − 4 − 11 = −6Por lo tanto, el menor eij corresponde a e32 con valor −6. Lo que significa que por cada unidadasignada a la variable x32 el efecto global neto es de −6, independientemente de que el costo asociadoa dicha casilla sea de 9. Veamos si existe un loop factible y el m´ximo valor α que podr´ tomar la a ıavariable. Página 40 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  41. 41. [PROGRAMACION LINEAL] 8 6 10 9 35 35 9 12 13 7 10 20 − α 20 + α 50 14 9 16 5 α 10 − α 30 40 45 20 30 30Como las variables deben ser positivas, el valor de α debe ser tal que no introduzca una variablenegativa al tableau. En este caso, la condici´ n que controla es 10 − α ≥ 0, por lo tanto α = 10. oIntroducimos el valor de α y volvemos a plantear el sistema asociado: v1 v2 v3 v4 8 6 10 9 u1 35 35 9 12 13 7 u2 10 10 30 50 14 9 16 5 u3 10 30 40 45 20 30 30 u1 + v1 = 8 u2 + v1 = 9 u2 + v2 = 12 u2 + v3 = 13 u3 + v2 = 9 u3 + v4 = 5 u1 = 0Las unicas variables no b´sicas que tienen un e ij < 0 son: e12 = −5, e24 = −1 y e13 = −2. Buscando ´ aun loop para x12 y su m´ximo valor factible se obtiene: a 8 6 10 9 35 − α α 35 9 12 13 7 10 + α 10 − α 30 50 14 9 16 5 10 30 40 45 20 30 30De acuerdo al loop encontrado, el m´ximo valor para α es 10. Luego, volvemos a plantear el sistema apara las variables basales: v1 v2 v3 v4 8 6 10 9 u1 25 10 35 9 12 13 7 u2 20 30 50 14 9 16 5 u3 10 30 40 45 20 30 30 Página 41 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA
  42. 42. [PROGRAMACION LINEAL] u1 + v1 = 8 u1 + v2 = 6 u2 + v1 = 9 u2 + v3 = 13 u3 + v2 = 9 u3 + v4 = 5 u1 = 0Resolviendo y evaluando los eij para cada variable no basal, el unico eij < 0 es e13 = −2. Verificando ´que exista un loop y determinando el m´ximo valor posible se tiene: a 8 6 10 9 25 − α 10 α 35 9 12 13 7 20 + α 30 − α 50 14 9 16 5 10 30 40 45 20 30 30En este caso, para mantener las variables positivas α deber ser 25. Haciendo la actualizaci´ n y ovolviendo a resolver el sistema asociado se tiene: v1 v2 v3 v4 8 6 10 9 u1 10 25 35 9 12 13 7 u2 45 5 50 14 9 16 5 u3 10 30 40 45 20 30 30 u1 + v2 = 6 u1 + v3 = 10 u2 + v1 = 9 u2 + v3 = 13 u3 + v2 = 9 u3 + v4 = 5 u1 = 0Resolviendo el sistema, se determina que todos los eij son positivos, por lo tanto la incorporaci´ n ode cualquier variable a la base aumentar´ el valor total de la funci´ n objetivo. Como el problema a oes de minimizaci´ n, se ha alcanzado el ´ ptimo. Por lo tanto, el tableau final queda: o o 8 6 10 9 10 25 35 9 12 13 7 45 5 50 14 9 16 5 10 30 40 45 20 30 30 Página 42 de 109SERGIO GLZ - CARLOS GUERRA

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