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MATRICES Y DETERMINANTESRango de una matriz Vectores columna de una matriz: También las columnas de una matriz pueden ser ...
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Matrices+y+determinantes

  1. 1. MATRICES Y DETERMINANTESDefinición de matrizSe llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aijdispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1,2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, elprimero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elementoa25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
  2. 2. MATRICES Y DETERMINANTESTipos de matrices:Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n. ( a11 a12 a13  a1n )Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1y por tanto es de orden m x 1.  a11     a21  a   31        am1 
  3. 3. MATRICES Y DETERMINANTESTipos de matrices:Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n.Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la .matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria  a11 a12 a13  a1n     a21 a22 a23  a2 n  a a32 a33  a3n   31       a an 2 an 3  ann   n1 
  4. 4. MATRICES Y DETERMINANTESTipos de matrices:Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m. Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji ∀ i, j. Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji ∀ i, j.
  5. 5. MATRICES Y DETERMINANTES Tipos de matrices:Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0 La matriz es una matriz nula de orden 3 La matriz es una matriz nula de orden 2 x 4
  6. 6. MATRICES Y DETERMINANTESTipos de matrices:Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos nopertenecientes a la diagonal principal son nulos.Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonaligualesMatriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de ladiagonal principal iguales a 1.
  7. 7. MATRICES Y DETERMINANTESTipos de matrices:Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos loselementos que están a un mismo lado de la diagonal principal.Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 ∀ i < j. Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 ∀ j < i. matriz triangular inferior matriz triangular superior
  8. 8. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Trasposición de matrices Suma y diferencia de matrices Producto de una matriz por un número Propiedades simplificativas Producto de matrices Matrices inversibles
  9. 9. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Trasposición de matricesDada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa porAt, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.Es decir: Propiedades de la trasposición de matrices: 1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A.  (At)t = A.
  10. 10. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Suma y diferencia de matricesLa suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.La suma de las matrices A y B se denota por A+B.Ejemplo Sin embargo, no se pueden sumar. La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)
  11. 11. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Suma y diferencia de matrices Propiedades de la suma de matrices1ª. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa2ª. A+B=B+A Propiedad conmutativa3ª. A + 0 = A (0 es la matriz nula) Matriz Nula4ª. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
  12. 12. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Producto de una matriz por un número El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la mismadimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij. Ejemplo:El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se lellama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices
  13. 13. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Producto de una matriz por un número Propiedades del producto de una matriz por un escalar1ª. k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva 1ª2ª. (k + h)A = k A + h A Propiedad distributiva 2ª3ª. k [h A] = (k h) A Propiedad asociativa mixta.4ª. 1 · A = A · 1 = A Elemento unidad
  14. 14. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Propiedades simplificativasSi A + C = B + C ⇔ A = BSi k A = k B ⇔ A = B si k es distinto de 0Si k A = h A ⇔ h = k si A es distinto de 0
  15. 15. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Producto de matrices Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienenmultiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma: Pij = a ik bkjEs evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Esmás, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p, Esdecir: Ejemplo: no se pueden multiplicar
  16. 16. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Producto de matricesPropiedades del producto de matrices A·(B·C) = (A·B)·C (Propiedad asociativa) El producto de matrices en general no es conmutativo. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 . El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C
  17. 17. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Producto de matricesConsecuencias de las PropiedadesSi A · B = 0 no implica que A = 0 ó B = 0Si A · B = A · C no implica que B = CEn general (A+B)2 ≠ A2 + B2 +2AB, ya que A · B ≠ B·AEn general (A+B) · (A–B) ≠ A2 – B2, ya que A · B ≠ B · A
  18. 18. MATRICES Y DETERMINANTES Matrices inversiblesUna matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible oregular; en caso contrario recibe el nombre de singular.
  19. 19. MATRICES Y DETERMINANTES s si blePropiedades de la inversión de matrices ver es in tric Ma La matriz inversa, si existe, es única A-1·A = A·A-1= I (A·B)-1 = B-1·A-1 (A-1)-1 = A (kA)-1 = (1/k) · A-1 (At) –1 = (A-1) t
  20. 20. MATRICES Y DETERMINANTESObservación: Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A ≠ I, en talcaso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es lainversa de A "por la derecha".Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada: Por el método de Gauss-Jordan Usando determinantes Directamente
  21. 21. MATRICES Y DETERMINANTES Cálculo Directo de la Matriz InversaDada la matriz buscamos una matriz que cumpla A·A-1 = I, es decirPara ello planteamos el sistema de ecuaciones: La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácil comprobar que también cumple A-1 · A = I, con lo cual es realmente la inversa de A.
  22. 22. MATRICES Y DETERMINANTESObservación: Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A ≠ I, en talcaso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es lainversa de A "por la derecha".Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada: Por el método de Gauss-Jordan Usando determinantes Directamente
  23. 23. MATRICES Y DETERMINANTESMétodo de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de unadada se basa en una triangulación superior y luego otra inferior de la matriz a lacual se le quiere calcular la inversa. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que transformar la matriz (A I In) mediante transformaciones elementales por filas en la matriz (In I B). La matriz B será, evidentemente, la inversa de A.Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo.Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremosque la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizarla triangulación superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangulacióninferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa. Ejemplo VOLVER
  24. 24. Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss - Jordan Cuando hacemos transformaciones elementales en una matriz, esto es equivalente a multiplicarla por otra matriz dada. Ejemplo: 1 1 0  1 1 0    F2 – 2F1  F2    2 1 1   0 −1 1   −1 1 − 2 F1 + F3  F3  0 2 − 2     Esta transformación es equivalente a la siguiente multiplicación:  1 0 0  1 1 0  1 1 0         − 2 1 0 ⋅  2 1 1  =  0 −1 1   1 0 1  −1 1 − 2  0 2 − 2       En consecuencia al transformar (A I In) en (In I B) realmente lo que estamos haciendo son las siguientes multiplicaciones: A-1·A= In y A-1 · In = A-1=B VOLVER
  25. 25. Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss - Jordan Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz •En primer lugar triangulamos inferiormente: •Una vez que hemos triangulado superiormente lo hacemos inferiormente: Por último, habrá que convertir la matriz diagonal en la matriz identidad: De donde, la matriz inversa de A es VOLVER
  26. 26. Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss - Jordan Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz se tiene: Como hay una fila completa de ceros, la matriz A no tiene rango máximo, en este caso 2, por tanto no tiene inversa pues es una matriz singular VOLVER
  27. 27. Gauss, Carl Friedrich b. April 30, 1777, Brunswick [Germany] d. Feb. 23, 1855, Göttingen, HanoverOriginal name JOHANN FRIEDRICH CARL GAUSS German mathematicianwho also made contributions to other sciences. VOLVER
  28. 28. Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss - Jordan Queremos calcular la inversa de 1º.- Se escribe la matriz A junto a esta la matriz identidad, 2º.- Triangularizamos la matriz A de arriba a abajo y realizamos las mismas operaciones en la matriz de la derecha. Como podemos observar el rango de la matriz es máximo (en este caso 3), por tanto la matriz A es regular (tiene inversa), podemos calcular su inversa. 3º.- Triangularizamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones en la matriz de la derecha. 4º.- Por último se divide cada fila por el elemento diagonal correspondiente. VOLVER
  29. 29. MATRICES Y DETERMINANTESMétodo de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de unadada se basa en una triangulación superior y luego otra inferior de la matriz a lacual se le quiere calcular la inversa. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que transformar la matriz (A I In) mediante transformaciones elementales por filas en la matriz (In I B). La matriz B será, evidentemente, la inversa de A.Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo.Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremosque la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizarla triangulación superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangulacióninferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa. Ejemplo VOLVER
  30. 30. MATRICES Y DETERMINANTESObservación: Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A ≠ I, en talcaso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es lainversa de A "por la derecha".Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada: Por el método de Gauss-Jordan Usando determinantes Directamente
  31. 31. MATRICES Y DETERMINANTES VOLVER
  32. 32. MATRICES Y DETERMINANTES VOLVER
  33. 33. MATRICES Y DETERMINANTESCálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij). Ejemplo Si tenemos una matriz tal que det (A) ≠ 0, se verifica: Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante, que tiene dos filas iguales, por los adjuntos de una de ellas). Ejemplo
  34. 34. MATRICES Y DETERMINANTES VOLVER
  35. 35. MATRICES Y DETERMINANTESRango de una matrizSe llama “menor” de orden p de una matriz al determinante que resulta deeliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de ordenp. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatrizobtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).En una matriz cualquiera A m×n  puede haber varios menores de un ciertoorden p dado.Definición:El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de losmenores distintos de cero. El rango o característica de una matriz A serepresenta por rg(A) .ConsecuenciaPor tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
  36. 36. MATRICES Y DETERMINANTESRango de una matriz Vectores fila de una matriz: Las filas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Es posible que sean linealmente Independientes (L.I.) y es posible que unos dependan linealmente de otros. Por ejemplo:  2 3 2 5A= 1 3 4 2 Sus dos filas son linealmente independientes   1 3   2 1 Las dos primeras líneas son L.I., las otras dos dependen linealmente B= 0 5 de las primeras   3 4   F 3 = 2 ⋅ F1 − F 2 F 4 = F1 + F 2 1 5 3   Las dos primeras filas son L.I. la tercera depende linealmente de C = 9 0 2 las dos primeras  8 − 5 − 1   F 2 − F1 = F 3 Se llama rango de una matriz al número de filas Linealmente Independientes
  37. 37. MATRICES Y DETERMINANTESRango de una matriz Vectores columna de una matriz: También las columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Podríamos definir rango de la matriz como el número de columnas linealmente independientes, pero aparece la duda de si esa definición puede contradecir en algún caso la anterior. Es decir: ¿Es posible que en una matriz el número de filas linealmente independientes sea distinto del número de columnas linealmente independiente?. El siguiente teorema nos asegura que no. Teorema En una matriz el número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I. Por esto podemos dar una nueva definición de Rango: Rango de una matriz es el número de filas, o columnas, linealmente independientes.
  38. 38. MATRICES Y DETERMINANTESRango de una matrizEl rango de una matriz lo podemos calcular por dos métodosdiferentes:  Por el método de Gauss  Usando Determinantes
  39. 39. MATRICES Y DETERMINANTESRango de una matrizCálculo del rango de una matriz por el método de GaussTransformaciones elementales:Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que surango varíe.Las transformaciones elementales son las siguientes:Permutar 2 filas ó 2 columnas.Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.Suprimir las filas o columnas que sean nulas,Suprimir las filas o columnas que sean proporcionales a otras.
  40. 40. MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz Cálculo del rango de una matriz por el método de GaussEl método de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a unamatriz con objeto de conseguir que los elementos que están por debajo dela diagonal principal se anulen (aij = 0,para i > j).Para conseguir "triangular" la matriz debemos dejar en la diagonal principalelementos no nulos, salvo que la fila sea nula.Una vez aplicado este proceso de triangulación, el rango de la matriz es elnúmero de filas no nulas de la matriz obtenida. Esto es fácil probarlo usandolas propiedades de los determinantes. Ejemplo Más Ejemplos
  41. 41. MATRICES Y DETERMINANTESRango de una matrizCálculo del rango de una matriz por el método de Gauss VOLVER
  42. 42. MATRICES Y DETERMINANTESRango de una matrizCálculo del rango de una matriz por el método de Gauss VOLVER
  43. 43. MATRICES Y DETERMINANTESRango de una matriz Cálculo del rango de una matriz por el método de GaussEl método de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales auna matriz con objeto de conseguir que los elementos que están pordebajo de la diagonal principal se anulen (aij = 0,para i > j).Para conseguir "triangular" la matriz debemos dejar en la diagonal principalelementos no nulos, salvo que la fila sea nula.Una vez aplicado este proceso de triangulación, el rango de la matriz es elnúmero de filas no nulas de la matriz obtenida. Esto es fácil probarlousando las propiedades de los determinantes. Ejemplo Más Ejemplos
  44. 44. MATRICES Y DETERMINANTESDeterminantes Dada una matriz cuadrada se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número: , con (Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i (s) es la signatura de la permutación)

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