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Osservazioni sulla congettura di Goldbach

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Osservazioni sulla congettura di Goldbach

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  • 1. La congettura di GoldbachLa congettura: ogni numero pari maggiore o uguale a 4 è sempre esprimibile come somma di duenumeri primi non necessariamente diversi tra loro.Ossrervazione: Supponiamo di considerare un qualunque numero pari . Dalle proprietàdellequazione di secondo grado possiamo scrivere: x 2−sxn=0 , s= x 1 x 2, n= x 1 x 2 x 1, x 2= p , q=a±  a −n dove evidentemente 2 2 x −2 axn=0 che come soluzioni dà : y n=a±  a 2−n , 2na 2 che 2 na . Quindi ci troviamo a dover studiare i valori interi difornisce tutti i valori interi tra [1, a ] . Possiamo scrivere il seguente programma in C++#include <stdio.h>#include <math.h>#include <iostream.h>int main(int argc, char *argv[]){long m, n, a, v;double p, q;cout << "inserisci un numero pari ";cin >> m;a = m/2;for(n=2; n < pow(a,2); n++){p = a + sqrt(pow(a,2)-n);q = a - sqrt(pow(a,2)-n);if (q == int(q) && p ==int(p)){ cout <<"-----------" << "n"; cout << p << "n"; cout << q << "n"; cout <<"-----------" << "n";}}cout << "metti un carattere per finire";cin >> v; return 0;}
  • 2. Ci accorgiamo ben presto che il progamma dà tutte le soluzioni intere pq=2 a , Per otteneresolo le coppie di primi non basta nemmeno aggingere la condizione che MCD  p , q=1 , che p,q devono essere dispari e che né p, né q devono essere quadrati perfetti (anche se queste condizionilimitano molto le soluzioni trovate).Abbiamo, in un precedente articolo osservato che: n= pq ,  pq= p−1q−1=4 b (perché è il prodotto di due numeri pari (p-1)(q-1) essendo p,q primi quindi dispari, ovvero che pq= pq1−4 b con b intero positivo. Possiamo usarequeste ulteriori proprietà per raffinare lelenco delle soluzioni.Di Cristiano Armellini cristiano.armellini@alice.it