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La precisione in matematica
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La precisione in matematica

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calcolo matematico dei numeri reali

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  • 1. La precisione in matematica Di Cristiano Armellini, cristiano.armellini@alice.itConsideriamo il tema del calcolo dei decimali di un qualunque numero reale con una precisione infinita.Consideriamo lo sviluppo binomiale di 1 1Ove i termini dello sviluppo sono i coefficienti binomiali C.Consideriamo quindi a = ½, a = 1/3 ecc.Nel caso a = ½, per -1 < x <= 1 ho la seguente formula 1 1 1 3 1 3 5 √1 1 2 2 4 2 4 6 2 4!Per x = 1 ho immediatamente la √2 √Se x =1/2 ho posso calcolare √1 1 ma sconoscendo già il valore esatto del denominatore √mi ricavo facilmente il valore del numeratore.Continuando così per x = 1/3 mi calcolo la radice quadrata di 4 (che già so essere un quadrato perfetto),quindi per x = ¼ mi calcolo la radice quadrata di 5, conoscendo la radice di 4, e per x = 1/5 la radice di 6conoscendo già al passo precedente la radice quadrata di 5, ecc.Il metodo iterattivo è immediato quando 1 1/ 1 / e n o n+1 sono quadrati perfetti perchéin questo caso applicando la formulo dello sviluppo binomiale e conoscendo il valore del quadrato perfetto,il calcolo dell’altra radice quadrata risulta immediato.Stesso ragionamento per le radici cubiche ricordando che per a = 1/3 (per -1 < x <= 1) 1 2 2 5 √1 1 3 3 6 3 6 9Il sistema descritto consente di ottenere valori con una precisione arbitraria ma a volte risulta poco pratico.Consideriamo allora un’altra semplice tecnica. Partiamo dall’equazione 0 che ha come √soluzioni , . Allora se il mio obiettivo è calcolare (ad esempio) la radice quadrata di 5 basterà √porre 1-4c=5, quindi c = -1, quindi 1 0, . Per ottenere la soluzione in modo precisopossiamo risolvere l’equazione usando i metodi del calcolo numerico (tangenti, Newton, punto unito,bisezione) . Una volta trovato x basterà calcolare 2x+/-1 per ottenere il risultato finale.E se devo calcolare la radice ennesima di x ? n > 2 . Si possono studiare regole ad hoc come abbiamo fattosopra per ogni n > 2 ma in generale si considera l’equazione 0 che risolta con le tecniche di analisinumerica dà la radice ennesima di a.
  • 2. Usando lo sviluppo in serie di Taylor già sappiamo che possiamo calcolare con estrema accuratezza i valoridi sen(x), cos(x), tan(x), ln(x), alla base di molti calcoli e applicazioni matematiche (per l’accuratezza basteràconsiderare molti termini della serie)Ad esempio .. 3! 5! 5! cos 1 .. 2! 4! 6! 1 .. 2! 3! 1 1 1 1 1 ln 2 1 2 1 5 1Di queste espressioni sappiamo anche stimare l’errore che si commette considerando i primi k termini dellaserieLa precisione è molto importante anche per il calcolo dei numeri trascendenti, il più famoso dei quali ècertamente il PI greco. Usando la formula di Wallis ho 2 4 ! lim 2 2 ! 2 1Con questa formula molto compatta proviamo a scrivere una applicativo in Python per calcolare le cifredecimali di pigreco con una precisione praticamente infinitaimport math;def wallis(n): m = 10**n; pi = ((2**(4*m))*(math.factorial(m))**4)/((2*m+1)*(math.factorial(2*m)**2)); k = 2*pi; return k*10^n;Ma in questo caso per ottenere una estrema precisione occorre disporre di un calcolatore particolarmentepotente

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