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Importanti conseguenze della congettura di Andrica

  1. 1. Importanti conseguenze della congettura di Andrica Di Cristiano Armellini, cristiano.armelini@alice.itLa congettura di Andrica afferma che tra due numeri primi consecutivi vale sempre la disuguaglianza0 ൏ ඥ‫݌‬௜ାଵ െ ඥ‫݌‬௜ ൏ 1 ove ‫݌‬௜ାଵ , ‫݌‬௜ sono appunto due numeri primi consecutivi.Facciamo alcune osservazioni per metter in evidenza come tale congettura abbia importanti conseguenzenello studio della distribuzione dei numeri primi.E’ facile notare che ඥ‫݌‬௜ାଵ ൏ 1 ൅ ඥ‫݌‬௜ ovvero elevando al quadrato ‫݌‬௜ାଵ ൏ 1 ൅ ‫݌‬௜ ൅ 2ඥ‫݌‬௜ quindi possiamoaffermare che ‫݌‬௜ ൏ ‫݌‬௜ାଵ ൏ 1 ൅ 2ඥ‫݌‬௜ o in maniera equivalente che 0 ൏ ‫݌‬௜ାଵ െ ‫݌‬௜ ൏ 1 ൅ 2ඥ‫݌‬௜ . Il che cifornisce informazioni sulla posizione di ‫݌‬௜ାଵ conosciuto il numero primo ‫݌‬௜ .Possiamo però fare un ulteriore passo in avanti. Da 0 ൏ ඥ‫݌‬௜ାଵ െ ඥ‫݌‬௜ ൏ 1 risulta che deve esiste un W > 0tale che ඥ‫݌‬௜ାଵ െ ඥ‫݌‬௜ ൌ 1 െ ܹ con 0 < W < 1. Dato che i due membri dell’equazione sono sempre positivipossiamo elevarli al quadrato ottenendo, dopo alcuni passaggi l’equazione di quarto grado in W: ܹ ସ െ 4ܹ ଷ ൅ ܹ ଶ ሾ4 െ 2ሺ‫݌‬௜ାଵ ൅ ‫݌‬௜ െ 1ሻሿ ൅ 4ܹሺ‫݌‬௜ାଵ ൅ ‫݌‬௜ െ 1ሻ െ 4‫݌‬௜ାଵ ‫݌‬௜ ൅ ሺ‫݌‬௜ାଵ ൅ ‫݌‬௜ െ 1ሻଶ ൌ 0
  2. 2. Sappiamo dall’algebra che un’equazione di quarto grado si può sempre risolvere per radicali (ricordandoche 0 <W < 1): questo ci porterà ad trovare delle relazioni (vincoli) a cui deve sottostare ‫݌‬௜ାଵ in funzione delnumero primo noto ‫݌‬௜ .Ovvero per le soluzioni reali (l’equazione potrebbe avere anche due sol complesse) ܹ ൌ ܹሺ‫݌‬௜ାଵ , ‫݌‬௜ ሻquindi ‫݌‬௜ାଵ ‫ א‬ሾ݉ሺ‫݌‬௜ ሻ, ‫ܯ‬ሺ‫݌‬௜ ሻሿ ove ݉ሺ‫݌‬௜ ሻ, ‫ܯ‬ሺ‫݌‬௜ ሻ sono funzioni del numero primo ‫݌‬௜ e determinano un rangedove andare a cercare il successivo numero primo ‫݌‬௜ାଵ . Il lettore, facendo delle prove con l’ausilio di uncalcolatore e di un buon software per il calcolo algebrico (Maxima, Mathematica, ecc) potrà sperimentareinteressanti proprietà dell’equazione di quarto grado associata alla congettura di Andrica calcolando perogni numero primo dato un intervallo ristretto dove andare a cercare il successivo numero primo.Un’altra interessante osservazione è la seguente: ‫݌‬௜ାଵ െ ‫݌‬௜ ൌ ሺඥ‫݌‬௜ାଵ െ ඥ‫݌‬௜ ሻሺඥ‫݌‬௜ାଵ ൅ ඥ‫݌‬௜ ሻQuindi ‫݌‬௜ାଵ െ ‫݌‬௜ ൫ඥ‫݌‬௜ାଵ െ ඥ‫݌‬௜ ൯ ൌ ൏1 ඥ‫݌‬௜ାଵ ൅ ඥ‫݌‬௜Allora ‫݌‬௜ାଵ െ ‫݌‬௜ ൏ ඥ‫݌‬௜ାଵ ൅ ඥ‫݌‬௜

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