Congettura di Goldbach
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Congettura di Goldbach

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Congettura di Goldbach: sintesi della dimostrazione

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  • 1. Ipotesi di Goldbach (di Cristiano Armellini cristiano.armellini@alice.it)LA CONGETTURA: Ogni numero pari maggiore di due è somma al più di due numeri primi nonnecessariamente diversi tra loroSia data la funzione Phi di Eulero ϕ (q ) che mi dà il numero di primi con q minori di q.E’ facile provare chea) ϕ (q) è sempre pari qualunque sia qb) ϕ (q ) = q − 1 sse q è primoc) se MCD(a,b)=1d) , p primo(dimostrazione della congettura)Sia n = p * q con p, q primi di versi da 2. Possiamo anche considerare n = 2pq perché ϕ (2 pq ) = ϕ ( pq )ϕ (q) è sempre pari e ϕ ( pq ) = ϕ ( p )ϕ (q ) perché MCD(p,q) = 1ϕ ( pq ) = ϕ ( p )ϕ (q ) = ( p − 1)(q − 1) = pq − ( p + q ) + 1ϕ (n) = 2k = pq − ( p + q) + 1 (qui si può scrivere 4K al posto di 2k perché prodotto di due numeri pari cioèè il prodotto di (p-1)(q-1)). Nel caso particolare che p = q per un certo k. In
  • 2. generale possiamo dire che quando n è un quadrato di un numero primo, mentrequando n = p * q con p, q primi diversi tra loro.pq+1-2k = p + q e dato che pq+1 è pari perché p * q è dispari pq+1-2k è pari perché differenzadi numeri pari, quindi pq+1-2k (o pq+1-4K) è un generico numero pari che è somma di dueprimi p, e q. In particolare pq+1-2k o (pq+1-4K) al variare di k (o K) mi dà un insieme dinumeri pari minori o uguali a pq+1 ma dato che p,q sono primi e i primi sono infiniti pq+1-2k(pq+1-4K) al variare di k mi dà l’insieme di tutti i numeri pari. Ovvero pq+1-2k mi dà sempretutti i numeri pari minori o uguali a pq+1 mentre pq+1-4K mi dà esattamente la metà ma bastaporre K = k/2 o variare p, q per raggiungere i numeri pari mancanti. Questo vuol dire che datoun qualunque numero pari esistono p,q primi e esiste un k (o un K) tale che 2a=pq+1-2k(oppure 2a=pq+1-4K) ma in entrambi i casi il membro di destra è = p+q. C.V.D.Dimostrazione per induzione:1) assumiamo che 2a = p + q vera, p, q primi2) 2a = ϕ ( p1 ) + ϕ (q1 ) un numero pari è sempre la somma di due numeri pariϕ ( p1 ) = p1 − 1 sse p1 è primo; ϕ ( q1 ) = q1 − 1 sse q1 è primo. Allora3) 2a = p1 − 1 + q1 − 14) 2(a + 1) = p1 + q1 vera5) per induzione 2a = p + q per ogni a (ad ogni a cambieranno p, q)
  • 3. DIMOSTRAZIONE PER ASSURDOconsideriamo lapproccio della dimostrazione per assurdo. supponiamo cioè di negare la tesi ovvero cheesiste un numero pari che non può essere somma di due numeri primi. Sia allora 2a il più piccolo numeropari che non può essere scritto come 2a = p + q con p, q primi. Dunque 2a-2 è pari e può essere scrittocome 2a-2 = p + q con p, q primi, allora 2a = 2+p+qcaso 1) 2+p è primo, con p primo allora arriviamo allassurdo 2a = P + q con P = 2+p P, q primi e ilteorema è dimostratocaso 2) 2+q è primo, con q primo allora arriviamo allassurdo 2a = p + Q con Q = 2 + q con p, Q primi e ilteorema è dimostratocaso 3) 2+q non è primo né 2+p, allora si potrebbe cambiare la coppia p, q (es 10 = 7+3 = 5+5) e vederese si verificano i casi 1) 2). Qui il problema è più complesso perché si lega ad unaltre ben nota congetturache vuole che i numeri primi si distribuiscano più facilmente nella forma p, p+2 con p primo. Nel sottocasoche p=q abbiamo che 2a = 2+2p quindi 2a = 1+(2p+1).DIMOSTRAZIONE USANDO IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICAConsideriamo il numero pari 2*a . Per il teorema della decomposizione unica in fattori sappiamo che talenumero si può sempre scrivere come una somma (non necessariamente unica) di numeri primi e che questasomma deve essere costituita da un numero pari di addendi (altrimenti il risultato sarebbe dispari). Esempio:30 = 3*10 = 3+3+3+3+3+3+3+3+3+3 = 5*6 = 5+5+5+5+5+5. Supponiamo che 2*a = p+q+r+s (conp, q, r, s numeri primi). Abbiamo preso 4 numeri primi ma il ragionamento sarebbe stato ugualmente validoper 6, 8, 10 numeri primi. Dunque 2*a –(r + s) = p + q ma r + s = 2b per un certo b quindi 2(a-b) = p+q.Fissato a tramite la decomposizione unica in fattori primi mi determino una classe finita di possibili valori di be al variare di a 2(a-b) mi determinano l’insieme dei numeri pari. Quindi ho provato che il generico numero
  • 4. pari 2(a-b) lo posso sempre scrivere come somma di due primi p, q. Nell’ esempio di prima 30 =5+5+5+5+5+5 => 30 – 5+5+5+5 = 5+5. => 10 = 5+5; 30 –3-3-3-3-3-3-3-3 = 3+3 => 6 = 3+3