calcolo del Pi greco
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nuovi sistemi di calcolo del PI greco

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calcolo del Pi greco calcolo del Pi greco Document Transcript

  • Il misterioso mondo del Pi Greco Di Cristiano Armellini Il numero π definito come rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro ha sempre affascinato generazioni di matematici e menti illustri nei secoli passati si sono cimentate nelle formulazione di formule matematiche per il suo calcolo. Obiettivo di questo articolo è quello di proporre nuovi algoritmi che consentano di calcolare π con un numero di cifre sempre più significativo e quindi con una precisione sempre maggiore. La nostra ricerca parte dalla trigonometria e dal calcolo del seno, coseno e tangente di alcuni angoli particolari (vedere la seguente tabella riportata nei principali testi di trigonometria e nelle tavole numeriche). Radianti Seno (colonna s) Coseno (colonna c) Tangente (colonna t) π /2 1 0 Non esiste π /3 3/2 1/2 3 π /4 2/2 2 /2 1 π /6 1 /2 3/2 3 /3 2 π /5 ( 10 + 2 5 ) / 4 ( 5 − 1 )/4 5+2 5 π /10 ( 5 − 1) / 4 ( 10 + 2 5 ) / 4 ( 25 − 10 5 ) / 4 5 π /12 ( 6 + 2) / 4 ( 6 − 2) / 4 2+ 3 π /12 ( 6 − 2) / 4 ( 6 + 2) / 4 2- 3 3 π /10 ( 5 + 1) / 4 ( 10 − 2 5 ) / 4 ( 25 + 10 5 ) / 5 π /5 ( 5 + 1) / 4 ( 10 − 2 5 ) / 4 5−2 5 3 π /8 ( 2+ 2)/2 ( 2 − 2) / 2 2 +1 π /8 2 −1 ( 2 − 2) / 2 ( 2+ 2)/2 9 π /20 ( 3 + 5 + 5 − 5 ) / 4 ( 3 + 5 − 5 − 5 ) / 4 ( 5 − 1) /(4 − 10 + 2 5 ) Il passaggio successivo consiste nel ricordare alcuni notevoli sviluppi delle serie trigonometriche in serie di potenze (sviluppo in s. di Taylor ecc)
  • x2 x5 x7 sin( x) = x − + − + ....... 3! 5! 7! x2 x4 x6 cos( x ) = 1 − + − + ...... 2! 4! 6! 1 x3 x5 = x− + − ...... tan(x) 3 5 dove le formule per il seno e coseno valgono per ogni x (in particolare i termini della serie sono di segno alternato e decrescono in valore assoluto per |x| < 1 mentre la formula della tangente vale per |x| < 1. Allora prendiamo un angolo qualsiasi della tabella sopra riportata di cui conosciamo il valore del seno e del coseno o della tangente e applichiamo lo sviluppo in serie di potenze (in questo caso abbiamo scelto per semplicità come funzione il coseno e come angolo l’angolo π / 4 ma potevano decidere altre opzioni (le possibilità sono molteplici): x2 x4 x6 cos(π / 4) = 2 / 2 ≈ 1 − + − 2! 4! 6! Abbiamo troncato lo sviluppo della serie al quarto termine ma è evidente che potevamo proseguire prendendo in considerazione molti altri termini per aumentare la precisione del calcolo. Se poniamo in simbolo di ≈ uguaglianza ci troviamo a dover risolvere una equazione algebrica polinomiale di grado 6 (in questo caso) di cui una soluzione è certamente π / 4 . Trovata la soluzione ci basterà moltiplicare per 4 o ottenere una buona approssimazione di Pi greco che sarà tanto migliore quanti più termini della seri andremo a considerare. In realtà si possono ottenere migliori approssimazioni considerando altri angoli (vedere la tabella trigonometrica sopra). Come possiamo però trovare le soluzioni di P(x) = 0 con P(x) polinomio di grado n ? Certamente dobbiamo chiedere aiuto all’Analisi numerica e quindi utilizzare i metodi della bisezione, delle tangenti, metodo del punto fisso ecc prendendo come valore iniziale per gli algoritmi numerici il numero x = 3.14*k con k che dipende dalla situazione scelta nella tabella trigonometrica.
  • A puro scopo esemplificativo Considerando per il coseno solo 3 termini (in questo modo ho una equazione biquadratica che posso facilmente risolvere) ho che: t 2 − 12t + 24 − 12 2 = 0 12 − 144 − 4(24 − 12 2 ) x= = 0,7858556273 2 0,7858556273 * 4 = 3,143422509 ma se avessimo considerato più termini la precisione sarebbe stata maggiore. A tal proposito possiamo usare il Matematica o altri software di calcolo numero che dispongono di funzioni che possono automaticamente calcolare le soluzioni es Solve[equazione, x].