Analisis de Redes Electricas I (6)

UNIDAD 3 3.1.- Análisis Nodal  Circuitos que contienen solo fuentes independientes de Corriente.  Circuitos que contienen fuentes controladas de Corriente.  Circuitos que contienen solo fuentes independientes de Voltaje.  Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje. 3.2.- Análisis de Malla.  Circuitos que contienen fuentes controladas de Corriente.  Circuitos que contienen solo fuentes independientes de Voltaje.  Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje.  Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje.

Análisis Nodal Debemos considerar los siguientes aspectos: 1.- En el análisis nodal las variables de los circuitos se eligen como voltajes de los nodos. 2.- Los voltajes de los nodos se definen con respecto a un punto común en el circuito. 3.- Un nodo se selecciona como referencia y con frecuencia este nodo es aquel al que está conectado el mayor número de ramas y se denomina tierra debido a que su potencial es igual a cero y algunas veces es el chasis en el circuito práctico. 4.- Seleccionaremos nuestras variables( voltajes en los nodos) como positivas con respecto al nodo de referencia. 5.- Es recomendable que los elementos pasivos tengan como unidades el siemens (conductancia). 6.- Cuando se conoce los voltajes de los nodos podemos calcular inmediatamente cualquier corriente en una rama y la potencia suministrada o absorbida por cualquier elemento.

7.- De preferencia la respuesta deberá presentarse de forma matricial: GV I Ve ctor Ve ctor_ C olu m na Matriz C olu m na de _ las_ fue nte s _ C on duc cia Variable s tan de _ corrie nte de l _ m è todo 8.- Si en el circuito existiera solamente fuentes independientes de corriente debemos entonces observar que la matriz conductancia es simétrica a la diagonal principal. Basta con la presencia de fuentes de voltaje sean estas independientes o controladas, o la presencia de fuentes controladas de corriente en el circuito para que en la matriz conductancia se pierda la simetría con respecto a la diagonal principal.

Ejemplo # 1: CON SOLO FUENTES INDEPENDIENTES DE CORRIENTE V1 N1 I2 N2 V2 G2 EXPRESE LA RESPUESTA EN FORMA MARICIAL I1 I3 # de ecuaciones que se encuentran: Ia G1 Ib G3 n – 1=3-1, donde n es el número de nodos en total. V3 n – 1 =2 En cada ecuación debemos usar LCK, LVK LCK N1: Ia I1 I2 Ohm : I GV I2 G2 (V1 V2 ) I 1 G1 (V1 V3 ) I2 G2V1 G2V2 I1 G1V1 Ia G1V1 G 2 V1 G 2 V2 Ia V1 (G1 G 2 ) V2 (G 2 ) 1

LCK N2: I2 Ib I3 Ib I3 I2 Ohm : I GV I 3 G3 (V2 V3 ) I3 G3V2 Ib G3V2 G2V1 G2V2 I b V1 ( G2 ) V2 (G2 G3 ) 2 G1 G2 G2 V1 Ia G2 G2 G3 V2 Ib

Ejemplo # 2: 1 N 2 CON FUENTES CONTROLADAS DE CORRIENTE k N1 6 1 2I 0 12 k 1 k 2 mA 3 I0 6k N1 N2 V1 V2 LCK N1: 2I I I 0 0 1 2 I1 I2 2I 0 I1 I2 2I 0 12 k 3k 2 mA Ohm: I0 I 1 12V1 N3 V3 I2 6V1 6V2 I0 3V2

2(3V2 ) 12V1 6V1 6V2 0 18V1 6V2 6V2 0 18V1 12V2 1 LCK N2: I2 2 I0 2 I0 I2 2 3V2 6V1 6V2 2 V1 ( 6) 9V2 2 18 12 V1 0 6 9 V2 2

Método para escribir en forma directa las ecuaciones en el análisis nodal. Una vez identificado los nodos principales y escogido el nodo de referencia, se escriben las ecuaciones en cada uno de los nodos principales con excepción del nodo de referencia de la siguiente forma: 1.- De un lado de la ecuación la suma algebraica de las fuentes de corriente (independiente ó controlada) conectadas al nodo en que estamos trabajando respetando el signo de aquellas que estén dirigidas hacia el nodo y cambiándole el signo a aquellas que se estén alejando del nodo. 2.- Del otro lado de la ecuación vamos a distinguir dos clases de términos: a) El término llamado propio o mutuo que es igual al producto de la tensión asignada al nodo en que estamos trabajando por la suma de las conductancias de los ramales conectados a dicho nodo. Este término lleva signo positivo. b) Los términos llamados neutros que son iguales al producto de la tensión asignada al otro nodo (adyacente) por la conductancia del ramal que une directamente al nodo en que estamos trabajando y al nodo adyacente. Estos términos llevan el signo negativo.

3.- Cuando entre dos nodos activos (ninguno de los dos es tierra) se encuentra una fuente de voltaje (independiente ó controlada), se forma lo que se conoce con el nombre de súper nodo que para este caso específico se necesitan dos ecuaciones para resolverlo. a) Ecuación del súper nodo V2 V4 3VX V4 V5 3VX VX f (de _ las _ var iables _ del método ) 10V 10 V2 V3 V3 V5 b) Ecuación Auxiliar Se obtiene haciendo cero a la fuente de voltaje es decir cortocircuitándola y luego se procede a seguir lo que está escrito en los literales 1, 2 de este procedimiento. V2 V5 3VX 10V V4 V3

Por cada par de nodos activos vamos a tener siempre dos términos propios (es decir con signo positivo). 4.- Para el literal anterior cuando uno de los nodos es tierra sólo va a existir la ecuación del súper nodo. V2 V5 3VX 3V X V5 10V V2 10V VX=f(variables del método) Ejemplo # 1: Término propio Nodo 1: Ia V1 (G1 G2 ) V2 (G2 ) Término Neutro Ia V1 (G1 G2 ) V2 (G2 )

Nodo 2: 0 I b V2 (G2 G3 ) V1 (G2 ) I b V1 ( G2 ) V2 (G2 G3 ) Del Ejemplo # 2: Nodo 1: 2I 0 V1 (6k 12k ) V2 (6k ) pe ro: I 0 3V2 2(3V2 ) 18V1 6V2 0 18V1 12V2 Nodo 2: 2 V2 (6 3) V1 (6) 2 V1 ( 6) V2 (9)

Ejemplo # 3. 1 20 A 1 3 1 1 3 4 1 1 30 A 2 a) Exprese la respuesta en forma matricial b) La potencia entregada o consumida por las fuentes independientes

Ejemplo # 3. 1 20 A 1 3 1 1 3 4 1 1 30 A 2 a) Matriz Conductancia N2 V2 Nodo 1 20 A 20 V1 (1 3) V3 (1) 1 3 20 4V1 V3 N1 N4 Nodo 2 V1 V4 3 4 20 V2 (3 1) V4 (3) 1 2 30 A 20 4V2 3V4 V3 N3

Nodo 3 30 V3 (2 1) V1 (1) V1 4 0 1 0 20 30 3V3 V1 0 4 0 3 V2 20 Nodo 4 1 0 3 0 V3 30 0 3 0 7 V4 30 30 V4 (3 4) V2 (3) 30 7V4 3V2 Matriz Conductancia Al resolver la matriz anterior nos queda: V1 2.727V V3 9.090V V2 2.631V V4 3.157V Suministra

b) Potencia en las fuentes independientes. Vf 1 V2 V1 P20 A 5.358 (20) Vf 1 2.631 ( 2.727) P20 A 107.16 W Suministra Vf 1 5.358V Vf 2 V3 V4 P30 A 12.247 (30) Vf 2 9.090V ( 3.157V ) P30 A 367.41 W Suministra Vf 2 12.247V

Ejemplo # 4. V1 Determinar I0=? 2k 12V 2k V3 V2 V4 1k 1k 6V 2k 12V I0

SOLUCION Ejemplo # 4. V1 Determinar I0=? 2k 1 0 1 0 V1 12 2k 12V V3 4 3 4 3 V2 0 V2 V4 0 1 0 0 V3 6 1k 1k 0 0 0 1 V4 12 6V 2k 12V Al resolver la matriz nos queda: I0 V1=8.25 V V2= -6 V V3= -3.75 V I0 7.5m A V4= 12 V

Vc Ejemplo # 5. 2 V1 2 Vb Vd 10V 2 3V2 Va 3 6A 2V1 3 V2 Todos los elementos pasivos están en mhos. CALCULAR a) V1 , V2 b) Potencia en la fuente de 10V indicando si suministra o consume. Nota: Respete los nodos marcados.

SOLUCION Ejemplo # 5. 5 2 2 2 VA 0 V A 1.81V 3 1 0 1 VB 0 VB 2.48V 2 4 4 5 VC 6 VC 10V 0 0 1 0 VD 10 VD 7.93V V1 VC VD 10V 7.93V 2.07V V2 VA 0 1.81 0V 1.81 V V b) PV 10 191.8 W

Ejemplo # 6. IX 3 2 VX 30 A 4 25 A 5 2 2V X 3 2I X 4 3 a) Expresar la respuesta en forma matricial b) Calcular la potencia asociada a cada una de las fuentes controladas.

Análisis de Malla Utiliza la LVK para determinar las corrientes en el circuito y una vez que se conocen estas, se puede utilizar la ley de Ohm para calcular el voltaje en cualquier elemento pasivo, como también es posible calcular la potencia suministrada o consumida por cualquier elemento del circuito. Si el circuito tiene n mallas independientes se requerirá n ecuaciones simultáneas independientes para describir el comportamiento del circuito. Vamos a suponer que los circuitos son planos, es decir, que ningún conductor se cruce con otro conductor. R1 V2 V1 R3 R4 I1 I2 R2 R5

Malla 1 Malla 2 LVK: LVK: V1 VR1 VR 2 VR 3 0 VR 4 VR5 VR3 V2 0 V1 VR1 VR 2 VR 3 Ohm: Ohm: VR1 I 1 R1 VR 4 I 2 R4 VR 2 I 1 R2 VR 5 I 2 R5 VR 3 IR3 ( I1 I 2 ) R3 VR 4 VR 5 VR 3 V2 0 V2 I 2 R4 I 2 R3 I1 R3 I 2 R3 V1 I1 R1 I1 R2 I1 R3 I 2 R3 V2 I 2 ( R3 R4 R5 ) I1 R3 2) V1 I1 ( R1 R2 R3 ) I 2 ( R3 ) 1)

En forma matricial: R I V Matriz Vector Columna Vector Columna de las variables de las fuentes de Resistencia voltaje del método R1 R2 R3 R3 I1 V1 R3 R3 R4 R5 I2 V2 Si solo existieran fuentes independientes de voltaje existirá simetría con respecto a la diagonal principal en la matriz resistencia.

En forma Directa Una vez asignadas las corrientes a las mallas se plantean en cada una de las ecuaciones de voltaje de acuerdo a la siguiente regla: 1.- De un lado de la ecuación escribimos la suma algebraica de las fuentes de voltaje conectadas a la malla en que estamos trabajando respetando el signo de la fuente si la corriente de la malla atraviesa de negativo a positivo y cambiándole el signo si la atraviesa de positivo a negativo. 2.- Del otro lado de la ecuación hay dos clases de términos: a) El término llamado propio es igual al producto de la corriente asignada a la malla que estamos trabajando por la suma de las resistencias conectadas a dicha malla. Este término lleva signo positivo. b) Los términos mutuos que son iguales al producto de corriente asignada a otra malla adjunta (vecina) y la malla en que estamos trabajando. Este término lleva signo negativo si las dos corrientes que la atraviesan son de direcciones opuestas y lleva signo positivo si las dos corrientes que la atraviesan son de direcciones iguales.

Del problema anterior: V1 I1 ( R1 R2 R3 ) I 2 ( R3 ) R1 R2 R3 R3 I1 V1 V2 I 2 ( R3 R4 R5 ) I1 ( R3 ) R3 R3 R4 R5 I2 V2 Si existiera una fuente de corriente ( independiente ó controlada) en medio de dos mallas se forma lo que se conoce con el nombre de súper malla la cual necesita dos ecuaciones para resolver. 1.- Ecuación de la súper malla Es igual a la diferencia de corrientes con la que está involucrada la fuente de corriente. 2.- Ecuación Auxiliar Se forma haciendo cero a la fuente de corriente, es decir poniéndola en circuito abierto y luego se trabaja de acuerdo al procedimiento descrito en la regla anterior. Todos los elementos pasivos deben estar en ohmios.

R3 R4 EJERCICIO 7: R5 R1 I1 I2 30 A V2 R2 R6 Ecuación de súper malla 30 I2 I1 Ecuación Auxiliar V2 I1 ( R1 R2 R3 ) I 2 ( R4 R5 R6 )

R2 R1 V1 Ejercicio 8 : R4 I2 R5 3A I1 Cuando está la fuente en la periferia sólo se hace la ecuación de la súper malla Ecuación de súper malla I1 3A MALLA 2 V1= -I1(R4) + I2 (R1+R4+R5) 3 0 I1 0 R4 R1 R4 R5 I2 V1

2 5 Ejm: Ejercicio 9: 20 A I3 160V I2 2 4 3 I1 100V a) Representar la respuesta en forma matricial. b) Ejercicio 9:

2 5 Ejm: SOLUCION Ejercicio 9: 20 A I3 160V I2 2 4 3 I1 100V a) Representar la respuesta en forma matricial. b) Potencia en los elementos activos 9 4 2 I1 100 I1= -8 A 0 1 1 I2 20 I2= -2 A 6 6 7 I3 160 I3= 18 A P V 320W consume P V 800W P20 A 2800W 160 100

Ejm: Ejercicio 10: 2 4 Ix 140V I1 I2 80V 2VX 3 2I X 2 + Vx - 20 A 4 3 I3 5 I4 I5 Respetando las corrientes de mallas asignadas. Determinar: a) Potencias asociadas con las fuentes controladas. b) Potencia en la resistencia de 5 ohmios. Nota: Todos los elementos pasivos están en ohmios.

Analisis de Redes Electricas I (6)

by Armando Chuto

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