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Media aritmetica

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  • 1. Para otros usos de este término, véase media. Construcción geométrica para hallar las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números a y b. En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestra siendo uno de los principales estadísticos muéstrales
  • 2.  Dados los n números {a_1, a_2, ldots, a_n}, la media aritmética se define como:  bar{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} a_i = frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}  Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:  bar{x} = frac{ 8 + 5 + left ( -1 right ) }{3} = 4  Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una muestra (overline{X}), mientras que la letra µ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.  En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por n : donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística el número de datos se da el resultado
  • 3. La suma de las desviaciones con respecto a la media aritmética es cero (0). La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a una constante cualquiera se hace mínima cuando dicha constante coincide con la media aritmética. Si a todos los valores de la variable se le suma una misma cantidad, la media aritmética queda aumentada en dicha cantidad. Si todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha constante. La media aritmética de un conjunto de números positivos siempre es igual o superior a la media geométrica La media no es un dato confiable cuando hay datos extremos que toman valores muy altos o muy bajos 1 La media aritmética está comprendida entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de datos
  • 4.  LA MEDIA ARITMETICA ( X ): En una serie estadística X1, X2, X3,...,Xn, entonces la media aritmética es: ∑ Xi Ejemplo: Calcular X para: 5, 3, 6, 7, 4, 5, 3, 7 = 5 + 3 + 6 + 7 + 4 + 5 + 3 + 7 = 40 = 5 8 También es posible obtener la media aritmética ponderada
  • 5.  La sumatoria de las desviaciones de cada término respecto de la media es igual a cero. Comprobemos la anterior propiedad con un caso sencillo. Se tiene que para los datos 5, 7, 9, 11 y 13; la media aritmética es 9. La sumatoria de las desviaciones de cada término respecto de la media es la siguiente: (9 – 5) = 4 (9 – 7) = 2 (9 – 9) = 0 (9 – 11) = -2 (9 – 13) = -4 0 Se cumple que La sumatoria de las restas de cada término respecto de la media es igual a cero.
  • 6.  para 5, 7, 9, 11 y 13; la media aritmética es 9. Multipliquemos cada número por la constante 5. Obtenemos: 25, 35, 45, 55 y 65. La media aritmética de estos números es 45. Pero 45 es el producto de la constante por la media aritmética original: 5x9 = 45.  De lo anterior se concluye que la media aritmética del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la media de la variable.
  • 7.  para 5, 7, 9, 11 y 13; la media aritmética es 9. Sumémosle la constante 5 a cada dato. Obtenemos: 10, 12, 14, 16 y 18. La media de estos datos es 14. Pero 14 es 9 + 5. Lo que es lo mismo: la media aritmética original + la constante. Si en vez de sumar restamos, obtenemos:  0, 2, 4, 6 y 8. Siendo x = 4. Pero 4 es 9 – 5. Lo que es lo mismo: la media aritmética original – la constante.  De lo anterior se concluye que la media aritmética de la suma o resta de una constante y una variable es la media de la variable más o menos la constante.

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