Quantificadores, Predicados eValidadeMatemática ComputacionalProf. Aristóteles MenesesAnálise e Desenvolvimento de Sistemas
Quantificadores, Predicados e Validade• Quantificadores: são frases do tipo “para  todo”, ou “para cada”, ou “para algum”,...
• Observe a sentença: “Para todo x, x > 0”• Essa é uma proposição verdadeira sobre os  inteiros positivos.• Ela contém o q...
• O Valor lógico dessa expressão depende do domínio  dos objetos sobre os quais estamos nos  referindo, isso é, a coleção ...
• Exemplos 2:• Qual o valor lógico da expressão (∀ x )(Px) nas duas  interpretações:• A)(Px) é a propriedade que x é amare...
• Quantificador existencial: é simbolizado por ∃  , e se lê “existe”, “há pelo menos um”, “existe algum”  ou “para algum”....
• Os predicados que vimos envolvem  propriedades de uma única variável, são os  predicados unários. Mas eles podem ser  bi...
• O QUE É NECESSÁRIO PARA UMA  INTERPRETAÇÃO:• 1º) Uma coleção de objetos, chamada de conjunto  universo, que precisa incl...
• “SÍMBOLOS DE AGRUPAMENTO”, como parênteses ou  colchetes, identificam o escopo de um quantificador, a  parte da fbf à qu...
• Exemplo 5:• Na fbf (∀ x )(∃y )[ S ( x , y ) ∧L ( y , a )]• Considere a interpretação onde o conjunto  universo consiste ...
TRADUÇÃO• Muitas declarações em português podem ser  expressas como fbfs predicadas.• Exemplo:• “Todo papagaio é feio”• Si...
• ATENÇÃO: ∀ e → estão quase sempre  juntos. Analogamente, “Existe um papagaio feio”Significa que “Existe alguma coisa que...
Observe as três sentenças   Elas podem ser reescritas como:abaixo:João ama apenas Maria       Se João ama alguma coisa, en...
Declaração em               Proposição                     FbfPortuguês                   intermediária1. Todos os cachorr...
Validade• O valor lógico de uma fbf proposicional depende  dos valores lógicos atribuídos às letras de  proposição. O valo...
Exemplos: Vamos agora tentardeterminar a validade:• 1. (∀ x ) P ( x ) →(∃ x ) P ( x ) (é válida)  Se todo elemento do conj...
Como todo elemento do conjunto universo tem umadeterminada propriedade, e a é um elemento particular doconjunto universo, ...
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Quantificadores, predicados e validade

  1. 1. Quantificadores, Predicados eValidadeMatemática ComputacionalProf. Aristóteles MenesesAnálise e Desenvolvimento de Sistemas
  2. 2. Quantificadores, Predicados e Validade• Quantificadores: são frases do tipo “para todo”, ou “para cada”, ou “para algum”, isso é, frases que dizem quantos objetos, em algum sentido, tem uma determinada propriedade. O quantificador universal é simbolizado por ∀ , e se lê ”para todo”, “para qualquer” ou “para cada”.• Predicados: é a propriedade de uma determinada sentença. A notação é P (x).
  3. 3. • Observe a sentença: “Para todo x, x > 0”• Essa é uma proposição verdadeira sobre os inteiros positivos.• Ela contém o quantificador - Para todo x , e o predicado é x > 0. Logo a sentença acima pode ser simbolizada por:• (∀ x )(x > 0), mas como x > 0 é o predicado, podemos colocar ainda numa forma mais geral:• (∀ x )(Px)
  4. 4. • O Valor lógico dessa expressão depende do domínio dos objetos sobre os quais estamos nos referindo, isso é, a coleção de objetos dentre os quais x pode ser escolhido. Essa coleção se chama domínio de interpretação, ou conjunto universo.• Exemplo 1:• Se o conjunto universo consiste em todos os livros em sua biblioteca municipal.• Se (Px) é a propriedade de x ter a capa vermelha.• Logo (∀ x )(Px) diz que:” todos os livros em sua biblioteca municipal têm capa vermelha”.• É claro que o valor lógico dessa expressão, com essa interpretação, deve ser falso.
  5. 5. • Exemplos 2:• Qual o valor lógico da expressão (∀ x )(Px) nas duas interpretações:• A)(Px) é a propriedade que x é amarelo e o conjunto universo é o conjunto de todos os botões de ouro. (verdadeira)• B) (Px) é a propriedade que x é amarelo e o conjunto universo é o conjunto de todas as flores. (falsa)
  6. 6. • Quantificador existencial: é simbolizado por ∃ , e se lê “existe”, “há pelo menos um”, “existe algum” ou “para algum”.• Exemplo 3:• Se o conjunto universo consiste em todos os livros em sua biblioteca municipal.• Se (Px) é a propriedade de x ter a capa vermelha.• Logo (∃ x )(Px) diz que: „em sua biblioteca municipal tem pelo menos um livro de capa vermelha‟.É claro que o valor lógico dessa expressão, com essainterpretação, deve ser verdadeiro.
  7. 7. • Os predicados que vimos envolvem propriedades de uma única variável, são os predicados unários. Mas eles podem ser binários, se envolvem duas variáveis, ternários, envolvendo propriedades de três variáveis e assim por diante.• Exemplo: Na expressão: (∀ x) (∃ y) Q(x,y) que é lida como “para todo x existe um y tal que Q(x,y)”, há dois predicados para as duas variáveis da propriedade binária. ATENÇÂO: a ordem dos quantificadores é muitoimportante, ela altera a interpretação.
  8. 8. • O QUE É NECESSÁRIO PARA UMA INTERPRETAÇÃO:• 1º) Uma coleção de objetos, chamada de conjunto universo, que precisa incluir pelo menos um objeto.• 2º) A especificação de uma propriedade dos objetos no domínio para cada predicado na expressão.• 3º) A atribuição de um objeto particular no conjunto universo para cada símbolo constante na expressão.
  9. 9. • “SÍMBOLOS DE AGRUPAMENTO”, como parênteses ou colchetes, identificam o escopo de um quantificador, a parte da fbf à qual o quantificador se aplica.• Exemplo 4:• 1) P (x) v Q (x) não tem quantificadores• 2) (∀ x)[P ( x) →Q( x)] o escopo do quantificador é P(x) → Q(x)• 3) (∀ x)((∃ y)[ P ( x, y) ∧ Q( x, y)] →R( x)) o escopo de (∃y ) é P(x,y)∧ Q( x,y),e o escopo de (∀ x) é a expressão inteira entre parênteses.• 4) (∃x ) S ( x ) ∨ (∀y) T(y ) o escopo de (∃x ) é S(x) e o escopo de (∀ y) é T(y).
  10. 10. • Exemplo 5:• Na fbf (∀ x )(∃y )[ S ( x , y ) ∧L ( y , a )]• Considere a interpretação onde o conjunto universo consiste em todas as cidades do Brasil,• S(x,y) é a propriedade “x e y estão no mesmo estado”• L(y,z) é a propriedade “o nome da cidade y começa com a mesma letra que a cidade z”e é atribuído o valor Alfenas a a.• Logo a interpretação da fbf inteira é que “para qualquer cidade x existe uma cidade no mesmo estado que começa com a letra A”. Com essa interpretação, a fbf é verdadeira.
  11. 11. TRADUÇÃO• Muitas declarações em português podem ser expressas como fbfs predicadas.• Exemplo:• “Todo papagaio é feio”• Significa, de fato, que “Dada uma coisa, se é um papagaio, então é feio”.• Denotando por P(x) a frase “x é um papagaio” e por F(x) “x é feio”, a proposição pode ser simbolizada como:• (∀ x) [P(x) → F(x)]• A fbf (∀ x) [P(x) ∧ F(x)] seria uma tradução incorreta, pois diz que “Dado x, x é papagaio e é feio”.
  12. 12. • ATENÇÃO: ∀ e → estão quase sempre juntos. Analogamente, “Existe um papagaio feio”Significa que “Existe alguma coisa que é, ao mesmotempo, papagaio e feio”.Simbolizando: (∃ x) [P(x) ∧ F(x)]ATENÇÃO: ∃ e ∧ estão quase sempre juntos.Os advérbios “só”, “somente” e “apenas” sãoparticularmente problemáticos, pois sua colocaçãoem uma sentença pode alterar completamente osignificado.
  13. 13. Observe as três sentenças Elas podem ser reescritas como:abaixo:João ama apenas Maria Se João ama alguma coisa, então essa coisa é Maria.Apenas João ama Maria Se alguma coisa ama Maria, então essa coisa é João.João apenas ama Maria Se João tem alguma relação com Maria, essa relação é amor. Dados: A(x) é “x é um cachorro” B(y) é “y é um coelho” C(x) é “x persegue y” Observe a tabela abaixo:
  14. 14. Declaração em Proposição FbfPortuguês intermediária1. Todos os cachorros Dada uma coisa qualquer, (∀ x)[A( x) → (∀ y) (B( y)perseguem todos os se → C ( x, y))coelhos. for um cachorro, então, para qualquer outra coisa, se essa outra coisa for um coelho, então o cachorro vai persegui-lo.2. Alguns cachorros Existe uma coisa que é um (∃ x)[A( x) ∧ (∀ y) (B( y)perseguem todos os cachorro e, para qualquer → C ( x, y))]coelhos. outra coisa, se essa coisa é um coelho, então o cachorro o persegue.3. Apenas cachorros Para qualquer coisa, se é (∀ y)[B( y) → (∀ x) (C( x, y) → A( x))perseguem coelhos um coelho, então, se alguma coisa o persegue, essa coisa é um cachorro. A(x) é “x é um cachorro” B(y) é “y é um coelho” C(x) é “x persegue y”
  15. 15. Validade• O valor lógico de uma fbf proposicional depende dos valores lógicos atribuídos às letras de proposição. O valor lógico de uma fbf predicada depende da interpretação. Portanto, escolher uma interpretação para uma fbf predicada é análogo a escolher valores lógicos para um fbf proposicional.• Uma fbf predicada é válida se ela é verdadeira para todas as interpretações possíveis.• Se pudermos encontrar uma única interpretação de modo que a fbf tenha o valor falso ou não tenha valor lógico, então a fbf não é válida.• Não existe algoritmo para determinar se uma fbf predicada é válida.
  16. 16. Exemplos: Vamos agora tentardeterminar a validade:• 1. (∀ x ) P ( x ) →(∃ x ) P ( x ) (é válida) Se todo elemento do conjunto universo tem uma determinada propriedade, então existe um elemento do conjunto que tem essa propriedade. Logo sempre que o antecedente for verdadeiro o consequente também o é, o condicional é verdadeiro.• 2. (∀ x ) P ( x ) →P ( a )(é válida)
  17. 17. Como todo elemento do conjunto universo tem umadeterminada propriedade, e a é um elemento particular doconjunto universo, portanto ele tem a propriedade que todos oselementos têm.• 3. (∀ x )[ P ( x ) ∧Q ( x )] ↔(∀ x ) P ( x ) ∧(∀ x ) Q ( x )(é válida)Se P e Q forem verdadeiras para todos os elementos dodomínio, então P é verdadeira para todos os elementos e Q éverdadeira para todos os elementos, e vice-versa.( ↔ ; V V = V ou F F = V)• 4. (∃x ) P ( x ) →(∀ x ) P ( x )(não é válida)Por exemplo, como a interpretação onde o domínio é oconjunto dos inteiros e P(x) significa que x é par, é verdade queexiste um inteiro par, mas é falso que todos os inteiros sãopares. O antecedente do condicional é verdadeiro e oconseqüente é falso. Logo o condicional é falso. (→ ;VF=F)
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