Mtk

71,285 views
71,120 views

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
71,285
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
65
Actions
Shares
0
Downloads
309
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Mtk

  1. 1. Hak Cipta pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undangHak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen PendidikanNasional dari Penerbit PT. Setia Purna InvestBelajar Matematika Aktif dan MenyenangkanUntuk SMP/MTs Kelas IXSPI 03-01-20-02-036Penulis : Wahyudin Djumanta Dwi SusantiEditor : Tim Setia Purna InvesPerancang Kulit : Tim Setia Purna InvesLayouter : Tim Setia Purna InvesIlustrator : Tim Setia Purna InvesUkuran Buku : 17,6 × 25 cm 510.71 DJU DJUMANTA, Wahyudin b Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk SMP/MTs Kelas IX/oleh Wahyudin Djumanta dan Dwi Susanti. –Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2008. vi, 162 hal. : tab.; ilus.; foto., 25 cm indeks, hlm. 160-161 ISBN 979-462-974-4 1. Matematika Studi dan Pembelajaran I. Judul II. Wahyudin Djumanta III. Susanti, DwiDiterbitkan oleh Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionalTahun 2008Diperbanyak oleh ...
  2. 2. Kata Sambutan Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dankarunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, padatahun 2008, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbituntuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website) JaringanPendidikan Nasional. Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikandan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakanuntuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri PendidikanNasional Nomor 34 Tahun 2008. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada parapenulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepadaDepartemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa danguru di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepadaDepartemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak,dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yangbersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkanoleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diaksessehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang beradadi luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada parasiswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya.Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu,saran dan kritik sangat kami harapkan.Jakarta, Juli 2008Kepala Pusat Perbukuan iii
  3. 3. Kata Pengantar Pendidikan adalah modal dasar bagi peningkatan kualitas sumber dayamanusia sehingga manusia dituntut untuk terus berupaya mempelajari, memahami,dan menguasai berbagai macam disiplin ilmu untuk kemudian diaplikasikan dalamsegala aspek kehidupan. Matematika sebagai ibu dari segala ilmu pengetahuanmemegang peranan penting dalam dunia pendidikan. Oleh karena itu, Matematikamemiliki tingkat urgensitas yang tinggi karena merupakan landasan awal bagiterciptanya sumber daya manusia yang cerdas dan berkualitas. Sesuai dengan misi penerbit untuk menciptakan inovasi baru dalam duniapendidikan maka penulis dan penerbit merealisasikan tanggungjawab tersebutdengan menyediakan bahan ajar Matematika yang berkualitas dan sesuai dengankurikulum yang berlaku saat ini. Buku ini disusun dengan mengutamakan pendekatan secara inkuiri(eksperimen) dan disajikan secara sistematis, komunikatif, dan integratif, sertaadanya keruntutan rangkaian (bab dengan subbab, antarsubbab dalam bab,antaralinea dalam subbab). Sebelum mempelajari materi, sebaiknya terlebihdahulu membaca bagian Advanced Organizer yang terdapat pada halaman awalsetiap bab agar dapat mengetahui isi bab secara umum, Diagram Alur sebagaipeta jalan pemahaman materi pada setiap bab, dan Tes Apersepsi Awal sebagaievaluasi materi prasyarat untuk mempelajari bab yang bersangkutan. Di akhirsetiap bab, terdapat Ringkasan dan Refleksi yang bertujuan lebih meningkatkanpemahaman kamu tentang materi yang telah dipelajari dengan memunculkan umpanbalik untuk evaluasi diri. Buku ini dilengkapi juga dengan beberapa materi, tugas, dansoal pengayaan, diantaranya Infomatika, InfoNet, Siapa Berani?, TechnoMath, Tugasuntukmu, MatematikaRia, dan Uji Kecerdikan yang dapat memperluas wawasan danpengetahuanmu tentang materi yang sedang dipelajari. Untuk menguji pemahamanmu terhadap materi yang telah dipelajari, diberikanTes Kompetensi Subbab pada setiap akhir subbab, Tes Kompetensi Bab pada setiapakhir bab, dan Tes Kompetensi Semester pada setiap untuk menguji pemahamanmateri selama satu tahun ajaran. Semua tes kompetensi tersebut merupakan saranamengevaluasi pemahaman dan melatih kemampuan menerapkan konsep/prinsipyang berkaitan dengan materi yang telah dipelajari. Adapun Kunci Jawaban(nomor ganjil) kami sajikan untuk memudahkan Anda dalam mengevaluasi hasiljawaban. Untuk menumbuhkan daya nalar, kreativitas, dan pola berpikir matematis,kami sajikan Aktivitas yang menuntut peran aktif kamu dalam melakukan kegiatantersebut. Demikianlah persembahan kami untuk dunia pendidikan. Bandung, Juli 2008 Penulis iv
  4. 4. Daftar IsiKata Sambutan • iii Tes Kompetensi Bab 3 • 86Kata Pengantar • ivDaftar Simbol • vi Bab 4 Peluang • 89Bab 1Kesebangunan dan Diagram Alur • 90Kekongruenan • 1 A. Pengertian Peluang • 91Diagram Alur • 2 B. Frekuensi Harapan • 102A. Bangun-Bangun yang Sebangun dan Ringkasan • 104 Kongruen • 3 Refleksi • 104B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun • 10 Tes Kompetensi Bab 4 • 105C. Dua Segitiga yang Kongruen • 17 Tes Kompetensi Semester 1 • 108Ringkasan • 26 Bab 5Refleksi • 27 Pangkat Tak Sebenarnya • 111Tes Kompetensi Bab 1 • 27 Diagram Alur • 112Bab 2 A. Bilangan Rasional BerpangkatBangun Ruang Sisi Lengkung • 31 Bilangan Bulat • 113Diagram Alur • 32 B. Bentuk Akar dan PangkatA. Unsur-Unsur dan Luas Permukaan Pecahan • 123 Bangun Ruang Sisi Lengkung • 33 Ringkasan • 132B. Volume Bangun Ruang Sisi Refleksi • 133 Lengkung • 43 Tes Kompetensi Bab 5 • 133Ringkasan • 52 Bab 6Refleksi • 53 Barisan dan Deret Bilangan • 135Tes Kompetensi Bab 2 • 53 Diagram Alur • 136Bab 3 A. Pola Bilangan • 136Statistika • 57 B. Barisan dan Deret Bilangan • 141Diagram Alur • 58 Ringkasan • 151A. Pengumpulan dan Penyajian Refleksi • 152 Data • 59 Tes Kompetensi Bab 6 • 152B. Ukuran Pemusatan Data • 69 Tes Kompetensi Semester 2 • 154C. Ukuran Penyebaran Data • 79 Tes Kompetensi Akhir Tahun • 156D. Distribusi Frekuensi • 83 Kunci Jawaban • 158Ringkasan • 85 Glosarium • 159Refleksi • 86 v
  5. 5. Daftar Simbol sudut alpha+ tambah; plus; positif beta– kurang; minus; negatif gamma kali // r sejajar u: bagi ABr ruas garis sebanding dengan u | AB | panjang ruas garis∆ segitiga kongruen= sama dengan tegak lurus≠ tidak sama dengan π phi (3,141592 ...) sedemikian hingga; maka ° derajat akar kuadrat sebangun vi
  6. 6. Bab 1 Sumber: i160.photobucket.comKesebangunandan Kekongruenan Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan cara mengidentifikasi bangun-bangun datar yang sebangun dan kongruen, mengidentifikasi sifat-sifat dua segitiga sebangun dan kongruen, serta menggunakan konsep kesebangunan segitiga dalam pemecahan masalah.Kamu telah mempelajari perbandingan di Kelas VII. A. Bangun-BangunPerbandingan merupakan sifat dasar dalam konsep yang Sebangunkesebangunan dan kekongruenan. dan Kongruen Kesebangunan sangat penting peranannya dalam B. Segitiga-Segitigakehidupan sehari-hari seperti uraian berikut. yang Sebangun Lima orang anak ingin mengukur lebar sungai. Oleh C. Dua Segitiga yangkarena secara langsung tidak memungkinkan, kegiatan Kongruenpengukuran dilakukan secara tidak langsung. Mereka berhasilmenandai tempat-tempat A, B, C, D, dan E seperti tampakpada gambar berikut. D B A Setelah dilakukan pengukuran,diperoleh AB = 4 m, BC = 3 m, dan CDE = BF = 12 m. Berapa meter lebarsungai itu? Untuk menjawabnya,pelajarilah bab ini dengan baik. E F 1
  7. 7. Diagram Alur Kesebangunan dan Kekongruenan perbedaan Sebangun Kongruen syarat syarat Bentuk dan ukurannya sama besar.Panjang sisi yang Sudut yangbersesuaian memiliki bersesuaian sifatperbandingan sama besar.senilai. Sisi-sisi yang Dua sisi yang Dua sudut yang Dua sudut yang bersesuaian bersesuaian bersesuaian bersesuaian aplikasi sama panjang sama panjang sama besar sama besar (s.s.s) dan sudut yang dan sisi yang dan sisi yang Segitiga yang diapitnya sama berada di berada di Sebangun besar (s.sd.s). antaranya hadapannya sama panjang sama panjang aplikasi (sd.s.sd). (sd.sd.s). Menentukan perbandingan aplikasi ruas garis pada segitiga. Menentukan garis dan besar sudut dari bangun geometri. Tes Apersepsi AwalSebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di bukulatihanmu.1. Suatu peta digambar dengan skala 4. Perhatikan gambar segitiga berikut ini. 1 : 500.000. Berapakah jarak pada Tentukan nilai . peta jika jarak sesungguhnya 25 km?2. Jika harga 6 buah penggaris adalah Rp2.700,00, berapakah harga 9 buah 38° 75° penggaris tersebut? 5. Perhatikan gambar berikut ini. D3. Sebutkan dan gambarkan jenis-jenis a. Tentukan besar DEC segitiga ditinjau dari: b. Tentukan besar BEC. 110° a. panjang sisinya; c. Tentukan sudut yang A E C b. besar sudutnya. saling bertolak belakang. B2 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  8. 8. A. Bangun-Bangun yang Sebangun dan Kongruen D C1. Foto BerskalaContoh kesebangunan yang sering kamu jumpai dalam 24 mmkehidupan sehari-hari adalah foto berskala, seperti terlihat A 36 mm Bpada Gambar 1.1. Sumber: Dokumentasi Penerbit Gambar 1.1(a) memperlihatkan sebuah film negatif aABCD berukuran panjang 36 mm dan lebar 24 mm. Setelah D Cdicetak, film negatif tersebut menjadi foto A B C Dberukuran panjang 180 mm dan lebar 120 mm. Pada dasarnya, pengertian skala pada foto sama dengan 120 mmskala pada peta. Hanya saja, perbandingan antara ukuranpada foto dan ukuran sebenarnya tidak sebesar perbandingan A 180 mm Bantara ukuran pada peta dan ukuran sebenarnya. Satu Sumber: i160.photobucket.comsentimeter pada peta mewakili beberapa kilometer pada bukuran sebenarnya, sedangkan satu sentimeter pada fotobiasanya mewakili beberapa sentimeter atau beberapa meter Gambar 1.1saja dari ukuran sebenarnya. Skala pada peta ialah perbandingan antara ukuran pada peta dan ukuran sebenarnya. 7 cmContoh 1.1 2,5 cm Sumber: www.tuningnews.netAmati gambar dari foto sebuah mobil seperti dalam Gambar1.2. Jika panjang mobil sebenarnya 3,5 m, berapa tinggi mobil Gambar 1.2sebenarnya?Penyelesaian: SiapaUntuk menentukan tinggi mobil sebenarnya, langkah pertama Berani?yang harus kamu lakukan adalah menentukan skala fototersebut. 1. Seorang anak yang tingginya 1,5 m difoto.Perbandingan antara panjang dalam foto dan panjang sebenar- Jika skala foto tersebutnya adalah 7 cm : 3,5 m adalah 1 : 20, berapa sentimeter tinggi anak 7 cm : 350 cm dalam foto? 1 cm : 50 cm. 2. Lebar sebuah rumahJadi, skala dari foto tersebut adalah 1 : 50. Oleh karena tinggi dalam foto adalah 5 cm. Jika skala fotomobil dalam foto 2,5 cm maka tinggi mobil sebenarnya adalah tersebut 1 : 160,2,5 cm 50 = 125 cm. berapa meter lebarJadi, tinggi mobil sebenarnya adalah 1,25 m. rumah sebenarnya? Kesebangunan dan Kekongruenan 3
  9. 9. 2. Pengertian Kesebangunan Pada Gambar 1.3 diperlihatkan tiga bangun persegipanjang yang masing-masing berukuran 36 mm 24 mm, 180 mm 120 mm, dan 58 mm 38 mm. D‘ C‘ S R D C 120 mm 38 mm 24 mm Gambar 1.3 A 36 mm B A‘ 180 mm B‘ P 58 mm Q Perbandingan antara panjang persegipanjang ABCD dan panjang persegipanjang ABCD adalah 36 : 180 atau 1 : 5. Demikian pula dengan lebarnya, perbandingannya 24 : 120 atau 1 : 5. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu memiliki perbandingan senilai (sebanding). Perbandingan sisi yang bersesuaian dari kedua persegi- Tugas panjang tersebut, yaitu sebagai berikut. untukmu AB BC DC AD 1Amatilah persegipanjang AB B C D C A D 5ABCD dan persegipanjangPQRS pada Gambar 1.3. Oleh karena semua sudut persegipanjang besarnyaCoba kamu selidiki 90° (siku-siku) maka sudut-sudut yang bersesuaian daribersama kelompokbelajarmu, apakah kedua persegipanjang itu besarnya sama. Dalam hal ini,persegipanjang ABCD persegipanjang ABCD dan persegipanjang ABCD memilikisebangun denganpersegipanjang PQRS? sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaianPresentasikan hasil yang sama besar. Selanjutnya, kedua persegipanjang tersebutpenyelidikanmu di depankelas bergantian dengan dikatakan sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangunkelompok lain. dengan persegipanjang ABCD. Selanjutnya lakukan Tugas untukmu di samping. Sekarang amati Gambar 1.4. G Z M L E X Gambar 1.4 F K a b Y c Ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut EFG dan XYZ. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar, akan diperoleh hubungan berikut. (i) EF FG EG ; XY YZ XZ (ii) E = X, F = Y, dan G = Z.4 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  10. 10. Oleh karena sisi-sisi yang bersesuaian sebanding dan Tugassudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka EFG untukmusebangun dengan XYZ. Amatilah ∆EFG dan Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum ∆KLM pada Gambar 1.4. Coba kamu selidikiuntuk setiap bangun datar. bersama kelompok belajarmu, apakah ∆EFG Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi sebangun dengan ∆KLM? dua syarat berikut. Presentasikan hasil penyelidikanmu di depan 1) Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun kelas bergantian dengan itu memiliki perbandingan senilai. kelompok lain. 2) Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu sama besar.Contoh 1.2 D CAmati Gambar 1.5.a. Selidikilah apakah persegi ABCD sebangun dengan persegi EFGH?b. Selidikilah apakah persegi ABCD dan belahketupat PQRS A 4 cm B sebangun? H Gc. Selidikilah apakah persegi EFGH sebangun dengan belahketupat PQRS? Jelaskan hasil penyelidikanmu.Penyelesaian:a. Amati persegi ABCD dan persegi EFGH. E 5 cm F (i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah S AB BC DC AD 4 EF FG HG EH 5 Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi ABCD dan P R persegi EFGH sebanding. 4 cm (ii) Bangun ABCD dan EFGH keduanya persegi sehingga Q besar setiap sudutnya 90°. Dengan demikian, sudut- Gambar 1.5 sudut yang bersesuaian sama besar. Berdasarkan (i) dan (ii), persegi ABCD dan persegi EFGH sebangun. Catatanb. Amati persegi ABCD dan belahketupat PQRS. Salah satu syarat (i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah kesebangunan adalah AB BC DC AD 4 sudut-sudut yang PQ QR SR PS 4 bersesuaian sama besar. Maksud dari kata sama Jadi, panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi besar adalah ukuran ABCD dan belahketupat PQRS sebanding. sudutnya sebanding, (ii) Besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sebagai sehingga pada Gambar 1.5 dapat dituliskan: berikut. A = E, B = F, A ≠ P, B ≠ Q, C ≠ R, dan D ≠ S. C = G = D = H. Kesebangunan dan Kekongruenan 5
  11. 11. Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar. Berdasarkan (i) dan (ii), persegi ABCD dan belahketupat PQRS tidak sebangun. c. Telah diketahui bahwa persegi ABCD sebangun dengan persegi EFGH, sedangkan persegi ABCD tidak sebangun D C dengan belahketupat PQRS. Dengan demikian, persegi EFGH tidak sebangun dengan belahketupat PQRS. 5 cm A 2 cm B Contoh 1.3 R Q 1. Amati Gambar 1.6. 6 cm Jika persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS, hitung panjang QR. S P Penyelesaian: Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah Gambar 1.6 sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Oleh karena itu, K AB BC 2 5 2QR = 30 QR = 15 PQ QR 6 QR 125° Jadi, panjang QR adalah 15 cm. L 80° N 2. Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS pada Gambar 1.7 sebangun, tentukan besar R dan S. M Penyelesaian: P Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar sehingga P = S Q 125° dan Q = 80°. PQRS. Menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang ber- R hadapan sama besar sehingga R = P = 125°. Gambar 1.7 360° maka P + Q + R + S = 360° 125° + 80° + 125° + S = 360° S = 360° – 330° = 30° a 3. Pengertian KekongruenanD C F Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang, biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagaiA B E tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti tampak pada Gambar 1.8(a). b Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara Gambar 1.8 geometri seperti berikut. 6 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  12. 12. Gambar 1.8(b) adalah gambar permukaan lantai yang Siapaakan dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi Berani?garis-garis sejajar. Jika ubin ABCD digeser searah AB (tanpa Berikut ini adalah sketsadibalik), diperoleh A B, B E, D C, dan C F sehingga tambak udang milik Pakubin ABCD akan menempati ubin BEFC. Akibatnya, Budi 100 mAB BE sehingga AB = BEBC EF sehingga BC = EF 100 mDC CF sehingga DC = CF 200 m 45°AD BC sehingga AD = BC Pak Budi akan membagi tambaknya menjadi 4 DAB CBE sehingga DAB = CBE bagian yang sama dan ABC BEF sehingga ABC = BEF berbentuk trapesium juga, seperti bentuk BCD EFC sehingga BCD = EFC asalnya. Gambarlah ADC BCF sehingga ADC = BCF olehmu tambak udang yang telah dibagi empatBerdasarkan uraian tersebut, diperoleh tersebut.a. sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama panjang, danb. sudut-sudut yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama besar. Hal tersebut menunjukkan bahwa persegipanjang ABCDdan persegipanjang BEFC memiliki bentuk dan ukuranyang sama. Dua persegipanjang yang demikian dikatakankongruen. Sekarang amati Gambar 1.9. Ukurlah panjang sisidan besar sudut-sudut segienam ABCDEF dan segienam E DPQRSTU. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar,diperoleh hubungan F C(i) AB = BC = CD = DE = EF = FA = PQ = QR = RS = ST = TU = UP A B(ii) A = B = C = D = E = F = P = Q = R T S = S = T = U. R Oleh karena itu, segienam ABCDEF kongruen dengan Usegienam PQRSTU. P Q Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut K Jsegienam GHIJKL. Kemudian, bandingkan dengan unsur-unsur segienam ABCDEF. Dari hasil pengukuran tersebut, L Idiperoleh hubungan G H(i) A = B = C = D = E = F = G = H = I = J= K= L Gambar 1.9(ii) AB ≠ GH, BC ≠ HI, CD ≠ IJ, DE ≠ JK, EF ≠ KL, FA ≠ LG. Kesebangunan dan Kekongruenan 7
  13. 13. Berdasarkan (i) dan (ii), dapat disimpulkan bahwa segienam ABCDEF tidak kongruen dengan segienam GHIJKL. Sekarang lakukan Tugas untukmu di samping. Berdasarkan uraian dan tugas tersebut diperoleh gambaran bahwa dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen. Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk setiap bangun datar. Contoh 1.4 Amati Gambar 1.10. a. Selidiki apakah persegipanjang ABCD D C kongruen dengan persegipanjang 6 cm PQRS? InfoNet b. Selidiki apakah persegipanjang ABCD A B 8 cm sebangun dengan persegipanjang S RKamu dapat menambah PQRS?wawasanmu tentang materi 10 cm Jelaskan hasil penyelidikanmu. 6 cmdalam bab ini denganmengunjungi alamat: Penyelesaian:bicarisme.files.wordpress. Q Unsur-unsur persegipanjang ABCD Pcom/2008/03/soal-bangun- Gambar 1.10datar.doc adalah AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan A = B = C = D = 90°. Amati persegipanjang PQRS dengan diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil Pythagoras seperti berikut. PQ = ( )2 (Q )2 102 62 64 = 8 Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8 cm, PS = QR = 6 cm, dan P = Q = R = S = 90°. a. Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang PQRS. b. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.8 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  14. 14. Tes Kompetensi 1.1Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Ukuran lebar dan tinggi sebuah slide a. Selidiki apakah belahketupat EFGH (film negatif) berturut-turut 36 mm dan sebangun dengan belahketupat PQRS? 24 mm. Jika lebar pada layar 2,16 m, b. Selidiki apakah belahketupat EFGH tentukan tinggi pada layar. kongruen dengan belahketupat PQRS?2. Amati gambar berikut. Jelaskan hasil penyelidikanmu. C Q 3 cm P 6. Pasangan bangun-bangun berikut adalah 10 cm sebangun, tentukan nilai x. 4 cm a. x 3 cm A 8 cm B R a. Tentukan panjang AC dan QR. 8 cm 6 cm b. Apakah ABC sebangun dengan b. PQR? Jelaskan jawabanmu. x 5 cm3. Amati gambar berikut. U T N M 14 cm 8 cm 7. Perhatikan gambar berikut. N M H G R S K L 110° 4 cm 6 cm Pada gambar tersebut, jajargenjang RSTU 70° sebangun dengan jajargenjang KLMN. E 6 cm F K 9 cm L Jika KL = 6 cm, LM = 4 cm, dan RS = 15 Trapesium EFGH dan trapesium KLMN cm, tentukan: adalah trapesium sama kaki. Tunjukkan a. panjang KN dan MN; bahwa trapesium EFGH sebangun dengan b. panjang ST, TU, dan RU. trapesium KLMN.4. Amati gambar berikut. D 3 cm 8. Amati foto berikut. Jika layang-layang ABCD A Foto tersebut mempunyai skala C sebangun dengan layang- 1 : 65. Tentukan tinggi sebenarnya layang BEFC, tentukan: 6 cm orang yang ada di foto tersebut. B F a. panjang CF; b. panjang EF.5. Amati gambar berikut. Sumber: Dokumentasi Penerbit G E 9. Trapesium ABCD sebangun dengan tra- Q 13 cm pesium PQRS. 12 cm P 12 cm Q 5 cm A 9 cm B H 5 cm F P R 18 cm S 85° D C S R E Kesebangunan dan Kekongruenan 9
  15. 15. a. Tentukan panjang PS. 11. Diketahui tinggi b. Tentukan besar PQR. Monas pada gambar c. Tentukan besar BCD. di samping 4,4 cm. d. Tentukan besar BAD. Jika skalanya 1 : 4,4 cm D 3.000, tentukanlah10. Segilima ABCDE R C tinggi Monas sebangun dengan sesungguhnya. segilima PQCRS. S Q Panjang AB = 7,5 E P B 12. Bagilah bangun berikut menjadi dua cm, BC = 4,2 cm, bagian yang sama dan sebangun. CD = 3 cm, A PS = 1 cm, SR = 2,5 cm, dan RC = 2 cm. Tentukan panjang: a. AE; b. QC; Selanjutnya, susunlah kembali kedua c. DE; bagian tersebut sehingga membentuk d. PQ. bermacam-macam bangun. Cobalah, bangun-bangun apa saja yang dapat kamu peroleh? T R B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun P 1. Syarat Dua Segitiga Sebangun Amati Gambar 1.11. S Q Pada gambar tersebut, QR sejajar dengan ST (QR // ST). Gambar 1.11 Ukurlah panjang PS, PQ, PT, PR, ST, dan QR. Ukur C pula besar TPS, RPQ, PTS, PRQ, PST, dan a b a PQR. Berdasarkan hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan berikut: A B c (i) PS PT ST ; b M PQ PR QR 2b 2a (ii) TPS = RPQ, PTS = PRQ, PST = PQR. Jadi, PST sebangun dengan PQR. Selanjutnya, amati K 2c L Gambar 1.12(a). Pada gambar tersebut, ABC adalah segi- R tiga dengan c AB = c; BC = a; AC = b A= ; B= ; C= . Jika kamu buat segitiga lain yang panjang sisi-sisi P Q bersesuaiannya dua kali panjang sisi-sisi ABC maka Gambar 1.12 diperoleh KLM seperti pada Gambar 1.12(b).10 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  16. 16. Dengan demikian, KL = 2AB = 2c, LM = 2BC = 2a, dan InfoMatika AB BC AC 1KM = 2AC = 2b. Sehingga . KL LM KM 2 Selanjutnya, ukurlah sudut-sudut KLM. Daripengukuran tersebut, akan diperoleh hubungan berikut: A= K= B= L= C= M=Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.Jadi, ABC dan KLM sebangun. Pada Gambar 1.12(c), PQR dibuat sedemikian rupa Thales (624 S.M.–546 S.M.)sehingga P = A = , Q = B = , dan R = C = . Kira-kira 2.500 tahun Ukurlah panjang sisi-sisi PQR. Dari pengukuran yang lalu, seorang ahlitersebut, kamu akan memperoleh hubungan berikut. Matematika Yunani, Thales, mengungkapkanAB BC AC gagasan yang fenomenal.PQ QR PR Ia dapat menghitung tinggi piramida dariSisi-sisi yang bersesuaian sebanding. panjang bayangan suatuJadi, ABC dan PQR sebangun. tongkat. A Uraian tersebut menunjukkan bahwa dua segitiga yangsisi-sisi bersesuaiannya sebanding maka sudut-sudut yang Dbersesuaiannya sama besar. Hal ini berarti bahwa dua segitiga B C Eyang sisi-sisi bersesuaiannya sebanding adalah sebangun. Thales menggunakan kenyataan bahwa Sebaliknya, jika dua segitiga memiliki sudut-sudut segitiga besar ABC yangbersesuaian yang sama besar maka sisi-sisi yang bersesuaiannya dibentuk oleh piramida dan bayangannya,sebanding. Hal ini berarti bahwa dua segitiga yang memiliki sebangun dengansudut-sudut bersesuaian sama besar adalah sebangun. segitiga kecil DCE yang dibentuk oleh tongkat Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menerka dan bayangannya. Olehsuatu syarat dua segitiga sebangun? Cobalah nyatakan syarat karena itu, diperoleh persamaandua segitiga sebangun dengan kata-katamu sendiri. AB DC Dua segitiga dikatakan sebangun jika sisi-sisi yang ber- BC CE Thales dapat mengukur sesuaian sebanding atau sudut-sudut yang bersesuaian panjang BC, CD, dan sama besar. CE. Dengan demikian, ia dapat menghitung AB (tinggi piramida)Contoh 1.5 menggunakan persamaan tersebut. A Sumber: Matematika, Khazanah1. Coba kamu selidiki apakah Pengetahuan bagi Anak-Anak, A ABC dan ABC pada gambar 1979 di samping sebangun? Jelaskan 8 5 hasil penyelidikanmu. B 6 C B 3 C Kesebangunan dan Kekongruenan 11
  17. 17. Penyelesaian: InfoNet Amati ABC. (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 (AC)2 = 82 + 62Kamu dapat menemukaninformasi lebih lanjut (AC)2 = 100 AC = 100 = 10tentang materi ini Jadi, AC = 10.dari internet denganmengunjungi alamat Amati ABCartofmathematics. (AB)2 = (AC)2 – (BC)2 (AB)2 = 52 – 32wordpress.com (AB)2 = 25 – 9 (AB)2 = 16 AB = 16 = 4 Oleh karena itu, AB = 8 = 2; BC = 6 = 2; AC = 10 = 2. C AB 4 B C 3 A C 5 E Berarti, AB = BC = AC . AB B C A C Jadi, ABC sebangun dengan ABC.A D B 2. Amati Gambar 1.13. Gambar 1.13 a. Jika DE // BC, apakah ADE sebangun dengan ABC? b. Jika BC = 6 cm, CE = 3 cm, dan AE = 6 cm, tentukan panjang DE. Penyelesaian: a. Pada DE dan ABC tampak bahwa DAE = BAC (berimpit) Siapa Berani? ADE = ABC (sehadap) AED = ACB (sehadap) Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian dari ABC dan 1. Diketahui PQR dan XYZ dengan unsur- ADE sama besar sehingga ABC sebangun dengan unsur sebagai berikut. ADE. PQR = 40°, PRQ = 65°, b. ADE sebangun dengan ABC. Oleh karena itu, YXZ = 75°, DE = AE DE = AE XYZ = 35°. BC AC BC AE CE Selidikilah apakah PQR dan XYZ DE = 6 sebangun? Jelaskan. 6 6 3 2. Amati gambar berikut. P DE = 4 4 cm 10 cm Jadi, DE = 4 cm. S xxcm cm 3 cm T (x + 30) cm 30) 7,5 cm Q R Aktivitas 1.1 a. Apakah PQR sebangun dengan Tujuan: Mengukur tinggi pohon menggunakan konsep PST? Jelaskan. b. Jika PQR kesebangunan. sebangun dengan Cara Kerja: PST tentukan nilai x. 1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 4 sampai dengan 6 orang. 2. Carilah sebuah pohon di sekitar rumah atau sekolah.12 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  18. 18. 3. Ambil sebuah tongkat yang telah diukur panjangnya. E4. Tancapkan tongkat tersebut di ujung bayangan pohon. Amati Gambar 1.14.5. Hitung panjang bayangan tongkat dan bayangan pohon. Kemudian, jawab pertanyaan berikut. D a. Apakah ABE sebangun dengan BCD? b. Dengan menggunakan perhitungan, tentukan tinggi pohon tersebut. A B C Presentasikanlah hasil kegiatanmu di depan kelas. Gambar 1.14Petunjuk: Kegiatan dilakukan sekitar pukul 09.00 atau pukul 16.00 pada saat cuaca sedang cerah.2. Perbandingan Ruas Garis pada SegitigaAmati Gambar 1.15. Pada gambar tersebut, diketahui bahwa R rST // PR. Oleh karena itu, T t1) SQT = PQR (berimpit) s u2) TSQ = RPQ (sehadap) p q3) STQ = PRQ (sehadap) P S Q Berdasarkan (1), (2), dan (3), diperoleh SQT sebangun Gambar 1.15dengan PQR sehingga SQ TQ ST ... (*) PQ RQ PR Jika PS = p, SQ = q, RT = r, TQ = s, PR = t, dan ST = u,dengan p ≠ 0, q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, t ≠ 0, u ≠ 0, seperti tampak Tugaspada Gambar 1.15 maka persamaan (*) menjadi untukmu q s u Coba kamu selidiki. p q r s t Jelaskan mengapa p ≠ 0, q s . q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, t ≠ 0,Sekarang, amati perbandingan senilai dan u ≠ 0? p q r sJika kamu kalikan kedua ruas dengan (p + q)(r + s),diperoleh q (p + q) (r + s) = s (p + q) (r + s) p q r s q (r + s) = s (p + q) qr + qs = ps + qs qr + qs – qs = ps + qs – qs qr = ps q s p r Kesebangunan dan Kekongruenan 13
  19. 19. Jadi, perbandingan ruas garis pada segitiga seperti tampak pada Gambar 1.15 adalah sebagai berikut. q s p r R q s dapat dikatakan bahwa Berdasarkan perbandingan p r S jika dalam suatu segitiga terdapat garis yang sejajar dengan salah satu sisi segitiga maka garis tersebut akan membagi sisi lainnya dengan perbandingan yang sama. Selanjutnya, amati Gambar 1.16. P Q Coba kamu selidiki, apakah PQR sebangun dengan QSR? Gambar 1.16 Pada gambar tersebut tampak bahwa: 1) PQR = QSR (siku-siku); 2) QRP = QRS (berimpit). Berdasarkan (1) dan (2), diperoleh QPR = RQS. Mengapa? Coba kamu jelaskan. Oleh karena itu, PQR sebangun dengan QSR sehingga berlaku hubungan QR = SR atau QR 2 = SR · PR. PR QR Contoh 1.6 1. Amati Gambar 1.17. Tentukan panjang OM. O Penyelesaian: MPO sebangun dengan MON sehingga OM = MP MN OM M 3 cm 9 cm N (OM)2 = MP · MN P (OM)2 = 3 · 12 Gambar 1.17 (OM)2 = 36 OM = 6 cm Jadi, panjang OM = 6 cm.D B A 2. Lima orang anak ingin mengukur lebar sungai. Oleh karena secara langsung tidak memungkinkan, kegiatan pengukuran C dilakukan secara tidak langsung. Mereka berhasil menandai tempat-tempat A, B, C, D, dan E seperti tampak pada Gambar 1.18. Setelah dilakukan pengukuran, diperoleh AB = 4 m, BC = 3E F m, dan DE = 12 m. Jika BF sejajar DE, berapa meter lebar sungai itu? Gambar 1.1814 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  20. 20. Penyelesaian: Langkah 1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan pada soal. Diketahui : AB = 4 m, BC = 3 m, dan DE = BF = 12 m. Ditanyakan : Lebar sungai (BD)? Langkah 2 Menentukan konsep apa yang akan digunakan untuk menjawab soal. Konsep yang digunakan adalah segitiga-segitiga yang sebangun. Siapa Langkah 3 Berani? Melakukan perhitungan dengan menggunakan konsep kese- bangunan, sebagai berikut. Amati Gambar 1.18 pada soal. Amati gambar berikut. P Dari pengamatan yang teliti, diperoleh ABC sebangun A Q dengan ADE, sehingga B R AB = BC C Titik P, Q, dan R AD DE berturut-turut terletak 4 pada perpanjangan AC, = 3 AB, dan BC suatu ABC. AB BD 12 Jika P, Q, dan R segaris, 4 12 = 3(AB + BD) kedua ruas kalikan 12 (AB + BD) buktikan bahwa 48 = 3(4 + BD) substitusikan AB = 4 AQ BR CP =1 4 + BD = 16 kedua ruas bagi dengan 3 QB RC PA BD = 12 Jadi, lebar sungai itu adalah 12 meter. Tes Kompetensi 1.2Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Amati gambar berikut. 2. Amati gambar berikut. M C T R 9 cm 50° 6 cm 15 cm 10 cm K R 12 cm 8 cm 65° P Q S A B L a. Buktikan bahwa KLM sebangun a. Buktikan bahwa ABC sebangun dengan RST. dengan PQR. b. Tentukan pasangan-pasangan sudut b. Tentukan pasangan sisi-sisi yang yang sama besar. bersesuaian. Kesebangunan dan Kekongruenan 15
  21. 21. 3. Amati gambar berikut. 8. Diketahui ABC sebangun dengan PQR. A P Jika BAC = 50° dan ABC = 68°, tentukan besar QPR, PQR, dan PRQ. R O 9. Q q p t B a. Buktikan bahwa AOB sebangun P S Q dengan POQ. r b. Jika AB = 12 cm, PQ = 8 cm, dan Pada gambar berikut, PRQ siku-siku, AQ = 24 cm, tentukan panjang OA begitu juga dengan PSR. Nyatakan t dan OQ. dalam p, q, dan r. A4. Amati gambar berikut. 10. Amati gambar berikut. Diketahui BC // ED. A D a. Buktikan bahwa E D E ABC sebangun 6m dengan AED. B C b. Jika EB = 6 cm, BC = 10 cm, dan F DE = 4 cm, tentukan panjang AE. B C5. Jika ABC dan PQR pada soal berikut 8m sebangun, tentukan nilai x dan y. Berdasarkan gambar di atas, tentukan: a. A P a. panjang AC; c. panjang AE; b. panjang CF; d. luas ADF. y 11. Pak Amir akan membuat dua buah papan 118° x reklame berbentuk segitiga samasisi. 28° B C Q R Menurut pemesannya, perbandingan sisi b. C kedua papan itu 3 : 7 dan selisih kedua R 6 cm y cm sisinya 16 dm. Tentukanlah panjang sisi x cm 8 cm dari setiap segitiga itu. A 15 cm BP 10 cm Q 12. Amati gambar berikut. H6. Diketahui ABC sebangun dengan PQR. G F Jika AB = 6 cm, AC = 8 cm, BAC = 60°, dan PR = 10 cm, tentukan besar QRP D C dan panjang PQ. E 3 cm7. Amati gambar berikut. I C Q A B 4 cm A Dari gambar tersebut, buktikan: B 3 cm P x cm a. DCG sebangun dengan IBC, a. Selidiki apakah ABC sebangun b. DCG sebangun dengan HGF. dengan APQ? Jelaskan. Kemudian, tentukan panjang CI, b. Jika ABC sebangun dengan APQ IB, HG, dan HF. tentukan nilai x.16 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  22. 22. 13. Diketahui ABC dan PQR kedua- a. Sketsalah beberapa kemungkinan duanya samakaki. Jika besar salah satu bentuk geometri kedua segitiga itu sudut dari ABC adalah 80° dan besar dan tentukan besar semua sudutnya. salah satu sudut dari PQR adalah 50°, b. Apakah ABC dan PQR sebangun? jawablah pertanyaan berikut. Jelaskan.C. Dua Segitiga yang KongruenPerhatikan Gambar 1.19. Ukurlah panjang sisi dan besar sudut segitiga ABC dan Csegitiga PQR. Jika kamu melakukan pengukuran denganbenar, diperoleh hubungan: (i) AB = PQ, BC = QR, dan AC = PR. (ii) A = P, B = Q, dan C = R. A B Oleh karena itu, ABC kongruen dengan PQR. R Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut KLM.Kemudian, bandingkan dengan unsur-unsur ABC. Darihasil pengukuran tersebut, diperoleh hubungan berikut. (iii) AB ≠ KL, BC ≠ LM, dan AC ≠ KM. P Q (iv) A = K, B = L, dan C = M. M Berdasarkan (iii) dan (iv) dapat diketahui bahwa BCtidak kongruen dengan KLM. Akan tetapi, AB BC AC KL LM KM K L Dengan demikian, ABC sebangun dengan KLM. Gambar 1.19 Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menerkapengertian dua segitiga yang kongruen? Cobalah nyatakanpengertian dua segitiga yang kongruen dengan kata-katamusendiri. Dua segitiga yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua segitiga yang sebangun belum tentu kongruen. G H I1. Sifat Dua Segitiga yang KongruenGambar 1.20 menunjukkan sebagian dari pola pengubinan D E Fsegitiga-segitiga yang kongruen.Apabila ABD digeser ke kanan tanpa memutar dengan arah A B C ur uuu AB maka diperoleh Gambar 1.20 Kesebangunan dan Kekongruenan 17
  23. 23. A B (A menempati B) B C (B menempati C) Siapa D E (D menempati E) Berani? AB BC sehingga AB = BC BD CE sehingga BD = CE Amati gambar berikut. AD BE sehingga AD = BE E C Hal ini menunjukkan bahwa dua segitiga yang kongruen memenuhi sifat umum berikut. B Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. A D ur uuu AE diputar setengah putaran dengan pusat B Dalam penggeseran ABE dengan arah AB , diperoleh pula sehingga bayangannya DAB EBC sehingga EAB = FBC CD. Akibatnya, ABE kongruen dengan CBD. DBA ECB sehingga DBA = ECB Jika BE = 6 cm, ADB BEC sehingga ADB = BEC AE = 8 cm, BC = 5 cm, BAE = 60°, dan Hal ini menunjukkan bahwa dua segitiga yang kongruen ABE = 70°, tentukan: memenuhi sifat umum berikut. a. panjang BD dan AB; b. besar BDC, CBD, Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. dan BCD. Contoh 1.7 1. Pada gambar di samping, PQ diputar setengah putaran dengan pusat O (titik O di luar PQ) sehingga bayangannya P Q P’Q’. Selidiki apakah POQ kongruen dengan POQ ? Jelaskan hasil penyelidikanmu. O Penyelesaian: Q PQ diputar setengah putaran terhadap pusat O, diperoleh P a. PQ PQ sehingga PQ = PQ C P Q PO PO sehingga PO = PO QO QO sehingga QO = QO 18 cm b. QPO QPO sehingga QPO = QPO 54° 62° PQO PQO sehingga PQO = PQOA 20 cm B R POQ POQ sehingga POQ = POQ Dari penjelasan (a) dan (b) maka POQ kongruen dengan POQ , ditulis POQ POQ. 2. Pada gambar di samping, ABC kongruen dengan PQR. Tentukan: a. besar ACB dan PQR; b. panjang sisi QR. Penyelesaian: a. ABC kongruen dengan PQR maka ACB = PRQ = 62° ABC = 180° – ( BAC + ACB) 18 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  24. 24. = 180° – (54° + 62°) = 64° Siapa PQR = ABC = 64°. Berani? b. ABC kongruen dengan PQR maka Coba kamu selidiki QR = BC = 18 cm. persamaan dan perbedaan antara dua segitiga yang sebangun dan dua segitiga yang2. Syarat Dua Segitiga Kongruen kongruen.Pada bagian sebelumnya, kamu sudah mengetahui bahwa dua C Rsegitiga akan kongruen jika sisi-sisi yang bersesuaian samapanjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Dengandemikian, kamu harus menghitung setiap panjang sisi danbesar sudut kedua segitiga untuk membuktikan kekongruenandua segitiga tersebut. Tentunya hal ini akan menyita waktu. A B P QApakah kamu tahu cara lain yang lebih efektif? Gambar 1.21a. Sisi-Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang (s.s.s) Tugas untukmuAmati Gambar 1.21. Pada gambar tersebut, AB = PQ, BC= QR, dan AC = PR. Ukurlah besar sudut-sudut dari kedua Gambarlah lima pasang segitiga sebarang yangsegitiga tersebut. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan sisi-sisi bersesuaiannyamemperoleh hubungan A = P; B = Q; C = R. sama panjang (s.s.s). Ukurlah besar sudut- Dengan demikian, ABC dan PQR memenuhi sifat sudut yang bersesuaiandua segitiga yang kongruen, yaitu sisi-sisi yang bersesuaian dari setiap pasang segitiga. Selidikilahsama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. apakah besar sudut yangJadi, ABC kongruen dengan PQR. bersesuaian dari setiap pasang segitiga tersebut Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa jika sisi-sisi yang sama besar? Dapatkahbersesuaian dari dua segitiga sama panjang maka dua segitiga dinyatakan bahwa jika sisi-sisi yang bersesuaiantersebut kongruen. Apakah hal itu berlaku secara umum? Untuk dari dua segitigamengetahuinya, lakukanlah Tugas untukmu di samping. sama panjang maka dua segitiga tersebut Hasil yang benar dari tugas tersebut memperjelas sifat kongruen? Tuliskanberikut. hasil penyelidikanmu pada selembar kertas, Jika sisi-sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama kemudian kumpulkan pada gurumu. panjang (s.s.s) maka dua segitiga tersebut kongruen. F Mb. Dua Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang dan Sudut yang Diapitnya Sama Besar (s.sd.s)Amati Gambar 1.22. Pada gambar tersebut, DE = KL, D =K, dan DF = KM. Ukurlah panjang EF dan LM, besar E D ° K °dan L, serta besar F dan M. Berdasarkan hasil pengukuran E L Gambar 1.22 Kesebangunan dan Kekongruenan 19
  25. 25. Tugas tersebut, kamu akan memperoleh hubungan EF = LM, E = untukmu L, dan F = M. Buatlah 3 pasang segitiga Dengan demikian, pada DEF dan KLM berlaku sebarang. Setiap pasang (i) DE = KL, EF = LM, DF = KM; segitiga memiliki sudut- sudut yang bersesuaian (ii) D = K, E = L, F = M. sama besar. Ukurlah Hal ini menunjukkan bahwa DEF dan KLM memenuhi panjang sisi yang bersesuaian. Apakah sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, DEF KLM. dapat disimpulkan Uraian tersebut memperjelas sifat berikut. bahwa jika sudut-sudut yang bersesuaian sama Jika dua sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar maka dua segitiga tersebut kongruen? panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s) maka Coba selidiki adakah kedua segitiga itu kongruen. syarat yang lain agar dua segitiga tersebut kongruen? Tuliskan c. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar hasil penyelidikanmu dan Sisi yang Berada di Antaranya Sama pada kertas terpisah. Panjang (sd.s.sd) Kemudian, kumpulkan pada gurumu. Amati Gambar 1.23. Pada gambar tersebut G = X, H = Y, dan GH = XY. Ukurlah besar I dan Z, panjang GI dan XZ, serta panjang HI dan YZ. Dari hasil pengukuran I Z tersebut, kamu akan memperoleh hubungan I = Z, GI = XZ, dan HI = YZ. Dengan demikian, pada GHI dan XYZ berlaku (i) G = X, H = Y, dan I = Z;G° H X° Y (ii) GH = XY, HI = YZ, dan GI = XZ. Hal ini menunjukkan bahwa GHI dan XYZ Gambar 1.23 memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, GHI XYZ. C Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menemukan sifat berikut? Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjangA B (sd.s.sd) maka kedua segitiga itu kongruen. X Y d. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Berada di Hadapannya Sama Panjang (sd.sd.s) Z Amati Gambar 1.24. Pada gambar tersebut, A = X, B = Gambar 1.24 Y, dan BC = YZ. Ukurlah besar C dan Z, panjang AB dan XY, serta panjang AC dan XZ. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan C = Z, AB = XY, dan AC = XZ. 20 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  26. 26. Dengan demikian, pada ABC dan XYZ berlaku(i) A = X, B = Y, dan C = Z;(ii) AB = XY, BC = YZ, dan AC = XZ. Hal ini menunjukkan bahwa ABC dan XYZ memenuhisifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, ABC XYZ. Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menemukansifat berikut? Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan satu sisi sekutu kedua sudutnya sama panjang (sd.sd.s) maka kedua segitiga tersebut kongruen.Contoh 1.81. Amati Gambar 1.25. R Selidikilah apakah ABC kongruen dengan PQR? Jelaskan. 8 cm 50° Penyelesaian: Kedua segitiga tersebut memenuhi sd.s.sd sehingga ABC B P 70° kongruen dengan PQR.2. Amati gambar di samping. S R PQRS adalah jajargenjang dengan Q salah satu diagonalnya QS. 70° 50° Selidikilah apakah PQS dan RSQ A C 8 cm kongruen? Jelaskan. P Q Penyelesaian: Gambar 1.25 Pada jajargenjang, sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar sehingga PQ = SR, PQ // SR, dan PS = QR, PS // QR. Selanjutnya, QS adalah diagonal sehingga QS = SQ. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari PQS dan RSQ sama panjang (s.s.s). Tugas Jadi, PQS dan RSQ kongruen. untukmu3. Amati trapesium siku-siku PQRS pada gambar berikut. PQ = 5 cm, SR = 3 cm, S R Lukislah masing-masing dan PS = 3 cm. dua segitiga yang memenuhi syarat: Selidikilah apakah PSR a. s. s. s kongruen dengan PRQ? b. s. sd. s c. sd. s. sd Penyelesaian: P Q d. sd. sd. s Jika PSR dan PRQ kongruen Selidikilah apakah setiap maka haruslah PS = PR dan SR = RQ karena PSR = PRQ pasangan segitiga yang kamu buat kongruen? (siku-siku). Presentasikan hasil PR = ( )2 ( )2 = 32 32 = 3 2 penyelidikanmu di depan kelas. Jadi, PR ≠ PS. Oleh karena PQ = 5 cm maka PQ ≠ PR. Dengan demikian, Kesebangunan dan Kekongruenan 21
  27. 27. sisi-sisi yang bersesuaian dari PSR dan PRQ tidak sama Hal Penting panjang. Jadi, PSR dan PRQ tidak kongruen.Istilah-istilah penting yangkamu temui pada bab iniadalah 3. Panjang Garis dan Besar Sudut dari• kesebangunan Bangun Geometri• kekongruenan• skala Konsep segitiga kongruen dapat digunakan untuk menghitung• perbandingan sisi• perbandingan sudut panjang garis dan besar sudut dari bangun datar, seperti jajargenjang, belahketupat, dan layang-layang. Sebelum menghitung panjang garis dan besar sudut dari bangun A geometri, pelajarilah uraian berikut. 30° Gambar 1.26 memperlihatkan segitiga siku-siku ABC. Jika dibuat garis dari titik sudut B ke hipotenusa AC T sedemikian rupa sehingga ABT = 30°, diperoleh ATB = 180° – (30° + 30°) = 120° 30° BTC = 180° – ATB = 180° – 120° = 60° BCT = 180° – ( BAT + ABC) B C = 180° – (30° + 90°) = 60° Gambar 1.26 CBT = ABC – ABT = 90° – 30° = 60° Amati bahwa: BAT = ABT = 30° sehingga ABT samakaki, dalam Catatan hal ini AT = BT; CBT = BCT = BTC = 60° sehingga BTC samasisi, Garis berat segitiga adalah garis yang melalui dalam hal ini BT = BC = CT. salah satu titik tengah Dengan demikian, AT = BT = BC = CT. Amati bahwa AT = sisi segitiga dan titik sudut di hadapan sisi itu. CT sehingga BT merupakan garis berat ABC. Oleh karena AC = AT + CT maka AC = BC + BC = 2BC atau AC = BT + BT = 2 BT.Siapa Uraian tersebut memperjelas Sifat 1 dan Sifat 2 dariBerani? segitiga siku-siku bersudut 30° seperti berikut. Perhatikan gambar Sifat 1 berikut. D Panjang garis berat segitiga siku-siku bersudut 30° yang ditarik dari titik sudut siku-siku sama dengan I H panjang setengah hipotenusanya. E C J G Sifat 2 F Panjang sisi terpendek dari segitiga siku-siku bersudut 30° sama dengan panjang setengah A B Tentukan bangun-bangun hipotenusanya. datar yang kongruen.22 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  28. 28. Contoh 1.91. Amati Gambar 1.27(a). Jajargenjang ABCD terbentuk D C dari dua segitiga siku-siku yang kongruen, yaitu ADC 12 cm dan CBA. Jika AC = 12 cm, tentukan panjang semua sisi 60° jajargenjang tersebut. A B Penyelesaian: a C Pelajarilah Gambar 1.33(b). 12 cm BA = 2 CB sifat 2 CBA siku-siku di C sehingga berlaku hubungan 30° 60° A B (BA)2 = (AC)2 + (CB)2 b (2CB)2 = 122 + (CB)2 4(CB)2 = 144 + (CB)2 Gambar 1.27 3(CB)2 = 144 CB = 4 3 Dengan demikian, BA = 2CB = 2 4 3 = 8 3 . Matematika Oleh karena ADC CBA maka Ria AD = CB = 4 3 cm dan DC = BA = 8 3 cm. 1. Dari selembar2. Amati Gambar 1.28(a). Pada gambar tersebut, AB = 6 cm, karton, buatlah dua BC = 3 cm, DC = 4 cm, DBC = 53°, dan DB = DA = 5 model bangun yang kongruen dengan cm. Tentukanlah besar DAB. ukuran bebas seperti D D pada gambar berikut. 5 cm A 4 cm A 3 cm C E C 53° A 3 cm 3 cm B B Penyelesaian: ABD adalah segitiga samakaki. B Tarik garis tinggi ABD yang melalui titik D hingga 2. Guntinglah bangun B memotong AB di E seperti pada Gambar 1.28(b). menurut garis putus- ABD segitiga samakaki dan DE garis putus. 3. Acaklah potongan- tingginya maka AE = EB. Adapun DEB siku-siku di E, potongan bangun B. EB = 3 cm, dan DB = 5 cm. 4. Susun dan tempelkan potongan-potongan (DE)2 = (DB)2 – (EB)2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16 tersebut hingga DE = 4 cm. menutupi bangun A. DEB dan DCB. 5. Pertanyaan: a. Apakah potongan- DC = DE = 4 cm potongan bangun CB = EB = 3 cm B dapat disusun DB = DB = 5 cm (berimpit) menyerupai bangun A? Oleh karena itu, DEB kongruen dengan DCB, b. Apa yang dapat akibatnya kamu simpulkan? DBC = DBE = 53°. Kesebangunan dan Kekongruenan 23
  29. 29. DEB kongruen dengan DEA karena ED = ED = 4 cm (berimpit) DB = DA = 5 cm EB = EA = 3 cm Jadi, DAB = DBE = 53°. Tes Kompetensi 1.3Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Pada gambar berikut, KLM diputar 3. Amati gambar berikut. S setengah putaran pada titik tengah MK, yaitu titik O. Akibatnya, KLM dan bayangannya, yaitu MNK kongruen. P R K N O Q L M PQRS adalah layang-layang dengan a. Tentukan pasangan sisi yang sama sumbu simetrinya QS. Dari gambar panjang. tersebut diperoleh PQS kongruen b. Tentukan pasangan sudut yang sama dengan RQS. besar. a. Tentukanlah pasangan sisi yang c. Berbentuk apakah bangun KLMN? sama panjang.2. Amati gambar berikut. b. Tentukanlah pasangan sudut yang B sama besar. 4. Pada gambar berikut, PQ dan RS sama panjang dan sejajar. R A C P O S D ABCD adalah belahketupat dengan salah satu diagonalnya BD. Dari gambar tersebut Q diperoleh ABD kongruen dengan CBD. Buktikan bahwa POQ kongruen dengan a. Tentukanlah pasangan sisi yang SOR. sama panjang. 5. Pada gambar berikut, KLMN adalah b. Tentukanlah pasangan sudut yang persegipanjang dengan kedua diagonal- sama besar. nya berpotongan di titik O.24 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  30. 30. N M 9. Tentukan panjang: O a. AE; b. EB; d. AD; K L e. BC. a. Buktikan bahwa KLM kongruen c. ED; dengan MNK. 10. Amati gambar berikut. b. Tentukan pasangan segitiga lain yang C kongruen dari gambar tersebut.6. Pada gambar berikut, ABCD adalah tra- D pesium samakaki dengan kedua garis dia- gonalnya berpotongan di titik O. D C A B E O Diketahui: AB = BD, = , dan AE BC. A B a. Buktikan bahwa ABC kongruen a. Buktikan bahwa DAC kongruen dengan BED. dengan CBD. b. Jika BC = 10 cm dan CD = 1 BD, b. Tentukan pasangan segitiga lain yang 3 kongruen dari gambar tersebut. tentukanlah panjang garis DE dan luas BED.7. Pada gambar berikut, BC = CD = CE, 11. Amati gambar berikut. ABF = 50°, dan BF // CE. D C Tentukan besar: F 100° a. BCE; E b. CDE c. CED; A E B d. CBE; A ABCD adalah trapesium samakaki. B e. BEC. C D Jika BC // ED dan AE = ED, tentukanUntuk soal nomor 8 dan 9, perhatikan gambar besar:berikut dengan DC = 8 cm dan ED = EB. a. EBC; D C b. EDC; 30º c. BED; d. AED; 60º 30º e. EAD; A E B f. ADE.8. Tentukan besar: 12. Amati gambar berikut. a. BED; D b. AED; c. DBC; d. BDC; E O F A C e. ADE; f. BCD. B Kesebangunan dan Kekongruenan 25

×