Lógica de Primeira Ordem
Alexandre Rademaker
September 28, 2010
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September ...
Linguagem
Símbolos lógicos:
“(”, “)”, →, ¬, ∧, ∨.
Variáveis
Símbolo de igualdade
Parâmetros:
Símbolos quantificadores: ∀ e ...
Exemplos
Linguagem dos conjutos:
L = ∈2
, =2
, ∅
Linguagem da teoria elementar dos números:
L = 00
, <2
, S1
, +2
, ×2
, E...
Formulas
Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.
Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas
(wff).
T...
Formulas
Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.
Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas
(wff).
T...
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Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.
Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas
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Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.
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Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.
Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas
(wff).
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Termos
Podem ser construídos a partir de constantes e variáveis sob os
quais são aplicados um ou mais símbolos funcionais....
Fórmulas
Fórmulas atômicas tem função similar aos símbolos sentênciais na
Lógica Proposicional. Tem a forma:
P(t1, . . . ,...
Variáveis
∀v2(v2 ∈ v1) ∃v1∀v2v2 ∈ v1
A segunda, formaliza a frase “existe um conjunto que todo conjunto é
membro dele”. A ...
Estruturas
Nos dizem:
A qual coleção de coisas os quantificadores ∀ e ∃ referem-se.
O que os símbolos de predicados e funçõ...
Estruturas
Seja a linguagem dos conjuntos L = ∈ . Podemos considerar a estru-
tura A que:
|A| = o conjunto dos números nat...
Estruturas
Seja a linguagem L = E2 e o parâmetro ∀. Considere a estrutura
finita B com universo |B| = {a, b, c, d}. Suponha...
Semântica
Se σ é uma sentença. Como dizer que “σ é verdade em A”? Sem a
necessidade de traduzir σ para português?
|=A σ
Pa...
Semântica
Formalmente, precisamos definir a interpretação de termos e fórmulas
por uma estrutura...
Alexandre Rademaker () ...
Interpretação de termos
Definimos a função:
s : T → |A|
que mapea termos para elementos do universo de A. Como:
1 Para cada...
Interpretação de fórmulas
Fórmulas atômicas. Definimos explicitamente, dois casos:
1 Igualdade onde = significa =, não é um ...
Interpretação de fórmulas
Outras WFF. Definimos recursivamente:
1 |=A ¬φ [s] sse |=A φ [s]
2 |=A φ → ψ [s] sse ou |=A φ [s]...
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  1. 1. Lógica de Primeira Ordem Alexandre Rademaker September 28, 2010 Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 1 / 12
  2. 2. Linguagem Símbolos lógicos: “(”, “)”, →, ¬, ∧, ∨. Variáveis Símbolo de igualdade Parâmetros: Símbolos quantificadores: ∀ e ∃ Símbolos predicativos de aridade n. Exemplo: pai2. Símbolos de constantes (aridade zero). Exemplo: z0 Símbolos de funções de aridade n. Exemplo: +2. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 2 / 12
  3. 3. Exemplos Linguagem dos conjutos: L = ∈2 , =2 , ∅ Linguagem da teoria elementar dos números: L = 00 , <2 , S1 , +2 , ×2 , E2 Pura predicativa: L = An 1, Am 2 , . . . , a1, a2, . . . Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 3 / 12
  4. 4. Formulas Uma expressão é qualquer sequência de símbolos. Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas (wff). Termos são entendidos como os nomes e pronomes da linguagem, dão nomes à objetos. Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos. Fórmulas são afirmações sobre objetos. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12
  5. 5. Formulas Uma expressão é qualquer sequência de símbolos. Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas (wff). Termos são entendidos como os nomes e pronomes da linguagem, dão nomes à objetos. Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos. Fórmulas são afirmações sobre objetos. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12
  6. 6. Formulas Uma expressão é qualquer sequência de símbolos. Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas (wff). Termos são entendidos como os nomes e pronomes da linguagem, dão nomes à objetos. Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos. Fórmulas são afirmações sobre objetos. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12
  7. 7. Formulas Uma expressão é qualquer sequência de símbolos. Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas (wff). Termos são entendidos como os nomes e pronomes da linguagem, dão nomes à objetos. Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos. Fórmulas são afirmações sobre objetos. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12
  8. 8. Formulas Uma expressão é qualquer sequência de símbolos. Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas (wff). Termos são entendidos como os nomes e pronomes da linguagem, dão nomes à objetos. Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos. Fórmulas são afirmações sobre objetos. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12
  9. 9. Termos Podem ser construídos a partir de constantes e variáveis sob os quais são aplicados um ou mais símbolos funcionais. +(v1, S(0)) S(S(S(0))) +(E(v1, S(S(0))), E(v2, S(S(0)))) Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 5 / 12
  10. 10. Fórmulas Fórmulas atômicas tem função similar aos símbolos sentênciais na Lógica Proposicional. Tem a forma: P(t1, . . . , tn) onde P é um símbolo predicativo de aridade n e t1, . . . , tn são termos. Por exemplo, v1 = v2 (ou = (v1, v2)) são fórmulas. Ou ainda, ∈ (v5, v3) na linguagem dos conjuntos. Se α e β são fórmulas atômicas, então são WFF: α ∧ β, α ∨ β, ¬α, α → β, ∀viα e ∃viα. Não é WFF: ¬v3 ou v1 → v2 É WFF: ∀v1((¬∀v3(¬(v3 ∈ v1))) → (v1 ∈ v4)) Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 6 / 12
  11. 11. Variáveis ∀v2(v2 ∈ v1) ∃v1∀v2v2 ∈ v1 A segunda, formaliza a frase “existe um conjunto que todo conjunto é membro dele”. A primeira, “todo conjunto é membro de . . .”. Seja x uma variável, dizemos que x é livre em α se: Se α é atômica, x é livre em α se x é um símbolo em α. x é livre em ¬α se é livre em α. x é livre em α → β se é livre em α e livre em β. x é livre em ∀viα se é livre em α e x = vi. Sentenças? Fórmulas sem variáveis livres! Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 7 / 12
  12. 12. Estruturas Nos dizem: A qual coleção de coisas os quantificadores ∀ e ∃ referem-se. O que os símbolos de predicados e funções denotam. Formalmente, uma estrutura A para uma linguagem FOL associa: Ao quantificador ∀ um conjunto não vazio |A| denominado universo ou domínio. A cada símbolo predicativo P de aridade n, uma relação de aridade n, PA ⊆ |A|n. A cada símbolo funcional f de aridade n, uma função fA : |A|n → |A|. A cada símbolo constante c, um membro cA ∈ |A|. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 8 / 12
  13. 13. Estruturas Seja a linguagem dos conjuntos L = ∈ . Podemos considerar a estru- tura A que: |A| = o conjunto dos números naturais. ∈A= o conjunto dos pares (m, n) tal que m < n. Como a estrutura A nos permite interpretar (ler) a sentença: ∃x∀y¬(y ∈ x) Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 9 / 12
  14. 14. Estruturas Seja a linguagem L = E2 e o parâmetro ∀. Considere a estrutura finita B com universo |B| = {a, b, c, d}. Suponha a relação binária EB = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, c)} que pode ser desejada como um grafo a b c d A sentença ∃x∀y¬yEx na estrutura B pode ser interpretada como? É verdadeira? Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 9 / 12
  15. 15. Semântica Se σ é uma sentença. Como dizer que “σ é verdade em A”? Sem a necessidade de traduzir σ para português? |=A σ Para uma WFF qualquer, precisamos de: s : V → |A| Para então, informalmente definir “A satisfaz σ com s” representado por: |=A σ[s] se e somente se da tradução de σ determinada por A, onde a variável x é traduzida por s(x) se x é livre, é verdade. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 10 / 12
  16. 16. Semântica Formalmente, precisamos definir a interpretação de termos e fórmulas por uma estrutura... Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 10 / 12
  17. 17. Interpretação de termos Definimos a função: s : T → |A| que mapea termos para elementos do universo de A. Como: 1 Para cada variável x, s(x) = s(x). 2 Para cada constante c, s(c) = cA. 3 Se t1, . . . , tn são termos e f é uma fução, então s(f(t1, . . . , tn)) = fA (s(t1), . . . , s(tn)) s depende de A e s. Notação alternativa para s(t) poderia ser tA[s]. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 11 / 12
  18. 18. Interpretação de fórmulas Fórmulas atômicas. Definimos explicitamente, dois casos: 1 Igualdade onde = significa =, não é um parâmetro aberto à interpretações. |=A t1 = t2 [s] sse s(t1) = s(t2) 2 Para um predicado n-ário P: |=A P(t1, . . . , tn) [s] sse s(t1), . . . , s(tn) ∈ PA Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 12 / 12
  19. 19. Interpretação de fórmulas Outras WFF. Definimos recursivamente: 1 |=A ¬φ [s] sse |=A φ [s] 2 |=A φ → ψ [s] sse ou |=A φ [s] ou |=A ψ [s] ou ambos. 3 |=A φ ∧ ψ [s] sse |=A φ [s] e |=A ψ [s]. 4 |=A φ ∨ ψ [s] sse |=A φ [s] ou |=A ψ [s]. 5 |=A ∀xψ [s] sse para todo d ∈ |A|, temos |=A ψ [s(x|d)]. Onde s(x|d) é a função s com uma diferença, para a variável x, ela retorna d. s(x|d)(y) = s(y) se y = x d se y = x Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 12 / 12
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