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First Order Logic

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The slides about FOL used in PUC "Lógica para Computação" course.

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First Order Logic Presentation Transcript

  • 1. Lógica de Primeira Ordem Alexandre Rademaker September 28, 2010Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 1 / 12
  • 2. LinguagemSímbolos lógicos: “(”, “)”, →, ¬, ∧, ∨. Variáveis Símbolo de igualdadeParâmetros: Símbolos quantificadores: ∀ e ∃ Símbolos predicativos de aridade n. Exemplo: pai 2 . Símbolos de constantes (aridade zero). Exemplo: z 0 Símbolos de funções de aridade n. Exemplo: +2 . Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 2 / 12
  • 3. ExemplosLinguagem dos conjutos: L = ∈2 , =2 , ∅Linguagem da teoria elementar dos números: L = 00 , <2 , S 1 , +2 , ×2 , E 2Pura predicativa: L = An , Am , . . . , a1 , a2 , . . . 1 2 Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 3 / 12
  • 4. Formulas Uma expressão é qualquer sequência de símbolos. Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas (wff). Termos são entendidos como os nomes e pronomes da linguagem, dão nomes à objetos. Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos. Fórmulas são afirmações sobre objetos. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12
  • 5. Formulas Uma expressão é qualquer sequência de símbolos. Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas (wff). Termos são entendidos como os nomes e pronomes da linguagem, dão nomes à objetos. Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos. Fórmulas são afirmações sobre objetos. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12
  • 6. Formulas Uma expressão é qualquer sequência de símbolos. Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas (wff). Termos são entendidos como os nomes e pronomes da linguagem, dão nomes à objetos. Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos. Fórmulas são afirmações sobre objetos. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12
  • 7. Formulas Uma expressão é qualquer sequência de símbolos. Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas (wff). Termos são entendidos como os nomes e pronomes da linguagem, dão nomes à objetos. Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos. Fórmulas são afirmações sobre objetos. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12
  • 8. Formulas Uma expressão é qualquer sequência de símbolos. Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas (wff). Termos são entendidos como os nomes e pronomes da linguagem, dão nomes à objetos. Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos. Fórmulas são afirmações sobre objetos. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12
  • 9. TermosPodem ser construídos a partir de constantes e variáveis sob osquais são aplicados um ou mais símbolos funcionais. +(v1 , S(0)) S(S(S(0))) +(E(v1 , S(S(0))), E(v2 , S(S(0)))) Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 5 / 12
  • 10. FórmulasFórmulas atômicas tem função similar aos símbolos sentênciais naLógica Proposicional. Tem a forma: P(t1 , . . . , tn )onde P é um símbolo predicativo de aridade n e t1 , . . . , tn são termos.Por exemplo, v1 = v2 (ou = (v1 , v2 )) são fórmulas. Ou ainda, ∈ (v5 , v3 )na linguagem dos conjuntos.Se α e β são fórmulas atômicas, então são WFF: α ∧ β, α ∨ β, ¬α,α → β, ∀vi α e ∃vi α. Não é WFF: ¬v3 ou v1 → v2 É WFF: ∀v1 ((¬∀v3 (¬(v3 ∈ v1 ))) → (v1 ∈ v 4)) Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 6 / 12
  • 11. Variáveis ∀v2 (v2 ∈ v1 ) ∃v1 ∀v2 v2 ∈ v1A segunda, formaliza a frase “existe um conjunto que todo conjunto émembro dele”. A primeira, “todo conjunto é membro de . . .”.Seja x uma variável, dizemos que x é livre em α se: Se α é atômica, x é livre em α se x é um símbolo em α. x é livre em ¬α se é livre em α. x é livre em α → β se é livre em α e livre em β. x é livre em ∀vi α se é livre em α e x = vi .Sentenças? Fórmulas sem variáveis livres! Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 7 / 12
  • 12. EstruturasNos dizem: A qual coleção de coisas os quantificadores ∀ e ∃ referem-se. O que os símbolos de predicados e funções denotam.Formalmente, uma estrutura A para uma linguagem FOL associa: Ao quantificador ∀ um conjunto não vazio |A| denominado universo ou domínio. A cada símbolo predicativo P de aridade n, uma relação de aridade n, P A ⊆ |A|n . A cada símbolo funcional f de aridade n, uma função f A : |A|n → |A|. A cada símbolo constante c, um membro c A ∈ |A|. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 8 / 12
  • 13. EstruturasSeja a linguagem dos conjuntos L = ∈ . Podemos considerar a estru-tura A que: |A| = o conjunto dos números naturais. ∈A = o conjunto dos pares (m, n) tal que m < n.Como a estrutura A nos permite interpretar (ler) a sentença: ∃x∀y ¬(y ∈ x) Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 9 / 12
  • 14. EstruturasSeja a linguagem L = E 2 e o parâmetro ∀. Considere a estruturafinita B com universo |B| = {a, b, c, d}. Suponha a relação binária E B = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, c)}que pode ser desejada como um grafo a b c dA sentença ∃x∀y ¬yEx na estrutura B pode ser interpretada como? Éverdadeira? Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 9 / 12
  • 15. SemânticaSe σ é uma sentença. Como dizer que “σ é verdade em A”? Sem anecessidade de traduzir σ para português? |=A σPara uma WFF qualquer, precisamos de: s : V → |A|Para então, informalmente definir “A satisfaz σ com s” representadopor: |=A σ[s]se e somente se da tradução de σ determinada por A, onde a variávelx é traduzida por s(x) se x é livre, é verdade. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 10 / 12
  • 16. SemânticaFormalmente, precisamos definir a interpretação de termos e fórmulaspor uma estrutura... Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 10 / 12
  • 17. Interpretação de termosDefinimos a função: s : T → |A|que mapea termos para elementos do universo de A. Como: 1 Para cada variável x, s(x) = s(x). 2 Para cada constante c, s(c) = c A . 3 Se t1 , . . . , tn são termos e f é uma fução, então s(f (t1 , . . . , tn )) = f A (s(t1 ), . . . , s(tn ))s depende de A e s. Notação alternativa para s(t) poderia ser t A [s]. Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 11 / 12
  • 18. Interpretação de fórmulasFórmulas atômicas. Definimos explicitamente, dois casos: 1 Igualdade onde = significa =, não é um parâmetro aberto à interpretações. |=A t1 = t2 [s] sse s(t1 ) = s(t2 ) 2 Para um predicado n-ário P: |=A P(t1 , . . . , tn ) [s] sse s(t1 ), . . . , s(tn ) ∈ P A Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 12 / 12
  • 19. Interpretação de fórmulasOutras WFF. Definimos recursivamente: 1 |=A ¬φ [s] sse |=A φ [s] 2 |=A φ → ψ [s] sse ou |=A φ [s] ou |=A ψ [s] ou ambos. 3 |=A φ ∧ ψ [s] sse |=A φ [s] e |=A ψ [s]. 4 |=A φ ∨ ψ [s] sse |=A φ [s] ou |=A ψ [s]. 5 |=A ∀xψ [s] sse para todo d ∈ |A|, temos |=A ψ [s(x|d)].Onde s(x|d) é a função s com uma diferença, para a variável x, elaretorna d. s(y ) se y = x s(x|d)(y ) = d se y = x Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 12 / 12