primer parcial de algebra del cbc ciencias economicas

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primer parcial de algebra del cbc ciencias economicas

  1. 1. Parcial Álgebra: cátedra Gutierrez, Cs. Económicas. U.B.A.Si necesitas clases puedes llamar al 011-15-67625436 o ir a soko.com.arÁlgebra (Cs Económicas): Primer ParcialSegundo cuatrimestre: 19981. L es la recta que pasa por P = (2; -2) y Q = (3; 4). Hallar a tal que la recta que es paralela a L ypasa por (1; a ) también pase por (2; 4)2. El servicio de telefonía A cobra un abono mensual de $ 50 y $ 0,35 cada minuto de comunica-ción. La empresa B cobra un abono mensual de $ 60 y $0,25 cada minuto. ¿A partir de cuántosminutos mensuales de comunicación resulta más conveniente la empresa B?3. Escribir en forma paramétrica todas las soluciones del sistema cuya matriz ampliada es:−−−−−3141952741214. Encontrar una base de S x Rx x xx x x= ∈− + =− + ={ / }4 1 2 41 3 45 05 0que contenga al vector V = (1, 1, 1, 4)Respuestas:1) Recta paralela: y = 6x – 8 ; a = – 2.2) A(x) = 0,35x + 50 y B(x) = 0,25x + 60. La empresa B es más conveniente después de 100 de co-municación.3) L: x3 (– 11, – 6, 1) + (12, 7, 0).4) Base: < (1,1,1,4); (1,0,0,-1)>Segundo cuatrimestre: 19981. Encontrar α ∈ R tal que las rectas siguientes tengan un punto en común:L:3x – y = 5 L’:λ(1,1) + (1,2) L”: λ(1,1) + (5, α)2. Encontrar todas las soluciones del sistema S, que tengan la tercera la tercera y la cuarta coorde-nada iguales.=++=+++−−=−−−421044284242446S43243214321xxxxxxxxxxx3. Encontrar una base del subespacio }03/{ 3213=+−∈= xxxRxS , que contenga al vector (1,1,0).4. El precio de venta de un camión nuevo es de $100000, y al cabo de 6 años es posible venderlo a$40000. Si el monto de depreciación anual se calcula por año, y es fijo, plantear la ecuación linealque da el precio del camión al cabo de x años, y decir cuál es el precio del camión al cabo de 4 años.Respuestas:1) L = L ´ + L”→ λ (1,3) + (0,–5) = λ(1,1) + (1,2) + λ(1,1) + (5, α) → λ = – 6, α = – 132) Operando y despejando x3: (x1, x2, x3, x4) = x3 (– 1, – 3, 1, 1) + (0, 1, 0, 0)3) < (1,1,0) ; (3,0,1)>4) Puntos representantes: (0, 100000) y (6, 40000) → (x, y) = λ (– 1, 10000) + (0, 100000)
  2. 2. Álgebra – Primer Parcial – CBC – Cátedra ThomsonSi necesitas ayuda para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al (011) 4585 – 1548(1) Álgebra – Primer Parcial – Cátedra Thomson: 2doCuat. 01 Tema 4 Sede: Uriburu1) Responder por verdadero o falso:a) det(A + B) = det (A) + det (B)b) Toda matriz diagonal tiene inversac) (A.B) – 1= B– 1. A– 1d) Cuando el rango de una matriz no coincide con el de la matriz ampliada, entonces, el sistemaes indeterminado.e) El rango de una matriz está relacionado con el orden de la misma.2) Dadas las matrices: A =− 253121, B =−−540712, C =−−361741Obtenga una matriz E tal que8A – 2B + 3C – 4E sea matriz nula.3) Calcule la inversa de A =122013421si es posible.a) A– 1= −024232111b) A– 1=024232111c) no tiene inversa d) A– 1=−−0242321114) La solución de=−++=−++=−−+−=++−=+++82372233542322331322wzyxwzyxwzyxwzyxwzyxes:a) (1, 2, – 2, – 1) b) (1, 2, 2, 1) c) (1, 2, – 2, 1) d) (– 1, – 2, 2, 1)5) En el sistema dado=−+=++=++4232465418642yyxzyxzyx, los rangos son:a) r (A) = r (A’) = 3 b) r (A) ≠ r (A’) c) r (A) = r (A’) = 2 d) r (A) = r (A’) = 16) Dada la matriz A =021110012. La inversa A– 1tiene como 3eracolumna:a)−521b)−142c)−353834d)−−323231
  3. 3. Álgebra – Primer Parcial – CBC – Cátedra ThomsonSi necesitas ayuda para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al (011) 4585 – 15487) Señalar cuál de las siguientes estructuras no es grupo abeliano:a) (R – {0}; o) b) (Z; o) c) (Q; +) d) ninguno de los anteriores.8) Dada la matriz A = 4321. El determinante det[(At. A–1). 3A] es: a) – 18 b) – 2 c) 6 d) 489) Dada la matriz A = α10104001. Señale cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:a) Si α ≠ 1; r(A) ≠ 3 b) α = 1; r(A) = 2 c) α = 1; r(A) = 3 d) ninguna de las anteriores.10) Sean 35 – 2p – q = 0 y 11 + 6p – q = 0 ecuaciones de demanda y oferta, para un fabricante deun cierto producto. El ingreso total que se obtiene en el punto de equilibrio es: a) no es posibleb) $ 87 c) $ 29 d) $ 32 e) ninguno de los anteriores.Rta.: b(2) Álgebra – Primer Parcial Tema 21) Responda si es verdadero o falso, justificando. En caso de ser necesario ponga un ejemplo.a) A . D = Nb) A . B = B . A siemprec) Si una línea de una matriz es el vector nulo, su determinante es no nulod) Si se permutan dos filas de una matriz, los correspondientes determinantes son opuestos.e) El determinante de toda matriz que tenga dos filas idénticas es nulo.2) La solución del sistema=+−+=+−+64252453wzyxwzyxes:a)+−−=++=wzxwzy7192282b)−−−=++=wzxwzy7192282c)−+=−−−=wzywzx28271923) Dado el sistema=−+=−+=+−czyxbzyxazyx32116272¿Qué condiciones se debe cumplir para que el sistema linealdado sea compatible?.a) a, b, c ∈ R b) 5c + 2b – a = 0 c) 5c – 2b = a d) a, b, c ≠ 0 Rta.: c4) Considerando la matriz A =−−−+8622442222202200024xxx. Encuentre los valores de “x” para los cuelesIA−2es singular.
  4. 4. Álgebra – Primer Parcial – CBC – Cátedra ThomsonSi necesitas ayuda para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al (011) 4585 – 1548a) x ∈ {– 1, 1, 3} b) x ∈ {– 2, 3} c) x =43137 ±d) x ∈ R – {3, – 2}5) Dadas las matrices+=111111kkkkA B =kk02X =321xxxHalle los valores de “k” para los cuales el sistema A . X = B admita:a) solución única b) infinitas soluciones c) ninguna soluciónRta.: a) K ≠ 0 y K ≠ 1 b) K = 0 y K = 1 c) no hay valores de k.6) Hallar y clasificar M– 1si M = (A.B)– 1+ 2.C. A =301B =−021C =−−−875,34012217) Siendo M – 3 I =−−−521110242kTodos los valores de k para que M sea singular son:a) 10±=k b) k ∈ {– 2, 2} c) 10±≠k d) k ≠ 2 ∧ k ≠ – 2 Rta.: b8) igualque el problema 10 tema anterior.9) ¿Para qué valor o valores de t el siguiente sistema es indeterminado?=−+=−+=−+01.010yxttyxtyxRta.: t = 0 ó t = 1.10) Considerando el siguiente cuadro de transacciones:S1 S2 DF P. T.S1 14 16S2 28VA 18 ////// //////P. T. 36 //////(en miles de $) .Completar y hallar la nueva matriz de P. T. si la de D. F. Varía a H = 1122.Construir el nuevo cuadro.
  5. 5. CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2002 - Pág. 1Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436PPrriimmeerr PPaarrcciiaall ddee AAnnáálliissiiss CCiieenncciiaass EEccoonnóómmiiccaassCátedra de GutiérrezÁlgebra Cs. Ec. (71) – Primer Parcial – Drago: 07/05/2002 Tema 41. Dadas las rectas L1 : y = 6x + 4 y L2 : x = α (1, 3) + ( – 2, 7), hallar la ecuación paramétrica de larecta L que no corta a L1 y pasa por el punto (–1, 5). Determinar la intersección de L y L2.2. Determinar todas las soluciones=−−−−=+++−=−+−622321325432143214321xxxxxxxxxxxx3. Una maestra de arte decide preparar con sus alumnos un mural en tonos ocre. Para ello fabricatres colores: I, II y III. En la composición de los mismas se utilizan pintura amarilla, bermellón ymarrón en las siguientes proporciones:Color I: 20 % de bermellón, 40 % de amarillo y 40 % de marrónColor II: 80 % de bermellón, 10 % de amarillo y 10 % de marrónColor III: 20 % de amarillo y 80 % de marrón.La maestra dispone de 18 litros de pintura bermellón, 7 litros de pintura amarilla y 10 litros de pin-tura marrón. Si quiere agotar el stock, ¿qué cantidad de cada color se debe preparar?.4. Determinar los valores de k ∈ R para los cuales el subespacio S = <(2, – 1, 5), (1, 1, k); (0, k, 1)>tiene dimensión 2.Respuestas:1. Como L que no corta a L1, en dos dimensiones, debe ser paralela. Tiene la misma pendiente (1, 6)Como pasa por (–1, 5) podemos escribir a L: β (1, 6) + (– 1, 5).Ahora hallemos la intersección entre L y L2. Para ello igualamos las ecuaciones y hallamos de estamanera los coeficientes (α y β).α (1, 3) + ( – 2, 7) = β (1, 6) + (– 1, 5) →α – 2 = β – 1 → α = 1 + β = 1 + 5/3 = 8/3.3α + 7 = 6β + 5 → 3(1+ β.) + 7 = 6β + 5 → β = 5/3En ambos casos obtenemos el mismo resultado (es una manera de verificar que se han hecho bienlas cuentas).L2: 8/3 (1, 3) + ( – 2, 7) = (2/3, 15) L : 5/3 (1, 6) + (– 1, 5) = (2/3, 15)
  6. 6. CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2002 - Pág. 2Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-676254362) Para resolver=−−−−=+++−=−+−622321325432143214321xxxxxxxxxxxxexpresemos como matriz ampliada. Aquí lo resolverémediante pivote.Se toma el primer elemento de la primer columna como Pivote. Excepto ese valor toda la columnatendrá valor cero, mientras que la fila se la deja igual.Pivote−−−−−−−615223213211111 El valor de cada elemento de la matriz se calcula con la diferencia (res-ta) entre el producto del número por el pivote y el producto entre loselementos que pertenecen a su misma fila y columna −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−5.21.65)1(1.1)1.(21.21.21.2)1.(21.3)1)(1(1.11).1(1.3)1)(1(1.25001111→−−−−−445041004101111Ambas filas son iguales por lo tanto dejamos una sola. −−4504101111A partir de esta matriz calculamos los resultados del sistema indeterminado.x2 + 4x3 = 4 → x2 = 4 – 4x3.x1 – x2 + x3 – x4 = 5 → x1 – (4 – 4x3) + x3 – x4 = 5 → x1 – 4 + 5x3 – x4 = 5 → x1 = 9 – 5x3 + x4.(x1,x2,x3, x4) = (9 – 5x3 + x4,4 – 4x3, x3,x4) = (9, 4, 0, 0) + x3 ( – 5, – 4, 1, 0) + x4 (1, 0, 0, 1)Cualquier solución del sistema pertenece al subespacio cuya base es:<(9, 4, 0, 0); (– 5, – 4, 1, 0); (1, 0, 0, 1)>.3. Se arma la matriz a partir de los datos que da el problema. Llamemos x al color I, y al color II y zal color III. Como sabemos los litros de pintura a utilizar armamos un sistema, expresando los por-centajes de manera numérica: 20% es 20/100 o sea 0,2.=++=++=++108,01,04,072,01,04,01808,02,0zyxzyxzyxArmamos la matriz correspondiente y la resolvemos (mediante el métodoque te hayan enseñado en clase)
  7. 7. CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2002 - Pág. 3Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436→→52010100010001107188,01,04,02,01,04,008,02,0x = 10;y = 20;z = 5.Obtendremos: 10 litros del color I, 20 litros del color II y 5 litros del color III.4. Tenemos el subespacio S con tres vectores pero necesitamos que tenga dimensión 2, o sea, que-remos que se vaya un vector; ya que deben quedar dos vectores para que tengamos dimensión dos.Así que expresamos al subespacio como una matriz, la triangulamos hasta que en una fila sólo que-de una ecuación que nos permita calcular k, en los otros lugares debemos tener cero.S = <(2, – 1, 5), (1, 1, k); (0, k, 1)>−−−− →−− → −−−35200523051210523051210115122332122kkkkkkkFkFFFPara que quede dimensión 2, la últimas fila debe desaparecer, dar cero.Haciendo que 2k2– 5k – 3 = 0 podemos hallar los valores que nos están pidiendo para que el subes-pacio quede de dimensión dos. Para ello aplicamos la ecuación cuadrática (Bascara).2k2– 5k – 3 = 0 →2142475341247547544952.2)3.(2.455212−=−=−===+=±=±=−−±kkDe esta manera hemos determinado que si k = 3 o si k = – ½ el subespacio quedará de dimensióndos.
  8. 8. Cs. Económicas: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2003 – Pág. 1Si necesitas clases para rendirparciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436(1) Álgebra (71) Cs. Ec. – Paternal – Primer Parcial: 1º Cuat. de 2003 Tema 41. Sea L la recta en R3que pasa por los puntos A = (1, 3, – 2) y B = (0, 1, 2). Hallar el punto de L quetiene tercera coordenada igual a 6.2. Un estudiante puede viajar a su facultad en bicicleta, en tren o en colectivo. Cada día utiliza el mis-mo medio de transporte para ir y para volver. Cada viaje (ida y vuelta) dura: en bici: 1 hora; en tren:media hora; en colectivo 15 minutos. Cada boleto de tren le cuesta $ 0,5 y cada boleto de colectivo $0,75. En el mes de abril fue a clase 22 días, gastó $ 21 y estuvo viajando 23 horas. ¿Cuántos días viajóen bicicleta, cuantos en tren y cuantos en colectivo?.3. Dar un valor de a y uno de b para los cuales el sistema cuya matriz ampliada es −− ba1141203421re-sulta incompatible.4. Elegir vectores del conjunto {(1, 0, – 1); (1, 1, – 1); (0, 0, 0); (–3, 0, 3); (2, 1, 0)} para formar unabase del subespacio S = {x ∈ R3:x1 – 2x2 + x3 = 0}Respuestas:1) (–1, – 1, 6) 2) Recta solución: z (½ , – 3/2, 1) + (1, 21, 0) los valores a tomar de “z” deben dar re-sultados positivos. 3) a = – 6 y b ≠ 3. 4) {(1, 0, – 1); (2, 1, 0)}.(2) Álgebra (71) Cs. Ec. – Primer Parcial: Paternal (turno noche) – 1erCuat. 2003 Tema 11. Sea L la recta que pasa por el punto P = (1, 3) y es paralela a L’: 20x – 5y = 3. Hallar el punto de Lque contiene ordenada igual a 7.2. Una empresa produce dos tipos de jugos a base de naranja y pomelo: El “Tropical” que lleva 60 mlde naranja por cada 40 ml de pomelo y el “Citral” que lleva 45 ml de naranja por cada 55 ml de pome-lo. Se tiene un stock de 4800 litros de jugo de naranja y de 4000 litros de pomelo. ¿Cuántos litros decada tipo de jugo debe producir para agotar el stock?.3. Hallar el valor de k para el cual (1, 2, 1) es solución del sistema cuya matriz ampliada es −52321101112kPara ese valor, resolver completamente el sistema.4. Hallar dos bases distintas del subespacio S ⊆ R3, S = <(1, 0, 1); (0, 1, 1)>Respuestas:1) (2, 7) 2) Se obtienen 32000 de uno y 56000 del otro. 3) Ojo, si k = 3 el sistema es incompatible. Elvalor que piden es k = 1 y se saca directamente reemplazando el vector solución en la fila donde está k.4) S1 = <(1, 0, 1); (1,1,2)> S2 = <(0, 1, 1); (1,1,2)> (sumar los vectores).
  9. 9. Parciales de Álgebra – Ciencias Económicas – Cátedra Gutiérrez/Fauring Pág. 1Si necesitas clases para aprobar tu parcial, final o libre llama al 011-15-67625436Álgebra (71) – Primer Parcial – Paternal – 1erCuat. 20051) Sean p = (– 3, 1) y q = (5, a). Hallar a ∈R tal que la recta que pasa por p y q sea paralela a larecta y = – 2x + 5, y dar la ordenada al origen de la recta que pasa por p y q.2) Hallar todas las soluciones del sistemax1 – x2 – x3 + 5x4 = – 1– x1 + 2x2 + x3 – x4 = – 33x1 – 5x2 – 3x3 + 7x4 = 53) El verdulero aumentó hoy $0,30 el precio del Kg de tomates y $0,10 el precio del Kg de papas.Ayer, comprar 4 Kg de tomates y 5 Kg de papas costaba $16,30. Hoy, comprar 5 Kg de tomates y 8kg de papas cuesta $23,90.Hallar el precio que tenían ayer el Kg de tomates y el Kg de papas.4) Hallar, si es posible, una base de S = {(x1, x2, x3, x4) ∈R4/ 2x1 – 5x2 = 0} que contenga a losvectores v = (5; 2; 0; 0) y w = (0; 0; -1; 1)Respuestas1) La recta es: L = α (1, – 2) + (– 3, 1). Al igualarla con (5, a) se puede calcular el valor de a,despejando. a = – 15. La ordenada al origen es cuando x = 0 por lo tanto se busca el valor de y. Eneste caso sería: (0, – 5)2) El sistema es obviamente un sistema compatible determinado. Dependiendo de la variable queelijas tendrás, en este caso, un plano solución:S = α (1, 0, 1, 0) + β (– 9, – 4, 0, 1) + (– 5, – 4, 0, 0)3) 1 kg. Tomates = $ 3,20; 1 kg. Papas = $ 0,704) Se tiene un subespacio dentro de R4con una sola ecuación, por lo que la base es de dimensión 3.Al despejar para hallar la base no hay que olvidar que cuando dicen “contenga a v = (5, 2, 0, 0) y w= (0, 0, – 1, 1)” implica que los dos vectores deben estar dentro de la base, por lo tanto hay más deuna solución dependiendo del vector que elijas como tercera opción.B = {(5, 2, 0, 0); (0, 0, – 1, 1): (0, 0, 1, 0)}
  10. 10. Parciales de Álgebra – Ciencias Económicas – Cátedra Gutiérrez/Fauring Pág. 1Si necesitas clases para aprobar tu parcial, final o libre llama al 011-15-67625436Álgebra – Primer Parcial – Montes de Oca – 1erCuat. 20051) Sean dos rectas en R2:L1 la recta que pasa por A= (1, 4) y B = (– 3, – 2)L2 la recta de ecuación y= x – 2Hallar la ecuación de una recta a L1 que pase por el punto en que L2 corta al eje y.2) Una empresa que hace excursiones de todo un día desde el centro hasta el Parque Nacionaldispone de un auto, una camioneta y un ómnibus que utiliza según la cantidad de turistas.El uso de auto implica un gasto diario de $12 de combustible, $4 de peaje y $10 de mantenimiento.El uso de la camioneta implica un gasto diario de $18 de combustible, $6 de peaje y $16 demantenimiento.El uso del ómnibus implica un gasto diario de $20 de combustible, $10 de peaje y $15 demantenimiento.Si se gastaron $408 en combustible, $166 en peaje y $331 en mantenimiento.¿Cuántos días se usó cada uno de los vehículos?3) Encontrar todas las soluciones del sistema S2x – 3y + z = – 2x + 3z = 1– x + 3y + 2z = 34) Dado el subespacio S = < (2, – 2, – 5); (–1, 4, 1); (1, 2, – 4) >.Hallar, si es posible, una base de S que contenga al vector v = (1, 8, – 7).Soluciones:1) y = 3/2 x – 2 ó L: α (2, 3) + (0, – 2)2) Auto: 10 días, Camioneta: 6 días y Ómnibus: 9 días.3) Es un sistema compatible indeterminado por lo tanto la respuesta será una recta. En este caso seha despejado z, pero puede despejarse cualquiera de las letras (según te convenga)S = z (– 3, – 5/3, 1) + (1, 4/3, 0)4) La base obtenida puede ser:S= {(–1, 4, 1); (1, 8, – 7)} ó S= {(1, 2, – 4); (1, 8, – 7)}
  11. 11. Parciales de Álgebra – Ciencias Económicas – Cátedra Gutiérrez/Fauring Pág. 1Si necesitas clases para aprobar tu parcial, final o libre llama al 011-15-67625436(1) Álgebra (71) – Primer Parcial – 1º Cuat. 20051) Sea P el punto en el que la recta y = – 3x + 5 corta al eje x, y sea L´ la recta paralela a L: α (2, -1)+ (1, 6) que pasa por P. Hallar el punto en que la recta L´ corta al eje y.2) Analizar para que valores de k el siguiente sistema sea compatible determinado, indeterminado oincompatible:x – y = 22 x – y = 5 Hallar todas las soluciones del sistema, cuando sea indeterminado.– x + 2y = k3) Tres empresas A, B y C discuten posibles funciones. La suma de los activos de A y B es igual alactivo de C; el activo de B supera al de A en 3 millones y las tres empresas tienen, en conjunto,activos por 25 millones.Hallar los activos de cada una de las tres empresas.4) Consideramos en R4el subespacio S: < ( 1, 0, -1, 2 ) ; ( 0, 1, 1, -2 ) >.Determinar los valores de a y b ∈R, tales que el vector (a, 3, 5, b) pertenece a S.(2) Álgebra (71) – Primer Parcial – Paternal – 1erCuat. 20051) L1 es la recta que pasa por (2, -1) y (-1, 3), L2 es la recta de dirección (2, 3) que pasa por (3, 4) yQ es el punto de L2 que pertenece al eje x.Hallar una ecuación paramétrica de una recta paralela a L1 que pase por Q.2) Determinar todos los valores de k ∈R para los cuales el sistema S es incompatible.3) Un artesano vende aros de tres tamaños: grandes, medianos y pequeños. Los precios de venta decada par son: $ 10, $ 8 y $ 2 respectivamente. El fin de semana anterior vendió 75 pares en total yrecaudó $ 718.¿Cuántos pares de cada tamaño vendió? Dar todas las posibilidades.4) Dados el subespacio S = {x ∈R4/ 2x1 + x3 – 2 x4 = 0} y el vector v = (1, 1, 2, 2).Hallar una base B de S y expresar, si es posible, v como combinación lineal de los vectores de B.
  12. 12. Parciales de Álgebra – Ciencias Económicas – Cátedra Gutiérrez/Fauring Pág. 1Si necesitas clases para aprobar tu parcial, final o libre llama al 011-15-67625436Algebra (71) – Primer Parcial – 2doTrim. 2005 – Tema 1.1. L es la recta de ecuación X: α (1, – 1, 2) + (0, 4, 3); P es el punto de L que está en el plano x1x2 yQ = (–1, 5, 0). Dar la ecuación de la recta que pasa por P, Q.2. Determinar los valores de a y b para que el sistema S =Sea i) Compatible determinadoii) Compatible indeterminado3) Un pintor compró 40 latas de pintura para exterior, 40 latas de pintura para interiores y 5 latas depintura para metales, se pagó $ 450. Si hubiera comprado el doble de latas para interiores, el doblede para metales y nada de las otras habría pagado $420. Si hubiera comprado el doble de latas paraexteriores, el doble de para metales y nada de las otras habría pagado $580. ¿Cuánto pagó por 1 latade cada clase de pintura?4) Dar una base del subespacio S = < (1, 2, 1, – 1); (1, 4, 4, 0), (–1, 2, 5, 3) >Decidir si V = (1, 0, – 2, – 2) pertenece a S. En caso afirmativo, escribir V como combinación linealde la base dada.Solución:1) Que esté incluido en el plano x1x2 implica que las dos primeras coordenadas pueden tenercualquier valor pero la tercera x3 tiene valor cero.α (1, – 1, 2) + (0, 4, 3) = (x1; x2; 0)O sea que 0 = 2α + 3. Por lo que puede calcularse alfa cuyo valor será – 3/2Todos los puntos de la recta X = α (1, – 1, 2) + (0, 4, 3) pueden ser expresados como:x1 = α por lo que x1 = – 3/2x2 = – α + 4 por lo que x2 = 3/2 + 4 = 11/2x3 = 2α + 3. por lo que x3 = 2 (– 3/2) + 3 = 0P = (– 3/2, 11/2, 0) y Q = (–1, 5, 0).Para calcular el vector director de la recta se restan P y Q : P – Q = (– 3/2, 11/2, 0) – (–1, 5, 0) == (– ½, ½, 0)La recta que pasa por P y Q puede expresarse como:X: α (– ½, ½, 0) + (– 3/2, 11/2, 0) ó como X: α (– ½, ½, 0) + (–1, 5, 0)Ambas expresiones son igualmente válidas.
  13. 13. Parciales de Álgebra – Ciencias Económicas – Cátedra Gutiérrez/Fauring Pág. 2Si necesitas clases para aprobar tu parcial, final o libre llama al 011-15-676254362) El sistema puede expresarse como matriz y resolverse por varios métodos.El más utilizado por esta cátedra es Gauss. Este método consiste en eliminar las filas de abajomediante sumas o restas para obtener una matriz triangulada que permita hallar x, y, z.El valor de a y b determinarán que tipo de sistema tendremos:i) Si a es distinto de 13 no nos interesa el valor de b, el sistema será siempre compatibledeterminado, o sea que siempre existirá una solución para el sistema, x, y, z tendrán un único valor.ii) Si a = 13 y b = 7 la fila de abajo se irá, será todo cero, por lo tanto tendremos infinitassoluciones. El sistema será compatible in determinado.iii) Si bien esta opción no se ha pedido… aprovechemos para explicar que si a es igual 13 y bdistinto de 7 no obtendremos ningún resultado. El sistema será incompatible.3) El problema debe escribirse como un sistema de ecuaciones para poder resolverse.En este caso x representará la pintura de interiores, y la de exteriores y z la de metales.40 x + 40 y + 5 z = $ 45080 x + 0 y + 10 z = $ 4200 x + 80 y + 10 z = $ 580El resultado de este sistema de ecuaciones es: x = 4, y = 6, z = 10.4) Para ser una base los vectores de S deben ser generadores y linealmente independientes.Cuando se pide que sea combinación lineal se está pidiendo hallar:α (1, 2, 1, – 1) + β (1, 4, 4, 0) + γ (–1, 2, 5, 3) = (1, 0, – 2, – 2)El valor de alfa, beta y gama debe ser uno solo. En este caso α = 2, β = – 1 y γ = 0Escrito como combinación lineal sería:2 (1, 2, 1, – 1) – 1 (1, 4, 4, 0) + 0 (–1, 2, 5, 3) = (1, 0, – 2, – 2)
  14. 14. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra ThomsonÁLGEBRA - 1erParcialTEMA: 35 BEl examen se aprueba con 3 ejercicios completos bien o con 6 mitades bien.Ej.1: a) Sea A = { 1, 3, 9 } con la operación: x#y= m.c.d.(x,y)a) Arme una tabla e indique si # es ley interna en A, si es asociativa, conmutativa, si poseeneutro y la estructura de (A,#)b) Dé un ejemplo de una operación que sea ley interna en el conjunto de los enteros pero queno tenga elemento neutro. Indique si es asociativa.Ej.2: Dada la matriz X =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+− 33kk215k031212a) Halle todos los valores de k ∈ R tales que el X sea singular (no inversible).b) Considerando k=1, indique el rango de X.Ej.3: Indique Verdadero o Falso, justificando como corresponda:a) Sean A, B ∈ |Rnxn: si A es involutiva y B =21(A + I) entonces B es idempotente.b) Sean A, B ∈ |Rnxn: si A y B son simétricas entonces A•B es matriz simétrica.Ej.4: Sea M = a) Calcule det(M) sabiendo que⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛w74zy1-4x020yxwz= 3b) Calcule det(D) siendo Dt = (-2) • D2 • M-1Ej.5: Sea la ecuación matricial: X • A + I = (C • X-1)-1a) Despeje la matriz cuadrada Xb) Considerando las matrices: A = y C = calcule la inversa de X.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛5112⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛5273Ej.6: Considere una economía hipotética sencilla de dos industrias S y T representada en la tabla:S T D.F. P.T.S 34T 25 84V.A. 28P.T. 152a) Complete la tabla sabiendo que lo que utiliza T de su propia producción es 42.b) Halle la nueva tabla si la demanda final cambia a 55 para S y 135 para T.Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436
  15. 15. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra ThomsonÁLGEBRA - 1erParcialTEMA : 35 AEl examen se aprueba con 3 ejercicios completos bien o con 6 mitades bien.Ej. 1: a) En el conjunto E = { e , f , d, n } se define la operación ◊ mediante la tabla:◊ e f d ne n e n nf e f d nd n d f dn n n d fAnalice si ◊ es conmutativa, asociativa y si poseeelemento neutro. ¿Qué elemento debe modificarsepara que ◊ posea simétrico?Sugerencia: halle ( d ◊ e ) ◊ n y d ◊ ( e ◊ n )b) Analice la estructura de (H, •)Siendo H = { x =n1∧ n ∈ |N } y • es el producto usual.Ej. 2: Dada la matriz M ∈ |R3x3 / mij =⎩⎨⎧01sisijiji>≤a) Halle la matriz M-1 (inversa de M)b) Indique el rango de la matriz A = M - I (siendo I la identidad de orden 3)Ej. 3: : Indique Verdadero o Falso, justificando como corresponda:a) Sea A ∈ |Rnxn : Si A es ortogonal y simétrica entonces A es involutivab) Sean A y B ∈ |Rnxn : si A y B son regulares entonces A - B es regularEj. 4: Sean las matrices P , Q ∈ R4x4 tales que : det(P) = 5a) Si Q = (2P1 P3+P2 P4 3P1+2P3) , calcule det(Q)b) Si det(Q) = 8, halle el valor de det( 2 Pt Q-1 ).Ej. 5:a) Sea la ecuación matricial: A • X = BSiendo A= X = B =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ −411121111⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zyx⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛332Calcule la matriz X usando el método de Crámer.Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436
  16. 16. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra ThomsonSi necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436b) Despeje X en la ecuación: B • (C + X • A) = C + ISabiendo que A y B son inversibles.Ej. 6: Considere una economía hipotética sencilla de dos industrias M y Nrepresentada en la tabla:M N D.F. P.T.M 28 12 16 56N 14 36 22 72V.A 14 24P.T. 56 72 128a) ¿Qué valor produce M y utiliza N?¿Cuál es la producción total de la industria N?b) Determine la nueva tabla, si la demanda final cambia a 20 para M y 25 para N.
  17. 17. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra FauringÁLGEBRA - 1erParcialSolución:1) a = – 3 ; b = 62) Deben elaborar 36 kg. de salsa "a la siciliana" y 60 kg. de salsa "a la francesa" paraconsumir un stock de 30 kg. de queso fontina y 66 kg. de cuartirolo.3) α (-1; 0; -3; 1) + (3; 0; 3; 0)4) Para que el vector v = (1; 4; 2k) pertenezca al subespacio S, k = 4.Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436
  18. 18. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra FauringÁLGEBRA - 1erParcialSolución:1) L : α (1, – 1, – 5) + (5, 1, 2)2) a = 5, b = – 3 (Reemplazando estos dos valores ahora deben triangular la matriz para hallarlos resultados)3) y = 700 x – 143000 Deberán transcurrir más de 204 semanas.4) (1, 2, 1, – 1) no pertenece a S(Si lo resuelves triangulando, la manera más fácil, el sistema da incompatible, lo que implicaque el vector no pertenece al subespacio S.)Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436
  19. 19. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra FauringSi necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436Primer Parcial de ÁlgebraCátedra Fauring (ex – Gutiérrez)Algebra Cs. Ec. (71) – Primer parcial (Drago) – Primer Cuatrimestre 2009 – Tema 31. Dadas las rectas: L1 : X = λ (1, 2, 0) + (2, 3, 2) y L2: X = λ (3, 0, 1) + (8, 4, 1), hallar unaecuación de la recta paralela a L1 y corta al plano XY en el mismo punto que L2Solución:Para escribir vectorialmente una recta necesitamos dos elementos. El vector director (que es elvector cuya dirección es la de la recta) y un punto de paso (que indica por donde pasa esa recta,o sea, donde está ubicada en el plano)Cuando dos rectas son paralelas tienen el mismo vector director, así que la tercera recta (la quellamaremos L3) y L1 poseen a (1, 2, 0) como vector director.Ahora necesitamos un punto de paso, el problema nos dice que ese punto será la intersecciónentre el plano XY y L2.Probablemente te preguntarás que es el plano XY. Es el plano determinado por los ejes X e Yque pasa por el origen de coordenadas, lo que implica que Z = 0. Así que cualquier punto delplano XY debe escribirse como (x, y, 0)Busquemos ese punto en la recta L2.λ (3, 0, 1) + (8, 4, 1) = (x, y, 0)No hay que olvidarse que debemos trabajar separadamente en cada una de las coordenadas.011.40.83.=+=+=+λλλyxLo que nos permitirá hallar los valores que nos están pidiendo (primero hay que calcular λ)1011.440.583).1(83.−=→=+=→=+=→=+−→=+λλλλyyxxxEntonces el punto (x, y, 0) = (5, 4, 0)Ahora podemos armar la ecuación vectorial de la recta L3.L3 : λ (1, 2, 0) + (5, 4, 0)2. Un club obtiene la concesión de un predio municipal y debe optar entre dos regímenes paraabonar el canon correspondiente:i) Pagar el 13 % de los ingresos percibidos por cuota socialii) Pagar $ 2000 fijos más el 8 % de los ingresos percibidos por cuota social.a) ¿Para qué monto de ingresos el canon es el mismo para ambos regímenes?b) Si el club recauda $50000 en concepto de cuotas sociales, ¿por qué régimen le convieneoptar?(Lujan)
  20. 20. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra FauringSi necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436Solución:a) Cada uno de los “regímenes” a optar puede ser representado por una ecuación lineal (recta):Así la primera opción del 13 % o sea 13/ 100 (0, 13) puede ser escrita como: f(x) = 0,13 xDonde x representa la totalidad del dinero recaudado por la utilización del predio.La segunda opción, el 8 % (o sea 8/100 = 0,08) y un monto fijo de $ 2000 puede escribirsecomo g(x) = 0,08 x + 2000Para saber qué monto de ingresos el canon es el mismo en ambos regímenes, sencillamenteigualamos las ecuaciones:0,13 x = 0,08 x + 2000Se despeja x0,13 x – 0,08 x = 20000,05 x = 2000x = 2000 / 0,05x = 40000b) Si graficamos ambas ecuaciones, la primera opción encolor verde y la segunda opción en color rojo, podemosver claramente que el punto de equilibrio entre las dosopciones es cuando el club recauda $ 40000.Para valores inferiores al equilibrio, la mejor opción(donde se paga menos) es la que se paga el 13 %.Para valores superiores al equilibrio, la mejor opción esla que segunda. Así que si el club recauda $50000 enconcepto de cuotas sociales, el régimen que le convieneoptar es el segundo (pagará menos, pueden sencillamentereemplazar x por $ 50000 en cada una de las ecuacionesy observarán el resultado)3. Hallar a y b para que el sistema sea compatible indeterminado.⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+−baxxxxxxx323132120422Para los valores hallados de a y b, dar todas las soluciones del sistema.Solución:Primeramente pasemos los coeficientes del sistema (los números que están multiplicando a lasampliada:x) en una matrizAplicaremos el método de Gauss (pues es el que usa esta cátedra aunque haymétodos más fáciles, como el de gauss-Jordan) el que consiste en obtener untriángulo de ceros en la parte inferior de la matriz (matriz trianguladainferiormente) que permite calcular el valor de las x.⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ −ba0220401121Toda matriz está dividida en filas y columnas. En este caso nos interesan las filas. LlamaremosF1, F2 y F3 a la primera, segunda y tercera fila.⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ −baFFF0220401121321Lo que primeramente queremos es que la primera columna nos quede el 1(que encabeza la columna) y todos los otros números sean ceros.Para ello sumaremos o restaremos la F1 con las siguientes filas(Lujan)
  21. 21. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra FauringSi necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ −babaFFFFbaFFF22203201212022014)2(0111210220401121operarnecesarioesnocero,untenemosacá3121filaslasoperamos32143421Ahora el que debemos hacer cero son todos los números de la segunda columna debajo de la F2(en este caso solamente es un número) Trabajamos con la matriz (equivalente) que hemosobtenido:⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−222300320121)2(22322032012122203201212321filaslasoperamos321babaFFFFbaFFFceroenrsetransformadebe2el↑La Matriz ha quedado triangulada inferiormente.Como el problema nos pide que el sistema sea compatible indeterminado cada elemento de laF3 debe ser cero. Así que a – 3 y b + 2 deben ser nulas.Despejando:a – 3 = 0 nos queda que a = 3b + 2 = 0 nos queda que b = – 2En este caso el sistema nos queda:⎩⎨⎧−=+=+−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−2322202200032012132321xxxxxDespejamos x1 y x2 por lo que ambas quedan en función de x3. (Las cuentas debés hacerlas vos)de manera que nos queda: x1 = – 4x3. x2 = – 1 –3/2 x3.Así que la recta solución queda:(– 4x3, – 1 –3/2 x3, x3) = x3 (– 4, – 3/2, 1) + (0, –1, 0)4. Dados los subespacios de R4S = { }0: 43214=−++∈ xxxxRx yT = ( ) )1,1,1,1();1,1,0,0(;0,0,1,1 −−−−Hallar si es posible una base de S que contenga una base de T.Solución:Recordemos que una base de un subespacio es un generador cuyos vectores son linealmenteindependientes (L I).Lo que necesitamos primeramente es buscar una base de cada uno de los subespacios.Empecemos por TPara que los vectores sean L I, se debe darse que en la expresión:(Lujan)
  22. 22. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra FauringSi necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436( ) )0,0,0,0()1,1,1,1()1,1,0,0(0,0,1,1 =−+−−+− χβαLos coeficientes (las letras griegas) sean cero para que su suma sea nula (o sea nos de el vectornulo)Hay varias maneras de resolver esta operación, aquí lo haremos mediante matrices.Escribamos la matriz asociada y triangulemos para hallar el valor de los coeficientes.⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−⎯⎯⎯⎯ →⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−00000000001101010000110110101101OperamosEl hecho que nos queden dos filas nos indica que el sistema es linealmente dependiente (L D),ya que los coeficientes no dan cero.χβχβχαχα=→=+−−=→=+00Según el valor que le demos a gamma tendremos el valor de alfa y beta.Si 1y11 =−=⇒= βαχ( ) )0,0,0,0()1,1,1,1(1)1,1,0,0(10,0,1,11 =−+−−+−−Así que al despejar: ( ) )1,1,0,0(0,0,1,1)1,1,1,1( −−−−=− vemos que el tercer vector es combinaciónlineal de los otros dos. Como podemos despejar cualquier vector, la base de T nos quedará dedimensión dos (o sea, dos vectores). Los vectores que elijamos deben pertenecer a S, ya queeso es lo que pide el problema.Para saber cual de los vectores pertenece a S, sencillamente ubiquemos a cada vector en laecuación de S para ver si la cumple.011110)1,1,1,1( 4321 =−++−→=−++→− xxxx Cumple2001)1(0)0,0,1,1( 4321 =−++−−→=−++→− xxxx No cumple0)1(1000)1,1,0,0( 4321 =−−−+→=−++→−− xxxx CumpleNuestra base en T será { })1,1,0,0();1,1,1,1( −−−La base que buscamos en S tiene dimensión 3 (Hay que tener en cuenta que es un espacio de R4con una sola ecuación: 4 – 1 = 3) Nos hace falta un vector. Podemos inventarlo pero asegúrenseque sea L I. Por ejemplo (1,0,0,1)De esa manera tenemos que la base de S es:{ })1,0,0,1();1,1,0,0();1,1,1,1( −−−Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al011–15–67625436Y si buscás modelos de parciales, encontralos en forma gratuita en:Soko.com.ar(Lujan)(Lujan)

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