Ecuaciones Paramétricas como Solución al problema de la Rueda Cuadrada

Ecuaciones paramétricas para el problema de la bicicleta de ruedas cuadradas

Nos proponemos descubrir cuales son las Ecuaciones paramétricas de una función que describa la superficie que permita la rotación de una rueda cuadrada manteniendo constante la altura de su eje

El Punto P
El punto P (r tan 𝜃,r sec𝜃) señala la intersección entre la sec 𝜃, y el lado inferior del cuadrado, que circunscribe un círculo de radio = 1.
Las ecuaciones paramétricas serían:

Recorrido horizontal :
𝑥=𝑟θ=r secθθ

Crecimiento del radio:
𝑦 =−r secθθ

Normalmente a estas alturas y sin mayor análisis podríamos darnos por satisfechos, pero nos toparíamos con una sorpresa. Veamos unas gráficas en la lámina siguiente.

Gráfica de lo encontrado:
En rojo está la representación paramétrica (recordando que 𝑟=1)
x = sec(θ) θ, y= -sec(θ)
y en azul la función que se busca:
y = - cosh(x)1.
Constatamos que no son iguales.
¿Qué ha sucedido?

1 Por favor referirse en Slideshare a mi presentación «Bicicleta de Ruedas Cuadradas».

… no hemos considerado un factor importantísimo: el desplazamiento horizontal no es lineal.
Es decir, el conjunto no avanza a la misma velocidad; lo hace aceleradamente.En las siguientes láminas veremos por qué es así.Estemos atentos a la idea de «círculo de curvatura»
Círculo de curvatura: dado un radio ¿ qué circunferencia de círculo le corresponde?

Trazado de la Curva
Durante la rotación, el punto Ptraza la curva que se busca.
La secante, que representa al radio, crece hacia abajo.

El conjunto no avanza a la misma velocidad:
A medida que avanza el cuadrado, uno puede imaginar que para cada nuevo radio generado se establecen sendos círculos de curvatura que recorren cada vez mayor distancia, teniendo, sin embargo, una velocidad de rotación constante.

Cómo averiguar la distancia recorrida
Para calcular el recorrido del punto Pen el sentido horizontal desde el origen hasta una rotación de 𝜃 radianes sumamos cada una de las instancias, 𝑟𝑛 𝜃 quees representada por [−𝑟 sec 𝜃]𝜃, o −sec 𝜃𝜃, para 𝑟=1.
Con este propósito integramos:
− 0𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝜃,
y obtenemos
− ln(sec⁡𝜃+tan 𝜃⁡).

Las Ecuaciones Paramétricas
Ahora si hemos dado cuenta del desplazamiento en x de manera correcta por que se ha calculado el recorrido de acuerdo al tamaño de los radios sucesivos.Por lo tanto las ecuaciones paramétricas de la función que nos ocupa son:
𝑥=− ln(sec𝜃+tan𝜃),
𝑦=− sec𝜃.
…que es lo que nos proponíamos encontrar.

Comparación de las ecuaciones paramétricas obtenidas con y = cosh(x)
En este caso, el gráfico de las ecuaciones paramétricas (color verde) cubre cabalmente la porción dey = -cosh(x) que hemos representado.

Comprobación adicional
En vista de que una constatación visual por medio de gráficos no es suficiente, buscaremos una comprobación adicional de la corrección de nuestras ecuaciones: transformaremos las expresiones paramétricas en una ecuación explícita.

Búsqueda de la ecuación explícita:Eliminamos el parámetro 𝜃 de:

𝑥=−ln(sec𝜃+tan𝜃),
𝑦=−sec𝜃.

Con el fin propuesto, partimos de la identidadtan2 𝜃= sec2 𝜃−1.
Teniendo en cuenta que 𝑦=− sec⁡𝜃 escribimos inmediatamente, tan𝜃= 𝑦2−1, para finalmente obtener:
𝒙=𝐥𝐧𝒚+ 𝒚𝟐−𝟏
expresión que reconocemos como cosh-1(y), y con esto nos damos por satisfechos.

Nota: Para simplificar, no hemos tomado en cuentalos signos negativos de las ecuaciones paramétricas obtenidas
René Gastelumendi, 21 Dic 2010

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Ecuaciones Paramétricas como Solución al problema de la Rueda Cuadrada

by Rene Gastelumendi on Dec 22, 2010

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