Ecuación de Euler-Lagrange: Deducción utilizando Cálculo Básico

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Ecuacion de Euler-Lagrange, Deduccion con técnicas elementales de Cálculo

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Ecuación de Euler-Lagrange: Deducción utilizando Cálculo Básico

  1. 1. F d F 0.y dx y
  2. 2. Este trabajo, de carácter didáctico, va dirigido a losalumnos de Mecánica, Física y Cálculo. Su objetivo esmostrar la aplicación de las herramientas del Cálculo elemental para deducir una de las ecuaciones más importantes de la Física.Nos hemos basado en “Deriving Lagrange’s EquationUsing Elementary Calculus” por Josef Hanc, Edwin F. Taylor y Slavomir Tuleja. 2
  3. 3. Lagrange (1736- 1813) y Euler (1707- 1783) fueron dos matemáticos eminentes que aportaron enormemente a la ciencia. Utilizando cada uno sus propiosprocedimientos para encontrar el extremo de una integral dedujeron una de lasfórmulas más importantes de la Mecánica, base de su formulación Variacional. [1] 3
  4. 4.  VECTORIAL, se ocupa en determinar todas las fuerzas que actúan en una partícula. VARIACIONAL, se basa en la diferencia entre la Energía Cinética y la Energía Potencial de una partícula. 4
  5. 5.  Brachistos y Cronos significan –en griego- Corto yTiempo, respectivamente. La Braquistócrona es la curva de descenso másrápido.El problema fue originalmente expuesto al públicopor Johannes Bernoulli en 1686. 5
  6. 6. “Dentro de la infinita cantidad de formas que puedetener, descubrir la que debe describir una canaleta, M,por donde se deslizará una cuenta, para que,partiendo del punto a llegue al a punto b, situado más abajo, (pero no debajo del punto a),en el menor tiempo (Fig. 1).” M Fig. 1 b 6
  7. 7.  “Arte diabólico es…” puede decir unoparafraseando a Moratín, hallar dentro de todas lasformas posibles aquella que minimice el tiempo derecorrido. Sin embargo, además de J. Bernoulli, tresendiablados matemáticos encontraron la respuesta:tanto su hermano James como Newton y Leibniz. Lacurva determinada resultó ser una Cicloide, la cual seobtiene integrando: b 2 1 1 y t dx, 2g a a yen donde g es la aceleración de la gravedad. 7
  8. 8.  Sin embargo esta solución no era general, y por lotanto, el establecimiento de una teoría que cubra elconjunto de problemas variacionales era unanecesidad; Lagrange y Euler respondieron a ella. Su método se basó en la utilización de la ecuaciónque lleva sus nombres, pero el camino que cada unotomó para descubrirla no fue el mismo y de eso nosocupamos en las láminas que siguen. 8
  9. 9.  El primero, Lagrange, utilizó un enfoque analítico [2] y suprocedimiento desborda al Cálculo tradicional. Lagrange, para su hallazgo-¡realizado a los 19 años deedad!- se apoyó en el Principio de Mínima Acción [3] y en suinvención, el Cálculo de Variaciones. El segundo, Euler, se encuadró dentro del Cálculo,empleó una visualización geométrica (su propio diagramaes el de la figura 2) y utilizó el análisis infintesimal. 9
  10. 10.  Nosotros nos enfocaremos en el trabajo de Euler. El carácter explícito de su plan de ataque constituyeuna excelente herramienta didáctica. 10
  11. 11. 1. Dividir a la curva a-z en intervalos finitos, (Fig. 2). Esta curva representa, por hipótesis, un trayecto extremo. Por ejemplo, puede ser la forma que debe de tener la proa de un submarino para tener la resistencia mínima al agua.2. Reemplazar por una Variación suma a la integral a ser minimizada.3. Evaluar la suma Fig. 2 en M y N (Fig. 2) donde se produce una variación en la ordenada (de N-n hacia N-v). 11
  12. 12.  Sabemos que la cuenta, al fin y al cabo, tendrá querecorrer una ruta muy particular y única para cubrir ladistancia en el menor tiempo. Pero así como toma ese camino, es posible imaginar quepuede “decidirse” por otros. A las rutas alternas que se diferencian de la que porhipótesis es la correcta, se les llama variaciones. Euler tomó una variación (ordenada de N-n a N-v en lafigura 2) y utilizando un razonamiento muy similar al queveremos a continuación, comparó los trayectos parafinalmente descubrir su fórmula [4]. 12
  13. 13. Para dar mayor sustento y claridad a nuestro desarrolloutilizaremos dos principios establecidos por lospioneros del Cálculo de Variaciones [5] : Principio 1. Cualquier variación o desvío infinitesimalalrededor de un extremo, es proporcional a (∆x)2por loque se puede tomar como nula.Principio 2. Si una curva que representa un trayectoentre dos puntos es una curva extrema (sea máxima omínima), entonces cualquier segmento tendrá lasmismas características, es decir, será extremo también. 13
  14. 14. Es muy importante comprender el Principio 1, por lo quelo explicaremos al detalle. Supongamos que necesitamos estimar el valor de f(x)en un punto cercano a x 0 , y para ello utilizamos laaproximación cuadrática, df ( x 0 ) d 2 f ( xo ) P( x) f ( xo ) x ( x) 2 dx 2dx 2 Supongamos, además, que x 0 está situada en un df ( x0 )extremo. Entonces, y por la razón de que = 0 en dxese punto, la expresión anterior puedeescribirse así: d 2 f ( x0 ) P( x) f ( xo ) ( x) 2 2dx 2 14
  15. 15.  …donde vemos claramente que la diferencia entre d 2 f ( x0 )P ( x) y f ( x o ) , que es ( x) 2 , depende de 2dx 2un infinitésimo al cuadrado, ( x ) 2. Refiriéndonos otra vez al gráfico de la figura 2, la variaciónv, que Euler imprime a la curva a-z, es de segundo orden (estásituada sobre un trayecto que, por hipótesis es ya un mínimo)y por lo tanto su diferencia Fig. 2con el segmento m-o, es,en la práctica, nula. Nota: a esto es lo que serefieren los matemáticoscuando dicen “ignoremosla variación de segundoorden.” 15
  16. 16.  En palabras del Marqués de L’Hôpital, “doscantidades que difieren entre sí infinitesimalmente,pueden tomarse por iguales”; con mayor razón si ladiferencia es un infinitésimo al cuadrado [6]. En efecto, el Análisis Infinitesimal moderno, el cualse basa en la Teoría de las Categorías, tiene comoelemento fundamental al infinitésimo. Dentro de esteanálisis el infinitésimo de segundo grado es llamado“nilpotente” y se define como idéntico a cero. 16
  17. 17. Repaso a guisa de aclaración:La idea fundamental del Cálculo de Variaciones es elestudio entre un mínimo y su entorno, pero en estecaso el mínimo no es un punto; es más bien una funciónintegral que describe un trayecto. Para estudiar dichadiferencia infinitesimal, Se asume una ruta mínima –dada como correcta- que existe dentro de una familia de rutas. Se compara la “correcta” con otra apenas alejada de ella. Por la razón de que la correcta es, por hipótesis, un trayecto mínimo, cualquier diferencia es proporcional a un infinitésimo al cuadrado y por lo tanto, despreciable. 17
  18. 18. Notemos que, contrariamente a encontrar el mínimo deuna función, el tema de la Curva de Menor Tiempoconsiste en hallar la función mínima dentro de unconjunto infinito de posibilidades. En otras palabras,buscar el extremo de la función f(x) (un tema del Cálculo)no es lo mismo a buscar aquella función y = f(x) que bhaga que la integral I f ( x)dx sea un extremo (un atema del Cálculo de Variaciones). 18
  19. 19. En la práctica (cf. la integral de la Braquistócrona), la expresióndepende de y, y’, y en muchos casos, de x también, razón por lacual los problemas variacionales se generalizan con una funciónF de tres variables, F = F ( y, y’, x)y la integral definida, z I F ( y, y , x)dx aque se busca minimizar.Con esto en mente, regresemos al trabajo de Euler. 19
  20. 20.  Primero dividimos la curva a-z (Fig. 2) enintervalos finitos x y escogemos dos v n o ...z a... mpuntos cualesquiera, Xk , Xk+1. Por la razónde que han sido escogidosarbitrariamente, el Segundo Principio nosasegura que sea donde quiera que xk xk+1estemos sobre la curva a-z, siempre Fig. 2estaremos en un segmento extremo.Segundo, reemplazamos la integral a ser minimizadapor una suma: z n I F ( y, y , x)dx F ( y k , y k , xk ) x a k o 20
  21. 21.  Tercero, evaluamos la suma en x k y xk+1justo donde está la variación v, para v n o ...z mformar los elementos Lk y Lk+1 siendo, a... Lk F ( y k , y k , x k ) x k y Lk 1 F ( y k 1 , yk 1 , xk 1 ) xk 1 xk xk+1 Fig. 2 Estas son las funciones cuya estructura trataremosde dilucidar cuando se alejan respecto a la ordenada‘y’ en una cantidad infinitesimal de segundo orden. 21
  22. 22. Con tal fin, derivamos Lk F ( y k , y k , x k ) x k conrespecto a yk, Lk F dyk F dyk F dxk F F dyk F dxk xk = xk xk xk yk yk dyk y dyk x dyk yk y dyk x dykArreglando términos, Lk F F F o, lo que es lo mismo, xk yk yk y k y k Lk F F xk 2 por la razón de que, yk yk y dy dxk 1 1,y y´ dy k y 22
  23. 23.  Operando de la misma manera con Lk+1 y teniendo yen cuenta que la pendiente x y del segmento v – oes negativa, obtenemos, Lk 1 F F xk 2 yk 1 yk 1 y k 1 Como buscamos el comportamiento de todo el Lk Lk 1segmento m-o, sumamos + y, para encontrar yk yk 1la diferencia mínima, igualamos a cero: L Lk 1 F F F F FSegmento x 2 0 yk yk 1 yk ( k 1) yk yk 1 y k y k 1 23
  24. 24. Arreglando nuevamente términos y teniendo en cuentaque y k 1 y k dy obtenemos: 1 F F 1 F 2 yk yk 1 x y Recordando que estamos tratando con cantidades tancercanas como queramos [7], finalmente escribimos laúltima expresión como F d F 0 y dx yque no es otra que la famosa Ecuación de Euler-Lagrange. René F. Gastelumendi, 5 de Diciembre de 2004 / 5 de Febrero de 2005. 24
  25. 25. Referencias [1] A diferencia de la formulación vectorial de Newton que se ocupa en determinar todas las fuerzas que actúan en una partícula, la variacional o analítica se basa en la diferencia entre la Energía Cinética y la Energía Potencial de una partícula. [2] Un orgullo de Lagrange fue escribir su tratado ‘Mecánica Analítica’, “sin utilizar una sola figura”. [3] Maupertuis, en 1746, reflexionando sobre la perfección de la Naturaleza enuncia que dicho ideal debería de incluir una “economía” en la administración de la energía y postuló su principio basado en una cantidad llamada por él, “Acción”. Para un objeto que se desplaza en un campo de fuerzas conservativas se define como el producto del tiempo, t, multiplicado por su “vis viva”, mv2 -el doble de la energía cinética. Este producto debe de ser siempre un mínimo, o tener una Mínima Acción. [4] Ver Cornelius Lanczos - “The Variational Principles of Mechanics”, para una breve exposición de la deducción de Euler. [5] Ver Woodhouse – “A History of the Calculus of Variations in the Eighteenth Century”. [6] Citado en la p 241 de “The Mathematical Experience” de Hersh y Davis, primera edición. [7] El primer término lo podemos interpretar como el punto medio en v del segmento m-o 25

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