Deducción de la ecuación de la espiral exponencial

𝑟=𝑏𝑒𝑎𝜃

Deducción de la Ecuación de la Espiral Exponencial por medio de un Análisis Mecánico

Descripción
Imaginemos una tornamesa que gira a velocidad angular, 𝜔 constante.

Figurémonos ahora, un balín situado sobre un radio imaginario a una distancia r, del centro.

Por efecto de la rotación, el balín sale impulsado con una velocidad 𝑟𝜔,y se aleja en trayectoria perpendicular al radio.

El balín recibe un nuevo impulso de otro radio y, así, la secuencia continúa.

Al unir las trayectorias obtenemos la espiral de la derecha. En ella observamos que la trayectoria es:
perpendicular al radioque proporciona el impulso (círculo verde).

Al unir las trayectorias obtenemos la espiral de la derecha. En ella observamos que la trayectoria es:
perpendicular al radioque proporciona el impulso (círculo verde)
oblicua al radio siguiente (círculo amarillo)

El ángulo con el que el balín incide en el radio siguiente (círculo amarillo)
es llamado y, y constituye la clave para la expresión matemática de la trayectoria.

Expresión Matemática de la Trayectoria
Recurrimos a una herramienta utilizada en el trabajo con Coordenadas Polares: la tangente del ángulo y.
Veamos en las siguientes láminas de dónde sale y y la representación de su tangente.

Con tal fin, comparamos las maneras de indicar la dirección de una función de acuerdo a las coordenadas con las que se trabaja.

El ángulo q versus y
Se representa la dirección de una función con el ángulo q que se forma entre la tangente a la curva en p con la abscisa.
Se representa la dirección de una función con la tangente del ángulo y

La expresión para la tangente de y es:
tan y = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟

Un hecho de gran conveniencia para integrar la ecuación anterior es que, en el caso particularque nos ocupa, y, es constante.
Esto se debe a que:
Los radios son equidistantes entre sí.
La trayectoria del balín es siempre perpendicular al radio que lo impulsa y por lo tanto…
… el ángulo (y) con que incide el balín en el siguiente radio es, por necesidad, constante.

Integración de
tany = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟

Reemplazamos tan y por 1/a para escribir:
𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟 = a dq

Integramos para obtener:
lnr = a q + c
donde 𝑐 es la constante de integración.

A continuación escribimos :
𝑟=𝑒𝑐𝑒𝑎𝜃

𝑟=𝑏𝑒𝑎𝜃

𝑏= 𝑒𝑐

donde
Está última expresión corresponde a la Espiral Exponencial también llamada, por las razones expuestas, Espiral Equiangular.

Y
Finalmente, logramos lo que lo que nos propusimos.
Sin embargo, si le interesa saber más acerca de la tangente del ángulo y, a continuación presentamos una deducción informal, al estilo de los matemáticos del siglo XVII.

¿Cómo determinaría Leibniz el ángulo y utilizando su «pensamiento infinitesimal» y aplicándolo en el «triángulo diferencial»?Sigamos los siguientes gráficos…

Trayecto de la espiral
Una vez determinados los «infinitésimos», Leibniz los utilizaría en el «triángulo diferencial» en una manera parecida a esta:
𝐵𝑎𝑠𝑒, 𝑥, =𝑑𝑟;
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎, 𝑦, =𝑟𝑑𝜃,
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎, 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑠
y por lo tanto la tangente de y es:

tany = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟

Finalmente
Al ver la espiral dentro del círculo tal vez recordemos las veces que hemos estado parados en la plataforma de un carrusel (tiovivo) y la desestabilización que nuestro andar sufría cuando la tornamesa ya giraba y aún no encontrábamos a nuestro a caballito.
El bamboleo se manifestaba por que con cada paso, nuestro pié daba con un nuevo radio que imprimía una velocidad distinta en cada pierna: menor si nos adentrábamos en la plataforma y mayor si nos salíamos de ella.
Por último, si nos desplazábamos tangencialmente a un círculo imaginario, experimentábamos una verdadera1 fuerza centrífuga (la espiral se aleja del centro cuando 𝛙 > 0 ) que nos llevaba hacia el canto de la tornamesa al igual que el balín de esta presentación.

1A la fuerza centrífuga se le considera una fuerza ficticia, pero si se le analiza desde el punto de vistaacá expuesto, no lo es.
René Gastelumendi Dargent, Abril del 2011

Libros de Consulta
Consultar, en particular, el capítulo de Coordenadas Polares:
Cálculo con Geometría Analítica de George F. Simmons (Contiene abundantes datos históricos)
Cálculo, de James Stewart
Cálculo con Geometría Analítica de Stein & Barcellos.
Cálculo con Geometría Analítica de Edwards & Penney (Utilizan la cotangente en vez de la tangente y).

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Deducción de la ecuación de la espiral exponencial

by Rene Gastelumendi on Apr 16, 2011

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